introduccion a los vectores 01-1
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VECTORESIntroducción
Mecánica Aplicada
Prof. Oscar Tinoco Gómez
Dos tipos de magnitudes físicas importantes: escalares y vectoriales
Magnitud escalar:
aquella que queda completamente especificada mediante un número, con la unidad apropiada
• Número de papas en un saco
• Temperatura en un determinado punto del espacio
• Volumen de un objeto
• Masa y densidad de un objeto
• Estatura de un alumno
Dos tipos de magnitudes físicas importantes: escalares y vectoriales
Magnitud vectorial:
Aquella que debe ser especificada mediante su módulo, dirección y sentido
• Posición de una partícula
• Desplazamiento de un partícula
• Fuerza aplicada sobre un objeto
• Aceleración
I) Magnitudes vectoriales
Los vectoresSon entidades matemáticas con
* Magnitud: * Dirección: * Y Sentido:
q
Magnitudes Vectoriales
Posición Desplazamiento Fuerza
Campo Magnético
… etc
SIMBOLOGÍA
Vector que entra (-) Vector que sale (+)
II) Caracterización de Vectores
Los vectores deben referirse SIEMPRE a un Sistema de Coordenadas
* Sistema Estándar o “Dextrógiro”* Versores i j k
Son vectores “Base” 3D u “ortonormales” (perpendiculares y de
longitud unitaria)
Con la “combinación lineal” de estos tres vectores base se puede especificar cualquier vector
Ejemplo:
Luego:
Por lo tanto, existen dos formas de escribir el vector u:
Y también:
* Módulo y versor de un vector arbitrario
Sea
- La longitud o “módulo” de A es:
- Y el versor de A es:
Ejemplo: NOTA: el versor indica los “Cosenos Directores”:
VECTOR UNITARIO
Es un vector que se utiliza para indicar la dirección y el sentido de las cantidades vectoriales. Es un vector deslizante cuya característica principal es tener una magnitud, longitud o módulo igual a la unidad); representa con exactitud la dirección y el sentido de otro vector que actúe en la misma.
Léase : Magnitud de .
Según la terminología anterior uh versor viene a ser un vector unitario
III) Suma y Resta de Vectores
A = (Ax , Ay) = (1,3)B = (Bx , By) = (2, 1)
* VECTOR SUMA C = A + B
- Método del Paralelógramo
- Método Cartesiano
Luego:
* VECTOR RESTA: C = A - B
- Método del paralelógramo
- Método cartesiano
En este caso:
IV) Multiplicación de Vectores
* Producto Punto El resultado SIEMPRE es un ESCALAR
- Ejemplo:
NOTA:
* Producto Cruz El resultado es SIEMPRE un VECTOR
- Longitud de C:
Finalmente:
NOTAS
1) Producto cruz y rotacionesSean:A = vector que indica el punto de aplicación de una fuerza respecto del eje de giroB = Fuerza aplicada Se tendrá que AxB indica el vector “responsable”
de la rotación y se conoce como “Torque”Observemos que el vector B se puede escribir como la suma de dos vectores: uno paralelo a A y otro perpendicular a A:
Observemos que sólo “B perpendicular” contribuye a la rotación, de modo que:
2) Producto Cruz entre versoresEl sentido antihorario es positivo.Luego:
… etcEJEMPLO:
Compruebe que:
3) En general, AxB se calcula con un determinante:
FIN
1) El vector V1 que pasa por C y H tiene magnitud 700 N y el vector V2 que pasa por O y M (en donde M es punto medio de GB) tiene por norma 650 N.a) Hallar V1 + V2b) Hallar V1.V2c) Obtener V1 x V2
2) Para qué valor de m son perpendiculares los vectores que parten del origen a los puntos (3, -6, 2) y (-4, 8, m)
3) Para qué valor es de m forman un ángulo de 60° entre si los vectores que van de (2, -7, 5) a (7,1, -3) y de (8, m, -4) a (4, -2, 1)
4) Determinar el ángulo formado entre cada dos diagonales espaciales de un cubo
En el ejercicio anterior, calcular la tensión que la cuerda AB ejerce sobre B, respecto de los puntos O y C.
La componente “y” de la fuerza es de 4000 NEscribir como un vector la fuerza F
Si A = (1, 2, 0), hallar el momento de F con respecto a A Si B = (3, 0, 1), hallar el momento de con respecto a la recta AB