introducción a la elasticidad

INTRODUCCIN A LA INTRODUCCIN A LA ELASTICIDAD PARAELASTICIDAD PARA

Robert Hooke (1635 1703)

Tomada de Gordon, J.E. ELASTICIDAD PARA ELASTICIDAD PARA SUELOSSUELOS

Luis Ortuo

Thomas Young (1773-1829)

ELASTICIDADELASTICIDAD

El modelo ms simple para un suelo o una roca sera un material de CHILE (Continuo, Homogneo, Istropo, Lineal y Elstico). Slo requiere 2 parmetros: E, . La historia de su desarrollo tiene su gracia (ver Gordon J E 1987):La historia de su desarrollo, tiene su gracia (ver Gordon, J.E. 1987):

1676: Hooke publica La verdadera teora de la

1.- Robert Hooke (1635-1703) su sobrina, su amigo el relojero y. Newton1676: Hooke publica La verdadera teora de la elasticidad . Como subttulo, un aviso sin falsa modestia: Una dcima de una centsima parte de las invenciones que pretendo publicar y unlas invenciones que pretendo publicar , y un jeroglfico: CEIIINOSSSTTUVESTABLECE LA PROPORCIONALIDAD

1679: Posteriormente, en De potentia restitutiva,

ESTABLECE LA PROPORCIONALIDAD ENTRE FUERZA Y DESPLAZAMIENTO

1679: Posteriormente, en De potentia restitutiva, or of a spring, resuelve el jeroglfico:

UT TENSIO SIC VIS

Luis Ortuo

(como la extensin, as la fuerza),Ntese que no existe por el momento el concepto de tensin. Hay que esperar unos cuantos aos)


2.- Mdulo de elasticidad. Thomas Young (1773-1829) y los jeroglficos egipciosg pYoung, que entre otras cosas dedic parte de su vida al estudio de los jeroglficos egipcios, defini su mdulo (E) la constante dedefini su mdulo (E), la constante de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones, antes de que existieran los

t d t i d f i (Pconceptos de tensin y deformacin. (Por eso quizs no le entendieron muy bien en su momento):

The modulus of elasticity of any substanceis a column of the same substance, capable, pof producing a force on its base which is tothe weight causing a certain degree of compression as the length of the substance

=ELuis Ortuo

compression as the length of the substanceis to the diminution of its length.

Tomados de Gordon, J.E.

E


Algunos valores de E (internet)Material E[1] [2] [ MPa ]Goma 7Cartlago(humano) 24

Tendn

Material E[1] [2] [ MPa ]Granito 50 000

Tendn(humano) 600

Polietileno, 1400

vidrio 70 000Aleaciones de Al 70 000

Nylon 1400

Madera(laminada) 7000

AlLatn 105 000Bronce 110 000(laminada)

Madera (segn la fibra) 14 000

Hueso (fresco) 21000

Hierro colado < 175 000Hierro forjado 190 000Acero 210 000Hueso (fresco) 21000

Hormign / Concreto 27 000

Acero 210 000Zafiro 420 000

Luis Ortuo

Aleaciones de Mg 42 000


3.- Tensin, deformacin y coeficiente de Poisson

Si li b t d d t i dSi se aplica a una probeta de un determinado material elstico un incremento de tensiones en una direccin, por la ley de Hooke se tendr un incremento de deformacin en la misma

LL

v=

incremento de deformacin en la misma direccin, de valor:

LE

vv

=

Ahora bien, tambin se observa que, en general, los incrementos de tensin en una direccin producen deformaciones en perpendicular a dicha direccin.

Donde se denominaLuis Ortuo

Donde se denomina coeficiente de Poissonvvh E

==


El efecto Poisson es de sobra conocido (y cumple una funcin fundamental en muchos

Tensin, deformacin y coeficiente de Poisson

El efecto Poisson es de sobra conocido (y cumple una funcin fundamental en muchos materiales y estructuras).

En palabras simples, es el efecto por el cul , en general un cuerpo adelgaza cuando es estirado o engorda al ser comprimido.

Ev

v =

=E

Luis Ortuo

vh E =


material poisson's ratiofoam 0.10 to 0.40

Algunos valores del coeficiente de Poisson.

glass 0.18-0.3concrete 0.20

sand 0.20-0.45

Se pueden observar aspectos curiosos:

El corcho tiene =0 (bueno paracast iron 0.21-0.26

steel 0.27-0.30stainless steel 0.30-0.31

El corcho tiene 0 (bueno para estar abriendo y cerrando botellas)

A la arcilla saturada Wikipedia le clay 0.30-0.45copper 0.33

aluminium-alloy 0.33

A la arcilla saturada, Wikipedia le asigna = 0,5. Esto, para un material elstico, equivale a decir que no

bi d l ( d l t ) titanium 0.34magnesium 0.35

saturated clay 0.40-0.50

cambia de volumen (ver ms adelante)

Hay materiales con coeficiente de gold 0.42

auxetics negativecork ~ 0.00

Poisson negativo. Se llaman auxticos y pueden ser muy tiles

Luis Ortuo

rubber ~ 0.50

Fuente: Wikipedia


Materiales auxticos (figuras tomadas de internet) engordan al estirarse

Luis Ortuo


Para un material istropo, suponiendo un incremento general de 4.- Tensiones normales. Ley de Hooke generalizada.

v tensiones normales en tres planos perpendiculares (y aplicando el concepto de la ley de Hooke y el efecto Poisson, se tiene:

''

''

)''(''

''

zyx

x EE

+=

v''

)''(''

''

zxy

y EE

+=

OBSERVACIONES:

)''(''

''

xyz

z EE +=

OBSERVACIONES: Como tratamos de suelos, empleamos tensiones efectivas (tambin le podemos poner un apstrofe a E y a , para indicar que se trata de los parmetros de tensiones efectivas).

Luis Ortuo

efectivas). En suelos y en rocas, las compresiones son positivas. Obsrvese que en un material elstico las deformaciones normales slo dependen de la tensiones normales.


)''(''x La deformacin volumtrica ser:Tensiones normales. Ley de Hooke generalizada.

)''(''

)''(''

y

zyx

x EE

+=

+=zyxvV

V ++==

)''(''

)(''

z

zxy EE

+=

+= [ ]zyxEv '''' '21 ++=)(

'' xyz EE +

Teniendo en cuenta que la presin efectiva media (o la '''' zyx

++presin octadrica ) es:3

' zyxp =Resulta: )'21(3 '

')'21(3 p

Ev =

Luis Ortuo


''' ++)'21(3VOBSERVACIONES:

3' zyxp

++=''

)'21(3

0

pE

vVV ==0

Un suelo elstico cualquiera tendr en general un mdulo E y un coeficiente de q g yPoisson . Ahora bien, si durante un proceso de carga no hay cambio de volumen, tampoco habr cambios en la tensin efectiva media.

Lo anterior es consecuencia de asumir que el suelo es elstico.

0'0 == pVV

Luis Ortuo

0V


Tensiones tangenciales

''

)''(''

)''(''

''

3

321

1

+

+=EE

31 =mx

[ ] 2'1'''1 ++)''(

'' 213

3 += EE

[ ] mxmx EE 2'''' 3131 ===+ )'1(2

Luis OrtuoGEmx

mxmx =+=

')'1(2


Tensiones tangenciales

GEmx

mxmx =+=

')'1(2

mxmx G ='= EG

)'1(2 +=GOBSERVACIONES:

G es el mdulo de rigidez transversal o de corte.

Las deformaciones tangenciales dependen de los incrementos de tensiones tangenciales.

Luis Ortuo

Un incremento de tensin tangencial no produce cambio de volumen.


Condiciones edomtricas o de deformacin lateral nula en un suelo elstico e istropo.

Tomando la vertical como direccin de 1 y de 1 :

En condiciones edomtricas o unidimensionales resulta: 2= 3=0, 2 =3

133

3

'''0)''(

''

''

=+=

EE13

13

''1

''

'')'1(

''

=

=

EE

EE

Luis Ortuo

EE


Condiciones edomtricas o de deformacin lateral nula en un suelo elstico e istropo.

En definitiva, suponiendo que la presin vertical efectiva es la principal mayor y la horizontal la principal menor (sueloes la principal mayor, y la horizontal la principal menor (suelo normalmente consolidado o ligeramente sobreconsolidado), el hacer la hiptesis de que el suelo es elstico obligatoriamente implica que el coeficiente de empuje alobligatoriamente implica que el coeficiente de empuje al reposo es:

'1''

'1'' 0

== KVH

Luis Ortuo


Mdulo de compresibilidad volumtrica (mv) y mdulo edomtrico Em en un suelo elstico e istropo.

1'=mE 1=vmRecordando definiciones y resultados previos:

132 '''' ==

1m 1'v 132 '1

+= )''(''

''

331

1 EE == '2112

1 m

= '

'1'2

'''

11

1

EE

EE

'11

''1 Emv

=

'1'21

''

12

11

E

EE

=

= 21

1

'2'1'1''

EEm

Luis Ortuo

1 E


Mdulo de deformacin E y coeficiente de Poisson deducidos de un triaxial con drenaje (CD) para un suelo elstico

En un triaxial CD, durante la aplicacin del desviador se mide la deformacin vertical (1) y la volumtrica (V/V0). Adems, en la fase de rotura se mantiene la presin efectiva de cmara constante:

0'0''

0'

32

1

==>

321

1 ')''(''

''

+=EE

1

1

11

321 '''

)(''

=

=EEE

Luis Ortuo

1 ' E


Mdulo de deformacin E y coeficiente de Poisson deducidos de un triaxial con drenaje (CD) para un suelo elstico

V

[ ] ''''' 11321

0

+

++=VV

[ ][ ] '21'

''''

''

''

'''

''0

1313

32

132

11

=

=+==

=+=V

V

EEE

EEE

)'21(''

''' 11

0

=

EVV

EEE

)'21(10

=

VV

Luis Ortuo


Mdulo de deformacin Eu y coeficiente de Poisson u deducidos de un triaxial sin drenaje para un suelo elstico

En un triaxial sin drenaje, durante la aplicacin del desviador se mide (1) y (u). De la curva (1 , 1 ) se

d d d i d l d d f i i d j Epuede deducir un mdulo de deformacin sin drenaje Eu. (Ojo, que est definido en tensiones totales y no es E)

1

1

=uE

Por otra parte, si la saturacin es completa, en un ensayo sin drenaje no hay cambio de volumen, y por lo tanto el coeficiente de Poisson en tensiones totales asociado a procesos sin drenaje, u , ser (Ojo, que no es ):

1 )21(3V Luis Ortuo

21=u== 0)21(3

0

pEV

Vu

u


Relacin entre mdulos E y , con y sin drenaje en suelo elstico e istropo

Como el agua no soporta tensiones tangenciales, el mdulo de corte del terreno ha de ser igual en condiciones con o sin drenaje:

21;

)1(2)'1(2'' =+==+= uu

uu con

EGEG

)1(2' + uEE 3)'1(2)(' +=

uu EE '

)'1(23 EEu +=

De nuevo, el resultado anterior es consecuencia directa de suponer el suelo elstico e istropo

Luis Ortuo

istropo


Parmetros de presin intersticial en suelo elstico e istropo

[ ])( 313 += ABuB=1 si saturacin completa y fluido incompresible: )( 313 += Au

03

)()()(03

'''0'0 321321 ==++=++== upuuupv

Triaxial (2= 3):up =

31)(

31

3)2(

31331 =+=+= Au

Luis Ortuo

333


Los tejidos, los vestidos ceidos y. una ingeniossima introduccin del Prof. introduccin del Prof. Gordon (1987) a Gordon (1987) a la la anisotropaanisotropa: El corte al bies, inventado por Madeleine Vionnet)

Trama y urdimbre en vertical y horizontal. Hilos poco extensibles bajo peso del tejido: p j p jE elevado.

Poco contraccin lateral: pequeoSe necesitan lazos para ceir la ropa

Trama y urdimbre a 45. Extensin mayor bajo peso propio tejido: E pequeo

Gran contraccin lateral: grandeLa ropa se cie sola y no hacen falta lazos

Luis Ortuo

Tomada de Gordon, J.E. , 1987

BIBLIOGRAFABIBLIOGRAFA

Gonzlez de Vallejo, L., Ferrer, M., Ortuo, L. & Oteo, C. (2002): IngenieraGeolgica. Prentice Hall. Madrid.

Gordon, J.E. (1987). Structures or why things dont fall down. Pelican Books. Penguin.

Jimnez Salas, J.A. et al. (1976): Geotecnia y Cimientos II. Editorial Rueda. Madrid. ( ) y

Luis Ortuo

introducción a la elasticidad

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