introdução às representações de grupos finitos, iiio colóquio de
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Fábio Xavier Penna
Introdução às representações de grupos
�nitos
IIIo Colóquio de Matemática da Região
Sul
Florianópolis, SC
2014
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Fábio Xavier Penna
Introdução às representações de grupos �nitos
IIIo Colóquio de Matemática da Região Sul
Minicurso apresentado no IIIo
Colóquio de Matemática da Re-gião Sul, realizado na Universi-dade Federal de Santa Catarina,em maio de 2014.
Florianópolis, SC
2014
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Resumo
Este minicurso objetiva apresentar ao aluno de graduação uma
introdução acessível ao estudo da Teoria de Representações. Para
isto, o primeiro capítulo traz de�niçoes básicas, o segundo e o
terceiro capítulos apresentam a teoria de caracteres desenvolvida
por Frobenius no início do século XX e no último capítulo en-
contramos os caracteres das ações de grupos de permutações em
sólidos de Platão.
Palavras-chaves: representações, caracteres, sólidos de Platão.
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Lista de ilustrações
Figura 1 � Ação dos elementos (12) e (123), respectiva-
mente, nos vértices do triângulo equilátero. . 15
Figura 2 � Ação dos elementos (123), (132) e (12)(34),
respectivamente, nos vértices do tetraedro. . 53
Figura 3 � Ação dos elementos (12), (123), (1234) e (12)(34),
respectivamente, nas diagonais principais do
cubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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Lista de tabelas
Tabela 1 � Caracteres irredutíveis de Z3 . . . . . . . . . 46
Tabela 2 � Caracteres irredutíveis de S3 . . . . . . . . . 47
Tabela 3 � Caracteres irredutíveis de A4 . . . . . . . . . 48
Tabela 4 � Caracteres irredutíveis de S4 . . . . . . . . . 49
Tabela 5 � Caracteres irredutíveis de A5 . . . . . . . . . 49
Tabela 6 � Caracter da ação de A4 no tetraedro . . . . . 53
Tabela 7 � Caracter da ação de S4 no cubo . . . . . . . 55
Tabela 8 � Caracter da ação de A5 em {1, 2, 3, 4, 5} . . . 57
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Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 REPRESENTAÇÕES DE GRUPOS . . . . . 11
1.1 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Subrepresentações . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Representações irredutíveis . . . . . . . . . . 18
1.4 Homomor�smo de representações . . . . . . 21
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 CARACTERES E ORTOGONALIDADE . . . 25
2.1 Caracter de uma representação . . . . . . . . 25
2.2 Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Representações unitárias . . . . . . . . . . . 31
2.4 Ortogonalidade de Caracteres . . . . . . . . 32
2.5 Decomposição da representação regular . . . 38
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 OS CARACTERES IRREDUTÍVEIS DE UM
GRUPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1 Funções de classe . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis 42
3.3 Tabelas de caracteres irredutíveis . . . . . . 45
3.3.1 Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.4 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
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3.3.5 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 REPRESENTAÇÕES E SÓLIDOS DE PLA-
TÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Representações por permutações e pontos
�xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Simetrias em sólidos de Platão . . . . . . . . 52
4.2.1 Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2 Cubo e octaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.3 Icosaedro e dodecaedro . . . . . . . . . . . . . 55
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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9
Introdução
Considerando os propósitos deste minicurso, a Teoria
de Representações pode ser de�nida como o estudo das ações de
um grupo em um espaço vetorial, ou seja, a caracterização das
formas como um grupo pode agir num espaço vetorial e dos efei-
tos dessas ações. Apesar da de�nição simples, a teoria é rica em
resultados e tanto estes como as técnicas empregadas em suas
demonstrações são muito usados em várias áreas da matemática,
sendo a mais conhecida Álgebras de Lie, e mesmo na química e na
física atuais. Este minicurso pretende ser uma breve introdução
à teoria e por esta razão restringe-se a abordar representações de
grupos �nitos em espaços vetoriais de dimensão �nita. Contudo,
como dito por Fulton e Harris em [4], �muitas ideias, conceitos
e construções que apresentaremos [para grupos �nitos], são apli-
cados no estudo de grupos de Lie e álgebras de Lie�. Outrossim,
este minicurso não tem apenas caráter didático e como exem-
plo de aplicação da teoria de representações para grupos �nitos
descrevemos as ações de grupos de simetria em sólidos de Pla-
tão. Portanto este texto introdutório à Teoria de Representações
também exempli�ca como a teoria pode ser aplicada em outras
áreas da matemática.
O minicurso é voltado para alunos de graduação e suas
notas seguem a estrutura proposta por Serre em [?], com pré-
requisitos modestos: álgebra linear e teoria básica de grupos. O
primeiro capítulo apresenta de�nições básicas da teoria de re-
presentações. O segundo descreve, de forma sucinta, a teoria de
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10 Introdução
caracteres desenvolvida por Frobenius no início do século XX e
contém, dentre os resultados apresentados, o importante Lema
de Schur. O terceiro capítulo usa a teoria de caracteres para
determinar o número de representações irredutíveis de uma re-
presentação. No último capítulo estudamos ações de grupos de
permutações em sólidos de Platão e encontramos os caracteres
destas ações. O texto é permeado de exemplos e exercícios que
convidam o leitor a participar da construção da teoria e tam-
bém o auxiliam na compreensão da mesma. Além de apresentar
a teoria de representações de grupos �nitos de forma simples
e acessível ao aluno de graduação, o minicurso visa despertar
no estudante o gosto pela teoria e o desejo de continuar o seu
estudo. Tendo em vista sua utilidade em áreas diversas da ma-
temática como Teoria dos Números, Geometria Algébrica, Pro-
babilidade e Análise Harmônica, além da já citada Álgebras de
Lie, um curso de introdução à Teoria de Representações faz-se
importante mesmo para estudantes que não sigam nesta linha
de pesquisa matemática.
Gostaria de agradecer ao comitê organizador do 3o Co-
lóquio de Matemática da Região Sul a oportunidade de ministrar
este minicurso e aos diversos orgãos �nanciadores que viabiliza-
ram este colóquio. Parabenizo também a Sociedade Brasileira de
Matemática pela realização dos colóquios regionais, promovendo
o ensino e a pesquisa em matemática por todo o Brasil.
Estas notas estão em fase de correção e aperfeiçoamento.
Elas podem conter desde falhas tipográ�cas a erros básicos de
conteúdo. Desta forma, correções e sugestões são muito bem
vindas e devem ser enviadas para [email protected] ou fa-
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11
1 Representações de grupos
1.1 Representações
A teoria de representações busca caracterizar as formas
como um grupo pode agir em um espaço vetorial e os efeitos
dessas ações. Neste texto, V denotará um espaço vetorial de
dimensão �nita sobre o corpo dos números complexos C e a di-
mensão de V será escrita dim(V ). Chamaremos de GL(V ) o
conjunto formado pelos isomor�smos de V em V . Um elemento
a de GL(V ) é um operador linear de V que possui inversa a−1.
Recorde que um grupo é um conjunto não vazio G mu-
nido de duas funções
G×G −→ G
(s, t) 7−→ ste
G −→ G
s 7−→ s−1
que satisfazem os seguintes axiomas:
1. (rs)t = r(st), para todo r, s e t em G;
2. existe e ∈ G chamado identidade tal que es = se = s para
todo s ∈ G;
3. ss−1 = s−1s = e para todo s ∈ G.
O conjunto GL(V ) com as operações de composição e
inversão de operadores é um grupo. A identidade de GL(V ) é a
transformação linear identidade IdV . No que se segue, G é um
grupo �nito com ordem |G|.
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12 Capítulo 1. Representações de grupos
De�nição 1.1 Seja G um grupo �nito. Uma representação de
G em V é um homomor�smo
ρ : G −→ GL(V ).
Em outras palavras, associamos a cada elemento s ∈ G um ele-
mento ρs ∈ GL(V ) que é um operador linear invertível
ρs : V −→ V.
Além disso, se s e t são elementos quaisquer de G, então
ρsρt = ρst. (1.1)
Dado o homomor�smo ρ, o espaço vetorial V é chamado
uma representação do grupo G. A dimensão de V é chamada de
grau da representação.
Exemplo 1.1 Faça V = C. Neste caso temos que GL(V ) =
GL(C) = C∗. Dado um grupo G, de�na ρ : G −→ C∗ por ρs = 1
para todo s ∈ G. Esta representação é chamada representação
unitária de G. Todo grupo possui uma representação unitária.
Exemplo 1.2 Faça G := Sn o grupo das permutações em um
conjunto com n elementos. De�na σ : Sn −→ C∗ por
σs =
{1, se s é permutação par;
−1, se s é permutação ímpar.
Este homomor�smo é uma representação, chamada a represen-
tação sinal de Sn.
Exemplo 1.3 Faça G := Z3 = {0, 1, 2}. De�na ρ : Z3 −→ C∗
por ρ(k) := ωk, onde ω = e2πi/3. Este homomor�smo é uma
representação de grau 1 de Z3.
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1.1. Representações 13
Exemplo 1.4 Dado um grupo G, seja g := |G| a ordem de G
e V um espaço vetorial de dimensão g. Tome {es}s∈G uma base
de V indexada pelos elementos de G. Para cada t ∈ G, seja
%t : V −→ V o operador linear de�nido por %t(es) = ets. O
homomor�smo % : G −→ GL(V ) de�nido desta forma é uma
representação chamada representação regular de G. O grau
da representação regular é a ordem de G.
Seja V espaço vetorial complexo e faça n := dim(V ).
Denote por GL(n) o grupo das matrizes invertíveis de ordem n
com coe�cientes complexos:
GL(n) := {(aij)n×n|det(aij) 6= 0}.
Se V é um espaço vetorial de dimensão n, existe um isomor�smo
natural de GL(V ) em GL(n). De fato, �xada uma base β de V ,
seja [T ]β a representação do operador T : V −→ V na forma
matricial com respeito à base β. O mapa
GL(V ) −→ GL(n)
T 7−→ [T ]β
é um isomor�smo de grupos.
Neste caso, uma representação de G é o mesmo que um
homomor�smo de grupos
ρ : G −→ GL(n)
onde, para cada s ∈ G,
ρs =
a11(s) a12(s) · · · a1n(s)
a21(s) a22(s) · · · a2n(s)...
.... . .
...
an1(s) an2(s) · · · ann(s)
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14 Capítulo 1. Representações de grupos
onde aij : G −→ C, para cada 1 ≤ i, j ≤ n.
Exercício 1.1 Mostre que, neste caso, a condição (1.1) da De-
�nição 1.1 torna-se
aij(st) =
n∑k=1
aik(s)akj(t).
Como este texto trata apenas de representações de gru-
pos �nitos em espaços vetoriais de dimensão �nita, usaremos
ambas as de�nições de representação apresentadas, de acordo
com a conveniência.
Exemplo 1.5 Seja S3 o grupo das permutações em um conjunto
com três elementos. Sabemos que S3 é gerado pelas permutações
(12) e (123). Portanto, a �m de de�nir um homomor�smo de
grupos ρ : S3 −→ GL(2), basta de�nir ρ nos elementos (12) e
(123). De�na
ρ(12) =
(1 0
0 −1
)e ρ(123) =
(ω 0
0 ω−1
),
onde ω = e2πi/3. Desta forma, ρ : S3 −→ GL(2) é uma repre-
sentação de S3 de grau 2. A Figura 1 mostra a interpretação
geométrica desta ação. Ela é a permutação dos vértices de um
triângulo equilátero.
Observação 1.2 Como já foi dito, representações de grupos es-
tão relacionadas a ações de grupos em espaços vetoriais. De fato,
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1.1. Representações 15
Figura 1 � Ação dos elementos (12) e (123), respectivamente, nosvértices do triângulo equilátero.
dada a representação ρ : G −→ GL(V ) podemos de�nir a se-
guinte ação de G em V :
µ : G× V −→ V
(s, v) 7−→ ρs(v).
Por outro lado, dada uma ação ϕ : G×V −→ V de um grupo G
no espaço vetorial V , podemos de�nir uma representação de G
em V . Observe que �xado s ∈ G o mapa
ϕ(s, ·) : V −→ V
é um operador linear. Então basta de�nir
ψ : G −→ GL(V )
s 7−→ ϕ(s, ·)
e teremos uma representação de G em V .
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16 Capítulo 1. Representações de grupos
1.2 Subrepresentações
Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação de G e W um
subespaço vetorial de V . Suponha que
ρs(W ) ⊆W
para todo s em G. Então a restrição de ρs a W
ρs|W :W −→W
é um isomor�smo de W e podemos de�nir a representação
ρ|W : G −→ GL(W )
s 7−→ ρs|W.
Desta forma, W é chamada uma subrepresentação de V .
A Observação 1.2 mostra que uma representação
ρ : G −→ GL(V )
está associada a uma ação de G em V e vice-versa. Se W é uma
subrepresentação de V , então W é um subespaço de V estável
(ou invariante) pela ação de G. De fato, vimos que a ação de G
em V é de�nida por
µ : G× V −→ V
(s, v) 7−→ ρs(v).
Se W é uma subrepresentação de V , então
µ(s,W ) ⊆W
para todo s ∈ G, o que mostra que W é estável por G.
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1.2. Subrepresentações 17
Exemplo 1.6 Recorde % : G −→ GL(V ) a representação regu-
lar de um grupo G apresentada no Exemplo 1.4. Considere o ele-
mentos w ∈ V de�nido por w =∑s∈G
es. Observe que %s(w) = w
para todo s ∈ G. Tome W ⊂ V o subespaço vetorial gerado
por w. Então ρ|W : G −→ GL(W ) é uma subrepresentação da
representação regular de G.
Veremos agora como obter uma representação de G a
partir da soma direta de duas representações de G. Sejam
ρ : G −→ GL(V ) e ϕ : G −→ GL(W )
representações de G nos espaços vetoriais complexos V e W .
Para cada s ∈ G, a função
ρs ⊕ ϕs : V ⊕W −→ V ⊕W(v, w) 7−→ (ρs(v), ϕs(w))
é uma transformação linear invertível de V ⊕ W em V ⊕ W .
Portanto podemos de�nir o mapa
ρ⊕ ϕ : G −→ GL(V ⊕W )
s 7−→ ρs ⊕ ϕs
e V ⊕W é uma representação deG. Se dim(V ) = m, dim(W ) = n
e as representações acima são dadas na forma matricial
ρ : G −→ GL(m) e ϕ : G −→ GL(n),
então ρ⊕ ϕ : G −→ GL(m+ n) é dada na forma matricial por
(ρ⊕ ϕ)s =
(ρs 0
0 ϕs
).
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18 Capítulo 1. Representações de grupos
Exercício 1.2 Sejam V1, . . . , Vn representações de G. De�na a
representação V1 ⊕ · · · ⊕ Vn de forma similar ao que foi feito
acima. Mostre que a representação de�nida pela soma direta, na
forma matricial, será uma matriz diagonal em blocos.
Exercício 1.3 Sejam V eW representações do grupo G. Mostre
que χV⊕W = χV + χW .
1.3 Representações irredutíveis
Sejam ρ : G −→ GL(V ) uma representação deG,W ⊂ Vuma subrepresentação e P : V −→ W uma projeção. Para cada
s ∈ G, a composição
ρs ◦ P ◦ ρ−1s : V −→ V
é um operador linear em V . Escreveremos ρsPρ−1s para simpli-
�car a notação. Como G é grupo �nito, podemos considerar a
soma ∑s∈G
ρsPρ−1s
e continuamos com uma transformação linear de V em V .
Lema 1.3 Sejam V uma representação de G, W ⊆ V uma su-
brepresentação e P : V −→W uma projeção de V em W . Então
o mapa P0 : V −→ V de�nido por
P0 :=1
|G|∑s∈G
ρsPρ−1s . (1.2)
é uma projeção em W .
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1.3. Representações irredutíveis 19
Demonstração: Como P é uma projeção, temos que P |W =
IdW e a imagem de P é W . Além disso, W é invariante pela
ação de G. Logo a imagem de P0 é W e P0|W = IdW . Resta
mostrar que P 20 = P0. Para isto, observe que
P 20 =
1
|G|∑s∈G
ρsP0ρ−1s
=1
|G|∑s∈G
ρs
(1
|G|∑t∈G
ρtPρ−1t
)ρ−1s
=1
|G|2∑s,t∈G
ρstPρ−1st
=1
|G|2∑s,t∈Gr=st
ρrPρ−1r
=1
|G|2∑r∈G|G|ρrPρ−1r = P0
Isto conclui a demonstração do Lema.�
Proposição 1.4 Sejam V uma representação de G e W uma
subrepresentação de V . Então existe uma subrepresentação W⊥
de V complementar de W , isto é, V =W ⊕W⊥.
Demonstração: Tome uma projeção P : V −→ W . Pelo Lema
1.3, o mapa P0 : V −→ W , de�nido por (1.2), é uma projeção.
Faça W⊥ := Núcleo(P0). Temos que V =W ⊕W⊥. Além disso,
observe que
ρsP0ρ−1s = P0
para todo s ∈ G. Logo, se v ∈W⊥, temos que P0(v) = 0 e segue
que
P0ρs(v) = ρsP0(v) = 0
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20 Capítulo 1. Representações de grupos
para todo s ∈ G. Isto mostra que se v ∈W⊥, então ρs(v) ∈W⊥
para todo s ∈ G. Concluímos que W⊥ é subrepresentação de
V .�
Segue do Teorema 1.4 que, se V é uma representação
e W ⊆ V é uma subrepresentação, então V = W ⊕ W⊥. Se
as únicas subrepresentações de V são 0 e o próprio V , então a
decomposição obtida é a trivial V = 0 ⊕ V e dizemos que V é
irredutível.
De�nição 1.5 Seja V uma representação de G. Dizemos que
V é irredutível se V não é o espaço vetorial nulo e se as únicas
subrepresentações de V são 0 e V . Uma representação que não
é irredutível é dita redutível.
O seguinte teorema mostra que podemos encontrar qual-
quer representação de G a partir das representações irredutíveis
de G.
Teorema 1.6 Seja V uma representação de um grupo �nito G.
Então V é a soma direta de representações irredutíveis de G.
Demonstração: Faremos indução na dimensão de V . Se dim(V ) =
1, então V é claramente irredutível. Suponha dim(V ) ≥ 2. Se V
é irredutível, então o Teorema está provado. Se V é redutível,
então existe W ⊂ V com W e W⊥ subrepresentações de V ,
dim(W ) < dim(V ) e dim(W⊥) < dim(V ). Segue da Proposi-
ção 1.4 que V = W ⊕W⊥. Pela hipótese de indução, W e W⊥
são somas diretas de representações irredutíveis. Concluímos V
é soma direta de representações irredutíveis.�
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1.4. Homomor�smo de representações 21
Observação 1.7 Uma pergunta natural é se a decomposição
dada pelo Teorema 1.6 é ùnica. Como resposta a esta questão,
considere a representação ρ : G −→ GL(V ), com dim(V ) > 1,
onde ρs = IdV para todo s ∈ G. Então V =W1 ⊕ · · · ⊕Wdim(V ),
onde cada Wi é um subespaço de dimensão 1, é uma decomposi-
ção de V em subespaços invariantes. Existem in�nitas maneiras
de representar V como soma direta de subespaços unidimensi-
onais, portanto a decomposição não é única. No entanto, neste
exemplo, o número de representações irredutíveis que Wi's é in-
variante. De fato, veremos que esta propriedade vale em geral,
ou seja, o número de representações irredutíveis de uma repre-
sentação V não depende da decomposição.
O Teorema 1.6 a�rma que a �m de se conhecer as repre-
sentações de determinado grupo, basta conhecer suas represen-
tações irredutíveis. Desta forma, um dos problemas centrais na
teoria de representações é classi�car as representações irredutí-
veis de um determinado grupo.
1.4 Homomor�smo de representações
Agora que já conhecemos o objeto de estudo deste mi-
nicurso, a saber, as representações de grupos �nitos, é natural
de�nir os mor�smos entre estes objetos.
De�nição 1.8 Sejam ρ : G −→ GL(V )e φ : G −→ GL(W )
duas representações de G. Um homomor�smo de representações
é uma transformação linear ψ : V −→W tal que
ψ ◦ ρs = φs ◦ ψ
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22 Capítulo 1. Representações de grupos
para todo s ∈ G. Isto é equivalente a φ−1s ◦ψ ◦ ρs = ψ ou a dizer
que o diagrama
Vψ−→ W
ρs ↓ ↓ φs
Vψ−→ W
comuta para todo s em G.
Se ψ satisfaz a De�nição 1.8 e é um isomor�smo de espa-
ços vetoriais, dizemos que ψ é um isomor�smo de representações
e que ρ e φ são representações isomorfas.
1.5 Exercícios
1. SejaX um conjunto �nito e G um grupo agindo emX. Seja
V um espaço vetorial com uma base {ex}x∈X indexada
pelos elementos deX. Para cada s ∈ G de�na ρs : V −→ V
por ρs(ex) = esx.
a) Mostre que, �xado s ∈ G, o mapa ρs está em GL(V ).
b) Mostre que a função ρ : G −→ GL(V ) de�nida por
s 7−→ ρs é uma representação de G. Esta represen-
tação é chamada representação por permutações
associada a X.
2. Sejam φ : G −→ H um homomor�smo de grupos e ρ :
H −→ GL(V ) uma representação de H.
a) Mostre que a função composta ρ ◦ φ : G −→ GL(V ) é
uma representação de G.
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1.5. Exercícios 23
b) Suponha que φ seja sobrejetivo. Mostre que, se V é
uma representação irredutível de H, então
ρ ◦ φ : G −→ GL(V )
será uma representação irredutível de G.
3. Mostre que se V eW são representações de G, então ambas
são subrepresentações da representação V ⊕W .
4. Sejam V e W representações de G e T : V −→ W um
homomor�smo de representações.
a) Mostre que o núcleo de T é uma subrepresentação de
V .
b) Mostre que a imagem de T é uma subrepresentação
de W .
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25
2 Caracteres e ortogonalidade
2.1 Caracter de uma representação
Seja V um espaço vetorial de dimensão n e β uma base
de V . Dado um operador linear T : V −→ V , suponha que a
matriz que representa T na base β é [T ]β = (aij)n×n. O traço
de T é
Tr(T ) :=n∑k=1
akk.
Exercício 2.1 Mostre que o traço de um operador linear T : V −→ V
não depende da base de V . Conclua que o traço de T é a soma
dos autovalores de T com multiplicidades.
Exercício 2.2 Dados dois operadores T : V −→ V e S : V −→ V ,
mostre que Tr(TS) =Tr(ST ).
De�nição 2.1 Seja ρ : G −→ GL(V ) a representação de um
grupo �nito G em V . O caracter da representação V é a função
χV : G −→ C de�nida por
χV (s) := Tr(ρs).
Caso esteja claro, pelo contexto, que o caracter χV está
associado à representação V , usaremos a notação χ. O caracter
de uma representação irredutível será chamado caracter irredu-
tível. Veremos que esta função caracteriza a representação V.
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26 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade
No que se segue, se z = a+ bi é um número complexo,
denotaremos o seu conjugado por z = a− bi.
Proposição 2.2 Seja V uma representação de grau n e χ seu
caracter. Então:
1. χ(1) = n;
2. χ(s−1) = χ(s) para todo s ∈ G;
3. χ(tst−1) = χ(s) para todo s, t ∈ G.
Demonstração:
1. Basta observar que ρ(1) = IdV . Como a dimensão de V é
n, obtemos que χ(1) = Tr(IdV ) = n.
2. Fixe s ∈ G. Sejam λ1, . . . , λn os autovalores de ρs. Como G
é �nito, existe k ∈ Z tal que sk = e. Logo ρks = ρsk = ρe =
IdV . Portanto |λi|k = 1 para i = 1, . . . , n e concluímos que
λiλi = 1. Concluímos que
χ(s) = Tr(ρs) =n∑i=1
λi = Tr(ρ−1s ) = Tr(ρs−1) = χ(s−1).
3. Usaremos a propriedade da função traço descrita no Exer-
cício 2.2:
χ(tst−1) = Tr(ρtst−1) = Tr(ρ−1t ρtρs) = Tr(ρs) = χ(s),
o que conclui a demonstração.�
Considere a ação de G em G por conjugação
G×G −→ G
(t, s) 7−→ tst−1
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2.1. Caracter de uma representação 27
A órbita de um elemento s ∈ G é o conjunto
[s] = {tst−1|t ∈ G}
chamado de classe de conjugação de s. Temos que, dados s1, s2 ∈ G,se [s1] ∩ [s2] 6= ∅, então [s1] = [s2].
O item (3) da Proposição 2.2 a�rma que o caracter de
uma representação é constante em classes de conjugação. Fun-
ções que satisfazem esta propriedade são chamadas funções de
classe e terão um importante papel no Capítulo 3.
Exemplo 2.1 Seja ρ : G −→ C∗ uma representação de grau 1
de G. Neste caso, o caracter da representação coincide com a
representação, ou seja, χ = ρ.
Exemplo 2.2 Recorde a representação ρ : S3 −→ GL(2) dada
no Exemplo 1.5. No grupo S3 temos as três classes de conjugação
[e] = {e}[(12)] = {(12), (13), (23)}[(123)] = {(123), (132)}.
Calculando o caracter explicitamente encontramos χ(e) = 2,
χ((12)) = Tr
(0 1
1 0
)= 0 e χ((123)) = Tr
(ω 0
0 ω−1
)= −1
onde ω = e2πi/3.
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28 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade
2.2 Lema de Schur
Recorde da Seção 1.4 que um homomor�smo entre duas
representações de G é uma transformação linear que comuta com
a ação de G. O seguinte lema é um dos principais resultados da
Teoria de Representações.
Lema 2.3 (Schur)Sejam V1 e V2 duas representações de G e
T : V1 −→ V2 um homomor�smo de representações não nulo.
1. Se V1 é irredutível, então T é injetivo.
2. Se V2 é irredutível, então T é sobrejetivo.
Demonstração:
1. Vimos no Exercício 4a que o Núcleo(T ) ⊆ V1 é uma su-
brepresentação de V1. Como V1 é irredutível, temos que
Núcleo(T ) = 0 ou Núcleo(T ) = V1. Porém, T é um homo-
mor�smo de representações não nulo. Então Núcleo(T ) = 0
e concluímos que T é injetivo.
2. Pelo Exercício 4b a Imagem(T ) ⊆ V2 é uma subrepresenta-
ção de V2. Como V2 é irredutível, segue que Imagem(T ) = 0
ou Imagem(T ) = V2. Porém, T é um homomor�smo de re-
presentações não nulo. Concluímos que Imagem(T ) = V2 e
portanto T é sobrejetivo.�
Teorema 2.4 Seja V uma representação irredutível de G e T : V −→ V
um homomor�smo de representações. Então existe λ ∈ C tal que
T = λIdV .
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2.2. Lema de Schur 29
Demonstração: Como V é espaço vetorial complexo, podemos
tomar um autovalor λ de T . De�na T ′ := T −λIdV . Observe queT ′ é homomor�smo de representações. Se v ∈ V é autovetor de
T associado a λ, então
T ′(v) = T (v)− λv = 0.
Logo o núcleo de T ′ é não trivial. Segue do Lema 2.3 que T ′ = 0
e concluímos que T = λIdV .�
Com este teorema conseguimos caracterizar todas as re-
presentações irredutíveis de um grupo abeliano.
Corolário 2.5 Seja G um grupo abeliano. Então todas as re-
presentações irredutíveis de G têm grau 1.
Demonstração: Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação ir-
redutível de G. Fixe s ∈ G. Como G é abeliano, temos que
ρsρt = ρst = ρts = ρtρs,
para todo t ∈ G. Logo, pelo Teorema 2.4, segue que ρs = λsIdV .
Como isto é válido para todo s ∈ G, obtemos que ρs é um mútiplo
da identidade para todo s ∈ G. Portanto todos os subespaços de
dimensão 1 de V são invariantes por ρs, para todo s ∈ G. Como
V é irredutível e não nulo, concluímos que dim(V ) = 1.�
Dadas duas representações
ρ1 : G −→ GL(V1) e ρ2 : G −→ GL(V2)
e uma transformação linear T : V1 −→ V2, podemos de�nir T0 :
V1 −→ V2 por
T0 =1
|G|∑s∈G
(ρ2s)−1Tρ1s.
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30 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade
A�rmamos que T0 é um homomor�smo de representações. De
fato, para todo t ∈ G,
(ρ2t )−1T0ρ
1t =
∑s∈G
(ρ2t )−1(ρ2s)
−1Tρ1sρ1t =
∑s∈G
(ρ2st)−1Tρ1st = T0
de onde temos que T0ρ1s = ρ2sT0. Observe que T0 é um homo-
mor�smo de representações mesmo que T não seja. O seguinte
resultado, que é uma consequência do Teorema 2.4, será usado
na Seção 2.4.
Corolário 2.6 Sejam V1 e V2 representações irredutíveis de G
e T : V1 −→ V2 uma transformação linear. Faça
T0 :=1
|G|∑s∈G
(ρ2s)−1Tρ1s. (2.1)
1. Se ρ1 não é isomorfa a ρ2, então T0 = 0.
2. Se V1 = V2 e ρ1 = ρ2, então T0 = λIdV1
onde λ =Tr(T )
dim(V1).
Demonstração: Já sabemos que T0 é um homomor�smo de re-
presentações. No caso 1, temos que T0 = 0. Já no caso 2 obtemos
T0 = λIdV1de onde segue que Tr(T0) = λ · dim(V1). Por outro
lado,
Tr(T0) =∑s∈G
Tr((ρ2s)−1Tρ1s) = Tr(T ).
Portanto λdim(V1) = Tr(T ).�
![Page 33: Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051714/587386921a28ab14648b9d15/html5/thumbnails/33.jpg)
2.3. Representações unitárias 31
2.3 Representações unitárias
Seja V espaço vetorial complexo. Um produto interno
Hermitiano em V é uma aplicação
〈·, ·〉 : V × V −→ C(v, w) 7−→ 〈v, w〉
tal que:
1. é sesquilinear, isto é, linear na primeira variável e semili-
near na segunda variável;
2. é uma forma Hermitiana;
3. é não degenerada e de�nida positiva.
Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação de G. Diremos
que a representação V é unitária se existe um produto interno
Hermitiano 〈·, ·〉 em V tal que
〈ρs(u), ρs(v)〉 = 〈u, v〉
para todo s ∈ G e u, v ∈ V . Neste caso, veremos que se β é uma
base ortonormal de V , então a matriz de ρs com respeito a β
é uma matriz unitária. A seguinte proposição mostra que toda
representação de um grupo �nito é unitária.
Proposição 2.7 Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação de
G. Existe um produto interno Hermitiano 〈·, ·〉 em V tal que V
é unitária.
Demonstração: Tome 〈·, ·〉0 um produto interno Hermitiano
qualquer em V . De�na 〈·, ·〉 : V × V −→ C por
〈u, v〉 =∑s∈G〈ρs(u), ρs(v)〉0.
![Page 34: Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051714/587386921a28ab14648b9d15/html5/thumbnails/34.jpg)
32 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade
É claro que 〈·, ·〉 é um produto interno. Além disso, para todo
t ∈ G,
〈ρt(u), ρt(v)〉 =∑s∈G〈ρsρt(u), ρsρt(v)〉0
=∑r∈G〈ρr(u), ρr(v)〉0
= 〈u, v〉,
o que mostra a proposição.�
Sendo ρ : G −→ V uma representação unitária com
respeito ao produto interno 〈·, ·〉, temos que, para todo s ∈ G,
〈ρstρs(u), v〉 = 〈ρs(u), ρs(v)〉 = 〈u, v〉
para todo u, v ∈ V . Logo
〈ρstρs(u)− u, v〉
para todo v ∈ V . Em particular, tomando v := ρstρs(u) − u
obtemos que
ρstρs(u) = u
para todo u ∈ V e concluímos que ρst = ρs−1 para todo s ∈ G.
Se a representação V tem grau n e é representada pela
matriz ρs = (aji(s))n×n então obtemos que aij(s) = aij(s−1),
para todo s ∈ G.
2.4 Ortogonalidade de Caracteres
Seja G um grupo �nito. Denote o espaço vetorial das
funções complexas em G por C[G]:
C[G] := {f : G −→ C}.
![Page 35: Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051714/587386921a28ab14648b9d15/html5/thumbnails/35.jpg)
2.4. Ortogonalidade de Caracteres 33
Observe que o caracter χ de uma representação V de G é um
elemento de C[G]. Se f, g ∈ C[G] de�na
〈f, g〉 = 1
|G|∑s∈G
f(s)g(s). (2.2)
Exercício 2.3 Mostre que a relação (2.2) de�ne um produto
interno Hermitiano em C[G].
Sejam ρ1 : G −→ GL(V1) e ρ2 : G −→ GL(V2) repre-
sentações de G de graus n1 e n2, respectivamente. Vimos na
Seção 1.1 que, �xadas bases em V1 e V2, as representações ρ1 e
ρ2 podem ser dadas na forma de matrizes
ρis =
ai11(s) · · · ai1ni
(s)...
. . ....
aini1(s) · · · ainini
(2.3)
para i = 1, 2. Se T : V1 −→ V2 é uma transformação linear, então
T também pode ser representada na forma matricial:
T =
t11 · · · t1n1
.... . .
...
tn21 · · · tn2n1
. (2.4)
Lema 2.8 Sejam V1 e V2 representações irredutíveis de G de
graus n1 e n2, respectivamente. Seja T : V1 −→ V2 uma transfor-
mação linear. Suponha que ρ1, ρ2 e T sejam dadas nas formas
matriciais (2.3) e (2.4), respectivamente.
1. Se V1 e V2 não são isomorfas, então
1
|G|∑s∈G
a2kl(s−1)a1ji(s) = 0 (2.5)
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34 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade
para todo i, j, k e l.
2. Se ρ1 e ρ2 são isomorfas, então
1
|G|∑s∈G
a2kl(s−1)a1ji(s) =
1
n1δikδjl. (2.6)
Demonstração: Seja T0 a transformação linear de�nida por
T0 :=1
|G|∑s∈G
(ρ2s)−1Tρ1.
Observe que T0 é o homomor�smo de representações de�nido em
(2.1). Sejam t0ki as entradas da matriz que representa T0. Segue
da de�nição que
t0ki =1
|G|∑j,l
(∑s∈G
a2kl(s−1)a1ji(s)
)tlj (2.7)
onde vemos que t0ki é dada como uma função polinomial de grau
1 em tlj , com 1 ≤ l ≤ n2 e 1 ≤ j ≤ n1. Se V1 e V2 não são
isomorfas, segue do Corolário 2.6, item (1), que t0ki = 0. Logo,
todos os coe�cientes da função polinomial (2.7) são nulos. Como
isto é válido para todo i e k obtemos (2.5). Por outro lado, se V1e V2 são isomorfas temos que t0ki = λδki, onde λ = 1
n1
∑l,j δljtlj .
Logo
t0ki =1
n1
∑l,j
δkiδljtlj . (2.8)
Igualando os coe�cientes de tlj em (2.7) e em (2.8) obtemos
(2.6).�
Teorema 2.9 Fixe um grupo �nito G.
1. Se χ é o caracter de uma representação irredutível de G,
então 〈χ, χ〉 = 1.
![Page 37: Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051714/587386921a28ab14648b9d15/html5/thumbnails/37.jpg)
2.4. Ortogonalidade de Caracteres 35
2. Se χV e χW são caracteres de duas representações irredu-
tíveis de G não isomorfas, então 〈χV , χW 〉 = 0.
Demonstração:
1. Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação irredutível de
G de grau n com caracter χ, dada na forma matricial por
ρs = (aij(s))n×n. Temos que χ(s) =∑i aii(s) e portanto
〈χ, χ〉 =n∑
i,j=1
〈aii, ajj〉 =n∑
i,j=1
1
|G|∑s∈G
aii(s)ajj(s).
Pela Seção 2.3, V é uma representação unitária. Então
aii(s) = aii(s−1) e obtemos
〈χ, χ〉 =n∑
i,j=1
1
|G|∑s∈G
aii(s)ajj(s−1).
Segue do Lema 2.8, item 1, que
〈χ, χ〉 =n∑
i,j=1
δiiδjjn
=
n∑i,j=1
δijn
= 1.
2. Por outro lado, se χV e χW são caracteres de representa-
ções irredutíveis não isomorfas, então segue do Lema 2.8,
item 2, que 〈χV , χW 〉 = 0.�
Segue do Teorema 2.9 que o conjunto formado pelos
caracteres de representações irredutíveis de G não isomorfas for-
mam um subconjunto ortogonal de C[G]. Concluímos que qual-
quer grupo �nito G possui um número �nito de representações
irredutíveis. Veja o Exercício 1. Abaixo temos alguns corolários
que serão úteis para encontrar os caracteres irredutíveis de um
grupo G.
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36 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade
Recorde que, pelo Teorema 1.6, uma representação V de
G se decompõe como soma direta de representações irredutíveis
de G.
Corolário 2.10 Seja V uma representação de G com caracter
χ. Assuma que V se decompõe como a soma direta de represen-
tações irredutíveis
V =W1 ⊕ · · · ⊕Wn. (2.9)
Então, se W é uma representação irredutível de G com caracter
ϕ, o número de Wi's isomorfas a W é 〈χ, ϕ〉. Além disso, o
número de Wi's isomorfas a W não depende da decomposição
(2.9) escolhida.
Demonstração: Seja χi o caracter de Wi. Pelo Exercício 1.3
temos que
χ = χ1 + · · ·+ χn.
Então
〈χ, ϕ〉 = 〈χ1, ϕ〉+ · · ·+ 〈χn, ϕ〉. (2.10)
Segue do Teorema 2.9 que 〈χi, ϕ〉 = 1 se Wi é isomorfa a W e
〈χi, ϕ〉 = 0 seWi não é isomorfa aW . Portanto a soma em (2.10)
será o número de vezes que a representação irredutível W ocorre
em V . Para ver que este número não depende da decomposição
(2.9), basta observar que o produto interno 〈χ, ϕ〉 não depende
da decomposição.�
Corolário 2.11 Sejam V e W duas representações de G tais
que χV = χW . Então V é isomorfa a W .
![Page 39: Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051714/587386921a28ab14648b9d15/html5/thumbnails/39.jpg)
2.4. Ortogonalidade de Caracteres 37
Demonstração: Se χV = χW , então 〈χV , χi〉 = 〈χW , χi〉 paracada caracter irredutível χi de G. Segue do Corolário 2.10 que o
número de vezes que a representação irredutível Wi de G, asso-
ciada a χi, ocorre em V e W são iguais.�
Se W1, . . . ,Wn são as representações irredutíveis de G
com caracteres χ1, . . . , χn, respectivamente, então V é isomorfa
à soma direta
V =Wm11 ⊕ · · · ⊕Wmn
n
onde osmi's são inteiros positivos. Os resultados acima mostram
que, se χ é o caracter de V , entãomi = 〈χ, χi〉, para i = 1, . . . , n.
As relações de ortogonalidade do Teorema 2.9 implicam que
〈χ, χ〉 =n∑i=1
m2i =
n∑i=1
〈χ, χi〉2. (2.11)
Corolário 2.12 Seja V uma representação de G com caracter
χ. Então V é irredutível se, e somente se, 〈χ, χ〉 = 1.
Demonstração: De acordo com a Equação (2.11), 〈χ, χ〉 = 1
se, e somente se,∑ni=1〈χ, χi〉2 = 1, onde χi são os caracteres
irredutíveis de V . Mas isto é possível apenas se χ = χi para
algum i, o que indica, pelo Corolario 2.11, que V é isomorfa a
uma representação irredutível.�
Estes resultados mostram que os caracteres de fato ca-
racterizam as representações de G, o que reduz o estudo de re-
presentações ao estudo dos seus caracteres, com especial atenção
para os caracteres irredutíveis.
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38 Capítulo 2. Caracteres e ortogonalidade
2.5 Decomposição da representação regular
Nesta seção analisaremos a estrutura da representação
regular de um grupo G, de�nida no Exemplo 1.4. Este estudo
será importante para encontrar as representações irredutíveis de
G.
Recorde que, dado um grupo G com ordem g := |G| eV um espaço vetorial de dimensão g com base {es}s∈G indexada
pelos elementos de G, a representação regular de G é de�nida
por
% : G −→ GL(V )
t 7−→ %t
onde %t : V −→ V é o operador linear de�nido por %t(es) = ets.
Denotaremos por χ% o caracter desta representação.
Proposição 2.13 O caracter da representação regular é
χ%(t) =
{|G|, se t = e
0, se t 6= e
Demonstração: Se t = e então %e = IdV e teremos
χ%(e) = Tr(IdV ) = |G|.
Por outro lado, se t 6= e então ts 6= s para todo s ∈ G.Logo a
matriz de %t na base {es}s∈G terá todos os elementos da diagonal
principal nulos. Portanto χ%(t) = Tr(%t) = 0.�
Corolário 2.14 Seja V uma representação irredutível de G.
Então V está contida na representação regular de G com multi-
plicidade igual ao seu grau, ou seja, dim(V ).
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2.6. Exercícios 39
Demonstração: O Corolário 2.10 a�rma que a multiplicidade
com que V ocorre na representação regular é 〈χ%, χV 〉. Segue que
〈χ%, χV 〉 =1
|G|∑s∈G
χ%(s)χV (s−1) = χV (e) = dim(V ).�
Corolário 2.15 Sejam V1, . . . , Vk as representações irredutíveis
de G. Suponha que seus caracteres sejam χ1, . . . , χk e seus graus
sejam n1, . . . , nk, respectivamente. Se s ∈ G− {e}, então
k∑i=1
niχi(s) = 0.
Além disso,∑ki=1 n
2i = |G|.
Demonstração: Segue do Corolário 2.14 que
χ%(s) =
k∑i=1
niχi(s)
para todo s ∈ G. Se s 6= e, então o a�rmado segue da Proposição
2.13. No caso em que s = e, a mesma proposição nos diz que∑i n
2i = |G|.�
2.6 Exercícios
1. Mostre que a dimensão do espaço vetorial C[G] é �nita.
Encontre uma base para este espaço. Conclua que o grupo
G possui um número �nito de representações irredutíveis.
2. Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação de G. Mostre
que os autovalores de ρs têm norma 1, para todo s ∈ G.
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41
3 Os caracteres irredutíveis de
um grupo
3.1 Funções de classe
Uma função f : G −→ C que é constante nas classes
de conjugação do grupo G é chamada uma função de classe.
Na Seção 2.1 denotamos a classe de conjugação de um elemento
s ∈ G por [s]:
[s] := {tst−1|t ∈ G}.
Portanto, se f é uma função de classe de�nida em G, então
f(r) = f(s) para todo r ∈ [s]. Em outras palavras,
f(tst−1) = f(s)
para todo s, t ∈ G. Exemplos de funções de classe são os carac-
teres de uma representação, de acordo com a Proposição 2.2.
Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação deG e f : G −→ Cuma função de classe. De�na a transformação linear ρf : V −→ V
por
ρf :=∑s∈G
f(s)ρs. (3.1)
Observe que ρf é um homomor�smo de representações. De fato,
para todo t ∈ G,
ρ−1t ρfρt =∑s∈G
f(s)ρ−1t ρsρt =∑s∈G
f(s)ρt−1st =∑
u=t−1st
f(tut−1)ρu.
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42 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo
Como f é função de classe, temos que f(u) = f(tut−1) e segue
que
ρ−1t ρfρt =∑u∈G
f(u)ρu = ρf .
Proposição 3.1 Seja ρ : G −→ GL(V ) uma representação ir-
redutível de G com caracter χ. Sejam f uma função de classe
em G e ρf : V −→ V a transformação linear de�nida por
ρf :=∑s∈G
f(s)ρs.
Então ρf = λIdV , onde λ =|G|
dim(V )〈f, χ〉.
Demonstração: Observe que ρf é a mesma transformação li-
near de�nida em (3.1). Portanto, sabemos que ρf é homomor-
�smo de representações. Pelo Teorema 2.4, ρf = λIdV . Além
disso, segue do Corolário 2.6, item 2, que
λ =1
dim(V )Tr(ρf ) =
1
dim(V )
∑s∈G
f(s)χ(s) =1
dim(V )〈f, χ〉,
o que demonstra a proposição.�
Vimos na Seção 2.4 que os caracteres de representações
irredutíveis não isomorfas de G formam um subconjunto orto-
normal de C[G]. Uma pergunta natural é: qual é o subespaço
de C[G] gerado pelos caracteres irredutíveis de G? Na próxima
seção usaremos a Proposição 3.1 para responder esta pergunta.
3.2 O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis
Denote por Cl[G] o conjunto das funções de classe em
G:
Cl[G] := {f : G −→ C|f é função de classe}.
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3.2. O espaço gerado pelos caracteres irredutíveis 43
Observe que Cl[G] ⊂ C[G] é subespaço vetorial que contém os
caracteres de G. Além disso, os caracteres irredutíveis de G for-
mam um subconjunto ortogonal de Cl[G].
Dada uma representação ρ : G −→ GL(V ) e uma função
de classe f em G, recorde a transformação linear
ρf =∑s∈G
f(s)ρs
de�nida em (3.1). A Proposição 3.1 relaciona a transformação ρfcom o produto interno entre f e o caracter da representação V . O
próximo teorema usa esta relação para mostrar que o subespaço
de C[G] gerado pelos caracteres irredutíveis de G é Cl[G]. O
seguinte exercício de Álgebra Linear será usado na demonstração
do teorema.
Exercício 3.1 Sejam V um espaço vetorial com produto interno
e S = {v1, . . . , vn} ⊂ V um subconjunto. Seja w ∈ V um vetor
não nulo tal que 〈w, vi〉 = 0 para todo i = 1, . . . , n. Mostre que
w /∈ ger(S), onde ger(S) é o subespaço de V gerado por S.
Teorema 3.2 Seja β := {χ1, . . . , χn} o conjunto formado pelos
caracteres irredutíveis do grupo G. Então β é uma base ortonor-
mal de Cl[G].
Demonstração: O Teorema 2.9 mostra que β é um subconjunto
ortonormal de Cl[G]. Devemos mostrar que este conjunto gera
Cl[G]. Para isto, mostraremos que se f ∈ Cl[G] é tal que
〈f, χi〉 = 0 (3.2)
para todo i = 1, . . . , n, então f = 0. Feito isto, a a�rmação do
teorema segue do Exercício 3.1.
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44 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo
Para cada representação ρ : G −→ GL(V ), seja
ρf =∑s∈G
f(s)ρs
a transformação linear de�nida em (3.1). Se ρ é uma represen-
tação irredutível, então ρf = 0. De fato, se Vi é a representação
irredutível de G associada a χi, então a Proposição 3.1 a�rma
que ρf = λIdVi, onde
λ =|G|
dim(Vi)〈f, χi〉.
Segue da hipótese (3.2) que λ = 0 e portanto ρf = 0. Como
qualquer representação pode ser escrita como soma direta de
representações irredutíveis, concluímos que ρf = 0 para qualquer
representação de G.
Considere agora a representação regular % : G −→ GL(V ),
dada no Exemplo 1.4. A imagem do vetor e1 será
%f (e1) =∑s∈G
f(s)%s(e1) =∑s∈G
f(s)es.
Como %f = 0, obtemos que f(s) = 0 para todo s ∈ G.�
O seguinte corolário estabelece o número de representa-
ções irredutíveis de um grupo �nito G.
Corolário 3.3 O número de representações irredutíveis do grupo
G é igual ao número de classes de conjugação de G.
Demonstração: Pelo Teorema 3.2, a dimensão de Cl[G] é igual
ao número de representações irredutíveis não isomorfas deG. Por
outro lado, se c1, . . . , ck são as classes de conjugação distintas de
![Page 47: Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051714/587386921a28ab14648b9d15/html5/thumbnails/47.jpg)
3.3. Tabelas de caracteres irredutíveis 45
G, então dizer que uma função f : G −→ C é uma função de
classe é o mesmo que dizer que f é constante em cada ci, para
i = 1, . . . , k. Em outras palavras, se ξi são as funções de classe
de�nidas por
ξi(s) =
{1, se s ∈ ci0, se s /∈ ci
para i = 1, . . . , k, então
f =
k∑i=1s∈ci
f(s)ξi.
Isto mostra que a dim(Cl[G]) = k. Portanto o número de re-
presentações irredutíveis de G é igual ao número de classes de
conjugação de G.�
3.3 Tabelas de caracteres irredutíveis
A tabela de caracteres irredutíveis de um grupo �nito
G reúne todas as informações necessárias para se conhecer os
caracteres de G e, consequentemente, as representações de G.
A primeira linha da tabela contém as classes de conjugação de
G. A classe de conjugação do elemento s ∈ G continuará a ser
denotada por [s] e o número de elementos desta classe, que for-
mará a segunda linha da tabela, será denotado por #[s]. Em
seguida virão os caracteres irredutíveis de G, um por linha, com
o respectivo valor deste caracter na classe de conjugação. Ao
montar as tabelas usaremos livremente os seguintes resultados
vistos durante o curso:
• o número de representações irredutíveis de G é igual ao
número de classes de conjugação de G (Corolário 3.3);
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46 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo
[s] [0] [1] [2]#[s] 1 1 1
χ1 1 1 1χ1 1 ω ω2
χ2 1 ω2 ω
Tabela 1 � Caracteres irredutíveis de Z3
• se n1, . . . , nk são os graus das representações irredutíveis
de G, então∑i n
2i = |G| (Corolário 2.15);
• se χ1, . . . , χk e n1, . . . , nk são os caracteres irredutíveis e os
graus das representações irredutíveis deG, então∑i niχi(s) =
0 para todo s ∈ G, com s 6= e (Corolário 2.15);
• se φ : G −→ H é um homomor�smo de grupos, então
podemos induzir caracteres irredutíveis em G a partir dos
caracteres de H por composição com φ (Exercício 2 do
Capítulo 1);
No que se segue, o caracter da representação unitária, vista no
Exemplo 1.1, será denotado por χ1.
3.3.1 Z3
De acordo com o Corolário 2.5, as representações irre-
dutíveis de um grupo abeliano têm grau 1. Como Z3 é abeliano
com 3 elementos, este grupo possui 3 classes de conjugação e,
portanto, 3 representações irredutíveis não isomorfas. Vimos no
Exemplo 1.3 uma representação irredutível de Z3. A Tabela 1,
onde ω = e2πi/3, contém os caracteres irredutíveis de Z3..
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3.3. Tabelas de caracteres irredutíveis 47
[s] [e] [(12)] [(123)]#[s] 1 3 2
χ1 1 1 1χσ 1 −1 1χ3 2 0 −1
Tabela 2 � Caracteres irredutíveis de S3
3.3.2 S3
Sabemos que S3 possui duas representações de grau 1:
as representações unitária e sinal dadas nos Exemplos 1.1 e 1.2,
respectivamente. Como S3 possui 3 classes de conjugação, resta
encontrar uma representação irredutível. Seja n o grau desta
representação. Sabemos que 12+12+n2 = |S3| = 6. Logo n = 2.
De fato, esta representação de grau 2 é a ação de S3 no triângulo
equilátero que permuta os seus vértices, exibida no Exemplo 1.5.
A Tabela 2 contém os caracteres irredutíveis de S3.
3.3.3 A4
Inicialmente, observe que A4 possui um subgrupo nor-
mal, a saber,
K := {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ⊂ A4,
conhecido como grupo de Klein e A4/K ∼= Z3. Logo, podemos
usar este isomor�smo de grupos para induzir representações em
A4 a partir das representações de Z3. De fato, se ρ : Z3 −→GL(V ) é uma representação irredutível de Z3, então a composi-
ção
A4π−→ A4
K
ρ−→ GL(V )
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48 Capítulo 3. Os caracteres irredutíveis de um grupo
[s] [e] [(123)] [(132)] [(12)(34)]#[s] 1 4 4 3
χ1 1 1 1 1χ2 1 ω ω2 1χ3 1 ω2 ω 1χ4 3 0 0 -1
Tabela 3 � Caracteres irredutíveis de A4
é uma representação irredutível de A4. Além disso, se s e t
são elementos de A4 tais que π(s) = π(t), então teremos que
ρ(π(s)) = ρ(π(t)). A Tabela 3 contém os caracteres irredutíveis
de A4, onde os três primeiros caracteres foram encontrados a
partir da tabela de caracteres de Z3, vista na Seção 3.3.1. Já o
caracter χ4 foi encontrada usando o Corolário 2.15. No próximo
capítulo encontraremo a representação χ4 a partir de rotações
do tetraedro regular.
3.3.4 S4
Assim como no caso de A4, o grupo de Klein K =
{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} também é subgrupo normal de
S4. Além disso, S4/K ∼= S3. Logo as representações irredutíveis
de S3 induzem representações irredutíveis em S4 via a composi-
ção
S4 −→S4
K−→ GL(V ).
Abaixo temos a tabela de caracteres de A4, onde os três primeiros
caracteres foram encontrados a partir da tabela de caracteres de
S3, vista na Seção 3.3.2. Os caracteres χ4 e χ5 serão encontrados
no próximo capítulo a partir da ação de S4 no cubo.
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3.3. Tabelas de caracteres irredutíveis 49
[s] [e] [(12)] [(123)] [(1234)] [(12)(34)]#[s] 1 6 8 6 3
χ1 1 1 1 1 1χσ 1 −1 1 −1 1χ3 2 0 −1 0 2χ4 3 1 0 -1 -1χ5 3 -1 0 1 -1
Tabela 4 � Caracteres irredutíveis de S4
[s] [e] [(123)] [(12)(34)] [(12345)] [(13245)]#[s] 1 20 15 12 12
χ1 1 1 1 1 1
φI1 3 0 −1 1+√5
21−√5
2
φI2 3 0 −1 1−√5
21+√5
2
χV 4 1 0 −1 −1χ 5 −1 1 0 0
Tabela 5 � Caracteres irredutíveis de A5
3.3.5 A5
A Tabela 5 contém os caracteres irredutíveis do grupo
A5. Eles serão encontrados no próximo capítulo a partir de ro-
tações do icosaedro regular. Ela também pode ser obtida por
rotações do dodecaedro regular, visto que este é o sólido de Pla-
tão dual do icosaedro.
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51
4 Representações e sólidos de
Platão
Existem cinco sólidos de Platão, também conhecidos
como poliedros regulares: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o ico-
saedro e o dodecaedro. Cada um deles de�ne um grupo �nito de
rotações no espaço tridimensional, composto por todas as rota-
ções que preservam a posição inicial do poliedro. Estes grupos
podem ser identi�cados com grupos de permutações que agem
nos sólidos. Nesta seção relacionaremos caracteres dos grupos
A4, S4 e A5 com ações destes grupos nos poliedros regulares.
Como o octaedro é o poliedro dual do cubo, eles possuem o
mesmo grupo de simetria. Pelo mesmo motivo, o icosaedro e o
dodecaedro também possuem o mesmo grupo de simetria. Mais
detalhes sobre simetrias em sólidos de Platão podem ser encon-
trados em [1].
4.1 Representações por permutações e pontos �xos
Recorde o Exercício 1 do Capítulo 1. Ele trata da re-
presentação por permutações de um conjunto �nito X. Se G é
um grupo �nito que age em X, de�nimos esta representação da
seguinte maneira. Seja V o espaço vetorial complexo com base
{ex}x∈X indexada pelos elementos de X. Para cada s ∈ G de-
�na ρs : V −→ V por ρs(ex) = esx. A função ρ : G −→ GL(V )
de�nida por s 7−→ ρs é a representação por permutações de X.
A seguinte proposição relaciona o caracter da representação por
![Page 54: Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051714/587386921a28ab14648b9d15/html5/thumbnails/54.jpg)
52 Capítulo 4. Representações e sólidos de Platão
permutações com os pontos �xos da ação de G em X.
Proposição 4.1 Seja G um grupo �nito que age no conjunto
X e ρ : G −→ GL(V ) a representação por permutações de X.
Então o valor do caracter χV em s ∈ G é o número de pontos
�xos de s:
χV (s) = #{x ∈ X|sx = x}.
Demonstração: Considere β := {ex}x∈X , a base de V indexada
pelos elementos de X. Por de�nição, para todo x ∈ X temos que
ρs(ex) = esx.Logo, se (aij) é a matriz que representa ρs na base
β e a k-ésima coluna dessa matriz está associada ao elementos
x ∈ X, então
akk =
{1, se sx = x
0, se sx 6= x.
Portanto
χV (s) = Tr(ρs) = Tr(aij) = #{x ∈ X|sx = x},
o que conclui a demonstração.�
4.2 Simetrias em sólidos de Platão
4.2.1 Tetraedro
Considere a ação de A4 nos vértices do tetraedro. Deno-
taremos esta ação por T . A �m de calcular o caracter desta ação,
basta conhecer a ação dos elementos e, (123), (132) e (12)(34) de
A4. Estas ações são descritas geometricamente na Figura 2.
![Page 55: Introdução às representações de grupos finitos, IIIo Colóquio de](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022051714/587386921a28ab14648b9d15/html5/thumbnails/55.jpg)
4.2. Simetrias em sólidos de Platão 53
Figura 2 � Ação dos elementos (123), (132) e (12)(34), respecti-vamente, nos vértices do tetraedro.
[s] [e] [(123)] [(132)] [(12)(34)]
φT 4 1 1 0
Tabela 6 � Caracter da ação de A4 no tetraedro
Denote por φT o caracter desta ação. Usando a Pro-
posição 4.1 para calcularmos esse caracter obtemos os valores
contidos na Tabela 6
Sabemos da Seção 3.3.3 que A4 não possui caracter irre-
dutível de grau 4. Portanto φT não é irredutível. Outra forma de
concluirmos que φT não é irredutível é calcular 〈φT , φT 〉 e usar
o Corolário 2.12.
Calculando o produto interno entre φT e o caracter da
representação unitária obtemos 〈φT , χ1〉 = 1. Portanto a repre-
sentação unitária ocorre 1 vez em T , ou seja, T = 1⊕W , ondeW
é uma representação de A4 de grau 3. Segue desta decomposição
que
φT = χ1 + χW ,
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54 Capítulo 4. Representações e sólidos de Platão
Figura 3 � Ação dos elementos (12), (123), (1234) e (12)(34),respectivamente, nas diagonais principais do cubo.
então χW = φT − χ1 e podemos calcular os valores do caracter
χW .
Calculando 〈χW , χW 〉 = 1, obtemos que χW é irredutí-
vel. Comparando este caracter com aqueles encontrados na Seção
3.3.3, observamos que χW = χ4 e concluímos que a ação de A4
no tetraedro é a soma das representações irredutíveis χ1 + χ4.
4.2.2 Cubo e octaedro
Considere a ação de S4 no cubo que permuta as dia-
gonais principais deste poliedro. Denotaremos esta ação por C.
Para calcular o caracter desta ação basta saber a ação dos ele-
mentos e, (12), (123), (1234) e (12)(34). A Figura 3 mostra geo-
metricamente estas ações. Observe que nesta �gura destacamos
apenas os extremos de cada diagonal principal.
Denote por φC o caracter desta ação. Podemos calcular
φC usando a Proposição 4.1. Os valores obtidos estão na Tabela
7.
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4.2. Simetrias em sólidos de Platão 55
[s] [e] [(12)] [(123)] [(1234)] [(12)(34)]
φC 4 2 1 0 0
Tabela 7 � Caracter da ação de S4 no cubo
A representação φC não é irredutível. Calculando o pro-
duto interno 〈φC , χ1〉 = 1, temos que a representação C se de-
compõe como C = 1 ⊕W , onde W é uma representação de S4
de grau 3. Segue desta decomposição que
φC = χ1 + χW ,
e podemos calcular os valores do caracter χW . Em seguida
Calculando 〈χW , χW 〉 = 1, obtemos que χW é irredutí-
vel. Este caracter corresponde ao caracter χ4 na tabela 4. Já o
caracter χ5 é χσ · χW , correspondente à representação W ⊗ σ.Para de�nição e propriedades do produto tensorial de represen-
tações consulte [2].
4.2.3 Icosaedro e dodecaedro
Por �m, estudaremos as simetrias do icosaedro e encon-
traremos a tabela dos caracteres irredutíveis do seu grupo de
permutações, a saber, A5. Este grupo possui 60 elementos divi-
didos em 5 classes de conjugação: [e], [(123)], [(12)(34)], [(12345)]
e [(13245)].
A ação de A5 no icosaedro resulta em rotações que pre-
servam a posição inicial do poliedro. A lista abaixo relaciona o
elemento de A5 com a respectiva rotação e exibe a matriz de
rotação em uma base adequada:
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56 Capítulo 4. Representações e sólidos de Platão
• e: matém o sólido �xo;
• (123): rotação de ângulo θ1 := 2π3 em torno de um eixo
perpendicular a duas faces opostas −1/2 −√3/2 0√
3/2 1/2 0
0 0 1
;
• (12)(34): rotação de ângulo π em torno de um eixo per-
pendicular a duas arestas opostas; −1 0 0
0 −1 0
0 0 1
;
• (12345): rotação de ângulo θ1 := 2π5 em torno de um eixo
através de dois vértices opostos; cosθ1 −senθ1 0
senθ1 cosθ1 0
0 0 1
;
• (13245): rotação de ângulo θ2 := 4π5 em torno de um eixo
através de dois vértices opostos cosθ2 −senθ2 0
senθ2 cosθ2 0
0 0 1
;
Denotaremos o caracter desta representação por φI1.
Podemos obter outra ação de A5 no icosaedro permutando o
valor dos ângulos θ1 e θ2 e mantendo a inalterada a ação de
e, (123) e (12)(34). Chamaremos o caracter desta nova ação de
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4.2. Simetrias em sólidos de Platão 57
[s] [e] [(123)] [(12)(34)] [(12345)] [(13245)]
ψ 5 2 1 0 0
Tabela 8 � Caracter da ação de A5 em {1, 2, 3, 4, 5}
φI2. Podemos calcular diretamente os valores assumidos por es-
ses caracteres:
Veri�cando que 〈φI1, φI1〉 = 〈φI2, φI2〉 = 1, obtemos
que ambos os caracteres são irredutíveis.
Outro caracter de A5 pode ser encontrado analisando a
ação natural de A5 em {1, 2, 3, 4, 5}. Denote o caracter desta açãopor ψ. Usando a Proposição 4.1 obtemos os valores da Tabela 8.
Calculando 〈ψ, χ1〉 = 1, vemos que a representação uni-
tárica ocorre 1 vez nesta representação. Portanto ela não é irre-
dutível e se decompõe como V ⊕ 1. O caracter de V é χV :=
ψ−χ1 e pode ser calculado facilmente. Além disso, 〈χV , χV 〉 = 1
e concluímos que V é irredutível. Já encontramos quatro carac-
teres irredutíveis de A5, a saber: χ1, φI1, φI2 e χV , cuja soma dos
quadrados dos graus é 12+32+32+42 = 35. Portanto o caracter
irredutível restante, que chamaremos, χ tem grau 5. Ele pode ser
encontrado usando o Corolário Corolário 2.15. Desta forma en-
contramos todos os caracteres irredutíveis de A5 constantes na
Tabela 5.
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59
Referências
[1] B. Simon, Representations of Finite and Compact Groups,
GSM, Vol 10, AMS, 1996.
[2] J.P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, GTM,
Vol 42, Springer-Verlag, 1977.
[3] R. Heluani, Notas de aula. Disponível em: http://w3.
impa.br/~heluani/. Acesso em: 28 fev. 2014.
[4] W. Fulton e J. Harris, Representation Theory, a �rst course,
GTM, Springer-Verlag, 1991.