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1 NOTAS DE PROBABILIDAD
1
Introducción a las Probabilidades.
1. ¿QUE ES UNA PROBABILIDAD?
La probabilidad es un número que evalúa la posibilidad de que algo suceda. Es un
valor numérico que va desde cero hasta uno, inclusive que describe la posibilidad
relativa de ocurrencia de un evento.
En el estudio de probabilidades se utilizan tres palabras claves: Experimento,
Resultado y Evento.
Experimento: Cualquier proceso que genere un conjunto de datos ej: El lanzamiento de una moneda, solo existen dos resultados posibles cara ó sello; el lanzamiento de un misil y la observación de su velocidad en tiempos especificados; las opiniones de personas que votan con respecto a un impuesto.
Resultado. Un suceso particular proveniente de un experimento. Ej. Al lanzar una moneda al aire puede caer cara o sello, cada una de estos es un resultado.
Evento. Conjunto de uno más resultados de un experimento
Más definiciones:
Experimento: conjunto de pruebas o realizaciones que se llevan a cabo un número
indefinido de veces y en cada realización se tiene un resultado. Puede ser:
Determinístico: cuyo resultado se puede predecir con certeza.
Aleatorio: cuyo resultado no se puede predecir con certeza.
Espacio Muestral (E): conjunto de resultados posibles que se pueden presentar en
la realización de un experimento. Ej: 2 dados E: [1,2,3,4,5,6].
E 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
En el lanzamiento de 2 monedas. El conjunto de espacio muestral será:
E: [(𝑐, 𝑐), (𝑐, 𝑠), (𝑠, 𝑐), (𝑠, 𝑠)].
2 NOTAS DE PROBABILIDAD
2
Suceso Favorable (𝑨𝒇): conjunto éxito o aquel suceso en el cual se está interesado
que suceda o se presente. Ej: el lanzamiento de dos monedas si se está interesado
en que se presenten dos lados iguales 𝐴𝑓 = [(𝑐, 𝑐), (𝑠, 𝑠)]. En el lanzamiento de dos
dados si se quiere que se presente la suma 7
𝐴𝑓 = [(1,6), (2,5), (3,4)(4,3)(5,2)(6,1)]
Ejemplo propuesto:
En el lanzamiento de dos dados si se quiere que se presente dos números iguales
𝐴𝑓 = [(1,1), (2,2), (3,3)(4,4)(5,5)(6,6)]
Suceso Contrario (𝑨𝒄): Ac = [(𝑐, 𝑠), (𝑠, 𝑐)].
Probabilidad Clásica: es el conjunto de números de casos favorables sobre el
número de casos posibles.
P =# casos favorable
# casos posibles Af =
n(Af)
n(E)
n(Af) = numero cardinal de Af
Ejemplo 1: El lanzamiento de dos monedas, encontrar la probabilidad:
a) Que se presenten dos lados iguales.
b) Que se presenten como mínimo una cara.
E: [(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)]
a) Af = [(c, c), (c, s)] 𝑃 (Af) =
n(Af)
n(E)=
2
4= 0.50 = 50%
b) Af = [(c, c), (c, s)(s, c)] 𝑃 (Af) =
3
4= 0.75 = 75%
Ejemplo 2: El lanzamiento de tres monedas, encontrar la probabilidad:
a) Que se presenten tres lados iguales.
b) Que no se presenten tres lados iguales.
c) Como máximo dos caras.
d) Como mínimo una cara.
E: [(c, c, c), (c, c, s)(c, s, c), (s, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)(s, s, s)]
a) Af = [(c, c, c), (s, s, s)] 𝑃 (Af) =
2
8= 0.25 = 25%
b) Af = [(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] 𝑃 (Af) =
6
8= 0.75 = 75%
3 NOTAS DE PROBABILIDAD
3
Af = [(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] 𝑃 (Af) =
6
8= 0.75 → 75%
c) Af = [(c, c, c)(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] 𝑃 (Af) =
7
8=
0.875 = 87.5%
Ejemplo propuesto:
En dos juego de pico botella encontrar la probabilidad que se presente 2 lados
iguales y como mínimo un pico
E: [(p, p), (b, b), (p, b), (b, p)]
c) Af = [(p, p), (b, b)] 𝑃 (Af) =
n(Af)
n(E)=
2
4= 0.50 = 50%
d) Af = [(p, p), (p, b), (b, p)] 𝑃 (Af) =
3
4= 0.75 = 75%
2. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
1. 0 y 1: la probabilidad siempre está en 0 y 1 por que 0 ≤ Pi ≤ 1 ;
n(Af) ≤ n(E).
2. La suma de todas las probabilidades siempre es igual a 1.
3. La probabilidad del suceso favorable más la probabilidad del suceso
contrario siempre es igual a 1. P(Af) + P(Ac) = 1.
4. La probabilidad del suceso vacío es igual a 0; P(∅) = 0 ∅ = [ ].
5. La probabilidad del espacio muestral es igual a 1; P(E) =n(E)
n(E)= 1.
3. TÉCNICAS DE CONTEO
Se utiliza para encontrar el número de casos posibles en la realización de un
experimento n(E) =?
a) Experimentos con eventos que presentan reemplazamiento
Ejemplo 1: suponga una población N=3, se selecciona una muestra n=2 con
reemplazo encontrar:
a) Espacio muestral.
b) Número de casos posibles.
c) Probabilidad de que se presenten 2 números iguales.
Muestreo con
remplazo
Muestreo sin
remplazo
4 NOTAS DE PROBABILIDAD
4
N=3
a. 𝐸 = [(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)]
b. n(E) = 𝑁𝑛 = 32 = 9
c. Af = [(1,1), (2,2), (3,3)] = P(Af) =n(Af)
n(E)=
3
9= 0.33 = 33%
Ejemplo 2: 1 moneda ⇒ E = [(c, s)] = n(E) = 2;
2 monedas ⇒ E = [(𝑐, 𝑐), (c, s)(𝑠, 𝑐), (𝑠, 𝑠)] = n(E) = 22
a. Probabilidad que se presenten dos lados iguales
Af = [(c, c), (s, s)] 𝑃 (Af) =
2
4= 0.50 = 50%
b. Probabilidad que se presenten como mínimo una cara
Af = [(c, c), (c, s), (𝑠, 𝑐)] 𝑃 (Af) =
3
4= 0.75 = 75%
Ejemplo 3: se lanzan 3 monedas encontrar:
a. El espacio muestral.
b. El número de casos posibles.
c. Como mínimo dos caras.
d. En ninguna se presente cara.
e. Como máximo 3 caras.
a. E: [(c, c, c), (c, c, s)(c, s, c), (s, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)(s, s, s)]
b. 𝑁𝑛 = 23 = 8
c. Af = [(c, c, c), (c, c, s), (c, s, c), (s, c, c)] 𝑃(Af) =4
8= 0.50 = 50%
d. Af = [(s, s, s)] 𝑃(Af) =1
8= 0.125 = 12.5%
e. Af = [(c, c, c)(c, c, s), (s, s, c), (c, s, c), (s, c, s), (c, s, s), (s, c, c)] 𝑃 (Af) =
7
8=
f. 0.875 = 87.5%
1 2 3 ⇒ n=2
5 NOTAS DE PROBABILIDAD
5
b) Experimentos que presentan eventos sin reemplazamiento.
n(E) = CnN =
N!
n! (N − n)!
Ejemplo 4: suponga una población N=3, se selecciona una muestra n=2 sin
reemplazo encontrar E y n(E)
N=3
E = [(1,2), (1,3), (2,3)]
n(E) = CnN =
N!
n! (N − n)!
CnN = Combinaciones de N elementos en n elementos
N! = N factorial
N! = N(N − 1), (N − 2) … !
5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120
2! = 2 ∗ 1 = 2
1! = 1
0! = 1
n(E) = CnN = C2
3 =3!
2! (3 − 2)!=
3 ∗ 2 ∗ 1
2 ∗ 1 ∗ 1= 3
1 2 3
n=2
6 NOTAS DE PROBABILIDAD
6
Otros ejemplos:
Casos posibles en el baloto:
n(E) = C645 = 8145060; P( salga ganador) = P(X) =
1
8145060
Casos posibles en la lotería de 4 números: 104 = 10000 Ahora, La probabilidad
que La probabilidad de que una persona se gane la lotería P(X) = 1/10000
Ejemplo 5: se lanzan dos dados:
a. Cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos.
b. Cuál es la probabilidad con cada dado de obtener 3 puntos como máximo.
c. Cuál es la probabilidad de obtener dos números iguales.
E 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
E = [(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)]
a. Af =6
36= 0.16 = 16.66%
E = [(1,2), (1,3), (1,1), (2,2), (2,1), (2,3)(3,1), (3,2), (3,3)]
b. Af =9
36= 0.25 = 25%
E = [(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)]
c. Af =6
36= 0.16 = 16.66%
Ejemplo propuesto:
Suponga una caja con 1 circulo, 1 cuadrado y 1 triangulo. Se selecciona una
muestra de n=2 con repetición, se regresa a la caja y se vuelve a sacar.
Encontrar: espacio muestral, número de casos posibles, probabilidad que se
presenten 2 figuras geométricas iguales
n=2 1 2 3
7 NOTAS DE PROBABILIDAD
7
𝐸 = [(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)]
n(E) = 𝑁𝑛 = 32 = 9
Af = [(1,1), (2,2), (3,3)] = P(Af) =n(Af)
n(E)=
3
9= 0.33 = 33%
Ejemplo propuesto:
Suponga en una bolsa 1 moneda de $500, una de $200, y una de $50. Si se
selecciona una muestra n=2 sin reemplazo encontrar E y n(E)
A B C
E = [(A, B), (A, C), (B, C)]
n(E) = CnN =
N!
n! (N − n)¡
n(E) = CnN = C2
3 =3!
2! (3 − 2)!=
3 ∗ 2 ∗ 1
2 ∗ 1 ∗ 1= 3
4. REGLAS DE LA PROBABILIDAD
1. Regla de la suma: sucesos independientes y dependientes
2. Regla de la multiplicación: sucesos independientes y dependientes
Regla de la suma
Sucesos independientes: Sea A y B dos sucesos independientes entonces la
probabilidad que se presente el suceso A o B es igual a la probabilidad que se
presente el suceso A más la probabilidad que se presente el suceso B. P(A ∪ B) =
P(A) + P(B) =n(A)
n(E)+
n(B)
n(E)
Ejemplo 1: En una oficina hay 2 directores, 8 ejecutivos y 10 secretarias. Si
selecciona un empleado encontrar la probabilidad de que ese empleado sea director
o que sea ejecutivo.
8 NOTAS DE PROBABILIDAD
8
2 + 8 + 10 = 20
P(A ∪ B) =2
20+
8
20= 0.1 + 0.40 = 0.50 = 50%
Ejemplo 2: se lanza un dado encontrar la probabilidad que se presente un numero
par o se presente el 3.
E
E = [1,2,3,4,5,6]
Af = [2,4,6] =3
6= 0.5 = 50% Af = [3] =
1
6= 0.16 = 16.66%
P(A) = 0.5 + 0.16 = 66.66%
Ejemplo propuesto:
En un colegio hay 2 profesores de química, 5 de matemáticas y 3 de física. Si se
seleccionara un profesor, encontrar la probabilidad de que sea de química o de
matemáticas
2 + 3 + 5 = 10 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠
P(A ∪ B) =2
10+
5
10= 0.2 + 0.5 = 0.7 = 70%
Dependencia de la suma: Sea A y B dos sucesos dependientes, entonces la
probabilidad que se presente el suceso A o el suceso B, está dada por la
probabilidad que se presente el suceso A más la probabilidad que se presente el
suceso B menos la probabilidad que se presenten ambos sucesos. P(A ∪ B) =
P(A) + P(B) − P(A ∩ B) =n(A)
n(E)+
n(B)
n(E)−
n(A∩B)
n(E) (A ∩ B) ≠ 0.
Ejemplo: En una encuesta realizada a 20 amas de casa se obtuvo la siguiente
información: 10 utilizaban solamente shampoo, 8 utilizaban solamente jabón y 2
2, 4, 6 3
A B
1, 2, 5
9 NOTAS DE PROBABILIDAD
9
utilizaban ambos productos. Encontrar la probabilidad de que una ama de casa
utilice shampoo o jabón.
10
20+
8
20−
2
20= 0.5 + 0.4 − 0.1 = 0.8 = 80%
Ejemplo propuesto:
Al hacer 15 lasañas se obtuvo la siguiente información de las ventas: 5 compraron
carne, 7 compraron de pollo y 3 fueron mixtas. Encontrar la probabilidad de que
alguien compre carne o pollo.
5
15+
7
15−
3
15= 0.33 + 0.46 − 0.2 = 0.59 = 59%
Regla de la multiplicación
Independencia: Sean A y B dos sucesos independientes entonces la probabilidad
que se presente ambos sucesos A y B es igual a la probabilidad que se presente el
suceso A por la probabilidad que se presente el suceso B. P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =n(A)
n(E)∗
n(B)
n(E).
Ejemplo 1: suponga dos maquinas A y B que producen artículos defectuosos y no
defectuosos. El 20% de los artículos producidos por la maquina A son defectuosos
en cambio el 70% de los artículos producidos por la maquina B son no defectuosos.
Si se selecciona aleatoriamente un articulo de cada producción, Encontrar la
probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos.
A=suceso articulo defectuoso maquina A⇒ P(A) = 0.20
B=suceso articulo defectuoso maquina B⇒ P(B) = 0.30
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) = 0.20 ∗ 0.30 = 0.06 = 6%
Ejemplo 2: Se lanzan dos dados uno blanco y el otro negro, encontrar la
probabilidad de que en ambos dados se presente un numero par.
A=suceso dado blanco se presente par ⇒ 𝐴 = [2,4,6]
B=suceso dado negro se presente par ⇒ 𝐵 = [2,4,6]
10 NOTAS DE PROBABILIDAD
10
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =n(A)
n(E)∗
n(B)
n(E)=
3
6∗
3
6=
9
36= 0.25 = 25%.
Ejemplo propuesto:
Una empresa de zapatos tiene dos sedes una en el norte y la otra en el sur. El 5%
de los zapatos producidos en la sede del norte son defectuosos en cambio el 85%
de los zapatos producidos en la sede norte son no defectuosos. Si se selecciona
aleatoriamente un par de zapatos de cada producción encontrar la probabilidad de
que ambos pares de zapatos sean defectuosos.
N=suceso zapatos defectuosos sede norte⇒ P(N) = 0.05
S=suceso zapatos defectuoso sede sur⇒ P(S) = 0.15
P(N ∩ S) = P(N) ∗ P(S) = 0.05 ∗ 0.15 = 0.75%
Dependencia: Sean A y B dos sucesos dependientes, entonces la probabilidad que
se presente ambos sucesos A y B, es igual a la probabilidad que se presente el
suceso A por la probabilidad que se presente el suceso B dado que ya se presentó
el suceso A. P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) → B dado A P(𝐵 𝐴⁄ ) =P(A∩B)
P(A).
En la independencia la P(𝐵 𝐴⁄ ) = P(B).
Ejemplo: en el grupo de estadística 1 hay 20 mujeres y 10 hombres, si se
seleccionan dos estudiantes aleatoriamente para constituir un comité, encontrar la
probabilidad:
a. Ambos estudiantes sean mujeres.
b. 1 mujer, 1 hombre.
c. Ambos estudiantes sean hombres.
d. 1 hombre, 2 mujeres.
a. A= primer estudiante sea mujer
B= segunda estudiante sea mujer
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =20
30∗
19
29= 0.66 ∗ 0.65 = 0.436 = 43.6%.
b. A= primer estudiante sea mujer
B= segundo estudiante sea hombre
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =20
30∗
10
29= 0.66 ∗ 0.34 = 0.22 = 22.98%.
20 M 10 H
A B
11 NOTAS DE PROBABILIDAD
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c. A= primer estudiante sea hombre
B= segundo estudiante sea hombre
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =10
30∗
9
29= 0.33 ∗ 0.31 = 0.10 = 10.34%.
d. A= primer estudiante sea hombre
B= primer estudiante sea mujer
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =10
30∗
20
29= 0.33 ∗ 0.68 = 0.22 = 22.98%.
Ejemplo propuesto:
En una finca hay 45 perros y 10 gatos. Si se selecciona dos animales para la
venta: encontrar la probabilidad de que A. ambos sean perros; B. un perro y un
gato; C. ambos sean gatos y D. un gato y un perro.
a. A= primer animal sea perro
B= segunda animal sea pero
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B) =45
55∗
44
54= 0.81 ∗ 0.81 = 66.6%.
b. A= primer animal sea perro
B= primer animal sea gato
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =45
55∗
10
54= 0.81 ∗ 0.18 = 0.15 = 15%.
c. A= primer animal sea gato
B= primer animal sea gato
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =10
55∗
9
54= 0.18 ∗ 0.16 = 0.030 = 3.03%.
d. A= primer estudiante sea hombre
B= primer estudiante sea mujer
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =10
55∗
45
54= 0.18 ∗ 0.83 = 0.15 = 15.15%.
Teorema de Bayes
Consiste en dos preguntas1:
1. Se selecciona un artículo de la gran producción encontrar la probabilidad de
que ese artículo sea defectuoso. P(D) = P(A1nD) + P(A2nD) + ⋯ + P(AinD) +
⋯ + P(AnnD) = P(A1)P(D A1⁄ ) + P(A2)P(D A2⁄ ) + ⋯ + P(Ai)P(D Ai⁄ ) +
P(An)P(D An⁄ ).
1 Mirar ejemplo 1 Regla de la multiplicación.
12 NOTAS DE PROBABILIDAD
12
2. Suponga que se seleccionó un artículo y resulto ser defectuoso, encontrar
la probabilidad que ese artículo que resulto ser defectuoso sea de la
maquina A. P(Ai D⁄ ) =P(Ai)P(D Ai⁄ )
P(A1)P(D A1⁄ )+P(A2)P(D A2⁄ )+⋯+P(Ai)P(D Ai⁄ )…+P(A2)P(D A2⁄ )
∑ P(Ai D⁄ )
n
i=1
= 1
Ejemplo 1: Suponga una caja rectangular que contiene 3 urnas 𝑈1, 𝑈2 𝑦 𝑈3 con
la siguiente distribución.
1. Se Selecciona aleatoriamente 1 bola encontrar la probabilidad que esa bola
sea blanca:
P(B) = P(U1)P(B U1⁄ ) + P(U2)P(B U2⁄ ) + P(U3)P(B U3⁄ )
P(U1) = P(U2) = P(U3) =1
3
P(B) =1
3∗
3
10+
1
3∗
4
10+
1
3∗
2
10=
3
30+
4
30+
2
30=
9
30= 0.3 = 30%
2. Suponga que se selecciona una bola y resulto ser blanca encontrar la
probabilidad de que esa bola sea de:
a. La urna 1.
P(U1 B⁄ ) =P(U1)P(B U1⁄ )
P(U1)P(B U1⁄ ) + P(U2)P(B U2⁄ ) + P(U3)P(B U3⁄ )
13 ∗
310
13 ∗
310 +
13 ∗
410 +
13 ∗
210
=
3309
30
=3
9= 0.33 = 33%
b. La urna 2.
P(U1 B⁄ ) =P(U2)P(B U2⁄ )
P(U1)P(B U1⁄ ) + P(U2)P(B U2⁄ ) + P(U3)P(B U3⁄ )
13 ∗
410
13 ∗
310 +
13 ∗
410 +
13 ∗
210
=
4309
30
=4
9= 0.44 = 44%
c. La urna 3.
13 NOTAS DE PROBABILIDAD
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P(U1 B⁄ ) =P(U3)P(B U3⁄ )
P(U1)P(B U1⁄ ) + P(U2)P(B U2⁄ ) + P(U3)P(B U3⁄ )
13 ∗
210
13
∗3
10+
13
∗4
10+
13
∗2
10
=
2309
30
=2
9= 0.22 = 22%
Ejemplo propuesto:
Suponga una frutería que contiene 5 canastas 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 𝑦 𝐶5 con la siguiente
distribución:
1. Se selecciona aleatoriamente una fruta encontrar la probabilidad de que
esa fruta sea pera.
P(p) = P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ ) + P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ ) + P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ ) + P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ )
+ P(𝐶5 )P(p 𝐶5 ⁄ )
P(𝐶1) = P(𝐶2) = P(𝐶3) = P(𝐶4 ) = P(𝐶5) =1
5
P(B) =1
5∗
3
15+
1
5∗
4
15+
1
5∗
5
15+
1
5∗
7
15+
1
5∗
5
15=
1
25+
4
75+
1
15+
7
75+
1
15
=8
25= 0.32 = 32%
2. Suponga que se selecciono una fruta y resulto ser pera, encontrar la
probabilidad de que la pera se de la 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4 𝑦 𝐶5
La canasta 1.
P(𝐶1 p⁄ )
=P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ )
P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ ) + P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ ) + P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ ) + P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ ) + P(𝐶5 )P(p 𝐶5 ⁄ )
15
∗3
1515 ∗
315 +
15 ∗
415 +
15 ∗
515 +
15 ∗
715 +
15 ∗
515
=
1258
25
=1
8= 0.125 = 15.5%
14 NOTAS DE PROBABILIDAD
14
La canasta 2.
P(𝐶2 p⁄ )
=P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ )
P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ ) + P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ ) + P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ ) + P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ ) + P(𝐶5 )P(p 𝐶5 ⁄ )
15
∗4
1515 ∗
315 +
15 ∗
415 +
15 ∗
515 +
15 ∗
715 +
15 ∗
515
=
4758
25
=1
6= 0.16 = 16.6%
La canasta 3=5.
P(𝐶3 p⁄ )
=P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ )
P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ ) + P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ ) + P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ ) + P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ ) + P(𝐶5 )P(p 𝐶5 ⁄ )
15
∗5
1515 ∗
315 +
15 ∗
415 +
15 ∗
515 +
15 ∗
715 +
15 ∗
515
=
1158
25
=5
24= 0.20 = 20.8%
La canasta 4.
P(𝐶2 p⁄ )
=P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ )
P(𝐶1)P(p 𝐶1⁄ ) + P(𝐶2)P(p 𝐶2⁄ ) + P(𝐶3)P(p 𝐶3⁄ ) + P(𝐶4 )P(p 𝐶4 ⁄ ) + P(𝐶5 )P(p 𝐶5 ⁄ )
15
∗7
1515 ∗
315 +
15 ∗
415 +
15 ∗
515 +
15 ∗
715 +
15 ∗
515
=
7758
25
=7
24= 0.29 = 29.16%
Taller 2:
1. Un almacén recibe pedidos de cierto artículo de tres proveedores distintos
𝑃1, 𝑃2 𝑦 𝑃3. El 50% del total se le compra a 𝑃1 mientras que a 𝑃2 y a 𝑃3 se le
compra el 25% a cada uno. El porcentaje de artículos en malas condiciones
que proporciona 𝑃1, 𝑃2 𝑦 𝑃3 es 5,10 y 12% respectivamente. Si los artículos
se almacenan sin importar quien es el proveedor y se escoge uno al azar:
2 Estadística para las ciencias administrativas, paginas 95 y 96
15 NOTAS DE PROBABILIDAD
15
a) Determine la probabilidad de que sea defectuoso.
b) Si es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido
despachado por el proveedor 𝑃3?
P1 → P(P1) = 50% = 0.50 =50
100; Defectuoso P(D P1⁄ ) = 5%
P2 → P(P2) = 25% = 0.25 =25
100; Defectuoso P(D P2⁄ ) = 10%
P3 → P(P3) = 25% = 0.25 =25
100; Defectuoso P(D P3⁄ ) = 12%
A) 𝑃(𝐷) = 𝑃(P1) ∗ 𝑃(𝐷 P1⁄ ) + 𝑃(P2) ∗ 𝑃(𝐷 P2⁄ ) + 𝑃(P3) ∗ 𝑃(𝐷 P3⁄ )
50
100∗
5
100+
25
100∗
10
100+
25
100∗
12
100= 0.025 + 0.025 + 0.03 = 0.08 = 8%
B)
𝑃(P3 𝐷⁄ ) =𝑃(P3) ∗ 𝑃(𝐷 P3⁄ )
𝑃(P1) ∗ 𝑃(𝐷 P1⁄ ) + 𝑃(P2) ∗ 𝑃(𝐷 P2⁄ ) + 𝑃(P3) ∗ 𝑃(𝐷 P3⁄ )
25100 ∗
12100
50100 ∗
5100 +
25100 ∗
10100 +
25100 ∗
12100
=
30010000
225
= 0.375 = 37.5%
2. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos.
Entre estos, dos tienen defectos. La agencia decide seleccionar
aleatoriamente dos automóviles de entre los 20 y aceptar el embarque, si
ninguno de los automóviles seleccionados tiene defectos. ¿Cuál es la
probabilidad de aceptar el embarque?
A = primer carro bueno
B = Segundo carro bueno
P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(𝐵 𝐴⁄ ) =18
20∗
17
19=
306
380= 0.80% = 80%
10. Suponga que hay tres cajas idénticas A, B y C. La caja A contiene dos
monedas de cobre, la B una de cobre y dos de níquel y la C contiene una de plata,
dos de níquel y dos de cobre. Se toma al azar una de las cajas y luego se saca una
moneda de esta. Si es de cobre la moneda, ¿Cuál es la probabilidad de que haya
sido tomada de la caja A? ¿De la caja B? ¿De la caja C?
16 NOTAS DE PROBABILIDAD
16
A.
P(C1 C⁄ ) =P(C1)P(C C1⁄ )
P(C1)P(C C1⁄ ) + P(C2)P(C C2⁄ ) + P(C3)P(C C3⁄ )
13 ∗
22
13 ∗
22 +
13 ∗
13 +
13 ∗
25
=
26
2645
=15
26= 0.57 = 57.6%
B.
P(C1 C⁄ ) =P(C2)P(C C2⁄ )
P(C1)P(C C1⁄ ) + P(C2)P(C C2⁄ ) + P(C3)P(C C3⁄ )
13 ∗
23
13 ∗
22 +
13 ∗
13 +
13 ∗
25
=
19
2645
=5
26= 0.19 = 19.23%
C.
P(C1 C⁄ ) =P(C3)P(C C3⁄ )
P(C1)P(C C1⁄ ) + P(C2)P(C C2⁄ ) + P(C3)P(C C3⁄ )
13
∗25
13 ∗
22 +
13 ∗
13 +
13 ∗
25
=
2152645
=3
26= 0.23 = 23.07%
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Se define como una función real valorada y definida sobre un conjunto, dicho
conjunto son los valores que puede tomar la variable aleatoria. Ejemplo:
⅄(𝑤) = 𝑥 𝑃[𝑥(𝑤)] = 𝑥 P
17 NOTAS DE PROBABILIDAD
17
Son los probabilidades asociadas a los valores que pueda tomar la variable aleatoria
donde su dominio son los valores de la variable aleatoria y su codominio (rango)
son las probabilidades asociados a estos valores.
Teoremas: sea x una variable aleatoria (v. a) en el intervalo (a,b) t<a; t € IR
Teorema 1: 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑎 → 𝑃(𝑥 ≤ 𝑡) = 𝑃(∅) = 𝑎 ; (𝑥 ≤ 𝑡) ∩ (𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = ∅
Teorema 2:𝑆𝑖 𝑡 > 𝑏 → 𝑃(𝑥 ≤ 𝑡) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝐸) = 1;(𝑥 ≤ 𝑡) ∩ (𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑥 ≤
𝑏) = 𝐸
Propiedades de la función de probabilidad
Sea x una variable aleatoria en el intervalo (a,b); f(x) una función de la v.a. x, f(x) es
una función de probabilidad y 𝑓𝑥(𝑡)es una función de distribución acumulada hasta
t. 𝑓𝑥(𝑡)es una función puntual para t.
1. 𝑃(𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑥 = 𝑏) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) = 𝑓𝑥(𝑏) − 𝑓𝑥(𝑎)
2. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) + 𝑃(𝑥 = 𝑎) = 𝑓𝑥(𝑏) − 𝑓𝑥(𝑎) + 𝑓(𝑎)
3. 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) − 𝑃(𝑥 = 𝑏) = 𝑓𝑥(𝑏) − 𝑓𝑥(𝑎) − 𝑓(𝑏)
4. 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑎) + 𝑃(𝑥 = 𝑎) − 𝑃(𝑥 = 𝑏) = 𝑓𝑥(𝑏) −
𝑓𝑥(𝑎) + 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)
Nota: Las anteriores 4 propiedades se cumplen para cuando la variable aleatoria
es de tipo discreta y se utiliza sumatoria. Para cuando la variable aleatoria es
continua es indiferente colocar < ó ≤ o sea que utilizando integrales:
𝑃(𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏) = ∫ 𝑓𝑥𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Ejemplos:
V.a discreta (# de autos) 𝑃(2 < 𝑥 ≤ 5) = 𝑃(𝑥 ≤ 5) − 𝑃(𝑥 ≤ 2) =
∑ 𝑓(𝑥)
5
𝑥=0
− ∑ 𝑓(𝑥)
2
𝑥=0
= 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯ + 𝑓(5) − [𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2)]
→ 𝑓(3) + 𝑓(4) + 𝑓(5)
Ejemplo propuesto:
V.a discreta (# de motos) 𝑃(3 < 𝑥 ≤ 6) = 𝑃(𝑥 ≤ 3) − 𝑃(𝑥 ≤ 6) =
18 NOTAS DE PROBABILIDAD
18
∑ 𝑓(𝑥)
6
𝑥=0
− ∑ 𝑓(𝑥)
3
𝑥=0
= 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯ + 𝑓(6) − [𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3)]
→ 𝑓(4) + 𝑓(5) + 𝑓(6)
O también 𝑃(3 < 𝑥 ≤ 6) = 𝑃(4 ≤ 𝑥 ≤ 6) =
∑ 𝑓(𝑥)
5
𝑥=3
→ 𝑓(4) + 𝑓(5) + 𝑓(6)
V.a continua (peso en onzas) → 𝑃(2 < 𝑥 ≤ 5) = 𝑃(2.000001 ≤ 𝑥 ≤ 5) =
𝑃(2 ≤ 𝑥 ≤ 5) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑(𝑥)5
2
Ejemplo propuesto:
V.a continua (peso en gramos) → 𝑃(3 < 𝑥 ≤ 6) = 𝑃(3.000001 ≤ 𝑥 ≤
6.00000) = 𝑃(3 ≤ 𝑥 ≤ 6) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑(𝑥)6
3
Función de cuantía
Sea x una variable aleatoria tipo discreta 𝑓(𝑥)una función de probabilidad de la
variable aleatoria x; se dice que 𝑓(𝑥)es una función de cuantía si y solo si se cumple:
𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥
∑ 𝑓(𝑥) = 1𝑥
Ejemplo: suponga que el número de artículos vendidos en un almacén tiene la
siguiente distribución de probabilidad
x 0 1 2 3 4
𝑓(𝑥) 0.5 0.2 0.1 0.1 0.1
Demostrar que es una función de cuantía.
𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥 𝑓(0) = 0.5 > 0 𝑠𝑖 𝑓(1) = 0.2 > 0 𝑠𝑖 … 𝑓(4) = 0.1 > 0 𝑠𝑖
∑ 𝑓(𝑥) = 1𝑥
→ 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) = 0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 1
19 NOTAS DE PROBABILIDAD
19
Suponga que el numero de artículos defectuosos producidos por una factoría
esta dada por la siguiente distribución de probabilidad 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑥4 (
1
5)
𝑥
∗ (4
5)
4−𝑥
𝑥 = 0,1,2,3,4 demostrar que es una función de cuantía
𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥 𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶04 (
1
5)
0
∗ (4
5)
4
=256
625> 0 𝑠𝑖
𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶14 (
1
5)
1
∗ (4
5)
3
=64
625> 0 𝑠𝑖 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶2
4 (1
5)
2
∗ (4
5)
2
=96
625> 0 𝑠𝑖
𝑃(𝑥 = 3) = 𝐶34 (
1
5)
3
∗ (4
5)
1
=16
625> 0 𝑠𝑖 𝑃(𝑥 = 4) = 𝐶4
4 (1
5)
4
∗ (4
5)
0
=1
625> 0 𝑠𝑖
∑ 𝑓(𝑥) = 1
4
𝑥=0
→ 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) =256
625+
64
625+
96
625+
16
625+
1
625
= 1
𝑓(𝑥) Si es una función de cuantía.
𝑓(𝑥) = 𝐾𝐶𝑥
4
𝐶37 ; 𝑥 = 0,1,2,3
𝑓(0) =𝐶0
4
𝐶37 =
1
35 𝑓(1) =
𝐶14
𝐶37 =
4
35 𝑓(2) =
𝐶24
𝐶37 =
6
35 𝑓(3) =
𝐶34
𝐶37 =
4
35
1
35+
4
35+
6
35+
4
35=
3
7 𝐾 ∗
3
7= 1 𝐾 =
7
3
Cual es el valor de K para que 𝑓(𝑥) sea función de cuantía.
𝑓(𝑥) =7
3∗
𝐶𝑥4
𝐶37 ; 𝑥 = 0,1,2,3
𝑓(0) =7
3∗
𝐶04
𝐶37 =
1
15 𝑓(1) =
7
3∗
𝐶14
𝐶37 =
4
35 𝑓(2) =
7
3∗
𝐶24
𝐶37 =
2
5 𝑓(3) =
7
3∗
𝐶34
𝐶37 =
4
15
𝐾 =1
15+
4
35+
2
5+
4
15=
89
105
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Sea x una variable aleatoria continua 𝑓(𝑥)una función de la variable aleatoria x se
dice que 𝑓(𝑥)es una función de densidad si y solo si se cumple:
𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥
20 NOTAS DE PROBABILIDAD
20
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
𝑥
= 1
Ejemplo: la ganancia de un vendedor de electrodomésticos es una variable
aleatoria x cuya función esta dada 𝑓(𝑥) = 2(1 − 𝑥) 0 < 𝑥 ≤ 1 𝑓(𝑥) = 0 para
cualquier otro caso. Demostrar que esta es una función de densidad.
𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑥
Para 𝑥 = 0.5 → 𝑓(0.5) = 2(1 − 0.5) = 1 > 0 𝑠𝑖 𝑐𝑚𝑝𝑙𝑒
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
0
= 1 → ∫ 2 − (1 − 𝑥)𝑑𝑥
1
0
= 2 ∫ (1 − 𝑥)𝑑𝑥
1
0
= 2 [∫ 𝑑𝑥 −1
0
∫ 𝑥1
0
]
= 2 [𝑥1
110
−𝑥2
210
] = 2 [1 − 0
1−
1 − 0
0] = 2 [1 −
1
2] = 2 [
1
2] = 1
Si es función de densidad por que cumple las dos propiedades.
ESPERANZA METAMATEMÁTICA (VALOR ESPERADO)
La esperanza matemática de una variable aleatoria x que está definida por:
𝐸(𝑋) = ∑ X𝑥
𝑓(𝑋) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑋𝑒𝑠
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑋𝑋
𝑓(𝑋) 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑋𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎.
Ejemplo: suponga que la función de distribución de las ventas de un artículo es:
𝐹(𝑋) =7
3 𝐶𝑋
4
𝐶37 , 𝑋 = 0,1,2,3
a) Encontrar el promedio de ventas diarias.
b) Variación.
c) Desviación estándar.
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) = ∑ X𝑥
𝑓(𝑋)
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 = Γ𝑥 = √𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
21 NOTAS DE PROBABILIDAD
21
Solución:
a)
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋
3
𝑥=0
𝑓(𝑋)
→ 0𝑓(𝑜) + 1𝑓(1) + 2𝑓(2) + 3𝑓(3)
→ 07
3 𝐶0
4
𝐶37 + 1
7
3 𝐶1
4
𝐶37 + 2
7
3 𝐶2
4
𝐶37 + 3
7
3 𝐶3
4
𝐶37
→ 0 +7
3
4
35+
14
3
6
35+
21
3
4
35
28
105+
84
105+
84
105
𝐸(𝑋) =28
15
𝐸(𝑋) = 1.86
b)
Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑋2
3
𝑥=0
𝑓(𝑋)
→ 02𝑓(𝑜) + 12𝑓(1) + 22𝑓(2) + 32𝑓(3)
→ 07
3 𝐶0
4
𝐶37 + 1
7
3 𝐶1
4
𝐶37 + 4
7
3 𝐶2
4
𝐶37 + 9
7
3 𝐶3
4
𝐶37
→ 0 +7
3
4
35+ 1
28
3
6
35+
63
3
4
35
28
105+
168
105+
252
105
𝐸(𝑋2) =64
15
22 NOTAS DE PROBABILIDAD
22
𝐸(𝑋2) = 4.2
Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
Γ𝑥2 = 4.2 − (1.80)2
Γ𝑥2 = 4.2 − 3.4
Γ𝑥2 = 0,8
c)
Γ𝑥 = √𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
Γ𝑥 = √0,8
Γ𝑥 = 𝑜. 89
Ejemplo: suponga que X es una variable aleatoria que indica el nuero de artículos
defectuosos producidos en una fábrica con una función de producción dada por:
𝐹(𝑋) = 𝐶𝑋3 (0.5)𝑋(0.5)3−𝑋 , 𝑋 = 0,1,2,3
a) Demostrar que f(X) es una función de cuantía.
b) Encontrar la media.
c) La varianza.
d) Desviación estándar.
Solución:
a) Si es función de cuantía.
𝐹(0) = 𝐶03 (0.5)0(0.5)3−0 = 0.125 ≥ 0
𝐹(1) = 𝐶13 (0.5)1(0.5)3−1 = 0,375 ≥ 0
𝐹(2) = 𝐶23 (0.5)2(0.5)3−2 = 0.375 ≥ 0
𝐹(3) = 𝐶33 (0.5)3(0.5)3−3 = 0.125 ≥ 0
b)
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋
3
𝑥=0
𝑓(𝑋)
23 NOTAS DE PROBABILIDAD
23
→ 0𝑓(𝑜) + 1𝑓(1) + 2𝑓(2) + 3𝑓(3)
→ 0(0.125) + 1(0.375) + 2(0.375) + 3(0.125)
0 + 0,375 + 0.75 + 0.375
𝐸(𝑋) = 1.5
b)
Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑋2
3
𝑥=0
𝑓(𝑋)
→ 02𝑓(𝑜) + 12𝑓(1) + 22𝑓(2) + 32𝑓(3)
→ 0(0.125) + 1(0.375) + 4(0.375) + 9(0.125)
→ 0 + 0.375 + 1.5 + 1.125
𝐸(𝑋2) = 3
Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
Γ𝑥2 = 3 − (1.5)2
Γ𝑥2 = 3 − 2.25
Γ𝑥2 = 0,75
c)
Γ𝑥 = √𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
Γ𝑥 = √0.75
Γ𝑥 = 0.86
Ejemplo propuesto: suponga que X es una variable aleatoria que indica el nuero
camisas mal confeccionadas producidos en una fábrica con una función de
producción dada por:
𝐹(𝑋) = 𝐶𝑋3 (0.6)𝑋(0.4)3−𝑋 , 𝑋 = 0,1,2,3
24 NOTAS DE PROBABILIDAD
24
e) Demostrar que f(X) es una función de cuantía.
f) Encontrar la media.
g) La varianza.
h) Desviación estándar.
Solución:
c) Si es función de cuantía.
𝐹(0) = 𝐶03 (0.6)0(0.4)3−0 = 0.064 ≥ 0
𝐹(1) = 𝐶13 (0.6)1(0.4)3−1 = 0,288 ≥ 0
𝐹(2) = 𝐶23 (0.6)2(0.4)3−2 = 0.432 ≥ 0
𝐹(3) = 𝐶33 (0.6)3(0.4)3−3 = 0.216 ≥ 0
d)
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋
3
𝑥=0
𝑓(𝑋)
→ 0𝑓(𝑜) + 1𝑓(1) + 2𝑓(2) + 3𝑓(3)
→ 0(0.064) + 1(0.288) + 2(0.432) + 3(0.216)
0 + 0.288 + 0.864 + 0.648
𝐸(𝑋) = 1.8
b)
Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑋2
3
𝑥=0
𝑓(𝑋)
→ 02𝑓(𝑜) + 12𝑓(1) + 22𝑓(2) + 32𝑓(3)
→ 0(0.064) + 1(0.288) + 4(0.432) + 9(0.216)
→ 0 + 0.288 + 1.728 + 1.944
𝐸(𝑋2) = 4.01
25 NOTAS DE PROBABILIDAD
25
Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
Γ𝑥2 = 4.01 − (1.8)2
Γ𝑥2 = 4.01 − 3.24
Γ𝑥2 = 0,77
c)
Γ𝑥 = √𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2
Γ𝑥 = √0.77
Γ𝑥 = 0.87
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Ensayo experimental de Bernoulli: es un experimento que se realiza y se obtiene
un resultado que puede ser éxito o fracaso:
𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜
𝑋 = 0 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜; 𝑋 = 1 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜.
𝑃 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜
𝑞 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜.
𝑃 + 𝑞 = 1
Función de cuantía 𝑓(𝑋) = 𝑃𝑋 − 𝑞𝑋−1; 𝑋 = 0,1
𝐼) 𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑋 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 0 → 𝑓(0) = 𝑞 ≥ 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 1 → 𝑓(1) = 𝑞
≥ 0; 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒.
𝐼𝐼) ∑ 𝑓(𝑥)
1
𝑥=0
= 1 → 𝑓(0) + 𝑓(1) = 𝑞 + 𝑃 = 1
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑋
1
𝑋=0
𝑓(𝑋) = 0𝑓(0) + 1𝑓(1) = 𝑃
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑥)] 2 → 𝐸(𝑋2) = ∑ 𝑋2𝑓(𝑋)
1
𝑋=0
= 02𝑓(0) + 12𝑓(1)
→ 𝐸(𝑋2) = 𝑃 → Γ𝑥2 = 𝑃 − 𝑃2 → Γ𝑥2 = 𝑃(1 − 𝑃) → 𝑃𝑞
26 NOTAS DE PROBABILIDAD
26
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 = Γ𝑥 = √𝑃𝑞
Ejemplo: se lanza una moneda. Encontrar la probabilidad.
a) Que no se presente cara.
b) Que se presente cara.
c) Encontrar la media
d) Varianza
e) Desviación estándar.
Solución: 𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 (𝑐𝑎𝑟𝑎)
a)
𝑃(𝑋 = 0) = (1
2)0 (
1
2)
1−0
=1
2
b)
𝑃(𝑋 = 1) = (1
2)1 (
1
2)
1−1
=1
2
c)
𝜇𝑥 = 𝑃 =1
2
d)
Γ𝑥2 = 𝑃𝑞 = (1
2) (
1
2) =
1
4= 0.25
Γ𝑥 = √0.25 = 0.5
Ejemplo propuesto: un estudiante esta presentando un examen y le falta
responder una pregunta cuyas opciones de respuesta son SI o NO. Encontrar la
probabilidad.
a) Que no responda NO.
b) Que responda NO.
c) Encontrar la media
27 NOTAS DE PROBABILIDAD
27
d) Varianza
e) Desviación estándar.
Solución: 𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 (𝑐𝑎𝑟𝑎)
a)
𝑃(𝑋 = 0) = (1
2)0 (
1
2)
1−0
=1
2
b)
𝑃(𝑋 = 1) = (1
2)1 (
1
2)
1−1
=1
2
c)
𝜇𝑥 = 𝑃 =1
2
d)
Γ𝑥2 = 𝑃𝑞 = (1
2) (
1
2) =
1
4= 0.25
Γ𝑥 = √0.25 = 0.5
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Es un experimento de Bernoulli que se realiza n veces y en cada realización se
obtiene un resultado se obtiene un resultado con probabilidad con probabilidad de
éxito o una probabilidad de trabajo donde:
𝑋 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑛 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎𝑠
𝑋1 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑋1
= 0,1
𝑋2 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑋2
= 0,1
𝑋𝑛 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑋𝑛
= 0,1
𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋𝑛 → 𝑋 = 0,1. . 𝑛
𝑓(𝑋) = 𝐶𝑥𝑛𝑃𝑥𝑞𝑛−𝑥; 𝑋 = 0,1,2, … . . 𝑛
28 NOTAS DE PROBABILIDAD
28
Ejemplo: demostrar que f(x) es una función de cuantía.
𝐼) 𝑓(𝑥) ≥ 0; ∀𝑋 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 0 → 𝑓(0) = 𝐶0𝑛𝑃0𝑞𝑛−0 → 𝑞𝑛 ≥ 0; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑋 = 1 → 𝑓(1)
= 𝐶1𝑛𝑃1𝑞𝑛−1 → 𝑝𝑛 ≥ 0; 𝑠𝑖 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒.
𝐼𝐼) ∑ 𝑓(𝑥)
𝑛
𝑥=0
= 1 → ∑ 𝐶𝑥𝑛𝑃𝑥𝑞𝑛−𝑥
𝑛
𝑥=0
= (𝑃 + 𝑞)1 = 1𝑛 = 1 𝑠𝑖,
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑎
(𝑎 + 𝑏)2 = ∑ 𝐶𝑥2𝑎𝑥𝑏2−𝑥
2
𝑥=0
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
∑ 𝐶𝑥2𝑎𝑥𝑏2−𝑥
2
𝑥=0
= 𝐶02𝑎0𝑏2−0 = 𝐶1
2𝑎1𝑏2−1 = 𝐶22𝑎2𝑏2−2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇𝑥 = 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 … + 𝑋𝑛) =
= 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + 𝐸(𝑋3) … + 𝐸(𝑋𝑛) = 𝑃 + 𝑃 + 𝑃
𝜇𝑥 = 𝑛𝑃, 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = Γ𝑥2 = 𝐸(𝑋) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 … + 𝑋𝑛) = 𝑃
= Γ𝑥2 = 𝑣𝑎𝑟(𝑋1) + 𝑣𝑎𝑟𝐸(𝑋2) + 𝑣𝑎𝑟𝐸(𝑋3) … + 𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑛) = 𝑃𝑞 + 𝑃𝑞 + 𝑃𝑞
Γ𝑥2 = 𝑛𝑃𝑞
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 = Γ𝑥 = √𝑛𝑃𝑞
RESUMEN
𝑓(𝑋) = 𝑃𝑋 − 𝑞𝑋−1 𝑓(𝑋) = 𝐶𝑥𝑛𝑃𝑥𝑞𝑛−𝑥
𝑋 = 0,1 𝑋 = 0,1,2,3,4 … … 𝑛
𝜇𝑥 = 𝑃 𝜇𝑥 = 𝑛𝑃
Γ𝑥2 = 𝑃 Γ𝑥2 = 𝑛𝑃𝑞
Γ𝑥 = √𝑃𝑞 Γ𝑥 = √𝑛𝑃𝑞
Ejemplo: se lanza una moneda 5 veces encontrar la probabilidad de:
29 NOTAS DE PROBABILIDAD
29
a) Que ninguna se presente cara
b) Exactamente una cara
c) Exactamente 2 caras
d) Menos de 2 caras
e) Como máximo 2 caras
f) Como mínimo 2 caras
g) Más de dos caras
h) Todas caras
i) Encontrar media, varianza y desviación estándar.
Solución: X= variable aleatoria que indica el número de éxito.
𝐸 = (𝐶, 𝑆) 𝑃 =1
2 𝑞 =
1
2 𝑛 = 5
𝑓(𝑋) = 𝐶𝑥5 (
1
2)
𝑥
𝑞5−𝑥; 𝑋 = 0,1,2,3,4
a) 𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶𝑜5 (
1
2)
0
(1
2)
5−0
= (1
2)
5
=1
32= 0.03 = 3.12%
b) 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶15 (
1
2)
1
(1
2)
5−1
= 5 (1
2)
5
=5
32= 0.1562 = 15.62%
c) 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶25 (
1
2)
2
(1
2)
5−2
= 10 (1
2)
5
=10
32= 0.3125 = 31.25%
d) 𝑃(𝑥 < 2) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) =1
32+
5
32=
6
32=2
𝑥=0
0.1875 = 18.75%
e) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) =1
32+
5
32+
10
32=
16
322𝑥=0 = 0.5 =
5%
f) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5)
𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1)
30 NOTAS DE PROBABILIDAD
30
1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − ∑ 𝐹(𝑥)
1
𝑥=0
→ 1 − {𝑓(0) + 𝑓(1)} = 1 −6
32=
26
32= 0.8125
= 81.25%
g) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − {𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2)} = 1 −16
32=
16
32=
0.5 = 5%
h) 𝑃(𝑥 = 5) = 𝐶55 (
1
2)
5
(1
2)
5−5
=1
320.03 = 3.12%
i) 𝜇𝑥 = 𝑛𝑃 = 5 (1
2) = 2.5
Γ𝑥2 = 𝑛𝑃𝑞 = 5 (1
2) (
1
2) = 1.25
Γ𝑥 = √𝑛𝑃𝑞 = √1.25 = 1.118
Se sabe que el 80% de las arandelas producidas en una planta de producción están
en buenas condiciones. Si se selecciona aleatoriamente 10 arandelas cual es la
posibilidad de:
a) Ninguna defectuosa
b) Exactamente 3 defectuosas
c) Como mínimo 2 defectuosas
d) P( 2< X ≤ 5 )
Rta:
P: 0,20
Q: 0,80
a. F(0) = 𝐶010 (
20
100
0 ) (
80
100
10−0 ) = 0,1073= 10,7%
b. F(3) = 𝐶310 (
20
100
3 ) (
80
100
10−3 ) = 0,20 = 20%
c. F(0,1,2) = 𝐶010 (
20
100
0 ) (
80
100
10−0 ) + 𝐶1
10 (20
100
1 ) (
80
100
10−1 ) + 𝐶2
10 (20
100
2 ) (
80
100
10−2 ) =
0,67=67%
d. F(3,4,5) = 𝐶310 (
20
100
3 ) (
80
100
10−3 ) + 𝐶4
10 (20
100
4 ) (
80
100
10−4 ) + 𝐶5
10 (20
100
5 ) (
80
100
10−5 )
0,3157= 31,5%
Ejemplo propuesto: se realiza una pregunta a cinco estudiantes con opción de
respuestas A, B o C encontrar la probabilidad de:
31 NOTAS DE PROBABILIDAD
31
a) Que ninguno responda A
b) Exactamente uno responda A
c) Exactamente 2 respondan A
d) Menos de 2 respondan A
e) Como máximo 2 respondan A
f) Como mínimo 2 respondan A
g) Más de dos respondan A
h) Todos respondan A
i) Encontrar media, varianza y desviación estándar.
Solución: X= variable aleatoria que indica el número de éxito.
𝐸 = (𝐴, 𝐵, 𝐶) 𝑃 =1
3 𝑞 =
2
3 𝑛 = 5
𝑓(𝑋) = 𝐶𝑥5 (
1
3)
𝑥
𝑞5−𝑥; 𝑋 = 0,1,2,3,4
a) 𝑃(𝑥 = 0) = 𝐶𝑜5 (
1
3)
0
(2
3)
5−0
= (2
3)
5
=32
243= 0.1316 = 13.16%
b) 𝑃(𝑥 = 1) = 𝐶15 (
1
3)
1
(2
3)
5−1
= 5 (1
3) (
16
81) =
80
243= 0.3292 = 32.92%
c) 𝑃(𝑥 = 2) = 𝐶25 (
1
3)
2
(2
3)
5−2
= 10 (1
9) (
8
27) =
80
243= 0.3292 = 32.92%
d) 𝑃(𝑥 < 2) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) =32
243+
80
243=
112
2432𝑥=0 =
0.4609 = 46.08%
e) 𝑃(𝑥 ≤ 2) = ∑ 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) =32
243+
80
243+
80
243=
64
812𝑥=0 =
0.7901 = 79.01%
f) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) + 𝑃(𝑋 = 5)
𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1)
32 NOTAS DE PROBABILIDAD
32
1 − 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − ∑ 𝐹(𝑥)
1
𝑥=0
→ 1 − {𝑓(0) + 𝑓(1)} = 1 −112
243=
131
243= 0.5390
= 53.90%
g) 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − {𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2)} = 1 −64
81=
17
81=
0.2098 = 20.98%
h) 𝑃(𝑥 = 5) = 𝐶55 (
1
3)
5
(2
3)
5−5
=1
243= 0.0041 = 0.41%
i) 𝜇𝑥 = 𝑛𝑃 = 5 (1
3) = 1.66
Γ𝑥2 = 𝑛𝑃𝑞 = 5 (1
3) (
2
3) = 1.1
Γ𝑥 = √𝑛𝑃𝑞 = √1.1 = 1.05
Ejemplo propuesto: Se sabe que el 70 % de las partes de una productora de autos
se encuentran en buen estado, si se selecciona aleatoriamente 12 partes, encontrar
la probabilidad de:
a. Ninguna defectuosa.
b. Exactamente 4 defectuosas
c. Entre 5 y 8 en buen estado
Solución:
a. F(0) = 𝐶012 (
30
100
0 ) (
70
100
12−0 ) = 0,013= 1, 3 %
b. F(4) = 𝐶412 (
30
100
4 ) (
70
100
12−4 ) = 0,231 = 23, 1 %
c. F(5 < x < 8 ) = 𝐶612 (
30
100
6 ) (
70
100
12−6 ) + 𝐶7
12 (30
100
7 ) (
70
100
12−7 ) =
= 0,0792 + 0,15849 = 0,237 = 23,7 %
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Tiene una variable aleatoria discreta que indica el número total de éxitos en la
realización de un experimento n veces. Se utiliza como una aproximación de la
distribución binomial cuando el tamaño de la muestra es muy grande y tiende a
infinito y la ´probabilidad de éxito es muy pequeña y tiene a 0.
Se puede decir que es perfecta cuando la media 𝑈𝑥= nP en la distribución
binomial es menor a 5.
33 NOTAS DE PROBABILIDAD
33
𝑈𝑥= nP < 5
Esa función de cuantía de la distribución de Poisson es igual a 𝑒−𝑈𝑥
F(x) = 𝑒−𝑈𝑥
𝑥!
Esta distribución también se utiliza en los procesos Poissonianos cuando se
refiere a sucesos y a eventos con respecto al tiempo eje: llegada de clientes a
un banco durante un tiempo determinado.
Ejemplo:
Suponga que el 1 % de los artículos producidos por una maquina son
defectuosos si se toma una muestra aleatoria de 100 artículos encontrar la
probabilidad de:
a) Ninguno defectuoso
b) Exactamente 2 defectuosos
c) Menos de 2 defectuosos
d) Más de 2 defectuosos.
X= V.a que indica # total de éxito.
P=0,01; n= 100; U= nP= 100x 0,01= 1 < 5
a. P (0) = 𝑒−1 10
0! = 36,79%
b. P (2) = 𝑒−1 12
2! = 18,3%
c. P (x<2) = 𝑒−1 10
0! +
𝑒−1 11
1! = 73,5 %
d. P (x > 2) =1- P( X ≤ 2 ) = 1 - 𝑒−1 10
0! +
𝑒−1 11
1! +
𝑒−1 12
2! = 8 %
A una oficina de correo llegan hombres, mujeres y niños siguiendo una distribución
de Poisson así:
12 hombres cada hora
6 mujeres cada 40 min
Y 5 niños cada media hora
a) Exactamente 2 hombres cada 5 min
b) Más de 2 mujeres cada 8 min
c) Exactamente 3 niños cada 5 min
d) Exactamente 1 cliente cada 5 min
34 NOTAS DE PROBABILIDAD
34
Rta:
a. 12 h_____ 60 min
X _________ 5 min = 1H cada 5 min
P (2)= 𝑒−1 12
2! = 18,3 %
b. 6muj_____ 40 min
X _________ 8 min = 1,2 mujeres.
P(x > 2)= 1 – p(x ≤ 2) = 1- ( 𝑒−1,2 1,20
0! +
𝑒−1,2 1,21
1! +
𝑒−1,2 1,22
2! ) = 12,26 %
c. 5 min ______ 30
X _________ 5 = X =0,83
P (2)= 𝑒−0.833 0,8333
3! = 4,1%
d. 6 mujeres______40 min
X_____________ 5 min x =0,75
5 min ______ 30
X _________ 5 = X =0,83
12 hombres_________ 60 min
X _________________5 min: x = 1
𝑈𝑥= 2,58
F (1)= 𝑒−2,58 2,581
1! = 19%
Ejemplo propuesto: Suponga que el 5 % de las flores producidas en un vivero son
defectuosas, si se toma una muestra aleatoria de 100 flores, encontrar la
probabilidad de:
a. Ninguna defectuoso
b. Exactamente 8 defectuosos
c. Menos de 2 defectuosos
Solución:
P = 5 % = 5
100 ; n= 100
𝑃𝑛= 5 = 𝑈𝑥
35 NOTAS DE PROBABILIDAD
35
a. P (0) = 𝑒−5 50
0! = 0,00673 x 100 = 0,67%
b. P (8) = 𝑒−5 58
8! = 0,0652 x 100 = 6,5%
c. P (x<2) = 𝑒−5 50
0! +
𝑒−5 51
1! = 0,00673 + 0,033
= 0,040 x 100 = 4 %
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Sea x una variable aleatoria continua que indica los éxitos con función de densidad
F (x) =1
√2𝜋 𝑟𝑥 𝑒
−( 𝑥−𝑈𝑥 )2
2 𝑟𝑥2
-∞ ∞
𝑋 ~ 𝑁 (𝑈𝑥 ; 𝑟𝑥2 ) = 𝑍 ~ 𝑁 (𝑈𝑥= 0; 𝑟𝑥
2 = 1)
P (x1 < x < x2)
Teorema central: Z = 𝑋−𝑈𝑥
𝑟𝑥
∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 1∞
−∞
P (x1 < x < x2) =
∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥𝑥2
𝑥1
P (x1 < x < x2)=
P ( 𝑋1−𝑈𝑥
𝑟𝑥 <
𝑋−𝑈𝑥
𝑟𝑥 <
𝑋2−𝑈𝑥
𝑟𝑥 )
P (Z1 < Z < Z2)=
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
36 NOTAS DE PROBABILIDAD
36
P (Z1 < Z < Z2) = N (Z2)
P (Z < 1,43) = N (1,43)= 0,936
B. a la derecha de 1,81
P ( Z < 1,81 ) = N (1,81 )= 1- P ( Z ≤ 1,81 ) = 1 – N (1,81 )
= 1 – 0, 9649 = 0, 0351 = 3, 51 %
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Z
Z
3,491,8
1
37 NOTAS DE PROBABILIDAD
37
C. izquierda de Z = 1,48
P ( Z < 1,48 ) = N (1,48 )= 0,93306 = 93,3 %
D. Z = -1,81 ; Z= 1,48
P( -1,81 < 1,48 ) = N (1,48) – N (-1,81)
= 0,9306- 0,352 = 0,8954= 89,5 %
2. En una distribución normal estándar encontrar el valor de Z cuando el área bajo
la curva a la derecha de Z es de 0,41
P ( Z > z1 ) = 0,41 = 1- P ( Z ≤ z1 ) = 0,41 = 0,59
Z 0,1 0,2 0,3
0,23 0,59
3. 𝑈𝑥 = 40 meses
𝑟𝑥 = 6,3 meses
a. P ( X > 32 ) = P ( Z > 32−40
6,3 )
P (Z > - 8
6,3) = P (Z >1,27)
= 1- P (Z ≤1,27) = 1 – 0,1020 = 0,898 = 89 %
Entre 35 y 45 meses
P( 35 < x < 45 ) = P (35−40
6,3 < z <
45−40
6,3 )
= N ( -0,79 ) – N ( 0,79 )= 0,7852- 0,2148 = 57 %
Z
Ux= 40 32
38 NOTAS DE PROBABILIDAD
38
Ejemplo propuesto: En una distribución estándar encontrar el valor de Z cuando
el área bajo a curva a la derecha de Z es 0,52
P (Z > z) = 0,52
1 – P (Z ≤ z) = 0,48
Ejemplo propuesto: Se regula una máquina de helados que sirve en promedio 200
gramos por cono, si la cantidad de helado se distribuye normalmente, con una
desviación estándar de 18 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso
contenga entre 189 y 203 gramos?
𝑈𝑥= 200; 𝑟𝑥= 18
P (189 < Z < 203)
P ( 189−200
18 < Z <
203−200
18 ) =
- 0,611 < Z < 0,166 = N (0,166) - N (-0,611) = 0,5675 – 0,2709
= 0,2966 x 100 = 29,6%
Ejemplo propuesto: En una distribución estándar encontrar el valor de Z cuando
el área bajo a curva a la derecha de Z es 0,52
P (Z > z) = 0,52
1 – P (Z ≤ z) = 0,48
Ejemplo propuesto: Se regula una máquina de helados que sirve en promedio 200
gramos por cono, si la cantidad de helado se distribuye normalmente, con una
desviación estándar de 18 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso
contenga entre 189 y 203 gramos?
𝑈𝑥= 200; 𝑟𝑥= 18
P (189 < Z < 203)
P ( 189−200
18 < Z <
203−200
18 ) =
-0,611 < Z < 0,166 = N (0,166) - N (-0,611) = 0,5675 – 0,2709
= 0,2966 x 100 = 29,6%
Ejercicios capitulo 6
1. Dada la distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que esta
39 NOTAS DE PROBABILIDAD
39
a) A la izquierda de z=1.43;
𝑧 = 1.43 → 𝑃(𝑧 < 1.43) → 𝑁(1.43) = 0.9236 = 92.36%
b) A la derecha de z=-0.89;
𝑧 = −0.89 → 𝑃(𝑧 > −0.89) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ −0.89) → 1 − 𝑁(−0.89) = 1 − 0.1867 =
0.8133 = 81.33%
c) Entre z=-2.16 y z=-0.65;
𝑃(−2.16 < 𝑧 < −0.65) = 𝑁(−0.65) − 𝑁(−216) = 0.2578 − 0.0154 = 0.2424
= 24.24%
D A la izquierda z=-1.39;
𝑧 = −1.39 → 𝑃(𝑧 < −1.39) → 𝑁(−1.39) = 0.0823 = 8.23%
e) A la derecha de z=1.96;
𝑧 = 1.96 → 𝑃(𝑧 > 1.96) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 1.96) → 1 − 𝑁(1.96) = 1 − 0.9750 = 0.025
= 25%
f) Entre z=-0.48 y z=1.74
𝑃(−0.48 < 𝑧 < 1.74) = 𝑁(1.74) − 𝑁(−0.48) = 0.9591 − 0.3156 = 0.6435 = 64.35%
2. Encuentre el valor de z si el área bajo una curva normal estándar
a) A la derecha de z es 0.3622;
𝑃(𝑍 > 𝑧) = 0.3622 → 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 0.3622 → 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 0.6378 → 𝑁(𝑧) = 0.6378 → 𝒛
= 𝟎. 𝟑𝟓
b) A la izquierda de z es 0.1131;
𝑃(𝑍 < 𝑧) = 0.1131 → 𝑁(𝑧) = −1.21
c) Entre 0 y z, con z>0, 0.4838;
𝑃(𝑍 < 0) = 0.4838 → 1 − 𝑃(𝑍 < 0) = 0.4838 → 1 − 0.4838 = 0.5162 → 𝑁(𝑧) = 0.5162
→ 𝑧 = 0.04
d) Entre-z y z, con z>0, es 0.9500;
𝑃(𝑍 > 0) = 0.9500 → 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0) = 0.9500 → 1 − 0.9500 = 0.05 → 𝑁(𝑧) = 0.05 → 𝑧
= −1.59
40 NOTAS DE PROBABILIDAD
40
7. un investigador científico reporta que unos ratones vivirán un promedio de
40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se
enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que las vidas de tales
ratones se distribuyen normalmente con un desviación estándar de 6.3
meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva.
𝑈𝑥 = 40 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
𝑟𝑥 = 6.3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑋 ~ 𝑁 (𝑈𝑥 = 40 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 ; 𝑟𝑥 = 6.3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠)
a) Mas de 32 meses
𝑃(𝑥 > 32) → 𝑃 (𝑧 >32 − 40
6.3) = 𝑃 (𝑧 >
−8
6.3) = 𝑃(𝑧 > −1.27) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ −1.27)
= 1 − 𝑁(−1.27) = 1 − 0.1020 = 0.8988 = 89.80%
b) Menos de 28 meses
𝑃(𝑥 < 28) = 𝑃 (𝑧 ≤28 − 40
6.3) = 𝑁(−1.90) = 0.0287 = 2.87%
c) Entre 37 y 49
𝑃(37 < 𝑥 < 49) = 𝑃 (37 − 40
6.3< 𝑧 <
49 − 40
6.3) = 𝑃(−0.47 < 𝑍 < 1.42)
= 𝑁(1.42) − 𝑁(−0.47) = 0.9222 − 0.1660 = 0.7562 = 75.62%
8. Las barras de pan de centeno que ciertas panadería distribuyen a las tiendas
locales tiene una longitud promedio de 30 cm y una desviación estándar de dos
centímetros. Suponga que las longitudes están distribuidas normalmente ¿Qué
porcentaje de las barras son
a) Mas largas que 31.7cm?
𝑈𝑥 = 30 𝑐𝑚; 𝑟𝑥 = 2 𝑐𝑚
𝑃(𝑥 > 31.7) = 1 − 𝑃 (𝑧 >31.7 − 30
2) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 0.87) = 1 − 𝑁(0.87) = 1 − 0.8078
= 0.1922 = 19.22%
b) Entre 29.3 y 33.5 centímetros de longitud?
𝑃(29.3 < 𝑥 < 33.5) = 𝑃 (29.3−30
2< 𝑧 <
33.5−30
2) = 𝑃(−0.35 < 𝑍 < 1.75) = 𝑁(1.75) −
𝑁(−0.35) = 0.9596 − 0.3632 = 0.5964 = 59.64%
c) Mas cortas que 25.5 centímetros?
41 NOTAS DE PROBABILIDAD
41
𝑃(𝑥 < 25.5) = 𝑃 (𝑧 ≤25.5 − 30
2) = 𝑁(−2.25) = 0.0122 = 1.22%
9. Se regula una maquina despachadora de refrescos para que sirva un promedio
de 200 mililitros por vaso. Si l a cantidad de bebida se distribuye normalmente con
una desviación estándar igual a 15 mililitros,
a) ¿Qué fracción de vasos obtendrán más de 224 mililitros?
𝜇𝑥 = 200 𝛿𝑥 = 15𝑚
𝑃(𝑋 > 224) → 𝑃 (𝑍 224 − 200
15) → 𝑃(𝑍 > 1.6) → 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 1.6) → 1 − 𝑁(1.6)
= 1 − 0.9452 = 0.05 = 5.48%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre191 y 209?
𝑃(191 < 𝑥 < 209) = 𝑃 (191−200
15< 𝑧 <
209−200
15) = 𝑃(−0.6 < 𝑍 < 0.6) = 𝑁(0.6) −
𝑁(−0.6) = 0.7257 − 0.2743 = 0.4514 = 45.14%
c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramaran si se utilizan vasos de 230
mililitros para las siguientes 1000 bebidas?
𝑃(𝑋 > 230) → 𝑃 (𝑍 230 − 200
15) → 𝑃(𝑍 > 2) → 1 − 𝑁(2) = 1 − 0.9772 = 0.0228 = 2.28%
d) ¿por debajo de que valor obtendremos 25% de las bebidas mas
pequeñas?
𝑃(𝑍 < 𝑧) = 0.25 𝑁(𝑧) = −0.67
10. El diámetro interior del anillo de un pistón ya terminado se distribuye
normalmente con una media de 10 cm y una desviación estándar de 0.03 cm,
a) ¿Qué proporción de anillos tendrán diámetros interiores que excedan
10.075 centímetros?
𝑈𝑥 = 10 𝑐𝑚; 𝑟𝑥 = 0.03 𝑐𝑚
𝑃(𝑥 > 10.075) = 1 − 𝑃 (𝑧 >10.075 − 10
0.03) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 2.5) = 1 − 𝑁(2.5)
= 1 − 0.9938 = 0.62%
b) ¿Cuál es al probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro
interior entre 9.97 y 10.03 centímetros?
42 NOTAS DE PROBABILIDAD
42
𝑃(9.97 < 𝑥 < 10.03) = 𝑃 (9.97 − 10
0.03< 𝑥 <
10.03 − 10
0.03) = 𝑃(−1 < 𝑍 < 1)
= 𝑁(1) − 𝑁(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6826 = 68.26%
14. 14. Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una
media de 174.5 cm y una desviación estándar de 6.9 cm. Suponga que las
alturas se registran al medio centímetros mas cercano, ¿cuantos de estos
estudiantes esperaría que tuvieran alturas
a) Menores que 160.0 cm?
𝑈𝑥 = 174.5 𝑐𝑚; 𝑟𝑥 = 6.9𝑐𝑚
𝑃(𝑥 < 160.0) = 𝑃 (𝑧 ≤160.0−174.5
6.9) = 𝑁(−2.10) = 0.0179 = 1.79%
b) Entre 171.5 y 182.0 cm inclusive?
𝑃(171.5 < 𝑥 < 182.0) = 𝑃 (171.5 − 174.5
6.9< 𝑧 <
182.0 − 174.5
6.9)
= 𝑃(−0.43 < 𝑍 < 1.08) = 𝑁(1.08) − 𝑁(−0.43) = 0.8599 − 0.3336
= 0.5263 = 52.63%
c) Igual a 175.0 cm?
𝑃(𝑋 = 175) → 𝑃 (𝑍 174.5 − 175
6.9) = −0.072 → 𝑃(𝑍 = −0.072) = 1 − 𝑃(𝑧 = −0.072)
→ 1 − 𝑁(−0.072) = 1 − 0.4721 = 0.5279 = 52.79%
d) Mayor que o igual a 188.0 cm?
𝑃(𝑥 ≥ 188.0) = 1 − 𝑃 (𝑧 >188.0−174.5
6.9) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 1.95) = 1 − 𝑁(1.95) = 1 −
0.9744 = 0.0256 = 2.56%