introdução Às funções
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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciencia e Tecnologia
Aula 4 - Introducao a`s Funcoes
Jose Crisanto
Jose Crisanto UFRN-ECT Matematica Basica 1 / 1
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Referencias Bibliograficas:
1. Genson Iezzi. Fundamentos de Matematica Elementar. Vol.
1. 7a ed, Sao Paulo: Atual, 1993. (Captulo 5).
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Introducao a`s funcoes
Relembrando...
Sejam A e B dois conjuntos nao vazios.
(a) O produto cartesiano A B = {(a, b)|a A e b B} e oconjunto dos pares ordenados (a, b), onde a A e b B.
(b) Os eixos de valores reais x e y , perpendiculares em 0, da origem ao
sistema de eixos cartesianos representado por xOy .
(c) No par ordenado (a, b), o valor real a e denominado abscissa e e
representado no eixo x e o valor real b e denominado ordenada e e
representado no eixo y .
(d) Denomina-se relacao a um subconjunto de A B.Jose Crisanto UFRN-ECT Matematica Basica 3 / 1
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Exemplo 1
Se A = {(1, 2, 3)} e B = {1, 2}, temosA B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.
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Exemplo 2
Sejam A = {(1, 2, 3)}, B = {1, 2} eA B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}. Abaixo temosalguns exemplos de relacoes entre A e B:
(a) R1 = A B(b) R2 = {(1, 1)}(c) R3 = {(2, 1), (3, 1), (3, 3)}
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Definicao 1
Sejam A e B conjuntos nao vazios. Uma funcao f de A em B e uma relacao que
para todo x A associa um so y B, tal que (x , y) f . Simbolicamente,f : A B e uma funcao cuja lei de correspondencia e f (x) = y.
Na definicao acima, temos:
O domnio de f , denotado por D(f ), e o conjunto das abscissas x , tais que
f (x) = y . Isto, e D(f ) = A.
O contra-domnio de f , denotado por CD(f ), e o conjunto B.
A imagem de f , denotada por Im(f ), e o conjunto das ordenadas y B,tais que f (x) = y .
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Uma relacao f nao e funcao se nao satisfaz pelo menos uma das condicoes
da definicao. Isto e:
(a) se existir um elemento de A sem correspondente em B;
(b) se existir pelo menos um elemento de A com mais de um
correspondente em B.
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Podemos verificar pela representacao cartesiana da relacao f de A em B se
f e ou nao funcao: basta verificarmos se as retas parelelas ao eixo y
passando por (x , 0), onde x A, interceptam o grafico de f em um unicoponto. Veja os exemplos abaixo:
(a) A relacao f de A em R representada abaixo, onde
A = {x R| 1 x 3}, e funcao.
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(b) A relacao f de A em R representada abaixo, onde
A = {x R| 2 x 2}, nao e funcao.(c) A relacao f de A em R representada abaixo, onde
A = {x R|0 x 4}, nao e funcao.
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Exemplo 3
Veja abaixo o domnio e a imagem das funcoes representadas graficamente:
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As funcoes que apresentam maior interesse na Matematica sao as
aquelas em que o domnio A e o contradomnio B sao subconjuntos
de R.
E comum nos referirmos a` uma funcao f apenas pela sentenca aberta
y = f (x). Nesse caso, o domnio e o subconjunto dos numeros reais
para os quais a funcao esta definida.
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Apresentamos abaixo algumas funcoes e seus respectivos domnios.
(a) f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anx
n esta definida para todo
x R. Logo, D(f ) = R.
(b) f (x) =g(x)
h(x)nao esta definida em x , tal que h(x) = 0.
Logo, D(f ) = {x R|h(x) 6= 0}.
(c) f (x) =
g(x) nao esta definida em x , tal que g(x) < 0.
Logo, D(f ) = {x R|g(x) 0}.
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(d) f (x) = 2n
g(x) nao esta definida em x , tal que g(x) < 0.
Logo, D(f ) = {x R|g(x) 0}.
(e) f (x) = 3
g(x) esta definida para todo x R. Logo,D(f ) = R.
(f) f (x) = 2n+1
g(x) esta definida para todo x R. Logo,D(f ) = R.
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(g) f (x) =g(x)
2n
h(x)nao esta definida para x , tal que h(x) = 0 e
h(x) < 0. Logo, D(f ) = {x R|h(x) > 0}.
(h) f (x) =g(x)
2n+1
h(x)nao esta definida para x , tal que h(x) = 0.
Logo, D(f ) = {x R|h(x) 6= 0}.
(i) f (x) =2n
g(x)
h(x)nao esta definida para x , tal que g(x) < 0 e
h(x) = 0. Logo, D(f ) = {x R|(g(x) 0) (h(x) 6= 0)}.
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Exemplo 4
Determine o domnio das funcoes abaixo:
(b) f (x) = x2
Solucao: Como x2 R para todo x R, temos D(f ) = R
(c) y = 1x
Solucao: D = R
(d) g(x) =
x
Solucao: D(g) = {x R|x 0} = R+
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(e) y = 3
x
Solucao: D = R)
(f) f (x) = 1x+2
Solucao: D(f ) = {x R|x 6= 2}
(g) f (x) =
x+2x2
Solucao: A funcao f esta definida para os valores de x que satisfazem
simultaneamente x + 2 0 e x 2 6= 0. Isto e,
D(f ) = {x R|x 2 e x 6= 2}
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Funcoes iguais
Definicao 2
Duas funcoes f : A B e g : C D sao iguais se, e somente se,apresentarem:
(a) domnios iguais (A = C )
(b) contradomnios iguais (B = D)
(c) f (x) = g(x) para todo x do domnio.
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Exemplo 5
Sejam f : R R e g : R R funcoes definidas por
f (x) = x 1 e g(x) = x2 1
x + 1
Note que ambas as funcoes estao definidas para os mesmos valores, isto e,
para todo x R. Alem disso, podemos reescrever a funcao g da seguinteforma:
g(x) =x2 1x + 1
=(x + 1)(x 1)
x + 1= x 1 = f (x)
Neste caso e correto pensarmos em reescrever a funcao g(x) =x2 1x + 1
de uma maneira mais
simples, isto e, f (x) = x 1.Jose Crisanto UFRN-ECT Matematica Basica 19 / 1
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Exemplo 6
Sejam f : R R e g : R {1} R funcoes definidas por
f (x) = x + 1 e g(x) =x2 1x 1
Note que as funcoes f e g nao possuem o mesmo domnio. Isto e, D(f ) = R e
D(g) = R {1}. Apesar de ser valida a equivalencia abaixo:x2 1x 1 =
(x + 1)(x 1)x 1 = x + 1
nao podemos dizer que as funcoes f e g sao iguais. O grafico de g difere do de f
por ser aberto em x = 1.
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Exemplos Gerais
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Exemplo 7
Para f (x) = x3, temos:
(a) D(f ) = R
(b) f (1) = (1)3 = 1; f (0) = 03 = 0; f (1) = 13 = 1(c) O grafico de f e:
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Exemplo 8
Para f (x) =
x, temos:
(a) D(f ) = {x R|x 0}(b) f (0) =
0 = 0; f (4) =
4 = 2; f (t2) =
t2 = |t|
(c) O grafico de f e:
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Exemplo 9
Para f (x) = 1x
, temos:
(a) D(f ) = {x R|x 6= 0}(b) Grafico de f :
Para x > 0, a` medida que x vai aumentando, y = 1x
vai se aproximando de
zero (x = 10 y = 110
, x = 100 y = 1100
, etc). Por outro lado, a` medida
que x vai se aproximando de zero, y = 1x
vai se tornando cada vez maior
(x = 110 y = 10, x = 1
100 y = 100, etc). Para x < 0, o raciocnio e
analogo.
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Exemplo 10
Dada a funcao f (x) = x2 + 2x, simplifique as expressoes:(a)
f (x) f (1)x 1 (b)
f (x + h) f (x)h
Solucao:
(a)f (x) f (1)
x 1 =(x2 + 2x) 1
x 1 =(x 1)2
x 1 = (x 1), x 6= 1.
(b)f (x + h) f (x)
h=
[(x + h)2 + 2(x + h)] [x2 + 2x]h
=
x2 2xh h2 + 2x + 2h + x2 2xh
=2xh h2 + 2h
h= 2xh+2, h 6= 0
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