introduction à la percolation
TRANSCRIPT
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Introduction à la percolation
Pablo Crotti
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Plan de la présentation
1 Histoire de la percolation
2 L’espace Ld
3 Espace de probabilités sur Ld
4 Phénomènes critiques
5 Calcul de la probabilité critique
6 Simulation de feux de forêt
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Plan de la présentation
1 Histoire de la percolation
2 L’espace Ld
3 Espace de probabilités sur Ld
4 Phénomènes critiques
5 Calcul de la probabilité critique
6 Simulation de feux de forêt
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Plan de la présentation
1 Histoire de la percolation
2 L’espace Ld
3 Espace de probabilités sur Ld
4 Phénomènes critiques
5 Calcul de la probabilité critique
6 Simulation de feux de forêt
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Plan de la présentation
1 Histoire de la percolation
2 L’espace Ld
3 Espace de probabilités sur Ld
4 Phénomènes critiques
5 Calcul de la probabilité critique
6 Simulation de feux de forêt
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Plan de la présentation
1 Histoire de la percolation
2 L’espace Ld
3 Espace de probabilités sur Ld
4 Phénomènes critiques
5 Calcul de la probabilité critique
6 Simulation de feux de forêt
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Plan de la présentation
1 Histoire de la percolation
2 L’espace Ld
3 Espace de probabilités sur Ld
4 Phénomènes critiques
5 Calcul de la probabilité critique
6 Simulation de feux de forêt
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Histoire de la percolation
Au départ...
Hammersley et Broadbent (1957)
"Percolation" ...
Maintenant
Modèle Physique
Modèle Epidémique
Problèmes ouverts
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Histoire de la percolation
Au départ...
Hammersley et Broadbent (1957)
"Percolation" ...
Maintenant
Modèle Physique
Modèle Epidémique
Problèmes ouverts
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Histoire de la percolation
???
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Quelques définitions
Visualisations pour
d = 1, 2, 3
Percolation par site
(site percolation) etpercolation par lien
(bond percolation)
Site/Lien ouvert oufermé, Cluster)
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
L’espace Ld : Définitions
Définition
Soit Zd = x = (x1, . . . , xd) | xi ∈ Z , d ≥ 1. On définit la
distance entre x et y par
δ(x , y) :=d∑
i=1
|xi − yi | ,∀ x , y ∈ Zd .
Définition
Soit le graphe Ld obtenu à partir de Z
d en reliant chaquesommet distant d’une unité par une arête.
Ld := (Zd ,Ed)
où Ed est l’ensemble de ces arêtes.
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Quelques définitions
Visualisations pour
d = 1, 2, 3
Percolation par site
(site percolation) etpercolation par lien
(bond percolation)
Site/Lien ouvert oufermé, Cluster)
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
L’espace Ld : Visualisations pour d = 1, 2, 3
(a) L1 (b) L
2 (c) L3
Fig.: Différentes visualisations de Ld
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Quelques définitions
Visualisations pour
d = 1, 2, 3
Percolation par site
(site percolation) etpercolation par lien
(bond percolation)
Site/Lien ouvert oufermé, Cluster)
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
L’espace Ld : Percolation par site (site percolation)
et percolation par lien (bond percolation)
Percolation par site (site percolation) et percolation parlien (bond percolation)
Le but de la percolation étant de déterminer un "chemin àl’infini" on peut travailler avec :
Percolation par sites (sommet) :Le chemin est constitué de sommets.
Percolation par liens (arêtes) :Le chemin est constitué d’arrêtes.
Selon les probèmes étudiés il est préférable d’utiliser plus untype de percolation que l’autre.
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Quelques définitions
Visualisations pour
d = 1, 2, 3
Percolation par site
(site percolation) etpercolation par lien
(bond percolation)
Site/Lien ouvert oufermé, Cluster)
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
L’espace Ld : Site/Lien ouvert ou fermé
Dans Ld on a l’application :
ω : Ld → 0, 1,
qui attribue aléatoirement 0 ou 1 aux arrêtes ou aux sommets.
Ainsi
Définition
Un site ( ou un lien) e dans Ld est dit ouvert si ω(e) = 1 et
est fermé si ω(e) = 0.
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Quelques définitions
Visualisations pour
d = 1, 2, 3
Percolation par site
(site percolation) etpercolation par lien
(bond percolation)
Site/Lien ouvert oufermé, Cluster)
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
L’espace Ld : Cluster
En regroupant les liens ouverts entre eux on définit
Définition
K := e ∈ Ed | ω(e) = 1
Cette définition de K est aussi valable si on considère les sitesplutôt que les liens.Soit G = (Zd ,K ) le sous-graphe de L
d contenant tous sessommets ainsi que les liens ouverts.
Définition
Chaque composante connexe de G est appelée cluster ouvert.On note
C(x) = y ∈ Zd | y est connecté à x par un chemin ouvert
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Quelques définitions
Visualisations pour
d = 1, 2, 3
Percolation par site
(site percolation) etpercolation par lien
(bond percolation)
Site/Lien ouvert oufermé, Cluster)
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
L’espace Ld : Cluster
(a) (b)
Soient x , y ∈ Zd . On note x ↔ y s’il existe un chemin ouvert
joignant x à y . Notre cluster C(x) devient, en utilisant lanotion de chemin :
C(x) = y ∈ Zd | x ↔ y
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Mise en place de
l’espace probabiliste
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Espace de probabilités sur Ld
Une fois Ld définit, il est utile de mettre une structure
probabiliste sur cet espace.
On pose Ω = 0, 1|Ed | comme univers.
On considère F ⊂ P(Ω) la σ−algèbre des cylindres.
Définition
On dit qu’un élément ω = (ω(e) | e ∈ Ed) ∈ Ω est uneconfiguration pour L
d et que l’arête e est ouverte si ω(e) = 1et fermée si ω(e) = 0.
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Mise en place de
l’espace probabiliste
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Espace de probabilités sur Ld
Définition
Soit (Ω,F , µe). La mesure µe est appelée mesure de Bernoullisi
µe(ω(e) = 0) = 1− p , µe(ω(e) = 1) = p
Définition
Soit Ld = (Zd ,Ed). On dit qu’une arête e ∈ Ed est ouverte
avec probabilité p et est fermée avec probabilité 1− p pour0 ≤ p ≤ 1.La même terminologie est utilisée pour les sommets de Z
d .
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Mise en place de
l’espace probabiliste
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Espace de probabilités sur Ld
Définition
Soit (Ω,F , µe) un espace mesuré où µe possède une densité p.On définit la mesure produit comme
Pp :=∏
e∈Ed
µe
On note Pp pour la probabilité en fonction de p.
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Mise en place de
l’espace probabiliste
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Espace de probabilités sur Ld
Exemple
(c) p2(1− p)2 (d) Animal !
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Clusters, Mesure de
probabilité...
Probabilité de
percolation
Probabilité critique
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Phénomènes critiques
Question : "Que faire de nos clusters et de notre espaceprobabilisé ?"
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Clusters, Mesure de
probabilité...
Probabilité de
percolation
Probabilité critique
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Phénomènes critiques : Probabilité de percolation
On cherche la probabilité qu’il y ait des clusters ouverts detaille infinie, i.e, |C(x)| =∞ (ou encore x ↔∞).
On utilisera la notation C := C(0) = C(x).En effet, on peut ramener x sur 0 par automorphisme.
Définition
Il y a percolation si Ld possède un cluster de taille infinie.
Pour déterminer la percolation, on introduit la fonctionsuivante :
θ(p) : [0, 1] → [0, 1]
p 7→ Pp (|C | =∞)
comme probabilité de percolation.
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Clusters, Mesure de
probabilité...
Probabilité de
percolation
Probabilité critique
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Phénomènes critiques : Probabilité critique
On va maintenant chercher un p tel que θ(p) soit grand.
Définition
La probabilité critique pc(d) est définie comme
pc(d) := supp | θ(p) = 0 .
Remarque
Plus généralement pour n’importe quel graphe G on ometd’écrire la dimension d et on écrit pc . Ainsi on peut redéfinir laprobabilité de percolation comme suit :
θ(p) =
= 0 si p < pc
> 0 si p > pc
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Théorème de Kesten
Théorèmed’existence
Approximation
numérique de p
Simulation defeux de forêt
Théorème de Kesten
Théorème
Pour la percolation par lien (sur L2) et p ≥ 1
2, on a
Pp ( il existe un cluster de taille infinie ) = 1
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Théorème de Kesten
Théorèmed’existence
Approximation
numérique de p
Simulation defeux de forêt
Théorème d’existence
Définition
Soit 0 < p < 1. On définit
ψ(p) = Pp ( il existe un cluster ouvert de taille infinie)
Avec cette définition, nous pouvons maintenant donner lethéorème d’existence d’un cluster ouvert de taille infinie.
Théorème
La probabilité ψ(p) qu’il existe un cluster ouvert de taille infiniesatisfait
ψ(p) =
1 si p > pc
0 si p < pc
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Théorème de Kesten
Théorèmed’existence
Approximation
numérique de p
Simulation defeux de forêt
Approximation numérique de la probabilité critique
ThéoriePour déterminer numériquement p, on regarde les variablesaléatoires
Xi(ω) := 1|C |=∞(ω) et Sn := X1 + . . .+ Xn.
La loi des grands nombres nous dit :
Sn
n→ Ep [X1] = Ep
[1|C |=∞(ω)]
= Pp (|C | =∞) .
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Théorème de Kesten
Théorèmed’existence
Approximation
numérique de p
Simulation defeux de forêt
Approximation numérique de la probabilité critique
Algorithme
INPUT : Taille L du sous-graphe, p, n = nombre d’itération.OUTPUT : Probabilité de percolation θ(p).
1 Initialisation des variables : Sn = 0, k = 0.
2 Tant que k < n :
3 On place aléatoirement des sommets/arêtes sous la probap.
4 On détermine Xk = 1|C |=∞.5 Sn = Sn + Xk , k = k + 1.
6 Retour en 2©.
7 θ(p) = Sn
n
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Théorème de Kesten
Théorèmed’existence
Approximation
numérique de p
Simulation defeux de forêt
Approximation numérique de la probabilité critique
On effectue un grand nombre n de simulations.Pour la taille L on prend les valeurs de θ(p) et on les interpoles.
On applique ensuite l’algorithme pour un autre L.
Au finale on prend nos interpolations et on cherchel’intersection des courbes.
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Théorème de Kesten
Théorèmed’existence
Approximation
numérique de p
Simulation defeux de forêt
Approximation numérique de la probabilité de
percolation
Environ 250 jours de calculs sur cet
ordinateur ! ! !
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Théorème de Kesten
Théorèmed’existence
Approximation
numérique de p
Simulation defeux de forêt
Approximation numérique de la probabilité critique
Fig.: Wanzeller W.G. Percolation of Monte Carlo Clusters, BrazilianJournal of Physics, vol 34, no. 1A, March 2004
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Théorème de Kesten
Théorèmed’existence
Approximation
numérique de p
Simulation defeux de forêt
Approximation numérique de la probabilité critique
Graphe Site Lien
L2 0.592746 0.5
L3 0.3116 0.2488
L4 0.197 0.1601
Triangulaire 0.5 0.34729Diamand 0.43 0.388
Histoire de lapercolation
L’espace Ld
Espace deprobabilitéssur L
d
Phénomènescritiques
Calcul de laprobabilitécritique
Simulation defeux de forêt
Simulation de feux de forêt
Simulation de feux de forêts
Arbres placés de manière aléatoire (avec probabilité p) surL
2.
Chaque arbre est considéré comme un site.
On met le feu sur un arbe qui est choisit aléatoirement.