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Introducción al Diseño de Máquinas Eléctricas. Versión 1.1 Juan A. Tapia

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Universidad de Concepción Facultad de Ingeniería

Depto Ingeniería Eléctrica

Introducción al Diseño de Máquinas Eléctricas

Apuntes de Clases

Juan A. Tapia (Ph.D.) 2003


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Capítulo 1 INTRODUCCIÓN: CONCEPTOS GENERALES

1.1 Generalidades del Diseño de Máquinas Eléctricas. El diseño de máquinas eléctricas es ambos: un arte y una ciencia. La cantidad de factores que afectan y están envueltos en el proceso de diseño no hace posible trabajar utilizando procedimientos rígidos. Cualquier diseño debe estar sujeto a un gran número de requerimientos muchas veces contradictorios entre si, por lo que la solución normalmente no es única. Diseños para una misma especificación pueden diferir en resultados debido al diferente énfasis puesto a cada uno de los requerimientos. El diseño, por naturaleza, es un proceso iterativo. Esto es, el procedimiento de diseño debe ser repetido de manera de obtener una deseada solución. Por ejemplo, en el diseño de un motor para una potencia dada, valores iniciales estimados deben considerarse para la eficiencia. Cuando el proceso es completado, esta condición debe ser chequeada, si el valor obtenido no concuerda con el valor estimado con cierta tolerancia, los valores iniciales y/o parte del procedimiento deben ser ajustados, repitiendo el proceso. Estas iteraciones pueden involucrar la optimización de otras partes del diseño. Como el diseñador gana experiencia, se hace más sensible a este proceso, haciendo que sea más rápido, generalmente debido a que las condiciones iniciales son más razonables o ajustadas a las capacidades técnicas. La ayuda de la simulación digital mejora grandemente este proceso. Técnicas de modelación, optimización y visualización facilitan la tarea consiguiendo prototipos más cercanos a los especificados. En las ultimas décadas un sin número de avances tecnológicos ha dado un nuevo impulso a la investigación en el diseño de máquinas eléctricas. En el área de los materiales la aparición en el mercado de los Imanes Permanente (IP) de gran remanencia y coercitividad, que pueden soportar intensos campos desmagnetizantes permiten su utilización en máquinas eléctricas permitiendo elevar su eficiencia y densidad de potencia (kW/m3). Asimismo, superconductores de alta temperatura, materiales aislantes capaces de soportar elevadas temperaturas, materiales amorfos de bajas pérdidas en el núcleo, etc. En el área de la electrónica de potencia para el desarrollo de accionamiento de velocidad variable (variable speed drives) permite una mejor operación del conjunto motor-convertidor que elevan los rangos de velocidad y potencia. Nuevas estrategias de control que permiten controlar independientemente velocidad y torque sin necesidad de sensores, han creado un amplio campo para el diseño de nuevas estructura magnéticas de conversión electromecánica. Por otro lado, un sin numero de nuevas posibilidades como la robótica y el control de movimiento, aplicaciones automotrices y tracción con aplicaciones de alto torque y ausencia de cajas de engranajes, accionamientos navales de bajo ruido, bienes de consumo y computación; exigen alto rendimiento y diseño compacto. Un ejemplo de la expansión de las máquinas eléctricas en la industria automotriz es mostrado en la figura 1.1.


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Figura 1.1 Aplicaciones de máquinas eléctricas en la industria automotriz

1.2 Factores que afectan en el Diseño Hay una serie de factores que afectan el diseño de una máquina, ellos pueden ser clasificados como sigue

1.2.1 Factores Económicos En muchos casos este es la consideración económica es la mas importante. Ante el igual peso de otros factores, el costo decidirá cual es la máquina que finalmente será construida. Para que un diseño sea competitivo, la cantidad de material utilizado así como también el costo asociado a la manufactura deben ser mínimos. El diseño de una máquina debe ser compatible con el equipamiento disponible para su fabricación y ensamble, stock de materiales y no debe involucrar excesivo tiempo o complejos procedimientos que eleven el costo. Mejores desempeños de un diseño suelen ir acompañados a mayores costo de fabricación, sin embargo el mejor diseño es aquel que combina el costo inicial de manufactura y de operación (pérdidas y mantención) a lo largo de su vida útil, tal que el total sea mínimo. El aumento del costo de la energía eléctrica ha traído a la discusión el compromiso que existe entre el costo inicial y los costos de operación de la máquina llevando conceptos como la eficiencia y densidad de energía nuevamente como objetivos de diseño.


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1.2.2 Materiales. Las limitaciones técnicas y económicas impuestas por los materiales, generalmente determinan el desempeño y las dimensiones de la máquina. Grande progresos tecnológicos se han hecho en el área de los materiales magnéticos y aislantes. Estos nuevos materiales han tenido dramáticos efectos en el diseño de máquinas, por ejemplo los imanes permanentes. Todo ello lleva a ampliar las posibilidades de topologías, aumentar los kW/m3, la eficiencia y confiabilidad

1.2.3 Especificaciones El diseño, el desempeño y los materiales utilizados en la fabricación están sujetos a las especificaciones de cuerpos normalizadores (IEEE u otro organismo). NEMA (National Electrical Manufacturers Association) establece estándares para tamaños (frame), desempeño y prueba de máquinas CA y CC´s de potencias desde 1 hasta 450 HP. Además, estándares individuales de proveedores de materiales son restricciones a los cuales se debe regir el diseño de una máquina. Entre ellos, el diámetro de los conductores y el espesor de la aislación, asimismo el fierro magnético, entre otros, son valores que se encuentran estandarizados. Salir de estas normas implica un aumento en el costo debido al ajuste especial de las líneas de producción para obtener la dimensión requeridas por el diseñador.

1.2.4 Factores Especiales En algunas aplicaciones específicas, consideraciones especiales pueden sobrepasar todos los factores ya mencionados. Por ejemplo, el diseño de generadores aeronáuticos requiere que la máquina tenga el mínimo peso, pero con máxima confiabilidad. En aplicaciones automotrices el énfasis es en la confiabilidad y fácil servicio. Para aplicaciones en equipos de oficina, se requiere el mínimo de ruido y peso. Asimismo, cuando la máquina va a ser utilizada para mover cargas de gran inercia, es requerido que el torque de partida sea la consideración que se imponga en el diseño.

1.3 Áreas que Involucra el Diseño de una Máquina Eléctrica Para un apropiado diseño de una máquina eléctrica, conceptualmente se deben considerar cinco ámbitos: eléctrico, magnético, aislación, térmico y mecánico.

1.3.1 Eléctrica De manera de hacer compatible la máquina con la fuente de energía: el voltaje, frecuencia y número de fases deben ser especificados. Además, un factor de potencia razonable a plena carga también puede ser especificado. A partir de esta información el diseñador debe decidir el tipo de conexión, tipo de bobinados y sus parámetros. Igualmente la densidad de corriente y las pérdidas asociadas.


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1.3.2 Magnéticas Dentro de esta categoría deben establecerse las densidades de flujo máxima en los dientes y núcleos de la máquina, con ellos las perdidas en el fierro pueden ser calculadas. Asimismo, el efecto de la saturación, cálculo de las corrientes de magnetización e inductancias de dispersión o fuga, la determinación de la geometría de las ranuras y dientes, cálculo de los efectos de las armónicas. Estimación de las pérdidas de vacío y torque pulsantes.

1.3.3 Dieléctricas La influencia de los campos eléctricos tiene también un efecto importante en el diseño de la máquina. Consideraciones acerca del espesor de la aislación entre: hebras de conductores, entre las bobinas y entre bobina y el fierro que permitan resistir el voltaje nominal de operación, así como los sobrevoltajes producidos por acción de fenómenos externos a la máquina. Además, el apropiado cableado de los bobinados hacia el exterior y la adecuada selección del tipo de terminales imponen restricciones al diseño.

1.3.4 Térmicas El calor producido dentro de la máquina producto de las pérdidas tanto en el cobre como en el fierro, sin la adecuada ventilación, provocara en el tiempo la destrucción de la misma. La transferencia de calor desde el interior, aunque este tema es un asunto más mecánico que eléctrico, reviste interés de no menor importancia desde el punto de vista del diseño. Consideraciones que involucran la selección del sistema de refrigeración (aire, agua, hidrogeno), la selección del espaciamiento y tamaño de los ductos, cálculo del aumento de temperatura, entre otros afectan las decisiones de diseño.

1.3.5 Mecánicas Las mayores consideraciones de tipo mecánicas que afectan al diseño de una máquina eléctrica son el cálculo de la velocidad crítica de rotación (o traslación), modos de vibración acústica, esfuerzos mecánicos sobre el eje durante la operación normal y sobre velocidades, determinación del momento de inercia, cálculo de las fuerzas sobre los bobinados, particularmente en la porción de las cabezas de bobinas durante situaciones de cortocircuito. En la práctica todas y cada una de las consideraciones anteriores interactúan, por lo que la experiencia juega un papel relevante en el momento de la toma de decisiones. Mucha de las observaciones no pueden ser simuladas o predichas sino hasta que la máquina esta construida. Esto hace del diseño una tarea estimulante y llena de desafíos.


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1.4 Topologías de Máquinas Eléctricas.

1.4.1 Mecanismos de Generación de Torque Aunque los principios generales para la obtención de torque electromagnético en las máquina eléctrica son los mismos, es decir, la interacción de los campos magnéticos de rotor y estator (torque de excitación) y la tendencia de las estructuras magnéticas de asumir la posición de mínima energía (torque de reluctancia), la topología de cada una varían de acuerdo al mecanismo que se desea privilegiar.

Figura 1.2. Regla de la mano derecha para motores. Los dispositivos de conversión electromecánica cuyo principio de funcionamiento descansa en la generación de torque de excitación se basan en la fuerza, F, que aparece sobre conductores que conducen una corriente I en presencia de un campo magnético B, esto se exprese mediante la ecuación

BIlF ×= (1.1) donde l, es la porción del conductor expuesta al campo magnético. La magnitud de la fuerza expresada por la ecuación 1 esta dada por

αsinIlBF = (1.2) donde α es el ángulo entre el vector que representa la dirección del flujo de corriente y la dirección del campo magnético. Se observa que para maximizar el aprovechamiento de éste principio, la geometría de una máquina eléctrica deberá ser tal que campo magnético y corriente sean mutuamente ortogonales, es decir α=90. La ‘Regla de la mano derecha’, establece una regla nemotécnica para obtener la dirección de la fuerza como se indicada en la figura 1.2.


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Los dispositivos que basan su principio de funcionamiento en la generación de torque de reluctancia descansan su operación en la tendencia que tienen las estructuras magnéticas de adquirir la posición de mínima energía cuando son excitadas eléctricamente, esto implica que la inductancia de estructura debe variar con la posición. La figura 1.3a muestra la estructura de una máquina que posee una geometría tal que la inductancia del circuito magnético varia de acuerdo a la posición del rotor según muestra la figura 1.3b. El torque para este caso igual a la variación de la coenergía, lo que resulta en

2)(21 ixLTm θ∂

∂−= (1.3)

Las distintas posibilidades de arreglo, materiales y control de los elementos electromagnéticamente activos ha dado origen a un sin número de máquinas que en su principio de funcionamiento son similares pero en su topología, difieren. En el cuadro mostrado en la figura 1.4 se muestra un ‘árbol genealógico’ de los motores eléctricos, en él se presenta clasificación en función del tipo de alimentación tanto del estator y rotor.

(a)

(b)

Figura 1.3. (a) Máquina de reluctancia variable.(b) Variación de la inductancia respecto de la posición del rotor


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Figu

ra 1

.4 Á

rbol

gen

ealó

gico

de

los m

otor

es e

léct

ricos


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1.4.2 Topología Radial Este tipo de configuración se caracteriza por que la disposición de las piezas hace que el flujo principal cruce el entrehierro en dirección radial (figura 1.5a). Típicamente estas máquinas tienen geometría cilíndrica, donde el rotor y estator son coaxiales. Debido a que el volumen de la máquina aumenta cuando el número de polos aumenta, su aplicación esta orientada a alta velocidad (bajo número de polos). Es ampliamente utilizada en configuraciones donde el estator envuelve al rotor, proveyéndola de una natural protección.

(a)

(b) Figura 1.5. (a) Configuración de las máquinas de flujo radial, (b) Principales dimensiones en el diseño de una

máquina de flujo radial Las principales parámetros de diseño para esta configuración son el largo axial y el diámetro exterior (Le, Do), figura 1.5b

1.4.3 Topología Axial La configuración axial se caracteriza por que el flujo principal cruza el entrehierro en la misma dirección del eje de la máquina. Rotor y estator son del tipo ‘sándwich’ y pueden ser ubicadas en secciones continuas compartiendo un mismo eje, de esta manera se eleva la densidad de energía de la máquina (figura 1.6). Por su geometría, diseños con un gran número de polos pueden ser construidas por lo que es posible la operación a baja velocidad con un elevado torque.

Flujo principal


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Figura 1.6 . Configuración de las máquinas de flujo axial

Las principales dimensiones de diseño son el diámetro externo e interno (Do, Di). Figura 1.7

Figura 1.7. Principales dimensiones en el diseño de una máquina de flujo axial

Di

Do

Flujo principal


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1.4.4 Aplicaciones

Figura 1.8 Máquina con IP de polos consecuente

Figura 1.9 Máquina con IP tipo Toro de flujo axial


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Figura 1.10 Máquina de IPs, de flujo radial, bobinado toroidal y rotor doble desarrollada por Ronghai Qu

Figura 1.11.Máquina de Imanes Permanentes con flujo axial y corriente circunferencial desarrollada por Jian Luo


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Figura 1.12. Máquina con IP de doble saliencia Figura 1.13. Máquina con IP de doble sapiencia y control de campo

Figura 1.14. Máquina con IP y puentes de flujo Figura 1.15. Máquina de reluctancia y laminación axial

Figura 1.16. Máquina híbrida :IP y de reluctancia propuesta por C. Chalmers


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1.5 Materiales Eléctricos y Magnéticos

1.5.1 Materiales Conductores Los requerimientos para los materiales conductores en la construcción de máquinas eléctricas es tener la mayor conductividad posible y el menor coeficiente de temperatura. La variación de la resistencia de acuerdo a la temperatura esta dada por la ecuación 1.4, donde α es el coeficiente de temperatura y T es la temperatura a la cual se desea evaluar la resistencia. También es necesario tener una adecuada rigidez mecánica que permita su manufactura en alambres, bobinas y otras estructuras como colectores y anillos. Aunque los conductores utilizados en pequeños motores no se encuentran sujetos a grandes solicitaciones durante la operación, el proceso de fabricación de las bobinas y su inserción en las ranuras requieren que posean ciertas propiedades mecánicas.

R(T)=R20°C[1+ α(T-20°)] (1.4) Debido a su alta conductividad eléctrica y excelentes propiedades mecánicas, el cobre es ampliamente usado para la construcción de bobinados de motores. Conductores redondos con recubierto con barniz aislante son utilizado para pequeños máquinas eléctricas. Conductores rectangulares no son normalmente utilizados en motores de bajo voltaje (hasta 500 V).

Tabla 1.1.Propiedades del Cobre y Aluminio Cobre Aluminio Peso específico (kg/m3) 8.89 2.70 Punto de fusión (°C) 1083 658 Resistividad @ 20 °C (Ωm) 1.17e-8 2.87e-8 Coeficiente de Temperatura (α) 0.0039 0.004 Coeficiente de Expansión lineal 17e-3 23e-3

Aluminio es más liviano y barato que el cobre y tiene menor temperatura de fundición (fácil de moldear), sin embargo su conductividad es solo un 60% de la conductividad del cobre y posee menor rigidez mecánica por lo que no puede ser manufacturado en delgados conductores. Principalmente es utilizado en la fabricación de devanados tipo jaula para motores de inducción. Las propiedades eléctricas del cobre y aluminio se resumen en la Tabla 1.2 Convencionalmente, los alambres cobre y aluminio están especificados por la American Wire Gauge (AWG) o la británica Standar Wire Gauge (SWG), sin embargo, actualmente existe una especificación internacional establecida por la International Electrotechnical Comission (IEC 182-1). En la Tabla 1.1 esta incluida la transformación del numero AWG a pulgadas y milímetros. Adicionalmente se muestra la resistencia en Ohm/m a 20° para cada conductor.


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Tabla 1. 3. AWG estándar

Número

AWG

Ø [Inch] Ø [mm] Ø [mm²] Resistencia @20°C [Ohm/m]

1 0.289 7.35 42.4 0.000407 2 0.258 6.54 33.6 0.000513 3 0.229 5.83 26.7 0.000647 4 0.204 5.19 21.1 0.000815 5 0.182 4.62 16.8 0.00103 6 0.162 4.11 13.3 0.00130 7 0.144 3.66 10.5 0.00163 8 0.128 3.26 8.36 0.00206 9 0.114 2.91 6.63 0.00260

10 0.102 2.59 5.26 0.00328 11 0.0907 2.30 4.17 0.00413 12 0.0808 2.05 3.31 0.00521 13 0.0720 1.83 2.62 0.00657 14 0.0641 1.63 2.08 0.00829 15 0.0571 1.45 1.65 0.0104 16 0.0508 1.29 1.31 0.0132 17 0.0453 1.15 1.04 0.0166 18 0.0403 1.02 0.823 0.0210 19 0.0359 0.912 0.653 0.0264 20 0.0320 0.812 0.518 0.0333 21 0.0285 0.723 0.410 0.0420 22 0.0253 0.644 0.326 0.0530 23 0.0226 0.573 0.258 0.0668 24 0.0201 0.511 0.205 0.0842 25 0.0179 0.455 0.162 0.106 26 0.0159 0.405 0.129 0.134 27 0.0142 0.361 0.102 0.169 28 0.0126 0.321 0.0810 0.213 29 0.0113 0.286 0.0642 0.268 30 0.0100 0.255 0.0509 0.339 31 0.00893 0.227 0.0404 0.427 32 0.00795 0.202 0.0320 0.538 33 0.00708 0.180 0.0254 0.679 34 0.00631 0.160 0.0201 0.856 35 0.00562 0.143 0.0160 1.08 36 0.00500 0.127 0.0127 1.36 37 0.00445 0.113 0.0100 1.72 38 0.00397 0.101 0.00797 2.16 39 0.00353 0.0897 0.00632 2.73 40 0.00314 0.0799 0.00501 3.44


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1.5.2 Materiales aislantes Las máquinas eléctricas son dispositivos de conversión de energía y durante el proceso este proceso cierto nivel de pérdidas es inevitable. Perdidas ocurren primariamente en las piezas activas: fierro o pérdidas en el núcleo en el circuito magnético y pérdidas en el cobre en el circuito eléctrico. La energía perdida dentro de la maquina es convertida en calor el cual causa a que la temperatura dentro de la máquina se eleve. Es por ello que las perdidas no son solo importantes desde el punto de vista de la eficiencia sino que también causan que la temperatura de los devanados aumente significativamente. La temperatura de las diferentes partes de la maquina esta determinada por la razón de producción y disipación de calor. La temperatura de estado estable es alcanzada cuando las dos razones son iguales. Reduciendo la carga eléctrica y magnética las pérdidas y el calor generado puede reducirse, sin embargo, esto no resulta rentable. El mejor diseño es aquel en que los materiales activos son utilizados a su nivel óptimo y cuando se provee un adecuado aislamiento y un sistema de refrigeración. La temperatura en los distintos puntos de la máquina varía de acuerdo a los cambios de carga lo que produce que la aislación se encuentre sujeta a estrés adicional. El diseño debe asegurar que la aislación soportará los aumentos de temperatura bajo todas las condiciones de operación. La importancia de la aislación y ventilación no debe ser menospreciada, la fallas en máquinas son predominantemente debido a estrés térmico. De acuerdo IEC, los materiales aislante están divididos en siete clases (Y, A, E, B, F, H y C). Esta clasificación es sólo referida al límite de temperatura, sin embargo en máquinas eléctricas otras propiedades son necesarias, además de la tolerancia a la temperatura. Capacidad de ser doblado y curvada, capacidad de ser impregnada y resistencia a la abrasión. Todas estas características sugieren una clasificación mas elaborada, sin embargo esto conlleva a mayor confusión.

1.5.3 Materiales Magnéticos y No-magnéticos La permeabilidad relativa define las propiedades magnéticas de los materiales, es así como los diamagnéticos tienen una permeabilidad relativa algo menor que uno, los paramagnéticos, presentan permeabilidad relativa algo mayor que la unidad., mientras que en los ferromagnéticos la permeabilidad es función de la intensidad de campo magnético aplicado, alcanzando en algunos casos 100.000. Una categorización menos delicada es aquella que divide a los materiales en magnéticos: como el fierro y aleaciones de tierras raras (Imanes permanentes) y no-magnéticos como el aire, el cobre, aluminio y algunas aleaciones de fierro. Una comparación de la permeabilidad del fierro M-27 ESS y aire es presentada en la figura 1.17. A los materiales magnéticos suaves empleados en máquinas eléctricas, idealmente, se les exige tener una alta permeabilidad (para reducir la reluctancia del circuito magnético), alto nivel de saturación (para minimizar el volumen y peso de las piezas de fierro) y tener bajas perdidas (las pérdidas afectan la eficiencia y el aumento de temperatura). En la práctica, es


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imposible optimizar todos esos factores en un solo material, esto debido al gran numero de factores que afectan las propiedades magnéticas (composición química, tratamientos mecánicos y térmicos, etc.). El conflicto existente entre obtener bajas perdidas y alta permeabilidad como es ilustrado en la figura 1.18

Figura 1.17. Propiedades materiales magnéticos y no magnéticos. La adición de pequeños porcentajes de silicio a los fierros suaves mejora en varias veces sus cualidades: la resistividad se aumenta, la fuerza coercitiva disminuye considerablemente y la estabilidad de las propiedades magnéticas se mantiene por mayor tiempo. Fierro con un 3% de silicio tiene cuatro veces mas resistividad que el fierro puro. Sin embargo, la presencia del semiconductor, resulta en una disminución marginal de la densidad de flujo remanente. Una adición de un 5% hace que el fierro sea quebradizo y extremadamente difícil de trabajar. Esto restringe a que el máximo contenido de silicio en los fierros comerciales sea de un 3.4% y una mínimo de alrededor 2.2% para fierros de grano orientado, debajo del cual adecuada orientación no puede ser alcanzada. Un tipo especial de fierro obtenido a partir de la introducción de silicio en el proceso de fabricación es el fierro eléctrico. Éste tipo de fierro exhibe ciertas propiedades magnéticas que lo hacen ideal para el uso en transformadores, generador y motores eléctricos. Se distinguen dos tipos de este tipo de material: de grano orientado y grano no-orientado.


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Figura 1.18. Requerimientos para obtener bajas pérdidas y alta permeabilidad en aleaciones Fe-Si

En el fierro de grano orientado, el grano es dirigido en la misma dirección de la laminación permitiendo una fácil magnetización en esa dirección. Aunque su costo es mayor, su propiedad magnética direccional compensa su mayor valor en las menores pérdidas durante la operación de transformadores. El fierro de grano no-orientado, a diferencia del anterior no presenta una dirección preferencia de magnetización y su aplicación es mayormente en aparatos rotatorios como motores eléctrico.

1.5.4 Imanes Permanentes Los imanes permanentes son materiales que presentan un campo magnético remanente sin requerir energía externa luego de su magnetización inicial, esta característica hace que estos materiales sean utilizados en una gran variedad de aplicaciones en especial la construcción de máquinas eléctricas. Su evolución ha sido creciente en los últimos 50 años, en cuanto a


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los grados de calidad de sus propiedades. Las investigaciones sobre la utilización de nuevos materiales, en la construcción de imanes permanentes, ha sido importante debido a que los dispositivos que los requieren deben ser más compactos y de mayor eficiencia. El ordenamiento paralelo de los momentos magnéticos atómicos, en la estructura cristalina, se extiende a un volumen limitado, pero más bien indefinido del cristal ferromagnético. La razón de esta limitación no se conoce por completo, pero se tienen evidencias experimentales que demuestran que, incluso cuando un cristal no está imanado en conjunto, existen en él regiones diminutas próximas entre sí, llamadas dominios, que están totalmente imanadas. Sin embargo, cada una de estas regiones tiene su momento magnético en una dirección diferente y la resultante de todos ellos, extendida a todo el cristal, es nula. La teoría de los dominios ha sido demostrada mediante fotografías de materiales ferromagnéticos, obtenidas a través de microscopios electrónicos. Esta teoría nos permite comprender los fenómenos ferromagnéticos. En un material ferromagnético desmagnetizado, los dominios están orientados en forma desordenada según los seis sentidos, como se indica en la figura 1.19a, obteniéndose un campo magnético resultante nulo. Cuando se aplica un campo magnético externo en uno de los seis sentidos, los dominios cuyos momentos magnéticos tienen los otros cinco sentidos cambian su orientación, de manera que quedan dirigidos en la dirección del campo aplicado, como se muestra en la figura 1.19b. Un hecho particular es la preferencia de ciertas direcciones de orientación de los dominios, es decir, se obtiene mayor facilidad en orientarse en algunas direcciones más que en otras, esta propiedad se conoce con el nombre de anisotropía de los materiales magnéticos.

(a) (b)

Figura 1.19 Estructura de un material ferromagnético: (a) dominios con erientacion aleatoria; (b) dominios alineados por la acción de un campo externo.

La característica principal de los imanes permanentes, es que están constituidos de manera que los momentos magnéticos de sus dominios se pueden reorientar con relativa dificultad,


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por lo que requieren mayor energía para orientar sus dominios que los materiales ferromagnéticos comunes. Para aumentar la fuerza coercitiva de los dominios se obtienen mezclas de materiales ferromagnéticos con cerámicas. Es así que cuando se magnetiza un imán permanente, este permanece con sus dominios alineados, sujetos por la estructura rígida de las cerámicas. También la estructura de los imanes permanentes hace que su magnetización inicial requiera la aplicación de un intenso campo magnético. La dificultad de reorientación de los dominios en los imanes permanentes se refleja en sus curvas de histéresis, las que resultan más amplias que en los materiales ferromagnéticos comunes. En la figura 1.20 se muestra el lazo de histéresis de un imán permanente contrastado con un lazo de histéresis de un material ferromagnético común.

Br

Hc

Densidad de FlujoB

Intensidad de CampoMagnético

H

Lazo de Histéresis de unMaterial Ferromagnético

Lazo de Histéresis deun Imán Permanente Curva de

MagnetizaciónInicial

Figura 1.20 Comparación de lazos de histéresis de un material ferromagnético comercial y de un imán permanente.

Los imanes permanentes poseen varias propiedades que son presentadas mediante técnicas gráficas debido a la no linealidad existente en la mayoría de los materiales magnéticos. En general los imanes permanentes son usados en el segundo y cuarto cuadrante. En estos cuadrantes la dirección de la intensidad de campo magnético H y la inducción magnética B son opuestas. En el segundo cuadrante la curva B-H es denominada “Curva de Desmagnetización”, figura 1.21. Las características magnéticas en esta región son llamadas características de desmagnetización. Los principales puntos relacionados con las características de desmagnetización son los siguientes:


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i) Remanencia magnética: Cuando un imán ha sido magnetizado una vez, este permanecerá magnetizado en forma permanente si su intensidad de campo magnético se disminuye a cero. La densidad de flujo magnético en este punto se denomina remanencia magnética y se designa por Br.

ii) Fuerza coercitiva: Si la intensidad de campo magnético se incrementa en la polaridad opuesta a través de la curva de desmagnetización y la densidad de flujo se hace cero, la intensidad de campo presente se denomina fuerza coercitiva y se designa Hc.

iii) Producto de energía y producto de energía máximo: El valor absoluto del producto de la densidad de flujo B y la intensidad de campo H en cada punto a través de la curva de desmagnetización se denomina producto energía. La figura 1.21 muestra el producto de energía como una función de la densidad de campo B, en el segundo cuadrante. El valor máximo del producto de energía es llamado el producto de energía máximo, y esta cantidad es uno de los índices que indica la energía interna del imán, su unidad en el sistema MKS es J/m3.

iv) Recta de carga y punto de operación: El estado B-H de los imanes permanentes es localizado en la intersección de la curva de desmagnetización y la recta de carga OP. La recta de carga es determinada desde las cantidades características de la estructura del circuito magnético: largo del entrehierro, largo del circuito magnético y número de vueltas de las bobinas. Durante la operación, sin embargo, el punto de operación es inclinado por la reacción de las bobinas del circuito magnético, por ejemplo corriente de armadura en máquinas eléctricas (fenómeno denominado reacción de armadura).

Densidad de flujo B

Intensidad deCampo

Magnético

B para (BxH)max

H para (BxH)max

(BxH)max

Productode EnergíaPunto de

Operación

Recta deCarga

P

0

Br

Hc

Producto deEnergía

Figura 1.21 Curva de desmagnetización, producto de energía y recta de carga.

Otra característica, no menos importante, para la especificación de un imán permanente es la temperatura de Curie (Tc), que es la temperatura crítica sobre la cual un material ferromagnético se hace paramagnético. También se especifica la máxima temperatura de


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operación recomendada que generalmente está muy por debajo de la temperatura de Curie del material. La Tabla 1.1.4 presenta las especificacion de un IP comercial.

Tabla 1.4 Especificaciones de un IP comercial Densidad Remanente [T] 1.02~1.06 Fuerza Coercitiva [KA/m] 740~796 Producto energía [KJ/m3] 199~214 Temperatura Curie [°C] 80

1.6 Conceptos de Electromagnetismos El fenómeno electromagnético en máquinas eléctricas esta descrito a través de las ecuaciones de Maxwell. Estas relaciones generales son validad en cualquier instante de tiempo y en cada punto en el circuito magnético de la máquina. Sin embargo, dependiendo del medio en el cual el proceso de conversión electromecánica toma lugar, algunos fenómenos son más acentuados que otros, por lo que se hace necesario simplificar o despreciar efectos menores de manera de reducir la complejidad del problema. Las máquinas eléctricas son principalmente construidas y diseñadas para utilizar el flujo magnético como vehículo de intercambio en el proceso de conversión de energía eléctrica en energía mecánica y viceversa. En este sentido es importante revisar las principales relaciones del electromagnetismo clásico para determinar el área de aplicación y su relevancia relativa.

1.6.1 Relaciones Intensidad-Flujo Los dos vectores de intensidad: E, intensidad de campo eléctrico y H intensidad de campo magnético, producen vectores de densidad de campo J, D y B, densidad de corriente, desplazamiento y densidad de flujo magnético respectivamente cuando son aplicados a un medio. Las relaciones entre los vectores de intensidad y la densidad de campo está definidos por los parámetros electromagnéticos del medio: conductividad eléctrica σ, constante dieléctrica ε, y permeabilidad magnética µ de acuerdo a las siguientes expresiones:

J=σE (1.5) D=εE (1.6) B=µH (1.7)

Formalmente estos parámetros magnéticos son tensores, esto es, causan un desplazamiento espacial entre los vectores intensidad y densidad de campo, sin embargo para un análisis macroscópico, rara vez esta propiedad es necesaria y se asume que el material puede ser descrito mediante un valor escalar.


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La ecuación 1.5, establece que la magnitud de la densidad de corriente J es proporcional a la magnitud del campo eléctrico E, esta relación es conocida como la relación básica de la ley de Ohm. Cuando la conductividad es independiente de la intensidad de campo eléctrico la corriente, el medio se conoce como eléctricamente lineal. Por el contrario, si existe una variación de su valor de acuerdo a los valores de E o J, se dice entonces que es nolineal. Cuando un campo eléctrico, E, es aplicado a un material aislante, es creada una densidad de flujo eléctrico D, la relación de proporcionalidad entre estos vectores esta dada por la ecuación 1.6. La constate dieléctrica ε, es igual al producto del valor de la constante dieléctrica de espacio libre εo y la relativa εr.

ε = εo εr (1.8)

el valor de la constate dieléctrica del espacio libre es εo = 8.854x10-12 F/m (1.9)

La corriente eléctrica produce un campo magnético caracterizado por el vector intensidad de campo H y una densidad de campo B. Ambos vectores están relacionados a través de la ecuación 1.7, donde µ es la permeabilidad magnética es igual al producto de la permeabilidad del espacio libre µo y la relativa, µr. Es decir

µ= µo µr (1.10)

El valor de la permeabilidad del espacio libre es

µo = 4πx10-7 H/m (1.11) La relación entre la permeabilidad y la constante dieléctrica del espacio libre es la velocidad de la luz y está dad por

oo

cεµ

1= =2.998x108 m/s (1.12)

Además de las cantidades vectoriales intensidad y densidad de campo, es posible definir cantidades escalares asociadas a estos vectores densidad denominada flujo. El flujo de un vector a través de una superficie S, es igual se representa por el producto punto del vector y la superficie. Por lo tanto se definen:

- Flujo magnético Φ

∫ ⋅=Φ dSB (1.13)


24

- Flujo eléctrico Ψ

∫ ⋅=Ψ dSD (1.14)

- Flujo de corriente I

∫ ⋅= dSJI (1.15) La relación entre la intensidad de campo magnético H, y la densidad de corriente J, la cual produce el campo, esta definida en cualquier punto del espacio por la ley Circuital de Ampere

JH =×∇ (1.16) En el ámbito de las máquinas eléctricas es más común el uso de la forma integral de dicha ley, es decir

∑∫ ==⋅ FIdlHC

(1.17)

La suma de las corrientes ∑ I en la última ecuación, se denomina Fuerza Magnetomotriz (FMM), F y se expresa en Ampere-Vueltas, AV (o Ampere-Turn AT en inglés). La integral de línea del lado izquierdo de la ecuación 1.17, representa el producto de la intensidad de campo magnético por el arco diferencial del contorno cerrado C, donde se evalúa dicha integral. Cuando son sumados estos productos, la resultante es la caída de FMM a lo largo del contorno cerrado, similar a la ley de voltajes de Kirchhofs.. En rigor, la ley circuital de Ampere expresa que la suma de las caídas de fuerza magnetomotriz a lo largo de un camino cerrado en un campo magnético es igual a la suma total de corriente encerrada por el contorno.

1.6.2 Condiciones de borde La continuidad del flujo magnético junto con la ley de Ampere, ayuda a definir las condiciones de borde para las líneas de flujo en una máquina eléctrica. Las condiciones de bordes relacionan los valores del vector densidad campo magnético con las permeabilidades de los materiales en una interfase aire-fierro. Una vez conocidas, es posible determinar la distribución de las líneas de flujo. Algunos casos típicos en máquinas eléctricas son: conductor en el entrehierro, figura 1.1.22a y conductor en una ranura, figura 1.1.22b. Dicha distribución de flujo determina el valor de los flujos principal y de fuga (leakage)


25

(a) (b)

Figura 1.22 Conductor ubicado en el (a) entrehierro, (b) ranura de una máquina eléctrica La primera condición que las líneas de flujo deben satisfacer cuando cruzan una interfase fierro-aire puede ser derivada utilizando la figura 1.1.23. El flujo magnético a través de una superficie diferencial dS, es una función escalar continua definida por la ecuación 1.1.13. Debido a que la densidad de flujo B es in vector, un vector unitario n perpendicular a la superficie diferencial dS tiene que ser definido de manera de satisfacer dicha ecuación.

Figura 1.23. Flujo magnético cruzando una superficie Denotando por Bn la componente normal del vector densidad de flujo magnético, se puede definir el flujo que cruza el elemento de superficie como:

∫∫ =⋅=ΦS

nS

dSBndSB (1.18)


26

debido a que todo el flujo que entra a la superficie es igual al flujo que sale, la componente normal de la densidad de flujo en el fierro debe ser igual a la componente normal de la densidad de flujo en el aire, de acuerdo a la notación de la figura 1.24, es decir

Bfe,n=Baire,n (1.19)

Para obtener las condiciones de borde para las componentes tangenciales, se aplica la ley circuital de Ampere al contorno cerrado definido por los puntos 1,2,3 y 4 de la figura 1.24, luego aplicando la ecuación 1.17, se tiene

Haire,tl12+(-Hn) l23+ (-Hfe,t)l34+ Hnl41=∑ I (1.20) Donde Haire,t, Haire,t son las componentes tangenciales de los vectores intensidad de campo magnético en el aire y fierro respectivamente. Hn es la componente normal y l12, l23, l34 y l41 son las distancias entre los puntos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. En este caso la corriente total enlazada por el contorno es igual a cero. Dado que el borde entre el aire y el fierro es infinitesimalmente pequeño, las caídas de FMM a lo largo de los caminos l23 y l41, son ceros. Por lo tanto la ecuación 1.20 se reduce a:

Figura 24. Componentes de los vectores B y H en una interfase aire-fierro

Haire,t =Hfe,t (1.21) Es decir, las magnitudes tangenciales del vector intensidad de campo magnético en una interfase aire-fierro son iguales, si no existe circulación de corriente en dicha interfase. Reemplazando la ecuación 1.7 en 1.21, se tiene que


27

fe

tfe

aire

taire BBµµ

,, = (1.22)

De manera similar, los ángulos αaire y αfe son calculados como

tan(αaire)=naire

taire

BB

,

, (1.23)

tan(αfe)=nfe

tfe

BB

,

, (1.24)

introduciendo la ecuación 1.22 se tiene

rfe

aire

µαα 1

)tan()tan(

=

(1.25) donde µr denota la permeabilidad relativa del fierro. La ecuación 1.25 establece que las líneas de flujo en una interfase fierro-aire son dependientes de la saturación del fierro, debido a que µr varía de acuerdo a la densidad de flujo. Considerando un valor no saturado de µr típico 5000 se tiene que

tan(αaire)=0.0002 tan(αfe) (1.26) Es decir, grande variaciones del ángulo αfe causa pequeñas variaciones del ángulo αaire. Esto significa que las líneas de flujo en el aire son prácticamente perpendiculares a la superficie del fierro cuando este no se encuentra demasiado saturado. La condición de borde para la componente tangencial de la intensidad de campo magnético expresada en la ecuación 1.21, se puede ilustrar de la siguiente forma: Considérese una barra metálica ubicada muy próxima a un núcleo de fierro laminado a través del cual existe un flujo magnético variable. Ver figura 11.25 Si la amplitud de la densidad de flujo en el núcleo laminado es alta, tal que se encuentra en saturación, la intensidad de campo magnético resulta extremadamente alta debido a la no linealidad de la curva B-H. De acuerdo a dicha ecuación, la intensidad de campo en la barra metálica tiene la misma magnitud que la observada en el núcleo en el lado de contacto. Debido a que el campo magnético es variable, se inducen corrientes en la barra metálica., Los AV de la corriente inducida en la barra metálica son proporcionales al valor de la intensidad de campo que existe en la barra. Cuando la densidad de flujo en el núcleo laminado excede el valor 1,7-1,8 T, dependiendo del tipo de material, la intensidad de campo en la barra es tan alta que puede llegar a fundirla. Esto hace que sea una regla en el diseño de máquinas eléctricas y transformadores que ninguna pieza metálica esté en contacto con las piezas del circuito magnético por donde circula flujo alterno importante.


28

Las líneas de flujo son cerradas, sin fuentes ni sumideros. Esto se expresa a través de la ecuación de Maxwell como:

∇ B = 0 (1.27) o en la forma integral

dSBS∫ ⋅ = 0 (1.28)

Figura 1.25. Ilustración de la condición de borde para la intensidad de campo donde S es una superficie cerrada. El flujo magnético a través de una superficie cerrada es igual a cero, o el flujo que entra a la superficie cerrada es igual al que sale de ella. Una máquina rotatoria es usualmente diseñada para conducir flujo magnético través de la superficie del rotor solo en dirección radial (o axial según sea el caso). A este tipo de máquinas se les denomina heteropolar, debido a que el flujo periódicamente entra y sale del rotor, como se ilustra en la figura 1.1.26a. Los polos magnéticos a lo largo de la periferia de una máquina heteropolar se alternan periódicamente, es decir, N-S-N-S....etc. En este tipo de máquinas, ninguna de las líneas de flujo principal circula axialmente y siempre tienen número par de polos. Por el contrario, en una máquina homopolar todas las líneas de flujo salen (o entran) del rotor axialmente y entran (o salen) radialmente, como se muestra en la figura 1.1.26b. En una máquina homopolar solo puede existir un polo, debido a que las líneas flujo a lo largo de la periferia del rotor siempre van en la misma dirección. La ley circuital de Ampere define la magnitud del vector intensidad de campo magnético producido por la corriente en los conductores. Es irrelevante saber si la corriente es constante o varía en el tiempo dado que el valor instantáneo de corriente produce valores


29

instantáneos de intensidad de campo. El fenómeno inverso, esto es, un campo magnético induciendo una corriente es, sin embargo, posible sólo si ciertas condiciones del campo magnético variable son satisfechas.

(a) (b)

Figura 1.26. Flujo magnético en un rotor (a) Heteropolar, (b) Homopolar.

1.6.3 Ley de Faraday Un campo magnético variable, el cual enlaza un conductor, induce un campo eléctrico variable a lo largo del conductor. La relación entre el vector del campo eléctrico inducido E y el vector de densidad de flujo magnético B esta dada por la ecuación de Maxwell:

dtdBE −=×∇ (1.29)

ecuación conocida como Ley de Faraday. El significado físico de la ecuación 1.29 puede ser expresado como una propiedad del campo eléctrico E de hacer circular una corriente (Ampere-vueltas), la cual tiende a compensar los ampere-vueltas que crean el flujo caracterizado por a densidad B. El toro que limita el flujo magnético en la figura 1.27, se define como tubo de flujo. Este es el lugar geométrico en el cual todas las líneas de flujo son perpendiculares a su base y ninguna de ellas corta sus lados. La tensión inducida en el conductor que enlazado por el flujo Φ es igual a

e = -dtdΦ (1.30)

De acuerdo a la ecuación 1.30, el voltaje e es inducido en el conductor cuando el flujo enlazado varia en el tiempo. Cuando el conductor enlaza el mismo flujo N número de veces (ver figura 1.28), el voltaje inducido es igual a la suma de los voltajes inducidos en cada vuelta. Por lo tanto la ecuación 30 puede ser escrita para el caso de N espiras como:


30

e = -NdtdΦ (1.31)

La ecuación 1.31 asume que el mismo flujo Φ es enlazado por cada una de las vueltas de la bobina. Sin embargo, la cantidad de flujo enlazado varía de vuelta en vuelta debido a la posición de cada una, por lo tanto, en vez del valor ficticio NΦ, se introduce el valor de enlaces de flujo, λ que considera esta condición. Es así como el voltaje inducido expresado en términos del enlace de flujo

e = -dtdλ (1.32)

La relación entre el enlace de flujo y la corriente esta dada por

λ = Li (1.33) Donde L es la inductancia, la cual depende de la geometría y material del núcleo magnético. Sustituyendo la ecuación 1.33 en 1.32, se obtiene

e = θ

ωλddLi

dtdiL

dtdLi

dtdiL

dtd

−−=−−=− (1.34)

Figura 27. El flujo variable en el tiempo Φ y el campo eléctrico inducido E


31

Figura 28. Un tubo de flujo enlazando N espiras de un bobina

aquí θ es la coordinada en el cual la bobina se mueve y ω es la razón de cambio en el tiempo (velocidad) con que la bobina se mueve

dtdθω = (1.35)

De acuerdo a la ecuación 1.34, la tensión puede ser inducida por la variación de los enlaces de flujo de dos maneras: cambio de la corriente en la bobina o por la variación de la inductancia. El primer mecanismo es el característico de los transformadores, por ello ese voltaje se denomina voltaje de transformación

dtdiLet −= (1.36)

El segundo mecanismo es característico las bobinas en movimiento relativo a un campo magnético. Por esto se denomina voltaje de generacion.

θω

ddLiem −= (1.37)

Ambos mecanismos de inducción de voltaje: transformación y movimiento, están presente en una maquina eléctrica. De acuerdo a la ley de Faraday, cada cambio del flujo magnético induce corrientes en el medio conductor circundante. Estas corrientes tienden a mantener ese flujo constante, es decir, un aumento en el flujo induce corriente que generan un flujo que actúa en contraposición al aumento del flujo original. Las corrientes inducidas tienden a conservar el estado en el espacio actuando contra cada variación de flujo.


32

1.7 Circuitos Magnéticos. El flujo en el circuito magnético de una maquina eléctrica es producido por la corriente circulando por bobinas y/o imanes permanentes. Las líneas de flujo fluyen a través del circuito enlazando solo el bobinado de estator o solo del estator o ambos. Resolver el circuito magnético de la maquina significa determinar el estado magnético como función de las FMM aplicadas y la geometría de la maquina. Una vez que la relación entre los flujos y las FMM (corrientes) es establecida, es posible definir todas las restantes cantidades electromagnéticas: voltajes inducidos y torques. Los procedimiento para resolver los circuitos magnéticos son variados y su aplicación depende de la precisión requerida. El método de elementos finitos permite una solución precisa de la distribución del flujo magnético, sin embargo, los requerimientos de CPU aumentan considerablemente cuando la geometría es compleja. El método de diferencias finita reduce el nivel de complejidad de la solución siendo una alternativa barata, sin embargo, no siempre da resultado aceptables especialmente en la zona de interfaces. El método de circuito magnético equivalente hace uso de la analogía con la solución de un circuito eléctrico basado en las leyes de Kirchhoff , según muestra la figura 1.1.29. Éste método permite la solución del circuito magnético con una precisión aceptable. La relación entre las cantidades magnéticas B y H esta definida por la ecuación 1.7, la cual es análoga la forma básica de la ley de Ohm expresada por la ecuación 1.5. De acuerdo a esta analogía la densidad de corriente J en un circuito eléctrico corresponde a la densidad de flujo B en un circuito magnético. Asimismo la intensidad de campo eléctrico E es análoga la intensidad H. Además, la fuerza magnetomotriz, F, depende de la intensidad de campo H en la mima forma como la fuerza electromotriz V depende de la intensidad de campo eléctrico E.

(a) (b) (c)

Figura 1.29. Analogía circuito magnético - eléctrico: (a) Circuito magnético, (b) representación en función de

reluctancias y fuentes de FMM, (c) circuito eléctrico equivalente La resistencia eléctrica, define la razón entre el voltaje y la corriente y es un parámetro del tubo de flujo eléctrico dado por las dimensiones y la conductividad, esto es

SlRelect σ

1= (1.38)


33

Donde l es el largo del tubo de flujo y σ es la conductividad del medio en el tubo. La resistencia eléctrica de un tubo de flujo en un medio que tiene conductividad constante y una sección transversal variable longitudinalmente es igual a

∫∫ ==ll

elect xSdx

xSdxR

00 )(1

)(1

σσ (1.39)

La reluctancia en un circuito magnético es definida de manera similar a la resistencia de un circuito eléctrico. Sin embargo, se deben distinguir dos casos particulares que se presentan en un medio magnético: los tubos de flujo en el aire y en el material magnético. La permeabilidad relativa (µr) del aire es constante e igual a uno, por lo que la reluctancia de un tubo de flujo en el aire varía solo como función de sus dimensiones.

∫=l

omag xS

dxR0 )(

1µ

(1.40)

Con las dimensiones del tubo de flujo dada en la figura 1.1.30 Por el contrario la reluctancia del material magnético no es constante. El carácter no lineal comienza a parecer aproximadamente a lo 1.0 – 1.3 T de la curva B-H, dependiendo del tipo de material. Figura 1.31. Si la sección transversal del tubo de flujo es constante y la permeabilidad µ es expresada como una función de la densidad de flujo B=Φ/S, la reluctancia es igual a

Figura 1.30. Dimensiones del tubo de flujo para el calculo de la reluctancia

Sl

SΦ

Rmag

=µ

1 (1.41)


34

La caída de FMM en el elemento de tubo mostrado en la figura 1.30, esta dada por

)(ΦΦRF mag= (1.42)

Cuando la sección transversal del tubo de flujo es variable, es decir S=S(x) y un flujo constante Φ circula por él, resulta en una densidad de flujo variable a lo largo del tubo.

)()(

xSΦxB = (1.43)

Un ejemplo de un tubo de flujo con sección transversal variable son los dientes en una maquina eléctrica. La permeabilidad en este caso resulta dependiente de las coordenada x debido a que la densidad de flujo es dependiente de esta variable. La reluctancia del tubo de flujo en un medio con una cierta característica B-H y una sección transversal variable, cambia de acuerdo a ambas: la geometría del tubo y la permeabilidad del material.

∫

=

l

mag xSdx

xSΦ

ΦR0 )(

)(

1)(µ

(1.44)

0 1 2 3 4 5 6

x 104

0

0.5

1

1.5

2

2.5

H [A/m]

B [

T]

Figura 31. Curva B-H de un material magnético típico.

Si la caída de FMM en la reluctancia en la ecuación 1.44, tiene que ser evaluada para un flujo Φ dado, el punto de partida es la Ley de Ampere que establece

∫=l

dxxHF0

)( (1.45)


35

Introduciendo la ecuación 1.7

)(

)()(

)(

)(0 0

ΦΦR

xSΦxS

dxΦdx

xSΦxBF mag

l l=

=

= ∫ ∫

µµ (1.46)

La dependencia de la permeabilidad respecto de la densidad de flujo no es normalmente conocida en forma analítica, por lo que la caída de MMF en una porción del circuito magnético con sección transversal variable es usualmente evaluada a través de la integración numérica aplicando la regla de Simpson. Geométricamente esta caída es igual al área bajo la curva H(x) expresada en la ecuación 1.45. El procedimiento de cálculo de la MMF en este caso es ilustrado en la figura 1.32. Un diente con sección transversal variable es mostrado en la figura 1.32a, la dependencia de la sección transversal con la variable x es dada en la figura 1.32b. La distribución de la densidad de flujo a lo largo de la coordenada x es obtenida a partir de la curva S(x) y es mostrada en la figura 1.32c por la aplicación de la ecuación 1.43 Para determinar la intensidad de campo H(x) mostrada en la figura 1.32d, se debe utilizar la curva B-H del material. La caída de MMF es luego evaluada a través de integración numérica de la curva H(x). Para el caso particular de un segmento de circuito magnético de sección rectangular (ver figura 1.33) donde el nivel de saturación es constante el cálculo de la reluctancia se reduce a:

abl

abdx

xSdx

xSΦ

ΦRll

mag µµµ

11)(

)(

1)(00

==

= ∫∫ (1.47)

La analogía entre los circuitos eléctricos y circuitos magnéticos entrega la ley de Ohm como una forma de encontrar la relación entre la fuerza magnetomotriz, flujo magnético y reluctancia. Sin embargo, el problema en la práctica resulta un poco más complejo: es así como el relativamente alto flujo de fuga o dispersión y la dependencia de la reluctancia con la densidad de flujo magnético introducen una componente no lineal en la solución. En general la forma de solucionar un circuito magnético tiene dos posibilidades: (a) La determinación de la FMM requerida para producir un deseado flujo o densidad de flujo en un punto especifico de la estructura, (b) la determinación del flujo o densidad de flujo producido en un lugar por la aplicación un valor de FMM. Cuando el problema es determinar la FMM requerida para producir un deseado flujo total o densidad de flujo en un punto en particular, es decir problema tipo (a), el procedimiento es directo, estimando o despreciando el flujo de fuga. En cada porción del circuito magnético con sección transversal A, el valor promedio de la densidad de flujo B es igual al flujo total Φ divido por la sección A. El valor de la fuerza magnetizante H necesario para establecer este valor B


36

es calculado a partir de la curva B-H del material. Este valor de H es multiplicado por el largo de la porción de circuito magnético en el cual la densidad de flujo es asumida constante, para obtener la diferencia de potencial magnético Fab entre los terminales de dicha porción de circuito magnético, esto es

(a) (b)

(c) (d)

Figura 1.32. Procedimiento de cálculo de la caída de MMF.

Figura 1.33. Sección rectangular de circuito magnético

Cálculo de la FMM de bobinados de AC Juan A. Tapia

38

Capítulo 2 CÁLCULO DE LA FMM DE BOBINADOS DE AC La función forzante en una máquina eléctrica típica, es decir, aquella que impulsa el flujo a circular a través del circuito magnético, es la fuerza magnetomotriz o FMM. Esta fuerza es impuesta por los bobinados donde circula la corriente eléctrica o eventualmente por imanes permanentes. La distribución de la FMM define la operación de la máquina, su estudio es necesario para la determinación de las inductancias, torques y las características requeridas para el convertidor que acciona la máquina. En este capitulo se desarrollan las expresiones que caracterizan el devanado de una máquina eléctrica; se analizan los efectos del acortamiento, distribución y oblicuamiento del bobinado sobre la onda fe FMM y se observan el efecto de la interconexión de bobinados trifásicos.

2.1 Distribución de Campo: Bobinado de Paso Completo Si se considera la representación esquemática de un bobinado concentrado de cuatro polos que se muestra en la figura 2.1. La dirección de la corriente es indicada mediante un punto (cuando la corriente sale de la figura) y una cruz (cuando la corriente entra hacia la figura). Debido a que los bobinados corren a todo el largo axial de la máquina, es posible asumir que el campo magnético es independiente de la componente z excepto para una pequeña región cerca de los extremos de la máquina. Además, si el radio del rotor es muy grande respecto al largo del entrehierro, la variación del flujo magnético en el sentido radial se puede asumir despreciable. Con estas simplificaciones y asumiendo el fierro infinitamente permeable, el problema se reduce a una dimensión: a a variación tangencial dad por el ángulo θm. Aplicando la ley circuital de Ampere a lo largo del contorno abcda de la figura 2.1, se tiene:

∫ ⋅C

dlH = corriente encerrada (2.1)

La contribución a la integral de a porción de fierro del contorno considerado es nula debido al supuesto de que la permeabilidad del fierro es infinitamente grande. A lo largo del contorno que cruza el entrehierro el valor de la integral es el producto de la longitud del entrehierro, g, por la componente radial de la intensidad de campo Hg. Considerando la dirección positiva de Hg cuando circula entrando hacia el rotor, se tiene que la evaluación de la ecuación cuando se recorre el contorno en el sentido mostrado en la figura pasa a ser:

g [Hg (θm) - Hg (0)]= corriente encerrada (2.2)


39

donde Hg(0) y Hg(θm) son las componentes radiales de la intensidad de campo en la posición θ = 0 y θ = θm, positiva cuando es dirigida desde el estator hacia el rotor. Para determinar la variación de la corriente encerrada se desarrolla el entrehierro según muestra la figura 2.2a tomando θm=0. La figura 2.2b, se obtiene considerando el mismo camino abcda pero para distintos ángulos θm. Este resultado puede ser verificado por inspección, notando que para ángulos θm entre 0 y π/4 la corriente encerrada por el contorno es nula. Entre π/4 y 3π/4 un conductor con corriente i es enlazado, etc. (en este análisis, el diámetro de conductor se asume extremadamente pequeño por lo que la variación desde cero al valor máximo de corriente es abrupta).

θmb

a

cd

Figura 2.1. Bobinado concentrado de cuatro polos Para obtener la expresión de la intensidad de campo Hg, para cualquier ángulo θm es necesario, a partir de la ecuación 2.2, determinar primero Hg(0). Éste valor aparece para cada contorno considerado y es constante. Para su cálculo se hace uso de la ley de Gauss que establece que el flujo total que cruza una superficie cerrada debe ser cero (ley continuidad del flujo). Es decir

∫∫ =⋅=⋅ 0)()( dSHdSB moS

m θµθ (2.3)

Para el presente caso, esta ecuación establece que el flujo total que cruza el entrehierro es cero. Despreciando los efectos extremo, esto requiere el promedio de µoHg(θm) sobre la superficie del rotor sea cero. Debido a la simplificación hecha de que Hg(θm) sólo depende de θm, se sigue que el promedio de la variación de Hg(θm) con respecto a θm debe ser cero sobre el rango entre 0 y 2π . La función graficada en la figura 2.2c difiere de Hg(θm) en el valor constante Hg(0). Sumando a la función un valor igual a esta constante, produce un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo de Hg(θm) dado por Hg(0). Para cumplir con lo


40

especificado por la ecuación 2.3 es aparente entonces, que el valor de dicho desplazamiento debe ser i/2g de manera que la curva tenga un valor promedio igual a cero sobre todo el rango de θm. De aquí se tiene que

giH g 2

)0( = (2.4)

Por lo tanto la intensidad de campo magnético sobre el entrehierro Hg(θm) tiene una forma de onda como la mostrada en la figura 2.2.2d. En general para un bobinado concentrado arbitrario de N conductores el valor máximo de la función Hg(θm) es Ni/2g

b c

θm

a d Rotor

Estator

θm

θm

θm

Cor

rien

te e

ncer

rada

Hg(

θ m)-

Hg(

0)H

g(θ m

)

i

gi

gi

2

(a)

(b)

(c)

(d)

π/4 3π/4 5π/4 7π/4 2π

Figura 2.2. Pasos para la determinación de Hg (θm)

Debido a que Hg(θm) representa el potencial magnético entre las superficies del estator y rotor en un punto θm a lo largo del entrehierro es útil definir la fuerza magnetomotriz, Fp, como

gHF mgg )(θ= (2.5) Esta es la FMM de la mitad del circuito magnético, es decir la FMM de un polo. Luego se tiene que la densidad de flujo esta dada por


41

gF

B pog

µ= (2.6)

Esta última expresión indica que la forma de onda de la densidad de flujo es proporcional a la fuerza magnetomotriz en cada punto del entrehierro. Si se toma como origen del desarrollo anterior un valor adecuado, de tal manera de expandir la en Serie de Fourier en término solo de funciones senos, la FMM puede ser escrita como:

⋅⋅⋅+++= )5sin(

51)3sin(

31sin

24 θθθπ

NiFg (2.7)

La ecuación 2.7 representa el desarrollo de la onda de FMM de paso completo, esto es, el paso de bobina τa es igual al paso polar τp.

2.2 Bobinado Acortado. Cuando el paso de un bobinado se extiende por un ángulo menor al que corresponde a un polo magnético, se dice entonces que el bobinado es de paso acortado. Tal tipo de bobinados es ampliamente utilizado debido a que la forma de onda de la FMM de un bobinado de paso completo resulta con un alto contenido de armónicas de bajo orden que aquel en el cual el paso se modifica acortándolo. Asimismo, esta configuración permite el ahorro de material conductor y mayor rigidez debido a lo corto de las cabezas de bobinas.

Figura 2.3. Devanado acortado de dos capas


42

Los bobinados acortados son generalmente de doble capa, es decir, lados de bobinas de distinta fase se encuentran en una ranura según se muestra en la figura 2.3. El uso del paso fraccional hace posible el uso de número de ranuras que no son exactamente múltiplo del numero de polos, con ello se suprimen pulsaciones de flujo a medida que el diente se mueve relativo a la cara del polo. De esta manera se elimina la deformación de la forma de onda de la tensión inducida.

θτp

τa

2γ

2γ

2iNt

Fg

Figura 2.4. Distribución de FMM para una bobina acortada Considérese la distribución de FMM en el entrehierro producida por una bobina de paso fraccional mostrada en la figura 2.4. Esta bobina se ha dividido en dos y cada una se ha desplazado en un ángulo γ. La amplitud de la correspondiente n-ava armónica de la FMM es calculada como

∫=π

θθπ 0

)sin(2 dnFF gpn (2.8)

de la figura 2.2.4, se tiene que

++= ∫∫∫ −

− π

γπ

γπ

γ

γ

θθθθθθπ 2

2

2

2

0)sin(0)sin(

2)sin(02 dndniNdnF t

pn (2.9)

lo que se reduce a

= ∫

− 2

2)sin(

22 γπ

γ θθπ

dniNF tpn (2.10)

finalmente


43

n

niNF t

pn

)2

cos(

24

γ

π= n impar (2.11)

Por lo tanto la que la distribución de FMM para una bobina acortada puede ser representada mediante la serie

∑∞

=

=,....5,3,1

)sin(n

pnp nFF θ (2.12)

es decir

++= )......5sin()

25cos(

31)3sin()

23cos(

31)3sin()

2cos(

24 θγθγθγπ

iNF t

p (2.13)

Comparando las ecuaciones 2.7 y 2.13 se observa que un factor adicional se ha introducido producto del paso fraccionario de la bobina. Para la n-ava armónica

)2

cos( γnk pn = n impar (2.14)

Éste factor representa el peso relativo de las componentes armónicas respecto de la fundamentas. Es común representar la serie de la ecuación 2.13 en una forma diferente. Si τp es el largo de paso polar y τa es el largo correspondiente al paso de bobina, luego el ángulo γ puede ser expresado, en ángulos eléctricos, como

πττ

πτ

ττγ

−=

−=

p

a1p

ap (2.15)

luego, introduciendo la ecuación 2.16 en 2.14 se tiene:

)2

sin()2

sin()22

cos()12

cos()2

cos(p

a

p

a

p

a πττππ

ττππ

ττγ nnnnn

=−=

−= (2.16)

entonces, la amplitud la n-ava harmónica expresada en la ecuación 2.11, usando la ecuación 2.16 puede se escrita como:

)2

sin()2

sin(2

4

p

a πττπ

πnn

niN

F tpn = (2.17)

a la cantidad


44

)2

sin(p

a πττ

nk pn = n impar (2.18)

es usualmente llamada factor de acortamiento o paso, para la n-ava armónica de la FMM. La relativa magnitud de las armónicas respecto de la fundamental de la FMM en función del factor acortamiento expresado en por unidad, es mostrada en la figura 2.2.5. Notar que si la bobina se acorta en un tercio de paso polar, es decir

67.0p

a =ττ

(2.19)

la tercera armónica de la FMM es cero, similar situación ocurre con la quinta armónica cuando el acortamiento es de 1/5 y en general para acortamiento del tipo 1/n la armónica de orden n se anula. Físicamente esto se debe a que el voltaje inducido debido a las componentes armónicas de la FMM son iguales en magnitud en ambos lados de la bobina, pero en dirección opuesta.

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.3

-0.1

0.1

0.3

acortamiento ta/tp

k pn/n

n=3

n=5

n=7

n=9

n=11

n=13

Figura 2.5. Magnitud de las componentes armónicas de la FMM en función del acortamiento Sin embargo, esta eliminación selectiva de las componentes armónicas existe un efecto importante debido al acortamiento de las bobinas, esto es, menor flujo enlazado. Debido a la menor envergadura de la bobina de paso fraccionario, el flujo y por lo mismo la tensión inducida, resulta menor que en el caso de paso completo. Esto involucrará un aumento del


45

número de vueltas que compensaran esta caída. En la figura 2.2.6, se observa gráficamente este efecto.

τp

τa

Flujo por polo

Flujo enlazado por labobina acortada

Figura 2.6. Efecto del acortamiento en el flujo enlazado en una bobina de paso fraccionario

2.3 Bobinados Distribuidos Además del acortamiento, los devanados en una máquina eléctrica se distribuyen a los largo de la periferia del estator (o rotor) alojando los lados de bobinas en ranuras, de manera de hacer mejor uso del fierro de la máquina y reducir el contenido armónico de la FMM. La figura 2.7 muestra la distribución de la FMM en el entrehierro debido a un bobinado de Nt conductores distribuido en q=4 bobinas por polo cada una teniendo paso completo (sin acortamiento). Aunque en la práctica no se construyen devanados así, por propósitos de análisis las bobinas se reconectan las bobinas según muestra la figura 2.8. En este caso, todas tienen un acortamiento diferente, sin embargo, la FMM resultante para esta conexión resulta idéntica a la de la figura 2.7. Puede notarse en la conexión equivalente cada bobina contribuye con una forma de onda rectangular a la FMM total con una amplitud máxima para cada una de estas contribuciones igual a

qiNt

2 (2.20)


46

donde q es el numero de bobinas por polo. Nótese además que el desplazamiento de cada bobina respecto de la vecina es γ. Luego utilizando el resultado de la sección anterior la amplitud de la n-ava armónica para cada contribución rectangular de las bobinas acortadas de la figura 8 es desarrollada en la tabla 2.1

γ

2iNt

Fg

γ γγ

Zqγ

qiNt

2

τp

τa

Figura 7. Distribución de la FMM debido a un bobinado distribuido en 4 bobinas por polo

2iNt

Fg Zqγ

qiNt

2

1 2 3 4

Figura 8. Distribución de la FMM debido a un bobinado equivalente con acortamiento


47

Tabla 2.1. Componentes armónicas bobinado concéntrico

Bobina (de acuerdo a la figura 8) Amplitud de la n-ava armónica

1 n

n

qiNt

)2

cos(

24

γ

π

2

n

n

qiN

n

n

qiN tt

+

=)

21(cos

24)

23cos(

24

γγ

π

γ

π

3

n

n

qiN

n

n

qiN tt

+

=)

22(cos

24)

25cos(

24

γγ

π

γ

π

4

n

n

qiN

n

n

qiN tt

+

=)

23(cos

24)

25cos(

24

γγ

π

γ

π

En general para un devanado que se divide en q bobinas la amplitud de las componentes armónicas de la bobina q (la mas corta) según el diagrama de la figura 2.8, será:

n

qn

qiNt

+− )

2)1(cos

24

γγ

π (2.21)

Luego, la amplitud neta de las n-ava componente armónica de la forma de onda total de FMM es la suma de los q términos.

∑−

=

+

=1

0

)2

cos

24q

k

tdn n

kn

qiN

F

γγ

π (2.22)

Aplicando la identidad trigonométrica

cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B) (2.23) la sumatoria de la expresión 2.22


48

[ ] −+⋅⋅++++= ))1cos(()3cos()2cos()cos(1)

2cos(

24 γγγγγπ

nqnnnnqn

iNF t

dn

[ ]−+⋅⋅+++− ))1sin(()3sin()2sin()sin()

2sin( γγγγγ nqnnnn (2.24)

puede demostrarse que la suma de la serie de cosenos

−

=−+⋅⋅++++

2sin

2)1(cos

)2

sin())1cos(()3cos()2cos()cos(1γ

γγγγγγ

n

nqqnnqnnn

(2.25) de igual manera, se puede mostrar que la suma de senos puede escribirse como

−

=−+⋅⋅+++

2sin

2)1(sin

2sin

))1sin(()3sin()2sin()sin(γ

γγ

γγγγn

nqqn

nqnnn

(2.26) Introduciendo ecuaciones 2.25 y 2.26 en 2.24, se obtiene

−

−

−

=2

)1(sin2

sin2

)1(cos2

cos

2sin

2sin

24 γγγγ

γ

γ

πnqnnqn

n

qn

qniN

F tdn (2.27)

aplicando nuevamente la identidad trigonométrica de la ecuación 2.23 en esta ultima expresión, resulta en:

=2

cos

2sin

2sin

24 γ

γ

γ

πqn

n

qn

qniNF t

dn (2.28)

La cantidad


49

=

2sin

2sin

γ

γ

nq

qn

kdn n impar (2.29)

es definido con el factor de distribución armónico del devanado. Este factor toma en cuenta el hecho de la distribución del devanado en ranuras. Físicamente, el desfase producido por la ubicación espacial de las bobinas, produce un desfase temporal de las tensiones inducidas en cada un de ellas. Al interconectar las bobinas, la magnitud de la tensión del devanado resulta menor que la suma algebraica de cada una de las tensiones por separado. En la figura 2.9, se observa esta situación. Las tensiones inducidas en cada bobina esta desfasada en un ángulo igual a γ, respecto de la tensión de la bobina contigua, al sumarlas, el vector de tensión es menor que si las tensiones se suman algebraicamente.

Figura 2.9. Efecto de la distribución de las bobinas de un devanado Notar que la cantidad qγ representa el ángulo (en radianes) correspondiente a la porción del entrehierro ocupado por las q lados de bobinas del devanado. Considerando la figura 2.7, se tiene que la relación entre el ángulo qγ y el paso de bobina, τa y paso polar, τp, se pueden expresar como

21

2π

ττγ

−=

a

pq (2.30)

luego, el término coseno de la ecuación 2.28 puede ser escrito como

=

−=

2sin

2)1(cos

2cos π

ττπ

ττγ

a

p

a

p nnqn (2.31)


50

notar que este último resultado es idéntico a la ecuación 2.18, es decir, al factor de paso, luego, la expresión para la amplitud de la n-ava armónica de la FMM correspondiente a un bobinado distribuido y acortado será

dnpnt

dn kkniNF

24π

= (2.32)

donde kpn y kdn son los factores de paso y distribución definidos por las ecuaciones 2.18 y 2.29, respectivamente. En principio, la extensión angular de un bobinado, qγ, puede ser cualquier porción del paso polar, excepto para aplicaciones particulares como lo son motores de dos velocidades. Envergaduras más allá del paso polar son impracticable debido de lo extenso de las cabezas de bobinas. Por consideraciones prácticas de simetría de bobinados, 60° y 120° de extensión angular, son valores que normalmente se utilizan en bobinados trifásicos. En la figura 2.2.10, se muestra la variación del factor de distribución para la componente fundamental en función de la envergadura del bobinado (ángulo que ocupan respecto del paso polar) y del número de bobinas por fase y por polo. Se observa que se obtiene considerablemente mayor voltaje para un ángulo de 60° comparado con uno de 120°,de aquí que sea mas ampliamente utilizada esta configuración de devanado.

Figura 2.10. Variación del factor de distribución para la componente fundamental en función de q y envergadura del bobinado


51

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1q=

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

q=3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

q=4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

q=5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

0

1

q=6

armónicos

Figura 2.11. Variación de factor de distribución armónico en función de q. Una segunda observación se puede hacer al evaluar el factor de distribución para los diferentes armónicos y numero de bobinas por fase y por polo q. La figura 2.11 presenta esta variación para una extensión angular de 60°. Se observa de las curvas presentadas que para cada valor de q, algunos armónicos tienen magnitudes igual a los de la fundamental. Estos armónicos, hk, son denominados armónicos de ranura y el orden esta determinado por la expresión

hk=2mqk±1 k=1,2,3,..... (2.33)

donde m es el número de fases del bobinado. El armónico de ranura de primer orden (k=1) es el mas problemático debido a la introducción de ruido así como también aumenta las pérdidas. Se observa entonces que idealmente el valor de q tiene que ser los mas grande posible de manera de trasladar las armónicas de ranura a valores de frecuencia alta. Sin embargo un aumento de las bobinas por polo y por fase implica un aumento en el número de ranuras de la máquina para un número de polos dado. En la práctica esto no es siempre posible. En algunos casos en que el número de polos es alto, el número de ranuras se hace prohibitivo, es por ello que un número fraccionario de q puede ser una solución posible.


52

2.4 Devanados Oblicuos Aunque el acortamiento y la distribución de un devanado tienen un efecto en la reducción de las armónicas, aún existe una substancial presencia de contenido armónico debido con las ranuras. Tales armónicas de elevado orden pueden ser reducidas mediante el oblicuamiento del bobinado. Éste procedimiento normalmente es hecho sobre la jaula de las maquinas de inducción de manera de reducir el torque cogging, (torque que aparece por la variación de la reluctancia del circuito magnetico que observan los polos magnéticos al estar en movimiento relativo). En algunos casos las ranuras del estator son inclinadas en pequeños generadores sincrónicos o en los polos de generadores de baja velocidad. Con ellos se busca reducir la variación de flujo debido a la entrada y salida de la pieza polar respecto del flujo polar, el cual conduce a la aparición del ruido acústico. Para ilustrar el efecto del oblicuamiento, considérese un bobinado de paso completo con una ranura por polo. En este caso, la ranura construye tal que el bobinado es rotado circunferencialmente en un ángulo ‘α’. De esta manera la correspondiente FMM en el entrehierro se hace dependiente de la posición axial. Sin embargo en promedio la efectiva FMM tiene una distribución rectangular pero con sus lados oblicuos como se muestra en la figura 2.12.

2iNt

α

Figura 12. Bobinado concentrado de paso polar con oblicuamiento de α grados Nuevamente, las componentes armónicas de las FMM se calculan utilizando las series de Fourier. Con la adecuada interpretación, los coeficientes armónicos pueden ser calculados directamente a través de la ecuación 2.28. Esto es, a medida que el número de lados de bobinas (q) se aproxima a infinito, la FMM asume la forma de una onda continua. Es claro que si q aproxima a infinito, el producto qγ permanece constante, en particular


53

2αγ =q (2.34)

luego

=

2cos

2sin

2cos

2sin ααγγ nnnqnq (2.35)

se tiene que a medida que γ aproxima a cero, el denominador de la ecuación 2.28 pasa a ser

422sinlim

0

αγγγ

nqnnq =

≅

⋅

→ (2.36)

de aquí, como el numero de ranuras tiene a infinito, la ecuación 2.28 se transforma en

4

4cos

4sin

24

α

αα

π n

nn

niN

F tdn

= (2.37)

sin embargo

=

2sin

21

4cos

4sin ααα nnn (2.38)

luego la ecuación 2.37 se reduce a

2

2sin

24

α

α

π n

n

niN

F tdn

= (2.39)

en este caso la cantidad

2

2sin

α

α

n

n

ksn

= (2.40)

es denominada factor de oblicuamiento de la n-ava armónica.


54

La FMM para un bobinado acortado, distribuido y oblicuado puede ser evaluada considerando cada efecto por separado. Los efectos combinados luego son obtenidos tomando el producto de los tres factores

sndnpnt

dn kkkniN

F2

4π

= (2.41)

El producto

sndnpnwn kkkk = (2.42) es frecuentemente denominado como factor de devanado.

2.5 Número de Conductores La onda senoidal de FMM que viaja en el entrehierro produce igualmente una onda senoidal de flujo que tiene la forma de

tp ωφφ sinmax= (2.43) donde φmax es el valor máximo del flujo. Luego la tensión, e1, inducida en un bobinado concentrado de paso completo de N1 vueltas esta dado por

dtd

Ne pφ11 = (2.44)

Introduciendo la ecuación 2.43, se tiene

tNe ωφω cosmax11 = (2.45) luego el valor efectivo de la tensión será

22max11

1φωNe

E == (2.46)

Sin embargo, debido al acortamiento, distribución y oblicuamiento del bobinado, el flujo efectivo enlazado por las N1 vueltas se reduce en una proporción dada por el factor de devanado definido por la ecuación 2.42. Por lo tanto, la componente fundamental de la tensión efectiva queda dada por

2max11

1φω Nk

E w= (2.47)


55

el valor kw1N1 es el número de vueltas efectivo del bobinado, el que considera el efecto menor flujo enlazado. Considerando una caída de voltaje en el estator: R1+jX1 (resistencia del bobinado y reactancia de fuga), la tensión inducida se puede relacionar con el voltaje en terminales Vt como E1≈0.97Vt, luego el numero efectivo de conductores en serie por fase se calcula de la ecuación 2.47 como

max1

11

297.0φω wk

EN = (2.48)

2.6 Bobinados con Ranuras fraccionales Aunque el número de ranuras de un devanado fraccionario no sea múltiplo del número de polos, este debe ser múltiplo del número de fases de manera de mantener la simetría de la onda de FMM. En el caso de máquinas trifásicas, este requerimiento estipula que el número de ranuras debe ser a lo menos múltiplo de tres. Por ejemplo una maquina de 10 polos, por lo menos debería tener 30 ranuras (para un q=1) y así mantener simetría. Si se deseara utilizar dos bobinas por fase y por polo (q=2), esto exigiría 60 ranuras lo que es demasiado para máquinas pequeñas. Si se considera un devanado de paso fraccionario, por ejemplo, sólo 42 ranuras (en vez de las 60 requeridas) luego

57

10342

=⋅

==mpZq [Ranuras por fase y por polo] (2.49)

donde Z es el numero total de ranuras. Luego el numero de ranuras por polo

5213

57

=⋅=qm [Ranuras por polos] (2.50)

Éste resultado sugiere que el bobinado debe ser alojado en 21 ranuras creando cinco polos y que el patrón se repite par los próximos cinco polos. El hecho que q=7/5 implica que las ranuras ocupadas por una fase sobre polos consecutivos deben alternarse de alguna manera entre una y dos ranuras. Para determinar cual de las múltiples opciones de arreglo del bobinado, primero es necesario elegir el paso de bobina, el cual se asume igual para todas las bobinas. Para este caso, el desfase entre ranuras es de

ooo

7642180

4210180 ===

Zpγ (2.51)


56

De aquí, si el paso de bobina es de cuatro ranuras, el ángulo de paso en grados eléctricos sería

748

76424180 =

− (2.52)

lo que probablemente es la mejor opción. El factor de paso para la componente fundamental del devanado de acuerdo a la ecuación 2.14 es

997.0257.8cos1 =

=pk (2.53)

Figura 2.13. Bobinado de paso fraccionario con las bobinas #1 y #2, con amplitud de 4 ranuras: 1-5 y 2-6. Dado que el patrón del devanado se repite después de 21 ranuras, una aproximación del devanado para las primeras 21 ranuras puede ser construido. La figura 2.2.13, muestra la bobina #1, correspondiente a una de las 3 tres fases, insertada entre las ranuras 1 y 5. Tomando esta bobina como referencia, la segunda bobina #2 se inserta entre las ranuras 2 y 6. Si se asume que estas bobinas son excitadas por una onda de flujo de 10 polos que viaja en el entrehierro, el voltaje inducido en esta segunda bobinas tendrá un desfase eléctrico correspondiente a una ranura 42 6/7° respecto de la bobina #1. La tercera bobina, entre las ranuras 3 y 7 tendrá el mismo desfase respecto de la bobina #2 y el doble respecto de la bobina #1. De igual manera se disponen el resto de las bobinas hasta la bobina #21 entre las ranuras 21 y 25. Representando las tensiones sinusoidales de las 21 bobinas como favores, el diagrama que representa la distribución de tensiones se muestra en la figura 2.2.14.


57

1 1810

2

19

11

3

20

12

4

21

13514

6

15

7

16

8

17

9

Figura 2.14. Diagrama fasorial de las tensiones inducidas en el devanado fraccionario

Figura 2.15. Arreglo trifásico de las bobinas del devanado fraccionario


58

Ahora es posible reunir todas aquellas bobinas que compondrán cada una de las fases. Si se considera la bobina #1 asociada a la fase a, todos aquellos fasores encontrado en los siguientes 60° serán parte de esta fase. Esto es bobinas #1, 18, 10, 2 y 19. Además, si se invierte la polaridad de las bobinas #6 y 14, también son consideradas como parte de la fase a, con ello se completan las 7 bobinas de 21 en total (como es requerido en un bobinado trifásico). La fase b la componen las bobinas #4, 5,-8, -9, 13, 17 y 21 (el signo menos indica inversión de la polaridad de la bobina). La fase c será las bobinas –3, 7, -11, -12, 15, 16, y –20. La figura 2.2.15 muestra la asociación de los fasores correspondiente a las tensiones en cada fase con lo cual se define la interconexión de las bobinas. Figura 2.16 muestra la disposición de las bobinas del devanado trifásico de paso acortado resultante sobre 5 polos y 21 primeras ranuras de la maquina, el patrón de los siguientes 5 polos son idénticos. Notar que cada ranura es ocupada por dos lados de bobinas. Aunque las bobinas son tomadas de diferentes polos, se puede considerar que el bobinado forma un devanado equivalente con una extensión de 60º distribuidos sobre 7 ranuras (γ=8 4/7), con ello el factor de distribución se calcula como:

kd1=0.956 (2.54) El producto entre el factor de paso y el de distribución resulta

kp1kd1=0.997 0.956=0.953 (2.55) Resultados similar puede ser obtenido para las restantes armónicas impares del bobinado. El efecto de un bobinado de paso fraccionario es la asimetría de la FMM. Esto tiene un importante efecto sobre las perdidas extras producto de la forma de onda. En efecto, si se tienen caminos por donde pueden circular corrientes inducidas: jaulas en motores de inducción o devanados amortiguadores en motores sincrónicos, el movimiento de una onda de FMM desbalanceada introduce pérdidas extras producto de las armónicas no compensadas.


59

(a)

(b)

(c)

Figura 2.16. Disposición de bobinado trifásico de paso fraccionario sobre los primeros 5 polos


60

2.7 Pares de Polo y Circuitos Paralelos Hasta el momento se han analizado distribuciones de FMM de dos polos y circuito simple, sin embargo, en maquinas reales el numero de polos depende de las consideraciones de diseño y normalmente resulta mayor de dos. Lo anterior se debe que un número reducido de polos hace que las cabezas de bobinas sean muy largas con que aumenta las inductancias de fuga y se hace una pobre utilización del cobre. Otro efecto negativo de un bajo número de polos es el aumento de la cantidad de fierro necesario para transportar el flujo por el núcleo de estator y rotor. En general, para una maquina de P polos con Nt numero total de conductores y con todos los polos conectados en serie, la n-ava componente armónica de la FMM se calcula a través de

nkkk

PiNF psdnpnt

dn π4

= (2.56)

Como una ultima complicación, los devanados de las fases no son siempre conectados en paralelo. Consideraciones prácticas tales como el diámetro del conductor requieren que dos o más polos sean conectados en paralelo de manera de alcanzar el requisito de número de vueltas con un diámetro dado. Para evitar la aparición de corrientes circulantes, cada uno de los circuitos paralelos de una fase deben estar sometidos al mismo voltaje, por lo que la razón de polos a número de circuitos paralelos debe ser un entero. Luego la expresión 2.56, para un numero P de polos y un bobinado con C circuitos paralelos es

nkkk

CPiNF psdnpnt

dn π4

= (2.57)

Donde i es ahora la corriente neta en los C circuitos, es decir, la corriente por cada circuito será i/C.

2.8 Bobinados Trifásicos. Cuando la maquina es excitada con tres corrientes simétricas las que circulan por los bobinado trifásicos, la FMM neta será la superposición de las distribuciones de FMM súper impuestas por cada una de los devanados. Asumiendo que las tres bobinas están bobinadas idénticamente pero físicamente ubicadas a intervalos de 120º, la FMM de los devanados a, b, y c pueden ser escritas como

∑=

=imparn

nt

a n

nP

kCP

iNF

θ

π2

sin4 (2.58)


61

∑=

−

=imparn

nt

b nP

nP

kCP

iNF

πθ

π34

2sin

4 (2.59)

∑=

+

=imparn

nt

c nP

nP

kCP

iNF

πθ

π34

2sin

4 (2.60)

Donde kn es el factor de devanado definido por la ecuación 2.42. Con la ayuda de identidades trigonométricas, las ecuaciones 2.58 a la 2.60 se pueden escribir como

∑=

=

imparn

nta

nPnk

CPiN

F2

sin4 θπ

(2.61)

∑=

−

=

imparn

ntb

nnPnnPnk

CPiN

F3

2cos2

sin3

2cos2

sin4 πθπθπ

(2.62)

∑=

+

=

imparn

ntc

nnPnnPnk

CPiN

F3

2cos2

sin3

2cos2

sin4 πθπθπ

(2.63)

al sumar las tres FMM se obtiene

+

+

+=++ ∑

= 2sin

32cos

32cos4 θππ

πnPninii

nk

CPN

FFF cban

imparn

tcba

−

2cos

32sin

32sin θππ nPnini bc (2.64)

Ahora se tiene que

21

32cos −=

πn n=1, 5, 7, 11, .... (2.65)

13

2cos =

πn n=3, 9, 15, 21, .... (2.66)

23

32sin −=

πn n=1, 5, 7, 11, .... (2.67)


62

23

32sin −=

πn n=5, 11, 19.... (2.68)

03

2sin =

πn n=3, 9, 15, 21, .... (2.69)

Asumiendo que la máquina no tiene retorno por el neutro, es decir

0=++ cba iii (2.70) luego la ecuación 2.64 puede ser escrita como

( )∑=

−±+

=++

,...11,7,5,1 2cos))1(

23

2sin

234

nbca

ntcba

nPiinPink

CPN

FFF θθπ

(2.71) donde

(±1)=1 n=1, 7, 13, .... y

(±1)=-1 n= 5, 11, 17.... Considerar el caso especial en que las corrientes trifásicas son equilibradas, es decir

( )tIi ema ωsin= (2.72)

−=

32sin πω tIi emb (2.73)

+=

32sin πω tIi emb (2.74)

notar que

( ) ( )tIii embc ωsin23

23

−=− (2.75)

Ahora la ecuación 2.71, puede ser escrita como


63

( ) ( )

+±−

=++ ∑

= ,...7,5,1sin

2cos1)(cos

2sin4

23

nee

nmtcba tnPtnP

nk

CPIN

FFF ωθωθπ

(2.76) lo que se reduce a

++

−=++ ∑∑

== ,...17,11,5...13,7,1 2sin

2sin4

23

ne

n

ne

nmtcba tnP

nk

tnPnk

CPIN

FFF ωθωθπ

(2.77) Esta última expresión establece que para operación balanceada bajo régimen senoidal, una máquina con un devanado distribuido (presencia sólo de armónicas impares), la onda de FMM contiene ambas componentes de secuencia positiva y negativa. Cada una de esas componentes tiene una amplitud constante y rota en dirección positiva para valores de n igual a 1, 7, 13, 19....mientras que para n igual 5, 11, 17, la rotación es en el sentido negativo. Las armónicas correspondientes a múltiplos de 3 no están presentes si la máquina no tiene neutro. Es importante notar que la amplitud de cada armónica de FMM es igual a 2/3 de a FMM de la fase tomada individualmente. Las FMM correspondiente a n mayores que 1 se denominan armónicas espaciales del devanado de la máquina. La velocidad de rotación de las ondas de FMM puede ser encontrada diferenciando el argumento de la función seno de la ecuación 2.77, de esta forma se obtiene que

ee dtdnPtnP

dtd ωθωθ

−=

−

22 (2.78)

o

nPdtd eωθ 2

= (2.79)

es decir que la velocidad mecánica sincrónica para cada armónico es un fracción dada entre de la velocidad de rotación de la onda fundamental de FMM y el número de polos.

Circuito Magnético Juan A. Tapia

64

Capítulo 3 EL CIRCUITO MAGNÉTICO PRINCIPAL

3.1 Circuito magnético de una máquina eléctrica. Como se vio en el capítulo anterior un conjunto de corriente senoidales balanceadas alimentando a devanados distribuidos y acortados (e inclinados) resultan en una onda de FMM rotatoria que se puede descomponer en una suma infinita armónico. Se puede demostrar que el torque varía con el cuadrado de la corriente, y que los correspondientes armónicos de orden mayor producen un torque medio despreciable. Esos armónicos interactúan con la componente fundamente produciendo torques pulsantes por lo que se pueden considerar como torques de ‘fuga’. Si solamente la fundamental de la FMM es considerada, el flujo producido por las corrientes del estator forma caminos de flujo simétricos dentro de la máquina. La figura 3.1 muestra la distribución del flujo principal para algunos casos típicos de máquinas de flujo radial. Se puede observar que el flujo en cada caso atraviesa el núcleo del estator y rotor, los dientes del estator y rotor (o las piezas polares en el caso de la MCC y la MS) además, cruza dos veces el entrehierro y si se utiliza excitación con imanes permanentes, también debe cruzar dicho material. Por lo tanto si se considera el valor máximo de la fundamental de FMM, Fp1, de entrehierro, la ley circuital de Ampere a través del circuito magnético de la máquina queda como

ΣFcaídas=2Fts+2Ftr+2Fg+Fcs+Fcr (3.1) Donde los subíndices ts y tr se refieren a la caída en los dientes del estator y rotor (o las piezas polares del estator y/o rotor), cs y cr se refieren a las caídas en el núcleo del estator y rotor respectivamente y g es la caída en el entrehierro. Es tarea entonces determinar las caídas de FMM en cada una secciones del circuito magnético para así determinar los requerimientos de excitación para un cierto nivel de flujo en el entrehierro. La presencia de ranuras y dientes en el rotor o estator o en ambos hace que el entrehierro sea un punto más complicado de analizar respecto de secciones rectangulares como lo son los yugos tanto de estator como rotor. Sin embargo, con un adecuado análisis e introduciendo las correcciones necesarias es posible el calculo de las caídas puede ser hecho con mayor facilidad. Con este fin se presta especial atención a estas tres secciones del circuito magnético de la máquina: el entrehierro, dientes y núcleos.


65

Figura 3.1.Líneas de flujo para máquinas de flujo radial

3.2 Largo de Entrehierro Equivalente. Coeficiente de Carter. Aunque la permeabilidad del entrehierro es constante, se encuentre rodeado por dientes y ranuras, regiones que distan mucho de ser superficies suaves. La determinación exacta de la reluctancia de esta región resulta complejo y poco eficiente, es por ello que se acostumbra a derivar valores equivalentes de la sección y el largo del entrehierro para utilizar la metodología de cálculo de las caídas de FMM y circuito magnético equivalente.


66

Para simplificar el análisis, se asume que la distribución de flujo nace desde una superficie lisa como la mostrada en la figura 3.2 y termina en una geometría de diente como la mostrada. Por conveniencia, el diente se construye de lados paralelos y se asume que las líneas de flujo que entran por el costado del diente siguen un camino recto en la longitud del entrehierro,y un arco circular de radio r como es indicada en la figura. Considerando una porción axial del entrehierro igual a le, la permeancia del conjunto ranura-diente, esta compuesta de dos partes: P1 correspondiente a la porción frente al diente que resulta una superficie suave y P2 que es la permeancia de la ranura asociada al flujo que penetra el diente por el costado

Figura 3.2. Líneas de flujo entrando en el diente A partir de las dimensiones de la figura se tiene que

gl

bP eoso )(1 −= τµ (3.2)

Considerando una sección dr y el largo axial le la permeancia P2 puede ser calculada como

2

2 rg

drldP eo

πµ

+= (3.3)

de aquí que la permeancia total sobre uno de los costado del diente será

∫ +=

2

02

2

ob

eo

rg

drlP

πµ

(3.4)


67

Resolviendo se tiene

+=

g

bgl

P

o

eo 4ln2

2

π

πµ

(3.5)

La permeancia efectiva del conjunto ranura-diente es por lo tanto

Pg = P1+2P2 (3.6)

=

++

−gb

gb

l ooseo 4

1ln4 ππ

τµ (3.7)

la reluctancia efectiva será entonces el recíproco de esta cantidad. Ahora es posible asumir que la permeancia real del entrehierro compuesta por dientes y ranuras puede ser representada por una permeancia de entrehierro equivalente dada por

e

esoe g

lP

τµ= (3.8)

donde ge es el largo de entrehierro equivalente. Igualando las ecuaciones 3.7 y 3.8, se tiene

++

−=

gb

gb

lg

l ooseo

e

eso

41ln4 π

πτ

µτµ

(3.9)

de esta última expresión se puede obtener que ge

++

−=

gb

gb

goos

se

41ln4 π

πτ

τ (3.10)

Se acostumbra a definir el Factor de Carter tal que

ge=kcg (3.11)

donde


68

++−

=

gbgb

ko

os

sc

41ln4 π

πτ

τ (3.12)

Esta última expresión es calculada a partir del supuesto que las líneas de flujo entra por el costado del diente en forma pareja por una distancia equivalente a bo/2 lo que no resulta ser completamente correcto. Una ecuación mas exacta que considera el hecho que el flujo en realidad se distribuye en forma no uniforme en esa zona es la que presenta Ostovic [Ostovic]

++

−

=2

1-

21ln

2tan

2g

bbg

gbb

ko

o

oos

sc

πτ

τ (3.13)

se puede demostrar que para valores bo/g esta ecuación puede ser aproximada como:

+−

=

gbgb

ko

os

sc

2ln2

πτ

τ (3.14)

la que resulta ser muy parecida a la ecuación 3.12. El Factor de carter toma en consideración cuanto mas largo resulta ser el entrehierro equivalente producto de la presencia de las ranuras y dientes frente a una superficie lisa. Si ambos: rotor y estator, tienen dientes, el factor de Carter resultante es igual a producto del factor de carter de estator y rotor calculados separadamente

kc=kcrkcs (3.15)

3.3 Cálculo de Reluctancia de Diente y Ranura Debido a que la permeancia del fierro (diente de rotor o estator) es no lineal, su cálculo depende del conocimiento de la distribución de densidad de flujo en el diente. Para valores bajos de densidad de flujo (hasta 1.5 teslas), se puede asumir que todo el flujo que entra al estator (o rotor) pasa hacia el núcleo a través de los dientes, sin embargo para densidades mayores esto no es completamente cierto y se debe considerar el efecto del flujo que pasa directamente a través de la ranura. Definiendo las cantidades Bg1 : el valor máximo de la fundamental de la densidad de flujo en el entrehierro Bm : Densidad de flujo en el diente en el punto medio entre la cabeza y la base. Bs : Densidad de flujo en la ranura


69

El presente análisis se hace sobre el diente y la ranura que se encuentran expuestos a los valores máximos de densidad de flujo en el entrehierro, es decir sometidos a Bg1. La reluctancia en los otros dientes y ranuras puede ser obtenida siguiendo esta misma metodología. La FMM necesaria para alimentar las caídas en las reluctancias del entrehierro y dientes se asume que actúa entre superficies equipotenciales que corren entre el centro del entrehierro y la base del diente y ranura. Además, se asumen que dos diferencias de potencial magnético actúan en serie: una de ellas correspondiente a la reluctancia del entrehierro dada por

21 e

o

gg

gBFMM

µ= (3.16)

y la segunda dada por la reluctancia del diente

io

smt

dBFMMµµ

= (3.17)

Figura 3.3. Superficies equipotenciales para el cálculo de la reluctancia de diente y ranura Debido a que el flujo en la ranura y en el diente dependen de la diferencia de potencial entre las dos superficies equipotenciales, esta se puede escribir como la suma de los potenciales de entrehierro y diente, es decir:

221 e

o

g

io

smes

o

s gBdBgdBµµµµ

+=

+ (3.18)

de esta ecuación se tiene que


70

)2()2(2

1es

eg

esi

sms gd

gBgd

dBB+

++

=µ

(3.19)

por otro lado, el flujo que entra en la armadura sobre el espacio de un paso de ranura τs es

)(1 iesessiesmesg kltlBklBlB −+= τττ (3.20) Donde le es el largo axial del entrehierro y ki es el factor de apilamiento que considera la reducción del área del fierro debida a la aislación entre laminaciones. Reemplazando la ecuación 3.19 en 3.20 se puede expresar Bg1 en función de Bm

eis

ss

is

s

i

ses

mg

gkt

d

ktdgd

BB+

−++

=τ

τµ

2

122

1 (3.21)

El valor numérico de Bm es la pieza fundamental en el diseño de una máquina, es una medida de la carga magnética en el diente el que es, típicamente el punto de mayor saturación en la máquina. Seleccionando la densidad de flujo en el diente, el correspondiente valor Bg1 puede ser obtenido para un material en particular y para la geometría del diente. Es importante notar que esta expresión para Bg1 es aproximada ya que la variación de la permeabilidad a lo largo del diente cambia. Esta estimación puede ser mejorada considerando la variación real de la permeabilidad. Con la aparición de convertidores de electrónica de potencia ahora es posible elevar la frecuencia de operación de las máquinas eléctricas. Con ello se posible elevar el rango de potencia y velocidad a la cual puede operar, sin embargo la selección de los valores de diseño dependerán del rango de frecuencia en el cual la maquina se desenvolverá. En este sentido la selección de la densidad de flujo en el diente no resulta tan simple. Pérdidas en el fierro son proporcionales a la frecuencia y a la magnitud de B, así mismo de tipo de material utilizado. Algunos autores han encontrado una relación en función de la frecuencia de operación para determinar la densidad de flujo máxima en el diente Bm. Una expresión sugerida en la literatura establece que:

32.047.5 −= fBm (3.22) En la figura 3.3.4 se muestra la variación de la densidad de flujo en el diente al aumentar la frecuencia de operación. Es interesante notar la forma de la ecuación 3.21 para condiciones de saturación límite. Cuando la densidad de flujo en el diente es muy alta la permeabilidad tiende a la unidad y con ello

mg BB =1 (3.23)


71

Esta ecuación es suficientemente precisa para muchos casos cuando la densidad de flujo en el diente es menor que 1.5 Teslas.

Figura 3.4. Variación de la densidad de flujo máxima en el diente respecto de la frecuencia de operación.

El procedimiento descrito es válido para dientes de sección transversal rectangular, es decir, ts=tm=tr, sin embargo, esto es valido sólo para máquinas de gran diámetro. En máquinas de baja potencia las geometrías trapezoidales son mas frecuentes en dientes de rotor y/o estator lo que resulta en que la cabeza o la base se encuentren más saturadas. Cuando la diferencia de dimensiones es apreciable de cada una de las secciones, es necesario calcular las densidades en cada punto para luego haciendo uso de la curva B-H del material obtener los valores de intensidad. Para obtener el valor promedio de la intensidad de campo se utiliza la regla de Simpson de integración. Considerando que el flujo que entra al diente se mantiene constante a través de la sección, la densidad de flujo en la cabeza y en la base del diente es calculada como proporción de la densidad en el punto medio, esto es

s

rs

mt t

ttBB

)(21

+= (3.24)


72

r

rs

mt t

ttBB

)(21

+= (3.25)

Aplicando la regla de integración se tiene que el valor promedio de la intensidad en el diente será

rmst HHHH61

32

61

++>=< (3.26)

luego la caída total de FMM a lo largo del diente se calcula entonces

srmst dHHHF

++>=<

61

32

61 (3.27)

Luego la reluctancia asociada con la región del diente puede ser calculada como

t

tt

FR

φ><

= (3.28)

donde el flujo que circula por el diente es

memt tlB=φ (3.29) luego, la reluctancia queda como

meim

tt tlkB

FR

><= (3.30)

Con fierro ordinario el valor máximo típico de densidad de flujo Bm no debiera exceder de 1.7 teslas en los dientes del estator, y 1.8 T en los dientes del rotor. Para fierros con aleaciones de silicio estos valores son 1.6 y 1.7 teslas respectivamente.

3.4 Núcleo: Yugo rotor y estator De acuerdo a la figura 3.5, si la densidad de flujo en el entrehierro tiene una forma de onda senoidal la densidad de flujo en el núcleo tiene una forma cosenoidal, esto es la densidad de flujo en el núcleo es la integral espacial de la densidad en el entrehierro. En particular si p es el número de polos, luego la distribución espacial de la densidad en el entrehierro puede ser escrita como


73

=

2cos)( 1

θθ pBB gg (3.31)

donde θ es la medida angular del entrehierro.

Figura 3.5. Distribución de la densidad de flujo en el entrehierro y núcleo como función del ángulo θ De la figura se observa que la densidad en el núcleo es cero cuando en el entrehierro es máxima. El flujo total entrando al núcleo como función de la densidad en el entrehierro, puede expresarse como

θθθ

drlpB egcs ∫

=Φ

01 2

cos (3.32)

donde r es el radio de la superficie interior del estator. Cuando se tiene

pp πθπθ

=⇒=22

el flujo en el núcleo alcanza el máximo. Éste valor del ángulo θ se encuentra a 90 del ángulo para el cual la densidad de flujo en el entrehierro es máximo. Luego el valor máximo de la densidad en el núcleo se calcula a partir de la ecuación 3.32


74

12)90( gecs rBlp

=Φ o (3.33)

considerando que el paso polar se puede expresar como

pr

pπτ 2

= (3.34)

esta se puede escribir como

=Φ 1

22

)90( gep

cs Blπ

τo (3.35)

notar que la cantidad 12

gBπ

representa el valor medio de la densidad de flujo por polo y

ep l

2τ

es el área a través del cual el flujo pasa hacia el estator. Dicho flujo se divide en dos

componentes iguales, tomando direcciones opuesta en el núcleo del estator como se muestra en la figura 3.5. La densidad de flujo en el núcleo en el punto θ=π/p (90 grados eléctricos), es decir, valor máximo, se determina a través de la ecuación 3.35 y dividiendo por la sección transversal del yugo del estator. Esto resulta en

iecs

cscs kld

B)90(

)90(o

o Φ= (3.36)

=

πτ 12

2g

ics

p Bkd

(3.37)

donde dcs es la profundidad del yugo del estator. Un procedimiento similar se aplica para determinar el flujo y densidad de flujo en el núcleo roto. Para ese caso la profundidad del yugo del rotor será dcr Conocida la distribución de la densidad en el yugo (estator y rotor) es posible determinar la caída de FMM en esta porción del circuito magnético a través del mismo procedimiento utilizado para el caso de los dientes (regla de Simpson de integración). Sin embargo una consideración previa debe realizarse. A medida que la densidad de flujo en el entrehierro crece el diente comienza a saturarse lo que aleja la distribución de densidad de flujo de la forma senoidal. Claramente, los dientes son los puntos de mayor saturación del circuito magnético, por lo tanto, la onda de B resulta deformada según muestra la figura 3.6. Por lo mismo la amplitud de la fundamental de Bg, Bg1, resulta mayor que la distribución de densidad de flujo en el entrehierro. El cálculo de la caída de FMM basado la onda Bg1 conlleva al error de considerar un valor máximo mayor que densidad de flujo que el que en realidad existe en el yugo por lo que la caída resulta mayor. Por otro lado, considerar una


75

distribución senoidal con valor máximo dado por el valor ‘peak’ de Bg involucra un error debido al menor flujo considerado.

Figura 3.6. Deformación del Bgap debido a la saturación de los dientes Este aparente dilema puede ser resuelto considerando que la deformación de la onda de B es debida principalmente a la tercera armónica (efecto de la saturación). En este caso las ondas de Bg1 y B coinciden en un punto alrededor de los 30°. El valor es exactamente 30 gras si la quinta, séptima, etc armónicas son despreciadas. Asumiendo que las componentes armónicas varían en forma inversa con el orden es decir, la tercer con 1/3, la quinta con 1/5 y así sucesivamente, la intersección ocurre cerca de los 37°. En la practica y dependiendo del peso de cada armónica valores hasta 38° puede ser obtenidos. Se puede demostrar que un valor de 30° es un valor razonable para máquinas prácticas. Debido a que la densidad de flujo aparente y la real son iguales en torno a los 30° respecto de la distribución angular de Bg1 , la caída de FMM en los dientes centrados en esta onda es aproximadamente correcta si se considera que en promedio el valor de la densidad de flujo

para en el tubo de flujo que los contiene igual Bg1cos(30°), es decir, 23 Bg1. Teniendo en

mente estas consideraciones, el procedimiento para calcular la caída de FMM en el circuito magnético principal

a) Asumiendo una componente fundamental de la densidad de flujo Bg1, se calcula el valor correspondiente a 30°


76

max,11max, 23)30( ggg BBB == o (3.38)

b) Con este valor de densidad de flujo, se calcula el correspondiente valor de densidad

den el diente a través de la ecuación... c) Con las densidades obtenidas se calculan las caídas de FMM correspondientes. d) Usando Bg1 se calculan las densidades de flujo en los puntos del estator y rotor par

ángulos θ =30, 60 y 90° . Para el núcleo del estator la cantidad Bcs(3.90°) se calcula a través de la ecuación 3.37. Los restantes se calculan como:

ooo 30cos)90()60( cscs BB =

)90(23 o

csB= (3.39)

ooo 60cos)90()30( cscs BB =

)90(21 o

csB= (3.40)

Expresiones similares se aplican para el núcleo del rotor

e) Los correspondientes valores de intensidad de campo H se obtiene a partir de la curva B-H del material utilizado. Para fierro común, el valor máximo de densidad de flujo en el núcleo deben ser 1.2 a 1.4 T par el estator y rotor respectivamente. Para el caso de fierro silicoso estos valores deben reducirse aproximadamente en un 10%.

f) A través de la regla de Simpson de integración se determinan las caídas promedio de FMM a los largo del núcleo entre θ =30° hasta 150° para rotor y estator. En particular, aplicando esta regla, el valor de la caída de FMM entre cinco puntos equidistantes para un largo igual a l es

)150()120(4)90(2)60(4)30(31

41

,ooooo

cccccavec HHHHHll

H ++++

= (3.41)

por simetría se tiene que Hc(150°)=Hc(30°)

Hc(120°)=Hc(60°) Luego la ecuación 41, queda como

)90(61)60(

32)30(

61

,ooo

cccavec HHHH ++= (3.42)


77

este procedimiento es útil para obtener Hcs,ave como Hcr,ave

g) El valor medio del largo del camino del núcleo de estator equivalente a un paso polar se calcula de acuerdo a la figura 3.7 como

pddD

l csssiscs

)2( ++=

π

(3.43)

(a)

(b)

Figura 3.7. Dimensiones del (a) estator, (b) rotor de la máquina de inducción

Para el rotor se tiene

pddDl crrsor

cr)2( ++

=π (3.44)


78

Donde Dis es el diámetro interior del estator y Dor es el diámetro exterior del rotor. La relación entre esto los diámetros se puede expresar como

Dor=Dis-2g (3.45) Donde g es el largo del entrehierro.

h) La caída de FMM en el núcleo del estator y rotor se puede calcular como

= csavecsavecs lHF

32

,, (3.46)

y

= cravecravecr lHF

32

,, (3.47)

i) La caída total de FMM a lo largo del circuito magnético en el punto dado por el

ángulo de 30°, se calcula como la suma de las caídas en cada porción del camino del flujo. Para el caso de la máquina de inducción, esto es

ΣFcaídas=2Fg(30°)+2Fts(30°)+2Ftr(30°)+Fcs,ave+Fcr,ave (3.48)

3.5 Imanes Permanentes Si se utiliza imanes permanentes para la excitación de la máquina, las condiciones a las cuales opera dependen de las permeancias del circuito magnético. Asumiendo un comportamiento lineal en el segundo cuadrante de la característica B-H del IP cuando se opera sobre un circuito definido por una recta de carga como la mostrada en la figura 3.8 , se tiene que

pmrpm HBB µ+= (3.49) Donde µ=µ0µr. Utilizando esta ecuación es posible desarrollar un modelo para el IP para incorporarlo al circuito magnético de la máquina. Considerando un IP de sección rectangular con una magnetización uniforme dirigida según muestra la figura 3.9a. Luego el flujo que deja el IP es

pmpmrpmrpmpmpm HAABAB µµφ 0+== (3.50) con Apm sección transversal del IP en la dirección de magnetización. La ecuación 3.50, puede ser escrita como


79

mmrm FP+= φφ (3.51) donde, φr es una fuente de flujo fija y

Figura 3.8. Punto de operación del IP en un circuito magnético

(a) (b) (c) Figura 3.9. Modelo del IP. (a) IP de sección rectangular, (b) equivalente Norton, (c) equivalente Thevenin

pm

pmrpm l

AP

µµ0= (3.52)


80

es la permeancia del IP. La ecuación 3.51 representa el modelo del IP como una fuente de flujo en paralelo con una permeancia como se muestra en la figura 3.9b. Estos parámetros están definidos por las características magnéticas y geométricas del IP. Haciendo uso de la analogía eléctrico-magnética, es posible derivar el modelo en términos del equivalente Thevenin, esto es una fuente de FMM, Fpm, en serie con una reluctancia, Rpm, definidos por

pmcpm lHF = (3.53) y

pm

pm

rpmpm A

lP

Rµµ0

11== (3.54)

Parámetros y Pérdidas Juan A. Tapia

1

Chapter 1

PARÁMETROS Y PÉRDIDAS

1.1 Flujos de fuga La corriente que circula por lo bobinados de la máquina crea un flujo magnético el cual tiene varias componentes según se indica en el diagrama de la figura 1. El flujo total, Φtot creado por el bobinado se divide en una componente que cruza el entrehierro y un flujo de fuga que se cierra por del circuito magnético del estator a través de las ranuras del estator y en las cabezas de bobinas. El flujo que cruza el entrehierro se divide en dos componentes; uno de ellos correspondiente al flujo principal o útil que es aquel que se utiliza en el proceso de conversión de energía y uno que sólo enlaza parte de las ranuras del rotor (Flujo diferencial) y dependiendo de la razón de ranuras de estator y rotor parte del flujo va y vuelve entre los dientes y no enlaza conductores en el lado opuesto del entrehierro (Flujo Zig-Zag).

Figura 1. Componentes del flujo creado por los bobinados de una máquina eléctrica Por propósito de conveniencia en el cálculo de la reactancia de fuga, el flujo de dispersión se divide en 4 partes, ver figura 2

a) Flujo de fuga de ranura, el cual pasa a través de la ranura y a través del fierro del diente y la base.

b) Flujo de cabeza de bobina que abarca las bobinas de la armadura en la zona extremas laterales

c) Flujo zigzag que tiene su trayectoria en el entrehierro d) Flujo de fuga de bobinado


2

Figura 2.Líneas de flujo para máquinas de flujo radial

De manera de obtener expresiones para cada uno de las inductancias de fuga se analiza cada uno de los camino de fuga y se determinan sus dependencias con las dimensiones geométricas del circuito magnético.

1.2 Permeancia Específica El flujo de fuga que cruza la ranura es producido corriente que circula por la ranura misma. Aplicando la ley Circuital de Ampere, sobre el circuito magnético de este flujo, se observa que la caída de FMM a lo largo del camino es sobre la ranura y el segmento de fierro que la rodea. Despreciando la caída sobre el fierro respecto de la caída en el aire de la ranura, se tiene que la permeancia de los caminos de flujo pueden ser calculados como la suma de los tubos de flujo definidos por la geometría de la ranura. Considerando una línea de flujo cruzando la ranura en una distancia x de la base, aplicando la ley circuital de Amperes se tiene que

∫ =⋅b

a

IxndlH )( (1)

donde a y b son los puntos marcados en la figura 3 y n(x) es la porción de conductores enlazados a la distancia x de la base de la ranura. Si H es constante entre los extremos del camino a y b se tiene que


3

Figura 3. Geometría ranura para el cálculo de la permeancia específica

Hyy=n(x)I (2) o

IxnyB

o

y )(=µ

(3)

de donde se tiene que

yIxnB oy

)(µ= (4)

Por lo tanto el flujo que cruza a través del elemento diferencial de área ledx esta dado por

dxy

IlxndxlBd e

oey)(

µ==Φ (5)

Los enlaces de flujo encerrados por el flujo dΦ, está dado por

dxy

Ilxndxnd e

o

2)()( µλ =Φ= (6)

o


4

dxyl

nxnInd e

sso

22 )(

= µλ (7)

donde ns es el número total de conductores en la ranura. La inductancia diferencial asociada con el camino de flujo de la figura 3 es entonces

dxyl

nxnn

IddL e

sso

22 )(

== µλ

(8)

por la definición de inductancia se tiene que

dPndL s2= (9)

donde dP es la permeancia diferencial sobre el camino a y b, de acuerdo a la ecuación 8, dicha permeancia queda definida por

dxyl

nxndP e

so

2)(

= µ (10)

Por conveniencia se usa definir este valor de permeancia por unidad de largo del estator, en este caso se habla de permeancia especifica a cual se define como

ydx

nxn

ldPdp

so

ss

2)(

== µ (11)

luego la permeancia especifica se encuentra integrando la ecuación 11,

∫

=

ydx

nxnps

os

2)(µ (12)

Finalmente, la inductancia será

ses plnL 2= (13)


5

Figura 4. Variación de la razón de conductores a lo largo de la ranura notar que para 0<x<d4 la corriente encerrada por el camino de flujo es nula, alternativamente para d3+d4<x<ds toda la corriente es enlazada tal que n(x)=ns por lo que la ecuación 11

ydxdp os µ= (14)

La variación de la razón de conductores enlazados a lo largo de la ranura es mostrada en la figura 4. Esta puede ser considerada como una función normalizada del número de conductores en la ranura.

1.2.1 Permeancia Específica de Ranura Considerando la ranura de la figura 3, la expresión de la permeancia especifica se determina considerando los distintos tubos de flujo a lo largo de la geometría. Notar que para d4<x<d3+d4 la proporción del número de conductores sera

3

4

3

4 )()()()(d

dxdb

dxbA

xAn

xn

s

s

ss

−=

−== (15)

luego con este resultado la expresión 12 se resuelve

∫+

−=

43

3

2

3

43

dd

ds

o bdx

ddxp µ (16)

lo que resulta en


6

so b

dp3

33 µ= (17)

Para los tubos de flujo asociados a las dimensiones do y d2 las permeancias respectivas se calculan a partir de la ecuación 14 resultando en:

so b

dp 22 µ= (18)

y

o

ooo b

dp µ= (19)

Para la sección correspondiente a la distancia d1 la permeancia puede calcularse asumiendo que las líneas de flujo son rectas que unen los puntos de ambas paredes de la ranura, la permeancia especifica puede calcularse sabiendo que

1

432 ))((d

dddxbbby oss

−−−−−= (20)

luego la permeancia especifica para esta zona queda, según la ecuación 12

∫+++

++ −−−−−

=4321

432

1

432 ))((1

dddd

ddd oss

o

ddddxbbb

dxp µ (21)

resultando

−

=o

s

oso b

bbb

dp ln11 µ (22)

Luego, considerando que los cuatro caminos de fuga están en paralelo, la permeancia compuesta detona la ranura será la suma de las permeancias individuales, esto es

++

−

+=+++=sso

s

oso

oos b

dbd

bb

bbd

bd

ppppp3

ln 3214321 µ (23)

Esta expresión se ha obtenido asumiendo distribución uniforme de la corriente sobre la ranura. En el caso de los bobinados de estator, esta situación es casi siempre cierta, ya que la corriente es forzada a circular a través de conductores. Sin embargo, en las ranuras del rotor de una máquina de inducción, la corriente circula por barras sólidas. El efecto de la no uniforme distribución de la corriente debida a las corrientes parásitas, hace que la permeancia varíe dependiendo de la frecuencia y geometría de la ranura


7

1.2.2 Inductancia de Fuga de Ranura de Bobinados de una Capa Si sólo un lado de bobina se aloja en una ranura, la inductancia de fuga asociada a ese lado de bobina esta dada por

sssranura plnL 2= (24) donde ps es la permeancia especifica de la ranura y ns es el número total de conductores conectados en serie en la ranura. Si se asume que la máquina esta conectada de acuerdo a un sistema trifásico de bobinados y que el número total de ranuras del estator son S1, entonces la inductancia de fuga asociada a un grupo de bobinas de la máquina trifásica es

sssranurabobinasgrupo plnmpSL

mpSL 211

_ == (25)

La inductancia de un circuito es la inductancia del grupo de bobina dividido por el número de grupos de bobinas conectadas en serie, es decir

sssbobinasgrupocircuito plnmCSL

CpL 21

_ == (26)

Ahora la inductancia por fase es la combinación de los C circuitos en paralelo que conforman la fase

ssscircuito

fase plnCS

CLL 2

21== (27)

debido a que el número total de conductores por fase, Νs, se puede expresar en función del número de conductores por ranura, ns como

21

21

paralelos circuitosbobina de lados

fasesranuras 1

Cb

mSnnN sss == (28)

donde b es el número de lados de bobina en la ranura. Despejando el número de conductores en la ranura, ns,

bSmCNn s

s1

2= (29)


8

Introduciendo esta expresión en la ecuación 27, se tiene que la inductancia por fase queda expresada como

sssfase plNSbmL 2

12

4= (30)

esta última expresión representa la inductancia de fuga debida al flujo de ranura. Notar que este valor de inductancia es inversamente proporcional al número de ranuras, por lo que a medida que el número S1 aumenta, la inductancia de fuga.

1.2.3 Inductancia de Fuga de Ranura de Bobinados de Doble Capa Como se ha visto en secciones anteriores, el acortamiento y distribución de los bobinados propende a la eliminación de armónicos de bajo nivel, esto hace que lados de bobinas de distinta fase se alojen en una misma ranura. Esto es lo que se denomina bobinados de doble capa. La figura 5, la sección de una ranura que contiene dos lados de bobina, dependiendo del paso de bobina, estos lados pueden corresponder a la misma fase o a fases distintas. El análisis que sigue busca determinar una expresión de la inductancia de fuga de ranura para el caso general en que los lados pueden ser de cualquier fase.

Figura 5. Ranura con bobinado de doble capas

i) Caso Paso de bobina unitario En los casos donde el paso de bobina es unitario, cada ranura esta ocupada con lados de bobinas de la misma fase, por lo tanto la inductancia de fuga de ranura estará dada por

Lslot= 2cn le(PT+PB+2PTB) (31)


9

Donde nc es el número de conductores por lado de bobina en la ranura, PT es la permeancia específica del lado de bobina más cercana al entrehierro, PB es la permeancia del lado mas cercano al yugo y PTB es la permeancia mutua entre ambos lados de bobinas. Notar que el devanado es de doble capa, el número de conductores por lado de bobina es la mitad del número de conductores de la ranura ns. Expresando la inductancia por fase en términos de este último valor se tiene que

++

=4

23

2

2

1 TBBTesfase

PPPlnCSL (32)

la cantidad

42 TBBT

sPPPp ++

= (33)

puede ser considerada como la permeancia efectiva de la ranura, por lo que la ecuación 32 puede ser escrita como

sesfase plnCSL 2

2

1

3= (34)

en función del número total de conductores en seria Ns:

sssfase plNSbmL 2

12

4= (35)

Se debe hacer notar que la ecuación 35, es la expresión de la inductancia de fuga de ranura válida solo para el caso de paso de bobina unitario. Sin embargo, este no es el caso más cercano a la realidad. En la figura 6, se observa el caso de un bobinado con extensión de grupo de bobina de 60º en el cual el paso de bobina se encuentra entre 2/3 y la unidad. Notar que sólo cuando el paso de bobina resulta igual a uno, los lados de bobinas de la ranura corresponden a la misma fase. Si el paso es menor, la ranura es compartida por lados de fases diferentes. De aquí q ue la porción de la inductancia de fuga por fase asociada a la bobina más cercana al yugo (B) puede ser escrita como

=

432

21 B

eslBPln

CSL (36)

Asimismo la porción de la inductancia de fuga asociada a lado de bobina mas cercano al entrehierro (T) es


10

A -B C -A B -CA -B C -A B -C

60 (a)

A -B C -A B -CA -B C -A B -C

α

-C

(b)

Figura 6. Distribución de bobinados, (a) paso completo, (b) paso fraccionario

=

432

21 T

eslTPln

CSL (37)

Notar que la inductancia mutua entre los lados de bobinas de la misma fase variara de acuerdo al paso de bobina seleccionado, en particular será máximo cuando el paso se igual a uno y será cero cuando el paso sea 2/3. Definiendo la razón de traslapo entre fases χ, como

1801 αχ −= (38)

Por lo tanto, cuando χ varía entre estos dos valores se tiene que el acoplamiento mutuo entre lo lados de bobinas se puede expresar como

TBeslTB PlnCSL

−

=4

233

22

1 χ (39)

Ya que el bobinado del estator son simétricos, la componente propia de la inductancia de fuga sera igula para las tres fases esto es

Lsls=LlT+LlB+2LlTB (40)

−++= )23(

24432

21 χTBBT

esPPPln

CS (41)

−++= )23(

24414 2 χTBBTe

sPPP

SlmN (42)


11

esta ecuación, es la extensión de la definición de inductancia de fuga de ranura para el caso en que el paso de bobina resulta diferente de 1. Cuando el paso χ es diferente de la unidad, es claro que aparece el acoplamiento mutuo entre lados de bobinas de distinta fase debido al flujo de ranura, que resulta ser el complemento del acoplamiento mutuo entre lados de bobinas de la misma fase. Es decir, cuando χ=1, el acoplamiento resulta cero y cuando χ=2/3 es máximo. Por analogía al desarrollo presentado previamente, no es difícil verificar que la expresión para la inductancia de fuga entre dos fases es

TBesslm PlmNL

−

−=4334 2 χ (43)

El signo negativo de la ecuación 43 aparece del hecho que las corrientes en las fases tienen direcciones opuestas, como se observa en la figura 6. De la misma figura se verifica que la inductancia mutua entre lados de bobinas de la misma fase, LTB resulta nula para 1/3< χ <2/3, mientras que la inductancia mutua entre lados de bobinas de distinta fase aumenta hasta un valor máximo positivo. Cuando 0< χ <1/3 la inductancia LTB disminuye hasta un valor máximo negativo mientras que la mutua disminuye a cero. Es claro que en general la inductancia de fuga propia y mutua pueden ser expresadas como

Lsls=LlT+LlB+2ks(χ)LlTB (44)

Lslm=km(χ)LlTB (45) Donde LlT y LlB son los calculados para el caso de paso de bobina unitario, esto es:

1

23SplNL T

eslT = (46)

1

23SplNL B

eslB = (47)

y

1

23SplNL TB

eslTB = (48)

Las cantidades ks y km se denomina factores de ranura. Cuando 2/3< χ <1, estos factores están dados por

ks=3χ-2 (49)


12

233 −

=χ

mk (50)

Cuando 1/3< χ <2/3,

ks=0 (51)

263 χ−

=mk (52)

Cuando 0< χ <1/3,

ks=3χ-1 (53)

23χ

=mk (54)

La variación de los factores ks y km respecto del paso χ están graficadas en la figura 7. Se ha demostrado que las tres fases se encuentra mutuamente acopladas a través del flujo de dispersión de ranura, esto sugiere que la expresión apropiada para los enlaces de flujo de los devanados trifásicos son

λsla=Lslsias+Lslmibs+Lslmics= Lslsias+Lslm(ibs+ics) (55) λslb=Lslmias+Lslsibs+Lslmics=Lslsibs+Lslm(ias+ics) (56) λslc=Lslmias+Lslmibs+Lslcics=Lslsics+Lslm(ias+ibs) (57)

considerando que las corrientes del bobinado están conectados sin retorno por el neutro, entonces

ias+ibs+ics=0 (58) Sustituyendo esta ecuación resulta

λsla= (Lsls+Lslm)ias (59) λslb=(Lsls+Lslm)ibs (60) λslc=(Lsls+Lslm)ics (61)


13

Figura 7. Variación de los factores de ranura de acuerdo al paso de bobina

Del trabajo previo se tiene que Lsls+Lslm=LlT+LlB+[2ks(χ)-km(χ)]LlTB (62)

Definiendo

ksl(χ)= 2ks(χ) -km(χ) (63) se puede definir luego la inductancia de fuga asociada al flujo de ranura como

Lsl=Lsls+Lslm=LlT+LlB+ ksl(χ)LlTB (64) Donde el factor de ranura ksl(χ) varia como para 2/3 < χ < 1

213)( −

=χχslk (65)

para 1/3 < χ < 2/3

)12(23)( −= χχslk (66)

para 0 < χ < 1/3

12

3)( −=χχslk (67)


14

la variación del factor ksl esta mostrada en la figura 7

1.3 Inductancia de Fuga de Cabeza de Bobina El cálculo de la inductancia de fuga de cabeza de bobina (end winding) es una tarea difícil de realizar en forma precisa a través de ecuaciones simples. Métodos numéricos basado en los elementos finitos permiten una evaluación correcta, sin embargo en general este valor es pequeño comparado con las otras componentes del flujo de fuga por lo que formulas aproximado que incluya su efecto es suficiente para incluir su efecto. En mucho de estos casos las expresiones contienen factores que son obtenidos de resultados experimentales.

Figura 8. Cabeza de bobinas de bobinado distribuido

La figura 8 muestra las cabezas de bobinas de un bobinado distribuido sobre q ranuras por fase y por polo. Si las q ranuras fueran concentradas en una ranura, la inductancia de fuga asociada a ese lado de la bobina será

Le=(qns)2pewlew (68) Donde pew y lew son la permeancia específica y el largo efectivo de la cabeza de bobina. Si ahora las bobinas se distribuyen sobre las q ranuras se tendrá que la inductancia se calcula como

Le=(qkd1ns)2pewlew (69)

Notar que esta expresión calcula la inductancia de fuga de un grupo de bobinas distribuidas en q ranuras y q lados de bobinas, luego la correspondiente inductancia por ranura es


15

qL

L ees = (70)

es decir

Les=q(kd1ns)2pewlew (71) Experimentalmente se ha encontrado que la permeancia especifica para las cabezas de bobinas de devanados distribuidos puede aproximarse

Pew=1.2µo (72) y el largo efectivo se calcula a partir de la figura 8

lew=rwα (73) luego la expresión 71 se puede escribir como

Les=1.2q(kd1ns)2µorw (74)

De la ecuación 27, la inductancia total por fase se puede calcular como

αµ wosdfase rnkqmC

SL 2

121 )(2.1= (75)

de la ecuación 29, el numero de conductores por ranura se expresa como

bSmCNn s

s1

2= (76)

además, el numero de ranuras por fase y por polo q se calcula como

mpSq 1= (77)

luego la inductancia de fuga por fase se calcula como

αµ wodfase rkp

NL 21

2

8.4= (78)


16

1.4 Inductancia de fuga Zig-Zag Considerando una maquina de inducción simétrica con ns y nr conductores en las ranura de estator y rotor respectivamente, las FMM de estator y rotor se tienden a cancelar tal como ocurre en los transformadores, la diferencia entre ellas impone el flujo en el entrehierro. De aquí se tiene que la FMM por unidad de longitud del entrehierro inducida por la corriente de estator es la misma que la inducida por la corriente del rotor. Se sigue de lo anterior que

s

rr

s

ss InInττ

= (79)

donde Is e Ir son las corrientes de estator y rotor respectivamente, y τs y τr son los pasos de ranuras correspondientes

(a)

(b)

Figura 9. Dientes de estator y rotor para el calculo de la inductancia de fuga zig-zag


17

Evaluando la ley circuital de Ampere a través de un camino cerrado que incluye una ranura de estator, cruza el entrehierro y pasa por la línea central de los dientes del rotor, según indica la figura 9a se tendrá entonces

Fab+Fcd=nsIs+2nrIr (80) Para esta evaluación, las caída de FMM en el fierro se han despreciado. De la ecuación 79, se tiene que

Fab+Fcd=nsIs

−

s

r

ττ21 (81)

Asumiendo una distribución senoidal de FMM y que en el punto a la onda pasa por ser, esto es Fab=0, luego

Fcd=nsIs

−

s

rs

τττ 2 (82)

Sin embargo, cuando se alinea un diente de estator y rotor, figura 10b, se tiene que τs-2τr corresponde a la distancia entre los centros de los dientes de estator y rotor adyacentes. Definiendo

τs-2τr=x (83) luego

Fcd=nsIss

xτ

(84)

Este resultado establece que la deferencia de potencial magnético entre dos punto de dientes opuestos por el entrehierro es igual a la FMM por la ranura de estator por la razón entre la distancia entre dos líneas centrales de los dientes y el paso de ranura de estator. En general, como el diente del rotor se mueve el equivalente a un paso de ranura de estator, τs, se deben evaluar tres regiones: cuando el diente del rotor enfrenta completamente el diento del estator, cuando el diente enfrenta parcialmente el diente del estator y cuando enfrenta la ranura del estator. En función de las dimensiones t1 y t2, estas zonas se definen como

La primera región 2

0 21 ttx −<< , para este caso se tiene que

F(x)=nsIss

xτ

(85)


18

(a)

(b)

(c)

Figura 11. Variación del flujo de fuga zigzag


19

La permeancia en este caso será

2)( tglxP

e

eoµ= (86)

luego, el flujo zigzag correspondiente será

Φ(x)=F(x)P(x) (87) reemplazando las ecuaciones 85 y 86

se

esso τ

xtglInµΦ(x) 2= (88)

la segunda región esta dada por 22

2121 ttxtt +<<

−

+

+= xtt

glxP

e

eo 2

)( 21µ (89)

luego el flujo

+

+= xtt

τx

glInµΦ(x)

se

esso 2

21 (90)

la tercera región esta limitada por 22221 τ

<<+ xtt , a que se enfrenta a la ranura de estator,

la permeancia resulta muy pequeña, la que se puede despreciar, por tanto

Φ(x)=0 (91) La variación de la FMM de rotor en función de la posición x se muestra en la figura---. Reemplazando esta situación por una equivalente que produzca la misma energía media almacenada, se tendrá entonces que

2,

21

s

mediaszz

I

WL = (92)

Luego la energía media almacenada en la región de dientes de estator-rotor, cuando existe

un movimiento tal que 0 < x <2

sτ sera


20

dxxttglxIndx

gtlxInW

e

eo

s

tt

ttss

se

eo

s

tt

sss

media

−

+

+

= ∫∫

+

−

−

2)(2)(2 21

22

2

22

22

0

2

21

21

21

µττ

µττ

(93) resolviendo

3

22

2121

12)()(

s

sseomedia ge

ttttInlWτ

µ −= (94)

por lo que la inductancia de fuga zigzag, de acuerdo a la ecuación 92 se calcula como

3

22

2121

2

6)(

s

seozz ge

ttttnlLτ

µ −= (95)

asimismo la permeancia específica asociada a esta inductancia

3

22

2121

6)(

s

ozz ge

ttttPτ

µ −= (96)

notar que este resultado es independiente de la corriente en la ranura de estator y rotor, por lo que el resultado es válido para cualquier diente y ranura de estator. La inductancia zigzag por fase por fase se calcula como

zzes

fzz plSNL1

2

,12

= (97)

1.5 Flujo de fuga en Máquinas con IP.

1.5.1 Flujo de fuga de entrehierro


21

1.5.2 Flujo de fuga Zigzag Además de los flujos de fuga de entrehierro analizado en secciones previas, el flujo zigzag es otra parte importante del flujo de fuga de una máquina con IPO. Éste flujo se puede descomponer en las componentes mostradas en la figura... Una de ella sólo enlace parte del bobinado de estator, figura a. Un segundo tipo de flujo zigzag es aquel que no enlaza bobina alguna y se cierra a través de la ranura. Ambos flujos son similares a los discutidos en secciones anteriores. La tercera componente del flujo zigzag es aquel que ‘cortocircuita’ los IP´s a través del diente del estator mostrada en ls figura c. Este es especialmente importante en máquinas con ranura semi-cerrada. Para obtener una expresión analítica de este flujo se asumen las siguientes consideraciones simplificatorias

• No existe saturación en el diente del estator y el yugo del rotor. • La máquina gira a velocidad constante • El valor (to+bo)/2 entre dos dientes adyacentes es mayor que la distancia de

separación entre imanes wf

foo wbt

>+2

(98)

En la figura ..b, x es definida como la distancia entre el extremo del IP y el centro de la abertura de la ranura de estator. Es claro que para el rango de x entre 0 y to+bo con periodo to+bo. Se observa a través de la figura..a a c que el flujo de fuga para x=0 es nulo. De lo anterior se tiene que el flujo de fuga ΦLt aumenta con x hasta su valor máximo para el valor de x dado por

2foo wtb

x−+

= (99)

y disminuye hasta a cero cuando x alcanza el valor

foo wtbx −+= (100) Para to+bo-wf < x < to+bo el flujo de fuga resulta despreciable debido a la abertura de la ranura presente entre lo imanes. Luego, el valor máximo de ΦLt puede ser calculado por la division del flujo sobre el ancho del diente como

m

fooLt w

wtbΦ

2−+

= (101)


22

(a)

(b)

(c)

Componentes del flujo de fuga Zigzag en máquina con IP


23

(a)

(b)

(c)

Flujo de Fuga Zigzag: IP cortocircuitados por diente de estator


24

Donde Φm es el flujo que deja el imán. Puede demostrarse mediante análisis de elementos finitos que la relación entre ΦLt y x para 0 <x< to+bo-wf puede aproximarse a una recta, como se muestra en la figura...

Aproximación lineal del flujo de fuga Esta variación se puede expresa algebraicamente como

Para 0 < x < bo+to-wf , y Para bo+to-wf < x < bo+to

=0

xwΦ

Φpm

m

Lt

Dada esta ecuación para un lado del flujo de fuga, el valor medio de éste flujo para ambos lados del imán sobre un paso de ranura esta dado por la integral

∫−+

+=

foo wbt

m

m

ooLt,medio xdx

wΦ

tbΦ

0

2 (102)

resolviendo se obtiene

moopm

fooLt,medio Φ

)t(bwwtb

Φ+

−+= (103)

La ecuación .. representa la componente del flujo que sale del IP que se cierra a través de los dientes del estator, lo que representa el flujo de fuga Zigzag


25

1.6 Resistencias

1.6.1 Resistencia CC La resistencia del devanado de un motor esta compuesta por dos componentes principales: la resistencia de ranura y la resistencia de las cabezas de bobinas. La componente DC de estas componentes están dada por la forma general

c

c

AlR ρ= (104)

donde lc el largo del conductor, Ac el área de la sección transversal y ρ la resistividad. Para uchos conductores la resistividad es una funcion de la temperatura y puede ser aproximada lineal mente a través

ρ(T2)= ρ(T2)[1+β(T2-T1] (105) donde ρ(T2) y ρ(T2) son la resistividad a la temperatura T1 y T2 respectivamente y b es el coeficiente de temperatura de la resistividad. Para 20 °C la resistividad del cobre es 1.7241×10-8 Ωm y β=4.3×10-3 °C-1

Geometría de la ranura y conductor para el calculo de la resistencia Luego la resistencia de ranura que contiene ns conductores conectados en serie es

sscu

sss dwk

lnR2

ρ= (106)


26

donde ls, ws y ds son el largo, ancho y profundidad de la ranura, kcu es el factor de relleno de la ranura y se define como la razón entre la sección de transversal de los conductores que ocupan la ranura a la área total de la ranura. Al igual que la inductancia de las cabezas de bobina, la resistencia de esta sección del devanado es función de cómo el bobinado esta configurado, de acuerdo a la ecuación 72 la resistencia queda expresada como

sscu

wsew dwk

rnR αρ

2

= (107)

Se observa de las ecuaciones anteriores que la diferencia entre las resistencia de ranura y cabeza de bobina es el largo del conductor. Debido a que esta última sección no contribuye a la producción de fuerza sino que sólo a la disipación de energía, es beneficioso minimizar el largo de las cabezas de bobinas y maximizar el largo de ranura.

1.6.2 Resistencia CA Cuando un material conductor es expuesto a una campo magnético variable en el tiempo, se inducen corriente parásitas en el materia de acuerdo a la ley de Lenz. Debido a la distribución del campo magnético en la ranura, una significativa potencia de perdida debida a estas corrientes aparecerán los conductores de los devanados (efecto skin o pelicular), lo que aparecerá como un aumento de la resistencia del devanado. Para entender este fenómeno, considérese un conductor rectangular como el mostrado en la figura... La potencia de perdida debida a la corrientes inducidas producidas por una variación senoidal de flujo magnético en la dirección y se pueden estimar como

2223

121

mocsec HwhwlP µσ= (108)

donde σ=1/ρ es la conductividad del conductor y Hm es el valor RMS de la intensidad de campo magnético. La profundidad pelicular esta definida como

σωµδ

o

2= (109)

Este término considera la disminución de la profundidad efectiva (δds) de la ranura cuando se aplica un campo variable de frecuencia ω.


27

(a)

(b) Variación de la resistencia y reactancia de acuerdo de la profundidad pelicular δd

luego la ecuación 108 se puede escribir como

24

3

6 mcs

ec HhwlPσδ

= (110)


28

Usando esta expresión es posible calcular la resistencia de los conductores de

ranura. De la ecuación 2, la intensidad de campo se puede escribir como

s

sm w

InH = (111)

Si los conductores están distribuidos uniformemente en la ranura y sumando sobre los ns conductores de la ranura, se obtiene que las perdidas por las corrientes parásitas inducidas

24

22

9I

wnhldP

s

sssec

=

σδ (112)

Donde I es la corriente RMS por los conductores. Debido a que la potencia disipada

es I2R, la fracción de la ecuación 112 representa la resistencia efectiva de ranura cuando se esta en presencia de un campo variable en el tiempo. Luego, la resistencia total de ranura puede ser escrita como

Rst=Rs+Rec=Rs(1+∆e) (113)

Donde ∆e se define como +∆e=Rec/Rs es un término dependiente de la frecuencia. A partir de la ecuaciones 107 y 112, este termino resulta en

22

91

==

δh

δd

RR∆ s

s

ece (114)

Este resultado establece que la resistencia no solo es una función del cuociente entre la altura del conductor h a la profundidad pelicular sino que también es función del la razón profundidad de ranura-profundidad pelicular. Se deduce entonces que para minimizar las pérdidas se debe minimizar la profundidad de ranura como el diámetro del conductor. Cuando el efecto pelicular ocurre en el rotor (en motores de inducción) es normalmente referido como ‘efecto de barra profunda’. Mejoras en las condiciones de partida de este tipo de motores se pueden obtener haciendo apropiado uso de este efecto. Barras profunda o doble jaula son mecanismos que se utilizan para este propósito. Cuando la frecuencia en el rotor es alta (a la partida) la corriente se restringe a un apequeña área aumentando la resistencia y con ello las condiciones de torque. A velocidades normales (bajo deslizamiento) la jaula se comporta un conductor redondo o barra de poca profundidad.

1.7 Pérdidas Fierro Después de las pérdidas en el cobre, las pérdidas en el fierros son, en general, las segundas mas importantes en la distribución de pérdidas en máquinas eléctricas, aunque su


29

importancia puede crecer a medida que la frecuencia (velocidad) de operación aumenta. Estas pérdidas nacen de la variación del flujo magnético a través de núcleo de fierro del estator y rotor y se dividen en pérdidas debidas a las histéresis y corrientes parásitas. Las primeras se deben la reorientación (fricción) de los dominios magnéticos del fierro cuando están sometidos a una excitación alterna. Estas pérdidas son proporcionales al área encerrada por el ciclo descrito en el plano B-H, figura 12, luego la potencia media de perdida es proporcional a la frecuencia de la variación del campo magnético.

Figura 12. Ciclo de histéresis

Las pérdidas por corrientes parásitas son debidas también a la variación del flujo magnético en el fierro, la cual induce corrientes que circulan en el núcleo a la misma frecuencia. La fuerza electromotriz que hace circular estas corrientes es proporcional al valor máximo de la densidad de flujo y a la frecuencia, sin embargo las potencia de pérdidas varían con el cuadrado de la fem, por lo tanto también con el cuadrado de la frecuencia y valor máximo de la densidad de flujo. Para reducir este tipo de pérdidas se utilizan laminaciones de fierro con aleaciones de silicio que reducen el circuito eléctrico por donde circulan las corriente y aumentan su resistencia. Tradicionalmente el cálculo de las pérdidas en el fierro se realiza en función de una variación senoidal de la densidad de flujo, caracterizando el las pérdidas en términos de watts por kilogramo de material. Sin embargo, en accionamientos modernos de velocidad variable, los motores son alimentado por voltajes conmutados desde una fuente CC, cuya fundamental resulta senoidal, pero con un importante contenido de componentes armónicas. Esto significa que la densidad de flujo contiene armónicas de varias veces la frecuencia de la fundamental que producen pérdidas extras en el fierro. La dificultad en el calculo de las pérdidas en el fierro radica en que la densidad de flujo no solo varía en el tiempo sino que también entre distintos puntos del circuito magnético de la maquinas. La aproximación más simple para la estimación distingue dos densidad de flujo: la de los dientes y la del yugo, distinciones más específicas son ignoradas por simplicidad. Estos hace posible obtener ecuaciones mas manejables que incluyen la influencia de las dimensiones principales, el nivel de excitación y la frecuencia.


30

Las pérdidas especificas para excitación senoidales en W/kg están usualmente expresadas por la ecuación de Steinmetz

22)( fBCBCW peBpn

Phfe += (115) donde Bp es el valor máximo de la distribución de densidad de flujo, Ch y Ce son coeficientes experimentales. Basados en información entregada por el fabricante, una expresión para las pérdidas especificas de fierro es

))(0639.04427.1(4163.1001843.0 fBfkgW += (116)

Figura 13 presenta una comparación de las pérdidas obtenidas a partir de la ecuación 116 y las curvas entregada por el fabricante

Figura 13. Pérdidas específicas en el fierro en función de la frecuencia de excitación Reconociendo, la importancia de las componentes de alta frecuencia debida a la en la excitación de convertidores de electrónica de potencia y a la variación espacial del la densidad de flujo, se introduce una expresión de las pérdidas en términos de la razón de cambio de la densidad de flujo dB/dt en vez de la frecuencia, esto es


31

2

2)(

2

+=

dtdBCBCW eBpn

Phfe π (117)

El valor de la derivada de B se substituye por el valor RMS sobre un ciclo. El cálculo de la variación en el tiempo de la densidad de flujo en los dientes puede estimarse considerando que

t

tt A

B φ= (118)

donde At es el área transversal del diente y φt, es el flujo a través de él, luego se puede demostrar que

t

tt

Ae

dtdB

= (119)

por lo tanto, el valor RMS de et puede ser usado para el cálculo del valor RMS de dB/dt. Esto permite ligar la forma de onda de la fem inducida en la obtención de las pérdidas en el fierro. El valor RMS de la tensión inducida se calcula a través de métodos de elementos finitos y puede expresarse como

∑= 2kRMS eE (120)

donde las ek son las componentes armónicas de la fem inducida

Principios de Diseño de Máquinas Eléctricas Juan A. Tapia

1

Chapter 1

PRINCIPIOS DE DISEÑO

1.1 Introducción

1.2 Ecuaciones de Dimensionamiento

1.2.1 Cantidades Magnéticas

Figura 1. Geometría de ranura de estator y laminación d estator Para las dimensiones del estator mostrado en la figura 1, la densidad de flujo en el entrehierro se puede asumir senoidal de la forma

=

psenBB gg

θ21 (1)

Luego se tiene que el flujo por polo se calcula como

∫∫

== p sis

gA

gpolo dplD

psenBdAB

polo

π

θθφ2

0 12 (2)

resolviendo


2

plDB sis

gpoloπ

πφ 1

2= (3)

la expresión el 12

gBπ

, representa el valor medio de la densidad de flujo sobre el polo

mientras que la expresión p

lD sisπ representa el área de entrehierro correspondiente a un

polo. Despejando el valor máximo de la densidad de flujo Bg1 se tiene que

sispolog lD

pBπ

φπ21 = (4)

Similarmente la densidad de flujo máximo en los dientes Bt1 se puede calcular como

sssspolot ltSk

pB1

1 2φπ

= (5)

Debido a que el flujo que cruza el entrehierro se divide en dos componentes en el yugo, el flujo en esta sección del circuito magnético se puede calcular como

scss

poloc ldk

B 12

φ= (6)

de estas ecuaciones se tiene que las razón des de densidad de flujo respecto de la densidad de flujo en entrehierro

is

sss

t

g

DkSt

BB

π1

1

1 = (7)

y

is

scs

c

g

Dkpd

BB

=1 (8)

a partir de ecuaciones (7) y (8) se tiene que el ancho de diente y la profundidad del yugo se pueden calcular como

1SDGt is

tssπ

= (9)

y


3

pDGd is

ccs = (10)

donde Gt y Gc describen la distribución de la densidad de flujo respecto al entrehierro, definidas por

1

1

ts

g

BkB

Gt = (11)

y

cs

gc Bk

BG 1= (12)

1.2.2 Área de Ranura A partir de la figura 1 y asumiendo que dos y d1s son muy pequeños, las siguientes expresiones se pueden obtener

S1(tss+w1)=Disπ (13)

S1(tss+w2)=(Dos-2dcs)π (14) Dos=Dis+2(dcs+dss) (15)

Despejando las dimensiones de la ranura w1, w2 y dss se tiene

ssis tDS

w −=1

1π (16)

sscsos tdDS

w −−= )2(1

2π (17)

)(2 12

1 wwSdss −=π

(18)

Asimismo, el área de la ranura trapezoidal, se calcula como

2)( 21

sssl

dwwA += (19)


4

Introduciendo las ecuaciones (9) y (10) en las ecuaciones (16) y (17), para luego introducir ese resultado en la ecuación (19), se llega a

( )22

1

24 os

DDbDaDS

A osisissl +−=π (20)

Donde a=(Gt+Gc)2-(1-Gt)2 b=Gt+Gc Dividiendo ambos lados de la ecuación (20) por 2

osD y reordenando los términos se llega a

12

4

2

21 +

−

=

os

is

os

is

os

sl

DD

bDD

aD

SAπ

(21)

El término del lado izquierdo de la ecuación (21), representa la proporción entre el volumen del estator disponible para alojar los bobinados AslS1 respecto del volumen total de la

máquina 4

2osDπ

. El lado derecho de la ecuación es una función cuadrática dependiendo de la

razón de diámetros os

is

DD

. Definiendo la función

os

is

DD

f como:

122

+

−

=

os

is

os

is

os

is

DD

bDD

aDD

f (22)

luego la ecuación (21), puede escribirse como

=

os

is

os

sl

DDf

DSA

4

21

π (23)

1.2.3 Expresión del Voltaje Inducido Asumiendo una distribución senoidal del flujo por polo, esto es

)(1 tsenAB pologpolo ωφ = (24)


5

La tensión inducida en una bobina de N vueltas, de paso completo estará dada por

dtd

Nte poloφ=)( (25)

en función de los parámetros del bobinado, se tiene

( ))()( 1 tsendtdBlNDte gsis ω= (26)

luego

( ))cos()( 1 tBlNDte gsis ωω= (27) pero ω=2πf, donde f es la frecuencia, luego se tiene

( ))cos(2)( 1 tBlfNDte gsis ωπ= (28) para un bobinado distribuido se tiene que el número efectivo de conductores se calcula como

N=KwNt (29) Donde Kw es el factor de devanado. Considerando, ahora p número de polos, la ecuación (28), puede escribirse como

)cos()( max tEte ω= (30) donde Epk es el valor máximo de la tensión inducida dado por

1max 2 gsistw BlDNKpfE π= (31)

en general esta ecuación se puede expresar como

1max gsiste BlDNKpfE = (32)

donde Ke es un factor que considera la distribución del devanado y


6

1.2.4 Expresión de la Corriente Se define la carga eléctrica del estator de una máquina como el cuociente

estatordelPerimetrototalCorrienteAs __

_= (33)

éste valor toma en cuenta, la capacidad de disipación que tiene la máquina. De acuerdo a la geometría del estator, la carga eléctrica esta dada por

is

rmsts D

INmAπ12

= (34)

definiendo el factor de forma de la corriente como

rmsi I

IK max= (35)

este factor se obtiene como

21

2

max

)(1−

= ∫

T

oi dt

Iti

TK (36)

luego el valor máximo de la corriente en función de la carga eléctrica se puede calcular como

st

isi A

NmDKI1

max 2

=

π (37)

En general la carga eléctrica total de la máquina, A, debe incluir la carga eléctrica del estator y rotor, esto es

rs AAA += (38) luego la carga eléctrica del estator puede ser escrita como

φKAAs +

=1

(39)

donde Kφ, es la razón entre la carga eléctrica del estator y rotores Ar/As, luego la ecuación (37), puede escribirse como


7

st

isi A

NmDK

KI

1max 1

12 φ

π+

= (40)

1.2.5 VA de Entrehierro En general si la inductancia de fuga y la resistencia de estator se desprecian, la potencia de entrehierro de cualquier máquina puede ser expresada como

∫=T

gap dttiteTmVA

0)()(

maxmax IEmKVA pgap = (41)

donde e(t) es la fem inducida por fase debida al flujo en el entrehierro y Emax su valor máximo. Asimismo i(t) es la corriente por fase e Imax es su valor máximo y T es el periodo de un cicle de la fem inducida. La cantidad Kp es definida como

∫=T

p dtIE

titeT

K0 maxmax

)()(1 (42)

donde e(t)/Emax e i(t)/Imax son las expresiones normalizadas de las formas de onda de la tensión inducida y la corriente de fase. Introduciendo las ecuaciones (32) y (40)en la ecuación (42) se tiene la expresión para los VA de entrehierro

sissgpiegap lDpfABKKK

KVA 2

111

2 φ

π+

= (43)

esta ecuación representa los VA de entrehierro de la máquina. Considerando que la sección de cobre de conductores por ranura se puede expresar como

condtslcu ANmSAK 11 2= (44) Y que la corriente en los conductores en función de la densidad de corriente esta dada por

condrmsrms AJI = (45) Luego la expresión de la carga eléctrica de la ecuación (34)


8

rmsis

slcu

is

rmsts J

DSAK

DINmA

ππ112

== (46)

reemplazando esta ecuación en la expresión de los VAgap

[ ] rmsgsisslcupiegap JBlDpfSAKKKK

KVA 111

121

φ+

= (47)

1.2.6 Función de Diámetros, fo Despejando el producto AslS1 de la ecuación (23) e introduciéndola en la ecuación (47)

rmsgsisos

isoscupiegap JBlD

pf

DDfDKKKK

KVA 1

2

411

21

+

=

π

φ

(48)

arreglado los términos se llega a

rmsgsosos

is

os

iscupiegap JBlD

pf

DDf

DDKKKK

KVA 1

2

11

8

+

=

φ

π (49)

definiendo la función de diámetros como

=

os

is

os

is

os

iso D

DfDD

DDf (50)

luego, la ecuación (49) se puede escribir finalmente como

( ) rmsgsosocupiegap JBlDpffKKKK

KVA 1

2

11

8 φ

π+

= (51)

Una vez definida tanto las variables magnéticas y eléctricas, la disposición de los bobinados y sus formas de onda, la ecuación (51) resulta máxima cuando la función fo resulta máxima.


9

Figura 2. Variación de la función fo respecto de la razón de diámetros. p=4, Bcs=0.8Bt1

Analizando la forma de esta función a partir de la ecuación (22)

+

−

=

os

is

os

is

os

is

os

iso D

DDDb

DDa

DDf

23

2 (52)

En la figura 2, se observa la variación de la función fo respecto de la razón de diámetros. Se

observa que para valores dados de las cantidades magnética Gt y Gc existe un valor de os

is

DD

que maximiza la función de diámetro fo. De manera de encontrar el máximo de esta función, se deriva respecto a la razón de diámetros y se iguala el resultado a cero con lo que se obtiene

01432

=+

−

=

os

is

os

is

os

is

os

iso

DDb

DDa

DDd

DDdf

(53)


10

por lo tanto el óptimo se encuentra resolviendo la ecuación cuadrática dada por la

aabb

DD

optos

is

3342 2 −±

= (54)

En la figura 3, se grafica la razón de diámetros óptima como función del número de polos,

so observa que para una determinada distribución de flujo en la máquina, el os

is

DD se

incrementa pero a tazas decrecientes. Al aumentar el número de polos, el flujo que transita por el yugo del estator resulta la mitad del flujo que cruza el entrehierro, la profundidad del yugo, dcs, resulta cada vez menor, por lo que para un determinado Dos, el diámetro interno es mayor. Se observa también que el valor máximo de la función fo se incremente así como el número de polos aumenta

Figura 3. Variación de la óptima razón de diámetros dada por la ecuación (54) y el valor máximo de la

función fo. Bc=0.8Bts y Bg1=0.8Bt1


11

1.2.7 Máxima Carga Eléctrica De manera de mejorar en términos de la evacuación de calor, se debe considerar en este proceso de optimización, la condición de la carga eléctrica de la máquina. Aunque un valor razonable de densidad de corriente se puede utilizar, extraer el calor producido por la circulación de la corriente de estator no se ha considerado hasta este punto. El mecanismo primario para la transferencia de calor desde la zona de la ranura hacia el exterior de la maquina es la conducción, la eficiencia de ello esta basado en la superficie disponible de entrehierro. La carga eléctrica se define como la corriente total del bobinado de estator (o rotor) dividida por el perímetro del entrehierro, ecuación (34).

is

rmssl

is

rmstrms D

JASD

INmAππ

112== (55)

Despejando el producto AslS1 de la ecuación (23) e introduciéndola en la expresión de la carga eléctrica se tiene

+−=

is

ososis

rmscurms D

DbDaD

JKA

2

24

(56)

Esta ecuación, representa la carga eléctrica para un conjunto de parámetros (magnético y geométricos). Luego, para satisfacer la condición de máxima carga eléctrica, la ecuación (56) tiene que ser menor o igual a un valor máximo admisible Arms_max. Esto es

Arms ≤ Arms_max (57)

Entonces, el problema ahora consiste en determinar el valor del diámetro Dis óptimo que maximiza la función fo sujeto a la condición

+−−=

is

ososis

rmscurmsis D

DbDaDJKADg2

max_ 24

)( (58)

donde Arms_max es el valor máximo admisible en el diseño para la carga eléctrica. Un problema de este tipo, que involucra una inecuación, puede ser resuelto cuando se convierte en una igualdad a través del método de Lagrange. En términos de esta formulación, el problema que se debe resolver es

)()(

)()(

is

is

is

iso

DDg

DDf

∂∂

−=∂

∂λ (59)

satisfaciendo la condición


12

g(Dis) = 0 (60)

Esta condición se puede escribir como

024

2

max_ =

+−−

is

ososis

rmscurms D

DbDaDJKA (61)

multiplicando esta ecuación por el cuociente 2os

is

DD se tiene

0124

2max_ =

+−

−

os

is

os

isrmscu

os

is

os

rms

DDb

DDaJK

DD

DA

(62)

o

044

24

max_2

=+

+−

rmscu

os

is

os

rmsrmscu

os

isrmscu JKDD

DAJKb

DDJKa (63)

esta ecuación cuadrática se resuelve como

AACBB

DD

optos

is

242 −±

= (64)

donde

4rmscu JKaA =

+−=

os

rmsrmscu

DAJKbB max_

42

4rmscu JKC =

La ecuación (59) resulta en

−=+−

2

22

3 4143

is

osrmscu

osis

osis

os DDaJK

DD

DbD

Da λ (65)

luego, despejando λ, se obtiene


13

−

+−=

2

22

3

4

143

is

osrmscu

osis

osis

os

DDaJK

DD

DbD

Da

λ (66)

El procedimiento para encontrar el valor óptimo de os

is

DD es resolver la ecuación (64) e

insertar el resultado en la ecuación (66). Si el multiplicador de Lagrange λ es negativo, la

solución para os

is

DD es óptima. Si λ es positiva, la densidad de corriente Jrms debe reducirse o

aumentar el diámetro externo Dos para obtener una solución adecuada.

Figura 4. Comparación del óptimo os

is

DD

para caso con y sin restricción de carga de corriente


14

1.3 Factores de Escalas En máquinas eléctricas, así como en cualquier dispositivo, el tamaño físico tiene efectos fundamentales en las características de operación. Generalmente, estos ‘efectos de tamaño’ tienden a ser favorables en maquinas de gran tamaño. Eses conjunto de relaciones exploran la influencia que tiene el tamaño de la maquina en los parámetros que definen su desempeño. Estas relaciones permiten obtener información a partir de uno o mas diseños y escalarlos a tamaños mayores o menores.

1.3.1 Influencia del tamaño Antes de analizar las complejas relaciones y dependencias de las maquinas eléctricas, se estudia el efecto del tamaño en el caso de un transformado tipo acorazado mostrado en la figura 5

P PS S

w d

h

b b2c c

a

Figura 5. Transformador tipo acorazado Usando las dimensiones del transformador, las ecuaciones básicas de las relaciones terminales y l parámetros eléctricos y magnéticos del bobinado primario son los tabulados en la tabla 1. Cada expresión se ha divido en 4 términos: constante, dependencia geométrica, propiedad del material o cantidad eléctrica-magnética y la frecuencia. Esta división es útil para poner en evidencia la dependencia del tamaño en cada una de las relacionan que determinan el desempeño del transformador. Es claro, a partir de la tabla que si el valor máximo de densidad de corriente y flujo son mantenidos constante para una frecuencia de operación fija, y todas las dimensiones crecen en una razón D, cada una de las cantidades del transformador varían según se establece en la columna de factor de escala en la tabla


15

Tabla 1. Características dimensionales del transformador acorazado

Termino Constante

Característica geométrica

Propiedad del material

Frecuencia

Factor de escala

cfNBAV π2= = π2 NAc B f ND2 (67)

NJA

I w

21

= = 2

1 NAw J

ND 2

(68)

S=VI= π AwAc BJ D4 (69)

w

w

Al

NR 2ρ= = 1

w

w

Al

N 2 ρ D

N 2

(70)

Pcu=RI2= 21 Awlw J2ρ D3 (71)

c

cm l

ANX µω 2= =

2π

c

c

lA

N 2 µ f N2D (72)

l

lol l

ANX µω 2= =

2π

l

l

lA

N 2 µο f N2D (73)

RL

=τ =

wc

wc

llAA

ρµ

D2 (74)

Donde

Aw : Área del bobinado =2

ba

Ac : Área del núcleo =2cd Al : Área de fuga ≈ bd ll : Largo camino de fuga = a lc : Largo del núcleo = ≈ 2h+2b lw : Largo de una vuelta ≈ 2d+4c B : Densidad de flujo máxima J : Densidad de corriente máxima τ : Constante de tiempo de circuito abierto A partir de las relaciones de la tabla se puede concluir que:

• Los Volt-Ampares aumentan según D4, mientras que el volumen y peso aumentan según D3. Por lo tanto la potencia por unidad de peso tiende a aumenta linealmente con D.


16

• Las pérdidas I2R aumentan según D3, mientras que la superficie de evacuación de calor aumenta con D2. Por ello, los problemas de refrigeración aumentan con el tamaño lo que hace necesario incluir elemento que mejoren la ventilación o reducir las cantidades electromagnéticas a medida que el tamaño aumenta.

• La resistencia del devanado varían con D-1. Baja resistencia es deseable en dispositivos magnéticos, esta variación inversa con D, hace que en el diseño transformadores y motores pequeños no se logren buenos rendimientos. En general, dispositivos de gran tamaño tienden a tener mejor desempeño.

• Las Reactancias de magnetización y fuga crecen linealmente con D. Esta variación es deseable para la reactancia de magnetización en transformadores y motores, sin embargo la variación de la reactancia de fuga crea problemas en el diseño. Si esta reactancia se deja crecer naturalmente con el tamaño, las características de regulación en transformadores y torque en los motores de inducción hacen obtener un pobre desempeño.

• La constante de tiempo aumenta según D2 . Por lo tanto lo dispositivos grandes tienen inherentemente, una respuesta lenta. Esto puede ser modificado mediante una adecuada manipulación de la reactancia de fuga.

• El rol del número de vueltas del bobinado afecta al voltaje e impedancia. Se observa que el voltaje, la corriente, la resistencia y reactancia son afectadas por el número de vueltas, mientras que los volt-amperes, pérdidas en el cobre, constante de tiempo, etc. son independientes de N.

• La dependencia lineal de la frecuencia con el voltaje, potencia aparente las pérdidas por unidad de VA, muestra que el peso y la eficiencia son mejorados a medida que la maquina opera a mayor frecuencia. El efecto dominante de la resistencia en la operación a baja frecuencia se hace evidente

1.3.2 Desempeño de máquinas eléctricas según las dimensiones Debido a que en el diseño de una máquina en particular requiere un esfuerzo importante el diseño de maquinas similares pero de diferente potencia puede ser realizado mediante el escalamiento de los resultados. Considerando dos maquinas de la misma topología con todas las dimensiones en una razón k:1 y teniendo la misma velocidad, densidad de flujo y corriente se tiene:

• El voltaje termina varia en una relación k2 . El área de entrehierro aumenta, el flujo por polo aumenta con k2 y si el numero de vueltas del bobinado es mantenida constante, la tensión inducida variará de igual forma. En muchos casos éste número debe acomodarse al voltaje terminal de la máquina por lo que debe decrecer inversamente con k2

• Debido al aumento del área de conductores (y asumiendo una adecuada ventilación) la corriente aumenta de acuerdo a k2 . Si el número de vueltas se diminuye para mantener el voltaje terminal y la cantidad de cobre se mantiene igual, la capacidad corriente se incrementa de acuerdo a k4


17

• Ya que la corriente y el voltaje varían con k2 los volt-amperes aumentan con k4, esto aún es válido si el número de vueltas se reduce.

• Debido a que el área del cobre crecerá en k2 y el largo del conductor en k, la

resistencia varía según k1

• La corriente al cuadrado aumenta con k4 mientras que la resistencia disminuye con

k1 , luego las pérdidas en el cobre varían con k3

• La densidad de flujo se mantiene constante, sin embargo el volumen de la máquina aumenta de acuerdo a k3 por lo que las pérdidas en el núcleo varían de igual forma.

• Dado que la potencia aumenta según k4 y las pérdidas por k3 la potencia de salida aumentara de acuerdo a k4-αk3 donde α son las pérdidas en por unidad para el diseño con k=1. Por lo anterior, la potencia de salida aumenta algo menos que k4.

• Ya que la potencia de salida varia con k4-αk3 y el volumen con k3 , la densidad de potencia crecerá aproximadamente con k

CAD Aplicado al Diseño Electromagnético Juan A. Tapia

1

Chapter 1

CAD APLICADO AL DISEÑO ELECTROMAGNÉTICO

1.1 Introducción

1.2 Formulación Bidimensional Si se considera una región genérica compuesta por fierro, aire y conductores que transportan una densidad corriente J, según muestra la figura 1. Las ecuaciones de Maxwell relevantes para este dominio son

JH =×∇ (1)

0=⋅∇ B (2) con la ecuación constitutiva

HB ro µµ= (3)

Fierro

Aire

Corriente, J

x

y

Figura 1. región genérica en 2D Se define el vector potencia magnético A, con unidades de Wb/m. Este vector satisface la condición

BA =×∇ (4) Introduciendo la ecuación (3) en (1), se tiene


2

JB

ro

=×∇µµ

(5)

introduciendo (4) en la expresión previa

JA =×∇×∇ )(υ (6)

donde ro µµ

υ 1= se define como la reluctividad. Debido a que el problema es

bidimensional, solo existen componentes en x e y de la densidad de flujo, el potencial magnético solo posee componente en la dirección de z. Desarrollando la ecuación (6) se obtiene

Jy

Ayx

Ax

zz −=

∂

∂∂∂

+

∂

∂∂∂ υυ (7)

o

JyA

yxA

x−=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ υυ (8)

La ecuación (8), es válida en cualquier punto del domino de la figura 1. En particular se tiene

• Región de la fuente de corriente: En este caso la permeabilidad corresponde a la del espacio libre (constante), luego la ecuación (8)

JyA

xA

oo −=

∂∂

+

∂∂

2

2

2

2

υυ (9)

• Para la región de aire o espacio libre (J=0)

02

2

2

2

=

∂∂

+

∂∂

yA

xA

oo υυ (10)

• Para la región del fierro (sin corrientes)

0=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

yA

yxA

xυυ (11)


3

La formulación desarrollada considerando el vector potencial presenta algunas ventajas importantes: reduce un problema bidimensional Bx y By en uno de solo una dimensión Az. Además, la obtención del flujo se reduce al cálculo de una integral de línea, esto es

∫ ⋅=S

dSBφ (12)

reemplazando la ecuación (4), se tiene

∫ ⋅×∇=S

dSAφ (13)

Luego, aplicando el Teorema de Store, se tiene

∫ ⋅=l

dlAφ (14)

Donde l es el contorno de la superficie S donde se evalúa el flujo. Figura 2

Slφ

Figura 2. Cálculo del flujo

Conocida la distribución de potencial magnético a partir de la solución de las ecuaciones (8), las componentes de la densidad de flujo pueden ser calculadas como

yABx ∂

∂= (15)

y


4

xABy ∂

∂−= (16)

Mientras que el módulo

2222

∂∂

+

∂∂

=+=xA

yABBB yx (17)

1.3 Método de Diferencias Finitas

1.3.1 Derivación Intuitiva Dada una función f(x) como la mostrada en la figura 3, la derivada, la pendiente o la tangente en el punto P a través de la pendiente del arco PQ como

xyxAyxxA

xA jiji

yx ji∆

−∆+=

∂∂ ),(),(

,

x

AA jiji

∆

−= + ,,1 (18)

xi xi+1 =xi+∆xxi-1 =xi-∆x

O

Q

P

A

Ai-1,j

Ai,j

Ai+1,j

x

∆x∆x

Figura 3. Estimación de la derivada en el punto P

esta corresponde a la fórmula de diferencia hacia delante. Si se aproxima mediante la pendiente del arco OP se tiene:


5

xyxxAyxA

xA jiji

yx ji∆

∆−−≅

∂∂ ),(),(

,

xAA jiji

∆

−= − ,1, (19)

lo que da la fórmula de la diferencia hacia atrás. Si la aproximación de la derivada se hace como la pendiente del arco OQ se tiene

xyxxAyxxA

xA jiji

yx ji∆

∆−−∆+≅

∂∂

2),(),(

,

xAA jiji

∆

−= −+

2,1,1 (20)

Dadas estas aproximaciones, es posible es aproximar la segunda derivada de A(x,y) como

x

xA

xA

xA jiji

ji

yxxyxx

yx ∆

∂∂

−∂∂

≅∂∂ ∆

−∆

+ ,2

2

2

,2

2

2

,2

2

∆

∆−−−

∆

−∆+

∆=

xyxxAyxA

xyxAyxxA

xjijijiji ),(),(),(),(1

o

( )2,1,,1

,2

2 2x

AAAxA jijiji

yx ji∆

+−≅

∂∂ −+ (21)

Cualquier aproximación de la derivada en términos de los valores en un conjunto de puntos discretos es llamada aproximación por diferencia finita.

1.3.2 Derivación Formal de las Ecuación de Diferencia La derivación utilizada en la sección anterior para obtener la aproximación de la derivada en un punto es intuitiva, un enfoque más formal para obtener estas expresiones es utilizando la Series de Taylor. De acuerdo a esta teoría una función puede ser expandida en torno al punto de operacion como


6

( ) ( ) ......!3!2

),(),(,

3

33

,2

22

,

+∂∂∆

+∂∂∆

+∂∂

∆+=∆+jijiji yxyxyx

jiji xAx

xAx

xAxyxAyxxA (22)

y

( ) ( ) ......!3!2

),(),(,

3

33

,2

22

,

+∂∂∆

−∂∂∆

+∂∂

∆−=∆−jijiji yxyxyx

jiji xAx

xAx

xAxyxAyxxA (23)

sumando estas dos expresiones, se obtiene

( ) 4

,2

22 )(),(2),(),( x

xAxyxAyxxAyxxA

ji yxjijiji ∆+

∂∂

∆+=∆++∆+ ξ (24)

donde 4)( x∆ξ es el error introducido por el truncamiento de la serie en el término de tercer orden. Asumiendo despreciable este error, la aproximación para la segunda derivada se puede escribir como

( )2,

2

2 ),(),(2),(x

yxxAyxAyxxAxA jijiji

yx ji∆

∆−+−∆+≅

∂∂

( )2

,1,,1 2x

AAA jijiji

∆

+−= −+ (25)

esta es la misma ecuación obtenida en (21). Sustrayendo la ecuación (23) a la ecuación (22) y despreciando los términos de orden 3)( x∆ , se obtiene

xyxxAyxxA

xA jiji

yx ji∆

∆−−∆+≅

∂∂

2),(),(

,

xAA jiji

∆

−= −+

2,1,1 (26)

Esta ecuación es la mismo obtenida anteriormente referida como formula de la diferencia central, ecuación (20). Se observa de las ecuaciones (25) y (26) que la dependencia del error, x∆ , es cuadrática y lineal respectivamente. Aproximación de diferencias finitas de orden mayor pueden ser obtenida tomando un número mayor de términos de la expansión Serie de Taylor, sin embargo por razones prácticas se truncan después del segundo, lo que impone un error que esa presente en todas las soluciones donde se utiliza esta técnica


7

1.3.3 Solución de la Ecuación del Potencial La ecuación diferencial que describe la distribución del potencial A en un problema bidimensional esta dada por

JyA

yxA

x−=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ υυ (27)

representando esta ecuación en su forma de diferencias finitas en torno al punto O de la figura 4 se tiene Se dicretizará el dominio de estudio, fig. 7, con una malla no uniforme de tal manera de tener una red más fina en las zonas de mayor interés

i

0

νΙΙΙ νΙΙ h2

h4

h1h3y

xi+1i-1

j

j+1

j-1νΙνIV

X

Y

Z

V

Figura 4. Detalles de la grilla Expresión de la primera derivada

3

,1,

hAA

xA jiji

Y

−−=

∂∂ (28)

2

,1,

hAA

yA jiji

X

−=

∂∂ + (29)

1

,,1

hAA

xA jiji

V

−=

∂∂ + (30)

4

1,,

hAA

yA jiji

Z

−−=

∂∂ (31)

Luego la segunda derivada en torno al punto O


8

231

42

24

42

24

hhxA

hhhh

xA

hhhh

xxY

VIIII

V

III

O+

∂∂

++

−∂∂

++

=

∂∂

∂∂

νννν

ν (32)

y

242

31

31

31

31

hhyA

hhhh

yA

hhhh

yyZ

VII

X

IIIII

O+

∂∂

++

−∂∂

++

=

∂∂

∂∂

νννν

ν (33)

JhhyA

hhhh

yA

hhhh

hhxA

hhhh

xA

hhhh

Z

VII

X

IIIII

Y

VIIII

V

III

−=+

∂∂

++

−∂∂

++

++

∂∂

++

−∂∂

++

2242

31

31

31

31

31

42

24

42

24 νννννννν

En la intersección de las líneas de la malla se calcula el valor de A, resolviendo (8) o (9) según corresponda por medio de diferencias finitas como:

NMA ji =, (34)

donde;

( ) ( ) 1,312,1241 ++ ++++= jiIIIIIjiIII AAJM βυβυαβυβυα ( ) ( ) 1,134423 ,1 −++−++ jiIIVIVIII AjiA βυβυαβυβυα (35)

y

( ) ( )312241 βυβυαβυβυα IIIIIIIIN +++= ( ) ( )134423 βυβυαβυβυα IIVIVIII ++++ (36)

Donde las constantes αi están dadas por;


9

( )3111

2hhh +

=α (37)

( )313

32

hhh +=α (38)

( )4222

2hhh +

=α (39)

( )424

42

hhh +=α (40)

y las constantes βi

β11

1 3

=+h

h h (41)

β33

1 3

=+h

h h (42)

β22

2 4

=+h

h h (43)

β44

2 4

=+h

h h (44)

Conocidos los valores de A en cada punto se obtiene la inducción magnética como;

4

4081

2hAAAA

xABx

−+−=

∂∂

= (45)

1

4801

2 hAAAA

yABy

−+−=

∂∂

−= (46)

Luego;

B B BX Y= +2 2 (47)

La ecuación (34) establece que el potencial en el punto (i,j) es una función lineal de los potenciales en los nodos circundantes, es decir, aplicando éste algoritmo a todos los nodos libres el problema se reduce a un sistema de ecuaciones lineales del tipo

bAx = (48)

Donde x son los potenciales en los nodos libres, A y b es la matriz y vector de coeficientes que dependen de la grilla, configuración geométrica, las características del material y fuentes de corriente.


10

1.4 Solución de Ecuaciones Simultaneas LA aplicación de métodos numéricos a problemas electromagnéticos frecuentemente resulta en un conjunto de ecuaciones simultaneas del tipo

=

1

1

1

2

1

21

22221

11211

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

nnnnn

n

n

M

M

M

M

LL

MM

MM

LL

LL

(49)

o

[ ][ ] [ ]bxA = (50) donde [ ]A es la matriz de coeficientes, [ ]x es el vector de incógnitas (potenciales) y [ ]b vector de constantes. En esta sección se presenta una visión breve de los métodos para la resolución de sistema de ecuaciones.

1.4.1 Métodos Directos Si la matriz [ ]A es pequeña, esto es número de incógnitas menor a 60, entonces (50), puede ser resuelto a través de métodos directo, estos son

o [ ] [ ] [ ]bAx 1−= o Método eliminación de Gauss o Descomposición LU o Factorizacion de Choleski

1.4.2 Métodos Iterativos Los métodos directos o de eliminación para la resolución de ecuaciones simultaneas puede ser usado hasta para un numero de incógnitas de 60. Este número puede crecer si el sistemas es bien condicionado o la matriz es esparza. Para un numero mayor de incógnitas, el método de eliminación pasa a ser lento y poco adecuado debido a los errores de redondeo. Para esos tipos de problemas, métodos indirectos o iterativos resultan una mejor alternativa


11

i) Método de Jacobi En este método, el valor actual se calcula en función de los valores de la iteración anterior como

−= ∑

≠=

+

ijj

kjiji

ii

ki xab

ax

,1

1 1 i=1,2,....n (51)

El proceso continua hasta que una condición de error es satisfecha. El procedimiento general es

- Hacer una aproximación inicial para las incógnitas 0ix para los nodos libres

- Calcular las aproximaciones sucesivas kx1 , kx2 ,....... - Continuar hasta que la condición de convergencia sea satisfecha

La convergencia es medida en terminaos de la variación desde la iteración k a la siguiente, esto es

ξ<−+

+

1

1

ki

ki

ki

xxx (52)

donde ξ es un error máximo tolerable

ii) Método de Gauss-Seidel Este es el método mas comúnmente utilizado para resolver promedios indirectos. En el método de Jacobi, todo el vector x de la iteración k-ésima es usada para determinar el valor del potencial de la iteración k+1. Mientras que en el método de Gauss-Seidel, los valores mas recientes son introducidos en el cálculo. Esto es

−−= ∑∑

+=

−

=

++n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki xaxab

ax

1

1

1

11 1 i=1,2,....n (53)

Esto hace que el Método de gauss-Seidel converja mas rápido (casi el doble que en caso del método de Jacobi) ya que hace una actualización de la información en forma natural de acuerdo a la progresión en la malla.

iii) Método de Sobre-Relajación Este es una variación del método de Gauss-Seidel y esta diseñado para acelerar la convergencia. Si se suma k

ix al término del lado derecho de la ecuación (53) y se resta el término ii

kiii axa /)( se obtiene


12

−−+= ∑∑

=

−

=

++n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki

ki xaxab

axx

1

1

11 1 i=1,2,....n (54)

El Segundo término de la derecha de la ecuación (54) puede ser considerado como un factor de corrección. Este factor tiene a cera a medida que la solucion converge. Si el término es multiplicado por un factor de aceleración ω, se tiene

−−+= ∑∑

=

−

=

++n

ij

kjij

i

j

kjiji

ii

ki

ki xaxab

axx

1

1

11 ω i=1,2,....n (55)

Se puede demostrar que el factor de relajación ω es óptimo cuando

+

=

nπ

ωsin1

2 (56)

1.5 Método Elementos Finitos

1.5.1 Formulación del Método de Elementos Finitos Para construir una solución aproximada por el método de elementos finitos, la región del problema se subdivide en elementos triangulares, como lo indica la figura donde las coordenadas de cada nodo son conocidos. El método consiste en la aproximación del potencial magnético en el elemento triangular a través de un patrón uniforme para luego relacionar las distribuciones de potencial en los diversos elementos que conforman la región de análisis


13

Aj

(xj , yj)

(xi , yi)

(xk , yk)

Ai

Ak

x

y

Figura 5. Elemento triangular en el plano x-y Asumiendo que la distribución del potencial dentro del elemento triangular se puede aproximar mediante una relación de primer orden del tipo

cybxayxAyxA e ++== ),(),( (57) luego los potenciales en los vértices están dados por

iiei cybxaA ++= (58)

jjej cybxaA ++= (59)

kkek cybxaA ++= (60)

en la forma matricial, estas ecuaciones se pueden escribir como

=

cba

yxyxyx

AAA

kk

jj

ii

ek

ej

ei

111

(61)

por lo tanto el potencia puede calcularse

( )

=

cba

yxyxAe 1),(


14

( )

=

−

ek

ej

ei

kk

jj

ii

AAA

yxyxyx

yx

1

111

1 (62)

notar que

−−−−−−−−−

=

−

ijkijk

jiikkj

ijjikiikjkki

kk

jj

iikk

jj

ii

xxxxxxyyyyyy

yxyxyxyxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

111

det

1

111 1

(63)

puede demostrarse que

∆=

2

111

det

kk

jj

ii

yxyxyx

(64)

donde ∆ es el área del elemento triangular. Luego la matriz inversa de la ecuación (63) puede escribirse como

∆=

−

kji

kji

kii

kk

jj

ii

cccbbbaaa

yxyxyx

21

111 1

(65)

donde

jkkii yxyxa −= kji yyb −= jki xxc −=

kiikj yxyxa −= ikj yyb −= kij xxc −=

ijjik yxyxa −= jik yyb −= ijk xxc −=

Por lo tanto la distribución de potencial sobre el elemento


15

( )

∆=

ek

ej

ei

kji

kji

kiie

AAA

cccbbbaaa

yxyxA211),( (66)

desarrollando se tiene que

ekkkk

ejjjj

eiiii

e AycxbaAycxbaAycxbayxA )()()(21),( ++++++++∆

=

ekk

ejj

eii AyxAyxAyx ),(),(),(

21 ααα ++∆

= (67)

donde αi, αj, αk son las funciones de forma. Estas funciones son interpolatorias en los tres vértices, esto es, que cada función se anula en todos los vértices excepto en uno de ellos donde adopta el valor unidad

=≠

=jiji

xx iji 10

),(α (68)

La ecuación (67) establece que conocidos los potenciales de nodo es posible determinar la distribución de potencial en cualquier punto del elemento triangular mediante una aproximación de primer orden. Luego las componentes del vector densidad de flujo se tiene

)(21),(

kkjjii

e

x AcAcAcy

yxAB ++∆

=∂

∂= (69)

)(21),(

kkjjii

e

y AbAbAbx

yxAB ++∆

−=∂

∂−= (70)

luego

2222 )()(21

kkjjiikkjjiiyxe AcAcAcAbAbAbBBB +++++

∆=+= (71)

Notar que la magnitud de la densidad de flujo B es constante sobre el triangulo. Ahora el problema se reduce a determinar los potenciales de nodo


16

1.5.2 Método Variacional

1.5.3 Método de elementos finitos de Galerkin La derivación de las ecuaciones de elementos finitos utilizando el método de Galerkin es un caso especial el Método de los Residuales Ponderados (MRP o en inglés Method of Weighted Residuals, MWR). Éste método se aplica como sigue. A una ecuación del tipo

L(x)=0 (72)

Sobre una región Ω con condiciones de borde en el borde C. Sustituyendo una solución aproximada x en la ecuación (72). Dado que xx ˆ≠ se obtiene un residuo

L( x )=R (73)

El MRP requiere que la integral de la proyección del residuo sobre una función de peso especificada sea cero sobre el domino de interés. La elección de las funciones de peso determina el tipo de MRP. Para la presente discusión se utilizaran las funciones de peso que tiene la misma forma de las funciones de forma de los elementos finitos. Este procedimiento es conocido como el método de Galerkin y lleva a las mismas ecuaciones del método variacional donde el principio variacional es conocido. Si se considera la ecuación de difusión en su forma armónica temporal con A, la componente z del vector potencial magnético como incógnita. Para un problema bidimensional cartesiano se tiene

AjJyA

µxA

µ o ωσ+−=∂∂

+∂∂

2

2

2

2 11 (74)

donde µ es la permeabilidad magnética, ω es la frecuencia angular, σ es la conductividad eléctrica y Jo es la densidad de corriente aplicada. Sustituyendo una aproximación, A , par el potencial A entrega un residuo R

AjJyA

µxA

µR o

ˆˆ1ˆ12

2

2

2

ωσ−+∂∂

+∂∂

= (75)

Multiplicando por la función de peso y fijando la integral igual a cero, se tiene

∫Ω

= 0RWdxdy (76)

sustituyendo la ecuación (75), se tiene


17

dxdyWJdxdyAWjdxdyyA

µxA

µW o∫∫∫∫∫∫

ΩΩΩ

=+

∂∂

+∂∂

− ˆˆ1ˆ12

2

2

2

ωσ (77)

integrando por partes el primer término, se tiene

∫∫∫∫∫ ∂∂

−

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

∂∂

+∂∂

ΩΩ Cdc

nAWdxdy

yA

yW

xA

xW

µdxdy

yA

µxA

µW

ˆ

ˆ1ˆˆ1ˆ1ˆ12

2

2

2

µ (78)

Figura 6. Malla de elementos finitos utilizando triángulos donde el último termino es el borde C con n el vector unitario normal. Sustituyendo

este resultado en la ecuación (77) dividiendo la integral de superficie en una sumatoria de elementos de área reducida. En este caso, se enmalla la superficie con triángulos (elementos finitos), figura 6 y se reemplaza la integrar sobre el dominio con una suma de integrales sobre cada triangulo individual

∫∫∑ ∫∫ ΩΩ+

∂∂

∂∂

+∂

∂∂

∂e

eee

M e

eeee

e dxdyAWjdxdyy

Ay

Wx

Ax

Wµ

ωσ1

∫ ∫∫Ω=

∂∂

−C e

eo

ee

e dxdyWJdcWn

Aµ ˆ1 (79)


18

donde M es el numero de elementos triangulares. La integral de línea en la ecuación (79) solo requiere ser evaluada sobre los elementos que tienen un lado en común con el borde del problema. Normalmente esrta integrar es simplemente igualada a cero, implicando que

0ˆ

=∂

∂n

Ae

(80)

lo cual resulta en la denominada condición de borde natural. Sin embargo esta integral es frecuentemente utilizas en problemas en el cual el método de elementos finitos es acoplado con otras técnicas de solución. En estos casos esta integral debe ser evaluada. Si se considera la ecuación .. donde la distribución del potencial en el elemento triangular puede ser expresada en términos de las funciones de forma y los potenciales de nodo como

∑=

=3

1

),(),(i

ii AyxyxA α (81)

Donde Ai son pospotenciales en los nodos y ai son las funciones de forma. Estas funciones tienen la siguiente propiedades

• αi=1 en el nodo i y 0 en los otros nodos • La suma de todas las funciones en cualquier punto del elemento triangular es 1

Escribiendo el potencial en el elemento en la forma matricial se tiene

( )

=ek

ej

ei

ek

ej

ei

AAA

A ααα ,, (82)

donde

∆++= 2/)(),( ycxbayx ei

ei

ei

eiα

∆++= 2/)(),( ycxbayx ej

ej

ej

ejα (83)

∆++= 2/)(),( ycxbayx ek

ek

ek

ekα

Donde ∆ es el área del elemento triangular. En el método de Galerkin, se eligen como funciones de peso, las funciones de forma, esto es


19

=),(),(),(

yxyxyx

Wek

ej

ei

e

ααα

(84)

tomando la derivada con respecto a x e y se tiene

( )

∆=

∂∂

ek

ej

ei

ek

ej

ei

AAA

bbbxA ,,

21 (85)

( )

∆=

∂∂

ek

ej

ei

ek

ej

ei

AAA

cccyA ,,

21 (86)

y

∆=

∂∂

ek

ej

eie

bbb

xW

21 (87)

∆=

∂∂

ek

ej

eie

ccc

yW

21 (88)

utilizando estos resultados e introduciéndolos en el primer término de la ecuación (79), se obtiene

∫∫Ω

∂

∂∂

∂+

∂∂

∂∂

e

eeee

e dxdyy

Ay

Wx

Ax

Wµ1 (89)

donde el término integral , corresponde al superficie del elemento triangular

∆=∫∫Ωedxdy (90)

Sustituyendo


20

∫∫Ω

∂

∂∂

∂+

∂∂

∂∂

e

eeee

e dxdyy

Ay

Wx

Ax

Wµ1 =

+++++++++

∆=

k

j

i

kkkjkjkiki

kjkjjjjiji

kikijijiii

e

AAA

cbccbbccbbccbbcbccbbccbbccbbcb

22

22

22

41

µ (91)

=

k

j

i

eee

eee

eee

AAA

SSSSSSSSS

333231

232221

131211

41 (92)

donde

ee

iie cbS

∆+

=µ4

22

11 e

ejijie ccbb

S∆

+=

µ412 e

ekikie ccbb

S∆

+=

µ413

ee

jijie ccbbS

∆

+=

µ421 e

ejje cb

S∆

+=

µ4

22

22 e

ekjkje ccbb

S∆

+=

µ423

ee

kikie ccbbS∆

+=

µ431 e

ekjkje ccbb

S∆

+=

µ432 e

ekke cb

S∆

+=

µ4

22

33

Debido a que el método de elementos finitos desarrollado en mecánica, la matriz de coeficientes de la ecuación... es algunas veces denominada como matriz de rigidez (stiffness matriz) S. El segundo término de la ecuación integral de la ecuación (79) resulta

( )∫∫∫∫ ΩΩ

=e e

k

ej

ei

ek

ej

ei

ek

ej

ei

e

e

eee dxdyAAA

jdxdyAWj αααααα

ωσωσ ,,

∆

=

k

j

ie

AAA

j

211121112

12ωσ (93)

Esta matriz de coeficientes es referida como matriz de masa, T. La función forzante, es decir el término del lado derecho de la ecuación (79)


21

2)(

2)( ycxba

Jdxdyycxba

JdxdyWJei

ei

ei

oe

ei

ei

ei

oe

eo

++=

∆++

= ∫∫∫∫ ΩΩ (94)

donde x e y son las coordenadas del centro de masa del triangulo

)(31

kji xxxx ++= (95)

)(31

kji yyyy ++= (96)

sustituyendo los valores de ai, bi y ci de la ecuaciones..., la ecuación (94)

32)( ∆

=++ ycxba e

iei

ei (97)

asumiendo que la densidad de corriente Jo es uniforme sobre el elemento triangular, se tiene entonces que

∆

=∫∫Ω111

3o

e

eo

JdxdyWJ (98)

Finalmente, se tiene el sistema de ecuaciones para los potenciales de nodo como

∆

=

∆

+

∆111

3211121112

1241

333231

232221

131211o

k

j

ie

eee

eee

eee

e

J

AAA

j

SSSSSSSSS

ωσµ

(99)

1.5.4 Ensamble de la Matriz Global Hasta aquí se ha formulado el metodología para la determinación de la distribución del potencial magnético sobre un elemento triangular en función de potencial en los nodos utilizando el método Variacional y Galerkin. Queda ahora extender la formulación para el caso de múltiples elementos que constituyen el dominio de análisis. En general, un nodo particular ‘i’ puede ser vértice de un número arbitrario de triángulos. Como se muestra en la figura 7, compuesto por tres elementos triangulares y 5 nodos. Considerando un problema magnetoestático (ω=0), la ecuación (99) para el elemento 1 queda como


22

∆

=

∆111

341 11

3

2

1

133

132

131

123

122

121

113

112

111 J

AAA

SSSSSSSSS

eµ (100)

esta ecuación puede escribirse como

∆=

∆

00111

3

0000000000000000

41 11

5

4

3

2

1

133

132

131

123

122

121

113

112

111

J

AAAAA

SSSSSSSSS

eµ (101)

1

x

y

2

3

4

5

1

2

3

Figura 7. Dominio de múltiples elementos

similarmente para el elemento 2

∆=

∆

01101

3

0000000000000000

41 22

5

4

3

2

1

132

132

241

132

133

231

112

113

211

J

AAAAA

SSSSSS

SSS

eµ (102)

para el elemento 3


23

∆=

∆

11001

3

0000

0000000000

00

41 33

5

4

3

2

1

355

345

351

345

344

341

315

314

311

J

AAAAA

SSSSSS

SSS

eµ (103)

sumando estas 3 ecuaciones matriciales

=

++++

++++

∆

5

4

3

2

1

355

354

351

345

344

244

341

241

234

233

133

132

231

131

123

122

121

315

314

214

213

113

112

311

211

111

0000

000

41

AAAAA

SSSSSSSS

SSSSSSSSS

SSSSSSSSS

eµ

=

∆∆+∆∆+∆

∆∆+∆+∆

33

3322

2211

11

332211

31

JJJJJ

JJJJ

(104)

cuando se extiende este proceso a todos los elementos triangulares del dominio se llega a un sistemas de ecuaciones lineal del tipo

[ ]( ) ( )IAS = (105) El proceso de ensamblaje de los elementos requiere que físicamente los valores de los potencial sean continuo a través de la frontera de cada elemento. Debido a que el potencial en cada triangulo se aproxima mediante una función lineal de x e y a lo largo de cada lado del triangulo, su valor varía linealmente con la distancia. Se satisface, por consiguiente, el requisito de continuidad de los potenciales, siempre que estos sean idénticos en los vértices correspondientes.

1.5.5 Condiciones de Borde Debido a que el campo magnético se extiende infinitamente en el aire circundante al dispositivo magnético bajo análisis, la solución, por lo tanto, se extendería de igual manera, lo que hace que la solución del problema sea imposible. Se hace necesario, entonces, limitar la región de análisis dentro de un área razonable. Estos límites se establecen simplemente definiendo un valor definido de potencial a lo largo de este borde (condición de Dirichlet), como lo indica la figura 8 . El valor de potencial que se asigna a esta línea es


24

arbitrario y no modifica el resultado final. Usualmente este valor se asigna como potencial cero. Dado que los potenciales de nodos asociados a este tipo de bordes son conocidos, no necesitan ser calculado. Y las matrices deben ser modificadas para representar esta condición. Por ejemplo si el nodo 2, del problema discutido anteriormente tiene un potencial Ao, las ecuación matricial se modifica de la siguiente manera

Líneas de flujoA=0

Figura 8. Condición de borde de Dirichlet

=

++++

++++

∆

5

4

3

2

1

355

354

351

345

344

244

341

241

234

233

133

132

231

131

315

314

214

213

113

112

311

211

111

0000

000010

41

AAAAA

SSSSSSSS

SSSSSS

SSSSSSSSS

eµ

=

∆∆+∆∆+∆

∆+∆+∆

33

3322

2211

332211

31

JJJJJ

AJJJ

o

(106)

De esta manera, la solución dará automáticamente la A2=Ao. Manteniendo la matriz el acoplamiento con los restantes nodos Un segundo tipo de condición de borde son establecidos por los ejes de simetría, esto es, las líneas equipotenciales intersectan el borde en ángulo recto (Condición de Neumann). Esta condición se satisface si el nodo no es especificado, de esta forma la reluctividad del los nodos del otro lado del eje de simetría se reduce a ceros (Permeabilidad infinita), por lo que se fuerza que la línea equipotencial intersecte en cuadratura.


25

1.5.6 Problemas nolineales En la formulación precedente se considera las características del material ferromagnético a través de la permeabilidad µ (o la reluctividad, ν). En análisis de maquinas eléctricas la presencia de fierro en el circuito magnético hace que este efecto deba ser considerado. Un buen diseño típicamente implicara trabajar cercano al punto de saturación. La permeabilidad magnética es no homogénea y será función la densidad de flujo local, la cual es desconocida cuando se comienza el análisis. Debido a que la permeabilidad aparece en todos los elementos de la matriz de rigidez, se debe implementar un procedimiento de corrección iterativo que actualice la permeabilidad a medida que se obtiene la solución. Un método simple se presenta en la figura 9. Se comienza asumiendo un valor inicial para cada elemento de la malla, usualmente tomando un valor no saturado. Se resuelve el problema, calculando la magnitud de la densidad de flujo en cada elemento y actualizando el valor de acuerdo a la curva B-H del material ferromagnético. Se compara éste valor con el previo para determinar una condición de error.

errorprevio

previoactual <−

µµµ

(107)

Si no se cumple la condición de error, se resuelve el problema nuevamente, encontrando una nueva distribución de la densidad de flujo y calculándose nuevamente la permeabilidad, continuándose el proceso hasta alcanzar la precisión deseada. En este proceso se puede utilizar algún factor de relajación para acelerar el proceso de convergencia.


26

Inicialización del problema

Fijar el valor inicial de µ del fierro aun valor no saturado

Solución del problema

Actualización del µ

Condición de error del µ

fin

SiNo

Figura 9. Método iterativo para problemas nolineales

1.5.7 Procedimiento General para el Método de Elementos Finitos

i. Generación de la malla: Se debe elegir el numero de elementos triangulares y su localización (coordenadas). En general se debe elegir una mayor densidad en aquellas zonas donde se desee mayor precisión

ii. Numerar elementos y nodos: Los elementos triangulares deben ser numerados en cualquier manera consistente. A continuación se numeran los vértices. A cada elemento se le asignan tres nodos. La numeración de los vértices debe seguir un patrón zigzag para mantener el acople entre los elementos orientada a obtener una matriz banda diagonal. Los números correspondientes a cada elemento debe ser almacenado en una manera consistente (dirección horaria o antihoraria)

iii. Calcular las Coordenadas y área de cada elemento: A cada elementos triangular se le asigna atributos en un arreglo: 1) número de los vértices ordenados en dirección antihoraria, 2) coordenadas x e y de cada uno de los 3 vertices, 3) área del elemento, 4) un número identificatorio del tipo de material (magnético, no-magnético), 5) densidad de corriente en cada elemento (asumida constante)


27

iv. Definir las condiciones de borde: las condiciones de borde se definen para establecer los límites donde el problema se va a resolver.

v. Cálculo de las matrices S y T: las matrices de rigidez y de corrientes se construyen con la información de la etapa iii. El ensamble de a matriz global se realiza incorporando el efecto de cada elemento tomado a la vez.

vi. Solución del sistema de ecuaciones: La solución de la ecuación sigue el siguiente proceso

- Cálculo de la ecuación (105) de los potenciales de nodo. - Cálculo de las componentes de la densidad de flujo de acuerdo a las

ecuaciones (69) y (70) y el módulo con (71). - Se calcula la reluctividad (permeabilidad) a partir del modulo de B sobre el

elemento mediante la apropiada pendiente de la curva B-H del material ferromagnético.

- Actualización de la reluctividad. Este proceso se realiza de manera lenta para evitar oscilaciones de la solución. Para ello se aproxima la reluctividad del elemento k para la iteración i como

)( 11

ki

ki

ki

ki ννλνν −+= −− (108)

donde λ es una constante que usualmente es 0.1

- Calculo de la matriz de rigidez y el algoritmo vuelve al paso i. La proceso iterativo converge a la solución correcta si los dos criterios de convergencia, densidad de flujo y potencial magnético son satisfechos, esto es:

( )error

n

k

ki

n

k

ki

ki

B

B

BB

e

e

≤

−

∑

∑

=

=

−

2

1

2

11

(109)

donde ne es el número de elementos de los elementos triangulares en el dominio de análisis y k

iB es la densidad de flujo del elemento k para la iteración i, y

( )error

n

k

ki

n

k

ki

ki

B

A

AA

≤

−

∑

∑

=

=

−

2

1

2

11

(110)


28

donde n es el número de nodos en el dominio de análisis y kiA es la densidad de flujo de

nodo k para la iteración i. Las cantidades Berror y Aerror son típicamente tomados 0.01


29

1.6 Software Comercial

1.7 Aplicaciones Esta condición se puede escribir como

Tabla 1. Características dimensionales del Transformador acorazado Donde


37

Fab=Hlab (1.48) Donde lab es el largo del material con sección transversal constante. Si el camino del flujo incluye diferentes tipos de material ferromagnético, el valor de H para cada material debe multiplicarse por el largo correspondiente, para obtener la diferencia de potencial magnético para cada porción. La suma de las diferentes diferencias de potencial a lo largo del circuito magnético da el total de FMM necesaria

F=Fab+Fbc+Fcd+...... (1.49) Si la construcción del circuito es tal que el valor promedio de la densidad de flujo difiere demasiado de los valores extremos de densidad de flujo sobre la sección transversal, se debe elaborar un circuito magnético mas preciso. Cuando el problema es determinar el flujo o densidad de flujo producida por una fuente de FMM en varios puntos, esto es un problema del tipo (b), el procedimiento no esta tan directo aun si los flujos de fuga son despreciados. En combinaciones de caminos y derivaciones de circuitos magnéticos de mayor complejidad, métodos de aproximaciones sucesivas conduce rápidamente a la solución. Para tal tipo de problemas un valor de FMM se calcula de manera de producir un flujo Φ1. Si este primer valor de FMM no se aproxima al valor impuesto, un segundo valor Φ2 es elegido, mayor o menor de acuerdo al valor obtenido en la proceso previo con Φ1. Luego de algunas iteraciones, la solución se obtiene rápidamente.

introducción al diseño de máquinas eléctricas udec.pdf

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