introdução ao cálculo pré-cálculo
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INTRODUÇÃO
AO
CÁLCULO
Universidade de Fortaleza - UNIFOR Centro de Ciências Tecnológicas - CCT
Fortaleza-CE
Introdução ao Cálculo
Este trabalho foi realizado com o objetivo de revisar elementos básicos (da teoria
matemática) necessários para um bom desempenho no curso de cálculo 1. Os tópicos
escolhidos foram baseados nas dificuldades observadas durante pesquisas realizadas pela
assessoria pedagógica que nos deram subsídios para a organização desse trabalho.
Esperamos contribuir para um melhor direcionamento do estudo (preliminar do
cálculo) a fim de preparar os alunos para um bom desempenho nas disciplinas no curso de
engenharia.
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
APRESENTAÇÃO
Este trabalho foi realizado com o objetivo de revisar elementos básicos (da teoria
matemática) necessários para um bom desempenho no curso de cálculo 1. Os tópicos
escolhidos foram baseados nas dificuldades observadas durante pesquisas realizadas pela
ssoria pedagógica que nos deram subsídios para a organização desse trabalho.
Esperamos contribuir para um melhor direcionamento do estudo (preliminar do
cálculo) a fim de preparar os alunos para um bom desempenho nas disciplinas no curso de
Ana Teresa Araújo Farias
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA - UNIFOR
2
Este trabalho foi realizado com o objetivo de revisar elementos básicos (da teoria
matemática) necessários para um bom desempenho no curso de cálculo 1. Os tópicos
escolhidos foram baseados nas dificuldades observadas durante pesquisas realizadas pela
ssoria pedagógica que nos deram subsídios para a organização desse trabalho.
Esperamos contribuir para um melhor direcionamento do estudo (preliminar do
cálculo) a fim de preparar os alunos para um bom desempenho nas disciplinas no curso de
Professores
Ana Teresa Araújo Farias
Fco Erivando A. Maia
Introdução ao Cálculo
UNIDADE 01 - FRAÇÃO ...............................................................................
UNIDADE 02 – POTÊNCIA ..........................................................................
UNIDADE 03 – RADIAÇÃO ............................................................................
UNIDADE 04 – FATORAÇÃO
UNIDADE 05 – EQUAÇÃO DO 1º GRAU
UNIDADE 06 – EQUAÇÃO DO 2º GRAU
UNIVERSIDADE DE FORTALEZA
SUMÁRIO
...............................................................................
..........................................................................
............................................................................
FATORAÇÃO ...........................................................................
EQUAÇÃO DO 1º GRAU .........................................................
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ............................................................
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3
............................................................................... 04
..........................................................................
............................................................................
.....................
.........................................................
............................................................
Introdução ao Cálculo
••••Definição É o modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um
determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim “partido” ou “quebrado”.
De modo simples pode
genérico como ��, designa o inteiro dividido em
partes. Neste caso a corresponde ao numerador enquanto
••••Tipos de Frações 1) Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo,
como próprio nome já diz, são equivalentes.
Ex.: 1
2,
2
4,
8
16
2) Fração própria - é aquela que o numerador é maior que o denominador.
Ex.: 13
10;
5
5
••••Operações aritméticas com fração
Adição → a soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.
Ex.: 1
7+
2
7+
3
7=
1+2+3
7=
6
7
Obs: Veja esse outro exemplo: 1
3+
2
5+
1
2
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores, pois os
denominadores são diferentes. Logo devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o denominadores, ou seja, o
Logo 1
3+
2
5+
1
2=
10
30+
12
30+
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FRAÇÃO
É o modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim
De modo simples pode-se dizer que uma fração de um número, representado de modo
o inteiro dividido em b partes iguais ao qual usa
corresponde ao numerador enquanto b é diferente de zero.
Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo, como próprio nome já diz, são equivalentes.
é aquela que o numerador é maior que o denominador.
aritméticas com fração
a soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e
nhamos este denominador comum.
6
7
Obs: Veja esse outro exemplo:
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores, pois os denominadores são diferentes. Logo devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comumdenominadores, ou seja, o MMC (3, 2, 5) = 30
+15
30=
37
30
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4
É o modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim fractus e significa
se dizer que uma fração de um número, representado de modo
partes iguais ao qual usa-se o número a de
é diferente de zero.
Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo,
é aquela que o numerador é maior que o denominador.
a soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas Se inicialmente todas as frações já possuírem um
denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e
Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores, pois os denominadores são diferentes. Logo devemos converter todas as frações ao mesmo
mínimo múltiplo comum MMC dos
Introdução ao Cálculo
Subtração - a diferença ou subtração de frações, segue o mesmo processo da adição.
Ex.: 8
9-
1
9+
2
9=
8-1-2
9=
5
9
Ex.: 2
3-
1
2=
4
6-
3
6=
4-3
6� 1
6
Multiplicação → a multiplicação ou produto de fração, talvez seja a mais simples das operações aritmética que os envolvem. Pois para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numeradores entre si, fazendo o mesmo com os seus denominadores.
Ex.:1
3∙ 2
5� 1x2
3x5=
2
15
Ex.:1
2∙ 3
5·
1
3=
1x3x1
2x5x3� 3
30
Divisão → a divisão de frações resumenumerador pelo denominador e realizando
Ex.: 1
11� 2
5� 1
11x 5
2�
22
Ex.: 1
3� 4
5=
1
3x
5
4� 5
12
1.Observe a figura:
a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?
b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?
c) A parte pintada representa que fração do retângulo?
2. Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:
a)
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a diferença ou subtração de frações, segue o mesmo processo da adição.
1
6
a multiplicação ou produto de fração, talvez seja a mais simples das
operações aritmética que os envolvem. Pois para realizarmos o produto de frações, basta
que multipliquemos os seus numeradores entre si, fazendo o mesmo com os seus
� 2
10
a divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando
numerador pelo denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações.
5
22
EXERCÍCIOS (1)
a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido? b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo? c) A parte pintada representa que fração do retângulo?
diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:
b) c)
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5
a diferença ou subtração de frações, segue o mesmo processo da adição.
a multiplicação ou produto de fração, talvez seja a mais simples das operações aritmética que os envolvem. Pois para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numeradores entre si, fazendo o mesmo com os seus
se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu se então a multiplicação das novas frações.
diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:
Introdução ao Cálculo
3. Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual alternativa representa a soma destas frações? a) 5/8 b) 7/8 c) 9/8 d) 8/7 4. Qual é a fração que representa a parte colorida na figura? a) 3/2 b) 6/1 c) 5/6 d) 6/5 5. Qual das faixas em azul, na tabela representa a fração 5/10?
6. Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual é a alternativa que representa a diferença destas frações indicada na figura? a) 1/2 b) 3/4 c) 1/4 d) 4/4 7. Qual é a dízima periódica representada pela fração 10/3? a) 0,333... b) 1,111... c) 3,0303... d) 3,333... 8. Escrever a fração 5/3 na forma de um número decimal. a) 1,666... b) 1,6060... c) 1,0606... d) 2,1010... 9. Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6. a) Em quantas partes o todo foi dividido?
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Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual alternativa representa a soma destas frações?
é a fração que representa a parte colorida na figura?
Qual das faixas em azul, na tabela representa a fração 5/10?
Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual é a representa a diferença destas frações indicada na figura?
Qual é a dízima periódica representada pela fração 10/3?
Escrever a fração 5/3 na forma de um número decimal.
Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6.
a) Em quantas partes o todo foi dividido?
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6
Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual alternativa
Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual é a representa a diferença destas frações indicada na figura?
Introdução ao Cálculo
b) Quantas partes do todo foram consideradas? 10. Desenhe dois retângulos de mesmo tamanho. Pinte 1/3 dea maior fração: 1/3 ou 1/4?
1. Encontre o resultado dos cálculos abaixo:
� 75 �35 �
2. Calcule o valor da expressão:
��� ���� � �
�� �
����=
3. Assinalar a alternativa com a resposta da adição 4/7+2/7: a) 5/7 b) 6/14 4. Qual das alternativas representa a subtração 8/9 a) -2/9 b) 2/9 5. Coloque o sinal de maior (>) ou menor (<) entre cada par de frações, nas situações abaixo.
1/5 1/3
2/7 3/9
3/4 1/2
6. Efetue as adições: a) 3/6 + 2/6 = b) 13/7 + 1/7 = c) 2/7+ 1/7 = 7. Efetue as subtrações: a) 7/9 – 5/9 = b) 9/5 -2/5 = c) 2/3 – 1/3 = 8. Efetue as multiplicações: a) 1/2 x 8/8 = b) 4/7 x 2/5 = c) 5/3 x 2/7 =
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b) Quantas partes do todo foram consideradas?
Desenhe dois retângulos de mesmo tamanho. Pinte 1/3 de um deles e 1/4 do outro. Qual a maior fração: 1/3 ou 1/4?
EXERCÍCIOS (2)
Encontre o resultado dos cálculos abaixo:
� 48 �28 � �34 �
512 �
Calcule o valor da expressão:
Assinalar a alternativa com a resposta da adição 4/7+2/7:
b) 6/14 c) 7/6
Qual das alternativas representa a subtração 8/9-6/9?
b) 2/9 c) 14/9
Coloque o sinal de maior (>) ou menor (<) entre cada par de frações, nas situações abaixo.
d) 4/10 + 3/10 = e) 5/6 + 1/6 = f) 8/6 + 6/6 =
g) 3/5 + 1/5 =
d) 8/3 – 2/3 = e) 5/6 – 1/6 = f) 5/5 – 2/5 =
g) 5/7
Efetue as multiplicações:
d) 3/7 x 1/5 = e) 1/8 x 1/9 = f) 7/5 x 2/3 =
g) 3/5 x ½ =
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um deles e 1/4 do outro. Qual
d) 6/7
d) 1/4
Coloque o sinal de maior (>) ou menor (<) entre cada par de frações, nas situações abaixo.
g) 3/5 + 1/5 =
g) 5/7 – 2/7 =
g) 3/5 x ½ =
9. Efetue as divisões: a) 7/8 : 4/7 = b) 18/4 : 6/5 = c) 25/4 : 2/5 =
d) 1/2 : 3/4 = e) 9/7 : 8/3 = f) 2/5 : 3/2 =
g) 17/4 : 46/13 =
EXERCÍCIOS (3)
1. Calcule
a)1
2- �1
4-
1
8� =b) �12 −
14� -
18 =
2. Qual é a alternativa que representa o número 0,65 na forma de fração? a) 65/10 b) 65/100 c) 65/1000 d) 65/10000 3. Efetue as operações: a) 5/4 + ¾ - ¼ = b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = c) 8/7 – 3/7 + 1/7 =
d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = e) 1/8 + 9/8 -3/8= f) 7/3 – 2/3 + 1/3 =
g) 7/5 + 2/5 – 1/5 =
4. Efetue as multiplicações: a) 4/3 x ½ x 2/5 = b) 5 x ¾ x 5/3 = c) ½ x 3/7 x 1/5 =
d) 3/2 x 5/8 x ¼ = e) 5/4 x 3 x 4/7 = f) 5/2 x 7/2 x 3/8 =
g) 2 x 1/9 x 4/5 =
5. Cada parte de uma figura, corresponde à fração 1/5. Responda: a) Qual é a fração que representa a figura toda? b) Qual é a fração que representa duas dessas figuras? 6. Faça um desenho representando o número misto 3 6/7. 7. Dê 5 representações diferentes do número natural 4. 8. Considere as frações 5/8 e 7/12. Responda: a) Escreva-as de outra maneira para que fiquem com um mesmo denominador. b) Diga qual das duas é maior. c) Subtraia a menor da maior. 9. Efetue as adições: a) 5/8 + 3/2 = b) 8/6 + 1/3 =
c) 5/6 + 2/5 = d) 7/4 + 3/7 =
e) 1/9 + 4/5 =
10. Efetue as subtrações: a) 1/8 - 5/2 = b) 8/7 - 1/3 =
c) 5/2 - 7/5 = d) 7/2 - 3/9 =
e) 1/9 - 3/5 =
11. Calcule: a) 7/8 + 9/2 + 1/3 = b) 1/5 + 4/7 + 4 =
c) 9/4 + 2/5 + 1/7 = d) 5/6 + 2/7 + 6 =
e) ¾ + 2 + 6/7 =
12. Calcule: a) 7/8 - 9/2 - 1/3 = b) 1/5 - 4/7 - 4 =
c) 9/4 - 2/5 - 1/7 = d) 5/6 - 2/7 - 6 =
e) ¾ - 2 - 6/7 =
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS REAIS
A potência 53 significa um produto de três fatores iguais a 5. expoente
53 = 5.5.5 = 125
base
Para todo número real a e para todo número inteiro n:
1)a = a. a. a… a, sen > 1
2)a = a, sen = 1
3)a = 1, sen = 0
4)a( = )�* , n < 1,� ≠ 0
•••• Propriedades Para todos os números reais a e b e para todos os números inteiros m e n:
1. �.. �. = �/..
2. ��./= �/(., � ≠ 0
3. 0�/). = �/..
4. 0�/). = �.. �.
n vezes
Introdução ao Cálculo
5. ����.= �.�. , � ≠ 0
1. Calcule cada potência
a)81R64b)35R243c)0−3)7R − 27d) − 010°R � 1e � 041)R − 16f0�61R362. Simplifique as expressões a seguir:
a � 081 � 0�81 � 2)b) − 03:) � 47
c)4 �−32�1− 8 ��12�
7
d) − 02°) � 0−2°e ;<
�(=<�<(�>?�
>
f) −061)0−47 � 41
g 51 � 410�37 � 27
h 0�37 � 0�3:37
i301: D27. 21 � 091: 31 �j4: � D96:021. 3 � 81: 8l21. 37 � D111 � 03.7. 1)HHm121 � 127: D091 � 1: 10n36 � 37
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EXERCÍCIOS (1)
g��32�1 R 94 h10°R1 i0�10°R1 j0�2:R16 e � 02:R � 16 m01,51R2,25
2. Simplifique as expressões a seguir:
R−2 R−17
� R10 R1
R 32
R 34
R�935
R2 � 2. 31 � 1JR30 8J2:R0
)HHJ � 27R16 10J. 7R18 R63
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Introdução ao Cálculo
o101: 5 � 57. 5 � 61: 31p100031 � 1 � 21057 �q67: 31: 21 � 2r2D107: 51 � 071 � 31: 10s324: O39: D131 � 13.3.4: 3. Calcule cada potência a4(1R 116 b1(5R1c9(1R );) d�):�() R4 e��56 �(1 R 3625 f0�3()R �13 4. Simplifique as expressões a3() � 2(7R 51:
b � �()5 �() � �()5 �(1 � �(c :P<1P>Q;P> R ))H
dRP>Q7P<7P= R6
e )HH°)(�><�P= R ()S
f1(�>?�P<0(H,T° R � 14
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R41 0 � 5R41
R4 10J: 9R8 : 0101 � 11.9J6U: 18R1
g0�0,2(1R25 h��32 � R�23 i )H:P> R40
j TP<7P< R ):
l 2(:8(1 R4
m 9(13(: R1
4. Simplifique as expressões
�()5 �(7 R105
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Introdução ao Cálculo
5. Sabendo que a = 4, b = -
a8a1R128c � 0VTR �164 e2W1 � W�34 R 98 g4 � b1R0i1 � a7R � 63
6. Calcule x, sabendo que:
a3(:V() � 2R � 1627. Resolva o sistema de equações:
8. Calcule
a� Vy1�() R � W1V
b0�V7:0V1R � V
cV:. W5: V7R � V. W5
dD03c72]2 R � 81c)1
1) Calcule as seguintes potências:
a3: � d0T � g��23�7 � j0�0,5° �
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2, V � )1e y = (7: , calcule o valor de cada expressão algébrica
b � 467d � 2W1f2V1 � 3Vh1 � 0�a7
b 4(72V() � 2(TR � x2c 32V() � �27. Resolva o sistema de equações: Y V() � W() � 714V() � 5W() � 7Z R (2,1)
EXERCÍCIOS (2)
1) Calcule as seguintes potências:
b25 � c1: �e0�2: � f�24�h5° � i02,43k17) � l01,45
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, calcule o valor de cada expressão algébrica
R32
R �98
V � 2R0
7R65
� 32V�() � 130R � 60
R (2,1)
�
� �7 �
0 43° �
0 45) �
Introdução ao Cálculo
m0�5) � p0�3(1 � s��23�() � v�13�(1 � 2. Neste exercício é importante ir observando os resultados após os cálculos! Portanto, resolva: a2T � d0�25 � g37 � j�� 14�() � 3. Para resolver as potências a seguir assim erros com sinais: a�27 � d�57 � g�0�31 � j 10�2(1 � 4. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso):
05(T. 5T � 1025: 27 � 110 127 � 31 � 2(7 � 3(1071 � 77 � 75
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n�� 47�) � o3()q2(: � r�23�(t ��34 �() � u�15�w0�0,75(1 �
2. Neste exercício é importante ir observando os resultados após os cálculos! Portanto,
b0�2T � c2e31 � f0h0�37 � ik �23�() � l
3. Para resolver as potências a seguir é preciso fazer cada cálculo passo a passo, evitando
b�31 � ce�51 � fh � 0�51 � ik 10�3(: �
4. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso):
06(1. 65 � 6)H077: 75 �037. 35 � 950 5()7() � 750πS(7 � 1
π7() 00π � 300351 � 3S00271 �
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�
� �(1 �
� �() �
2. Neste exercício é importante ir observando os resultados após os cálculos! Portanto,
25 �
0�31 �
i0�4() �
��23�() �
é preciso fazer cada cálculo passo a passo, evitando
c�47 � f � 0�27 �
i � ��54�7 �
l 10�2(5 �
� 7(5. 71 757
(1 � π(1 � 3(1
� 27<
Introdução ao Cálculo
5. Simplifique as expressões, usando sempre que possível as propriedades da potência:
a02VW17 �b03VW1. 02V1W7 �c05ab11. 0a1b7 �
6) Simplifique as expressões:
a 3 Q1 � 3 3 Q) � 3 () 7. Usando potências de mesma base, e as propriedades das potências, resolva:
a) �34�5 .(0,75)
-2
=
b) 5/Q1: 5/() �
c) �><�=�>?�= .16 =
8. Transforme em radical:
� 391 �
� 316: �
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5. Simplifique as expressões, usando sempre que possível as propriedades da potência:
d9V1W1�3VW �
e` 16ab:�8a1bSa � 6) Simplifique as expressões:
b21 Q) � 4 21 c27. Usando potências de mesma base, e as propriedades das potências, resolva:
d) 2/Q).2/Q1:4/()=
e) (0,25(). �14�: =
�1024H,: �
b625(H,15 �
,�4c (T:
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14
5. Simplifique as expressões, usando sempre que possível as propriedades da potência:
2 Q) � 2 (12
7. Usando potências de mesma base, e as propriedades das potências, resolva:
=
�
�141 �
(1T:= �
Introdução ao Cálculo
A operação inversa de elevar a uma potência é extrair uma raiz. Assim, como 7dizemos que 7 é uma raiz cúbica de 343. Ou, então, 2
Para todo inteiro n > 1, um número Notação: Raiz enésima de índice
Radical ← √� →g radicando
1. Se não indicamos o índice no radical, estamos significando a raiz quadrada. 2. Os números negativos não têm raízes quadradas no conjunto do 3. Simplificação de radicais
4. Potenciação e Radiciação
4.1 h√�g i/ � √�/g , n é inteiro e positivo,
4.2 j√�gk � √�k.g ,m e n são inteiros positivos e
5. √�/g � �kg , a é um número real positivo, positivo.
6. lmng � √mg√ng , se ≥ 0 e b > 0
7. √�. �g � √�g . j�,g a ≥ 0 e b ≥ 0
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RADIAÇÃO DE NÚMEROS REAIS
A operação inversa de elevar a uma potência é extrair uma raiz. Assim, como 7dizemos que 7 é uma raiz cúbica de 343. Ou, então, 25 = 32 e 2 é raiz quinta de 32.
> 1, um número x é uma raiz enésima de um núm
Raiz enésima de a é indicada:
índice
radicando
OBSERVAÇÃO
1. Se não indicamos o índice no radical, estamos significando a raiz quadrada.
negativos não têm raízes quadradas no conjunto dos números reais.
Simplificação de radicais.
√�/g � √�/.og.p
√�/g � √�/:og.p
4. Potenciação e Radiciação
é inteiro e positivo, m é inteiro e a é número real positivo.
são inteiros positivos e a um número real positivo ou igual
é um número real positivo, m é um número inteiro,
≥ 0 e b ≥ 0
; � r 0
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15
A operação inversa de elevar a uma potência é extrair uma raiz. Assim, como 73 = 343, = 32 e 2 é raiz quinta de 32.
é uma raiz enésima de um número a, se xn = a
1. Se não indicamos o índice no radical, estamos significando a raiz quadrada.
números reais.
é número real positivo.
um número real positivo ou igual a 0.
é um número inteiro, n, um número inteiro
Introdução ao Cálculo
�√25R5�,√125= R5cs � √121R � 11t2. Simplifique as expressões numéricas �3 � √�27= R6b√100 � √64√100 � 64 R 13 uh√16? i:R16 3. Calcule o valor de cada expressão �l� � √�. �= , � � �2, � �� � vw�x3�7 � �y2�1 � y2=
4. Determine o valor de x: �j2;z � √2{= R4�√27| � √3{= R1�√64? � √4{=< R24b√729} � √243>~ R18
5. Coloque em ordem crescente os números reais:
√2,= 1, √3? , √5z R1 + √�6. Expresse cada produto na sua forma mais simples �√3. √3R3
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EXERCÍCIOS (1)
√27= R3�√1� R1√81� R3u√�128� R � 2w278= R 32 � � w1681? R �23
2. Simplifique as expressões numéricas
�6 � √�1| R5�√~, √25 � 16j25 � √16 R3c √
?√~�h√64z iTR64
3. Calcule o valor de cada expressão
� 4,� � 9R � 2 � vw�x3�7 � �y2�1 � y2= p � 0, q � �216
5. Coloque em ordem crescente os números reais:
√2� + √5z + √3?
6. Expresse cada produto na sua forma mais simples
uh3√2i �73√12�
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16
b√�1~ R � 1
�√0z R0
� � √64z R � 2
√32~ � √81? R � 1 √256?√243~ R 43
R � 6
R14√6
Introdução ao Cálculo
�h√5ih3√5iR15��23√7� �98√7� R 214 bh√13ih√13iR13,h√3ih2√6iR6√2ch√15ih√3iR3√57. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números positivos:
�j�7Ra√��j�T? Ra√��jV5RV1√V,j12�1R2a√3cj243�5~ �;R3a�5j�uj18W1R3y√2��� j54�7�:= R3�1√2=
8. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números reais positivos.
��()1 √�� h6√�i√�7 �2jV1Wh3jWi5√V ��7:√��7� �)16√�7�7�71√��
b`l7m: a`l :7ma√2�
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�h2√2ih√7i �32√14� sh√2i �12√24� th�2√2ih√3i �32√12� �h√5ih√6ih3√3i�h√2i�12√3� h�2√3i
7. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números positivos:
sj48�:t2� j�:= � 13� j27�:� 2VW jV5W:?
j�7� 4��j81�1�7� 12� j32�7? 2�
8. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números reais positivos.
R �3√�� R 6W√V5
� R ��1√��4
R √2�2�
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17
� R42
R2√3
� R � 18√2
R9√10
i R � 3√2
7. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números positivos:
R4�1√3
R2√�=
Ra√3
R2√V?
7R36√��
R2√2�
8. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números reais positivos.
Introdução ao Cálculo
9. Relacione os denominadores
� 1√2= R √4=2 �w 425= R √20= 5 ,w 964� R √6z2
10. Relacione os denominadores. As variáveis representam números reais positiv
� �√�= Rj�1= � 2WjW? R2jW5? � V1√VS>� R2 jV7>� 11. Simplifique
�10√5� 8√5�10√10 � 6√5� 2√10�12√3 � 34√3 � 2√2b√322 �√50,32√27 � √752 c√150 � √962 u11√108 � 17√98 � √12
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9. Relacione os denominadores
� 6√37~ R2√9~ bw 332z R √6z2
10. Relacione os denominadores. As variáveis representam números reais positiv
bw 2�5z R √2�z �
,w 58�;~ R √20�1~ 2�1
cVWw 1V1W1= RjVW=
R18√5 10 � √5R12√10 � 7√5 R �14 √3 � 2√2 R � 3√2 R7√3 R √62
12 � √8R√3 � √2
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18
10. Relacione os denominadores. As variáveis representam números reais positivos.
Introdução ao Cálculo
�4w23 � w32 sw34 � w43 � 15√75tw92 � 3w29 � w12 12. Simplifique as expressões. As variáveis são números reais positivos.
�w�764 � �736 �√8 � 2√2 �W7w VW5 � 2W7 jVWSb�√2 � 1√2� : √36 ,�√242 � 2�1w50�1 c2jVS~ � 2� jV)1~ 13. Calcule as expressões:
�h√10i1R10��j121= � R144�h√3? i)1R27b�12√8�7 R2√2
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R 5√66
R √36
R2√2
12. Simplifique as expressões. As variáveis são números reais positivos.
R 5�√�24 R3√2 R3jVW R√6 R21c√2 R4xjV1~
,h�√7i7R � 7√7 ch2√8i7R128√2 uh2√125i7R5000√5
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19
12. Simplifique as expressões. As variáveis são números reais positivos.
Introdução ao Cálculo
14. Calcule o valor de cada expressão:
�6�1, � � 2√2�V79 , V � √27�W1 � 4j2W � 8, W � �√b4V1 � 4√3V � 3, V � √2,3�1 � 7√3� � 5, � � �15. Simplifique as expressões. As variáveis apresentam números reais positivos:
�h3�√�i7 � 2�7 `�l)ma5��7�l√2433√3? �2�5 `l ��7a7 � 1�7�1 h√��bl√7= ,l9√3c2√27h3 � √3ih3 � √3uh√2 � 2i1�h√3 � 4√2ih√3 � 4√2sh√8 � √27i1t`1 � √24 a`1 � √24 a �h√7 � √3i1 � h√7 � √3�h3√7 � √5i1 � h3√7i√140
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14. Calcule o valor de cada expressão:
R48
R9√3
√2R18 √32 R0
�√33 R3
Simplifique as expressões. As variáveis apresentam números reais positivos:
l a7 R5√�
h ��iR3c√��
R√7z
R3√3?
3iR36√3
R6 � 4√2
2iR6 � 29
R35 � 12√6
a R 78
3i1R20
h i1 � h√5i1 R3
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20
Simplifique as expressões. As variáveis apresentam números reais positivos:
Introdução ao Cálculo
� 41 � √2 � 41 � √2 �1 � l)11 � l)1
�2 � l7:2 � l7:
16. Expresse o produto √8.17. Calcule
�27<=R9�4><R2�125P>= R )5 b16=?R8,81P=? R )1S 18. Calcule o valor de cada expressão:
a) � 1S)15�P<= � 16><b) 4>< � �)T15�(½ �)T15� c) 35>< � � );)�(H,S5 � 0d) 81H,)T. 81H,HRe) 9P>< � � )T15�P>? � 32f) 4H,75. 4H,)5
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R � 8√2
R � 3 � 2√2
R 19 � 8√313
. √32� através de uma única potência de base 2. R 2
c36=<u100(H,5�� ))T�(=? � ))T�
s � ))T� <?= � )1S� t243(H,T
. Calcule o valor de cada expressão:
R ())R � R )7: 00,001P>= R23 R3
32(H,:R (57)1 R2
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21
através de uma única potência de base 2. R 2)S;
R216 R 110
� R 8
� R )R
R )1S
Introdução ao Cálculo
•••• Definição: Fatorar é transformar equações álgebras em produtos de duas ou mais expressões,
chamado de fatores. Ex.: ax + ay = a (x + y) Existem vários casos de
1) Fator comum em evidências Ex.: i) ax + ay – az = a
ii) 2 x2 - 4xy = 2x
2) Agrupamento:
É o método pelo qual significamos uma semelhantes (termos em comum). Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidências.
Observe no exemplo a seguir: 4x
2 + 8x + 6xy + 12y Termo em comum em cada agrupame 4 x (x + 2) + 6y (x + 2) Colocamos novamente em evidências, pois os termos 4
comum.
(x + 2) [4x + 6y] = (x + 2) (4x
Exemplo (1): 2xy - 12x + 3by
Exemplo (2): 6x
2b + 42x
2- y Exemplo (3): x2- 10x + xy - 10y Exemplo (4): a3
b + a2 + 5ab
Exemplo (5): 2 xy - 4x + 3xy
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FATORAÇÃO
é transformar equações álgebras em produtos de duas ou mais expressões,
)
Existem vários casos de fatoração como:
Fator comum em evidências - Quando os termos apesentam fatores comuns
a (x + y - z), forma fatorado.
x (x -2y), forma fatorado.
o método pelo qual significamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum). Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidências.
Observe no exemplo a seguir:
Termo em comum em cada agrupamento:
+ 2)
Colocamos novamente em evidências, pois os termos 4x e 6y
x + 6y)
by - 18b
y2b - 7y
2
10y
ab3 + 5b
2
xy - 6x + 4xy - 8x
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22
é transformar equações álgebras em produtos de duas ou mais expressões,
Quando os termos apesentam fatores comuns:
expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum). Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos
possuem termos em
Introdução ao Cálculo
3) Fatoração por diferenças de quadrados
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferençasimplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.
Ex.: x2- 9 = (x + 3) (x - Ex.: a2 - b2 = (a + b) . ( Ex.: 16a
2 - 1 = (4a + 1) . (4 4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios (
porque são obtidos quando se eleve ( (a + b)2 = a2 + 2ab + b Assim temos: Veja que 12 x y = 2(2x
Logo 4x
2 - 12 x y + 9y2
5. Outros casos de fatoração a) x2 + y3 = (x + y) (x2 – xy + b) x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y
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Fatoração por diferenças de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferençasimplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.
3)
) . (a - b)
+ 1) . (4a - 1)
Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chamatrinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios (a2 + 2ab + b2) e (a2- 2ab + b
2) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleve (a + b) e (a - b) ao quadrado respectivamente.
b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
x) (3y)
2 = (2x - 3y)2
Outros casos de fatoração:
+ y2)
y2)
2x 3y
j4V1
4V1 � 12VW � 9W1
j9W1
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23
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença,
ao quadrado chama-se
) são quadrados perfeitos ) ao quadrado respectivamente.
Introdução ao Cálculo
Relações: muitas vezes temos necessidade de trabalhar com conjuntos cujos elementos são
pares ordenados de número reais que iremos denotar por (representados geometricamente
O referencial acima divide o plano quatro, formando os quadrados no sentido anti
Os eixos dados são números reais uma relação entre
um y é chamada de função, denotada por
Os pontos do eixo x assumidos por
y tal que y = f(x) representam a imagem. Notação: domínio de Imagem de f = Im(f) = {Onde y = f(x)}
1. Localize os pontos dados no sistema de ei a) (2,3) b) (-1,4) c) (0,2) d) (-2,0) e) (-3, -5)
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SISTEMA DE EIXO DE DUAS VARIÁVEIS
: muitas vezes temos necessidade de trabalhar com conjuntos cujos elementos são pares ordenados de número reais que iremos denotar por (representados geometricamente pelo sistema de eixo cartesiano.
O referencial acima divide o plano quatro, formando os quadrados no sentido anti
Os eixos dados são números reais uma relação entre x e y, tal que associa a cada
é chamada de função, denotada por f: R R.
assumidos por f são os elementos do domínio e os pontos do eixo ) representam a imagem.
Notação: domínio de f = dom (f) ) = {y e R; d x e R
1. Localize os pontos dados no sistema de eixo:
f) (5,0) g) (0,-4) h) (1, -3) i) (5,3)
I
0,0
II
III IV
y = ordenada
(0,0)
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24
: muitas vezes temos necessidade de trabalhar com conjuntos cujos elementos são pares ordenados de número reais que iremos denotar por (x,y) e são
pelo sistema de eixo cartesiano.
O referencial acima divide o plano quatro, formando os quadrados no sentido anti-horário.
tal que associa a cada x somente
são os elementos do domínio e os pontos do eixo
x = abscissa
Introdução ao Cálculo
FUNÇÃO POLINOMINAL DO 1º GRAU (RETA)
A identificação de uma reta é uma tarefa fácil do ponto de vista geométrico, mas
algebricamente? A seguir, faremos esse cálculo partindo do princípio geométrico que “por dois pontos uma reta está bem definida”.
∝ = ângulo que a reta faz com o eixo positivo de
C.O = cateto oposto ao ângulo
C.A = cateto adjacente ao ângulo
Desenvolvendo (1) tg
Chamamos de tg∝ = m, definido como coeficiente angular da reta
Assim m =�(�1
�(�1
(2)
Pela igualdade de frações: 0� � �1. 1 � �0���� � �1 � �� � ��1
Isolando y, obteremos
� � �� � � denotada por equação reduzida da reta (Observe que na forma reduzida, o coeficiente de Na notação de função, vamos ter 3 na forma f (x) = mx + b, onde y
Referente ao sistema de eixo, vamos ter quatro posicionamentos:
tg∝ �.��.�
x-x1
y
y1
∝
∝
x1 x
y-
y
y
∝= 0
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FUNÇÃO POLINOMINAL DO 1º GRAU (RETA)
A identificação de uma reta é uma tarefa fácil do ponto de vista geométrico, mas algebricamente? A seguir, faremos esse cálculo partindo do princípio geométrico que “por dois pontos uma reta está bem definida”.
= ângulo que a reta faz com o eixo positivo de x.
C.O = cateto oposto ao ângulo ∝
C.A = cateto adjacente ao ângulo ∝
tg∝ =�(�1
�(�1
=∆�∆�
= m, definido como coeficiente angular da reta
Pela igualdade de frações: �
1=
�(�1
�(�1
obteremos 0 �1 obteremos � � �� � �1 � ��1 chamando � �
denotada por equação reduzida da reta s.
(Observe que na forma reduzida, o coeficiente de x é o “coeficiente angular” da reta)
Na notação de função, vamos ter 3 na forma
y = f (x)
Posicionamento
o sistema de eixo, vamos ter quatro posicionamentos:
-y1
x
s (notação para reta)
3
1
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25
A identificação de uma reta é uma tarefa fácil do ponto de vista geométrico, mas é algebricamente? A seguir, faremos esse cálculo partindo do princípio geométrico que “por
= m, definido como coeficiente angular da reta s.
�1 � ��1 finalizamos
é o “coeficiente angular” da reta)
o sistema de eixo, vamos ter quatro posicionamentos:
Introdução ao Cálculo
4
∝ .
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4
x
2
∝
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26
Introdução ao Cálculo
1) 0º < ∝ < 90º → tg∝2) 90º < ∝ < 180º → tg
3) ∝ 0º → tg0º = 0 →
4) ∝ = 90º → tg90º ∄
1. Determine a equação de cada reta que passa pelos pontos indicados e faça um esboço do seu gráfico no sistema de eixo. a) (0,3), (-1,1)
b) (1,1), (-2,4)
c) (2,3), (-1,3)
d) (-4,1), (-4,0)
Solução: a) Passo 1: calcule m fixando ( (0,3), (-1,1)
x y x1 y1
Assim m =1-3
-1-0=
-2
-1 = 2
Passo 2: escolha um dos pontos dados ((0,3) ou (
coeficiente angular m = 2 e substitua na
2
1=
� � 1
� � 0�1 → 0� � 1. 1 �� � 1 � 2
Esboço
(0,3)
1
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∝ > 0 → Reta é inclinada para a direita.
tg∝ < 0 → Reta é inclinada para a esquerda.
→ Reta é horizontal (função constante) ∄ → Reta é vertical
EXERCÍCIOS (1)
1. Determine a equação de cada reta que passa pelos pontos indicados e faça um esboço do seu gráfico no sistema de eixo.
fixando (x,y) e (x,y)
Passo 2: escolha um dos pontos dados ((0,3) ou (-1,1)), um ponto genético: (
= 2 e substitua na expressão (2) � � y(y1
x(x1
� 20�� 1 2� � 2 → � � 2� � 3
(0,3)
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27
1. Determine a equação de cada reta que passa pelos pontos indicados e faça um esboço do
1,1)), um ponto genético: (x,y), o
Introdução ao Cálculo
b) � � �(�1
�(�1
� 4(1(2(1� 3(3
�Escolhendo (1,1), vamos obter 0�� 1. 1 � �10�� 1 � � 1 � ��� 1
� � �� � 2
Esboço
c) � � �(�1
�(�1
� 3(3
2(0(1 � 0
3�
Escolhendo (2,3), vamos obter 0�� 3. 1 � 0. 0�� 2 � � 3 � 0 � � 3 → função constante
Esboço
d) � � �(�1
�(�1
� 1(0(4(0(4
-2
4
-1
3
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�1
Escolhendo (1,1), vamos obter (1
1� �(1
�(1→
0
Escolhendo (2,3), vamos obter � 0
1� �(3
�(2
função constante �0� � 3, ∀� (para todo x)
� 1
0∄
y = 3
2
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28
Introdução ao Cálculo
De fato m = tg 90º ∄Retas horizontais → y é constante, então para retas verticais ∀ y. Esboço
Observe que a reta x
origem é um par (0,0)
2. Faça o mesmo para os seguintes pares de positivos: a) (-1,2), (3,2)
b) (4,1), (-2,4)
c) (0,5), (0,3)
d) (2,-1), (3,-2)
e) (1,3), (5,4)
3. Identifique as funções, do 1º grau e esboceas a) 2�� 3� � 4 � 0
b) 4� � � � 2Rd)
�
�� 4�� 3� � 0
c) �� � � � 4� � 1
d) �
�� 4�� 3� � 0
e) �2 � 2�� � � 4
f) 2� � 1 � 0
g) 4� � 6 � 1
y
x
x = -4
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∄. Para determinar a equação, vamos usar o seguinte argumento.
é constante, então para retas verticais → x é constante. Assim
x = 0 coincide com o eixo y e a reta y = 0 coincide com o eixo
2. Faça o mesmo para os seguintes pares de positivos:
as funções, do 1º grau e esboceas
R� � � � � � �
x
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29
. Para determinar a equação, vamos usar o seguinte argumento.
é constante. Assim x = -4,
= 0 coincide com o eixo x. A
Introdução ao Cálculo
4. Determine a posição de cada reta através da identificação do coeficiente angular
�3�� 6�� 2 � 0R��2�� � � 1 � 0R�� � 5� � 4�� 2 � 0R���� 3 � 2R��2�� 5 � 0R���� � � 0R���� � � 0R�� � 3� � � � 1 � 0R�
•••• Definição:
A raiz ou zero da função do 1º grau é o número real associado ao ponto em que o gráfico da função intercepta o eixo
Ex.: Dada a reta 2x + 4
cartesiano:
Sol: fazendo y = 0 na equação, 2
intercepta o eixo x. Para traçar a reta é necessário outro ponto. Fazendo
4. � � 1 � 0 → 4� � 1 →
O sinal de y depende da raiz da equação (valores à direita da raiz, todo valor que a esquerda da raiz, y será positivo. Faça o teste:
�� � 1 → 2.1 � 4�
(0,¼)
(½,0)
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4. Determine a posição de cada reta através da identificação do coeficiente angular
� � �1
2
� ��2 � �5
4
�∄ � � 0 � � 1 � � �1 � � 3
RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
A raiz ou zero da função do 1º grau é o número real associado ao ponto em que o gráfico da função intercepta o eixo x, ou seja (x,0), y = 0
+ 4y -1 = 0, determine a raiz e trace seu gráfico no sistema de eixo
= 0 na equação, 2x + 4. 0 –1 = 0 2x = 1 → x = 1
2.
Para traçar a reta é necessário outro ponto. Fazendo → � � 1
4 obtendo mais um ponto �0, 1
4�
Sinal de y = (x)
depende da raiz da equação (x0) e sua inclinação. Observa que para valores à direita da raiz, todo valor que x assume, resulta em y negativo. Enquanto
será positivo. Faça o teste:
� 1 � 0 → 4� � �2� 1 → 4� � �1
x y
0
1
2
1
4
0
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30
4. Determine a posição de cada reta através da identificação do coeficiente angular
A raiz ou zero da função do 1º grau é o número real associado ao ponto em que o
1 = 0, determine a raiz e trace seu gráfico no sistema de eixo
Assim, o ponto �1
2, 0�
Para traçar a reta é necessário outro ponto. Fazendo � � 0 → 2.0�
0) e sua inclinação. Observa que para
negativo. Enquanto que para
Introdução ao Cálculo
� � �1
4
�� � �1 → 20�14� � 2 � 1 → � � 3
4
Na forma reduzida, vamos obter um coeficiente angular negativo, confirmando a
inclinação para a esquerda:
� � �2�
4� 1
4→ � � ��
2�
1. Determine o sinal de cada função linear: �3�� � � 2 � 0�2�� � � 3 � 0��� � � 1 � 0�5�� 2�� 4 � 0
+
�0, 14�
�14 , 0�
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0 � 4� � 1 � 0 → �2 � 4� � 1 � 0
reduzida, vamos obter um coeficiente angular negativo, confirmando a
inclinação para a esquerda: 4� � �2�� 1 → � � 2�Q1
4
1
4, � � �1
2
EXERCÍCIOS (2)
1. Determine o sinal de cada função linear:
��� 3�� 6 � 0 � � � � 4� � 3 � 0 �2�� � � 1 � 0 �6�� � � 3 � 0
-
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31
reduzida, vamos obter um coeficiente angular negativo, confirmando a
Introdução ao Cálculo
FUNÇÃO POLINOMINAL DO 2º
Considere três números reais
dados pela fórmula �0� �quadrática. O gráfico é uma curva plana chamada de parábola que faz part(curvas resultam do corte do cone).
Em relação ao sistema de eixo, vamos obter seis posicionamentos dessa curva que
dependem do sinal de a (a≠0)
(i) a > 0 → côncava para cima
(ii) a < 0 → côncava para baixo
Assim vamos obter curvas com:
(i) 2 raízes reais e diferentes (intercepta o eixo (ii) 2 raízes reais e iguais (intercepta o eixo
y
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FUNÇÃO POLINOMINAL DO 2º GRAU (RETA)
Considere três números reais a, b, e c, com a ≠ 0. Uma função cujos os valores são 0 � ��2 � �� � � é chamada função polinomial do 2º grau ou função quadrática. O gráfico é uma curva plana chamada de parábola que faz part(curvas resultam do corte do cone).
ao sistema de eixo, vamos obter seis posicionamentos dessa curva que ≠0)
côncava para cima
côncava para baixo
Assim vamos obter curvas com:
(i) 2 raízes reais e diferentes (intercepta o eixo x em dois pontos distintos)(ii) 2 raízes reais e iguais (intercepta o eixo x em dois pontos iguais)
x
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ão cujos os valores são
é chamada função polinomial do 2º grau ou função quadrática. O gráfico é uma curva plana chamada de parábola que faz parte das cônicas
ao sistema de eixo, vamos obter seis posicionamentos dessa curva que
em dois pontos distintos) em dois pontos iguais)
Introdução ao Cálculo
(iii) não existe raiz real A fórmula da raiz (x.0):
� � �� � √∆2�
, ∆� �2
O vértice é calculo por:
O sinal de y depende da concavidade e das raízes.
Exemplo: construa o
Solução: a = 1 → a função é côncava para cima b = 3 c = -4
Para determinar se existem raízes, vamos calcular ∆�032 � 4010�4∆& 0 → (i) 2 raízes reais e
� � (3�√25
2.1 �1�P3�
2
�2�P3P5
2
Para determinar o vértice
Construção do gráfico:
(-4,0)
3/2
-
+
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(iii) não existe raiz real (não intercepta o eixo x)
.0):
2 � 4��� ∆& 0 → 0�∆� 0 → 0��∆+ 0 → 0���Z O vértice é calculo por: �(�
2�, (∆
4�� que é máximo 0� + 0 ou mínimo
depende da concavidade e das raízes.
Exemplo: construa o gráfico da função � � �2 � 3� � 4, identifique seu sinal.
a função é côncava para cima → vértice é mínimo.
Para determinar se existem raízes, vamos calcular ∆� �2 � 4�� 0 � 9 � 16 � 25 (i) 2 raízes reais e distintas.
�5�1→01,05�(4→0(4,0
Para determinar o vértice � �(3
2.1 , (25
4.1 � � �(3
2, (25
4�
Construção do gráfico:
+ (1,0)
3/2
�254
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ou mínimo 0� & 0 identifique seu sinal.
vértice é mínimo.
Introdução ao Cálculo
Para analisar o sinal, use o diagrama
Para verificar o sinal de compare o que o diagrama informa.
1. Faça o mesmo para as seguintes funções:
�� ��2 � 1
�� � �2
�� � � � �2
�� � 2�2 � 3�� 4
�� � 2�2 � 2
�� � 0� � 22
�� � �03�� 132
�� � 2� � �2
�� � ��2 � 3
2. O vértice da parábola � �R� � �3, � � 10
3. Determine m e n para que os pares ordenados
�0� � �0�� 32 � ��4. Determine o conjunto solução das inequações:
��2 � 3� r 0�� & �
2�2�
2 � 5� + 0
-4
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o sinal, use o diagrama
Sinal de y
Raízes
Para verificar o sinal de y, dê valores nos intervalos � + �4
compare o que o diagrama informa.
1. Faça o mesmo para as seguintes funções:
� �2 � 0�� 1� � � é o ponto (2.6). Calcule
para que os pares ordenados 03,10, 0�1,2 � � (1
2, � � 10
4. Determine o conjunto solução das inequações:
�10� � � 2�2 r 0 �2 r 3� � 2�
2 ��2 � 2� & 2
1
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4, �4 + � + 1, � & 1 e
é o ponto (2.6). Calcule m e n.
pertençam à função
Introdução ao Cálculo
� � 2�2 � 10� � 0
�1 & �2
� � �2 � 16 r 0
�2�2 � 16
� � �2 r �49
��2 � 5� � 6 & 0��2 � 5� � 4 � 0� � 2�
2 � 5� + 2�2�
2 � 5� & 3 Sugestão: estude o sinal da equação do 2º grau e identifique o intervalo que pede a questão:
Ex.: �2 r 3� � 2�2 ou seja
0 r 2�2 � 3� � 2
Função do 2º grau �
a = b → côncava para cimab = 3 c = -2 Raízes ∆� 032 � 4∆� 9 � 16 �
� � (3�√25
4 �
1�P�
2�P3P4
Usando o diagrama:
Intervalo onde �0�
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�V0V � 4 � 1 �4V2 � 4V � 1 & 0 ��2 � 2� � 1 r 0 � � 4�2 � 12�� 9 +� � �
2 � 1 & 0 �4�2 � � � 1 & 0 � � �
2 � � � 1 � 0 �02�� 12 & 4 �04� 3�2 � 16
Sugestão: estude o sinal da equação do 2º grau e identifique o intervalo que pede a questão:
ou seja
�0� � 2�2 � 3�� 2
côncava para cima
4020�2 � 25
P3�5
4�2
4�1
2
P5
4�P8
4�(2
Usando o diagrama:
0 � 0: �2 + � � 1
2
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0
Sugestão: estude o sinal da equação do 2º grau e identifique o intervalo que pede a questão: