introdução aos processos estocásticos
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Introdução aos Processos Estocásticos. Probabilidade Prof.: Fabrício Simões. Justificando o Uso da Teoria da Probabilidade. Sinais Aleatórios: Não é possível determinar precisamente o seu valor em qualquer instante tempo. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Introdução aos Processos Estocásticos
Probabilidade
Prof.: Fabrício Simões
GPSS - Grupo de Pesquisa em Sinais e Sistemas
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Justificando o Uso da Teoria da Probabilidade
Sinais Aleatórios: Não é possível determinar precisamente o seu valor em qualquer instante tempo.
Entretanto, o sinal apresenta padrões de comportamento.
Presença de incertezas no mecanismo de geração do sinal.
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Probabilidade - Conceitos Básicos
• Experimento Aleatório: Experimento cujos resultados não podem ser previstos. Ex.: Medir a tensão instantânea de um sinal de voz.
• Espaço Amostral: Conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. É representado pela letra S.
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Espaço Amostral
1
2 3
4 56
Um evento (A)
Espaço Amostral (S)
Eventos: Subconjunto de um espaço amostral.
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Probabilidade de um Evento
Entretanto, se todos os resultados (elementos) ocorrem com a mesma probabilidade, então:
Eventos
Equiprováveis
Probabilidade do evento A, P(A), é a soma da probabilidade de cada elemento que compõe o conjunto A.
)()()(
SNANAP
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Probabilidade - Segundo os Axiomas de Kolmogorov
O último axioma ocorre quando os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
( ) 00 ( ) 1
( ) ( ) ( )
P AP A
P A B P A P B
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Mutuamente Exclusivos
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, se
, BA
isto é, A e B não têm elementos em comum.
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Probabilidade Probabilidade de ocorrer o evento
A ou o evento B.( )P A B
( )P A B
Probabilidade de ocorrer o evento A e o evento B.
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Probabilidade Condicional Mede a probabilidade de ocorrer um
evento dado que outro ocorreu.
P(A / B) – Probabilidade de ocorrer A dado que B ocorreu.
( )( / )( )
P A BP A BP B
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Eventos Independentes A probabilidade condicional verifica a
dependência entre os eventos A e B.
Os eventos são independentes quando a ocorrência do evento A não depende do evento B, então:
( ) ( ) ( )P A B P A P B
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Variável Aleatória É uma função que associa um número real
com cada elemento no espaço amostral.
nível baixo
nível alto
0
1
x = f (evento)
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Variável Aleatória Discreta Assume valores isolados (pontuais) dentro do intervalo [a,b].
1 0Fonte Digital S
x (bits)
2/1)0(2/1)1(
xPxP
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Distribuição de Probabilidade –Variável Aleatória Discreta
1. ( ) 0
2. ( ) 1
3. ( ) ( )
ii
i i
f x
f x
P X x f x
O par ( x, f(x) ) é uma distribuição de probabilidade davariável aleatória discreta X, se para cada possível resultado de x,
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Variável Aleatória Contínua Pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo
Fonte de Ruído
n(t)
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Função Densidade de Probabilidade - Variável Aleatória Contínua
1)(.3
,0)(.2
)()(.1
dxxf
xparaxf
dxxfbxaPb
a
A função f(x) é uma função densidade de probabilidade paraa variável aleatória contínua x definida sobre o conjunto R
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Função Densidade de Probabilidade (fdp) A área é igual a probabilidade.
( )xp x
p q xa b
1b a
Outras funções: Como obter?
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Valor Esperado – E[x]• É uma constante que indica qual a média estatística de um
grande número de observações de x.
• Indica qual a posição da densidade ou da distribuição de probabilidade.
• Se x for uma corrente ou tensão elétrica aleatória, o valor de E[x] é a componente DC.
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Valor Esperado – E[x]
Variável aleatória contínua
Variável aleatória discreta
dxxxfxE )(][
i
ii xPxxE )(][
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Variância – Var[x]
2 2[ ] [ ] ( [ ])Var x E x E x
Mede a variabilidade da variável aleatória x.
É a potência AC em um resistor de 1ohm e sua raiz quadradaé o valor eficaz da tensão ou da corrente aleatória.
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Função Densidade de Probabilidade (fdp) - Histograma
A fdp pode ser obtida mediante o uso do histograma
X=100 X=1000