introducción a las ecuaciones diferenciales

INTRODUCCION A LAS

ECUACIONES

DIFERENCIALES

Jorge Adelmo Hernandez Pardo*

Especialista en Matematica Avanzada

Universidad Nacional de Colombia

Profesor Asistente de la Universidad Distrital

“Francisco Jose de Caldas”

Rodrigo Rincon Zarta**

Especialista en Matematica Avanzada

Universidad Nacional de Colombia

Profesor Asistente de la Universidad Distrital

“Francisco Jose de Caldas”

Noviembre de 2007

*email [email protected].**email [email protected]

Prefacio

El texto recopila la experiencia docente acumulada por cada uno de los

autores durante mas de dos anos orientando la catedra “Introduccion a las

Ecuaciones Diferenciales”. Sabemos que responde a las necesidades academi-

cas de las facultades tecnologicas y facultades de ingenierıa.

El pronto desarrollo de “La Transformada de Laplace ”, se hace con el ani-

mo de que muchas de las ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales

se puedan solucionar utilizando la transformada enunciada.

El texto contiene el desarrollo teorico basico para un curso de ecuaciones

diferenciales clasico y puede ser, si ası se requiere, complementado por al-

gunos de los textos de la bibliografıa resenada al final de este libro.

Por otra parte, los elevados costos de los textos tradicionales impiden que

muchos de nuestros estudiantes tenga la posibilidad de adquirir uno de di-

chos ejemplares. Este libro pretende, entre otros, subsanar esta situacion.

El libro tiene tres capıtulos, el primero de estos hace un tratamiento de-

tallado de las integrales impropias (sin demostraciones), para aquellos es-

tudiantes que no tengan conocimientos frescos de estos temas y por tanto

podrıan ser tomados unicamente como material de consulta. Dicho capıtulo

esta hecho mas o menos a la manera del libro [1].

En el segundo capıtulo, titulado “Transformada de Laplace”, se hace un

desarrollo mas o menos profundo de la transformada de Laplace para fun-

i

ii CAPITULO 0. PREFACIO

ciones causales, y que de acuerdo con el orden establecido por el libro, es una

aplicacion inmediata de las integrales impropias de primera clase. Ademas,

se desarrollan algunas aplicaciones en la solucion de ecuaciones diferenciales,

ecuaciones integrales y ecuaciones integro-diferenciales.

El tercer capıtulo contiene un estudio rapido de las ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden y orden superior con aplicaciones, el desarrollo

es clasico a la manera de [2].

Ademas contiene una pequena pero util introduccion a las sucesiones y series

y tambien una tabla de transformadas de Laplace.

Este libro es el resultado de dos ediciones de Notas de Clase publicadas

por el Fondo de Publicaciones Universidad Distrital entre los anos 2004 y

2006 con un tiraje de 300 ejemplares por cada edicion. La excelente acogida

nos motivo a complementar el contenido y proponerle a las directivas de

la Universidad Distrital la publicacion como libro de texto. Despues de ser

evaluado positivamente por pares externos fue aprobada por el comite de

publicaciones y de esta forma se hace realidad nuestra pretension.

Los autores agradecemos las sugerencias y observaciones que nos hicieron

tanto colegas como estudiantes sobre las Notas de Clase y tambien agrade-

cemos cualquier sugerencia que los lectores hagan a este texto y las tendran

en cuenta para mejorar una futura edicion.

Jorge Adelmo

A mi nieto Juan Daniel, a mi hija Sandra

Rodrigo, a mis hijos

Camila Andrea, Diego Armando

iii

iv CAPITULO 0.

Indice general

Prefacio I

III

1. INTEGRALES IMPROPIAS 1

1.1. Integrales impropias de primera clase . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Integrales impropias de segunda clase . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1. Caso 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Caso 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Funcion Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 15

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . 20

2.3. Traslaciones y derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Interpretacion de la convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6. Transformada de Laplace de la convolucion . . . . . . . . . . 39

2.7. T. de Laplace de una funcion periodica . . . . . . . . . . . . . 47

3. ECUACIONES DIFERENCIALES 51

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Estudio cualitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1. Puntos Atractores y Repulsores . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. Estudio Analıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

v

vi INDICE GENERAL

3.4. Variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.5. Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.6. Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6.1. Metodo de solucion de una ecuacion exacta . . . . . . 67

3.7. Lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.8. Problemas de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.9. Ecuaciones lineales homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.9.1. Ecuaciones no-homogeneas de segundo orden . . . . . 89

3.9.2. Ecuaciones diferenciales homogeneas de orden superior 101

3.9.3. Ecuaciones diferenciales no-homogeneas de orden su-

perior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.10. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . 110

3.10.1. Circuitos electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.10.2. Movimiento libre no amortiguado . . . . . . . . . . . . 114

Ejemplos de movimientos amortiguados . . . . . . . . . . . . 125

Movimiento forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.11. Ecuaciones diferenciales de orden superior . . . . . . . . . . . 132

3.11.1. Con coeficientes variables . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.11.2. Ecuaciones de segundo orden no-homogeneas . . . . . 134

3.12. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . 136

3.13. Solucion en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A. Sucesiones y series 147

A.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.2. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A.2.1. Propiedades de las series convergentes . . . . . . . . . 152

A.3. Series geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A.3.1. Convergencia de una serie geometrica . . . . . . . . . 153

A.4. Tabla de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 156

A.5. Identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Respuesta a ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Bibliografıa 163

Indice de materias

Capıtulo 1

INTEGRALES IMPROPIAS

Hasta el momento se han estudiado integrales definidas, en donde el in-

tervalo de integracion es de longitud finita, o en donde la funcion que se

esta integrando es acotada en dicho intervalo. El proposito es generalizar

estas ideas ampliando el intervalo de integracion a intervalos de longitud

infinita, es decir intervalos en que uno de los extremos, o los dos, sean in-

finitos; o estudiar integrales sobre intervalos finitos pero en donde la funcion

no sea acotada ya sea en uno de los extremos del intervalo o en algun punto

interior del intervalo de integracion. A este tipo de integrales se les llama

integrales impropias.

1.1. Integrales impropias de primera clase

Consideremos en primer lugar la integral:

∞∫

0

e−xdx. Cuya grafica, es:

1 2 3−1

1

−1

f(x) = e−x

Figura 1.1

2 CAPITULO 1. INTEGRALES IMPROPIAS

En este caso, como la funcion a integrar es positiva en el intervalo [ 0,∞ ),

podemos considerar que la integral representa el area bajo la curva f(x) =

e−x. Para calcular dicha integral se calcula la integral definida∫ b0 e

−xdx en

donde b es cualquier numero mayor que cero, b > 0 y luego se calcula el

lımite cuando b tiende a infinito ası:

∞∫

0

e−xdx = lımb→∞

b∫

0


[ −1ex∣∣b

0

]

= lımb→∞

[ −1eb

+1

e0

]

= 0 + 1 = 1 es decir:

∫ ∞

0e−xdx = 1. Se puede afirmar que:

∫ ∞

cf(x) dx, existe si la integral

∫ b

cf(x) dx existe para todo b ≥ c y

lımb→∞

∫ b

cf(x) dx existe y es finito. En este caso se escribe:

∫ ∞

cf(x)dx = lım

b→∞

∫ b

cf(x)dx.

En forma similar se puede definir:

∫ c

−∞f(x)dx = lım

a→−∞

∫ c

af(x)dx.

En ambos casos se dice que la integral es convergente. En los casos en que

los lımites no existan se dice que la integral es divergente.

Ejemplo 1.1.

∫ ∞

2

1

x(lnx)2dx = lım

b→∞

∫ b

2

1

x(lnx)2dx =

lımb→∞

[ −1lnx

∣∣∣

∞

2

]

= lımb→∞

[−1ln b

+1

ln 2

]

=1

ln 2

Ejemplo 1.2.

∫ 0

−∞

1

(2x− 1)3dx = lım

a→−∞

∫ 0

−∞

1

(2x− 1)3dx =

lıma→−∞

(−14

)

(2x− 1)−2∣∣∣

0

a= lım

a→−∞

[ −14(2,0− 1)2

+1

4(2a− 1)2

]

=1

4.

1.1. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA CLASE 3

Ahora, si los lımites de integracion son ambos infinitos se define la integral

∫ ∞

−∞f(x) dx, de la siguiente manera:

∫ ∞

−∞f(x) dx =

∫ c

−∞f(x) dx+

∫ ∞

cf(x) dx, c ∈ R

siempre que las dos integrales de la derecha existan. En caso contrario se

dice que la integral:∫∞−∞ f(x) dx diverge.

Ejemplo 1.3.

f(x) =1

1 + x2

1 2−1−2

1

Figura 2.

∞∫

−∞

1

1 + x2dx =

c∫

−∞

1

1 + x2dx+

∞∫

c

1

1 + x2dx, c ∈ R

= lıma→−∞

c∫

a

1

1 + x2dx+ lım

b→∞

b∫

c

1

1 + x2dx

= lıma→−∞

(arctanx)∣∣∣

c

a+ lım

b→∞(arctanx)

∣∣∣

b

c

= lıma→−∞

(arctan c− arctan a) + lımb→∞

(arctan b− arctan c)

= arctan c− arctan (−∞) + arctan(∞)− arctan c

= −[

−π2

]

+π

2= π


Ejemplo 1.4. Hacer la grafica de la funcion f(x) =1

xy hallar el area

bajo la curva en el primer cuadrante.

f(x) =1

x

1 2 3−1−2−3−4

5

10

−5

−10

Figura 3.

Ejemplo 1.5. f(x) =x

x2 + 4

.

4 8−4−8

−0,3

Figura 4.∫ 0

−∞

x

4 + x2dx = lım

a→−∞

∫ 0

a

x

4 + x2dx

= lıma→−∞

(

1

2. ln(x2 + 4)

∣∣∣∣

0

a

)

= lıma→−∞

[1

2. ln(4)− 1

2ln(a2 + 4)

]

=1

2ln(4)− 1

2

[

lıma→−∞

ln(a2 + 4)

]

= −∞, luego

∫ 0

−∞

x

4 + x2dx diverge hacia menos infinito.

1.1. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA CLASE 5

Ejemplo 1.6. Hallar los valores de a y b, tales que:

∞∫

1

[2x2 + bx+ a

x(2x+ a)− 1

]

dx = 1.

Como el grado del polinomio del numerador es igual al grado del polinomio

del denominador se efectua la division y resulta:

∞∫

1

[2x2 + bx+ a

x(2x+ a)− 1

]

dx =

∞∫

1

[

1 +(b− a)x+ a

2x2 + ax− 1

]

dx

=

∞∫

1

[(b− a)x+ a

x(2x+ a)

]

dx =

∞∫

1

[A

x+

B

2x+ a

]

dx =

∞∫

1

[1

x+b− a− 2

2x+ a

]

dx

= lımc→∞

[

lnx+1

2(b− a− 2) ln( 2x+ a )

∣∣∣∣

c

1

]

= lımc→∞

[

ln(x) + ln(2x+ a)12(b−a−2)

∣∣∣

c

1

]

= lımc→∞

[

ln[

x(2x+ a)12(b−a−2)

]∣∣∣

c

1

]

este lımite existe si y solo si 12(b − a − 2) = −1, es decir, b − a − 2 = −2,

luego b = a, entonces,

lımc→∞

[

ln

(x

2x+ a

)∣∣∣∣

c

1

]

= lımc→∞

[

ln

(c

2c+ a

)

− ln

(1

2 + a

)]

=

ln

[1

2

]

+ ln[2 + a] = − ln(2) + ln(2 + a).

Como

∞∫

1

[2x2 + bx+ a

x(2x+ a)− 1

]

dx = 1, entonces,

− ln(2) + ln(2 + a) = 1. Por consiguiente, a = 2e− 2.


Ejercicios 1.7.

Evaluar cada una de las siguientes integrales impropias:

1)

∫ ∞

4xe−x2dx 2)

∫ ∞

0

x2

(x3 + 1)2dx

3)

∫ ∞

2

1

(1− x)23

dx 4)

∫ ∞

2

1

x lnxdx

5)

∫ ∞

0

1√exdx 6)

∫ −1

−∞

1

x3dx

7)

∫ 1

−∞

1

(5x+ 3)3dx 8)

∫ ∞

−∞

1√x2 + 4

dx

9)

∫ ∞

−∞

1

x2 + 8x+ 25dx 10)

∫ ∞

−∞

x

e|x|dx

11)

∫ ∞

0e−2x sin(3x)dx 12)

∫ ∞

0t2e−tdt

13) Para cierto valor de α, la integral∞∫

0

[1√

1+2x2− α

x+1

]

dx es convergente.

halle este, o estos valores y calcule la integral.

14) Encontrar el area de la region bajo la curva de f(x) =2

4x2 − 1, a la

derecha de x = 1.

15) Encontrar el volumen del solido generado en la grafica del ejemplo (1.4)

al rotar la superficie del primer cuadrante acotada por las siguientes curvas:

y =1

x, x = 1, y y = 0,

i) alrededor del eje x ii) alrededor del eje y

16) Encontrar el area bajo la curva de f(x) =1

x2 + x, a la derecha de x = 1

17) En teorıa electromagnetica el potencial magnetico v, de un punto sobre

el eje de una bobina circular esta dado por:

v = Ar∞∫

a

1

(r2 + x2)32

dx, donde A y r, son constantes. Evalue v.

1.2. INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA CLASE 7

1.2. Integrales impropias de segunda clase

1.2.1. Caso 1:

En algunos casos se presentan integrales definidas en un intervalo semia-

bierto de la forma [ a, b ) con la propiedad siguiente: lımx→b−

|f(x)| = ∞. Si

suponemos que la integral:t∫

af(x)dx existe para todo t, a ≤ t < b, entonces

podemos definir,b∫

af(x)dx= lım

t→b−

t∫

af(x)dx, siempre que el lımite exista. En tal caso decimos

queb∫

af(x)dx, es convergente. Si el lımite no existe decimos que la integral es

divergente. En forma similar, se define la integral de una funcion f , definida

en un intervalo de la forma ( a, b ], con la condicion siguiente: lımx→a+

f(x) =∞.

Ejemplo 1.8.

∫ 1

0

lnx√xdx = lım

ε→0+

∫ 1

ε

lnx√xdx, si u =

√x

= lımε→0+

[

4√x ln√x− 4

√x∣∣1

ε

]

= lımε→0+

[

−4√1− 4

√ε ln ε+ 4

√ε]

= −4

Ejemplo 1.9.

1∫

−1

√

1 + x

1− xdx = lım

c→1−

c∫

−1

√

1 + x

1− xdx = lım

c→1−

c∫

−1

√1 + x.

√1− x√

1− x.√1− x

dx

= lımc→1−

c∫

−1

√1− x2

1− xdx, haciendo x = sinα, tenemos:

= lımc→1−

[

arcsinx−√

1− x2∣∣∣

c

−1

]

= lımc→1−

[

arcsin c−√

1− c2 − arcsin(−1)]

=π

2−[

−π2

]

= π


Ejercicios 1.10.

Calcular, si existe, cada una de las siguientes integrales impropias:

1)

2∫

1

1

(x− 1)13

dx 2)

7∫

3

1√x− 3

dx

3)

1∫

0

1√1− x2

dx 4)

3∫

0

x√9− x2

dx

5)

1∫

0

lnxdx 6)

1∫

−2

1

(x+ 1)43

dx

7)

1∫

0

lnx

xdx 8)

4∫

0

1√4− x

dx

9)

4∫

0

x√16− x2

dx 10)

1∫

−1

√1− x

1 + xdx

11)

1∫

0

√1− x

xdx 12)

2∫

0

√2− x

xdx

1.2.2. Caso 2:

Existen funciones definidas en un intervalo I de la forma [ a, b ], que son

continuas en dicho intervalo, excepto en un punto c ∈ [ a, b ] en donde se

cumple: lımx→c|f(x)| =∞, en este caso se puede definir:

b∫

af(x)dx, de la sigui-

ente manera:

b∫

af(x)dx =

c∫

af(x)dx+

b∫

cf(x)dx, siempre que las dos integrales de la derecha

converjan. En caso contrario, se dice que la integral (de la izquierda) diverge.

1.2. INTEGRALES IMPROPIAS DE SEGUNDA CLASE 9

Ejemplo 1.11. Sea f(x)= 13√x2

∫ 27

−1

13√x2dx =

∫ 0

−1

13√x2dx+

∫ 27

0

13√x2dx =

lımε→0−

∫ ε

−1

13√x2dx+ lım

δ→0+

∫ 27

δ

13√x2dx = lım

ε→0−

[

3x13

∣∣∣

ε

−1

]

+ lımδ→0+

[

3x13

∣∣∣

27

δ

]

= lımε→0−

3[

ε13 − (−1) 13

]

+ lımδ→0+

3[

2713 − (δ)

13

]

= 3 + 9 = 12

Ejemplo 1.12.

∫ 2

−1

1

x4dx =

∫ 0

−1

1

x4dx+

∫ 2

0

1

x4dx = lım

ε→0−

∫ ε

−1

1

x4dx+ lım

δ→0+

∫ 2

δ

1

x4dx

= lımε→0−

[ −13x3

∣∣∣∣

ε

−1

]

+ lımδ→0+

[

−13x3

∣∣∣∣

2

δ

]

= lımε→0−

[−13ε3

+1

3(−1)3]

+ lımδ→0+

[ −13(2)3

+1

3(δ)3

]

= −∞+∞.

Luego la integral es divergente. Como las dos integrales divergen, concluimos

que la integral propuesta diverge.

Ejercicios 1.13.

Evaluar cada una de las siguientes integrales impropias o demostrar que

divergen.

1)

4∫

1

1

(x− 3)23

dx 2)

1∫

−3

x

(x2 − 4)23

dx

3)

2∫

0

3

x2 + x− 2dx 4)

2∫

−1

1

xdx


5)

2∫

0

1

3x− 4dx 6)

2∫

12

1

x 5√lnx

dx

7 ) Demuestre que lımh→0+

[−h∫

−1

1

xdx+

1∫

h

1

xdx

]

= 0.

En algunos casos es imposible calcular (si existe) el valor de la integral

impropia directamente. Sin embargo se puede estudiar la convergencia o

divergencia de esta mediante el uso de los metodos indirectos conocidos,

entre ellos los criterios de comparacion directo e indirecto.

1.3. Criterios de convergencia

Teorema 1.14 (Criterio de comparacion directo ).

Si la integral∫ ba f(x)dx, existe para cada b ≥ a y si 0 < f(x) ≤ g(x), para

todo x, con x ≥ a, y si∫∞a g(x) dx converge, entonces, la integral

∫∞a f(x)dx

converge. En este caso se dice que la integral∫∞a g(x) dx, domina la inte-

gral∫∞a f(x)dx. Ahora, si

∫∞a f(x) dx diverge, tambien diverge

∫∞a g(x)dx.

Teorema 1.15 (Criterio de comparacion por paso al lımite ).

Si las dos integrales∫ ba f(x)dx y

∫ ba g(x)dx, existen para cada b ≥ a, sien-

do f(x) > 0 y g(x) > 0 para todo x, con x ≥ a, y si lımx→∞

f(x)

g(x)= c,

0 < c <∞, entonces, las dos integrales∫ ba f(x)dx e

∫ ba g(x)dx convergen

o ambas divergen.

La escogencia de la funcion g(x) de los teoremas 1.14 y 1.15, dependen en

cierta forma de algunas habilidades que las personas desarrollan mediante:

1) La observacion de ejercicios resueltos.

2) La practica y desarrollo de otros ejercicios. La idea es tratar de aprender

de cada ejercicio resuelto y no limitarse al solo desarrollo.

Ejemplo 1.16.

Probar la convergencia de la integral:

∫ ∞

1

1

x4(x4 + 1)dx

1.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 11

En efecto, como 1 ≤ 1 + x4 , para todo x ≥ 1, entonces

x4 ≤ (1 + x4)x4, para todo x ≥ 1.

Luego1

x4(x4 + 1)≤ 1

x4, para todo x ≥ 1.

Ahora,

∫ ∞

1

1

x4dx = lım

b→∞

[

−13x3

∣∣∣∣

b

1

]

=1

3, es decir que:

∫ ∞

1

1

x4dx es convergente y por el teorema 1.14,

∫ ∞

1

1

x4(x4 + 1)dx, es convergente.

Ejemplo 1.17. Probar la convergencia de la integral:∞∫

1

e−x2dx.

Como x2 ≥ x, para todo x > 1, entonces −x2 ≤ −x, luego: e−x2 ≤ e−x

por ser ex una funcion creciente. Ahora, como la integral∞∫

1


[−1ex

∣∣b

0

]

= 1, entonces la integral∞∫

1

e−xdx es convergente.

Concluimos que:∞∫

1

e−x2dx, es convergente.

Ejemplo 1.18. Probar que la integral∞∫

1

x√x4+1

dx diverge.

Como lımx→∞

[ x√x4+11x

]

= lımx→∞

[x2√x4+1

]

= lımx→∞

[x2

x2√x4

x4+ 1

x4

]

= lımx→∞

1√

1+ 1

x4

= 1.

Ademas, como la integral:∞∫

1

1

xdx, es divergente, por el teorema 1.15 se con-

cluye que la integral∞∫

1

x√x4 + 1

dx es divergente.


1.4. Funcion Gama

Una de las funciones usadas en teorıa de comunicaciones es la funcion gama

que se denota con el sımbolo: Γ y se define de la siguiente manera:

Γ(x) =

∫ ∞

0tx−1e−t dt, para x > 0.

Mediante la integracion por partes se concluye que: Γ(x+ 1) = xΓ(x).

En efecto,

Γ(x + 1) =∞∫

0

txe−tdt, si hacemos u = tx y dv = e−tdt, se tiene que,

du = x tx−1 dt y v = −e−t, es decir que,

Γ(x+ 1) = lımb→∞

b∫

0

txe−tdt = lımb→∞

[

−txet

∣∣∣∣

b

0

+ xb∫

0

tx−1e−tdt

]

= lımb→∞

[−bxeb

+ 0

]

+ x lımb→∞

b∫

0

tx−1e−tdt=x∞∫

0

tx−1e−tdt.

Concluimos que Γ(x+ 1) = xΓ(x).

Veamos que Γ(1) = 1 =∞∫

0

e−tdt

Como Γ(n+ 1) = nΓ(n), entonces Γ(2) = 1Γ(1) = 1

Γ(3) = 2Γ(2) = 2.(1) = 2

Γ(4) = 3Γ(3) = 3.(2) = 6. Se puede concluir que Γ(n+ 1) = n!

La prueba se hara por induccion sobre n.

1) Γ(1) = 1 = 0!

2) Supongamos que Γ(n+ 1) = n! y veamos que

3) Γ(n+ 1 + 1) = (n+ 1)!. En efecto:

Γ(n+ 1 + 1) = (n+ 1)Γ(n+ 1) = (n+ 1)n! = (n+ 1)!

Significa que la funcion Γ generaliza el concepto de factorial de un numero

entero no negativo a cualquier numero real no negativo x.

Ahora se puede ver que la integral:∞∫

0

tx−1e−tdt =1∫

0

tx−1e−tdt+∞∫

1

tx−1e−tdt

Se debe probar que cada integral impropia de la derecha del igual es con-

vergente. En efecto, veamos que:

lımt→∞

ta

et= 0, para cualquier numero real positivo a, sea n =

[|a|](la parte

1.4. FUNCION GAMA 13

entera de a), entonces, usando la regla de L’hopital (n+1)veces se tiene:

lımt→∞

ta

et= lım

t→∞a(a− 1)(a− 2)..(a− n)[a− (n+ 1)]ta−(n+1)

et

= lımt→∞

a(a− 1)(a− 2)..(a− n)(a− n− 1)

t(n+1)−aet= 0

En particular, tomando a = x+ 1, es decir: lımt→∞

tx+1

et = 0;

Luego podemos escribir: 0 < tx+1

et ≤ 1, para todo t ≥M .

Por lo tanto la integral∞∫

M

tx−1e−tdt ≤∞∫

M

1t2dt

Como la integral de la derecha de la desigualdad es convergente, usando el

criterio de comparacion, se concluye que la integral∞∫

M

tx−1e−tdt es conver-

gente, y por consiguiente∞∫

1

tx−1e−tdt es convergente. Finalmente, veamos

que la integral:1∫

0

tx−1e−tdt, es convergente. Si hacemos t = 1u , entonces,

dt = −1u2du, luego:

1∫

0

tx−1e−tdt =1∫

∞

[(1u

)x−1e−1u

(−1u2

)]

du

=∞∫

1

u1−xe−1u

u2du =

∞∫

1

u−1−xe−1u du

Como u ∈ [1,∞) se tiene que: 0 < e−1u < u−1−x, entonces,

u−1−xe−1u < u−1−x, luego

∞∫

1

tx−1e−tdt =∞∫

1

u−1−xe−1u du <

∞∫

1

u−1−xdx. Como∞∫

1

u−1−xdx

= lımb→∞

b∫

1

u−1−xdx= lımb→∞

[

u−x

−x

∣∣∣

b

1

]

= lımb→∞

[−1xux

∣∣b

1

]

= lımb→∞

[ −1xbx + 1

x

]= 1

x , x > 0. Se tiene que:

∞∫

1

u−1−xdu, es convergente para x > 0. Luego,1∫

0

tx−1e−tdt, es convergente.

Concluimos que la∞∫

0

tx−1e−tdt tambien es convergente.


Ejercicios 1.19. Usar el criterio de comparacion directo o el criterio de

comparacion por paso al lımite para estudiar la convergencia de cada una de

las siguientes integrales impropias

1)

∞∫

1

1√x6 + x

dx 2)

∞∫

1

lnx

e2xdx 3)

∞∫

3

lnx

xdx

4)

∞∫

1

lnx

x3dx 5)

∞∫

2

1√v − 1

dv 6)

∞∫

2

1√x2 − 1

dx

7)

∞∫

1

√x+ 1

x2dx 8)

∞∫

2

x√x4 − 1

dx 9)

∞∫

π

1 + sinx

x2dx

10)

∞∫

π

2 + cosx

xdx 11)

∞∫

4

1√x− 1

dx 12)

12∫

0

1

1− xdx

13)

∞∫

0

1√x6 + 1

dx 14)

∞∫

0

1

1 + exdx 15)

∞∫

4

2

x32 − 1

dx

16)

∞∫

1

ex

xdx 17)

∞∫

2

1

lnxdx 18)

∞∫

ee

ln lnxdx

19)

∞∫

0

1√x2 + 1

dx 20)

∞∫

0

1

ex + e−xdx 21)

∞∫

0

1√x6 + 1

dx

22)

∞∫

0

1√x8 + 1

dx

Capıtulo 2

TRANSFORMADA DE

LAPLACE

2.1. Introduccion

Por su aplicacion en ingenierıa especialmente en electronica, uno de los temas

mas importantes de la matematica es el de las “transformadas”. Son opera-

dores que actuan sobre funciones con variables determinadas, por ejemplo

el tiempo y las convierte en funciones con otra variable, por ejemplo la fre-

cuencia, refiriendonos a una senal cualquiera la transformada de Laplace,

por ejemplo convierte problemas analıticos de derivadas e integrales en pro-

blemas algebraicos cuya solucion es mucho mas sencilla. El operador trans-

formada de Laplace denotado L, se define ası:

L : f(t)→ F (s)

Definicion 2.1. Lf(t) =∞∫

0

f(t)e−stdt, siempre que la integral de la

derecha exista.

Ejemplo 2.2. Si f(t) = 1 para cualquier t, tenemos:

Lf(t) =∫ ∞

01e−stdt = lım

b→∞

∫ b

0e−stdt = lım

b→∞

[

−1sest

∣∣∣∣

b

0

]

15

16 CAPITULO 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

= lımb→∞

[ −1sesb

+1

se0

]

=1

s, si s > 0.

2 4 6

1

f(t) = 1

Figura 5.

t 2 4 6

1F (s) = 1

s

Figura 6.

s

Ejemplo 2.3.

Si f(t) = eat, tenemos:

Leat =∫ ∞

0eate−stdt = lım

b→∞

∫ b

0e−(s−a)tdt

= lımb→∞

[

1

−(s− a)e(s−a)t

∣∣∣∣

b

0

]

=1

s− a, si s > a.

1−1−2

2

4f(t) = et

si a = 1

Figura 7.

2

2

4F (s) = 1

s−1

Figura 8.

1−1−2

2

4f(t) = e2t

Figura 9.

si a = 2

2 4 6

2

4

F (s) = 1s−2

Figura 10.

2.1. INTRODUCCION 17

Se observa que la grafica se va trasladando hacia la derecha o izquierda segun

el valor de a.

NOTA

si f(t) es una funcion y existe la transformada de Laplace de f(t),es decir si Lf(t) = F (s), entonces, las funciones f(t) y F (s) son pares

trasformados de Laplace y se escribe: f(t)↔ F (s)

la pregunta obvia es: ¿cuales funciones tienen transformada de Laplace? es

decir, como caracterizar las funciones f que tienen transformada de Laplace.

Se conocen las condiciones suficientes que debe cumplir una funcion f para

que exista su transformada de Laplace, a saber: Una funcion f tiene trasfor-

mada de Laplace si:

1) f es continua parte por parte en [0,∞) es decir, si existe un numero finito

de puntos x1, x2, . . . , xn en los que f es discontinua y f es continua en cada

intervalo (xi, xi+1) ademas f es acotada.

2) f es una funcion de orden exponencial en el sentido que existen constantes

positivas c y M tales que |f(t)| ≤Mect, para t > T .

Prueba

Supongamos que f es una funcion continua parte por parte y que es de orden

exponencial, entonces:

Lf(t) =∞∫

0

f(t)e−stdt =T∫

0

f(t)e−stdt +∞∫

T

f(t)e−stdt

la primera integral existe pues se puede escribir como suma finita de inte-

grales en las que cada una de ellas es continua y por tanto integrable. Para

la segunda integral se tiene lo siguiente:

∣∣∣

∫ ∞

Tf(t)e−stdt

∣∣∣ ≤

∫ ∞

Tf(t)e−stdt ≤M

∞∫

T

ecte−stdt

= M

∫ ∞

Te−(s−c)tdt = lım

b→∞M

∫ ∞

Te−(s−c)tdt

= lımb→∞

[ −M(s− c)e(s−c)t

∣∣∣

b

T

]


=M

(s− c)e(s−c)T, si s > c.

Con esto se prueba que la integral∞∫

0

f(t)e−stdt existe y por tanto que

Lf(t) existe.Se debe hacer notar el hecho de que la funcion f sea continua parte por

parte y de orden exponencial es una condicion suficiente para la existencia

de la transformada de Laplace pero no es una condicion necesaria, ya que

por ejemplo la funcion f(t) = 1√tno es continua parte por parte en [0,∞) y

su transformada existe.

Existe la transformada de Laplace para algunas funciones generalizadas co-

mo las llamadas “distribuciones”entre ellas la delta de Dirac.

Mas ejemplos de transformadas

Ejemplo 2.4.

Si f(t) = sin kt, k constante, entonces, Lf(t) = k

s2 + k2, s > 0,

veamos:

Lsin kt =∫ ∞

0sin kt e−stdt = lım

b→∞

∫ b

0sin kt e−stdt

= lımb→∞

[− sin kt

−sest +k cos kt

s2est

] [1

s2 + k2

]∣∣∣∣

b

0

= lımb→∞

[

− sin kb

−sesb +k cos kb

s2esb

] [1

s2 + k2

]

=ks2

s2(s2 + k2), luego Lsin kt = k

s2 + k2, s > 0

2.1. INTRODUCCION 19

2 4 6

1f(t) = sin t

π

Figura 11.

2 4 6

1F (s) = 1

s2+1

Figura 12.

s

2 4 6

1f(t) = sin 2t

π

Figura 13.

2 4 6

1F (s) = 2

s2+4

Figura 14.

s

Ejemplo 2.5.

Si f(t) = cosh kt, entonces Lf(t) = s

s2 − k2, veamos:

Lcosh kt =∞∫

0

cosh(kt)e−stdt = lımb→∞

b∫

0

cosh(kt)e−stdt

= lımb→∞

[(cosh kt

−sest −k sinh kt

s2est

)(s2

s2 − k2

)∣∣∣∣

b

0

]


= lımb→∞

[(cosh kb

−sesb −k sinh kb

s2esb+

1

s

)(s2

s2 − k2

)∣∣∣∣

b

0

]

, luego:

Lcosh kt = s

s2 − k2

Ejercicios 2.6.

Calcule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:

1) f(t) = cos kt

2) f(t) = sinh kt

3) f(t) = eat

4) f(t) = t2

5) f(t) = t3

2.2. Propiedades de la transformada de Laplace

Si Lf(t) y Lg(t) existen, entonces:1) Lf(t) + g(t) = Lf(t)+ Lg(t)2) Lkf(t) = kLf(t)

Las pruebas de estas dos propiedades son sencillas y se dejan como ejercicios

para el lector.

Ejercicios 2.7.

Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

1) f(t) = sin2 t

2) f(t) = cos2 t

3) f(t) = sin(2t) cos(3t)

4) f(t) = sin(2t) sin(3t)

5) f(t) = cos(3t) cos(5t)

Use las siguientes identidades:

a) sin(a+ b) + sin(a− b) = 2 sin(a) cos(b)

2.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DELAPLACE 21

b) sin(a+ b)− sin(a− b) = 2 cos(a) sin(b)

c) cos(a− b)− cos(a+ b) = 2 sin(a) sin(b)

d) cos(a+ b) + cos(a− b) = 2 cos(a) cos(b)

e) sin2 a =1− cos 2a

2

f) cos2 a =1 + cos 2a

2

6) f(t) = (t− 1)2

7) f(t) = (t− 2)3

NOTA:

Si la transformada de Laplace de una funcion f(t) es F (s) entonces deci-

mos que la transformada inversa de Laplace de F (s) es f(t), y escribimos:

L−1F (s) = f(t), ademas al par de funciones F (s) y f(t) lo llamamos par

transformado, lo que escribimos:

F (s) ←→ f(t), como por ejemplo:

sin kt ←→ k

s2 + k2

cos kt ←→ s

s2 + k2

eat ←→ 1

s− a

1 ←→ 1

s

Es claro que si f(t) = L−1F (s) y g(t) = L−1G(s), entonces:

1) f(t) + g(t) = L−1F (s) +G(s)2) kf(t) = L−1kF (s)

Ejemplo 2.8.

Evaluar: L−1

[3

s(s2 + 1)

]

.


Utilizando fracciones parciales se encuentra que:

3

s(s2 + 1)=

3

s− 3s

s2 + 1, luego

L−1

[3

s(s2 + 1)

]

= L−1

[3

s− 3s

s2 + 1

]

= 3L−1

[1

s

]

− 3L−1

[s

s2 + 1

]

= 3(1)− 3 cos t = 3(1− cos t), concluimos que:

L−1

[3

s(s2 + 1)

]

= 3(1− cos t)

Teorema 2.9.

Si f(t) = tn, entonces Lf(t) = n!

sn+1.

Por induccion sobre n, tenemos:

1) Si n = 1, entonces, Lt =∞∫

0

te−stdt = lımb→∞

b∫

0

te−stdt

= lımb→∞

[ −tsest− 1

s2est

]∣∣∣∣

b

0

=1

s2=

1!

s2

2) Supongamos que Ltk = k!

sk+1y probemos que Ltk+1 = (k + 1)!

s(k+1)+1.

En efecto: Ltk+1 =∞∫

0

tk+1e−stdt = lımb→∞

b∫

0

tk+1e−stdt

= lımb→∞

[

tk+1

−sest∣∣∣∣

b

0

+(k + 1)

s

b∫

0

tke−stdt

]

=(k + 1)

s

∞∫

0

tke−stdt

=(k + 1)

sLtk = (k + 1)

s

k!

sk+1=

(k + 1)!

s(k+1)+1

Teorema 2.10.

Si f(t) = tα, α ∈ R, entonces, Ltα = Γ(α+ 1)

sα+1. En efecto:

Ltα =∞∫

0

tαe−stdt, α > −1, haciendo u = tα y dv = e−stdt, tenemos que

du = αtα−1dt y v =−e−st

s, por lo tanto

∞∫

0

tαe−stdt = lımb→∞

b∫

0

tαe−stdt = lımb→∞

[

−tαsest

∣∣∣∣

b

0

+1

s

b∫

0

αtα−1e−stdt

]

=1

sα

∞∫

0

tα−1e−stdt, si u = st, du = sdt, entonces

2.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DELAPLACE 23

=α

s

∞∫

0

[u

s

]α−1e−u 1

sdu =

α

s2s−α+1

∞∫

0

uα−1e−udu = αsα+1

∞∫

0

uα−1e−udu

=α

sα+1

∞∫

0

tα−1e−tdt=α

sα+1Γ(α) =

αΓ(α)

sα+1, si α > −1. Conclusion

Ltα = Γ(α+ 1)

sα+1, si α > −1.

Ejemplo 2.11.

Lt− 12 = Γ

(12

)

s1/2=

√π

s1/2

Ejercicios 2.12.

i) Usar la definicion para calcular la transformada de Laplace de cada una

de las siguientes funciones:

1) f(t) = et+5 2) f(t) = e−2t+4

3) f(t) = t2e3t 4) f(t) = t sin 2t

5) f(t) = t2 cos 3t 6) f(t) = t sinh 3t

7) f(t) =

2t+ 1, 0 < t ≤ 1

0, si t > 1.

8) f(t) =

−1, 0 ≤ t ≤ 2

1, si t > 2.

ii) Usar las transformadas vistas hasta el momento y las propiedades para

calcular Lf(t) en cada caso.

1) f(t) = 4t− 10

2) f(t) = t2 + 6t− 5

3) f(t) = (t+ 2)3

4) f(t) = (2t+ 1)2

5) f(t) = 6t2 + 2 sin 3t

6) f(t) = (et + e−t)2

7) f(t) = 5 sin 3t+ 2 cos 2t

8) f(t) = e−t sin 3t


9) f(t) = t12

10) f(t) = t32

iii) Usar las propiedades de la transformada inversa y los pares transforma-

dos estudiados hasta ahora para calcular:

1) L−1 3s4 2) L−1(2s+ 1)2

s3

3) L−13s+

2

s2− 5

s6 4) L−1 1

3s+ 1

5) L−1 4s

s2 + 9 6) L−1 7

s2 + 2

7) L−1 3s+ 2

s2 + 16 8) L−1 s

(s2 + 4)(s+ 2)

9) L−1 s

s2 + 2s− 3 10) L−1 1

s2 + s− 20

2.3. Traslaciones y derivadas

Traslaciones y derivadas en el dominio y recorrido de L

El calculo de transformadas de Laplace de funciones como: g(t) = tnf(t);

g(t) = eatf(t); g(t) = tneatf(t) Usando la definicion no es elemental pues

ella involucra integrales que generalmente no son faciles de calcular, o bien,

su calculo es largo y tedioso. Desarrollar propiedades nos permitira hacer

calculos mucho mas sencillos.

Teorema 2.13 (Teorema de Traslaciones:). Si a es un numero real

cualquiera se cumple que: Leatf(t) = F (s− a) en donde Lf(t) = F (s)

En efecto: Leatf(t)=∞∫

0

eatf(t)e−stdt

=∞∫

0

e−(s−a)tf(t)dt = F (s− a)

Ejemplo 2.14.

Le3tt2 = 2

(s− 3)3, pues : Lt2 = 2

s3, luego F (s− 3) =

2

(s− 3)3

Ejemplo 2.15.

Como Lsin 4t = 4

s2 + 16, entonces Le−2t sin 4t = 4

(s+ 2)2 + 16

2.3. TRASLACIONES Y DERIVADAS 25

Ejemplo 2.16.

Se sabe que Lcosh 3t = s

s2 − 9, entonces

Le2t cosh 3t = s− 2

(s− 2)2 − 9, y como L−1 s

s2 + 25

= cos 5t, entonces L−1 s− 3

(s− 3)2 + 25 = e3t cos 5t, tambien

L−1 s+ 1

s2 + 4s+ 10 = L−1 s+ 1

(s+ 2)2 + 6

= L−1 s+ 2− 1

(s+ 2)2 + 6 = L−1 s+ 2

(s+ 2)2 + 6− 1

(s+ 2)2 + 6

= L−1 s+ 2

(s+ 2)2 + 6 − L−1 1

(s+ 2)2 + 6

= e−2t cos√6t− 1√

6L−1

√6

(s+ 2)2 + 6. Se concluye :

L−1 s+ 1

s2 + 4s+ 10 = e−2t cos

√6t− 1√

6L−1

√6

(s+ 2)2 + 6

Una de las senales estudiadas en electronica es la llamada escalon unitario,

denotada µ(t) o Φ(t) definida ası:

µ(t) =

1, si t ≥ 0

0, si t < 0., cuya grafica es:

t

µ(t)

Figura 15.

De hecho, si a es un numero real se cumple que:

µ(t− a) =

1, si t ≥ a

0, si t < a.


Ejemplo 2.17. Si a=2:

−2 2 t

y = µ(t− 2)

Figura 16.

Es evidente que cuando se multiplica una funcion f por la funcion µ(t− a),el resultado es la anulacion de la funcion f para valores de t menores que a,

ası:

f(t) = sin t , g(t) = sin t µ(t). Graficamente:

−a

y = µ(t− a)

a t

y = f(t)

Figura 17.

−a a t

y = f(t)µ(t− a)

Figura 18.Ahora, si se considera la funcion y = f(t) y se traslada a unidades a la

derecha, es decir si se considera la funcion y = f(t− a), a > 0, y si ademas,

se multiplica por la funcion µ(t − a), es decir si se considera la funcion

y = f(t− a)µ(t− a) el resultado es la traslacion de la funcion f , a unidades

a la derecha y la anulacion de todo valor de t menor que a . La transformada

de Laplace de esta ultima funcion es:

Lf(t− a)µ(t− a) =∞∫

0

f(t− a)µ(t− a)e−st dt

=a∫

0

f(t− a)µ(t− a)e−stdt +∞∫

af(t− a)µ(t− a) e−st dt


=∞∫

af(t− a) e−st dt, si τ = t− a, dτ = dt, y la anterior integral, queda:

=∞∫

af(τ) e−s(τ+a) dτ= e−sa

∞∫

af(τ) e−sτ dτ= e−sa F (s), donde

F (s) = Lf(t)

Ejemplo 2.18. Lsin(t− 2π)µ(t− 2π) = e−2πs 1

s2 + 1

Ejemplo 2.19. si

f(t) =

2, si 0 ≤ t ≤ 3

−2, si t > 3., entonces

f(t) = 2− 4µ(t− 3), y ası

Lf(t) = L2− 4µ(t− 3) = L2 − 4Lµ(t− 3) = 2

s− 4e−3s

s

Ejemplo 2.20. si

f(t) =

0, si 0 ≤ t < 1

t2, si t ≥ 1., entonces

f(t) = (t− 1)2µ(t− 1) + 2(t− 1)µ(t− 1) + µ(t− 1), luego

Lf(t) = L(t− 1)2µ(t− 1) + 2(t− 1)µ(t− 1) + µ(t− 1)= L(t− 1)2µ(t− 1)+ L2(t− 1)µ(t− 1)+ Lµ(t− 1)

=2e−s

s3+

2e−s

s2+e−s

s

Ejemplo 2.21. si

f(t) =

0, si 0 ≤ t ≤ 3π2

sin t, si t >3π

2.

, entonces

Como cos(t− 3π2 ) = cos t cos 3π

2 + sin 3π2 sin t = − sin t, entonces

f(t) = − cos(t− 3π2 )µ(t− 3π

2 ), luego

Lf(t) = L− cos(t− 3π2 )µ(t− 3π

2 ) = −se− 3πs

2

s2 + 1


Ejercicios 2.22.

i. Use fracciones parciales y \o los pares transformados estudiados aquı, para

calcular la transformada inversa de cada funcion.

1) F (s) =s+ 2

s(s2 + 4)

2) F (s) =5

s2(s2 + 1)

3) F (s) =3s+ 2

s2 + 6s+ 25

4) F (s) =s+ 3

s2 − 10s+ 4

5) F (s) =s− 4

s2 − 2s+ 5

6) F (s) =3

s(s2 + 4s+ 13)ii. Escriba cada una de las siguientes funciones en terminos de funciones

escalon unitario.

1) f(t) =

−2, si 0 ≤ t < 3

3, si t ≥ 3.

2) f(t) =

1, si 0 ≤ t < 4

0, si 4 ≤ t < 5.

1, si t ≥ 5.

3) f(t) =

0, si 0 ≤ t < 1

t3, si t ≥ 1.

4) f(t) =

sin t, si 0 ≤ t < 2π

0, si t ≥ 2π.

5) f(t) =[|t|], donde

[|t|]= n, si n ≤ t < n+ 1

iii. Calcule la transformada de Laplace de cada una de las funciones del

ejercicio ii.


Teorema 2.23 ( Derivada de una transformada).

Ltnf(t) = (−1)n dn

dsnLf(t)

La prueba se hace por induccion. En efecto:

1) Si n = 1, entonces:d

dtLf(t)= d

ds

∞∫

0

f(t)e−stdt=∞∫

0

f(t)d

dse−stdt

=∞∫

0

f(t)[−te−st]dt=-∞∫

0

tf(t)e−stdt=−Ltf(t), es decir

Ltf(t)=− d

dsF (s)

2) Supongamos que el resultado es valido para n = k y probemos para

n = k + 1. En efecto:dk+1

dsk+1F (s)=

d

ds

[dk

dskF (s)

]

=d

ds(−1)kLtkf(t) por hipotesis de induccion. Ahora,

d

ds(−1)kLtkf(t)= d

ds

[

(−1)k∞∫

0

tkf(t)e−stdt

]

= (−1)k dds

∞∫

0

tkf(t)e−stdt = (−1)k(−1)∞∫

0

tktf(t)e−stdt

= (−1)k+1∞∫

0

tk+1f(t)e−stdt = (−1)k+1Ltk+1f(t), luego

(−1)k+1 dk+1

dsk+1F (s)=Ltk+1f(t), y esto completa la prueba.

Ejemplo 2.24.

Lt sin 2t = − d

ds

[2

s2 + 4

]

= −[ −4s(s2 + 4)2

]

, luego

Lt sin 2t = 4s

(s2 + 4)2

Ejemplo 2.25. Lte2t=− d

ds

[1

s− 2

]

=−[ −1(s− 2)2

]

=1

(s− 2)2

Ejercicios 2.26. Calcular la transformada de Laplace de cada una de las

siguientes funciones:

1) f(t) = t2 cos 3t

2) f(t) = t3 sinh 2t


3) f(t) = tµ(t− 1)

4) f(t) = t2 cosh 3t

Teorema 2.27 ( Transformada de una derivada).

Lfn(t)= snF (s)− sn−1f(0)− sn−2 d

dtf(0)− . . .− dn−1

dtn−1f(0).

Nota:

fk(t) denota la k-esima derivada de f con respecto a t. Por ejemplo:

f ′(0) =d

dtf(0) f ′′(0) =

d2

dt2f(0) fn−1(0) =

dn−1

dtn−1f(0)

La prueba del teorema se hace por induccion:

1) Si n = 1, entonces

Lf ′(t) =∫ ∞

0

d

dtf(t) e−stdt, integrando por partes se tiene:

∞∫

0

d

dtf(t) e−stdt = −f(0)+s

∞∫

0

f(t)e−stdt = −f(0)+sLf(t) = sF (s)−f(0)

Supongamos que: Lfk(t) = skF (s)−sk−1f(0)−sk−2f ′(0)− . . .−fk−1(0),

y probemos para n = k + 1. En efecto:

Lfk+1(t) =∫ ∞

0fk+1(t) e−stdt, integrando por partes se obtiene:

∫ ∞

0fk+1(t) e−stdt = −fk(0) + s

∫ ∞

0fk(t)e−stdt

= −fk(0) + s[

skF (s)− sk−1f(0)− . . .− fk−1(0)]

= −fk(0) + sk+1F (s)− skf(0)− . . .− sfk−1(0), luego

Lfk+1(t) = sk+1F (s)− skf(0)− sk−1f ′(0) . . .− fk(0)

Ejemplo 2.28.

Ld2t3

dt2=s2 3!

s4− sf(0)− d

dtf(0) luego L d

2

dt2t3=3!

s2


Ejemplo 2.29.

L ddt

cos t=s s

s2 + 1− 1=

s2

s2 + 1− 1 =

s2 − s2 − 1

s2 + 1=−1

s2 + 1

Teorema 2.30 ( Cambio de escala en el dominio).

Si f(t)←→ F (s), es decir si: Lf(t)=F (s) y a es un numero real positivo,

entonces: f(at)←→ 1

aF (

s

a).

En efecto:

Lf(at) =∫ ∞

0f(at) e−st dt, si hacemos τ = at, dτ = a dt

entonces la integral anterior se escribe:

=

∞∫

0

f(τ) e−sτa1

adτ =

1

aF(s

a

)

, luego: Lf(at) = 1

aF(s

a

)

Ejemplo 2.31. Si f(t) = (2t)2, entonces:

Lf(t)=L(2t)2=1

2

2!(s

2

)3=1

2

2!

s3

8

=8

s3

Nota

Una de las aplicaciones importantes de la transformada de Laplace es la

solucion de algunas ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.

y′(t) =d

dty(t) y′′(t) =

d2

dt2y(t)

Ejemplo 2.32. Resolver la siguiente ecuacion diferencial:

d2

dt2y(t) + 3

d

dty(t) + 2y(t) = 0, y(0) = 3, y′(0) = 1


Aplicando la transformada de Laplace en cada miembro de la ecuacion difer-

encial se obtiene:

L d2

dt2y(t) + 3

d

dty(t) + 2y(t) = L0

L d2

dt2y(t)+ L3 d

dty(t)+ L2y(t) = L0

L d2

dt2y(t)+ 3L d

dty(t)+ 2Ly(t) = 0

Si

Ly(t) = Y (s)

entonces:

s2Y (s)− sy(0)− d

dty(0) + 3[sY (s)− 3] + 2Y (s) = 0

s2Y (s) + 3sY (s) + 2Y (s) = 3s+ 10

Y (s)[s2 + 3s+ 2

]= 3s+ 10

Y (s) =3s+ 10

s2 + 3s+ 2=

3s+ 10

(s+ 2)(s+ 1),

aplicando fracciones parciales tenemos:

Y (s) =7

s+ 1− 4

s+ 2.

Calculando la transformada inversa de Laplace en cada miembro de la

ultima ecuacion, se obtiene:

L−1Y (s) = L−1 7

s+ 1− 4

s+ 2

luego,

y(t) = 7e−t − 4e−2t

2.4. CONVOLUCION 33

Ejercicios 2.33. Solucionar cada una de las ecuaciones diferenciales suje-

tas a las condiciones iniciales que se indican.

1.d2

dt2y(t) + 5

d

dty(t) + 6y(t) = e−t, y(0) = 2, y′(0) = 1

2.d

dty(t) + 2y(t) = 1, y(0) = 1

3.d

dty(t) + 2y(t) = cos t, y(0) = 1

4.d2

dt2y(t) + 4

d

dty(t) + 3y(t) = 1, y(0) = 2, y′(0) = 1

5.d2

dt2y(t) + 4

d

dty(t) + 3y(t) = e−3t, y(0) = 0, y′(0) = 1

6.d3

dt3y(t) + 3

d2

dt2y(t) + 2

d

dty(t) + 6y(t) = e2t,

con y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 0

2.4. Convolucion

Se dara la definicion para funciones causales (son funciones cuyo dominio

son los numeros reales positivos y el cero).

Definicion 2.34. Si dos funciones f y g son continuas parte por parte,

la convolucion entre f y g se denota f(t) ∗ g(t) y se define de la siguiente

manera:

f(t) ∗ g(t)=t∫

0

f(τ)g(t− τ)dτ

Ejemplo 2.35. Si f(t) = t, y g(t) = cos t, entonces:

f(t) ∗ g(t) = t ∗ cos t =t∫

0

τ cos(t− τ)dτ

=t∫

0

τ [cos t cos τ + sin t sin τ ]dτ =cos tt∫

0

τ cos τdτ + sin tt∫

0

τ sin τdτ

=cos t[τ sin τ + cos τ |t0

]+sin t

[−τ cos τ + sin τ |t0

]

=cos t [t sin t+ cos t− 1] + sin t [−t cos t+ sin t]= 1− cos t

concluimos que:


t ∗ cos t=1− cos t

f(t) = t

Figura 19.

2 4 6

1

2

f(t) = cos t

π

Figura 20.

t ∗ cos t = 1− cos t

Figura 21.

2π

2.5. Interpretacion grafica de la convolucion

La interpretacion grafica de la convolucion no es facil, sin embargo, si las

funciones estan definidas a trozos su interpretacion es un poco mas sencilla.

Aquı se daran unos pasos para obtener la convolucion de dos funciones ası:

1) Para un arbitrario, pero fijo, valor de tiempo η, en un intervalo [ti−1, ti]

grafıque f(t)g(t− τ). Dicho producto es una funcion de τ . Note que g(t− τ)es una inversion y una traslacion de g(t).

2) Integre el producto f(τ)g(t− τ) como una funcion de τ . Note que dicha

integral depende de τ y del tiempo η. La integracion puede verse como un

area bajo la curva.

2.5. INTERPRETACION DE LA CONVOLUCION 35

Ejemplo 2.36.

f(t) = Ae−t

A

Figura 22.

g(t) = tT

Figura 23.

1

T t

τ

g(t− τ)

f(τ)

tt− T

Figura 24.

f(τ)g(t− τ)

Figura 25.

τ

g(t− τ)

f(τ)

tt− T

Figura 26.

g(t− τ)f(τ)

Figura 27.


Figura 28.

t

g(t− τ)f(τ)

Figura 29.

τt

Figura 30.

t τt− τ

g(t− τ)f(τ)

Figura 31.

τ

f(t) ∗ g(t)

AT [T − 1− e−T ]

Figura 32.T•

f(t) = 3t (t− 1 + e−t)

Ejemplo 2.37.

Si f(t) = rect( t2a) y g(t) = rect( t

2a)

2.5. INTERPRETACION DE LA CONVOLUCION 37

−a

1

a t

y = f(t)

Figura 33.

−a a t

y = g(t)

Figura 34.

−a

g(t− τ)

−3a a τ

•y = f(τ)

Figura 35.

•−a τ

g(t− τ)f(τ)

Figura 36.

−a−2a

g(t− τ)

a

f(τ)

τ

Figura 37.

−a τ

g(t− τ)f(τ)

Figura 38.

−a−2a τa

1

Figura 39.

−a τ

g(t− τ)f(τ)

Figura 40.


−a τa

1

Figura 41.

−a

1

τ

g(t− τ)f(τ)

Figura 42.

−a τa

Figura 43.

a−a

1

τ

g(t− τ)f(τ)

Figura 44.

−a τa

1

Figura 45.

a−a

1

τ

g(t− τ)f(τ)

Figura 46.

−a τa 2a

Figura 47.

a

1

τ

Figura 48.

2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LACONVOLUCION 39

−a τa

Figura 49.

a

1

τ

Figura 50.

−a τa 3a

Figura 51.

a

•

τ

g(t− τ)f(τ)

Figura 52.

−a••

•

ta 2a−2a

g(t) ∗ f(t)

Figura 53.

2.6. Transformada de Laplace de la convolucion

Si f(t)←→ F (s) y g(t)←→ G(s), entonces

f(t) ∗ g(t)←→ F (s)G(s), en efecto:


Lf(t) ∗ g(t) =∫ ∞

0

[∫ t

0f(τ) g(t− τ)dτ

]

e−st dt

=

∫ ∞

0

∫ t

0f(τ) g(t− τ) e−stdτ dt

La region de integracion es la que se muestra en la figura 53.

τ = t

t

τ

Figura 54.

Si cambiamos el orden de integracion en dicha region obtenemos:

=

∞∫

0

∞∫

τ

f(τ)g(t− τ) e−stdt dτ

Si µ = t− τ , entonces dµ = dt y ademas, si t −→∞, µ −→∞, luego

Lf(t) ∗ g(t) =∫ ∞

0

∫ ∞

0f(τ) g(µ) e−s(µ−τ) dµ dτ

=

∫ ∞

0

∫ ∞

0f(τ) g(µ) e−sµe−sτ dµ dτ

=

∫ ∞

0f(τ) e−sτ

∫ ∞

0g(µ) e−sµ dµ dτ

=

∫ ∞

0f(τ) e−sτ G(s) dτ, luego

Lf(t) ∗ g(t) = F (s)G(s)


Se puede probar que la convolucion cumple las siguientes propiedades:

1)(f(t) ∗ g(t)

)∗ h(t) = f(t) ∗

(g(t) ∗ h(t)

)

2)f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t)

Ahora, si g(t)=1 y f(t) es cualquier funcion, entonces:

1 ∗ f(t) =∫ t

0f(τ)dτ, luego

Lt∫

0

f(τ)dτ = F (s)

s, si F (s)←→ f(t)

Algunos fenomenos fısicos tales como: una descarga electrica, el chispaso que

se produce al unir dos cables de energıa, un golpe dado a una estructura de

un puente, el golpe de un bate sobre una bola de beisbol, etc . . . , ocurren en

un periodo muy pequeno de tiempo “casi cero” y su representacion mediante

una senal es:

δ(t)

t

Figura 55.

•

Dicha funcion se llama delta de Dirac o simplemente la funcion delta. En

algunos casos se llama la funcion impulso. Esta funcion dio origen a la lla-

mada teorıa de las distribuciones o de las funciones generalizadas. Matema-

ticamente esta definida por:

∫ t2

t1

f(t)δ(t) dt = f(0), t1 < 0 < t2, si f(t) es continua en t = 0.


Ademas satisface las siguientes propiedades:

1) δ(0)→∞2) δ(t) = 0, si t 6= 0

3)

∫ ∞

−∞δ(t)dt = 1

4) δ(t) = δ(−t)

Notemos ademas que si y = δ(t− t0), entonces la grafica es:

t

Figura 56.

•t0

Geometricamente se puede visualizar de la siguiente forma:

Se definen las funciones δa(t) ası:

δa(t) =

−1a2|t|+ 1

a, si − a ≤ t ≤ a

0, si |t| > a

−2

δ2(t) =

+t

4+

1

2, si − 2 ≤ t < 0

−t4

+1

2, si 0 ≤ t ≤ 2.

0, si |t| > 2

12

t2Figura 57.

Estas funciones tienen las siguientes propiedades:


∞∫

−∞δa(t)dt=

a∫

−aδa(t)dt = 1. Ademas:

lıma→0

δa(t) = δ(t) =

∞, si t = 0

0, si t 6= 0

y la grafica de la suma de algunas funciones delta, como las de la figura 55,

digamos y =4∑

i=1δ(t− i), es:

tFigura 58.

• •••1 2 3 4

y

que se presentan en teorıa de las comunicaciones y se conocen como tren

de impulsos.

De acuerdo con la definicion de la funcion impulso se tiene que:

Lδ(t)=∞∫

0

δ(t)e−stdt=e−s0=1 es decir que 1←→ δ(t), ademas

δ(t) ∗ f(t)=t∫

0

f(t− τ)δ(τ)dτ = f(t)

Ya se ha visto que una de las aplicaciones de la transformada de Laplace es la

solucion de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. A continuacion

se presentan algunos ejemplos que involucran la funcion delta.

Ejemplo 2.38. Resolver la siguiente ecuacion diferencial:d2

dt2y(t) + 16y(t) = δ(t− 2π), y(0) = 0, y′(0) = 0

Notemos que la ecuacion original se puede escribir en la forma:d2

dt2y(t) + 16y(t) = δ(t− 2π)µ(t− 2π)

Calculando la transformada de Laplace en cada miembro de la ecuacion se

obtiene:

L d2

dt2y(t) + 16y(t) = Lδ(t− 2π)µ(t− 2π)


s2Y (s)− sy(0)− d

dty(0) + 16Y (s) = e−2πs

Usando las condiciones iniciales dadas, se obtiene:

s2Y (s) + 16Y (s) = e−2πs, factorizando Y (s), se obtiene:

Y (s)[s2 + 16] = e−2πs

Y (s) =e−2πs

s2 + 16. Calculando la transformada inversa se obtiene:

y(t) =1

4sin 4(t− 2π)µ(t− 2π), o tambien:

y(t) =1

4sin 4t µ(t− 2π), es decir:

y(t) =

14 sin 4t, si t ≥ 2π

0 si 0 ≤ t < 2π

Ejemplo 2.39. Solucionar la ecuacion diferencial siguiente:d2

dt2y(t)− 7

d

dty(t) + 6y(t) = et + δ(t− 2) + δ(t− 4), y(0) = 0, y′(0) = 0

La anterior ecuacion diferencial tambien se puede escribir de la siguiente

manera:

y′′(t)− 7y′(t) + 6y(t) = et + δ(t− 2) + δ(t− 4), y(0) = 0, y′(0) = 0

Aplicando L en cada miembro de la ecuacion diferencial:

L d2

dt2y(t)− 7

d

dty(t) + 6y(t) = Let + δ(t− 2) + δ(t− 4)

aplicando propiedades de L:

L d2

dt2y(t) − 7L d

dty(t)+ L6y(t) = Let+ Lδ(t− 2)+ Lδ(t− 4)

s2Y (s) − sy(0) − d

dty(0) − 7 [sY (s)− y(0)] + 6Y (s) =

1

s− 1+ e−2s + e−4s,

luego

s2Y (s)− 7sY (s) + 6Y (s) =1

s− 1+ e−2s + e−4s, factorizando Y (s):

Y (s) [(s− 6)(s− 1)] =1

s− 1+ e−2s + e−4s, despejando Y (s):

Y (s)=1

(s− 6)(s− 1)2+

e−2s

(s− 6)(s− 1)+

e−4s

(s− 6)(s− 1)

Y (s) =1

25(s− 6)− 1

5(s− 1)2− 1

25(s− 1)+

+e−2s

5

[1

s− 6− 1

s− 1

]

+e−4s

5

[1

s− 6− 1

s− 1

]

, luego:


y(t) =1

25e6t − 1

25et − 1

5tet +

1

5e6(t−2)µ(t− 2)− 1

5e(t−2)µ(t− 2)+

1

5e6(t−4)µ(t− 4)− 1

5e(t−4)µ(t− 4)

Ejemplo 2.40. Use la transformada de Laplace para solucionar la ecuacion

integral siguiente:

f(t) = 2t− 4t∫

0

sin τf(t− τ)dτ

Ntese que la integral que aparece en la ecuacion es la convolucion de las

funciones sin t con f(t). Luego calculando la transformada de Laplace en

cada miembro de la ecuacion tenemos:

F (s) =2

s2− 4

1

s2 + 1F (s), es decir:

F (s) +4

s2 + 1F (s) =

2

s2, factorizando F (s) tenemos:

F (s)

[

1 +4

s2 + 1

]

=2

s2, entonces:

F (s)

[s2 + 5

s2 + 1

]

=2

s2, despejando F (s):

F (s) =2(s2 + 1)

s2(s2 + 5)=

A

s+

B

s2+

Cs+D

s2 + 5, el desarrollo de las anteriores

fracciones parciales da como resultado:

F (s) =2

5

[1

s2+

4

s2 + 5

]

, calculando la transformada inversa de Laplace, se

tiene:

f(t) =2t

5+

8√5

25sin√5 t

Ejercicios 2.41. Use la transformada de Laplace para resolver cada una de

las ecuaciones diferenciales, integrales o integro-diferenciales sujetas a las

condiciones iniciales que se indican:

1)d2

dt2y(t) + y(t) = δ(t− 2π), y(0) = 0, y′(0) = 1

2)d2

dt2y(t) + y(t) = δ(t− π

2) + δ(t− 3π

2), y(0) = 0, y′(0) = 0

3)d2y(t)

dt2+ 2

d

dty(t) = 1 + δ(t− 2), y(0) = 0, y′(0) = 1

4)d2

dt2y(t) + y(t) = δ(t− 2π) + δ(t− 4π), y(0) = 0, y′(0) = 1


5)d2y(t)

dt2+ 2

dy(t)

dt+ y(t) = δ(t− 1), y(0) = 0, y′(0) = 1

6)d2y(t)

dt2+ 4

dy(t)

dt+ 13y(t) = δ(t− π) + δ(t− 3π), y(0) = 0, y′(0) = 1

7)d2y(t)

dt2+ 2

dy(t)

dt+ 2y(t) = cos tδ(t− 3π), y(0) = 1, y′(0) = 1

8) f(t) +

∫ t

0(t− τ)f(τ)dτ = t

9) f(t) + 2

∫ t

0f(τ) cos(t− τ)dτ = 4e−t + sin t

10)dy(t)

dt= 1− sin t−

∫ t

0y(τ)dτ, y(0) = 0

11)dy(t)

dt+ 6y(t) + 9

∫ t

0y(τ)dτ = 1, y(0) = 0

12)dy(t)

dt= cos t+

∫ t

0y(τ) cos(t− τ)dτ, y(0) = 0

13)Un circuito LRC en serie contiene un inductor, una resistencia y un capa-

citor para los cuales L= 12H, R=10Ω y C=0.01F respectivamente. Al circuito

se le aplica un voltaje E(t), dado por:

E(t) =

10, si 0 ≤ t < 5

0, si t ≥ 5determine la carga instantanea q(t) del capacitor

para t > 0, si q(0) = 0 y q′(0) = 0, recuerde que:

Ld2q(t)

dt2+R

d

dtq(t) +

1

Cq(t) = E(t)

Encuentre la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones,

usando convolucion:

14) F (s) =1

(s− 5)(s+ 4)

15) F (s) =s

(s2 + 25)2

16) F (s) =1

(s2 + 16)2

17) F (s) =1

(s+ 9)2

18) F (s) =1

s (s− 6)

2.7. T. DE LAPLACE DE UNA FUNCION PERIODICA 47

2.7. T. de Laplace de una funcion periodica

Recuerde que una funcion f es periodica si existe un numero real positivo

“a” tal que f(t + a) = f(t) y el menor numero real que satisface dicha

ecuacion se llama periodo fundamental de f o simplemente periodo de f .

Ejemplo 2.42. f(t) = sin t

Ejemplo 2.43. f(x) = x− [|x|], donde [|x|] es la parte entera de x

Ejemplo 2.44.

f(x) = x, x es la distancia de x al entero mas proximo.

Ahora, si g es cualquier funcion, se define la funcion f(t), ası:

f(t) =

g(t), si t ∈ [0, p)

f(t+ p) si t /∈ [0, p)

Si f es una funcion continua parte por parte de orden exponencial y periodica

de periodo p, entonces:

Lf(t)= 1

1− e−sp

p∫

0

e−stf(t)dt, en efecto:

Lf(t)=∞∫

0

f(t)e−stdt =p∫

0

f(t)e−stdt+∞∫

pf(t)e−stdt

Si en la segunda integral se hace u = t− p, entonces du = dt, y:

Lf(t)=p∫

0

f(t)e−stdt+∞∫

0

f(u+ p)e−s(u+p)du

=p∫

0

f(t)e−stdt+e−sp∞∫

0

f(u)e−sudu =p∫

0

f(t)e−stdt+e−spLf(t), luego

Lf(t)[1− e−sp]=p∫

0

f(t)e−stdt, es decir:

Lf(t)= 1

1− e−sp

p∫

0

f(t)e−stdt


Ejemplo 2.45. Encuentre la transformada de Laplace de la funcion:

f(t) =

t2, si t ∈ [0, 2)

f(t+ 2) si t /∈ [0, 2)

Lf(t)= 1

1− e−2s

2∫

0

t2e−stdt

=1

1− e−2s

[

−t2sest− 2t

s2est− 2

s3est

∣∣∣∣

2

0

]

=−1

1− e−2s

[

4

se2s+

4

s2e2s+

2

s3e2s− 2

s3

]

Ejemplo 2.46. Encuentre la transformada de Laplace, si:

f(t) =

sin t, si t ∈ [0, 2π)

f(t+ 2π) si t /∈ [0, 2π)entonces

Lf(t)= 1

1− e−2πs

2π∫

0

sin te−stdt =1

1− e−2πs

[

e−st

s2 + 1[−s sin t− cos t]

∣∣∣∣

2π

0

]

=1

1− e−2πs

[

e−2πs

s2 + 1

[

−s0 − 1

]

−[

1

s2 + 1

(−1)]]

=1

1− e−2πs

[

−e−2πs + 1

s2 + 1

]

=1

s2 + 1

Ejemplo 2.47. Para la funcion f dada por:

f(t) =

1, si 0 ≤ t < a

0 si a ≤ t < 2a

f(t+ 2a) si t /∈ [0, 2a)

cuya grafica es:

t

Figura 59.

1

4a3a2aa

2.7. T. DE LAPLACE DE UNA FUNCION PERIODICA 49

se tiene lo siguiente:

Lf(t)= 1

1− e−2as

2a∫

0

f(t)e−stdt =1

1− e−2as

a∫

0

e−stdt

=1

1− e−2as

[

−1sest

∣∣∣∣

a

0

]

=1

1− e−2as

[

−1sesa

+1

s

]

=1

s(1 + e−as)

Ejercicios 2.48. Encuentre la transformada de Laplace de cada una de las

funciones cuya grafica se muestra a continuacion:

1)

t

Figura 60.

1

4a3a2aa

2)

1

Figura 61.

654321

3)

t

Figura 62.

1

654321


Figura 63.

4)

1

π2

π 3π2

2π 5π2

Figura 64.

1

5

5)

432• • • • •

Figura 65.

6)

4

2 t

t

Figura 66.

1

7)

6a5a4a3a2a

Capıtulo 3

ECUACIONES

DIFERENCIALES

3.1. Introduccion

Una ecuacion diferencial es una ecuacion en la que existe una funcion o

relacion y al menos una derivada de tal funcion o relacion. Las ecuaciones

diferenciales se presentan en una gran variedad de situaciones como:

1) Se quiere determinar la posicion de una partıcula movil conociendo su

velocidad o su aceleracion.

2) Dada una sustancia radioactiva que se desintegra con coeficiente de va-

riacion conocido, se trata de averiguar la cantidad de sustancia remanente

despues de un tiempo.

3) Encontrar la carga q(t) de un circuito en serie que contiene un capacitor,

un inductor y una resistencia usando la segunda ley de kirchhoff (la suma

de las caıdas de voltaje a traves de cada uno de los componentes del circuito

es igual a la tension aplicada)

4) Hallar el precio de la U.V.R en cualquier dıa del ano conociendo la coti-

zacion en un dıa cualquiera y sabiendo que la U.V.R se puede tratar como

un problema de interes compuesto y capitalizable continuamente.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ordinarias cuando en la ecuacion

la incognita es una funcion de una sola variable por ejemplo: f ′(x) = f(x)

51

52 CAPITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES

y de derivadas parciales o simplemente parciales cuando la incognita es una

funcion de dos o mas variables, por ejemplo:

∂2f(x, y)

∂x2+∂2f(x, y)

∂y2= 0

En estas notas solo se trabajara con ecuaciones diferenciales ordinarias. Se

acostumbrara en una funcion a escribir y, en vez de f(x), ası la ecuacion

f ′(x) = f(x) se puede escribir y′ = y, tambien las derivadas segundas,

terceras. Se entiende por orden de una ecuacion diferencial, el de la derivada

de mayor orden que se encuentra en la ecuacion y cuyo coeficiente es distinto

de cero; ası la ecuacion diferencial:

y(6) + 3y(5) − 7y(4) − 3y(3) + 2y(2) + y = ex

es una ecuacion de orden seis. La ecuacion y′ = x3y(2) es una ecuacion de

segundo orden.

3.2. Estudio cualitativo

En muchas ocasiones es imposible obtener la solucion explıcita de una ecuacion

diferencial, sin embargo podemos obtener caracterısticas especiales de las

soluciones y de esta forma nos podemos hacer una idea de como pueden ser

las soluciones.

Del calculo diferencial sabemos que toda funcion f derivable en un punto

x0 se puede aproximar mediante una recta y = mx+ b , esta aproximacion

es una muy buena representacion de la funcion f en un intervalo de la forma

(x0−δ, x0+δ), δ > 0 es decir f(x) ≡ mx +b para x ∈ (x0−δ, x0 +δ)

donde m = f ′(x0). La siguiente grafica ilustra la situacion:

y = mx+ b

y = f(x)

xo

Figura 67.

3.2. ESTUDIO CUALITATIVO 53

Tambien sabemos que si una funcion f esta definida por f(x) = x + c

entonces f ′(x) = 1 y si f(x) = −x+ c, f ′(x) = −1. De esta forma po-

drıamos decir que si la derivada de una funcion f en un punto (x0, f(x0))

es 1, es decir f ′(x) = 1 quiere decir que la recta tangente, forma un angulo

de 450( π

4

)

con el eje horizontal, si la derivada f ′(x0) = −1 la recta tan-

gente a y = f(x) en el punto (x0, f(x0)) forma un angulo de 1350(

3π

4

)

;

si f ′(x) = 0 la recta tangente es horizontal, y si lımx→x0

|f ′(x)| = +∞ la recta

tangente es vertical. Estas consideraciones que acabamos de hacer son de

mucha utilidad para construir una aproximacion puntual de la solucion de

una ecuacion diferencial de la formady

dx= f(x, y).

Esta aproximacion se llama Campo de Pendientes o Campo de Tan-

gentes o Campo de Direcciones.

El campo de tangentes de una ecuacion diferencialdy

dx= f(x, y) se cons-

truye de la siguiente forma. Se considera un rectangulo [a, b] × [c, d] en el

que este define la relacion f(x, y), se toma un punto (x0, y0) de dicho

rectangulo es decir xo ∈ [a, b] y yo ∈ [c, d] luego se calcula f(x0, y0), de

esta forma se obtienedy

dx= f(x0, y0) es decir se encuentra la pendiente de

la recta tangente a F (x, y) = c en el punto (x0, y0), esta recta, como ya

se dijo, es una aproximacion de la relacion (funcion) F (x, y) = c que es la

solucion de la ecuacion diferencialdy

dx= f(x, y).

Ejemplo 3.1. Encontrar el campo de tangentes para cada una de las ecua-

ciones diferenciales dadas en el rectangulo indicado en cada caso

1)dy

dx=y

x[−2, 2]× [−2, 2]

en el punto (1, 1) se tiene quedy

dx=

1

1= 1; es decir que la pendiente

de la recta que aproxima a la relacion (funcion) F (x, y) = c forma un

angulo de 450( π

4

)

con cualquier horizontal. En el punto (1, 2) se tiene

quedy

dx=

2

1= 2, luego la inclinacion de la recta tangente en este punto

es mayor que la anterior. En el punto (−1, 1), dy

dx=

1

−1 = −1 es decir

que la recta tangente a F (x, y) = c en dicho punto forma un angulo de


1350 con el eje horizontal. En el punto (−1, 2), dy

dx=

2

−1 = −2 es decir

que el angulo de inclinacion de la recta tangente tiene un angulo menor de

1350(3π

4

)

pero obviamente mayor que 900(π

2

)

.

Continuando de esta forma en cada punto de coordenadas enteras (por ejem-

plo) se puede construir el siguiente campo de tangentes

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

y ’ = y/x

Figura 68.

Con un poco de esfuerzo se logra visualizar que las soluciones son rectas que

pasan por el origen del sistema de coordenadas.

Ejemplo 3.2.dy

dx= x2y, [−2, 2]× [−2, 2]

En el punto (0, 1) se tiene quedy

dx= 0 es decir la recta tangente a la

solucion F (x, y) = c es horizontal. En el punto (1, 2),dy

dx= 2 es decir

la recta tangente tiene mayor inclinacion que la recta y = x.

En el punto (−1, 2),dy

dx= (−1)2 × 2 = 2, es decir que la inclinacion de

la recta tangente al punto inmediatamente anterior. Continuando con este

proceso se logra construir el siguiente campo de tangentes:


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

y ’ = x2 y

Figura 69.

Las funciones que son solucion de esta ecuacion diferencial son funciones

exponenciales crecientes, estas se podran visualizar de una mejor forma si se

construye el campo de tangentes sobre un rectangulo mucho mayor, como

por ejemplo en el rectangulo [−10, 10]× [−10, 10]

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

t

x

x ’ = x t

Figura 70.


La anterior grafica es un ejemplo del campo de pendientes de la ecuacion

diferencial x′ = x.t, generada por Matlab (igual que las dos graficas anterio-

res a esta, con la instruccion: dfield6, luego enter y en la ventana que aparece

se escogen los intervalos para las variables y se da la orden de procesar) en

el cual t ∈ [−2, 2] mientras que x ∈ [0, 4]:

Ejercicios 3.3. Construye el campo de pendientes para cada una de las

siguientes ecuaciones diferenciales

1)dy

dx= x2 + y 3)

dy

dx= xy 5)

dy

dx=√xy

2)dy

dx=x

y4)

dy

dx= x√y 6)

dy

dx= xy2

Definicion 3.4. Una ecuacion diferencialdy

dx= f(x, y) se llama autonoma

si f(x, y) no depende de x, es decir si f(x, y) ≡ f(y)

Ejemplo 3.5.

1)dy

dx= 1− y2 2)

dy

dx= (1− y)3 3)

dy

dx= lnx

Estos modelos de ecuaciones aparecen con alguna frecuencia en la fısica, la

definicion que allı se les da es la que una ecuacion diferencial es autonoma

si no depende de el tiempo. Son ejemplos de ecuaciones autonomas la ley

del enfriamiento de Newton, el crecimiento de una poblacion, la mezcla de

soluciones salinas, como se vera mas adelante.

Definicion 3.6. Sidy

dx= f(x, y) es una ecuacion autonoma, es decir

si f(x, y) ≡ f(y), entonces decimos que un numero real “c ”es un punto

critico de dicha ecuacion y f(c) = 0. A los puntos crıticos tambien se les

llama puntos de equilibrio o puntos estacionarios.

Observemos que si c es un cero de f(y) en la ecuacion autonomady

dx=

f(y) entonces y = c es una solucion constante de la ecuacion autonoma.

Esta solucion se conoce como solucion de equilibro.


Ejemplo 3.7. Encuentre los puntos crıticos de cada ecuacion diferencial

estable

1.dy

dx= (1− y)3 aquı f(y) = (1− y)3, luego f(y) = 0 ⇔ (1− y)3 =

0 ⇔ 1− y = 0 ⇔ y = 1

2.dy

dx= 1− y4

f(y) = 1− y4 entonces f(y) = 0 ⇔ 1− y4 = 0 ⇔ (1− y2)(1 + y2) =

0 ⇔ (1 − y)(1 + y)(1 + y2) = 0 ⇔ y = 1 y y = −1 son los puntos

crıticos.

En una ecuacion diferencial autonomady

dx= f(y) los puntos crıticos son de

especial importancia, ya que estos nos permiten hacer un analisis de como

puede ser el comportamiento de las soluciones generales y las particulares.

Ası por ejemplo en la ecuacion autonomady

dx= 1−y2 se tienen dos puntos

crıticos: y = 1 y y = −1. Si ubicamos estos dos puntos en una recta

numerica obtenemos tres intervalos: (−∞,−1), (−1, 1) y (1,∞). Se sabe

que cualquier solucion es decreciente en (−∞,−1), pues 1− y2 es menor

que cero en ese intervalo, creciente en (−1, 1) y decreciente en (1,∞).

Esta situacion la podemos graficar (retrato de fase) dibujando una flecha

hacia arriba en el intervalo donde es creciente y una flecha hacia abajo en

el intervalo donde es decreciente.

−1

1 Creciente: flecha hacia arriba

Decreciente: flecha hacia abajo

Figura 71.


3.2.1. Puntos Atractores y Repulsores

Hay tres clases de comportamiento de una solucion de la ecuacion diferencialdy

dx= f(y) cerca de un punto critico “c”, a saber:

1. Cuando las puntas de las flechas en ambos lados de “c” apuntan hacia

c, es decir leyendo de abajo hacia arriba creciente-decreciente, como

en el caso y = 1 del ejemplo anterior, en este caso el punto se llama

asintoticamente estable y c se llama punto atractor.

2. Cuando las puntas de las flechas apuntan alejandose de “c”decreciente-

creciente, en este caso se dice que c es un punto inestable y a “c”se le

llama punto repulsor, como en el caso y = −1 del ejemplo anterior.

3. Cuando las puntas de las flechas apuntan una alejandose de “c” y

la otra acercandose a “c” creciente-creciente o decreciente-decreciente.

En este caso no es ni atractor ni repulsor, se dice que “c”es semiestable.

Ejercicios 3.8. En los siguientes ejercicios encuentre los puntos crıticos,

construya el retrato fase de la ecuacion diferencial y clasifique los puntos

crıticos en atractores, repulsores o semiestables.

1.dy

dx= y3 − y2

2.dy

dx= 2y2 − 3y

3.dy

dx= (y − 1)3

4.dy

dx= y2 − 3y + 2

5.dy

dx= y4 − 16

6.dy

dx= 2y(y − 1)(y + 3)

7.dy

dx= 4y − y3

8.dy

dx= (y − 3)2

3.3. ESTUDIO ANALITICO 59

3.3. Estudio Analıtico

Inicialmente se consideran ecuaciones diferenciales de primer orden aquellas

en las que se puede despejar y′, es decir, ecuaciones en las que se puede

escribir y′ = f(x, y); uno de los casos particulares de dicha ecuacion es el

caso en que f(x, y) no depende de y, es decir que:

y′ = g(x) (3.1)

en donde g es una funcion conocida. Resolver la ecuacion 3.1 equivale a en-

contrar una primitiva G(x); ademas, los casos que interesan seran aquellos

donde G(x) es continua en algun intervalo I. Se sabe que la integral indefini-

da de g es una primitiva y que cada primitiva se puede obtener de una ya

encontrada sumandole una constante, por tanto, la ecuacion diferencial 3.1

tiene una infinidad de soluciones ası:

y =

∫

g(x) dx+ C

Ahora, si queremos una solucion particular, es decir, si necesitamos una

funcion “y”que pase por algun punto particular, digamos (a, b), se reemplaza

la x por a, la y por b y se despeja C, como por ejemplo:

Ejemplo 3.9. Si y′ = 3x2. ¿Cual es la funcion f que satisface dicha

ecuacion?. Ademas f(0) = 3.

Integrando respecto a x se obtiene: y = x3 + C, reemplazando x por 0, y, y

por 3 se concluye que C = 3. Luego la funcion requerida es y = x3 + 3.

En algunos casos la constante C no se presenta en la solucion en forma

aditiva sino en forma multiplicativa debido a equivalencias que se pueden

aplicar ası:

Ejemplo 3.10. Si, y′ = y entonces, ln y = x+ C1, es decir y = Cex

Ejercicios 3.11. I) Encuentre la solucion general de cada una de las ecua-

ciones diferenciales dadas y despues encuentre una solucion particular que

satisfaga las condiciones dadas:

1) y′ = x3 + 1, y(1) = 4


2) y′ = x−2 + 2x, y(1) = 5

3) y′ = (2x+ 1)4, y(0) = 6

4)dy

dx= 3x2 + 4x− 1, y(2) = 5

5) y′ = x

x+ 1, y(1) = 2

II) Comprobar que las ecuaciones diferenciales tienen las soluciones dadas:

1) y′′ = 4y,

y = 5e2x + 7e−2x

y = 4e2x − 3e−2x

2) xyy′ = (x+ 1)(y + 1),

x(y + 1) = 2ey−x

x(y + 1) = 5ey−x

3)dy

dx=

√y

x; y = (

√x+ C)2, x > 0

4) y′ − 1

xy = 1; y = x lnx, x > 0

5) y′′+ y′ − 12y = 0; y = C1e3x + C2e

−4x

6) y′′+(dy

dx

)2

= 0; y = ln (x+ C1) + C2

7) x2d2y

dx2− x

dy

dx+ 2y = 0; y = x cos lnx, x > 0

8) y′′′ − y′′+ 9y′ − 9y = 0; y = C1 sin 3x+ C2 cos 3x+ 4ex

9) y′′+ y = − tanx; y = cosx ln(secx+ tanx)

10)

(dy

dx

)3

+ xdy

dx= y; y = x+ 1

11)dt

dx=

1

(2− x)(1− x); t = ln

2− x

1− x

12) y′+ 2xy = 1; y = e−x2∫ x

0et

2

dt+ C1e−x2

3.4. VARIABLES SEPARABLES 61

13) y′+ y = sinx; y =1

2sinx− 1

2cosx+ 10e−x

14)dy

dx=y − x

y + x; ln(x2 + y2) + 2 tan−1 y

x= C

15)dy

dx=y

x+x

y;

(y

x

)2

= 2 ln |x|+ C

16)

[

y + x coty

x

]

− xdy

dx= 0; x cos

y

x= C

3.4. Variables separables

Una ecuacion diferencial y′ = f(x, y) en la que f(x, y) se puede escribir como

el producto de una funcion que depende de x : Q(x) con otra funcion que

depende de y : R(y) es decir y′ = Q(x)R(y) se llama de variables separables

en donde tanto R(y) como Q(x) son funciones conocidas y ademas contınuas

en todos los puntos de su dominio. Ahora, si R(y) no es identicamente cero

se puede dividir por R(y) para obtener:

1

R(y)y′ = Q(x). Si hacemos

1

R(y)= A(y), se obtiene :

A(y)y′ = Q(x). Si suponemos que y = Y (x) entonces A(Y )Y ′(x) = Q(x).

Integrando respecto a x se obtiene:

∫

A(Y )Y ′(x)dx =

∫

Q(x)dx+ C, pero

Y ′(x)dx = dy, entonces,

∫

A(Y )dy =

∫

Q(x)dx+ C

Ejemplo 3.12.

y′ = x3y−2, entonces y2y′ = x3,⇒∫

y2y′dx =

∫

x3dx+ C,⇒∫

y2dy =

∫

x3dx+ C, luegoy3

3=x4

4+ C

Ejemplo 3.13.

yy′ = ex+2y sinx,⇒ yy′ = ex sinx e2y ⇒


ye−2yy′ = ex sinx,⇒∫

ye−2y y′ dx =

∫

ex sinx dx+ C,⇒∫

ye−2y dy =

∫

ex sinx dx+ C, luego

−y2e−2y − e−2y

4=ex

2

[

sinx− cosx

]

+ C

Ejemplo 3.14.

xdx+ ydy = xy(xdy − ydx),⇒ xdx+ ydy = x2ydy − xy2dx,⇒xdx+ xy2dx = x2ydy − ydy,⇒ (x+ xy2)dx =

(x2y − y)dy, como dy = ydx⇒ (x+ xy2)dx =

(x2y − y)y′ dx⇒ (1 + y2)x dx = (x2 − 1)yy′ dx⇒x

x2 − 1dx =

y

1 + y2y′ dx, integrando :

∫x

x2 − 1dx =

∫y

1 + y2y′ dx⇒

∫x

x2 − 1dx =

∫y

1 + y2dy, luego

1

2ln(x2 − 1) + lnC1 =

1

2ln(1 + y2), es decir 1 + y2 = C(x2 − 1)

Ejercicios 3.15. Resuelva por el metodo de separacion de variables las

siguientes ecuaciones diferenciales:

1) y′ = x4y−3 2) tanx cos y = −y′ tan y3)√

1− x2y′+ 1 + y2 = 0 4) xy(1 + x2) y′ − (1 + y2) = 0

5) (x+ 1)y′+ y2 = 0 6) xyy′ = 1 + x2 + y2 + x2y2

7) (x− 1) y′ = xy 8) (x+ 1)dy

dx= x

9)dx

dy=

x2y2

1 + x10) exy

dy

dx= e−y + e−2x−y

11) x3y3dy = (y + 1)dx 12) 2dy

dx− 1

y=

2x

y

13)dy

dx=xy + 2y − x− 2

xy − 3y + x− 314) x

√

1− y2 dx = dy

3.5. HOMOGENEAS 63

Resuelva las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a las condiciones iniciales

que se indican:

15) sinx(e−y+1) dx = (1 + cosx) dy, y(0) = 0

16)dy

dt+ ty = y, y(1) = 3

17)dx

dy= 4(x2 + 1), x(

π

4) = 1

3.5. Homogeneas

Se dice que una funcion f(x, y) es homogenea de grado r si f(tx, ty) =

trf(x, y) para algun numero real r.

Ejemplo 3.16.

f(x, y) = x2 + 3xy − y2, ⇒f(tx, ty) = (tx)2 + 3(tx)(ty)− (ty)2 = t2x2 + 3t2xy − t2y2

= t2(x2 + 3xy − y2) = t2f(x, y)

Ejemplo 3.17.

f(x, y) =x− y

x+ y⇒

f(tx, ty) =tx− ty

tx+ ty=t(x− y)

t(x+ y)=x− y

x+ y= t0f(x, y)

Ejemplo 3.18.

f(x, y) = 3√

x2 + y2 + 3√xy ⇒

f(tx, ty) = 3√

(tx)2 + (ty)2 + 3√

(tx)(ty) = 3√

t2x2 + t2y2 + 3√

(tx)(ty)⇒f(tx, ty) = 3

√

t2(x2 + y2) + 3√

t2xy

⇒ f(tx, ty) = t23

3√

x2 + y2 + t23 3√xy.

Una ecuacion diferencial de la forma:

M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0, es homogenea, si las funcionesM(x, y) y N(x, y)

son homogeneas del mismo grado.


Teorema 3.19. Toda ecuacion diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

donde M(x, y) y N(x, y) son funciones homogeneas del mismo grado es una

ecuacion diferencial de variables separables.

Prueba:

Si en la ecuacion diferencial de la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

escribimos y = ux , entonces dy = udx+ xdu , luego

M(x, ux)dx+N(x, ux)(udx+ xdu) = 0

como las funciones M y N son homogeneas de grado n tenemos

xnM(1, u)dx+ xnN(1, u)(udx+ xdu) = 0, es decir

M(1, u)dx+N(1, u)(udx+ xdu) = 0, por lo tanto:

[M(1, u) +N(1, u)u]dx+N(1, u)xdu = 0, luego

− du

dx=M(1, u) +N(1, u)u

N(1, u)

1

x

Ejemplo 3.20. Resolver la ecuacion diferencial: (y2 + yx)dx+ x2dy = 0.

Si escribimos y = ux, ⇒ dy = udx+ xdu, la ecuacion dada se convierte en:

(u2x2 + ux2)dx+ x2(udx+ xdu) = 0⇒ x2(u2 + 2u)dx+ x3du = 0,⇒x2

x3dx =

−duu2 + 2u

, ⇒ dx

x=−u′ dxu(u+ 2)

, integrando con respecto a x:

∫dx

x= −

∫u′ dx

u(u+ 2), ⇒ lnx+ C = −

∫1

u(u+ 2)du,

integrando por fracciones parciales: lnx+ C = −1

2lnu+

1

2ln(u+ 2)

lnx+ C = ln

√

u+ 2

u= ln

√yx + 2

yx

= ln

√y + 2x

y

Ejemplo 3.21. Solucionar la ecuacion diferencial sujeta a las condiciones

iniciales indicadas:

ydx+ x[lnx− ln y − 1]dy = 0, y(e) = 1

Si se escribe y = ux,⇒ dy = udx+ xdu,⇒

3.5. HOMOGENEAS 65

uxdx+ x[lnx− lnux− 1][udx+ xdu] = 0,⇒uxdx+ x[− lnu− 1][udx+ xdu] = 0,⇒

− u lnu dx− [lnu+ 1]x du = 0

⇒ dx

x+

(lnu+ 1) du

u lnu= 0⇒

lnx+ lnu+ ln[lnu] + ln c = 0 ⇒ln[cxu lnu] = 0 ⇒ cxu lnu = 1, reemplazando u

cxy

xlny

x= 1, como y(e)=1 ⇒ c = −1

Ejercicios 3.22. Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales dadas

usando sustituciones adecuadas.

1) (x+ y)dx+ ydy = 0 2) (y2 + x2)dx+ x2dy = 0

3)d y

dx=y − x

y + x4)

d y

d x=x+ 3y

3x+ y

5) [x2e−yx + y2]dx = xydy 6) (x2 + xy + 3y2)dx− (x2 + 2xy)dy = 0

7)d y

d x=x2 + 2y2

xy8) x y′ = y −

√

x2 + y2

9) x2 y′ + xy + 2y2 = 0 10) y′ =y

x+ x sin

y

x

11) y′ =y[x2 + xy + y2]

x[x2 + 3xy + y2]

Resuelva la ecuacion diferencial dada, sujeta a la condicion que se indica:

12) (x2 + 2y2)dx = xydy; y(−1) = 1

13) xydx− x2dy = y√

x2 + y2 dy; y(0) = 1

14) ydx+ [y cosx

y− x] dy = 0; y(0) = 2

15) (√x+√y )2dx = xdy; y(1) = 0

16)dy

dx− y

x= cosh

y

x; y(1) = 0


3.6. Ecuaciones diferenciales exactas

Del calculo multivariado se sabe que si z = f(x, y) es una funcion de dos

variables diferenciable, la diferencial de la variable dependiente dz llamada

tambien diferencial total se define como:

dz = df =∂f

∂x(x, y) dx+

∂f

∂y(x, y) dy

Ejemplo 3.23. Si f(x, y) = x2y − xy3 + xy entonces,

df = (2xy − y3 + y) dx+ (x2 − 3xy2 + x) dy

Definicion 3.24. Una expresion diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy es

una diferencial exacta en una region R del plano xy si existe una funcion

z = f(x, y) de tal forma que df = M(x, y) dx+N(x, y) dy.

Una ecuacion diferencial de primer orden M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es

una ecuacion diferencial exacta, si el lado izquierdo de la ecuacion es una

diferencial exacta.

Ejemplo 3.25.

1. 3x2y2 dx+ 2x3y dy = 0

2. cos(xy) y dx+ cos(xy)x dy = 0

Podrıamos decir que una ecuacion diferencial de primer orden de la forma

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es exacta si existe una funcion diferencial de

dos variables z = f(x, y) de tal forma que:

∂f(x, y)

∂x= M(x, y) y

∂f(x, y)

∂y= N(x, y)

Del calculo mutivariado se tiene el siguiente

Teorema 3.26. Si z = f(x, y) es una funcion de dos variables de tal

forma que

∂f

∂x,

∂f

∂y;

∂2f

∂x ∂y,

∂2f

∂y ∂x,

3.6. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 67

existen y son continuas en un conjunto abierto S entonces se cumple que

∂2f

∂x ∂y=

∂2f

∂y ∂x

Luego podemos afirmar que una ecuacion diferencial de primer orden de la

forma M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 es una ecuacion exacta si

Teorema 3.27. Sean M(x, y), N(x, y) dos funciones de dos variables

continuas y con derivadas parciales continuas en un conjunto abierto S. En-

tonces, una condicion necesaria y suficiente para que M(x, y)dx+N(x, y)dy

sea una diferencial exacta es que

∂M

∂y=∂N

∂x

3.6.1. Metodo de solucion de una ecuacion exacta

Dada una ecuacion diferencial de primer orden M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0

se determina si se cumple la ecuacion∂M

∂y=∂N

∂x(siempre que las derivadas

parciales tengan sentido) en caso afirmativo se tendrıa que existe una funcion

f(x, y) = c de tal forma que∂f

∂x= M(x, y), si integramos, respecto a x

se obtiene∫

∂f

∂xdx =

∫

M(x, y) dx, es decir

f(x, y) =

∫

M(x, y) dx+ g(y) (3.2)

donde g(y) es una funcion por determinar, que no depende de “x”. Ahora,

derivando la ecuacion (3.2) respecto a y se obtiene

∂f(x, y)

∂y=

∂

∂y

∫

M(x, y) dx+ g′(y)

como∂f

∂y= N(x, y), entonces

N(x, y) =∂f

∂y

∫

M(x, y) dx+ g′(x), es decir

N(x, y)− ∂

∂y

∫

M(x, y) dx = g′(y)


luego integrando la ultima ecuacion respecto a y se encuentra la funcion

g(y) y finalmente la solucion implıcita de la ecuacion diferencial exacta es:

f(x, y) = c

Es de anotar que la solucion tambien se encuentra si se parte del hecho

que∂f

∂y= N(x, y) y se integra respecto a “ y ”, para continuar con pasos

similares a los que se han propuesto.

Ejemplo 3.28. Resuelva la ecuacion diferencial

(2x+ y) dx+ (x+ 6y) dy = 0

Aquı M(x, y) = 2x+ y y N(x, y) = x+ 6y

entonces,∂M

∂y= 1 y

∂N

∂x= 1, luego

∂M

∂y=∂N

∂x

Si,∂f

∂x= 2x+ y, entonces

∫∂f

∂xdx =

∫

(2x+ y) dx+ g(y)

f(x, y) = x2 + xy + g(y)

derivando respecto a y se obtiene∂f

∂y= x+ g′(y)

como∂f

∂y= N(x, y), entonces N(x, y) = x+ g′(y) es decir

N(x, y)− x = g′(y)

x+ 6y − x = g′(y)

6y = g′(y)

integrando respecto a y se obtiene

g(y) = 3y2 + c

luego, la solucion general es:

x2 + xy + 3y2 = c


Ejemplo 3.29. Resuelva la ecuacion diferencial

(3x2y + ey) dx+ (x3 + xey − 2y) dy = 0

Aquı M(x, y) = 3x2y + ey y N(x, y) = x3 + xey − 2y

entonces,∂M

∂y= 3x2 + ey y

∂N

∂x= 3x2 + ey, luego

∂M

∂y=∂N

∂x

Esto significa que la ecuacion original es exacta, luego existe una funcion

f(x, y) = c tal que∂f

∂y= N(x, y), es decir

∂f

∂y= x3 + xey − 2y


f(x, y) =

∫

(x3 + xey − 2y) dy

f(x, y) = x3y + xey − y2 + h(x)

derivando respecto a x se obtiene

∂f

∂x= 3x2y + ey + h′(x)

como∂f

∂x= M(x, y), entonces

3x2y + ey = 3x2y + ey + h′(x) es decir

h′(x) = 0, luego h(x) = c

y ası la solucion es

x3y + xey − y2 = c

Ejemplo 3.30. Solucione la ecuacion diferencial con valor inicial:

(ex + y) dx+ (2 + x+ yey) dy = 0; y(0) = 1

Aquı M(x, y) = ex + y y N(x, y) = 2 + x+ yey

luego,∂M

∂y= 1 y

∂N

∂x= 1, es decir

∂M

∂y=∂N

∂x


luego existe una funcion f(x, y) tal que∂f

∂x= ex+ y; integrando respecto

a x se obtiene

f(x, y) = ex + xy + g(y)

derivando respecto a y se obtiene

∂f

∂y= x+ g′(y), luego

2 + x+ yey = x+ g′(y) es decir

g′(y) = 2 + yey,


g(y) = 2y + yey − ey, es decir

f(x, y) = ex + xy + 2y + yey − ey = c

si tenemos en cuenta que y(0) = 1, entonces

e0 + 0× 1 + 2 + e− e = c, es decir c = 3

luego la solucion particular, es

ex + xy + 2y + yey − ey = 3


Ejercicios 3.31. Determine si cada una de las siguientes ecuaciones dife-

renciales es exacta, en caso afirmativo resuelvala.

1. y2 dx+ (2xy + 2) dy = 0

2. 2x ey2dx+ 2x2 y ey

2dy = 0

3. y sin(xy)dx+ x sin(xy) dy = 0

4. (2x+ y) dx+ (x− 2y) dy = 0

5. (2xy2 − 2) dx+ (2x2y + 2) dy = 0

6.2x dx

(x2 + y2)2+

2y dy

(x2 + y2)2= 0

7. (ey − yex) dx+ (xey − ex) dy = 0

8. xdy

dx= 2xex − y + 6x2

9. (2x− 2) dx+ (2y + 4) dy = 0

10. (1 + lnx+y

x) dx = (1− lnx) dy

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales con condi-

ciones iniciales:

11. [ln(x+ y) +x

x+ y] dx+

x dy

x+ y= 0; y(1) = 1

12. (y dx

x2 + 1) dx+ arctanx dy = 0; y(π/4) = 1

13. arcsin y dx+x dy

√

1− y2= 0; y(1) =

π

6

14. (2xy + y2) dx+ (x2 + 2xy) dy = 0; y(1) = 1

Encuentre el valor de la constante k para que la ecuacion diferencial

sea exacta y despues resuelva dicha ecuacion

15. (kx2y + 8xy2) dx+ (2x3 + 8x2y) dy = 0

16. (3y + kxy2) dx+ (3x− 4x2y) dy = 0


3.7. Lineales de primer orden

Una ecuacion diferencial lineal de primer orden es de la forma:

y′ + P (x)y = Q(x)

donde P (x) y Q(x) son funciones definidas y continuas en algun intervalo

I. Un caso particular es cuando Q(x) = 0 cuya solucion se encuentra por

separacion de variables. Ahora, si Q(x) 6= 0 nos damos cuenta que la parte

izquierda de la ecuacion en mencion es casi la derivada de un producto. Si

multiplicamos la ecuacion por e∫P (x)dx obtenemos:

y′e∫P (x)dx + P (x)ye

∫P (x)dx = Q(x)e

∫P (x)dx, que podemos escribir:

[

y e∫P (x)dx

]′= Q(x) e

∫P (x)dx

integrando respecto a x se obtiene:∫ [

ye∫P (x)dx

]′dx =

∫ [

Q(x)e∫P (x)dx

]

dx, luego

y e∫P (x)dx =

∫ [

Q(x)e∫P (x)dx

]

dx+ C,

como e∫P (x)dx 6= 0, despejando y se obtiene:

y = e−∫P (x)dx

[∫

Q(x)e∫P (x)dxdx+ C

]

Esta ultima ecuacion contiene todas las soluciones de la ecuacion inicial.

Ejemplo 3.32.

y′ + y tanx = sin 2x. Aquı P (x) = tanx; Q(x) = sin 2x, luego∫

P (x) dx =

∫

tanx dx = − ln cosx, ⇒

y = eln cosx[∫

sin 2x e− ln cosx dx+ C

]

= cosx

[∫sin 2x

cosxdx+ C

]

= cosx

[∫

2 sinx dx+ C

]

= cosx[2(− cosx) + C], luego y = −2 cos2 x+ C cosx

3.7. LINEALES DE PRIMER ORDEN 73

Ejemplo 3.33. Resolver la ecuacion diferencial:

x(x+ 1)y′ + y = x(x+ 1)2e−x2 dividiendo por x(x+ 1) se obtiene:

y′ +1

x(x+ 1)y =

x(x+ 1)2

x(x+ 1)e−x2 luego,

P (x) =1

x(x+ 1), Q(x) = (x+ 1)e−x2 , por lo tanto

∫

P (x) dx =

∫1

x(x+ 1)dx = ln

x

x+ 1, ⇒

y = e− ln xx+1

[∫

(x+ 1)e−x2elnx

x+1 dx+ C

]

y =x+ 1

x

[∫

x(x+ 1)e−x2

x+ 1dx+ C

]

=x+ 1

x

[∫

xe−x2 dx+ C

]

, luego

y =x+ 1

x

[

−1

2e−x2 + C

]

Ejemplo 3.34. Probar que existe una funcion y solo una continua en el eje

real positivo tal que: f(x) = 1 +1

x

x∫

1

f(t) dt para todo x > 0. Hallar esta

funcion

Supongamos que existe f continua para todo x > 0 que cumple la ecuacion

f(x) = 1 +1

x

x∫

1

f(t) dt. Notese que f(1) = 1. Ahora, sea y =x∫

1

f(t)dt ⇒

y′ = f(x) luego la ecuacion f(x) se puede escribir ası:

y′ = 1 +1

xy ⇒ y′ − 1

xy = 1

Esta ultima es una ecuacion lineal de primer grado donde:

P (x) = − 1

xy Q(x) = 1. ⇒

∫P (x) dx = − lnx, x > 0, luego y = elnx

[∫e− lnx dx+ C

], ⇒

y = x(lnx+C), x > 0,⇒ y = x lnx+Cx, es decir∫ x1 f(t) dt = x lnx+Cx,

derivando se obtiene:

f(x) = lnx + 1 + C. Como f(1) = 1 se concluye que: f(x) = lnx + 1, la

cual satisface las condiciones del ejercicio.


Ejercicios 3.35. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferen-

ciales:

1) y′ − 3y = e2x 2) y′ sinx+ y cosx = 1

3) xy′ − y = x2 sinx 4) xy′ − 2y = x5

5) (x− 2)(x− 3)y′ + 2y = (x− 1)(x− 2) 6) (x+ 1)y′ + y = x2 − 1

7) (1− x2)y′ + xy = ax, |x| < 1 8) y′ + y tanx = secx

9)dy

dx+y

x= xex 10) y′ − ay = f(x)

11)dy

dx+y

x=

1

x12) (x+ 1)y′ + 2y = (x+ 1)3

Resolver cada una de las ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales:

13)dy

dx− y

x= 3x3; y(1) = 3

14) y′ = e2x − 3y; y(0) = 1

15) xy′ + (1 + x)y = e−x; y(1) = 0

16) y′ sinx+ 2y cosx = sin 2x; y(π

6) = 2

Existen algunas ecuaciones diferenciales que inicialmente no son lineales de

primer orden pero que haciendo un cambio adecuado de variable se logra

convertir en una ecuacion lineal de primer orden. Es el caso de la llamada

ecuacion de Bernoulli que tiene la forma:

y′ + P (x)y = Q(x)yn, n 6= 1

Si dividimos dicha ecuacion por yn se obtiene1

yny′ +

1

yn−1P (x) = Q(x).

Si hacemos v = y1−n,⇒ v′ = (1− n) y−n y′,

reemplazando se obtiene:1

1− nv′ + P (x)v = Q(x),

multiplicando por 1− n, se obtiene:

v′ + (1− n)P (x)v = (1− n)Q(x)

Ejemplo 3.36. Solucionar la ecuacion diferencial:

y′ − 4y = 2exy1/2

3.7. LINEALES DE PRIMER ORDEN 75

Aquı, n = 1/2, y v = y1/2

v′ − 2v = ex, P (x) = −2, Q(x) = ex, luego

v = e2x[∫

exe−2xdx+ C]= e2x

[∫e−xdx+ C

]

v = e2x(−e−x + C) = Ce2x − ex, como v = y1/2, ⇒y = (Ce2x − ex)2

Ejemplo 3.37. Resolver la ecuacion diferencial:

xy′ + y = y2x2 lnx

Si dividimos por x, x 6= 0, se obtiene:

y′ +1

xy = y2x lnx

Aquı n = 2, si v = y−1, se obtiene:

v′ − 1

xv = −x lnx, ⇒

P (x) = − 1

x, Q(x) = −x lnx, es decir:

v = elnx[∫−x lnxe− lnx dx+ C

]

v = x [−x lnx+ x+ C] = −x2 lnx+ x2 + Cx, luego

y =1

−x2 lnx+ x2 + Cx

Ejercicios 3.38. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferen-

ciales de Bernoulli:

1) y′ − y + y2(x2 + x+ 1) = 0

2) xy′ − 2y = 4x3y1/2

3) xy′ + y =1

y2

4) y′ = y(xy3 − 1)

5) 3(1 + x2)dy

dx= 2xy(y3 − 1)

Resuelva la ecuacion diferencial dada, sujeta a las condiciones iniciales indi-

cadas

6) y1/2dy

dx+ y3/2 = 1, y(0) = 4

7) xy(1 + xy2)dy

dx= 1, y(1) = 0


3.8. Problemas de aplicacion

Ejemplo 3.39.

En el estudio de crecimiento de una poblacion (humana, animal o bacteri-

ana), si p(t) nos indica la cantidad de pobladores que hay en cada instante

de tiempo t (suponiendo que p(t) es una funcion continua), su variacion

(crecimiento) es directamente proporcional a la cantidad de habitantes exis-

tentes en cada tiempo t es decir:dp

dt= kp(t)

donde k es una constante positiva por determinar. La poblacion de una co-

munidad aumenta en un instante cualquiera con la rapidez proporcional al

numero de personas en dicho instante. Si la poblacion se duplica en cinco

anos ¿cuanto demorara en triplicarse? Si la poblacion despues de 3 anos es

de 10000 habitantes ¿cual es la poblacion inicial?dp

dt= kp(t); p(0) = p0

p(t) = Cekt como p(0) = p0 ⇒ C = p0

ademas p(5) = 2p0, ⇒ p(5) = p0e5k, es decir

2p0 = p0e5k ⇒ k =

ln 2

5= 0,1386

Ahora, como p(3) = 10000 ⇒ 10000 = p0e3(0,1386),

por lo tanto: p0 ≈ 6597.

La otra parte del ejemplo se deja como ejercicio.

Ejemplo 3.40.

De acuerdo a ley de Kirchhoff, un circuito electrico L−R con una resisten-

cia de R ohmios(Ω) y un inductor con inductancia de L Henries(H)

en serie con una fuente de fuerza electromotriz que proporciona un voltaje

E(t) voltios en el tiempo t satisface la ecuacion diferencial:

Ldi

dt+Ri(t) = E(t)

Donde i(t) es la corriente medida en amperes. Si L = 2H, R = 6Ω, E(t) =

12V , e i(0) = 0,

encontrar la corriente i(t) que resulta.

2di

dt+ 6i = 12

dividiendo por 2 se obtiene:

3.8. PROBLEMAS DE APLICACION 77

di

dt+ 3i = 6, luego

i(t) = e−3t[∫

6e3t dt+ C]i(t) = 2 + Ce−3t.

Como i(0) = 0 ⇒ i(t) = 2− 2e−3t

Ejemplo 3.41.

En un circuito R − C con una resistencia R, un capacitor C faradios (F )

en serie, con una fuerza electromotriz que genera E(t) voltios satisface la

ecuacion diferencial:

Ri+1

Cq(t) = E(t)

la carga q(t) esta relacionada con la corriente i(t) mediante la ecuacion:

i(t) =dq

dtde esta forma, la ecuacion original se transforma en:

Rdq

dt+

1

Cq(t) = E(t)

A un circuito en serie en el cual la resistencia es de 200Ω y la capacitancia

es C = 10−4F , se aplica una tension de 100V. Calcule la carga q(t) en el

capacitor si q(0) = 0, y obtenga la corriente i(t).

Rdq

dt+

1

Cq(t) = E(t) ⇒

200dq

dt+

1

10−4q(t) = 100, o sea:

dq

dt+ 50q = 0,5, luego:

q(t) = e−50t[∫

0,5e50t dt+ C]= e−50t(0,01e50t + C) q(t) = 0,01 + Ce−50t,

como q(0) = 0 ⇒q(t) =

1

100− 1

100e−50t, e i(t) =

1

2e−50t.

Ejemplo 3.42.

La variacion del precio c(t) de la U.V.R. en cada instante (dıa )(suponiendo

que c(t) es una funcion continua) es directamente proporcional al valor de

la U.V.R. en cada dıa, esto es:

q′(t) = λc(t)

Entonces c(t) = c0eλt donde c0 es el valor inicial. Si el valor de la U.V.R.

el 7 de marzo de 2001 es de $114.0742 y el valor el dıa 6 de marzo fue de

$114.0317 ¿cual sera el valor el dıa 31 de marzo?

Este ejercicio se debe actualizar, debido a la filosofıa de incremento ingerida

por la corte (incremento por la inflacion causada mes a mes).


Ejemplo 3.43.

Ley de enfriamiento de Newton

La variacion de la temperatura respecto al tiempo de un cuerpo que se

esta enfriando es directamente proporcional a la diferencia de la temperatura

del medio ambiente, y la temperatura presente en el cuerpo a cada instante,

es decir:

dT

dt∝ [To − T (t)], lo que significa que

dT

dt= k [To − T (t)], o,

dT

dt= k [T (t)− To]. (3.3)

Ası pues si una varilla de metal se saca de un horno en el que ha alcanzado

una temperatura de 200oc y al cabo de 40 minutos su temperatura es de

100oc ¿Cual es la temperatura de la varilla despues de 1 12 horas si se sabe

que la temperatura del medio ambiente es de 10oc?

De la ecuacion 3.3 se sabe que:

dT

(To − T (t))= k dt luego

∫dT

(To − T (t))= k

∫

dt es decir:

− ln[To − T (t)] = kt+ c1 luego

eln(To−T (t)) = e−kt−c1 de aquı

To − T (t) = ce−kt por lo tanto,

To − ce−kt = T (t); que podemos escribir

T (t) = To − ce−kt ahora, sabiendo que

T (0) = 200oc; T (40) = 100o y To = 10oc tenemos

T (t) = 10 + 190e−0,0186t ası que

T (90) = 10 + 190e−0,0186(90)

T (90) ≈ 45,62oc


notemos ademas que a medida que pasa el tiempo la temperatura de la

varilla tiende a 10o, es decir la temperatura del medio ambiente. Esto se

puede escribir:

lımt→∞

(T (t)) = lımt→∞

[10 + 190e−0,0186t

]= 10

Notemos ademas que la constante k de la ecuacion (3.3) sera pequena en

valor absoluto si la temperatura del medio ambiente es grande, y sera grande

en valor absoluto si la temperatura del medio ambiente es pequena.

Ejemplo 3.44.

En el ejemplo 3.39 el problema de crecimiento de una poblacion, puede refor-

mularse, si se tiene en cuenta que algunas poblaciones tienen la restriccion

del crecimiento debido a la falta de alimentos, la sobrepoblacion o carencia

de espacios etc, por estas razones la poblacion no puede exceder un maxi-

mo M(M > 0), y desde luego parece razonable proponer que el modelo de

crecimiento de la poblacion es: “la variacion de la poblacion con respecto al

tiempo” de cierta especie es DIRECTAMENTE proporcional al producto de

la poblacion existente en cada instante con la diferencia entre la capacidad

maxima y la poblacion en cada instante ası:

dp

dt∝ p(t).[M − p(t)] es decir

dp

dt= kp(t).[M − p(t)]

Esta ecuacion es llamada ecuacion logıstica. En otros escritos aparece con

otras presentaciones (equivalentes a la que aquı se presenta). Luego:

dp

p(t).[M − p(t)]= k dt

integrando a cada lado de la ecuacion se obtiene:

∫dp

p(t).[M − p(t)]=

∫

k dt es decir


1

M

∫dp

p(t)+

1

M

∫dp

M − p(t)= kt+ c1 luego

1

M

[∫dp

p(t)+

∫dp

M − p(t)

]

= kt+ c1

1

M

[

ln

(p(t)

M − p(t)

)]

= kt+ c1 luego

ln

(p(t)

M − p(t)

)

= Mkt+Mc1 es decir

p(t)

M − p(t)= ceMkt

p(t) = [M − p(t)] ceMkt

p(t) =MceMkt

1 + ceMkt

p(t) =Mc

c+ e−Mkt

Ejemplo 3.45.

La capacidad de una conejera es de 5000 individuos. Si inicialmente hay

1200 y al cabo de seis meses la poblacion es de 2000, ¿Cual es la ecuacion

que describe la cantidad de conejos existentes?

dp

dt= k p(t)(5000− p(t)) entonces

p(t) =5000c

c+ e−5000kt

como p(0) = 1200, entonces

1200 =5000 c

c+ 1

(c+ 1)1200 = 5000 c

1200 = 3800 c;

6

19= c c = 0,31578

entonces p(t) =5000× 0,31578

0,31578 + e−5000kt

p(t) =1578,94

0,31578 + e−5000kt


como P (0) = 2000; entonces

2000 =1578,94

0,31578 + e−30000k

2000e−30000k = 947,38

e30000k = 0,47369

k = 0,000024 entonces

p(t) =1578,94

0,31578 + e−0,12t

Ejemplo 3.46.

Un tanque contiene inicialmente 400 litros de agua donde se ha disuelto 50

gr de sal y le estan entrando 8 lmın de solucion salina con 2 gr de sal por litro;

bien mezclado, de el sale liquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad

A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante. La razon

de cambio de la cantidad de sal que hay en cada instante (A(t)) respecto

al tiempo esdA

dt= AE − AS ; donde AE es la cantidad de sal entrante

por minuto y AS es la cantidad de sal saliente por minuto. Entonces

dA

dt= 8 ∗ 2− A(t)

400∗ 8

dA

dt= 16− A(t)

50; A(0) = 50gr

dA

dt=

800−A(t)

5050dA

800−A(t)= dt

50

∫dA

800−A(t)=

∫

dt

−50 ln[800−A(t)] = t+ c

ln[800−A(t)] = − t

50− c1

50

800−A(t) = ce−t50 luego

A(t) = 800− ce−t50 como A(0) = 50

entonces c = 750 y ası

A(t) = 800− 750e−t50


Notese que a medida que el tiempo transcurre la salmuera que va quedando

en el tanque va teniendo la misma concentracion de sal que el agua que entra

al tanque y por tanto la cantidad de sal que va quedando en el tanque es de

800 gr. Esto se puede formalizar verificando que:

lımt→∞

A(t) = lımt→∞

[

800− 750e−t50

]

lımt→∞

A(t) = 800

Ejemplo 3.47.

En el ejemplo anterior si se supone que el tanque tiene una capacidad de

1000 litros y si la velocidad con que sale la solucion salina es apenas de

6 lmın . Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en

cualquier instante.

dA

dt= 16−

(A(t)

400 + 2t

)

∗ 6

entoncesdA

dt= 16− 6A(t)

400 + 2t

es decirdA

dt+

6A(t)

400 + 2t= 16

p(t) =6

400 + 2t∫

p(t) dt = 3 ln(400 + 2t)

entonces A(t) = e−3 ln(400+2t)

[∫

e3 ln(400+2t) ∗ 16 dt+ c

]

A(t) =1

(400 + 2t)3

[

16

∫

(400 + 2t)3 dt+ c

]

A(t) =16

(400 + 2t)31

2

[(400 + 2t)4

4+ c

]

A(t) =2

(400 + 2t)3[(400 + 2t)4 + c

]

A(t) = 2(400 + 2t) +2c

(400 + 2t)3

como A(0) = 50


50 = 2(400) +2c

(400)3

(−750) ∗ (400)3 = 2c

2c = −4,80 ∗ 1010, luego

A(t) = 2(400 + 2t)− 4,8 ∗ 1010(400 + 2t)3

Ejercicios 3.48.

1. La poblacion de una ciudad crece en un instante, con una rapidez pro-

porcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Su poblacion

inicial es de 50.000 habitantes y aumenta el 10% en 10 anos.

¿Cual sera la poblacion dentro de 40 anos?

2. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la re-

sistencia 50Ω, se le aplica una tension E(t) = 50V . Calcule la corriente

i(t) si i(0) = 0.

3. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 1000Ω y la ca-

pacitancia de 5 × 10−6F se le aplica una tension de 200V. Encuentre

la carga q(t) en el capacitor si i(0) = 0,4. Determine la carga y la

corriente para t = 0,005seg y la carga cuando t→∞

4. Encuentre la corriente i(t) si R = 106Ω,L = 1H, E(t) = 1V y i(0) = 0

5. Encuentre i(t) suponiendo i(0) = 0, R = 1000Ω, L = 3,5H y E(t) =

120 sin(377t).

6. Si en el ejemplo 3.46 se supone que la velocidad de la salida de la

salmuera es de 10 lmın . Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que

hay en el tanque en cualquier instante.

7. En el ejercicio anterior en que tiempo estara el tanque desocupado.


8. La cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la influencia de

determinado anuncio se modela por la ecuacion logıstica. Al principio

N(0) = 500 mientras se observa que N(1) = 1000. se pronostica que

habra un lımite de 50000 individuos que veran el anuncio. Determine:

a) N(t)

b) N(10)

9. La cantidad de peces P (t) que viven en un estanque se modela por

la ecuacion logıstica. Al principio P (0) = 5000 al cabo de un ano

hay 25000 individuos. Se pronostica que la capacidad del tanque es

de 250.000 individuos. Determinar:

a) P (t)

b) P (5)

La ecuacion logıstica tambien se puede escribir de la forma:

dp

dt= p(a− bp)

10. El modelo de crecimiento demografico de un suburbio en una gran

ciudad, esta descrita con la ecuacion de valor inicial:

dp

dt= p(10−1 − 10−7p); P (0) = 5000

en donde el tiempo t esta dado en meses.

a) ¿Cual es el valor lımite de la poblacion?

b) ¿En que momento igualara la poblacion ese valor lımite?

11. Un tanque contiene 1500 litros agua donde se han disuelto 500 gramos

de sal. Si al tanque le estan entrando 8 lmın de agua salada con una

concentracion de 2gr de sal por litro y a su vez se le esta sacando agua

a la misma rapidez. Calcule la capacidad de sal A(t) que hay dentro

del tanque a cada instante.


12. En el problema anterior, si se le esta sacando agua a razon de 12 lmın .

Calcule la cantidad de sal A(t) que hay en el tanque en cada instante.

¿Cuanto tiempo demorara en vaciarse el tanque?

13. En el problema (11) si se le esta sacando agua a razon de 6 lmın . Calcule

la cantidad de sal A(t) que hay en cada instante. Si la capacidad del

tanque es de 2000 litros:

a) ¿Cuanto tiempo demorara en llenarse el tanque?

b) ¿Cual es la concentracion de sal que tiene el agua cuando el

tanque esta lleno?

14. Si una barra metalica, cuya temperatura es de 20c, se introduce en

un recipiente que contiene agua hirviente.

a) ¿Cuanto tiempo tardara en alcanzar 80c, si se sabe que la

temperatura subio 2c en un segundo?

b) ¿Cuanto tiempo tardara en llegar a 98c?

15. Un termometro indica 20c si se coloca dentro de un horno precalen-

tado a temperatura constante. A traves de una ventana de vidrio del

horno, un observador registra que el termometro marca 60c despues

de 12 minuto, y de 95c despues de un minuto. ¿A que temperatura

esta el horno?


3.9. Ecuaciones lineales homogeneas de segundo

orden y orden superior

Una ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo orden es de la forma:

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = 0

donde a(x) y b(x) son funciones continuas en un intervalo I. En esta

seccion se trabajaran ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, es

decir ecuaciones de segundo orden en donde a(x) = a y b(x) = b, siendo a

y b constantes. Es facil verificar que si u1(x) y u2(x) son dos soluciones

de la ecuacion diferencial

y′′ + ay′ + by = 0 (3.4)

entonces

y = c1u1(x) + c2u2(x) (3.5)

(c1 y c2 constantes) tambien es otra solucion de (3.4). Ademas, si u1(x)

no es un multiplo constante de u2(x) (son linealmente independientes)

cualquier solucion de (3.4) es de la forma (3.5) que es la solucion general.

Ahora se puede probar que cualquier ecuacion diferencial de segundo orden

tiene dos soluciones linealmente independientes.

Se probo que la ecuacion diferencial y′ + ay = 0 tiene una solucion de la

forma y = e−ax, ademas toda solucion es de la forma y = ce−mx, c ∈ RRR.Podemos suponer que la ecuacion (3.4) tiene una solucion de la forma

y = emx, m ∈ RRR, luego como y′ = memx, y′′ = m2emx, entonces:

m2emx + amemx + bemx = 0

es decir, (m2+am+b)emx = 0, como emx 6= 0 se tiene que m2+am+b =

0, es decir que la funcion y = emx es solucion de (3.4) si y solo si m es

una raız de la ecuacion

m2 + am+ b = 0 (3.6)

que es llamada ecuacion auxiliar. Ahora las raıces de la ecuacion cuadratica

(3.6) pueden ser:

3.9. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS 87

I) Reales y distintas

Digamos r1 y r2, r1 6= r2 en cuyo caso u1(x) = er1x y u2(x) = er2x

son soluciones y cualquier solucion es de la forma y = c1er1x + c2e

r2x.

Ejemplo 3.49. Solucione la ecuacion diferencial: y′′ − y′ − 12y = 0.

La ecuacion auxiliar es: m2 − m − 12 = 0, y las raıces de esta ecuacion

son : m1 = 4 y m2 = −3 (se pueden obtener por factorizacion o por la

formula cuadratica). Luego u1(x) = e4x y u2(x) = e−3x son soluciones de

la ecuacion diferencial dada y por tanto: y = c1e4x + c2e

−3x es la solucion

general.

II) Reales e iguales, digamos r

Entonces las funciones u1(x) = erx y u2(x) = xerx son soluciones de

y′′+by′+cy = 0. En efecto: u′1(x) = rerx y u′′1(x) = r2erx luego u′′1(x)+

bu′1(x)+cu1(x) = r2erx+brerx+cerx = erx(r2+br+c), como r es solucion

de la ecuacion (3.6) esto quiere decir que :

r2 + br + c = 0 (3.7)

De esta forma u′′1(x)+bu′1(x)+cu1(x) = 0. Ahora veamos que u2(x) = xerx

es solucion de (3.7) :

u′2(x) = erx + rxerx

u′′2(x) = rerx + rerx + r2xerx = 2rerx + r2xerx, luego

u′′2(x) + bu′2(x) + cu2(x) = 2rerx + r2xerx + b(erx + rxerx) + cxerx

= erx[2r + r2x+ b+ brx+ cx]

= erx[2r + b+ x(r2 + br + c)] = erx[2r + b]; como b = −2r por ser r la

unica raız, entonces u′′2(x)+bu′2(x)+cu2(x) = erx,0 esto es u′′2(x)+bu′2(x)+

cu2(x) = 0 ademas

u1(x) = erx y u2(x) = xerx es un conjunto linealmente independiente,

entonces y = c1erx + c2xe

rx es la solucion general de la ecuacion (3.4).

III) Complejas y conjugadas

Es decir r1 = α + βi y r2 = α − βi entonces las funciones u1(x) =

eαx cosβx y u2(x) = eαx sinβx son soluciones de (3.4), ademas, lineal-


mente independientes entonces la solucion general de (3.4) es de la forma:

y = c1eαx cosβx+ c2e

αx sinβx

Ejemplo 3.50. Resolver la ecuacion diferencial: y′′ − 5y′ + 6y = 0.

La ecuacion auxiliar es: m2−5m+6 = 0 cuyas soluciones son m = 3, m =

2 luego las funciones u1(x) = e3x y u2(x) = e2x son las soluciones de la

ecuacion dada y por tanto la solucion general es: y = c1e3x + c2e

2x

Ejemplo 3.51. Resolver la ecuacion diferencial: y′′ + 10y′ + 25y = 0

La ecuacion auxiliar es: m2+10m+25. La unica solucion es m = −5 luego

las soluciones son u1(x) = e−5x y u2(x) = xe−5x por tanto la solucion

general es: y = c1e−5x + c2xe

−5x

Ejemplo 3.52. Encontrar la solucion general de la ecuacion diferencial:

y′′ + 2y′ + 2y = 0

Su ecuacion auxiliar es m2+2m+2 = 0 y las soluciones de dicha ecuacion

son: r1 = −1 + i y r2 = −1 − i luego las soluciones de la ecuacion

diferencial dada son: u1(x) = e−x cosx y u2(x) = e−x sinx, es decir que

la solucion general es:

y = c1e−x cosx+ c2e

−x sinx

Ejercicios 3.53.

I) Encuentre la solucion general de cada una de las ecuaciones diferenciales

dadas.

1) y′′ + 5y′ − 6y = 0 2) y′′ + 3y′ + y = 0

3) y′′ + 6y′ − 7y = 0 4) y′′ + y′ − 6y = 0

5) y′′ + y′ + y = 0 6) y′′ + 9y = 0

II) Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales dadas con las condi-

ciones iniciales indicadas:

1) y′′ + 6y′ − 7y = 0; y(0) = 0, y′(0) = 4

2) y′′ + 4y = 0; y(π

4) = 2, y′(

π

4) = 3


3) y′′ + 9y = 0; y(π

3) = 3, y′(

π

3) = 3

4) y′′ − 4y′ − 6y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 2

5) y′′ + 4y′ + 10y = 0; y(0) = 2, y′(0) = −1

3.9.1. Ecuaciones no-homogeneas de segundo orden

Una ecuacion diferencial no homogenea de segundo orden con coeficientes

constantes es de la forma:

y′′ + by′ + cy = f(x) (3.8)

donde f(x) es una funcion definida y continua en un intervalo I. Se puede

ver que la solucion general de (3.8) es yg = yh + yp donde yh es la

solucion general de la ecuacion homogenea y′′+ by′+ cy = 0 y yp es una

solucion particular de la ecuacion (3.8). Existen dos metodos para encontrar

una tal solucion:

1) Metodo de los coeficientes indeterminados

Este metodo utilizado para el calculo de soluciones particulares, en general

no es eficaz pues no siempre es aplicable, su entorno de aplicabilidad son las

funciones f cuya forma “general” es de uno de los siguientes tipos:

1. f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 : funciones polinomicas

2. f(x) = Aeαx : funciones exponenciales

3. f(x) = A cos(βx) + B sin(βx): combinaciones lineales de sin(βx)

y cos(βx) o producto de dos o tres funciones distintas, es decir;

productos de la forma:

4. f(x) =(anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0

)eαx

5. f(x) =(anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0

)cos(βx)

6. f(x) =(anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0

)sin(βx)

7. f(x) = [A cos(βx) +B sin(βx)] eαx

8. f(x) =(anx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0

)eαx cos(βx)


Definicion 3.54. f pertenece al generado de u1, u2, u3, . . . , un si existen

escalares no todos cero c1, c2, c3, . . . , cn tales que

f(x) = c1u1 + c2u2 + c3u3 + · · ·+ cnun

en tal caso escribimos f ∈ gen(u1, u2, u3, . . . , un).Parte de f pertenece al generado de u1, u2, u3, . . . , un si algun termino

de los que forman a f pertenece al generado de u1, u2, u3, . . . , un.

En la ecuacion diferencial y(n) + an−1y(n−1) + · · · + a1y

′ + a0y = f(x), si

f(x) no pertenece toda ni parte al generado por las soluciones particulares

u1, u2, u3, . . . , un de la ecuacion homogenea asociada, en este caso la solucion

particular de la no homogenea es la forma general de la funcion f.

Ejemplo 3.55.

y′′ + 4y′ + 3y = x2

las soluciones particulares de la homogenea asociada son:

u1 = e−3x u2 = e−x

x2 /∈ gen(e−3x, e−x

)entonces la solucion particular yp de la no-

homogenea es de la forma:

yp = a2x2 + a1x+ a0

y′p = 2a2x+ a1

y′′p = 2a2

entonces:

2a2 + 4 (2a2x+ a1) + 3(a2x

2 + a1x+ a0)

= x2

3a2x2 + (8a2 + 3a1)x+ (2a2 + 4a1 + 3a0) = x2

es decir:

3a2 = 1; 8a2 + 3a1 = 0; 2a2 + 4a1 + 3a0 = 0

luego:

a2 =1

3, a1 = −

8

9, a0 = −

38

27


por lo tanto la solucion particular es:

yp =1

3x2 − 8

9x− 38

27

y en consecuencia la solucion general es:

yg = c1e−3x + c2e

−x +1

3x2 − 8

9x− 38

27

Ejemplo 3.56.

y′′ + 4y = (3x+ 1)e2x

las soluciones particulares de la homogenea son:

u1 = cos (2x) u2 = sin (2x)

como (3x + 1)e2x /∈ gen (cos (2x) , sin (2x)) , entonces la solucion parti-

cular de la no-homogenea es:

yp = (a1x+ a0) e2x

y′ = (2a1x+ a1 + 2a0) e2x

y′′ = (4a1x+ 4a1 + 4a0) e2x

Entonces:

(4a1x+ 4a1 + 4a0) e2x + 4 (a1x+ a0) e

2x = (3x+ 1)e2x

(8a1x+ 8a0 + 4a1) e2x = (3x+ 1)e2x

es decir.

8a1 = 3 8a0 + 4a1 = 1

luego:

a1 =3

8a0 = −

1

16

por tanto la solucion particular de la no-homogenea es:

yp =

(3

8x− 1

16

)

e2x

y en consecuencia la solucion general de la ecuacion diferencial es:

yg = c1 cos (2x) + c2 sin (2x) +

(3

8x− 1

16

)

e2x


Ejemplo 3.57.

y′′ − 4y′ + 13y = 5 sin (2x)


u1 = e2x cos (3x) u2 = e2x sin (3x)

como 5 sin (2x) /∈ gen(e2x cos (3x) , e2x sin(3x)

), entonces la solucion

particular de la no-homogenea es:

yp = A sin (2x) +B cos (2x)

y′p = 2A cos (2x)− 2B sin (2x)

y′′p = −4A sin (2x)− 4B cos (2x)

Entonces:

−4A sin (2x)− 4B cos (2x)− 4 (2A cos (2x)− 2B sin (2x))

+13 (A sin (2x) +B cos (2x)) = 5 sin (2x)

(8B + 9A) sin (2x) + (−9A+ 9B) cos (2x) = 5 sin (2x)

es decir.

8B + 9A = 5 −8A+ 9B = 0

luego:

A =9

29B =

8

29

en consecuencia la solucion particular de la no-homogenea es:

yp =9

29sin (2x) +

8

29cos (2x)

y la solucion general de la ecuacion diferencial es:

yg = c1e2x cos (3x) + c2e

2x sin (3x) +9

29sin (2x) +

8

29cos (2x)

Ejemplo 3.58.

y′′ + y′ + 6y = 2ex cos (4x)



u1 = e−3x u2 = e2x

como ex cos (4x) /∈ gen(e−3x, e2x

), entonces la solucion particular de la

no-homogenea es:

yp = Aex cos (4x) +Bex sin (4x)

y′p = [(B − 4A) sin (4x) + (4B +A) cos (4x)] ex

y′′p = [(8B − 15A) cos (4x)− (15B − 8A) sin (4x)] ex

luego reemplazando en la ecuacion y′′ + y′ + 6y = 2ex cos (4x) se obtiene:

(12B − 20A) cos (4x) + (−20B − 12A) sin (4x) = 2 cos (4x)

es decir.

12B − 20A = 2 −20B − 12A = 0

solucionando este sistema de ecuaciones resulta

A = − 5

68B =

3

68

de esta forma:

yp =

[

− 5

68cos (4x) +

3

68sin (4x)

]

ex

y la solucion general yg es:

yg = c1e−3x + c2e

2x −[5

68cos (4x)− 3

68sin (4x)

]

ex

Ahora, si la funcion f (x) de la ecuacion diferencial:

y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = f (x) (3.9)

pertenece toda al generado por las soluciones particulares u1, u2, . . . , un de

la ecuacion homogenea y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = 0, es decir

f (x) ∈ gen (u1, u2, . . . , un)


entonces la solucion particular de la no-homogenea es: y1 = xf (x). Ahora,

si esta funcion y1 ∈ gen (y1, y2, . . . , yn) entonces la solucion particular

y2 = x2f (x) es la solucion particular de (3.9) y se continua de esta forma

hasta que xnf (x) /∈ gen (u1, u2, . . . , un), para algun n > 0. Ahora, si

parte de f(x) pertenece al generado por u1, u2, . . . , un, entonces dicha

parte se multiplica por xn para algun n > 0 hasta que la nueva parte no

pertenezca al generado por u1, u2, . . . , un.

Ejemplo 3.59. Encontrar la solucion general de:

y′′ − y′ − 6y = 2e3x

las soluciones particulares de la ecuacion homogenea asociada son:

u1 = e3x u2 = e−2x

como 2e3x ∈ gen(e3x, e−2x

), entonces la solucion particular es:

yp = Axe3x

entonces:

y′p = Ae3x + 3Axe3x = (A+ 3Ax)e3x

y′′p = 3Ae2x + 3(A+ 3Ax)e3x

y′′p = (6A+ 9Ax) e2x

en consecuencia:

(6A+ 9Ax) e2x − (A+ 3Ax) e2x − 6Axe3x = 2e3x

5Ae3x = 2e3x A =2

5

de esta forma: yp = 25xe

3x es la solucion particular de la ecuacion no-

homogenea y′′ − y′ − 6y = 2e3x y en consecuencia la solucion general yg

es:

yg = c1e3x + c2e

−2x +2

5xe3x


Ejemplo 3.60. encontrar la solucion general de:

y(5) + 9y(3) = x2

las soluciones particulares de la ecuacion homogenea son:

u1 = 1, u2 = x, u3 = x2, u4 = cos (3x) , u5 = sin (3x)

la posible solucion particular de la no-homogenea es:

y = a2x2 + a1x+ a0

como a2x2 + a1x + a0 ∈ gen (y1, y2, y3, y4, y5) , entonces la solucion

particular es:

yp = a2x5 + a1x

4 + a0x3 /∈ gen (y1, y2, y3, y4, y5) , luego

y′p = 5a2x4 + 4a1x

3 + 3a0x2

y′′p = 20a2x3 + 12a1x

2 + 6a0x

y′′′p = 60a2x2 + 24a1x+ 6a0

y(4)p = 120a2x+ 24a1

y(5)p = 120a2

120a2 + 540a2x2 + 216a1x+ 54a0 = x2

540a2x2 + 216a1x+ (120a2 + 54a0) = x2

a2 =1

540a1 = 0 a0 = −

1

243

luego la solucion particular de la no-homogenea es:

yp = − 1

243x3 +

1

540x5

y la solucion general de la ecuacion es:

yg = c1 + c2x+ c3x2 + c4 cos (3x) + c5 sin (3x)−

1

243x3 +

1

540x5


Ejemplo 3.61. Encuentre la solucion general de:

y′′′ − 3y′ + 2y = 3xex


u1 = ex u2 = xex u3 = e−2x

3xex ∈ gen(ex, xex, e−2x

)

entonces la solucion particular de la no-homogenea es:

yp =[a0x

2 + a1x3]ex

y′p =[2a0x+ (3a1 + a0)x

2 + a1x3]ex

y′′p =[2a0 + (6a1 + 4a0)x+ (6a1 + a0)x

2 + a1x3]ex

y′′′p =[(6a1 + 6a0) + (18a1 + 6a0)x+ (9a1 + a0)x

2 + a1x3]ex

luego al reemplazar estas expresiones en la ecuacion dada se obtiene:

[(6a0 + 6a1) + 18a1x] ex = 3xex

es decir:

18a1 = 3 6a0 + 6a1 = 0

a1 =1

6a0 = −

1

6

luego la solucion particular es:

yp =

(

−1

6x2 +

1

6x3)

ex

y la solucion general de la ecuacion dada es:

yg = c1ex + c2xe

x + c3e−2x +

(1

6x3 − 1

6x2)

ex


Ejercicios 3.62. Use el metodo de los coeficientes indeterminados para cal-

cular la solucion general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas.

1. y′′ − y′ − 20y = 2 + 3x2

2. y′′ + 2y′ − 15y = xe2x

3. y′′ − 3y′ − 10y = 3 cos (2x)

4. y′′ − 4y′ + 3y = 3xe−x

5. y′′′ + 2y′′ − y′ − 2y = 3ex

6. y′′′ − 5y′′ + 8y′ − 4y = (3 + 2x) e2x

7. y′′′ − y′′ + 9y′ − 9y = 5 cos (3x)

8. y(IV ) − y′′ = (1 + 2x) ex

9. y(IV ) − y′′ = 3 + 5x

10. y(IV ) + 3y′′ − 4y = cos (2x)

2) Metodo de variacion de parametros

Si u1(x) y u2(x) son dos soluciones linealmente independientes de la

ecuacion homogenea se puede probar que existe una solucion particular yp

de la ecuacion no-homogenea y es de la forma:

yp = u1(x) v1(x) + u2(x) v2(x)

donde v1(x) y v2(x) son funciones por determinar, definidas y continuas

en un intervalo I. Supongamos que:

yp = u1(x) v1(x) + u2(x) v2(x)

es solucion de (3.8), entonces:

y′p = u′1(x) v1(x) + u1(x) v′1(x) + u′2(x) v2(x) + u2(x) v

′2(x)

Si exigimos que u1(x)v′1(x) + u2(x)v

′2(x) = 0, entonces

y′′p = u′′1(x) v1(x) + u′1(x) v′1(x) + u′′2(x) v2(x) + u′2(x) v

′2(x)


que se puede escribir:

y′′p = u′′1 v1 + u′1 v′1 + u′′2 v2 + u′2 v

′2, luego

u′′1v1 + u′1v′1 + u′′2v2 + u′2v

′2 + b(u′1v1 + u′2v2) + c(u1v1 + u2v2)

= u′′1v1 + bu′1v1 + cu1v1 + u′′2v2 + bu′2v2 + cu2v2 + u′1v′1 + u′2v

′2

= u′1v′1 + u′2v

′2, luego si hacemos que

u′1v′1 + u′2v

′2 = f(x),

entonces yp es efectivamente solucion de (3.8) de la pagina 89.

De las condiciones

u1v′1 + u2v

′2 = 0

u′1v′1 + u′2v

′2 = f(x)

que exigimos y usando la regla de crammer se encuentra que

v′1 =

∣∣∣∣∣

0 u2

f(x) u′2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

u1 u2

u′1 u′2

∣∣∣∣∣

=−u2f(x)

u1u′2 − u2u′1

entonces,

v1 =

∫ −u2f(x)u1u′2 − u2u′1

dx,

y en forma similar se concluye que

v2 =

∫u1f(x)

u1u′2 − u2u′1dx


Ejemplo 3.63. Resolver las ecuaciones diferenciales usando variacion de

parametros.

1) y′′ − 4y = e2x

Las soluciones de la ecuacion homogenea son u1(x) = e2x y u2(x) = e−2x,

luego la solucion homogenea es:

yh = c1e2x + c2e

−2x, y una solucion particular de la no homogenea es

yp = v1e2x + v2e

−2x, donde

v1 = −∫

e−2xe2x

−4 dx =

∫1

4dx =

1

4x, Ahora

v2 =

∫e2xe2x

−4 dx = −1

4

∫

e4xdx = − 1

16e4x, es decir

yp =1

4xe2x − 1

16e4xe−2x =

1

4xe2x − 1

16e2x, y se concluye que

yg = c1e2x + c2e

−2x +1

4xe2x − 1

16e2x

es la solucion general de la ecuacion diferencial dada.

2) y′′ − 3y′ + 2y =ex

ex + 1

Las soluciones de la homogenea son: u1 = ex y u2 = e2x, luego la

solucion general esta dada por: yh = c1ex + c2e

2x.

Una solucion particular de la no homogenea es:

yp = v1ex + v2e

2x, donde

v1 = −∫

e2x( ex

1+ex )

e3xdx = −

∫dx

1 + ex

v1 = ln(1 + e−x), ahora

v2 =

∫ex( ex

1+ex )

e3xdx =

∫e−x

1 + exdx = −e−x + ln(1 + e−x)


luego la solucion particular es:

yp = ex ln(1 + e−x) + e2x[−e−x + ln(1 + e−x)]

= ex ln(1 + e−x)− ex + e2x ln(1 + e−x)

y la solucion general es

yg = c1ex + c2e

2x + ex ln(1 + e−x) + e2x ln(1 + e−x)

Ejercicios 3.64. Use el metodo de variacion de parametros para solucionar

cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1) y′′ − 9y = x 2) y′′ − 2y′ + y = x2 + x

3) y′′ − y′ − 2y = 2 sinx 4) y′′ + 4y = 2 cos 2x

5) y′′ + 9y = sin 3x 6) y′′ − 3y′ + 2y = 5x+ 2

7) y′′ + y = cscx cotx 8) y′′ + y = cotx

9) y′′ − 5y′ + 6y = 2ex 10) y′′ + 4y = sin3 x

Solucione las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a las condiciones ini-

ciales propuestas:

11) y′′ − 5y′ + 6y = 2ex; y(0) = 1, y′(0) = 0

12) y′′ − 4y = 4 sinx; y(0) = 4, y′(0) = 0

13) y′′ + 5y′ − 6y = 10e2x; y(0) = 1, y′(0) = 1

14) y′′ + y = 8 cos 2x− 4 sinx; y(π

2) = −1, y′(

π

2) = 0

15) y′′ − 4y′ + 8y = x3; y(0) = 2, y′(0) = 4

16) y′′ − 64y = 16; y(0) = 1, y′(0) = 0

17) y′′ − y = xex; y(0) = 1, y′(0) = 0

18) y′′ + 2y′ − 8y = 2e−2x − e−x; y(0) = 1, y′(0) = 0

Solucione cada una de las ecuaciones diferenciales:

19) y′′ + y = secx 20) y′′ − 9y = 9xe−3x

21) y′′ − 2y′ + 2y = ex secx 22) y′′ + 2y′ + y = e−x lnx

23) y′′ + 3y′ + 2y = ex sinx 24) y′′ − 2y′ + y = ex arctanx


3.9.2. Ecuaciones diferenciales homogeneas de orden

superior

En general para resolver una ecuacion diferencial de orden n con coeficientes

constantes de la forma

any(n) + an−1y

(n−1) + . . .+ a2y′′ + a1y

′ + a0y = 0 (3.10)

donde an, an−1, . . . , a2, a1 y a0 son constantes.

Podemos suponer como en (3.4) que la funcion u(x) = erx es solucion de

(3.10), entonces, resulta

emx[anrm + an−1r

m−1 + . . .+ a2r2 + a1r + a0] = 0, luego

anrm + an−1r

m−1 + . . .+ a2r2 + a1r + a0 = 0 (3.11)

es decir u(x) = erx es solucion de (3.10), si r es solucion de (3.11). Ahora:

I) si todas las raıces son reales y distintas, la solucion general de (3.10) es

yh = c1er1x + c2e

r2x + . . . + cnernx

II) si las raıces de (3.11) son reales y algunas iguales, digamos que r1 es de

multiplicidad k entonces las funciones

u1(x) = er1x, u2(x) = xer1x, u3(x) = x2er1x, . . . , uk(x) = xk−1er1x

son soluciones de (3.10). Ademas ellas son linealmente independientes, luego

se puede construir la solucion general de (3.10) imitando el proceso de la

solucion (3.4), lo que resulta

yh = c1er1x + c2xe

r1x + . . .+ ckxk−1er1x + ck+1e

r2x + . . .+ cnerix

III) Si las raıces de (3.11) son algunas complejas y de multiplicidad uno

digamos

r1 = α1 + β1i , r2 = α2 + β2i , . . . , rs = αs + βs i

entonces la solucion general de la homogenea (3.10) es

yh = c1eα1x cosβ1x+c2e

α1x sinβ1x+c3eα2x cosβ2x+c4e

α2x sinβ2x+ . . .+


c2s−1eαsx cosβsx+ c2se

αsx sinβsx+ c2s+1eαs+1x + . . .+ cne

αnx

IV) Si alguna raız es compleja y de multiplicidad k, la solucion general de

(3.10) es

yh = c1eα1x cosβ1x+ c2e

α1x sinβ1x+

c3xeα1x cosβ1x+ c4xe

α1x sinβ1x+ . . .+ c2k−1xk−1eα1x cosβ1x+

c2kxk−1eα1x sinβ1x+ c2k+1e

rk+1x + . . .+ cnerjx

Es posible que la ecuacion (3.11) tenga raıces algunas de ellas repetidas,

ası como algunas complejas repetidas, en este caso combinamos los casos III

y IV.

Ejemplo 3.65. Solucione cada una de las ecuaciones homogeneas siguien-

tes:

I) y(4) + 3y′′′ − 4y′′ = 0.

La ecuacion auxiliar es: m4 + 3m3 − 4m2 = 0, factorizando resulta

m2[m2 + 3m− 4] = m2(m+ 4)(m− 1) = 0.

Las raıces son: r1 = r2 = 0, r3 = −4, r4 = 1

luego la solucion general es: yh = c1 + c2x+ c3e−4x + c4e

x

II) y(4) − y = 0

La ecuacion auxiliar es: m4 − 1 = 0 luego

(m2 − 1)(m2 + 1) = 0, por tanto sus raıces son

r1 = 1, r2 = −1, r3 = i, r4 = −io sea, que la solucion general es:

yh = c1ex + c2e

−x + c3 cosx+ c4 sinx

III) y(5) − 4y(4) + 5y′′′ + 14y′′ − 32y′ + 16y = 0.


La ecuacion auxiliar es:

m5 − 4m4 + 5m3 + 14m2 − 32m+ 16 = 0

usando el teorema de las raıces racionales y la division sintetica

r1 = r2 = 1, r3 = −2, r4 = 2 + 2i, r5 = 2− 2i

son las soluciones de la ecuacion auxiliar,

por lo tanto la solucion general de la ecuacion homogenea dada es

yh = c1ex + c2xe

x + c3e−2x + c4e

2x cos 2x+ c5e2x sin 2x

Ejercicios 3.66. Encuentre la solucion general de cada una de las ecua-

ciones homogeneas dadas

1) 4y(4) + 3y′′ − 4y = 0 2) y(4) − y′′′ − 7y′′ + y′ + 6y = 0

3) 4y(4) − y′′′ − 20y′′ = 0 4) y(4) + y′′′ + y′′ = 0

5) y(4) − 7y′′ − 18y = 0 6) y(5) − 2y(4) + 17y′′′ = 0

7) y′′′ + 5y′′ = 0 8) y′′′ − 6y′′ + 12y′ − 8y = 0

9) y(5) + 5y(4) − 2y′′′ − 10y′′ + y′ + 5y = 0

10) 2y(5) − 7y(4) + 12y′′′ + 8y′′ = 0

3.9.3. Ecuaciones diferenciales no-homogeneas de orden

superior

Una ecuacion diferencial no homogenea de orden superior es o se puede

escribir en la forma

y(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y

′ + a0y = f(x) (3.12)

donde an−1, an−2, . . . , a1, a0 son constantes y f(x) es una funcion

definida y continua en algun intervalo I . La ecuacion homogenea es

y(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y

′ + a0y = 0

y la solucion general de la homogenea es:

yh = c1u1(x) + c2u2(x) + . . . + c1un(x)


Una solucion particular de (3.12) es de la forma

yp = v1(x)u1(x) + v2(x)u2(x) + . . . + vn(x)un(x)

donde las funciones vi(x) estan por determinar. Usando el metodo visto

para solucionar (3.8) se encuentran las siguientes condiciones:

u1 v′1 + u2 v

′2 + . . . . . .+ un v

′n = 0

u′1 v′1 + u′2 v

′2 + . . . . . .+ u′n v

′n = 0

u′′1 v′1 + u′′2 v

′2 + . . . . . .+ u′′n v

′n = 0

...

u(n−1)1 v′1 + u

(n−1)2 v′2 + . . .+ u(n−1)

n v′n = f(x)

(3.13)

Usando la regla de crammer para solucionar este sistema de n ecuaciones

con n-incognitas se obtiene:

v′1 =W1(x)W (x) , v′2 =

W2(x)W (x) , . . . , v′n = Wn(x)

W (x)

donde,

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u1 u2 . . . un

u′1 u′2 . . . u′n

......

u(n−1)1 u

(n−1)2 u

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Wi(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u1 u2 . . . 0 . . . un

u′1 u′2 0 u′n

...

u(n−1)1 u

(n−1)2 . . . f(x)

︸︷︷︸

columna i

u(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


W (x): wronskiano

luego

v1 =

∫W1(x)

W (x)dx, v2 =

∫W2(x)

W (x)dx, . . . , vn =

∫Wn(x)

W (x)dx

Ahora, la solucion general de (3.12) es como la solucion general de (3.8), es

decir:

yg = yh + yp

Ejemplo 3.67. Encuentre la solucion general de cada una de las siguientes

ecuaciones:

1) y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = e3x

La ecuacion homogenea asociada es

y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 0

y la ecuacion auxiliar asociada es

m3 − 2m2 −m+ 2 = 0

Las soluciones son: r1 = 1, r2 = −1, r3 = 2

luego la solucion de la ecuacion homogenea es

yh = c1ex + c2e

−x + c3e2x

Ahora,

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ex e−x e2x

ex −e−x 2e2x

ex e−x 4e2x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −6e2x


W1(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 e−x e2x

0 −e−x 2e2x

e3x e−x 4e2x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= e3x(3ex) = 3e4x

W2(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ex 0 e2x

ex 0 2e2x

ex e3x 4e2x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −e3x(e3x) = −e6x

W3(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ex e−x 0

ex −e−x 0

ex e−x e3x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= e3x(−2) = −2e3x

luego,

v′1(x) =3e4x

−6e2x = −1

2e2x v1(x) = −

∫1

2e2xdx = −1

4e2x

v′2(x) =−e6x−6e2x =

1

6e4x es decir v2(x) =

∫1

6e4xdx =

1

24e4x

v′3(x) =−2e3x−6e2x =

1

3ex v3(x) =

∫1

3exdx =

1

3ex

y,

yp = −14e

2xex + 124e

4xe−x + 13e

xe2x

yp = −14e

3x + 124e

3x + 13e

3x

yp = (−6+1+8)24 e3x = 3

24e3x = 1

8e3x

y ası

yg = c1ex + c2e

−x + c3e2x + 1

8e3x


Ejemplo 3.68. Resolver la siguiente ecuacion diferencial

16y(4) − y = ex/2

la que se puede escribir de la siguiente forma

y(4) − 116y = ex/2

16

la ecuacion homogenea es:

y(4) − 116y = 0

su ecuacion auxiliar:

m(4) − 116 = 0, esto es (m2)2 − (14)

2 = 0

entonces

(m2 − 14)(m

2 + 14) = 0, cuyas soluciones son

r1 =12 , r2 = −1

2 , r3 =12 i, r4 = −1

2 i

con estas raıces escribimos las siguientes soluciones:

u1(x) = e12x, u2(x) = e−

12x

u3(x) = cos 12x, u4(x) = sin 1

2x

luego la solucion homogenea es:

yh = c1e12x + c2e

− 12x + c3 cos

12x+ c4 sin

12x

Ahora, la solucion particular se encuentra usando el metodo descrito en

(3.13)

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e12x e−

12x cos 1

2x sin 12x

12e

12x − 1

2e−12x − 1

2 sin 12x 1

2 cos 12x

14e

12x 1

4e−12x − 1

4 cos 12x − 1

4 sin 12x

18e

12x − 1

8e−12x 1

8 sin 12x − 1

8 cos 12x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −1

8


W (x) = −18

W1(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 e−12x cos 1

2x sin 12x

0 − 12e−

12x − 1

2 sin 12x 1

2 cos 12x

0 14e−

12x − 1

4 cos 12x − 1

4 sin 12x

116e

12x − 1

8e−12x 1

8 sin 12x − 1

8 cos 12x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= − 1

64

W2(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e12x 0 cos 1

2x sin 12x

12e

12x 0 − 1

2 sin 12x 1

2 cos 12x

14e

12x 0 − 1

4 cos 12x − 1

4 sin 12x

18e

12x 1

16e12x 1

8 sin 12x − 1

8 cos 12x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=ex

64

W3(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e12x e−

12x 0 sin 1

2x

12e

12x − 1

2e−12x 0 1

2 cos 12x

14e

12x 1

4e−12x 0 − 1

4 sin 12x

18e

12x − 1

8e−12x 1

16e12x − 1

8 cos 12x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=


W3(x) = −e0,5x cos 0,5x

32

W4(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e12x e−

12x cos 1

2x 0

12e

12x − 1

2e−12x − 1

2 sin 12x 0

14e

12x 1

4e−12x − 1

4 cos 12x 0

18e

12x − 1

8e−12x 1

8 sin 12x 1

16e12x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

W4(x) =e0,5x cos 0,5x

32

Entonces

v1 =∫

18dx = 1

8x, v2 = −∫

ex

8 dx = −18e

x

v3 =∫ e

12x sin 1

2x

4 dx = ex2

[cos x

2−sin x

2

4

]

v4 = −∫ e

12x cos 1

2x

4 dx = −ex2

[cos x

2+sin x

2

4

]

luego

yp = 18xe

x/2 + 18e

xe−x/2 + ex2

[cos x

2−sin x

2

4

]

cos x2

−ex2

[cos x

2+sin x

2

4

]

sin x2

yp = ex/2[x8 + 18 ] =

x8e

x/2 + 18e

x/2

y por tanto la solucion general es:

yg = c1ex/2 + c2e

−x/2 + c3 cosx2 + c4 sin

x2 + 1

8xex/2

Nota: En el calculo de las funciones vi, no se escribio la constante de inte-

gracion, pues cuando se calcula la solucion particular va a quedar el resultado

que ya se obtuvo mas unos multiplos de las soluciones ui, y al escribir la

respuesta final se pueden incluir dentro de la solucion de la homogenea.


Ejercicios 3.69. Encuentre la solucion de cada una de las siguientes ecua-

ciones diferenciales no-homogeneas

1) 2y′′′ − 6y′′ = x2

2) y′′′ − 5y′′ + 6y′ − 2y = 2 sinx+ 8

3) y′′′ − y′′ + y′ − y = xex − e−x + 7

4) y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = ex − x+ 16

5) y(4) − 4y′′ = 5x2 − e2x

6) y(4) − 5y′′ + 42y = 2 coshx− 6

3.10. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

de segundo orden

3.10.1. Circuitos electricos

Consideremos un circuito L-R-C con una resistencia (R ohms), un inductor

(L Henrys) y un condensador (C Faradios) en serie con una fuerza electro-

motriz que proporciona E(t) voltios. La ley de Kirchhoff dice que la carga

Q del condensador, medida en coulombs, satisface la ecuacion

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

1

CQ = E(t) (3.14)

La corriente i =dQ

dt, medida en amperes, satisface la ecuacion que se

obtiene al derivar (3.14) con respecto a t, es decir

Ld3Q

dt3+R

d2Q

dt2+

1

C

dQ

dt= E′(t)

Ld2i

dt2+R

di

dt+

1

Ci = E′(t) (3.15)

Ejemplo 3.70. Encuentre la carga Q y la corriente i como funciones del

tiempo en un circuito L-R-C si R = 16Ω, L = 0,02H, C = 2 × 10−4F y

E(t) = 12v, suponga que Q = 0 e i = 0 cuando t = 0.

3.10. APLICACIONES DE LAS ECUACIONESDIFERENCIALES 111

De la ecuacion (3.14) se tiene que

d2Q

dt2+ 800

dQ

dt+ 250000Q = 600

cuya ecuacion auxiliar es:

m2 + 800m+ 250000 = 0

entonces,

m =−800+−

√640,000− 1′000,000

2

y se obtiene:

m1 = −400 + 300 i, m2 = −400− 300 i

luego las soluciones de la ecuacion homogenea son:

u1(x) = e−400t cos 300t, u2(x) = e−400t sin 300t

y una solucion particular de la no-homogenea es:

Qp = 2,4× 10−3

luego, la solucion general esta dada por:

Q(t) = c1e−400t cos 300t+ c2e

−400t sin 300t+ 2,4× 10−3

Como Q(0) = 0, entonces Q(0) = c1 + 2,4× 10−3 = 0 es decir

c1 = −2,4× 10−3. Ademas, como Q′(0) = I(0) = 0, entonces

Q′(t) =− 400c1e−400t cos 300t− 300c1e

−400t sin 300t

− 400c2e−400t sin 300t+ 300c2e

−400t cos 300t

como Q′(0) = 0 entonces, −400c1 + 300c2 = 0

c2 =400

300c1; c2 =

4

32,4× 10−3 c2 =3,2× 10−3

es decir la solucion es


Q(t) = −2,4× 10−3e−400t cos 300t+ 3,2× 10−3e−400t sin 300t+ 2,4× 10−3

y derivando se tiene que

i(t) = 2e−400t sin 300t

Ejemplo 3.71. Encuentre la ecuacion diferencial que caracteriza la rela-

cion entre el voltaje de salida y el de entrada para el circuito de la figura

siguiente:[9]

vin L C vout

R

iR

iL iC

Figura 72.

De este diagrama se pueden obtener las siguientes ecuaciones en el tiempo

vin(t) = vR(t) + vL(t) (3.16a)

iR(t) = iL(t) + iC(t) (3.16b)

iR(t) =vin(t)− vout(t)

R(3.16c)

iC(t) = Cdvout(t)

dt(3.16d)

vL(t) = Ldi

dt(3.16e)

iL(t) =1

L

∫

vL(t)dt (3.16f)

reemplazando (3.16c), (3.16d) y (3.16f) en (3.16b), se obtiene:

vin − voutR

= Cdvoutdt

+1

L

∫

vout dt (3.16g)


Derivando y reorganizando, tenemos:

d2voutdt2

C +dvoutdt

1

R+ vout

1

L=

dvindt

1

R(3.16h)

La ecuacion (3.16h) corresponde a la ecuacion diferencial que caracteriza la

relacion entre el voltaje de entrada y el voltaje de salida.

Definicion 3.72. La funcion de transferencia H(s) de un sistema lineal

es el cociente entre la transformada de Laplace de la funcion de salida y(t)

y la transformada de Laplace de la funcion de entrada g(t), suponiendo

que todas las condiciones iniciales se anulan. Es decir, H(s) =Y (s)

G(s).

La funcion h(t) que es la transformada inversa de Laplace de la funcion

H(s), es decir, h(t) := L−1H(s) es la funcion de respuesta al impulso

para el sistema. Se le llama de esa manera pues describe la solucion al

golpear un sistema masa resorte con un martillo.

Ejemplo 3.73. Encuentre la funcion de transferencia del ejemplo (3.71) y

la ubicacion de la raıces del polinomio caracterıstico.

Partiendo de la ecuacion (3.16g) y aplicando la transformada de Laplace con

condiciones iniciales iguales a cero, tenemos:

VIN (S)− VOUT (S)

R= CSVOUT (S) +

VOUT (S)

LS

VIN (S)− VOUT (S) = RCSVOUT (S) +R

LSVOUT (S)

VIN (S) = VOUT (S)

[

RCS +R

LS+ 1

]

La funcion de transferencia obtenida es:

VOUT (S)

VIN (S)=

SL

S2RLC + SL+R

El polinomio caraterıstico de la funcion de transferencia es

S2RLC+SL+R, cuyas raıces son:

S =−L±

√L2 − 4R2LC

2RLC=−12RC

±

√(

1

4RC

)2

− 1

LC


3.10.2. Movimiento libre no amortiguado

Segunda ley de Newton

Al colocar una masa m en un resorte que esta colgado de un muelle esta

lo estira una longitud s y luego llega a una posicion de equilibrio, en la que

su peso w encuentra la estabilidad por la fuerza de restitucion k s como

se muestra en la figura siguiente

m

s

Figura 73.

Posicion de equilibriomg − ks = 0

Luego, si la masa m se desplaza una distancia x respecto de su posicion

de equilibrio la fuerza de restitucion del resorte es k(s + x). Suponiendo

que no hay fuerzas de retardo o rozamiento que actuen sobre el sistema y que

la masa se mueve libremente de otras fuerzas externas, entonces podemos,

utilizando la segunda ley de Newton establecer la siguiente ecuacion:

md2x

dt2= −k(s+ x) +mg = −kx+mg − kx = −kx, es decir

md2x

dt2= −kx (3.17)


m

m

m

m

m

m

m

m

m

Figura 74.

Cuya grafica en el plano cartesiano, tiempo vs desplazamiento es

A• •

B C•

Figura 75.

A: Posicion de equilibrio. Inicia el movimiento.

B: Posicion de equilibrio (la masa m esta de vuelta) en direccion arriba

debido a la fuerza restablecedora

C: Posicion de equilibrio ( la masa m pasa por el origen debido a la fuerza

ejercida inicialmente ). Y el movimiento continua “ indefinidamente”.


Si en la ecuacion (3.17), de la pagina 114 se divide cada termino por m se

obtiene

d2x

dt2+

k

mx = 0,

Como k y m son positivos, podemos escribir esta ultima ecuacion

d2x

dt2+ w2x = 0, donde w2 =

k

m(3.18)

Se dice que la ecuacion (3.18) describe el movimiento armonico simple m.a.s

o movimiento libre no amortiguado. Las condiciones iniciales asociadas a

la ecuacion diferencial son x(0) = x0 cantidad de desplazamiento inicial

y x′(0) = x1 la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo si x0 > 0 y

x1 < 0, la masa parte de un punto abajo de la posicion de equilibrio con

una velocidad x1 dirigida hacia arriba. Cuando x1 = 0, la masa m

parte del reposo, por ejemplo, x0 < 0, x1 = 0, la masa parte del reposo

desde un punto ubicado |x0|, unidades arriba de la posicion de equilibrio.

Se sabe que la ecuacion auxiliar m2+w2 = 0, tiene como soluciones a los

numeros complejos m1 = wi y m2 = −wi, ası la solucion general de la

ecuacion (3.18) es:

x(t) = c1 cos(wt) + c2 sin(wt)

El perıodo de las vibraciones libres que describe la funcion x(t) es 2πw y

la frecuencia w2π .

Ejemplo 3.74. Una masa que pesa 4lb. hace que un resorte estire 10 pul-

gadas. Cuando t=0, la masa se suelta desde un punto que esta a 10 pulgadas

abajo de la posicion de equilibrio con una velocidad inicial, hacia arriba, de45pies/seg. Deduzca la ecuacion del movimiento libre

Como se emplea el sistema tecnico de unidades inglesas, las medidas expre-

sadas en pulgadas se debe expresar en pies sabiendo que 12pulg= 1pie,

entonces 10pulg= 56pies. Ademas se debe convertir las unidades de peso,

que estan en libras, en unidades de masa, sabiendo que m = wg , en este

caso m = 432 = 1

8 slug. Tambien segun la ley de Hook 4 = k 56 , k =

245 lib/pie. Luego la ecuacion (3.17) se convierte en:


1

8

d2x

dt2= −24

5x, o

d2x

dt2+

192

5x = 0

Con las condiciones iniciales x(0) = −5

6y x′(0) = −4

5, entonces w2 =

192

5, o sea w =

√

192

5, de modo que la ecuacion diferencial tiene como

solucion general

x(t) = c1 cos

(√

192

5t

)

+ c2 sin

(√

192

5t

)

Como x(0) =5

6, entonces

5

6= c1. Ahora

x′(t) = −√

192

5c1 sin

(√

192

5t

)

+

√

192

5c2 cos

(√

192

5t

)

Como x′(0) = −4

5, entonces −4

5=

√

192

5c2; es decir

c2 = −4√5

5√192

= − 1√60

Luego la ecuacion del movimiento es:

x(t) =5

6cos

(√

192

5t

)

− 1√60

sin

(√

192

5t

)

(3.19)

Otra forma alternativa para x(t). Cuando c1 6= 0 y c2 6= 0 y sabiendo

que sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ podemos hacer A =√

c21 + c22 y

φ un angulo de fase definido ası:

sinφ =c1A

cosφ =c2A

tanφ =

c1c2


donde,

φ =

arctan

(c1c2

)

, si c1 > 0 y c2 > 0

arctan

(c1c2

)

+ π, si c1 > 0 y c2 < 0

arctan

(c1c2

)

+ π, si c1 < 0 y c2 < 0

arctan

(c1c2

)

+ 2π, si c1 < 0 y c2 > 0

Entonces la ecuacion

x(t) = c1 cos(wt) + c2 sin(wt)

con las anteriores consideraciones se transforma en:

x(t) = A sinφ cos(wt) +A cosφ sin(wt)

x(t) = A[sinφ cos(wt) + cosφ sin(wt)]

x(t) = A sin(wt+ φ)

En la ecuacion (3.19) tenemos A =

√(5

6

)2

+

(1√60

)2

;

A =

√

25

36+

1

60=

√

250 + 6

360=

√

256

360=

16

6√10

;

A =8

3√10

y φ = 1,7244 rad. y ası

x(t) =8

3√10

sin(wt+ 1,7244)

El modelo de movimiento libre armonico para una masa que se esta movien-

do en un resorte no es realista porque el movimiento que describe la ecuacion

(3.17) supone que no hay fuerzas externas que actuen en el sistema lo cual

es cierto solo cuando el sistema este en el vacıo perfecto.

Es por esto que el modelo (3.17) hay que refinarlo, suponiendo que las fuerzas

de amortiguamiento que actuan sobre el cuerpo son directamente propor-

cionales a la velocidad instantanea, es decir, la ecuacion (3.17) se puede


modificar escribiendola ası:

md2x

dt2= −kx− β

dx

dt(3.20)

donde β es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo

es consecuencia del hecho que la fuerza amortiguadora actua en direccion

opuesta a la del movimiento. La ecuacion (3.20) se puede escribir

md2x

dt2+ β

dx

dt+ kx = 0

dividiendo por m (m 6= 0) se obtiene

d2x

dt2+

β

m

dx

dt+

k

mx = 0 (3.21)

comok

m= w2 y si 2λ =

β

mentonces la ecuacion (3.21) se puede escribir

ası

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ w2 x = 0 (3.22)

ahora la ecuacion auxiliar de (3.22) es

m2 + 2λm+ w2 = 0

esta ultima ecuacion tiene como soluciones

m =−2λ ±

√

(2λ)2 − 4w2

2

m =−2λ ±

√4λ2 − 4w2

2

m = −λ ±√

λ2 − w2

las soluciones son m1 = −λ +√λ2 − w2 y m2 = −λ −

√λ2 − w2

luego podemos distinguir tres casos en forma analoga como en la ecuacion

(3.6).

caso I: λ2 − w2 > 0 en este caso se dice que el sistema esta sobreamor-

tiguado porque el sistema de amortiguamiento, β es grande com-

parado con la constante del resorte. La solucion correspondiente

de (3.22) es

x(t) = e−λt(

c1e√λ2−w2 t + c2e

−√λ2−w2 t

)

(3.23)


debido a que λ2 − w2 < λ2 entonces√λ2 − w2 < λ de lo que

se puede deducir que −λ +√λ2 − w2 < 0 y tambien −λ −√

λ2 − w2 < 0 de lo que podemos concluir que (3.23) es una fun-

cion decreciente como

Figura 76.

t

x(t)

o puede tener un punto mınimo y ser negativa en un intervalo de

la forma [a,∞). Su grafica puede ser:

Figura 77.

t

x(t)

caso II: λ2−w2 = 0. En este caso se dice que el sistema esta crıticamente

amortiguado puesto que cualquier disminucion pequena de la fuer-

za de amortiguamiento originarıa un movimiento oscilatorio. La

solucion general de la ecuacion (3.22) es:

x(t) = c1 em1 t + c2 t e

m1 t, es decir

x(t) = e−m1 t [c1 + c2t]

cuyas graficas pueden ser:

caso III: En este caso se dice que el sistema es subamortiguado porque el

coeficiente de amortiguamiento es pequeno en comparacion con la

constante del resorte. Desde luego que las raıces de la ecuacion

auxiliar son complejas y de hecho la solucion de (3.22) es

x(t) = e−λt[

c1 cos(√

w2 − λ2 t) + c2 sin(√

w2 − λ2 t)]


Figura 78.

t

x(t)

Figura 79.

t

x(t)

Figura 80.

t

x(t)

El movimiento es oscilatorio pero a causa del factor e−λ t, las

amplitudes de las vibraciones tienden a cero.

Ejemplo 3.75.

Consideremos un resorte al que un peso de 5 lb lo alarga en 12.pie. El peso

se sujeta al resorte y este alcanza el equilibrio, luego el peso es halado hacia

abajo 3 pulgadas desde el punto de equilibrio, entonces vuelve hacia arriba

a una velocidad de 5 pisseg . Encuentre una ecuacion que de la posicion del

peso en cada momento.

Se sabe que F = kx, entonces 5 = 12k; k = 10 lib

pie ; se sabe ademas que

m = pg , luego m = 5

32 , como:

mx′′(t) + k x(t) = 0 entonces

5

32x′′(t) + 10x(t) = 0 Multiplicando por

32

5

Se obtiene x′′(t) + 64x(t) = 0 ademas x(0) =1

4y x′(0) = −6


La ecuacion auxiliar es m2 + 64 = 0 luego

m1 = 8i, m2 = −8i es decir que la solucion es

x(t) = c1 cos(8t) + c2 sin(8t) como

x(0) =1

4,

1

4= c1

ahora x′(t) = −8c1 sin(8t) + 8c2 cos(8t)

x′(0) = 6, −6 = 8c2, c2 = −3

4

Y ası la ecuacion que da la posicion del cuerpo en cada instante es:

x(t) =1

4cos(8t)− 3

4sin(8t)

Ejemplo 3.76.

Un resorte es alargado 3 pul por un peso de 10 lb, suponga que el peso es

halado 4 pul abajo de la posicion de equilibrio. Se le imprime una velocidad

inicial de 5 pisseg . Encuentre la ecuacion que describe el movimiento en cada

instante.

F = kx; 2 =1

4k, k = 8

lb

pie

ahora mx′′(t) + λx(t) = 0, entonces

2

32x′′(t) + 8x(t) = 0

Es decir que la ecuacion diferencial del sistema es:

x′′(t) + 128x(t) = 0, x(0) =1

3, x′(0) = 5

la ecuacion auxiliar es

m2 + 128 = 0 y las soluciones de esta son

m1 = 8√2i, m2 = −8

√2i

luego la solucion general es

x(t) = c1 cos(8√2 t) + c2 sin(8

√2 t)


como x(0) =1

3, entonces c1 =

1

3, ahora

x′(t) = −c18√2 sin(8

√2 t) + c28

√2 cos(8

√2 t)

y como x′(0) = 5, entonces c2 =5

8√2

y la ecuacion que describe el movimiento es:

x(t) =1

3cos(8

√2 t) +

5

8√2sin(8

√2 t)

Ejemplo 3.77.

A cierto resorte un peso de 8 lb lo alarga 6 pul. Suponga que al resorte

se le sujeta un peso de 4lb y despues se lleva 2 pulgadas arriba de la

posicion de equilibrio, para luego soltarlo con una velocidad negativa de

15 pulseg . ¿Cuando llegara a su punto mas bajo por primera vez?

Tenemos F = kx; 8 =1

2k; luego k = 16

lb

pie

ahora mx′′(t) + k x(t) = 0 entonces

4

32x′′(t) + 16x(t) = 0 entonces

x′′(t) + 128x(t) = 0 , x(0) =1

6; x′(0) = −15pies

seg

Luego la solucion general de la ecuacion es:

x(t) = c1 cos(8√2t) + c2 sin(8

√2t)

Como x(0) = −1

6; y x′(0) = −15 Entonces

c1 = −1

6y c2 = −

15

8√2

Luego la ecuacion que da la posicion en cada instante es:

x(t) = − 1

16cos(8

√2t)− 15

8√2sin(8

√2t) (3.24)

La amplitud es

A =

√(

−1

6

)2

+

(

− 15

8√2

)2

A =

√

1

36+

225

128


A =

√

2153

1152=

46,4

33,9A = 1,3670

Esto quiere decir que el cuerpo oscila 1.3670 pies hacia arriba y 1.3670 pies

hacia abajo. La ecuacion (3.24) se puede escribir ası:

x(t) = 1,3670 sin(8√2 t+ 3,2666)

El espacio recorrido hasta llegar al punto mas bajo:

−1,3670 = 1,3670 sin(8√2 t+ 3,2666)

−1 = sin(8√2 t+ 3,2666) Entonces

8√2 t+ 3,2666 = 4,7123 es decir

8√2 t = 1,6973

t = 0,127 seg

Luego el espacio recorrido para alcanzar la posicion de equilibrio desde el

punto mas alto es 0.127 seg. Ahora, el tiempo necesario para alcanzar la

posicion mas alta desde el sitio donde fue lanzado es:

1,2003 = 1,3670 sin(8√2t+ 3,2666) es decir

t ∼= 0,10

Luego el tiempo total para alcanzar el punto mas bajo es 0.35 seg aproxi-

madamente.

Ejercicios 3.78.

1. Encuentre una solucion particular de la ecuacion diferencial ip (ip

corriente estacionaria)

Ld2i

dt2+R

di

dt+

1

Ci = E(t)∗

si L = 1H; R = 2Ω; C = 0,25F ; E(t) = 50 cos t v

2. Un circuito L-R-C en serie contiene L = 12H, R = 10Ω, C = 1

100F

y E(t) = 150 v. Determine la carga instantanea q(t) en el capaci-

tor para t > 0, si q(0) = 1 e i(0) = 0. ¿cual es la carga en el

condensador despues de un tiempo largo?


3. Encuentre la corriente i(t) para un circuito L-R-C en serie si L =

3,5H, R = 1000Ω, C = 2× 10−6 F y E(t) = 120 sin(377t)v.

4. Un resorte es alargado 8 pulgadas por un peso de 5 lb, suponga que

el peso es llevado 6 pul abajo de la posicion de equilibrio, donde se

imprime una velocidad hacia abajo de 10 pieseg .

a) Encuentre una ecuacion que describa el movimiento.

b) ¿Cual es la amplitud de dicho movimiento?

c) ¿Cual es su angulo de desfase?

5. Un resorte es alargado 1 pie por un peso de 15 lb, suponga que

el peso es llevado 6 pul abajo de la posicion de equilibrio, donde se

imprime una velocidad de 10 pieseg .

a) Encuentre una ecuacion que describa el movimiento.

b) ¿Cual es la amplitud de dicho movimiento?

6. A un resorte que es alargado 6 pulgadas por un peso de 5 lb, se le pega

una pesa de 10 lb, luego de alcanzar la posicion de equilibrio, se lleva 8

pulgadas arriba de la posicion de equilibrio donde se le imprime una

velocidad de −5 pieseg . ¿Cual es la ecuacion que describe el movimiento?

7. Resuelva el ejercicio anterior si la velocidad es de 5 pieseg .

8. Resuelva el ejercicio 3 si la pesa de 10 lb se lleva 18 pulgadas debajo de

la posicion de equilibrio, en donde se libera imprimiendo una velocidad

de −5 pieseg .

Ejemplos de movimientos amortiguados

Ejemplo 3.79.

A cierto resorte un peso de 4 lb lo alarga 0.64 pies, luego el peso es llevado13 pie por arriba de la posicion de equilibrio, luego inicia el descenso a una

velocidad de 5 pieseg . El movimiento se efectua en un medio que imprime una


fuerza de amortiguamiento de 14 de su velocidad. Encuentre la ecuacion

que describe la posicion del cuerpo en el instante t.

F = kx; 4 = 0,64 ∗ k; k =4

0,64, k = 6,25

Luego la ecuacion diferencial que describe el movimiento es:

mx′′(t) +1

4x′(t) + 6,25x(t) = 0

4

32x′′(t) +

1

4x′(t) + 6,25x(t) = 0

x′′(t) + 2x′(t) + 50x(t) = 0

la ecuacion auxiliar es

m2 + 2m+ 50 = 0 y sus raıces son

m =−2±

√4− 200

2,

m1 = −1 + 7i y m2 = −1− 7i la solucion es

x(t) = c1 e−t cos(7t) + c2 e

−t sin(7t) como

x(0) =1

3, entonces c1 = −1

3ahora

x′(t) = e−t[c1 cos(7t) + c2 sin(7t)] + e−t[−7c1 sin(7t) + c27 cos(7t)]

x′(t) = e−t[c1 cos(7t)− 7c1 sin(7t) + c2 sin(7t) + 7c2 cos(7t)]

como x′(0) = 5 Entonces 5 = c1 + 7c2; luego

c2 =5− 1/3

7=

14/3

7=

2

3,

luego la ecuacion que describe el movimiento es:

x(t) = −1

3e−t cos(7t) +

2

3e−t sin(7t)


Ejemplo 3.80.

Un resorte es alargado 4 pulgadas por un peso de 2 lb. El peso baja desde el

punto de equilibrio a una velocidad positiva de 12 pieseg . Si la resistencia del aire

opone una fuerza de magnitud 0.02 la velocidad, describa el movimiento.

F = kx; 2 =1

3k; k = 6, luego

mx(t) +2

100x(t) + 6x(t) = 0

2

32x(t) +

2

100x(t) + 6x(t) = 0

x(t) + 0,32x(t) + 96x(t) = 0

La ecuacion auxiliar es

m2 + 0,32m+ 96 = 0

Las soluciones de dicha ecuacion son:

m =−0,32±

√

(0,32)2 − 4,96

2

m1 =−0,32 + 19,59i

2y m2 =

−0,32− 19,59i

2

entonces

x(t) = c1e−0,32t cos(19,59t) + c2e

−0,32t sin(19,559t)

como

x(0) = 0 , entonces c1 = 0 y ası

x(t) = c2e−0,32t sin(19,59 t) entonces

x(t) = c2[e−0,32 t sin(19,59 t) + e−0,32t19,59 cos(19,59 t)

]

Ahora

x(0) = 12 , entonces


12 = 19,59 c2; c2 =12

19,59= 0,612

de esta forma

x(t) = 0,612e−0,32t sin(19,59 t)

Ejercicios 3.81.

1. Un resorte es alargado 0.4 pies por un peso de 4 lb. El peso se sujeta

al resorte y se permite que el sistema alcance el equilibrio, entonces

se imprime al peso una velocidad hacia arriba de 2 pieseg . Suponga que

el movimiento se efectua en un medio que se opone una fuerza de

magnitud igual a la velocidad del peso en movimiento. Determine la

posicion del peso como funcion del tiempo.

2. Resuelva el ejercicio anterior si despues de alcanzar el equilibrio el peso

se lleva 6 pulgadas arriba de este.

3. Resuelva el primer ejercicio si despues que el peso alcanza el equilibrio

se lleva a una posicion de 6 pulgadas abajo de la posicion de equilibrio

y se imprime una velocidad de 2 piesseg .

4. Un resorte es alargado 10 pulgadas por un peso de 4 lb. El peso sube

10 pulgadas abajo del punto de equilibrio a una velocidad de 8 pieseg .

Si un medio resistente opone una fuerza de retardo de magnitud 14 de

la magnitud de la velocidad, describa el movimiento.

5. Resuelva el ejercicio anterior si la fuerza de resistencia del medio es

igual a la magnitud de su velocidad.

6. Resuelva el ejercicio 4 si la fuerza de resistencia del movimiento es 2

veces la magnitud de su velocidad.

7. Un resorte es alargado 6 pulgadas por un peso de 8 lb. El peso es

llevado 8 pulgadas abajo del punto de equilibrio y de allı parte con

una velocidad inicial hacia arriba de 7 pieseg . Suponiendo que existe

una fuerza de amortiguamiento igual a tres veces la magnitud de su

velocidad, describa el movimiento.


8. Resuelva el ejercicio anterior si el cuerpo se lleva 8 pulgadas arriba del

punto de equilibrio y la velocidad que se le imprime es de 7 pieseg hacia

abajo.

9. Una masa de 1Kg esta unida a un resorte cuya constante es 16 lbpie y to-

do el sistema se sumerge en un lıquido que imparte una fuerza de amor-

tiguacion numericamente igual a 10 veces la velocidad instantanea.

Formule la ecuacion del movimiento si:

a) El contrapeso se suelta partiendo del reposo a 1 pie bajo la posi-

cion de equilibrio.

b) El contrapeso se suelta 1 pie abajo de la posicion de equilibrio

con una velocidad de 12 piesseg hacia arriba.

Sistema masa-resorte: movimiento forzado

El sistema masa resorte que se ha trabajado hasta el momento supone que

el resorte esta colgando fijo a un soporte. Ahora, si se supone que al soporte

se somete a un movimiento externo al sistema, el modelo en la ecuacion

diferencial sera

md2x

dt2+ β

dx

dt+ λx(t) = f(t)

donde f(t) representa la fuerza oscilatoria del soporte del resorte. Al dividir

la ecuacion anterior por m se obtiene

d2x

dt2+

β

m

dx

dt+

λ

mx(t) =

f(t)

m

la cual se puede escribir

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ w2 x(t) = F (t)

siendo F (t) =f(t)

m, 2λ =

β

my w2 =

λ

m


Ejemplo 3.82. Un peso de 16 lb estira 8/3 pies un resorte. Al principio

en contrapeso parte del reposo a 2 pies abajo de la posicion de equilibrio y el

movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento

numericamente igual a la mitad de la magnitud de la velocidad. Deduzca

la ecuacion del movimiento si el contrapeso esta impulsado por una fuerza

externa igual a f(t) = 10 cos(3t).

F = k x 16 = 8/3 k k = 6lb

pie

ademas x(0) = 2 y x′(0) = 0. ahora, como

mx′′(t) + β x′(t) + λx(t) = 10 cos(3t), entonces

16

32x′′(t) +

1

2x′(t) + 6x(t) = 10 cos(3t)

1

2x′′(t) +

1

2x′(t) + 6x(t) = 10 cos(3t) luego

x′′(t) + x′(t) + 12x(t) = 20 cos(3t),

Lx′′(t) + x′(t) + 12x(t) = L20 cos(3t),

Lx′′(t)+ Lx′(t)+ 12Lx(t) = 20s

s2 + 9,

s2X(s)− 2s− 0 + sX(s)− 2 + 12X(s) =20s

s2 + 9,

X(s)[s2 + s+ 12] = 2s+ 2 +20s

s2 + 9

X(s) =2(s+ 1)

s2 + s+ 12+

20s

(s2 + 9)(s2 + s+ 12)

X(s) =2s

s2 + s+ 12+

2

s2 + s+ 12+

20s

(s2 + 9)(s2 + s+ 12)

X(s) =2s

(s+ 12)

2 + 474

+2

(s+ 12)

2 + 474

+As+B

s2 + 9+

Cs+D

s2 + s+ 12

X(s) =2(s+ 1/2)

(s+ 12)

2 + 474

+1

(s+ 12)

2 + 474

+(10/3)s+ 10

s2 + 9+

(−10/3)s− 40/3

s2 + s+ 12

X(s) =2(s+ 1/2)

(s+ 12)

2 + 474

+1

(s+ 12)

2 + 474

+(10/3)s

s2 + 9+

10

s2 + 9−

(10/3)(s+ 1/2)

(s+ 12)

2 + 474

− 35/3

(s+ 12)

2 + 474


aplicando la transformada inversa se tiene

x(t) = 2 e−t/2 cos

(√47

2t

)

+2√47

e−t/2 sin

(√47

2t

)

+10

3cos(3 t)+

10

3sin(3 t)− 10

3e−t/2 cos

(√47

2

)

− 35

3

2√47

e−t/2 cos

(√47

2t

)

x(t) = −4

3e−t/2 cos

(√47

2t

)

−

64

3√47

e−t/2 sin

(√47

2t

)

+10

3(cos(3 t) + sin(3t))

Ejercicios 3.83.

1. Cuando una masa de 10 lb se cuelga a un resorte lo estira 2 pies y

llega al reposo en su posicion de equilibrio. A partir de t = 0 se apli-

ca una fuerza externa al sistema igual a f(t) = 6 sin(2t). Formule la

ecuacion del movimiento si el medio presenta una fuerza amortiguado-

ra numericamente igual a 8 veces la magnitud de su velocidad.

2. En el problema anterior, deduzca la ecuacion del movimiento si la

fuerza externa es de f(t) = e−t sin(4t).

3. Cuando una masa de 4 lb se cuelga a un resorte cuya constante es

32 lbpie llega a la posicion de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al

sistema una fuerza igual a f(t) = 68 e−2t cos(4t). Deduzca la ecuacion

del movimiento cuando no hay amortiguamiento.

4. Resuelva el problema anterior si la fuerza de amortiguamiento es nume-

ricamente igual a dos veces la magnitud de la velocidad instantanea


3.11. Ecuaciones diferenciales de orden superior

3.11.1. Con coeficientes variables

Definicion

Una ecuacion diferencial de orden superior y con coeficientes variables es de

la forma:

an(x)y(n) + an−1(x)y

(n−1) + . . .+ a1(x)y′ + a0(x)y = f(x)

donde las funciones ai(x), i = 1, 2, . . . , n y f(x) estan definidas y son

continuas en un intervalo I.

Un caso particular de dichas ecuaciones lo constituye las llamadas ecuaciones

de Cauchy-Euler aquı

an(x) = anxn, an−1(x) = an−1x

n−1, . . . , a1(x) = a1 x, a0(x) = a0

y f(x) es cualquier funcion definida y continua en un intervalo I

En principio estudiaremos la solucion de la ecuacion de segundo orden ho-

mogenea es decir la ecuacion de la forma

ax2y′′ + bxy′ + cy = 0 (3.25)

Supongamos que una solucion de la ecuacion (3.25) es de la forma y = xm

entonces y′ = mxm−1 y y′′ = m(m− 1)xm−2 entonces

ax2m(m− 1)xm−2 + bxmxm−1 + cxm = 0

am(m− 1)xm + bmxm + cxm = 0

xm[am(m− 1) + bm+ c] = 0, como xm 6= 0 entonces

am2 − am+ bm+ c = 0

am2 + (b− a)m+ c = 0

es decir que y = xm es una solucion de (3.25) si y solo si m es una raız de

la ecuacion llamada auxiliar:

am2 + (b− a)m+ c = 0 (3.26)

esta es una ecuacion cuadratica de la cual podemos esperar:

a) que tenga dos raıces reales y distintas m1 y m2 en cuyo caso la ecuacion

(3.25) tiene la solucion general:

3.11. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDENSUPERIOR 133

yh = c1xm1 + c2x

m2

b) que tenga una raız m real de multiplicidad dos (tiene raıces iguales). Se

puede probar que u1 = xm y u2 = xm lnx son dos soluciones linealmente

independientes y que por tanto la solucion general de (3.25) es:

yh = c1xm + c2x

m lnx

c) que tenga dos raıces complejas la una conjugada de la otra, digamos:

m1 = α + β i y m2 = α − β i en este caso u1 = xα cos(β lnx) y

u2 = xα sin(β lnx) son dos soluciones linealmente independientes, luego

se concluye que la solucion general es:

yh = c1xα cos(β lnx) + c2x

α sin(β lnx)

Ejemplo 3.84. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

I) x2y′′ − 2y = 0

Aquı a = 1, b = 0, c = −2 . Entonces la ecuacion auxiliar es:

m2 −m− 2 = 0, las soluciones de esta ecuacion son: m1 = 2 y m2 = −1,entonces u1 = x2 y u2 = x−1 son soluciones linealmente independientes

como puede verse facilmente, y en consecuencia la solucion general es:

yh = c1x2 + c2x

−1

II) x2y′′ + xy′ + 4y = 0

Aquı a = 1, b = 1, c = 4 . La ecuacion auxiliar es: m2 + 4 = 0 cuyas

raıces son m1 = −2i y m2 = 2i. luego u1 = cos(2 lnx) y u2 = sin(2 lnx)

son soluciones, ademas linealmente independientes (pruebese) y la solucion

general es:

yh = c1 cos(2 lnx) + c2 sin(2 lnx)


III) x2y′′ + 5xy′ + 4y = 0

Aquı a = 1, b = 5, c = 4 . La ecuacion auxiliar es: m2 + 4m + 4 = 0

cuyas raıces son m1 = −2 y m2 = −2 (repetidas). u1 = x−2 y u2 =

x−2 lnx son las soluciones de la ecuacion dada (pruebe que son linealmente

independientes) y la solucion general es:

yh = c1x−2 + c2x

−2lnx

Ejercicios 3.85.

I) Encuentre la solucion de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas

1) x2y′′ − 5y = 0 2) x2y′′ + 3xy′ + y = 0

3) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 4) 3x2y′′ + 7xy′ + 4y = 0

5) 2x2y′′ + xy′ + y = 0 6) x2y′′ − 5xy′ + 8y = 0

7) 3x2y′′ − 7xy′ − 24y = 0 8) x2y′′ + xy′ + y = 0

9) x2y′′ + 11xy′ + y = 0

II) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales sujetas a las

condiciones iniciales indicadas

1) x2y′′ + 3xy′ = 0 y(1) = 0 y′(1) = 4

2) x2y′′ − 5xy′ + 8y = 0

3) x2y′′ + xy′ + y = 0 y(1) = 1 y′(1) = 2

3.11.2. Ecuaciones de segundo orden no-homogeneas

Estas ecuaciones son de la forma

ax2y′′ + bxy′ + cy = f(x) (3.27)

donde a, b y c son constantes con a 6= 0 y f(x) es una funcion definida

y continua en un intervalo I. Entonces la solucion general como en (3.8)

sera yg = yh+ yp donde yh se calcula como en (3.25) y yp se calcula por

3.11. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDENSUPERIOR 135

variacion de parametros teniendo en cuenta que se debe escribir (3.27) de la

forma

y′′ +b

axy′ +

c

ax2y =

f(x)

ax2

Podemos escribir F (x) =f(x)

ax2y concluir que yp = u1v1 + u2v2 donde,

v1 = −∫

u2F (x)

W (u1, u2)dx, y v2 =

∫u1F (x)

W (u1, u2)dx

Ejemplo 3.86. Solucionar la ecuacion diferencial

x2y′′ + 10xy′ + 8y = x2

La ecuacion homogenea es:

x2y′′ + 10xy′ + 8y = 0

y la ecuacion auxiliar es:

m2 + 9m+ 8 = 0

cuyas soluciones son: m1 = −8 y m2 = −1, luego u1 = x−8 y u2 = x−1

son soluciones de la homogenea. Ahora F (x) = 1, W (x−8, x−1) = 7/x10

v1 = −1

7

∫

x−1x10 dx = −1

7

∫

x9dx = − 1

70x10

v2 =1

7

∫

x−8x10 dx =1

7

∫

x2dx =1

21x3 luego,

yp = − 1

70x−8x10 +

1

21x3x−1 = − 1

70x2 +

1

21x2

=−3x2 + 10x2

210=

1

30x2

y ası la solucion general es:

yg =c1x3

+c2x

+x2

30


Ejercicios 3.87. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

1) x2y′′ − 4xy′ + 6y = lnx2 2) x2y′′ − 6y = x2ex

3) x2y′′ − 4xy′ + 6y = x2 4) x2y′′ − 8xy′ − 6y = 5x4

5) x2y′′ − 3xy′ + 3y = 5x6 6) x2y′′ + 3xy′ − 15y = 7x−4

7) x2y′′ + 4xy′ + 2y = x lnx

3.12. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Otra de las utilidades de la transformada de Laplace es la solucion de sis-

temas de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales.

Desarrollaremos solamente el tema de las ecuaciones diferenciales con condi-

ciones iniciales, pues la solucion de sistemas de ecuaciones diferenciales line-

ales mas generales usa los conceptos de valores y vectores propios y es muy

probable que en Algebra Lineal no se haya alcanzado a desarrollar dichos

temas. Invitamos a nuestros lectores que esten interesados en estos temas

consultar cualquier libro de ecuaciones diferenciales de los que estan en nues-

tras referencias bibliograficas.

A continuacion desarrollaremos dos ejemplos de sistemas de ecuaciones dife-

renciales

Ejemplo 3.88. Solucionar cada uno de los siguientes sistemas de ecua-

ciones diferenciales lineales con condiciones iniciales, usando la transfor-

mada de Laplace.

1.

dx

dt= x− y; x(0) = 0 y(0) = 2

dy

dt= 2x+ y

Tomando transformada de Laplace a cada lado de las dos ecuaciones

se obtiene

3.12. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 137

Ldxdt = L x− y

Ldydt = L2x+ y

sX(s)− x(0) = X(s)− Y (s)

sY (s)− y(0) = 2X(s) + Y (s)

es decir

sX(s) = X(s)− Y (s)

sY (s)− 2 = 2X(s)− Y (s)

luego

(s− 1)X(s) + Y (s) = 0

−2X(s) + (s+ 1)Y (s) = 2

Usando el metodo de Cramer, se obtiene

X(s) =

∣∣∣∣∣

0 1

2 s+ 1

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

s− 1 1

−2 s+ 1

∣∣∣∣∣

Y (s) =

∣∣∣∣∣

s− 1 0

−2 2

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

s− 1 1

−2 s+ 1

∣∣∣∣∣

X(s) =−2

s2 + 1Y (s) =

2(s− 1)

s2 + 1

usando la transformada inversa de Laplace a cada lado se obtiene


L−1X(s) = L−1

−2s2 + 1

y

L−1Y (s) = L−1

2s− 2

s2 + 1

es decir

x(t) = −2 sin ty(t) = 2 cos t− 2 sin t

2.

d2x

dt2= −x+ y, x(0) = y(0) = 0

d2y

dt2= x− y x‘(0) = −2, y‘(0) = 1

tomando transformada de Laplace a los dos lados de cada ecuacion se ob-

tiene:

L

d2x

dt2

= L−x+ y

L

d2y

dt2

= Lx− y

Es decir

s2X(s)− sx(0)− x′(0) = −X(s) + Y (s)

s2Y (s)− sy(0)− y′(0) = X(s)− Y (s)

reemplazando valores tenemos:

s2X(s) + 2 = −X(s) + Y (s)

s2Y (s)− 1 = X(s)− Y (s)

luego,

(s2 + 1)X(s)− Y (s) = −2−X(s) + (s2 + 1)Y (s) = 1

3.12. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 139

usando la regla de Cramer se obtiene:

X(s) =

∣∣∣∣∣

−2 −11 s2 + 1

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

s2 + 1 −1−1 s2 + 1

∣∣∣∣∣

Y (s) =

∣∣∣∣∣

s2 + 1 −2−1 1

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣

s2 + 1 −1−1 s2 + 1

∣∣∣∣∣

Es decir

X(s) =−2s2 − 1

s4 + 2s2Y (s) =

s2 − 1

s4 + 2s2

X(s) =−2

s2 + 2− 1

s2(s2 + 2)

Y (s) =1

s2 + 2− 1

s2(s2 + 2)

es decir

Tomando la transformada de Laplace inversa a ambos lados se obtiene:

L−1X(s) = L−1

−2s2 + 1

− 1

s2(s2 + 2)

L−1Y (s) = L−1

1

s2 + 2− 1

s2(s2 + 2)

Es decir

x(t) = − 2√2

sin(√2 t)− 1

2t+

1

2√2

sin(√2 t)

y(t) =1√2

sin(√2 t)− 1

2t+

1

2√2

sin(√2 t)

Luego,


x(t) = − 3

2√2

sin(√2 t)− 1

2t

y(t) =3

2√2

sin(√2 t)− 1

2t. o,

x(t) = −3√2

4sin(√2 t)− 1

2t

y(t) =3√2

4sin(√2 t)− 1

2t.

Ejercicios 3.89. Use la transformada de Laplace para encontrar la solucion

de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales

1)dx

dt= x+ y, x(0) = 1; y(0) = −1

dy

dt= 2x

2)dx

dt− 1 = x+ 2y, x(0) = 0; y(0) = 0

dy

dt= −x+ y

3)dx

dy+dy

dx= x− y, x(0) = 1; y(0) = −2

dx

dy− 2

dy

dx= 2x+ y

4)d2x

dt2+d2y

dt2= t2, x(0) = 8; y(0) = 0

d2x

dt2− d2y

dt2= 4t, x′(0) = 0; y′(0) = 0

5)d2x

dt2+ 3

dy

dt+ 3y = 0, x(0) = 0; x′(0) = 2

d2x

dt2− 2y = t, y(0) = 0;

6)dx

dt− dy

dt= −x− y, x(0) = 0; y(0) = 1

3.13. SOLUCION EN SERIE DE POTENCIAS 141

dx

dt+dy

dt= −2y,

3.13. Solucion en serie de potencias

Es conocido el teorema de TAYLOR que afirma que si f es una funcion

que tiene derivada continua de todo orden en un intervalo alrededor de x0

de la forma (x0 − r, x0 + r) y supuesto que existe una constante positi-

va M (que depende de x0 ) de tal forma que |fn(x)| ≤ M para todo

x ∈ (x0 − r, x0 + r) para todo n ≥ N , entonces

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0) (x− x0)k

k!, para todo x ∈ (x0 − r, x0 + r)

dicha serie se llama la serie de TAYLOR de la funcion f alrededor del

punto x0. Ası por ejemplo la serie de TAYLOR de ex alrededor de

x0 = 0 es

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · · =

∞∑

k=0

xk

k!

La serie para sinx es

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · ·+ (−1)n x2n−1

(2n− 1)!+ · · ·

Es decir

sinx =∞∑

k=0

(−1)kx2k−1

(2k − 1)!

Estas series que en general se llaman series de potencias permiten obten-

er soluciones de algunas ecuaciones diferenciales lineales que usando otro

metodo serıa imposible de calcular.

Ejemplo 3.90. Encontrar una serie de potencias y =∞∑

n=0an x

n, que sea

solucion de la ecuacion diferencial y′′ + xy′ + y = 0


Solucion. Supongamos que y =∞∑

n=0an x

n, es solucion. Entonces,

y′ =∞∑

n=0

an nxn−1, es decir, y′ =

∞∑

n=1

nan xn−1 luego,

y′′ =∞∑

n=1

n (n− 1) an xn−2, por tanto, y′′ =

∞∑

n=2

n (n− 1) an xn−2

como

y =∞∑

n=0

an xn, es solucion de y′′ + xy′ + y = 0 se tiene

∞∑

n=2

n (n− 1) an xn−2 + x

∞∑

n=1

nan xn−1 +

∞∑

n=0

an xn = 0, por tanto

∞∑

n=2

n (n− 1) an xn−2 +

∞∑

n=1

nan xn +

∞∑

n=0

an xn = 0,

Si en la primera suma hacemos k = n− 2 se obtiene

∞∑

k=0

(k + 2) (k + 1) ak+2 xk +

∞∑

n=1

nan xn +

∞∑

n=0

an xn = 0

Escribiendo explıcitamente el primer termino de la primera suma y el pri-

mero de la tercera suma se obtiene

2a2 +∞∑

k=1

(k + 2) (k + 1) ak+2 xk +

∞∑

n=1

nan xn + a0 +

∞∑

n=1

an xn = 0

o lo que es lo mismo

2a2 +∞∑

n=1

(n+ 2) (n+ 1) an+2 xn +

∞∑

n=1

nan xn + a0 +

∞∑

n=1

an xn = 0

Es decir,

2a2 + a0 +

∞∑

n=1

[(n+ 2) (n+ 1) an+2 + nan + an] xn = 0


que podemos escribir

2a2 + a0 +

∞∑

n=1

[(n+ 2) (n+ 1) an+2 + (n+ 1) an] xn = 0

lo que significa

2a2 + a0 = 0 y (n+ 2) (n+ 1) an+2 + (n+ 1) an = 0

por tanto 2a2 = −a0 y a2 =−a02

. Tambien

(n+ 2) an+2 + an = 0, entonces an+2 =−ann+ 2

a4 = −a24

= −−a0/24

=a08. Se puede deducir que

a2n = (−1)n a02,4,6. · · · .(2n)

por otro lado

a3 =−a13

, a5 =−a35

= −−a1/35

=a13,5

, a7 = −a57

= −−a1/157

a7 = −a1

3,5,7, · · · a2n−1 = (−1)n a1

1,3,5,7. · · · .(2n− 1), n ≥ 1

luego

y =∞∑

n=0

an xn = a0 +

∞∑

n=1

an xn

es decir

y = a0 +∞∑

n=1

(−1)na0 x2n2,4,6. · · · .(2n) +

∞∑

n=1

(−1)na1 x2n−1

1,3,5,7. · · · .(2n− 1)

que podemos escribir

y = a0

[

1 +

∞∑

n=1

(−1)n x2n2,4,6. · · · .(2n)

]

+ a1

∞∑

n=1

(−1)n x2n−1

1,3,5,7. · · · .(2n− 1)

donde a0 y a1 son numeros reales arbitrarios.


Ejemplo 3.91. Encontrar la serie de potencias y =∞∑

n=0an x

n que sea

solucion de la ecuacion diferencial y′′ = xy′

Solucion. Podemos escribir la ecuacion diferencial dada ası, y′′ − xy′ = 0.

Ahora, si y =∞∑

n=0an x

n es solucion entonces

y′ =∞∑

n=0

an nxn−1 =

∞∑

n=1

nan xn−1 ahora,

y′′ =∞∑

n=1

n (n− 1) an xn−2 =

∞∑

n=2

n (n− 1) an xn−2 luego

∞∑

n=2

n (n− 1) an xn−2 − x

∞∑

n=1

nan xn−1 = 0. es decir

∞∑

n=2

n (n− 1) an xn−2 −

∞∑

n=1

nan xn = 0.

Luego si en la primera suma se hace n− 2 = k se obtiene,

∞∑

k=0

ak+2 (k + 2) (k + 1) xk −∞∑

n=1

an nxn = 0.

Separando el primer sumando de la primera suma, se obtiene

2a2+∞∑

k=1

(k + 2) (k + 1) ak+2 xk −

∞∑

n=1

an nxn = 0.

Se puede escribir,

2a2+∞∑

n=1

(n+ 2) (n+ 1) an+2 xn −

∞∑

n=1

an nxn = 0.

2a2+∞∑

n=1

[

(n+ 2) (n+ 1) an+2 − an n]

xn = 0.

es decir

a2 = 0 y (n+ 2) (n+ 1) an+2 − nan = 0.


Por lo tanto

(n+ 2) (n+ 1) an+2 = nan despejando, an+2 =n an

(n+ 1) (n+ 2)

de aquı a2n = 0, n ≥ 0 y

a3 =1

2,3a1, a5 =

3

4,5a3 =

3

2,3,4,5a1, a7 =

5

6,7a5 =

5

6,7.

3

2,3,4,5a1

=3,5

2,3,4,5,6,7a1, · · · , a2n+1 =

1,3,5,7. · · · .(2n− 1)

1,2,3,4. · · · .(2n+ 1)a1, n ≥ 1

a2n+1 =1,3,5,7. · · · .(2n− 1)

1,2,3,4. · · · .(2n+ 1)a1

es decir que la solucion es

y = a1

∞∑

n=1

1,3,5,7. · · · .(2n− 1)

1,2,3,4. · · · .(2n+ 1)x2n+1

donde a1 es cualquier numero real. Luego

y = a1

∞∑

n=1

1,3,5,7. · · · .(2n− 1)

(2n+ 1)!x2n+1

Ejemplo 3.92. Encontrar la serie de potencias y =∞∑

n=0an x

n que sea

solucion de la ecuacion diferencial (1− x)y′ − y = 0

Si y =∞∑

n=0an x

n es solucion entonces, y′ =∞∑

n=1an nx

n−1 luego,

(1− x)∞∑

n=1

an nxn−1 −

∞∑

n=0

an xn = 0, es decir

∞∑

n=1

an nxn−1 −

∞∑

n=1

an nxn −

∞∑

n=0

an xn = 0.

Si hacemos, k = n− 1 en la primera suma se obtiene,

∞∑

k=0

ak+1 (k + 1)xk −∞∑

n=1

an nxn −

∞∑

n=0

an xn = 0, es decir


a1 +∞∑

k=1

ak+1 (k + 1)xk −∞∑

n=1

an nxn − a0 −

∞∑

n=1

an xn = 0, luego

a1 − a0 +∞∑

n=1

an+1 (n+ 1)xn −∞∑

n=1

an nxn −

∞∑

n=1

an xn = 0, por tanto

a1 − a0 +∞∑

n=1

[(n+ 1)an+1 − nan − an

]xn = 0, esto es

a1 − a0 = 0 y (n+ 1)an+1 − (n+ 1)an = 0.

de aquı se tiene que,

a1 = a0 an+1 = an a2 = a1 a3 = a2

Es decir, an+1 = an, para toda n.

Luego la solucion de la ecuacion dada es y =∞∑

n=0a0 x

n = a0∞∑

n=0xn

Ejercicios 3.93. Encuentre una solucion en serie de potencias

y =∞∑

n=0an x

n para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

1) y′ = αx 2) y′′ + 4y = 0

3) y′′ + 3xy′ + 3y = 0 4) (1 + x2)y′′ + 10xy′ + 20y = 0

5) y′′ − y′ = 0 6) y′′ + x2y = 0

7) (1 + x)y′ − 2y = 0

Apendice A

Sucesiones y series

A.1. Sucesiones

Una sucesion numerica (an) es un conjunto de numeros reales dispuestos

en un orden, ası:

a0, a1, a2, . . . , an, . . .

Ejemplo A.1.

1) 1,1

2,1

3,1

4,1

5, . . . ,

1

n, . . .

2) 1, 2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . .

3) 1, −1

2,1

4, −1

8,

1

16, . . . , (−1)n 1

2n, . . .

4) 0,1

2,2

3,3

4,4

5, . . . ,

n

n + 1, . . .

El elemento an en cada caso de llama termino general de la sucesion, ası,

an =1

n, an = 2n an =

(−1)n2n

, an =n

n+ 1,

son los terminos generales de las sucesiones 1), 2), 3), y 4) respecti-

vamente.

147

148 APENDICE A. SUCESIONES Y SERIES

Si en una sucesion el termino general esn

2n, entonces los primeros 6

terminos de la sucesion son:

0,1

2,

1

2,

3

8,

1

4,

5

32.

Ahora, si el termino general an = (−1)n + 1 entonces los primeros 6

terminos de la sucesion son:

2, 0, 2, 0, 2, 0.

Ejercicios A.2. Para cada una de las sucesiones cuyos terminos generales

son los que se indican, calcular los primeros siete terminos.

1) an =3

n+ 12) an =

(−1)n+1

n+ 1

3) an =2n

n2 + 14) an =

(1

3

)n

5) an =(−1)n 3n+ 1

6) an =n+ 1

n+ 2

7) an = 2 + (−1)n 8) an =

(

1 +1

n

)n

Definicion A.3. Una sucesion (an) se dice que tiene un lımite L si la

distancia entre L y cada termino an es cada vez mas pequena a medida

que n crece. Este hecho se escribe, lımn→∞

an = L

Ejemplo A.4. Si an =n

n+ 1, entonces lım

n→∞n

n+ 1= 1

Si examinamos los terminos de la sucesion,

0,1

2,

2

3,

3

4,

4

5,

5

6,

6

7,

7

8,

8

9,

9

10, . . .

entonces, las distancias de cada termino al lımite 1, son

1,1

2,

1

3,

1

4,

1

5,

1

6,

1

7,

1

8,

1

9,

1

10, . . .

A.1. SUCESIONES 149

Como puede verse la distancia del numero 1 a cada termino de la sucesion

es cada vez mas pequena. Este hecho se puede formalizar de la siguiente

forma:

lımn→∞

an = L si y solo si dado un numero real positivo ε existe un numero

natural N de tal forma que si n ≥ N entonces |an − L| < ε.

Teoremas (sobre lımites)

I) lımn→∞

k

nα= 0 si α > 0 y k es cualquier constante.

Ejemplo A.5.

1) lımn→∞

3

n2= 0 2) lım

n→∞−5n3

= 0

3) lımn→∞

100

n3/2= 0 4) lım

n→∞100

n1/2= 0

II) lımn→∞

xn = 0 si |x| < 1.

Ejemplo A.6.

1) lımn→∞

(2

3

)n

= 0 2) lımn→∞

(2

e

)n

= 0

3) lımn→∞

(3,14

π

)n

= 0 4) lımn→∞

(9

10

)n

= 0

III) lımn→∞

n1/n = 1.

IV) lımn→∞

(

1 +a

n

)n= ea.

Ejemplo A.7.

1) lımn→∞

(

1 +2

n

)n

= e2 2) lımn→∞

(

1 +

√2

n

)n

= e√2

3) lımn→∞

(

1 +(−3)n

)n

= e−3 4) lımn→∞

(

1 +π

n

)n= eπ


Teorema: Algebra de lımites

Si lımn→∞

an = A y lımn→∞

bn = B entonces:

I) lımn→∞

(an + bn) = A+B

II) lımn→∞

(k an) = k A, k es una constante.

III) lımn→∞

(an.bn) = A.B

Si ademas de las condiciones iniciales agregamos que bn 6= 0 y que

B 6= 0 se cumple

IV) lımn→∞

anbn

=A

B

Ejemplo A.8.

1. lımn→∞

(n

n+ 1+

n

4n+ 1

)

= lımn→∞

n

n+ 1+ lım

n→∞n

4n+ 1= 1 +

1

4=

5

4

2. lımn→∞

(3n

n+ 1

)

= lımn→∞

3

(n

n+ 1

)

= 3 lımn→∞

(n

n+ 1

)

= 3. 1 = 3

3. lımn→∞

(2n

n+ 1

)

.

(n+ 2

3n

)

= lımn→∞

2n

n+ 1. lımn→∞

n+ 2

3n= 2.

1

3=

2

3.

4. lımn→∞

n

3n+ 1n+ 2

n

=

lımn→∞

n

3n+ 1

lımn→∞

n+ 2

2n

=

1

31

2

=2

3.

A.2. Series

Si tenemos una sucesion (an) de numeros reales podemos, a partir de ella,

formar una nueva sucesion de la siguiente forma: con la sucesion original

a0, a1, a2, . . . , an, . . .

formamos la sucesion

s0 = a0, s1 = a0 + a1, s2 = a0 + a1 + a2, s3 = a0 + a1 + a2 + a3, . . .

A.2. SERIES 151

y en general

sn = a0 + a1 + a2 + a3 + . . . + an

La sucesion (sn) ası obtenida se llama serie infinita o simplemente serie y

se nombra tambien usando una de las siguientes notaciones

a1 + a2 + a3 + . . .

a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .∞∑

i=1

an

Por ejemplo, la serie∞∑

k=1

k

k + 1representa la sucesion (sn) cuyo termino

general es

sn =

n∑

k=1

k

k + 1=

1

2+

2

3+

3

4+ . . . +

n

n+ 1

Si existe un numero real s tal que lımn→∞

sn = S se dice que la serie∞∑

k=1

ak

es convergente, en caso contrario se dice que la serie es divergente.

Ejemplo A.9.

si sn =n∑

k=1

1

k(k + 1), entonces lım

n→∞sn = 1 en efecto,

sn =

n∑

k=1

1

k(k + 1)=

n∑

k=1

(1

k− 1

k + 1

)

=

(

1− 1

2

)

+

(1

2− 1

3

)

+ . . . +

(1

n− 1− 1

n

)

+

(1

n− 1

n+ 1

)

luego, sn = 1− 1

n+ 1entonces,

lımn→∞

sn = lımn→∞

(

1− 1

n+ 1

)

= 1− lımn→∞

1

n+ 1= 1

Podemos escribir∞∑

k=1

1

k(k + 1)= 1


Ejemplo A.10.

si sn =n∑

k=0

1

2k= 1 +

1

2+

1

22+

1

23+ . . . +

1

2n−1+

1

2n

=2n + 2n−1 + 2n−2 + 2n−3 + . . . + 2 + 1

2n

=2n+1 − 1

2n

dividiendo cada termino por 2n+1 se obtiene

=

2n+1

2n+1− 1

2n+1

2n

2n+1

=1− 1

2n+1

1

2

, luego

lımn→∞

sn = lımn→∞

1− 1

2n+1

1

2

=1− 0

1/2

lımn→∞

sn =2, es decir

∞∑

n=0

1

2n=2

A.2.1. Propiedades de las series convergentes

1.∞∑

n=1

(an + bn) =∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn, Propiedad aditiva

2.∞∑

n=1

k an = k∞∑

n=1

an, Propiedad homogenea

A.3. Series geometricas

Una serie geometrica (sn) es de la forma sn =n∑

k=0

xk donde el termino

general xn es la potencia n-esima de un numero real fijo x. Notese que

A.3. SERIES GEOMETRICAS 153

dentro de la definicion de serie geometrica se exige que el primer termino

sea x0.

A.3.1. Convergencia de una serie geometrica

Sea (sn) la serie geometrica sn =n∑

k=0

xk, esto es

sn = 1 + x+ x2 + x3 + . . . + xn−1 + xn (A.1)

Multiplicando esta ultima ecuacion por x, obviamente x 6= 0, se tiene

x sn = x+ x2 + x3 + . . . + xn−1 + xn + xn+1 (A.2)

Restando A.2 de A.1 se obtiene

sn − x sn =[1 + x+ x2 + x3 + . . . + xn−1 + xn]

−[x+ x2 + x3 + . . . + xn−1 + xn + xn+1] = 1− xn+1

Sacando factor comun, tenemos

(1− x) sn =1− xn+1

Despejando sn, se obtiene,

sn =1− xn+1

1− x=

1

1− x− xn+1

1− x, luego

lımn→∞

sn = lımn→∞

[1

1− x− xn+1

1− x

]

=1

1− x, si y solo si |x| < 1.

Es decir, la serie geometrican∑

k=0

xk, es convergente si |x| < 1, y es diver-

gente en caso contrario, es decir si |x| ≥ 1,

∞∑

k=0

xk =1

1− x, si y solo si |x| < 1 (A.3)

Ahora , si escribimos x2, en vez de x, en A.3 se obtiene

∞∑

k=0

x2k =1

1− x2, si |x| < 1 (A.4)


Si multiplicamos a ambos lados de la igualdad por x en A.4 se obtiene

∞∑

k=0

x2k+1 =x

1− x2, si |x| < 1 (A.5)

Si en A.3 sustituimos x, por −x, se obtiene

∞∑

k=0

(−x)k =1

1 + x, si |x| < 1, es decir, (A.6)

∞∑

k=0

(−1)k(x)k =1

1 + x, si |x| < 1. (A.7)

Sustituyendo en esta ultima ecuacion A.7 x, por x2, se obtiene

∞∑

k=0

(−1)kx2k =1

1 + x2, si |x| < 1. (A.8)

Multiplicando en ambos lados de la igualdad A.8 por x, se obtiene

∞∑

k=0

(−1)kx2k+1 =x

1 + x2, si |x| < 1. (A.9)

Si reemplazamos x, por 3x, en A.8 se obtiene

∞∑

k=0

(−1)k (3x)2k =1

1 + (3x)2, es decir

∞∑

k=0

(−1)k 32k x2k =1

1 + 9x2, si |3x| < 1, luego

∞∑

k=0

(−1)k 32k x2k =1

1 + 9x2, si |x| < 1/3.. (A.10)

Todas las series anteriores se dedujeron de la serie geometrica

∞∑

k=0

xk =1

1− x, si |x| < 1,

A.3. SERIES GEOMETRICAS 155

tienen la forma∞∑

k=0

ak xk, y se llaman series de potencias. Los numeros

a0, a1, a2, . . . , an, se denominan coeficientes de la serie de potencias.

Otra forma de obtener mas series de potencias es derivando o integrando

termino a termino la ecuacion A.1. Por ejemplo, derivando obtenemos

1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + . . . + nxn−1 + . . . =1

(1− x)2, si |x| < 1,

Integrando la misma serie A.1, se obtiene

x+x2

2+x3

3+ . . . +

xn

n+ . . . = − ln(1− x), si |x| < 1,

Integrando la ecuacion A.7, se obtiene

x− x2

2+x3

3− x4

4+ . . . + (−1)k x

k+1

k + 1+ . . . = ln(1 + x), si |x| < 1,

Integrando la ecuacion A.8, se obtiene

1− x2 + x4 − x6 + . . . + (−1)k x2k + . . . =1

1 + x2, si |x| < 1,

Integrando la serie anterior, tenemos

x− x3

3+x5

5− x7

7+ . . . + (−1)k x

2k+1

2k + 1+ . . . = arctanx, si |x| < 1,


A.4. Tabla de transformadas de Laplace

f(t) Lf(t) = F (s)

11

s

t1

s2

t−1/2

√π

s

t1/2√π

2s3/2

tαΓ(α+ 1)

sα+1, α > −1

tn, n = 1, 2, 3, · · · n!

sn+1

eat1

s− a

eatf(t) F (s− a)

tnf(t), n = 1, 2, 3, · · · (−1)n dn

dsnF (s)

f(t− a)µ(t− a), a > 0 e−asF (s)

δ(t− t0) e−st0

t∫

0

f(τ) g(t− τ)dτ F (s)G(s)

fn(t), n = 1, 2, 3, · · · snF (s)− sn−1f(0)− · · · − fn−1(0)

sin ktk

s2 + k2

cos kts

s2 + k2

sinh ktk

s2 − k2

cosh kts

s2 − k2

tn eat, n = 1, 2, 3, · · · n!

(s− a)n+1

A.5. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 157

A.5. Identidades trigonometricas

1. sin2A+ cos2A = 1

2. 1 + tan2A = sec2A

3. 1 + cot2A = csc2A

4. sin(A+B) = sinA cosB + sinB cosA

5. cos(A+B) = cosA cosB − sinA sinB

6. sin(A−B) = sinA cosB − sinB cosA

7. cos(A−B) = cosA cosB + sinA sinB

8. sin 2A = 2 sinA cosA

9. cos 2A = cos2A− sin2A = 1− 2 sin2A = 2 cos2A− 1

10. sin2A =1− cos 2A

2

11. cos2A =1 + cos 2A

2

12. tan(A+B) =tanA+ tanB

1− tanA tanB

13. tan(A−B) =tanA− tanB

1 + tanA tanB

14. tan(2A) =2 tanA

1− tan2A

15. 2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A−B)

16. 2 cosA sinB = sin(A+B)− sin(A−B)

17. 2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A−B)

18. 2 sinA sinB = cos(A−B)− cos(A+B)

19. sin(−A) = − sinA

20. cos(−A) = cosA

21. tan(−A) = − tan(A)

Respuesta a ejercicios

Ejercicios 2.6, pagina 20

1. F (s) =s

s2 + k23. F (s) =

1

s− a5. F (s) =

6

s4


1. F (s) =2

s(s2 + 4)3. F (s) =

2(s2 − 5)

(s2 + 25)(s2 + 1)

7. F (s) =−2(4s3 − 6s2 + 6s− 3)

s4


1. F (s) =e5

s− 13. F (s) =

2

(s− 3)35. F (s) =

2s(s2 − 27)

(s2 + 9)3

Segunda parte

1. F (s) =4− 10s

s23. F (s) =

2(3 + 6s+ 6s2 + 4s3)

s4

5. F (s) =6(s3 + 2s2 + 18)

s3(s2 + 9)

Tercera parte

1. f(t) = t3 3. f(t) = 3 + 2t− t5

24

5. f(t) = 4 cos 3t 7. f(t) = 3 cos 4t+ 0,5 sin 4t

9. f(t) =et(3e−4t + 1)

4

159



1. f(t) = 0,5 (1− cos 2t+ sin 2t)

3. f(t) = 3 e−3t cos 4t− 7/4 e−3t sin 4t

5. f(t) = et cos 2t− 1,5 et sin 2t

Segunda parte

1. f(t) = −2 + 5µ(t− 3) 3. f(t) = t3 µ(t− 1)


1. F (s) =2s(s2 − 27)

(s2 + 9)33. F (s) =

(s+ 1)e−s

s2


1. y(t) =1

2e−t + 6 e−2t − 9

2e−3t 3. y(t) =

3

5e−2t +

2

5cos t+

1

5sin t


1. y(t) = sin t µ(t− 2π) + sin t

3. y(t) =1

2t+

1

4− 1

4e−2t +

1

2µ(t− 2)− 1

2e−2(t−2) µ(t− 2)

5. y(t) = (t− 1)e−(t−1) µ(t− 1) + te−t

9. f(t) = (4t2 − 7t+ 4)e−t


1. y =x4

4+ x+

11

43. y =

(2x+ 1)5

10+

59

105. y = x+ 1− ln |x+ 1|+ ln 2


1. 5y4 = 4x5 + C 3. − tan−1 y = sin−1 x+ C

5.1

y= ln |x+ 1|+ C 7. y = Cex(x− 1)

9. y3 = −3

x+ 3 ln |x|+ C

11.y3

3− y2

2+ y − ln |y + 1| = − 1

2x2+ C

A.5. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 161

13. y + 2 ln |y − 1| = x+ 5 ln |x− 3|+ C

15. ey−1 = − ln |1 + cosx|+ e−1 − ln 2


1. y(x) = c1 e0,83x + c2 e

−0,83x + c3 cos(1,2x) + c4 sin(1,2x)

2. y(x) = c1 ex + c2 e

−x + c3 e3x + c4 e

−2x

3. y(x) = c1 + c2 x+ c3 e−2,11x + c4 e

2,36x

4. y(x) = c1 + c2 x+ c3 e−0,5x cos(0,86x) + c4 e

−0,5x sin(0,86x)

5. y(x) = c1 e3x + c2 e

−3x + c3 cos(√2x) + c4 sin(

√2x)

6. y(x) = c1 + c2 x+ c3 x2 + c4 e

x cos(4x) + c5 ex sin(4x)

10. y(x) = c1 + c2 x+ c3 e−1/2x + c4 e

2x cos(2x) + c5 e2x sin(2x)


1. yg(x) = c1 + c2 x+ c3 e3x − x4

36− x3

27− x2

27

2. yg(x) = c1 ex + c2 e

0,58 x + c3 e3,41 x − 4− 0,26 cosx+ 0,19 sinx

3. yg(x) = c1 ex + c2 cosx+ c3 sinx−

1

2x ex +

1

4x2ex +

1

4e−x − 7

4. yg(x) = c1 ex + c2 x ex + c3 x

2 ex +1

6x3 ex + x− 13

5. yg(x) = c1 + c2 x+ c3 e2x + c4 e

−2x − 5

48x4 − 5

16x2 − 1

16x e2x


1. Ip(t) =150

13cos t+

100

13sin t

2. Q(t) = e−10 t (c1 cos 10t+ c2 sin 10t) +3

2


1. yH(x) = c1 x2,79 + c2 x

−1,79

2. yH(x) = c1 x−1 + c2 x

−1 lnx

3. yH(x) = c1 x−1 + c2 x

−2

4. yH(x) = e−2/3[

c1 cos(2√2 lnx

3

)

+ c2 sin(2√2 lnx

3

)]


5. yH(x) = e1/4[

c1 cos(√7 lnx

4

)

+ c2 sin(√7 lnx

4

)]


1. yp(x) =lnx

3+

5

183. yp(x) = −x2(1 + lnx)

4. yp(x) = −0,192 x4 5. yp(x) =2 x6

3

6. yp(x) = −x−4 7. yp(x) =x

6[ lnx− 5

6]

Bibliografıa

[1] Apostol, Tom M. Calculus volumen I. Reverte, 2001.

[2] Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado,

sexta edicion, Thomson Editores. Mexico, 1995.

[3] Purcell, Edwin J. y otros. Calculo, octava edicion. Pearson Educacion.

Mexico, 2001.

[4] Braun, Martin . Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Grupo Edi-

torial Iberoamerica, 1990.

[5] Ayres, Frank. Ecuaciones Diferenciales. Mcgraw-Hill, 1985.

[6] Soliman, Samir y Srinath, Mandyam. Senales y Sistemas Continuos y

discretos, segunda edicion. Prentice Hall. Madrid, 1999.

[7] Zill, Dennis G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Grupo Edi-

torial Iberoamerica. Mexico, 1997.

[8] Nagle, R. Kent y otros Ecuaciones Diferenciales. Addison Wesley. Me-

xico, 2001.

[9] Rairan Danilo Analisis de Sistemas Dinamicos y Control PID. Fondo de

Publicaciones Universidad Distrital. Bogota, 2006.

163

Indice alfabetico

coeficientes

indeterminados, 89

convolucion, 33

convolucion

de 1 y f(t), 41

criterio de comparacion

directo, 10

por paso al lımite, 10

criterios de convergencia, 10

diferencial total, 66

ecuacion autonoma, 56

ecuacion auxiliar, 86

ecuacion diferencial

lineal, 72

ecuaciones

diferenciales exactas, 66

ecuaciones diferenciales, 31, 51

de Bernoulli, 74

de orden superior, 101

de variables separables, 61

homogeneas, 63

lineales

de segundo orden, 86

no homogeneas, 89

no-homogeneas

de orden superior, 103

ordinarias, 51

sistemas de, 136

funcion

continua, 17

de orden exponencial, 17

de transferencia, 113

delta de Dirac, 41

discontinua, 17

escalon unitario µ(t) , 25

gama, 12

periodica, 47

funcion continua

parte por parte, 47

funcion impulso, 43

funciones

causales, 33

continuas, 8

integral

convergente, 2

definida, 2

divergente, 2

integrales

impropias, 1, 7, 14

integrales definidas, 1

lımites

de integracion, 3

164

INDICE ALFABETICO 165

ley de Kirchhoff, 110

movimiento

armonico simple, 116

crıticamente amortiguado, 120

libre armonico, 118

libre no amortiguado, 114

oscilatorio, 120

subamortiguado, 120

pares transformados, 17

periodo fundamental, 47

polinomio, 5

puntos atractores, 58

puntos de equilibrio, 56

puntos estacionarios, 56

puntos repulsores, 58

retrato de fase, 57

serie

convergente, 151

de potencias, 141

de Taylor, 141

divergente, 151

serie infinita, 151

series, 150

convergentes, 152

de potencias, 155

geometrica, 152, 153

solucion de equilibrio, 56

sucesion

lımite de una, 148

sucesiones, 147

termino general, 147

sucesiones y series, 147

teorema

de Taylor, 141

de traslaciones, 24

transformada, 15

transformada de Laplace, 15

de µ(t− a), 26

de la convolucion, 39

de la funcion delta, 43

de una derivada, 30

de una funcion periodica, 47

derivada de una, 29

propiedades de la, 20

transformada inversa

de Laplace, 21

traslaciones, 24

variacion

de parametros, 97, 99

introducción a las ecuaciones diferenciales

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