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10 propiedades Subespacios Generador y Base Coordenadas y cambio de base

Introduccion a los espacios vectoriales

Pablo Olaso Redondo

InformaticaUniversidad Francisco de Vitoria

November 19, 2015

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Espacios vectoriales

1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial

2 Subespacios Vectoriales

3 Conjuntos Generadores y Bases

4 Coordenadas y Cambio de Base

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Espacios Vectoriales





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DefinicionUn espacio vectorial esta compuesto por un conjunto devectores, V, un conjunto de escalares (generalmente, uncuerpo, pero nosotros vamos a considerar unicamente elcuerpo de los numeros reales, R, que todos conoceis) y dosoperaciones, (a las que llamaremos suma vectorial ymultiplicacion escalar), que cumplen las siguientespropiedades:

0Author: Pablo Olaso Redondo. Universidad Francisco de Vitoria.

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Suma. Para todos los vectores u, v y w en V:1. u + v esta en V(propiedad de cierre bajo la suma)2. u + v = v + u (propiedad conmutativa de la suma)3. u + (v + w) = (u + v) + w (propiedad asociativa de la suma)4. Existe en V un vector, 0, tal que para todo u en V, u + 0 = u(elemento neutro de la suma)5. Para todo u en V, existe un vector −u en V tal queu + (−u) = 0 (elemento inverso de la suma)

Multiplicacion escalar. Para todos los vectores u, v y w en V ypara todos los escalares c y d:6. cu esta en V (propiedad de cierre bajo la multiplicacion escalar)7. c(u + v) = cu + cv (propiedad distributiva)8. (c + d)u = cu + du (propiedad distributiva)9. c(du) = (cd)u (propiedad asociativa)10. 1u = u (elemento neutro)

0Author: Pablo Olaso Redondo. Universidad Francisco de Vitoria. 8 / 64


Suma. Para todos los vectores u, v y w en V:1. u + v esta en V(propiedad de cierre bajo la suma)2. u + v = v + u (propiedad conmutativa de la suma)3. u + (v + w) = (u + v) + w (propiedad asociativa de la suma)4. Existe en V un vector, 0, tal que para todo u en V, u + 0 = u(elemento neutro de la suma)5. Para todo u en V, existe un vector −u en V tal queu + (−u) = 0 (elemento inverso de la suma)

Multiplicacion escalar. Para todos los vectores u, v y w en V ypara todos los escalares c y d:6. cu esta en V (propiedad de cierre bajo la multiplicacion escalar)7. c(u + v) = cu + cv (propiedad distributiva)8. (c + d)u = cu + du (propiedad distributiva)9. c(du) = (cd)u (propiedad asociativa)10. 1u = u (elemento neutro)



Aplicando estas 10 propiedades de los espacios vectoriales, sepueden realizar manipulaciones algebraicas con vectores,como en Rn, casi del mismo modo en que se harıa con losnumeros reales.

EjemploSean u = (2,−1,5,0),v = (4,3,2,−2) y w = (−5,3,8,1)vectores de R4.Calcula: x = 2u− (v + 3w);x = −5(x + 2u−w).

Despeja: el vector x: 4x− 2(u + v + x)− 3w = 2.


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Aplicando estas 10 propiedades de los espacios vectoriales, sepueden realizar manipulaciones algebraicas con vectores,como en Rn, casi del mismo modo en que se harıa con losnumeros reales.

EjemploSean u = (2,−1,5,0),v = (4,3,2,−2) y w = (−5,3,8,1)vectores de R4.Calcula: x = 2u− (v + 3w);x = −5(x + 2u−w).

Despeja: el vector x: 4x− 2(u + v + x)− 3w = 2.


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Estas 10 propiedades de la suma vectorial y de lamultiplicacion escalar son compartidas por muchas estructurasmatematicas, como el espacio euclideo R3 y en general en losespacios Rn, las matrices, los polinomios y las funciones.

Por otra parte, de dichas propiedades se pueden concluir otrasmuchas propiedades, y ademas permiten, como hemos visto,una serie de operaciones algebraicas. Por todo esto, es utilabstraer dichas propiedades (que de este modo pasan adenominarse axiomas) y extraer conclusiones generalesaplicables a todos los espacios vectoriales.


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Estas 10 propiedades de la suma vectorial y de lamultiplicacion escalar son compartidas por muchas estructurasmatematicas, como el espacio euclideo R3 y en general en losespacios Rn, las matrices, los polinomios y las funciones.

Por otra parte, de dichas propiedades se pueden concluir otrasmuchas propiedades, y ademas permiten, como hemos visto,una serie de operaciones algebraicas. Por todo esto, es utilabstraer dichas propiedades (que de este modo pasan adenominarse axiomas) y extraer conclusiones generalesaplicables a todos los espacios vectoriales.


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Ejemplos de espacios vectoriales:

R2

RRn

Las matrices de 3x5 (M3,5) con la suma de matrices y lamultiplicacion por un escalar.En general, las matrices Mm,n

P2, el conjunto de polinomios de grado (menor o igual que)2 (p(x) = a2x2 + a1x + a0 con la suma y producto escalar)El espacio vectorial de las funciones continuas C(−∞,∞)


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Hemos visto que un vector puede ser un numero real, unan-upla, una matriz, un polinomio, una funcion continua, etc.¿Para que sirve esta abstraccion? Eficiencia: A partir deahora, todo lo que demostremos para un espacio vectorialabstracto, se aplica a todos los espacios vectoriales quehemos visto y a cualquier otro con el que nos encontremos.


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Si v es un vector en Rn y c un escalar, entonces se cumplenlas siguientes propiedades:

1 El identico (nulo) aditivo es unico: si u + v = v, entoncesu = 0

2 El inverso aditivo de v es unico: si v + u = 0 entoncesu = −v.

3 0v = 04 c0 = 05 si cv = 0, entonces c = 0 o v = 06 (−1)v = −v7 −(−v) = v

(Estas propiedades se deducen de las 10 anteriores quedefinen un espacio vectorial. Demuestralas tu mismo)


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Escribir un vector v como combinacion lineal de otros vectoresv1, ...,vn es encontrar unos escalares a1, ...,an tales quev = a1v1 + · · ·+ anvn

Observa: ¿se puede expresar el vector (4,5) comocombinacion lineal de (−2,1) y (4,−2)?


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Escribir un vector v como combinacion lineal de otros vectoresv1, ...,vn es encontrar unos escalares a1, ...,an tales quev = a1v1 + · · ·+ anvn

Observa: ¿se puede expresar el vector (4,5) comocombinacion lineal de (−2,1) y (4,−2)?


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¿Son los enteros, Z, un espacio vectorial?


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En muchas ocasiones los Espacios Vectoriales (EV) resultanser subespacios de otros mas grandes.

DefinicionDecimos que W es un Subespacio Vectorial (SEV) de V si esun subconjunto de V y es un EV bajo las operaciones de sumay multiplicacion escalar definidas sobre V.

En particular, observa que para que la suma y multiplicacionescalar esten bien definidas sobre W, ambas operacionesdeben ser cerradas en W.Es mas, para demostrar que un subconjunto W de V es unsubespacio vectorial, no sera necesario demostrar que secumplen las 10 propiedades que caracterizan a los EV, bastacon comprobar que las dos operaciones son cerradas.


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Es facil comprobar que entonces el elemento neutro de lasuma, 0, esta en W (recordar que 0u = 0) y que para todo u enW su inverso, −u, tambien esta en W ((−1)u = −u). Lasdemas propiedades ya sabemos que se verifican al tratarse Vde un EV.

Ojo, ademas de la cerradura de las operaciones, hay quecomprobar que W es no vacıo, ya que el conjunto vacıo no sepuede considerar un EV. Un modo de comprobarlo es ver que,por ejemplo, el neutro de la suma, 0, esta efectivamente en W.


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Es facil comprobar que entonces el elemento neutro de lasuma, 0, esta en W (recordar que 0u = 0) y que para todo u enW su inverso, −u, tambien esta en W ((−1)u = −u). Lasdemas propiedades ya sabemos que se verifican al tratarse Vde un EV.

Ojo, ademas de la cerradura de las operaciones, hay quecomprobar que W es no vacıo, ya que el conjunto vacıo no sepuede considerar un EV. Un modo de comprobarlo es ver que,por ejemplo, el neutro de la suma, 0, esta efectivamente en W.


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EjemploSea W el conjunto de puntos de la recta x + 3y = 1.W no es un SEV de R2. Para verificarlo basta comprobar queel neutro, 0 = (0,0) no esta en W.

Sin embargo, el conjunto de puntos de la recta dada por2x + 3y = 0 sı es un SEV de R2. Compruebalo tu mismo.

En general, el conjunto de soluciones de un sistema deecuaciones lineales homogeneo (y el anterior lo es, con unaunica ecuacion) con n incognitas, es un SEV de Rn. Estotambien es facil de demostrar.


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Ejemplo

W = {(x1,0)|x1 ∈ R} es un subespacio vectorial (SEV) de R2

con las operaciones estandar.

¿Es W = {(x1, x2,3x1 − x2) : x1, x2, x3 ∈ R} un SEV?

Observa que W = {0} y el propio V son subespacios de V.Estos son los subespacios mas sencillos de todo EV, y sellaman subespacios triviales.Los demas subespacios se llamaran subespacios propios.


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Ejemplo






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Ejemplo






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EjemploEl conjunto W ⊂Mn,n de las matrices simetricas es unSEV.Las matrices singulares (no invertibles) no son un SEV.Las matrices invertibles tampoco son un SEV (basta verque la matriz nula no esta en dicho conjunto)

¿Podrıas demostrar estas 3 afirmaciones previas?

Demuestra que la interseccion de 2 subespacios de V, tambienes un subespacio de V.Ojo, no olvides comprobar que la interseccion no es vacıa.

En general, los subespacios propios de R3 son las rectas yplanos que pasan por el origen de coordenadas, (0,0,0).








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DefinicionSea v un vector en V, un EV dado.Decimos que v es combinacion lineal del conjunto devectores {vi : i = 1, ...,n}, contenido en V, si v se puedeexpresar de la formav = a1v1 + · · ·+ anvn, donde ai son escalares para i = 1, ...,n.

DefinicionSea S = {v1,v2, ...,vk} un subconjunto de V.Definimos el generador de S como el conjunto de todas lasposibles combinaciones lineales de los vectores en S:< S >= {a1v1 + · · ·+ akvk : ai ∈ R, ∀i}


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DefinicionSea v un vector en V, un EV dado.Decimos que v es combinacion lineal del conjunto devectores {vi : i = 1, ...,n}, contenido en V, si v se puedeexpresar de la formav = a1v1 + · · ·+ anvn, donde ai son escalares para i = 1, ...,n.

DefinicionSea S = {v1,v2, ...,vk} un subconjunto de V.Definimos el generador de S como el conjunto de todas lasposibles combinaciones lineales de los vectores en S:< S >= {a1v1 + · · ·+ akvk : ai ∈ R, ∀i}


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DefinicionS es un conjunto generador de V si todo vector de V sepuede expresar como combinacion lineal de los vectores de S,o lo que es lo mismo si < S >= V. Decimos que V esgenerado por S o que S genera a V.

Si S no genera a V, genera un SEV de V:< S > es siempre un subespacio de V. Ademas, es el menorsubespacio que contiene a S, es decir, si W es un subespacioque contiene a S, entonces < S > esta contenido en W.

Demuestralo.


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Demuestralo.


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Demuestralo.


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Dado un conjunto de vectores S = {v1,v2, ...,vk} en V, un EV,la ecuacion:a1v1 + · · ·+ akvk = 0tiene al menos la solucion trivial a1 = a2 = ... = ak = 0

DefinicionEs posible que haya otras soluciones donde al menos algunai 6= 0En este caso se dice que S es linealmente dependiente (l.d.),mientras que cuando la unica solucion posible es la trivial(a1 = ... = ak = 0), S es linealmente independiente (l.i.)


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Dado un conjunto de vectores S = {v1,v2, ...,vk} en V, un EV,la ecuacion:a1v1 + · · ·+ akvk = 0tiene al menos la solucion trivial a1 = a2 = ... = ak = 0

DefinicionEs posible que haya otras soluciones donde al menos algunai 6= 0En este caso se dice que S es linealmente dependiente (l.d.),mientras que cuando la unica solucion posible es la trivial(a1 = ... = ak = 0), S es linealmente independiente (l.i.)


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Veamos que esta definicion de dependencia lineal tienesentido:

Si hay algun ai 6= 0, entonces podemos despejar el vectorcorrespondiente y expresarlo como combinacion lineal de losdemas, es decir, vi sera linealmente dependiente de los demasvectores:vi =

−(a1v1+···+ai−1vi−1+ai+1vi+1+···+ak vk )ai

De hecho, si uno de los vectores se puede expresar comocombinacion lineal de los demas, podemos demostrar que Ssera l.d.

Demuestralo tu mismo.0

Author: Pablo Olaso Redondo. Universidad Francisco de Vitoria.46 / 64


DefinicionUn conjunto de vectores S = {v1,v2, ...,vn} en un espaciovectorial V, es una base de V, si:

< S >= VS es l.i.

Es decir, S genera a V y ademas es maximal, es decir, nosobra ningun vector.

DefinicionSi S es una base de V, diremos que V tiene dimension n.Observa que para que el concepto este bien definido, todas lasposibles bases de V deben tener el mismo numero, n, devectores, ¿es esto cierto?


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DefinicionUn conjunto de vectores S = {v1,v2, ...,vn} en un espaciovectorial V, es una base de V, si:

< S >= VS es l.i.

Es decir, S genera a V y ademas es maximal, es decir, nosobra ningun vector.

DefinicionSi S es una base de V, diremos que V tiene dimension n.Observa que para que el concepto este bien definido, todas lasposibles bases de V deben tener el mismo numero, n, devectores, ¿es esto cierto?


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Existen EV de dimension infinita, cuyas bases tienen infinitosvectores, pero no vamos a estudiarlas en este curso (porejemplo, el EV formado por todos los polinomios)

¿Cual es la dimension de un EV que consta de un unico punto,es decir V = {0}?


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Existen EV de dimension infinita, cuyas bases tienen infinitosvectores, pero no vamos a estudiarlas en este curso (porejemplo, el EV formado por todos los polinomios)

¿Cual es la dimension de un EV que consta de un unico punto,es decir V = {0}?


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EjemploAlgunos ejemplos de bases:{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} se llama base estandar o canonicade R3

{1, x , x2, ..., xn} se llama base canonica del EV Pn, formadopor los polinomios de grado (menor o igual que) n.

Dada una base, todo vector v en V puede expresarse de unaunica forma como combinacion lineal de los vectores de S.

Demuestralo.

Ası a simple vista y sin realizar ningun calculo, responde a estapregunta:En R3, S = {(1,1,0), (0,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}, ¿puede serl.i.?






Demuestralo.









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Dada una base B = {v1, ...,vn} del EV V, todo vector v en V sepuede expresar como combinacion lineal de los vectores de B:v = a1v1 + · · ·+ anvnPues bien, esta combinacion lineal es unica, es decir, paracualesquiera ci tales que v = civ1 + · · ·+ cnvn, necesariamenteci = ai para todo i.

DefinicionEstos ai se llaman coordenadas de v con respecto a la baseB, y representamos el vector de coordenadas ası:(v)B = (a1, ...,an)

EjemploSi (v)B = (4,5) son las coordenadas de v respecto a la base{(1,−1), (1,1)}, sus coordenadas en la base canonica seran:v = 4(1,−1) + 5(1,1) = (9,1)



¿Como obtener las coordenadas de un vector en una basedada si tenemos sus coordenadas en la base canonica?Sea v = (1,2,3) en R3, ¿cuales son sus cordenadas en labase B = {(1,0,−5), (0,−1,2), (3,2,2)}?

En general este problema lo vamos a resolver mediante lallamada matriz de transicion P de la base B’ a la base B, quecumple:[v ]B = P[v ]B′ .Esta matriz es invertible y su inversa, P−1, es la matriz detransicion de la base B a B’.

Un modo sencillo de encontrar esta matriz es el siguiente:Primero construimos dos matrices, B’ y B, cuyas columnas secorresponden con los vectores de las bases B’ y B,respectivamente, y luego aplicamos la eliminacion deGauss-Jordan a la matriz [B

′ |B] hasta obtener la matriz [I|P−1].0

Author: Pablo Olaso Redondo. Universidad Francisco de Vitoria.

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