introducci´on a la teor ´ıa de ciclos l´ımite
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Introduccion a la teorıa de ciclos lımite
Salomon Rebollo [email protected]
Instituto de Matematica y Fısica
05-09 de enero, 2015. Talca, CL
S. Rebollo-Perdomo Introduccion a la teorıa de ciclos lımite
Contenido1 Introduccion
¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales
2 Ciclos lımite en el plano IResumen de primera presentacionImportancia de ciclos lımiteHerramientas para el estudio de ciclos lımite
3 Ciclos lımite en el plano IICiclos lımite de familias especialesCiclos lımite de campos vectoriales polinomiales
4 Ciclos lımite en el plano IIIBifurcacion de ciclos lımite
5 Ciclos lımite algebraicos6 Problemas abiertos
S. Rebollo-Perdomo Introduccion a la teorıa de ciclos lımite
Contenido1 Introduccion
¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales
2 Ciclos lımite en el plano IResumen de primera presentacionImportancia de ciclos lımiteHerramientas para el estudio de ciclos lımite
3 Ciclos lımite en el plano IICiclos lımite de familias especialesCiclos lımite de campos vectoriales polinomiales
4 Ciclos lımite en el plano IIIBifurcacion de ciclos lımite
5 Ciclos lımite algebraicos6 Problemas abiertos
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Contenido1 Introduccion
¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales
2 Ciclos lımite en el plano IResumen de primera presentacionImportancia de ciclos lımiteHerramientas para el estudio de ciclos lımite
3 Ciclos lımite en el plano IICiclos lımite de familias especialesCiclos lımite de campos vectoriales polinomiales
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5 Ciclos lımite algebraicos6 Problemas abiertos
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¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales
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3 Ciclos lımite en el plano IICiclos lımite de familias especialesCiclos lımite de campos vectoriales polinomiales
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5 Ciclos lımite algebraicos6 Problemas abiertos
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¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales
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¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales
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3 Ciclos lımite en el plano IICiclos lımite de familias especialesCiclos lımite de campos vectoriales polinomiales
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5 Ciclos lımite algebraicos6 Problemas abiertos
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¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales
2 Ciclos lımite en el plano IResumen de primera presentacionImportancia de ciclos lımiteHerramientas para el estudio de ciclos lımite
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5 Ciclos lımite algebraicos6 Problemas abiertos
S. Rebollo-Perdomo Introduccion a la teorıa de ciclos lımite
Resumen: conceptos basicos
Un campo vectorial es una funcion
X : R2car → R2
vec, (x, y) 7→ f(x, y) ∂∂x
+ g(x, y) ∂∂y
donde f(x, y) y g(x, y) son funciones reales.
Una trayectoria de X es una funcion
γ : (a, b)→ R2, t 7→ γ(t) = (x(t), y(t)),
cuyos vectores tangentes coinciden con los dados por X .
Una orbita de X es la imagen γ ⊂ R2 de una trayectoria de X .
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Problema fundamental
(Poincare)Determinar el retrato fase de X : describir topologicamente elcomportamiento local y global de sus orbitas.
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Resumen: conceptos basicos
Un campo vectorial Hamiltoniano (en el plano) es de la forma:
XH = Hy∂
∂x−Hx
∂
∂y,
H = H(x, y) : R2 → R, Hx y Hy son sus derivadas parciales.
Una curva de nivel de H es el conjunto
f−1(c) := {(x, y) ∈ R2 | f(x, y) = c}.
Las trayectorias de XH estan contenidas en las curvas de nivelde H.
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Curvas de nivel de una funcion
Grafica de H = x2 + y2 Curvas de nivel de H = x2 + y2
-2-1
01
2
-2
-1
0
1
2
0
5
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
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Ejemplo de un campo vectorial Hamiltoniano
EjemploH(x, y) = xy
XH = x ∂∂x − y
∂∂y
Las curvas de nivel, {(x, y) ∈ R2 |xy = c} de H sonhiperbolas cuyas asıntotas son los ejes coordenados.
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-10
0
10
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
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Resumen: conceptos basicos
Una orbita periodica es la imagen de una trayectoria periodica.
Un ciclo lımite de un campo vectorial X es una orbita γ quesatisface:
1 es periodica.2 es topologicamente aislada en el conjunto de orbitas periodicas
de X .
Si X tiene una familia continua de orbitas periodicas, ellasforman un anillo periodico.
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Tipos de orbitas periodicas
Ejemplos de anillos periodicos
Ciclos lımite (estable/inestable/semi-estable)
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
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¿Que es un ciclo lımite?Campos vectoriales realesCiclos lımite de campos vectoriales
2 Ciclos lımite en el plano IResumen de primera presentacionImportancia de ciclos lımiteHerramientas para el estudio de ciclos lımite
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5 Ciclos lımite algebraicos6 Problemas abiertos
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Problema fundamental
Problema fundamental de un campo vectorial (Poincare)Determinar el retrato fase de X : describir topologicamente elcomportamiento local y global de sus orbitas.
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Orbitas en el retrato fase de X
Sea X un campo vectorial en U ⊂ R2 y p ∈ U .
¿Existe una orbita de X que pase por p?¿Cuantas orbitas de X pasan por p?¿Cuantos tipos distintos de orbitas puede tener X ?
TeoremaSea U ⊂ R2 un abierto y X definido en U . Si X es de clase Ck, conk ≥ 1, entonces dado un punto p de U existe una y solo unatrayectoria γ : (−a, a) ⊂ R→ U de X tal que γ(0) = p.
Si X de clase C1 por p pasa una y solo una orbita.Si X no es de clase C1, entonces por un punto pueden pasarvarias orbitas.
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¿Cuantos tipos distintos de orbitas puede tener X ?
Ejemplo
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
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Tipos de orbitas de un campo vectorial
Conocemos tres tipo de orbitas
Solo existen tres tipo de orbitassingularidades orbitas periodicas curvas homeomorfas a (a, b)
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¿Toda curva periodica es orbita de un campo X ?
Una curva periodica
γ : [0, 2]→ R2, t 7→( 2 cos(t)
sin2(t) + 1,2 cos(t) sin(t)
sin2(t) + 1
)
γ(t) no es trayectoria de ningun campo vectorial.
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Ciclos lımite en el retrato fase de X
X =(y + x(1− x2 − y2)2) ∂
∂x+
(−x+ y(1− x2 − y2)2) ∂
∂y
EjemploCampo vectorial X
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Orbitas de X
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
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Ciclos lımite a partir de la representacion de X
EjemploCampo vectorial X
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Orbitas de X
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
X =(
y + x(11
10 − x2 − y2)2
)∂
∂x+
(−x + y
( 910 − x2 − y2
)2)
∂
∂y
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Ciclos lımite en las aplicaciones
1 Un punto del plano puede representar el estado de un sistema.
EjemploEn un sistema depredador-presa un punto (x, y) representa:el numero de presas x y el numero de depredadores y.
EjemploEn un sistema de reaccion quımica de dos sustancias A y B elpunto (x, y) representa: la concentracion de A y B, respect.
2 X indica el cambio (velocidad y direccion) de los estados.
3 Todo fenomeno que relaciona dos cantidades y que cambia en eltiempo pude ser modelado por un campo vectorial en el plano.
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Ejemplo 1: Reaccion quımica
Modelo BrusselatorUna reaccion quımica con dos sustancias involucradas.La variacion de las concentraciones, x y y esta dada por elcampo vectorial
XBru =(α− (β + 1)x+ x2y
) ∂
∂x+
(βx− x2y
) ∂
∂y.
Los parametros α, β > 0 dependen de la reaccion quımica.
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Ejemplo 2: Ecologıa
Modelo depredador-presaPensemos en un tipo de depredador y un tipo de presa queconviven en un ecosistema.La evolucion del numero de presas, x, y de depredadores, y, estagobernada por el campo vectorial
XLV = x (a− bx− cy) ∂
∂x+ y (−d+ ex− fy) ∂
∂y.
Los parametros a, b, c, d, e, f > 0 dependen del sistema.
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Ejemplo 3: Electronica
Circuito electrico
Para determinar el estado del sistema, (iR, iL, ic, vR, vL, vC),basta conocer x = iL y y = vC .La variacion de x y y, esta dada por el campo vectorial
XCE = (y − f(x)) ∂
∂x− x ∂
∂y,
donde f(x) es una funcion que depende del sistema.
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Interpretacion de un ciclo lımite y su importancia practica
Significado de un ciclo lımite1 Un ciclo lımite es un atractor (positivo y/o negativo).
2 Un ciclo lımite es un movimiento periodico del sistema.
3 La estabilidad (estable, inestable, semi-estable) es fundamentalpara dar informacion acerca del comportamiento del sistema enel futuro.
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Existencia de ciclos lımite
Teorema de la region anular (Poincare–Bendixon)Supongamos que
U es una region anular.
X esta definido en U .
X “entra” en U .
X no tiene singularidades en U .
Entonces X tiene al menos un CL en U .
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No existencia de ciclos lımite
Teorema de BendixonSi
G ⊂ R2 una region simplemente conexa.X = (f, g) de clase C1 definido en G.La divergencia de X :
divX := fx + gy
no cambia de signo en G.divX no se anula identicamente en ninguna sub-region de G.
Entonces X no tiene orbitas periodicas en G.
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