introducci on a la investigaci on en matem atica...

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Introduccion a las ecuaciones diferencialesSistemas depredador-presa de tipo Gause

Deteccion de hipocalcemia tras una tiroidectomıaSuperficies de energıa potencial

Automatizacion agrıcola

Introduccion a la Investigacion en MatematicaAplicada

Jose Luis Bravo Trinidad

21 de octubre de 2016

Jose Luis Bravo Trinidad Introduccion a la Investigacion en Matematica Aplicada

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IntroduccionSistemas planosProblema 16 de HilbertProblema del centro-foco

Ecuaciones diferenciales

Una ecuacion diferencial:

F(t, x(t), x ′(t), . . . , x (m)(t)

)= 0, x(t) ∈ U ⊂ Rn.

Una solucion es una funcion x(t) que verifica la ecuacion.

Ejemplo: x ′(t) = x(t) es una ecuacion diferencial y x(t) = et + 2es una solucion.

Algunos tipos especiales:

Autonomo: F(x(t), x ′(t), . . . , x (m)(t)

)= 0

De primer orden: F(t, x(t), x ′(t)

)= 0

Autonomo de primer orden: x ′(t) = F(x(t)

).


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Sistemas planos

Son sistemas de la forma:

{x ′(t) = f (x(t), y(t)),

y ′(t) = g(x(t), y(t))

donde f , g son funciones dadas.

Podemos representar la ecuacioncomo un campo de vectores:

- 3 - 2 -1 0 1 2 3

- 3

- 2

-1

0

1

2

3

x ′(t) = −1− x2(t) + y(t),y ′(t) = 1 + x(t)− y2(t)


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Sistemas planos

Punto singular: Solucionesde {

0 = f (x , y),

0 = g(x , y)

Ciclo lımite:Soluciones “cerradas”


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Problema 16 de Hilbert

Obtener una cota del numero de ciclos lımite del sistema{x ′(t) = P(x(t), y(t)),

y ′(t) = Q(x(t), y(t))

en terminos unicamente de los grados de P y Q.


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Problema del centro-foco de Poincare

Caracterizar los sistemas polinomicos planos que tienen un centro.


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Moelo de MalthusModelo de VerhulstModelo de Lotka-VolterraModelo de Gause

Modelo de Malthus (crecimiento exponencial)

p(t) poblacion en el instante t

c = n − d tasa de nacimientos menos defunciones

p′(t) = cp(t)

t

p


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Modelo de Verhulst (ecuacion logıstica)

p(t) poblacion

c = n − d tasa de nacimientos menos defunciones

K capacidad del sistema

p′(t) = cp(t)− c

Kp2(t)

t

p


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Modelo de Lotka-Volterra (depredador-presa)

{x ′ = Ax − Bxy ,

y ′ = −Cy + Dxy

Figura: Depredador y presa


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Modelo Lotka-Volterra (depredador-presa)

Pulgones

Mar

iqu

itas

t


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Un modelo de Gause

Consideremos

x(t) la poblacion de la presa

y(t) la poblacion del predador

F (x) crecimiento de la presa en ausencia del predador

φ(x) tasa de caza del predador

ψ(x) rendimiento de la caza

µ tasa de defuncion del predador{x ′ = F (x)− yφ(x),

y ′ = y(ψ(x)− µ)

donde F (x) = rx(1− x), φ(x) = ψ(x) = x1/2, k , r , µ > 0.


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Estudio cualitativo

Figura: Estabilidad del punto crıtico

Figura: Dinamica global


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Control del calcio ionicoModelo del calcioResultados

Control del calcio ionico mediante la PTH


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Modelo (muy) simplificado

Hipotesis de trabajo:

La parte lineal domina ladinamica

Se puede despreciar ladifusion

No es necesario considerarla vitamina D

El calcio siempre vuelve almismo nivel

Modelo:

C (t) concentracion decalcio ionico en sangre

P(t) concentracion dePTH en sangre

C0 nivel de equilibrio delcalcio ionico{

C ′(t) = a(C (t)− C0) + bP(t),

P ′(t) = d(C (t)− C0)


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Resultados obtenidos

1 2 3 4 5 65

6

7

8

9

10

11

TT30040321

Fila 14 Fila 14

1 2 3 4 5 65

6

7

8

9

10

11

TT25020321

Fila 4 Fila 4


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Reaccion CH4 + H → CH3 + H2Energıa potencialModeloOptimizacion

Reaccion CH4 + H → CH3 + H2

C C

H H

H H

H

H

H

H

H

H


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Energıa potencial

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

1

2

3

4

5


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Modelo de PES (LEPS)

0,03812

2(D1HH(e−2αHH(−ReHH+

√(−x0+x1)2+(−y0+y1)2+(−z0+z1)2)

− 2e−αHH(−ReHH+√

(−x0+x1)2+(−y0+y1)2+(−z0+z1)2)

+ D3HHe−2αHH(−ReHH+√

(−x0+x1)2+(−y0+y1)2+(−z0+z1)2)

+ 2e−αHH(−ReHH+√

(−x0+x1)2+(−y0+y1)2+(−z0+z1)2)))

+1

2(D1HH(e−2αHH(−ReHH+

√(−x0+x2)2+(−y0+y2)2+(−z0+z2)2)

− 2e−αHH(−ReHH+√

(−x0+x2)2+(−y0+y2)2+(−z0+z2)2))+

D3HH(e−2αHH(−ReHH+√

(−x0+x2)2+(−y0+y2)2+(−z0+z2)2))+

2e−αHH(−ReHH+√

(−x0+x2)2+(−y0+y2)2+(−z0+z2)2)))) + . . .Jose Luis Bravo Trinidad Introduccion a la Investigacion en Matematica Aplicada

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Optimizacion

Se introduce en la optimizacion:

EnergıasGradientesFrecuencias (Hessiana)

: en distancia de enlace: en camino de reaccionC-H

: en camino de reaccionH-H

Figura: Comparacion de la energıa obtenidaJose Luis Bravo Trinidad Introduccion a la Investigacion en Matematica Aplicada

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Automatizacion

Figura: Cosechadora de fresas


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Automatizacion

Figura: Caracterizacion de una fresa


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