Introduction aux probabilités

Définitions

Expérience aléatoire

Si l’on énumère tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire, on constitue un ensemble appelé l’univers des possibles et noté Ω (oméga).

Exemple 1

Lorsque l’on observe la couleur d’une bille tirée au hasard d’un sac de billes, contenant des billes bleues, rouges et jaunes, l’univers des résultats possibles est :

Ω = bleue, rouge, jaune.

Une expérience est dite aléatoire si son résultat dépend du hasardc’est-à-dire qu’on ne peut pas prédire avec certitude le résultat del’expérience.

Lors du lancer d’un dé à six faces numérotées de 1 à 6, l’univers des résultats possibles est :

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Exemple 2

Événement

Un événement est un sous-ensemble de l’univers des résultats possibles.

Exemple 1

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes, « Obtenir une dame » est un événement et correspond à :

Dame de coeur, dame de pique, dame de carreau, dame de trèfle.

Lors du lancer d’une pièce de monnaie, « Obtenir pile » est un événement élémentaire, car il représente un seul résultat, soit pile, de l’univers des résultats possibles.

Exemple 2

Évènements compatibles et incompatibles.

Deux événements A et B sont compatibles lorsqu’ils peuventse réaliser en même temps (simultanément).

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes;

Événement A : « Obtenir une carte de cœur »;Événement B : « Obtenir un as ».

Les deux évènements sont compatibles, car ils peuvent se produire en même temps (simultanément); par exemple, « Obtenir l’as de cœur ».

Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Lors de la pige d’une carte dans un jeu de 52 cartes;

Événement A : « Obtenir une carte de carreau »;Événement B : « Obtenir une carte noire ».

Les deux évènements sont incompatibles, car ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Deux événements peuvent être indépendants.

C’est-à-dire que la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de réalisation de l’autre.

Le résultat de l’Extra est composé de 7 numéros provenant de 7 bouliers contenant chacun des boules numérotées de 0 à 9.

Deux événements peuvent être dépendants.

C’est-à-dire que la réalisation de l’un influence la probabilité de réalisation de l’autre.

Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans le boulier et on fait le deuxième tirage; ainsi de suite, pour les 6 numéros.

La lotto 6/49 est un bon exemple.

La loto Extra est un bon exemple.

Évènements dépendants et indépendants.

Tous ces types d’évènements :

- événement simple;

- évènements compatibles et incompatibles;

- évènements dépendants et indépendants;

peuvent être calculer à partir de procédés mathématiques.

C’est ce qu’on appelle les calculs de probabilités.

- etc.

nombre de cas favorables

nombre de cas favorables

Probabilité théorique

La probabilité théorique d’un événement est un nombre qui mesure la possibilité que cet événement se produise. Ce nombre est déterminé uniquement à l’aide d’un raisonnement mathématique.

Probabilité théorique = nombre de cas possibles

Lorsqu’on tire une bille d’un sac contenant 4 billes vertes, 5 billes blanches et 3 billes orange, la probabilité théorique de l’événement « Obtenir une bille blanche » se calcule comme suit :

Probabilité théorique = nombre de cas possibles 12

5=

P (Obtenir une bille blanche) = 12

5

Exemple

nombre de fois que le résultat attendu s’est réalisé

Probabilité fréquentielle

La probabilité fréquentielle d’un événement est obtenue à la suite d’une expérimentation. Elle est souvent utilisée lorsque la probabilité théorique est impossible à calculer.

Probabilité fréquentielle nombre de fois que l’expérience a été répétée

Dans une usine fabriquant des engrenages, on constate qu’à toutes les mille pièces usinées, deux sont défectueuses.

=

Probabilité fréquentielle : 2

1 000= 0,002 = 0,2 %

Exemple 1

Exemple 2

Avec une pièce de monnaie, on sait que la probabilité théorique « d’obtenir pile » est de 1/2.

Pour s’amuser, on lance une pièce de monnaie 1 000 fois, on obtient alors 650 fois le côté « Pile ».

Probabilité fréquentielle :650

1 000= 0,650 = 65 %

On peut alors présumer que la pièce de monnaie est truquée.

Dans le cas d’une probabilité fréquentielle, plus le nombre de répétitions est grand, plus on a de chances que la probabilité fréquentielle se rapproche de la probabilité théorique.

Cette constatation que l’on fait dans les expériences aléatoires est appelée la loi des grands nombres.

Probabilité subjective

La probabilité subjective qu’un événement se produise est attribuée selon le jugement ou la perception d’une personne possédant un certain ensemble de renseignements sur la situation ou l’expérience aléatoire.

On annonce 75 % de probabilité d’averses de neige pour demain.

Exemple