introdução aos experimentos fatoriais blocagem – cap. 5 (5.6)
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Introdução aos experimentos fatoriais
Blocagem – cap. 5 (5.6)
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Blocagem em um experimento fatorial: modelo
• Considere um experimento fatorial a dois fatores (A e B) com n replicações. O modelo estatístico linear para esse experimento é:
1,2,...,
( ) 1,2,...,
1, 2,...,ijk i j ij ijk
i a
y j b
k n
Suponha que para uma realização um material particular é exigido e que esse material está disponível em lotes que não são suficientementegrandes para permitir que todas as abn combinações de tratamentos sejamrealizadas com o mesmo lote.Porém, se um lote contém material suficiente para ab realizações, então um plano alternativo é rodar cada uma das n replicações usando um lote diferente de material.
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Blocagem em um experimento fatorial: modelo
• Consequentemente, os lotes de material representam uma restrição em aleatorização ou um bloco, e uma replicação de um experimento fatorial completo é realizada para cada bloco.
• O modelo de efeitos para esse novo plano é:
nk
bj
ai
y ijkkijjiijk
,...,2,1
,...,2,1
,...,2,1
,)(
com k representando o efeito do k-ésimo bloco.Dentro de cada bloco, é claro, as realizações são feitas de modo completamente aleatorizado.
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Tabela ANOVA
FV SQ gl QM F
Blocos n-1 QMBl --
A a-1 QMa
B b-1 QMb
AB (a-1)(b-1) QMab
Erro Diferença (ab-1)(n-1) QMe --
Total abn-1 -- -- abn
yyijk
2...
i
i abn
yy
bn
2...2
..
1
k
k abn
yy
ab
2...2
..
1
j
j abn
yy
an
2...2
..
1
i j
BAij SSSSabn
yy
n
2...2
.
1
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Blocagem
• O modelo assume que a interação entre blocos e tratamentos é desprezível. Isso foi suposto anteriormente na análise dos planejamentos em bloco aleatorizados. Se essas interações de fato existem, elas não podem ser separadas da componente de erro.
• De fato, o termo de erro nesse modelo consiste das interações entre cada fator principal e bloco e entre os três (fatores A, B e bloco).
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Exercício 19O resultado de um processo químico está sendo estudado. Os dois fatores de interesse são temperatura e pressão. Três níveis de cada fator foram selecionados.Porém, somente nove realizações podem ser feitas num dia. O experimentadorrodou as replicações em dias diferentes. Analise os dados, supondo que os diassão blocos.
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y=read.table("e:\\dox\\procquim.txt",header=T)pr=as.factor(y$Pressure)temp=as.factor(y$Temperature)bloco=as.factor(y$dia)modeloB=y$Yield~pr+temp+pr:temp+blocofitB=aov(modeloB)
fv gl SQ QM F value Pr(>F) pr 2 5.508 2.754 5.1838 0.035988 * temp 2 99.854 49.927 93.9807 2.778e-06 ***bloco 1 13.005 13.005 24.4800 0.001124 ** pr:temp 4 4.452 1.113 2.0952 0.173314 Residuals 8 4.250 0.531 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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Perfis das médias por combinação de níveis apresentam paralelismo,confirmando a não-rejeição da hipótese de ausência de efeito deInteração entre temperatura e pressão.
80
82
84
86
88
90
92
94
250 260 270
Low
Medium
High
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Experimentos fatoriais 2k – Cap. 6
• Os experimentos fatoriais são muito usados em experimentos envolvendo vários fatores para os quais é necessário estudar o efeito conjunto dos fatores sobre a resposta.
• No capítulo 5 apresentamos métodos gerais de análise do experimento fatorial.
• Existem casos especiais do experimento fatorial geral.• O caso mais importante, entre os especiais, é o de k fatores cada
um com apenas 2 níveis.• Os níveis podem ser quantitativos ou qualitativos.• O plano 2k é particularmente útil nos estágios iniciais do trabalho
experimental, quando muitos fatores deverão ser investigados.• Ele fornece o menor número de realizações com o qual k fatores
podem ser simultaneamente investigados em um planejamento fatorial completo.
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Experimentos fatoriais 2k
• Consequentemente, esses planos são muito usados em experimentos chamados factor screening experiments (filtragem, peneiramento de fatores).
• Como há somente dois níveis para cada fator, supõe-se que a resposta é aproximadamente linear sobre a variedade de níveis dos fatores escolhidos.
• Em muitos experimentos de filtragem de fatores, quando estamos apenas começando a estudar o processo, essa suposição costuma ser razoável.
• Na seção 6.8 são apresentados um método simples para verificar se essa suposição é violada e ações em caso afirmativo.
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The Simplest Case: The 22
“-” and “+” denote the low and high levels of a factor, respectively
• Low and high are arbitrary terms
• Geometrically, the four runs form the corners of a square
• Factors can be quantitative or qualitative, although their treatment in the final model will be different
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Chemical Process Example
A = reactant concentration, B = catalyst amount, y = recovery
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Analysis Procedure for a Factorial Design
• Estimate factor effects• Formulate model
– With replication, use full model– With an unreplicated design, use normal
probability plots
• Statistical testing (ANOVA)• Refine the model• Analyze residuals (graphical)• Interpret results
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Estimation of Factor Effects
12
12
12
(1)
2 2[ (1)]
(1)
2 2[ (1)]
(1)
2 2[ (1) ]
A A
n
B B
n
n
A y y
ab a b
n nab a b
B y y
ab b a
n nab b a
ab a bAB
n nab a b
See textbook, pg. 209-210 For manual calculations
The effect estimates are: A = 8.33, B = -5.00, AB = 1.67
Practical interpretation?
Design-Expert analysis
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Estimation of Factor EffectsForm Tentative Model
Term Effect SumSqr % ContributionModel InterceptModel A 8.33333 208.333 64.4995Model B -5 75 23.2198Model AB 1.66667 8.33333 2.57998Error Lack Of Fit 0 0Error P Error 31.3333 9.70072
Lenth's ME 6.15809 Lenth's SME 7.95671
Obs.: As somas de quadrados aqui são bastante simples.
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Statistical Testing - ANOVA
The F-test for the “model” source is testing the significance of the overall model; that is, is either A, B, or AB or some combination of these effects important?
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Residuals and Diagnostic Checking
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The 23 Factorial Design
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Effects in The 23 Factorial Design
etc, etc, ...
A A
B B
C C
A y y
B y y
C y y
Analysis done via computer
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An Example of a 23 Factorial Design
A = gap, B = Flow, C = Power, y = Etch Rate
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Table of – and + Signs for the 23 Factorial Design (pg. 218)
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Properties of the Table
• Except for column I, every column has an equal number of + and – signs
• The sum of the product of signs in any two columns is zero• Multiplying any column by I leaves that column unchanged
(identity element)• The product of any two columns yields a column in the table:
• Orthogonal design• Orthogonality is an important property shared by all factorial
designs
2
A B AB
AB BC AB C AC
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Estimation of Factor Effects
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ANOVA Summary – Full Model
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Model Interpretation
Cube plots are often useful visual displays of experimental results
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Cube Plot of Ranges
What do the large ranges
when gap and power are at the high level tell
you?