introducción a la inferencia estadística

Introduccin a la Inferencia Estadstica

Introduccin a la Inferencia Estadstica2013

Universidad Central de VenezuelaFacultad de Ciencias Econmicas y SocialesEscuela de Estadstica y Ciencias ActuarialesDepartamento de Estadstica y ProbabilidadCtedra de Mtodos EstadsticosAsignatura: Estadstica II

Profa. Sandra V. PintoProfa. Mara Teresa Salomn

Tema 1Introduccin a la Inferencia Estadstica

A. Fundamentos del Contraste de Hiptesis

1. Forma de la Distribucin de PoblacinPara contrastar hiptesis, el investigador debe hacer una suposicin sobre la naturaleza de la distribucin inherente a la poblacin bajo estudio.Cmo se distribuye la Variable Aleatoria en estudio?!Esto, porque para tomar una decisin acerca de una hiptesis, se deben conocer las probabilidades de ocurrencia de la variable aleatoria que se considere. Caso en el que el mtodo inferencial es un mtodo Paramtrico. En tanto que un mtodo independiente de la distribucin es un procedimiento No-paramtrico.2. Formulacin de las Hiptesis Las hiptesis a contrastar, se enuncian segn parmetros de la poblacin en estudio. Una forma de especificar lo que se requiere de un procedimiento de prueba es concentrar la atencin en dos conjuntos posibles de valores del parmetro, es decir, dos hiptesis.A tal par de conjuntos se les llama:Hiptesis Nula, denotada por Ho, e Hiptesis Alterna, denotada por H1, conocida como la Hiptesis Estadstica.La hiptesis nula se especifica con frecuencia en una forma opuesta a la que se supone cierta, y la hiptesis alterna es expresada como la opuesta a la hiptesis nula. En la terminologa de prueba, se habla de probar una hiptesis nula contra una alterna en el supuesto tentativo de que la hiptesis nula es cierta.

3. Tipos de ContrasteHay tres tipos de contrastes de hiptesis, cada uno de los cuales es identificado por la forma en que se formulan H0 y H1.

a. Contraste Unilateral Derecho de Cola Derecha:Ho: o

b. Contraste Unilateral Izquierdo de Cola Izquierda:Ho: >= o H1: < o

c. Contraste Bilateral a Dos Colas:Ho: = o H1: oA o se le conoce como el valor hipottico de Ho y H1 son siempre mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivas, es decir,{ Ho } { H1} = { Ho} { H1} = 4. Errores de un ContrasteSera conveniente que siempre que se tome una decisin esta resultara correcta. Sin embargo, es estadsticamente imposible, puesto que la decisin estar tomada con base a informacin muestral. Cuando una hiptesis es rechazada o aceptada con base en los resultados muestrales, siempre existe la posibilidad de tomar una decisin equivocada.

Naturaleza de la HiptesisDecisin

Aceptar H0 Rechazar H0

H0 es VerdaderaDecisin Correcta

Error Tipo I

H0 es FalsaError Tipo II

Decisin Correcta

Donde:

= P(Error Tipo I) = P(Rechazar H0 / H0 es Cierta), es el Nivel de Significacin

1- = P(Aceptar H0 / H0 es Cierta)

= P(Error Tipo II) = P(Aceptar H0 / H0 es falsa), es la Potencia del Contraste

1- = P(Rechazar H0 / H0 es Falsa)

5. Estadstico de Contraste y Regin CrticaEstadstico de Contraste: Por lo general es un estimador del parmetro, es decir, es el estadstico seleccionado por el investigador para resumir los valores muestrales a un nmero real de manera de facilitar la toma de decisin mediante la comparacin de dicho valor con la Regin Crtica o Regin de Rechazo.El Estadstico de Contraste debe ser uno cuya distribucin por muestreo sea conocida, bajo el supuesto de que la hiptesis nula es cierta. Dicho estadstico generalmente, resulta ser un estimador del parmetro previsto en H0 una combinacin lineal de ese estimador, dependiendo de cul de los dos se conoce la distribucin de probabilidad.

Regin Crtica Regin De Rechazo: Es el conjunto de valores del Estadstico de Contraste que llevan a la decisin de rechazar la Hiptesis Nula.

Algunos valores del estadstico pueden llevarnos a sospechar que la hiptesis no es razonable y debe ser rechazada. Otros valores pueden considerarse como justificacin de la hiptesis. Sin embargo, la obtencin de un valor razonable del Estadstico no demuestra que la hiptesis es verdadera, simplemente no la contradice. Su complemento recibe el nombre de Regin de Aceptacin.

Valores Crticos: son los puntos frontera de la Regin Crtica y por ende de la Regin de Aceptacin.

Procedimiento para Contrastar Hiptesis1.Definir la poblacin y el parmetro a investigar2.Formular las hiptesis nula y alternativa, de acuerdo con el problema planteado.3.Fijar el nivel de significacin, 4.Escoger el estadstico de contraste cuya distribucin es conocida en el supuesto de que H0 es cierta.5.Establecer la Regin Crtica, que depende de la forma de la hiptesis alterna y del nivel de significacin.6.Calcular el valor del estadstico de contraste, partiendo de una muestra aleatoria.7. Tomar la decisin: Si el valor del estadstico pertenece a la regin crtica Rechazamos la Hiptesis Nula. En caso contrario, No tenemos elementos suficientes para rechazar la Hiptesis Nula 8. Elaborar la conclusin en trminos de la hiptesis alternativa

Inferencias acerca de la Media Poblacional ()Sea X una variable aleatoria normal, tal que: XN(x,2x). Sea (x1, x2,.xn) observaciones asociadas a una muestra aleatoria de tamao n de X. Para realizar inferencias acerca de , media poblacional de X, usamos su mejor estimador . La distribucin probabilstica de este estimador se comporta de diferente manera dependiendo de si 2x es conocida desconocida. Sabemos que:a) , y donde: b) , entonces, se debe estimar, lo cual se puede hacer usando como estimador la varianza muestral la cuasivarianza , As que y dependiendo del tamao de la muestra n se tiene que:

A) Estimacin por intervalo

Dado un nivel de confianza 1 - , se puede estimar mediante:a)

b)

c)

B) Contraste de Hiptesis

Dado un nivel de significacin , se puede contrastar hiptesis acerca de empleando como estadstico de contraste a Z* o t* segn corresponda:a)

b)

Donde, 0 es el valor hipottico del parmetro


2 MTS/SPContraste de HiptesisEstadstico de ContrasteRegin CrticaValores CrticosRegla de DecisinRechazar H0 si y solo siGrfica

H0: 0 H1: < 0

H0: 0 H1: > 0

H0: = 0 H1: 0


Contraste de HiptesisEstadstico de ContrasteRegin CrticaValores CrticosRegla de DecisinRechazar H0 si y solo siGrfica

H0: 0 H1: < 0

H0: 0 H1: > 0

H0: = 0 H1: 0

c)


Inferencias acerca de la Varianza Poblacional ()Sea X una variable aleatoria normal, tal que: XN(x,2x). Sea (x1, x2,.xn) observaciones asociadas a una muestra aleatoria de tamao n de X. Para realizar inferencias acerca de , varianza poblacional de X, usamos como estimador una combinacin lineal de la varianza muestral una combinacin lineal de la cuasivarianza que es de la que se conoce su distribucin probabilstica en el muestreo:


Dado un nivel de confianza 1 - , se puede estimar mediante:


Dado un nivel de significacin , se puede contrastar hiptesis acerca de empleando como estadstico de contraste: Introduccin a la Inferencia Estadstica2013

9MTS/SP


<

>


10MTS/SPInferencias acerca de la Diferencia de Medias (D)Sean X1 y X2 variables aleatorias normales independientes, tales que: X1N(1,12) y X2N(2,22). Sean (x11, x12,.x1n1) y (x21,x22,.x2n2) muestras aleatorias e independientes de X1 y X2 respectivamente. Se define el parmetro Diferencia de Medias D como la diferencia entre las medias poblacionales de X1 y X2. Esto es:

Para inferir sobre D usamos su mejor estimador que se construye de la siguiente manera:

La distribucin probabilstica de este estimador es desconocida. Sin embargo, sabemos que:c) , entonces

donde:

d) , entonces, se estiman las varianzas de X1 y X2. Para ello es necesario conocer si esas varianzas son iguales o distintas, ya que el procedimiento de estimacin es diferente. En consecuencia, es necesario en primer lugar realizar un contraste auxiliar bilateral de razn de varianzas (R2). Si suponemos , entonces se estima mediante:

Por otra parte, se estima mediante el estimador ponderado de la varianza

Finalmente, se obtiene el estimador de :

As, se tiene que:

Si suponemos entonces se estima mediante:

As, se tiene que:

Siendo


Dado un nivel de confianza 1 - , se puede estimar D mediante:d)

e)

f)

g)

h)


Dado un nivel de significacin , se puede contrastar hiptesis acerca de D empleando como estadstico de contraste a Z* o t* segn corresponda:d) ,

donde, D0 = 0

e)

donde, D0 = 0


11MTS/SPContraste de HiptesisEstadstico de ContrasteRegin CrticaValores CrticosRegla de DecisinRechazar H0 si y solo siGrfica

H0: D 0 H1: D < 0

H0: D 0 H1: D > 0

H0: D = 0 H1: D 0



H0: D 0 H1: D < 0

H0: D 0 H1: D > 0

H0: D = 0 H1: D 0

f)

16MTS/SP

introducción a la inferencia estadística

Documents