introduccion i ntrod uccion - repositorio.unal.edu.co
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Introduccion
lte que la rodea se
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J. M. Casas at
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pecies en el
de especies
centracion,
el proceso
la energfa
se puede
I ntrod uccion
Membrana permeable
Figura 4-11. Esquema de un sistema concentrado de una especie i que de manera natural se presenta la migracion de la especie i desde la solucion concentrada hasta la zona de menor concentracion
Esta tendencia natural en un sentido y diffcil de realizarse en sentido contra rio debe poner al
lector a reflexionar sobre la no-conservacion de una cantidad termodinamica denominada
entropfa. Los ejemplos anteriores permiten resaltar que las dos formas de energfa (trabajo y
calor) son diferentes; que la transformacion de una forma de energfa en otra implica perdida de
informacion que hace que la energfa se degrade y no se recupere facilmente 0 se degrada
totalmente; que existen estados mas probables que otros y tam bien se vislumbra el permanente
aumento del desorden y de la complejidad (Berry R., 1991; Boffetta et. aI., 2002; Capra F., 1998;
Chejne F. 2000; Prigogine I., 1988, 1989, 1996, 1998; Prigogine I. and Stengers, 1994; Sametband
Moises Jose, 1999; Silvestrini Vittorio, 1998; Von Foerster H., 1996; Wagensberg J., 1994). De aquf
es que se plantea una tercera pregunta: (,Es posible medir esta tendencia natural de ir de 10 mas
ordenado y menos probable a 10 mas ordenado y mas probable y como podria modelarlo?
13
14
1. La constitucion Introduccion
La presente monografia esta orientada a la reflexi6n de las tres preguntas planteas, para 10 cual
fue necesario explorar los diferentes aspectos relacionados con la termodinamica fuera del
equilibrio, descripci6n y aplicacion de los diferentes modelos que existen para tratar los casos
fuera del equilibrio, como la termodinamica irreversible lineal 0 termodinami'ca de Onsager (L.
Onsager, 1931), termodinamica racional (Lavenda, 1978; Truesdell C, 1969), termodinamica
extendida (Jou D., Casa-Vasquez J. and Lebon G., 1988) Y 10 relacionado con la teoria estocastica
(Nicolis G. and Prigogine I, 1977) , definici6n de un modelo para el trabajo y el calor, descripcion
de la ecuaci6n de Boltzmann (Boris, 2004), sus modificaciones y su aplicacion en problemas
propios de la termodinamica fuera del equilibrio y propuesta de un modelo para la
irreversibilidad.
Uno de 10 momentos mas confor
la contemplaci6n de todo 10 qu
naturaleza. Parece increible que
partir de las combinaciones repe
moldeando la simpleza para conver
proceso toma tiempo y no es posil
complejidad exista, mayor tiempo h,
•+
•+
Figura 1·
Cada particula elemental posee caracteri
con un valor propio de la energia; no 01
adquiere nuevas caracteristicas, 0 mas b,
estuvieran solas y asi sucesivamente suced
van creando la complejidad y por ende la in
1. La constitucion de la naturaleza Introduccion
planteas, para 10 cual
10dinamica fuera del
para tratar los casos
mica de Onsager (L.
69), termodinamica
a teoria estocastica
II calor, descripcion
ion en problemas
modele para la
Uno de 10 momentos mas confortable que puede tener el ser humane es cuando dedica tiempo a
la contemplacion de todo 10 que 10 rodea y es cuando se da cuenta de la diversidad de la
naturaleza. Parece increfble que la complejidad presente a nuestro alrededor se construye a
partir de las combinaciones repetitivas de elementos simples como una partfcula elemental,
moldeando la simpleza para convertirla en complejidad de manera irreversible (ver Figura 4-1). EI
proceso toma tiempo y no es posible hacerlo sin el, de allf que se podria decir que cuanta mas
complejidad exista, mayor tiempo ha transcurrido: existencia de la flecha del tiempo.
•+
•+
Figura 1-1. De 10 simple a 10 complejo
Cada partfcula elemental po see caracteristicas propias con capacidad de pertenecer a un estado
con un valor propio de la energfa; no obstante, una vez combinada con otra partfcula, el par
adquiere nuevas caracteristicas, 0 mas bien Ie permite acceder a nuevos estado imposibles si
estuvieran solas y asf sucesivamente sucede con las futuras combinaciones, de tal manera que se
van creando la complejidad y por ende la irreversibilidad .
16 La irreversibilidad
La Materia se comprende al estar conformada por moleculas interactuantes en movimiento; la
energia, el calor y el trabajo son cantidades medibles que dependen del movimiento de las
moleculas (F. Ritort, 2006). Por tal motivo en este capitulo se describiran conceptos desde la
termodinamica estadisticas hasta la ecuaci6n de transporte con el objeto de comprender como
puede organizarse la naturaleza para modelarla y lograr establecer leyes de evoluci6n.
Una de las pregunta es este sentido, se relaciona con el hecho de porque recurrir a la estadistica.
La respuesta es debido a que se esta tratando de sistemas que ocupan un volumen dado de
muchas particulas (6,023x1023 moleculas por mol) que para conocer 0 tener la informaci6n
completa del movimiento del sistema y por ende su energia, para luego evaluar todas las demas
propiedades termodinamica del sistema completo; se requiere plantear el sistema de ecuaciones
de movimiento (segunda ley de Newton) en numero igual al numero de grados de libertad e
integrarla; 10 cual es una tarea practicamente irrealizable.
Sistemas reales con un gran numero de particulas y por ende un gran numero de grados de
libertad debe ser reducido a sistemas con pequeno numero de partfculas para poder ser
analizado de manera practica. Aunque los sistemas grandes y pequenos obedecen las mismas
leyes fisicas de movimiento, la reducci6n implica una perdida de informaci6n, 10 cual conduce a
definir unas nuevas leyes estadisticas (Landau y Lifshitz, 1969) que obligan a tratar el problema
con base en eventos probabilisticos y a cambiar el sistema de referencia puramente geometrico
por una marco de referencia establecido en el espacio de las fases .
EI espacio de las fases se construye con base en las coordenadas espaciales generalizadas (q)v las
de momenta 0 impulso generalizado (p); con la propiedad fundamental de que un punto (q,p)
de dicho espacio, en un instante de tiempo dado significa el estado del sistema. Una vez
transcurra un intervalo de tiempo, el punto en el espacio de las fases se habra movido y el
sistema cambiara de estado, constituyendose de esta manera una trayectoria en el espacio de las
fases que significa un proceso que se ha seguido al unir los diferentes puntos sucesivos que han
ocurrido (Ver Figura 4-2).
La constituci6n de la natl
Figura
AI tocar el tema a niv
todo el conjunto de I
Por 10 tanto, se rec
conformaci6n de un
subsistemas que al r
poseyendo s estado
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----La irreversibilidad
-------..--~-----
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La constitudon de la naturaleza 17
Trayectoria
Figura 1-2. Representacion del estado y el proceso en el espacio de las fases.
AI tocar el tema a nivel microscopico, se inmediatamente en el analisis la de
el conjunto particulas que constituyen un sistema total; 10 cual es una tarea intratable.
Par 10 se recurre al concepto definido por Gibbs (J. W. Gibbs, 1960), el cual es la
conformacion de un conjunto a ensambles 0 dicho en otras sistema conformado por
subsistemas que al mismo tiempo tam bien por un gran numero de particulas
poseyendo s estados energeticos (s es el grado de libertad del sistema, V.g. energfa cinetica,
rotadonal, vibradonal, etc).
Una pequena pordon 0 pequeno volumen en el espacio de las (llqL!p) significa un conjunto
de posibles por el que sistema puede estar y tambien al producto la
por el intervalo de tiempo (llELlt). De esta manera, trasladando el sistema desde el espacio
geometrico al de las se traslada tambien la vision del mundo; se pasa de la vision
mecanicista a una vision integral basada en el concepto de la energfa a sea: cada subsistema ha
poseido posibles a sus valores de las
generalizadas del espacio (qi) y del momenta (p;). en consecuencia, se puede definir la
probabilidad (w) de que al observar un subsistema, se Ie encuentre en el pequeno volumen en el
espado de las (llqL!p) como el cociente entre un pequeno intervalo tiempo (M) menor
que T, cuando tiende a infinito (Landau and Lifshitz, 1969). La razon de ello radica en el
hecho de que al cabo de un intervalo de tiempo suficientemente largo (T 00) cada parte del
18 La irreversibilidad
sistema (subsistema) pasa por un numero suficientemente grande de estados posibles; en
si se considera una de tiempo inferior a T (lin, en la que el subsistema se
encontraba en una porci6n del de las fases (liqlip), la relaci6n liT/T adquiere un valor
finito (w) en ellimite de T a infinito:
. /).t (1-1) w Ilm
T->= T
EI valor finito (w) la probabilidad que el subsistema haya pasado por algunos estados
posibles:
(1-2)
pdqdp =~==---
Jpdqdp .!-dqdpJdE
Donde p(q,p)=---;-----:- es la densidad de distribuci6n de probabilidades, la cual cuantifica el
numero posibles que puede tomar el subsistema por unidad de o
simplemente funci6n densidad de la distribuci6n: Ella debe satisfacer la condici6n de
normalizaci6n Jpdqdp 1.
w , /)./
IIm-T->= T
Considerando la situaci6n en que son considerablemente enormes el numero de estados que se
considerar la probabilidad definida aqui, se expresar en de la
funci6n de distribuci6n de probabilidad (f(p, q)), el cual juega el papel de densidad de
proba bilidad:
dw q)dpdq (1-4)
Indudablemente, la funci6n de distribuci6n de probabilidad satisfacer la condici6n de
normalizaci6n: 1 = ff(p,q )dpdq. En termodinamica la funci6n de distribuci6n de
La constituci6n de la naturaleza
probabilidad 0 densida
que una variable aleatoria tomE
interesante en
cualquier magnitud fisica, la cu
puede hallar sin tener que per
conoce la funci6n distribud
(G) = JG(p,q)p(p,
Otro aspecto a remarcar en e:
establece que la funci6n de '
multiples trayectorias en el e!
observado en tiempos cortos
d
EI teorema de Liouville (eq. 1
la fases se conserva
de estados iniciales ocupand
un tiempo, el sistema cambi
tener un nuevo conjur
de estados
Esta nueva manera ver e
necesita perseguir los millol
plano valores promel
tener que tratar con el mu
reducido el numero
- -
La irreversibilidad La constitucion de la naturaleza 19
I ro suficientemente grande de estados posibles; en
~e tiempo inferior a T (L~n, en la que el subsistema se
~ las fases (lJ.qlJ.p), la relacion IJ.T/T adquiere un valor
ito:
(1-1)
3sado por algunos estados
(1-2)
;, la cual cuantifica el
idad de energia 0
r la condicion de
(1-3)
~ estados que se
\ terminos de la
e densidad de
(1-4)
mdicion de
ibucion de
probabilidad 0 funcion densidad de probabilidad es una funcion que describe la probabilidad de
que una variable aleatoria tome un cierto valor.
Algo interesante en resaltar aca con este concepto de probabilidad, es que el promedio de
cualquier magnitud fisica, la cual corresponde al valor de la magnitud en el nivel macroscopico, se
puede hallar sin tener que perseguir el valor de la magnitud en el tiempo, sino que se logra si se
conoce la funci6n de distribucion de probabilidad (Landau and Lifshitz, 1969):
T (1-5) (G) = JG(p,q)p(p,q)dpdq = lim~ JG(I)dt
r->~ T 0
Otro aspecto a remarcar en este item es el relacionado con el Teorema de Liouville, en el que se
establece que la funcion de distribucion de probabil idad 0 PDF es constante a 10 largo de las
multiples trayectorias en el espacio de las fases del subsistema considerado como cuasiaislado u
observado en tiempos cortos (Landau and Lifshitz, 1969):
(1-6)df --L.. ~ -q+-p. af ..J - 0(af dl ,=1 aq, api'
EI teorema de Liouville (eq. 1-6) establece que la densidad de estados energetico en el espacio de
la fases se conserva siempre . Inicialmente, el sistema puede estar caracterizado por un conjunto
de estados inicia les ocupando un volumen inicial con una densidad de estado inicial; despues de
un tiempo, el sistema cambia de estado como consecuencia de la realizaci6n de un proceso, se
logra tener un nuevo conjunto de estados ocupando un nuevo volumen con la misma densidad
de estados iniciales.
Esta nueva manera de ver el mundo (ver Figura 4-3) cambia la perspectiva tal que, ahora no se
necesita perseguir los millones de particulas y conocer su condicion inicial; sino que se pasa al
plano de los valores promedios y del mundo de las probabilidades. Esta simplificacion cuesta el
tener que tratar con el mundo de la incertidumbre dado que al reducir la complejidad se ha
reducido el numero de datos que se requieren para una descripcion mecanica completa (en esta
20 La irreversibilidad
caso se reduce la complejidad al no requerir conocer las condiciones iniciales del millon
partrculas).
SUBSISTEMA SISTEM
MUNDO DE LOS ESTADOS
ENERGETICOS:
PROBABILlSTICO
MUNDO
M ECAN ICiSTA:
Figura 1-3. Esquema ilustrativo de la diferencia entre una teoria mecanicista y otra estadistica
Con la vision probabilfstica del mundo, se puede hallar los valores de las
propiedades de un sistema con base en el conocimiento los estados del
mundo micro. Esto es haciendo el promedio:
T
(I) == J/(q,p)p(q,p}1qdp =liml J/(t)dtT->~ T o
De esta manera, se tiene que el promedio en el tiempo significa 10 mismo que el promedio
realizado con la funcion de Otro importante, es que el valor promedio de
cualquier magnitud (I) sera bastante parecido al valor local 1 si la funci6n de distribucion
p(q,p) es 10 o sea un maximo extraordinariamente
pronunciado en I"'" (I). Cuando esto ocurre, el sistema estara en equilibrio, en
en cada del sistema considerado como subsistema macroscopico el valor medio se
aproxima al valor local, 10 cual es posible cuando el sistema es analizado en un periodo largo de
tiempo, 10 suficiente como para no tener el efecto de las condiciones iniciales de cada
La constitucion de la naturaleza
De otro si el sistema se aleja (
el en un corto in
natural de reacomodarse nuevame
conoce como tiempo de relajacion.
Hasta se tiene una vision simi
en la que se considera estados ene
perdida de informacion y hace ve,
proceso se la perdida de ir
La es: aumento d
simplificacion a la que se recurre
es que el principio de inc
tendencia natural de un sistema
equilibrio,
Esta natural de
equilibrio, hacia un estado estac
nicista 0 probabilistica), 0 !
condici6n inicial a los millones de p,
influencia de la perturbaci6n, las p,
no necesariamente a la misma posic
mecanicista las r
(Landau y 1969) en la que:
a la del otro inver!
y la probabilidad de estar, si revela €
La irreversibilidad
:iones iniciales del millon de
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(1-7)
que el promedio
lor promedio de
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)rdinariamente
lor medio se
lodo largo de
da particula.
La constitucion de la naturaleza ------..--.--.-----~
De otro lado, si el sistema se aleja del equilibrio (I lejos de (I) ), el podra adquirir nuevamente
el equilibrio en un tiempo corto inferior al largo periodo de observacion mediante la tendencia
natural de reacomodarse nueva mente, proceso conocido como relajacion V a dicho tiempo se Ie
conoce como tiempo de relajacion.
Hasta aquI, se tiene una vision simplificada de la naturaleza a traves una vision probabilistica
en la que se considera estados energeticos y probabilidad de estar en ellos. Esto conduce a una
de informacion y hace ver el mundo de tal manera que, cada vez que se rea lice un
proceso se presenta la perdida de informacion sea cada vez mayor (la entropia aumenta).
La pregunta aqui es: tEl aumento la entropia es una ley natural 0 es una manifestacion de la
simplificacion a la que se recurre para la naturaleza teoricamente? La respuesta
personal es que el principio incremento de la entropia es una lev natural como 10 es la
tendencia natural de un sistema aislado fuera del equilibrio se relaje hasta el estado del
eq uilibrio.
Esta tendencia natural relajacion un estado de equilibrio 0 en sistemas fuera del
equilibrio, hacia un estado estacionario, trasciende la forma como se aprecia el mundo
(mecanicista 0 probabiHstica), 0 sea desde el punto vista meca se imparte una
condicion inicial a los mil/ones de partkulas V el sistema se mueve, pero una vez agotada la
influencia de la perturbacion, las particulas se devuelve a su estado de equilibrio de antes, pero
no necesariamente a la misma posicion de antes. Sin embargo, esto no puede ser explicado con el
modele mecanicista de leyes reversibles de Newton, es posible por medio de la cuantica
(Landau y Lifshitz, 1969) en la que se marca una diferencia de la funcion de onda en un sentido
diferente a la del otro sentido inverso; No obstante, la vision simplificada por medio los estado
y la probabilidad de estar, si revela el efecto irreversible de manera magnificada.
21
22 La irreversibilidad
1.1 Estados termodinamicos y elementos cuantica
Se parte de la premisa que el sistema posee una total, E, asumida por la materia (chomos,
moleculas, particulas etc.) que 10 constituye, 10 cual no quiere decir que las
diferentes partfculas que constituyen el sistema tienen la misma energfa, puesto que las
fluctuaciones termicas se de que ello no sea as!; en consecuencia, existen en
niveles de pueden tomar (to, C1 , ...4). Lo interesante es que
los diferentes niveles de son valores definidos y 0 sea, las
elementales, moleculas y "Homos poseer la energfa con los valores definidos y no es
poseer entre un nivel y otro; esto es la de la (Fynman,
E. Schrodinger, 1989; W. Heisenberg, 1949; A. Sepulveda, 1998)
EI problema en este punto es conocer los valores de la 0 los
permitidos para que las partrculas los tomen; para ello se acude a la fisica cuantica. Una vez
conocido los diferentes estados pregunta es lComo se distribuye las
particulas en los diferentes niveles la pregunta es valida, puesto que existe varias
en la que todas las en un mismo nivel (v.g. el nivel
hasta otra en la que restricciones f1sicas como el criterio maxima entropia can
y materia total tarea que se hace desde la termodinamica (Gibb, M.; 1960,
1961; Hill Terrell L., Huidan Yu, 2004; Khinchin A. I., Landau y 1969; Michel Le
Bellac, Fabrice Mortessagne and G. George Batrouni, 2004; Reichl L. E, 1998; Schrodinger Edwin,
Tholman R, 1979; Ljiljana, Kolar-Anic,
La informacion de los estados cuantico en un to se halla con base en la mecanica
cuyas permiten r los puntos mas internos y constitutivos de la materia. Segun
Feynman (Richard P. Feynman, Lectures on Phisics, Fondo Educativo Interamericano SA, 1971),
la mecanica cuantica es la descripcion del comportamiento de la materia y de la luz en sus
detalles y de los eventos fantasticos que ocurren en el nivel atomico. Entre la mecanica y
la cia sica existe un principio de correspondencia, que garantiza una estrecha relaci6n entre
ambas teorias en cuanto a ecuaciones ami claro respectando la evidencias
experimentales que dan soporte a la teorfa cuantica como son los experimentos de Rydberg-Ritz,
La constituci6n dE
relacionados con
discretos de la E
la fn
v(nm) =(nlm). E
Cuimtica los cuale:
1. La probabi
numero c
probabilid,
La amplitu(
en un esta
inventada ~
2. Si un event
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Este principi<
La irreversibilidad
intica
asumida por la materia (atom os,
I cual no quiere decir que las
lisma puesto que las
en consecuencia, existen en
Lo interesante es que
o sea, las particulas
os valores definidos y no es
de la energia (Fynman, 1971;
R.,1998)
de la o los
a fisica cuantica. Una vez
lComo se distribuye
puesto que existe varias
I nivel (v.g. el nivel cero)
na entropia con
:Hstica (Gibb, M.; 1960,
fshitz, 1969; Michel Le
8; Schr6dinger Edwin,
mecanica cuantica,
la materia.
ricano 1971),
a luz en todos sus
'canica cuantica y
:I relaci6n entre
I la evidencias
'e Rydberg-Ritz,
La constitucion de la naturaleza 23
relacionados con el principio de combinacion: v{nm) =v{nk)+ v{km); la existencia de valores
discretos de la y la de frecuencia de Borh: v{nm);:;;: l ); v{nm)h
la frecuencia atomica entre dos estados, la cual como
v{nm) =(nlm). Estos permiten unos principios claves de la Mecanica
Cuantica los cuales se resumen a continuaci6n:
1. La probabilidad (P) en un evento ideal, por el cuadrado del valor absoluto de un
numero complejo denominado la amplitud de probabilidad (<1». La amplitud de
probabilidad es equivalente a la intensidad de una onda:
(1-8)
La amplitud de probabilidad sirve para la probabilidad que una partfcula
en un estado (l pase a otro estado ~, el cual se usara la representaci6n matematica
inventada por Dirac (Feyman, 1971):
¢ (Pia)
2. 5i un evento puede darse de varias maneras (1,2 .... ), la amplitud de probabilidad es la
suma las amplitudes de probabilidad de cada evento considerado
(1-10)¢12 ¢1 +
~2 = +¢zl
~2 (Pla\ +(Pla)2
Este principio hace pensar que el comportamiento at6mico es como el de las ondas.
La constituci6n de la naturale; 24 La irreversibilidad
3. La probabilidad total de presentarse un evento u otro es la suma de las probabilidades de
ocurrencia de cado evento presentado por separado.
¢'2 = ¢, + ¢2 + ... (1-11)
~ 2 =I¢, +¢l =1¢,12+1¢212 =~ +P2 + .. .
Este principio hace pensar que el comportamiento at6mico es como el de las partfculas.
Esto quiere decir que si el evento pas6 por una forma, no pasara por la otra
Este principio se puede ampliar al considerar que los eventos puedan realizarse por
eta pas. Asf que si una particula esta en el estado ex y va para el estado ~, 10 puede hacer
pasando por un estado intermedio j 0= 1,2, .... . ). En consecuencia la amplitud de
probabilidad es el producto de la amplitud de probabilidad del evento en que partfcula
cambia su estado de ex a j por la amplitud de probabilidad de que el estado de la partfcula
cambie de j a ~:
¢, =(PI1)(1I a); ¢2 = (PI2)(2Ia); ... (1-12)
¢'2 =(PI1)(1Ia)+(pI 2)(2Ia)+ ···
Lo mismo:
(PI a) =(PI1)(11 a) +(PI 2)(21 a) +... (1-13)
(Pia) =L(Pli)(ila) }
Sf existen muchos estados intermedios:
( 1-14) (Pia) =L(Pli)(ilk)(kla) jk
Los estados intermedios pueden ser considerados como interacciones de una partfcula
con otra (e .g. fot6n) . Esto quiere decir que las amplitudes ((ilk)) pueden considerarse
la amplitud de la prl
pueden representar u
Se aplica a continuaci6n la e:
situaci6n bastante comun el
particula indistinguibles 0 bo~
fermiones). En esta caso se
aparecen finalmente en las d
impactaran en un area Sj del
sean dispersadas por una dirE
Esto significa que la partfcula
partfculas no son identicas, la
Por 10 tanto, la probabilidad (
Ahora, si la partfcula a se disr
que dos contadores 1 y 2 reci
p
Si las direcciones 1 y 2 son la :
La irreversibilidad
e un evento u otro es la suma de las probabilidades de
10 par
(1-11)
·tamiento at6mico es como el de las partfculas.
par una forma, no par la otra
r que los eventos realizarse por
) a y va para el estado ~, 10 puede hacer
....). En conseeuencia la amplitud de
·babilidad del evento en que particula
ilidad de que el estado de la
(1-12)
(1-13)
(1-14)
de una partfcula
'en considerarse
La eonstitueion de la naturaleza
la amplitud de la probabilidad de la interacci6n entre las partfeulas; en donde, los j
una de las y k otras
Se apliea a continuaci6n la estrategia inventada par Dirac para 105 en una
situaci6n bastante comlin en la ffsica, la cual se relaciona can la a entre
partrcula indistinguibles 0 bosones (las otras particulas distinguibles se Ie conoee como el nombre
En esta caso se considera que existen n (a, b, que se n y
aparecen finalmente en las direcciones 1, 2, n, que apuntan hacia un detector, en donde
impaetaran en un Sj del detector. Primero se la amplitud de una particula a y otra b
sean dispersadas par una direcci6n 1 y otra direcci6n 2 respectivamente:
(1-15 )
Esto que la particula a es por una direcci6n 1 y la b par la 2. Si las
partfculas no son identicas, la amplitud de que las dos oeurran al mismo tiempo es:
(1-16)
Par 10 tanto, la probabilidad de que este sueeso ocurra es:
Ahara, si la partfcula a se dispersa par la direcci6n 2 y la b por la 1, se podrfa hallar la probabilidad
que dos contadores 1 y 2 reciban al mismo tiempo las dos partieulas, la eual es la suma:
Si las direeciones 1 y 2 son las mismas:
(1-19 )
25