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Introduction à l’analyse en ondelettes et à l’analyse multi-résolution

Frédéric TruchetetLe2i, UMR 5158

Université de Bourgogne - [email protected]

Introduction à l’analyse en ondelettes et à l’analyse multi-résolution

� Première partie: une introduction en «images »

� Deuxième partie: un peu plus de rigueur

� Troisième partie: quelques applications

Le contexte : traitement du signal et des images

� Signal ou image: information quantifiée

� Traiter: AnalyserTransformerSynthétiser

Des ondelettes, pourquoi ?

Traitement du signal

Exemple de problème :

Analyse d’une phrase musicale

� Création automatique d’une partition à partir d’un signal sonore

� Reconstruction du morceau de musique à partir de la partition

Un son : une fonction du temps, un signal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Notes Accord

Des ondelettes, pourquoi ?

La partition décompose la musique en « atomes » ou notes situés en

� Hauteur (do, ré, mi, etc…)

� Durée (ronde, blanche, noire, croche, etc…)

� Position dans le temps (barres de mesure)

c’est une analyse

La partition permet au musicien de reproduire la musique

c’est la synthèse

Distinguer les fréquences

-0.4

-0.2

0

0.2

Part

ie r

éelle

Signal temporel

05381076

Echelle lin.

Densité s

pectr

ale

d'é

nerg

ie

|STFT|2, Lh=50, Nf=256, Ech. lin., Seuil=5%

Temps

Fré

quence

100 200 300 400 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

ACCORD

Distinguer les instants et les fréquences

-0.2

0

0.2

Part

ie r

éelle

Signal temporel

072143

Echelle lin.

Densité s

pectr

ale

d'é

nerg

ie

|STFT|2, Lh=50, Nf=256, Ech. lin., Seuil=5%

Temps

Fré

quence

100 200 300 400 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

DOREMI

Un son : des ondes

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Représentation temporelle du son correspondant au mot GABOR

temps

GABOR

0 500 1000 15000

50

100

150

200

250

300

350

400Représentation fréquentielle du son GABOR

fréquence

GABOR

Un son : une fonction du temps et de la fréquence

-0.2

0

0.2

Part

ie r

éelle

Signal temporel

Echelle lin.

Densité s

pectr

ale

d'é

nerg

ie

|STFT|2, Lh=50, Nf=256, Ech. Log., Seuil=5%

Temps

Fré

quence

100 200 300 400 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

GABOR

Onde et impulsion

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Onde sinusoïdale

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

x 104

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Impulsion sinusoïdale

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

x 104

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Impulsion sinusoïdale

Une ondelette, qu’est-ce que c’est ?

� Fonction mère oscillante, localisée :

ψ(t)


� Famille construite par dilatation

ψ(t) ψ(t/2) ψ(t/4)


� et translation :

ψ(t) ψ(t-20) ψ(t-40)

-1

-0.5

0

0.5

1

-100 -50 50 100t

-1

-0.5

0

0.5

1

-100 -50 50 100t

-1

-0.5

0

0.5

1

-100 -50 50 100t

)(a

bt −ψ

Ondes ou ondelettes ?

� ONDES

� Hauteur (fréquence)

� Durée infinie (ou presque !)

� Délocalisation temporelle totale

• ONDELETTES

• Hauteur

• Durée

• Localisation temporelle

alors

Ondelette = Note ?

Qui a inventé les ondelettes ?La famille, de Joseph Fourier à Jean Morlet et après …

une histoire presque française

L ’aïeul

� Joseph FOURIER né à Auxerre en 1768,

mathématicien amateur, préfet de l’Isère

publie en 1822 une théorie de la chaleur…

Toute fonction « physique » est une sommed’ondes sinusoïdales : Transformée de Fourier

Qui a inventé les ondelettes ?

Le Grand-père

� Dennis GABOR ingénieur électricien et

physicien anglais d’origine hongroise,

prix Nobel de physique en 1971 pour l’invention

de l’holographie.

Décomposition en « trains d’ondes » de longueur constante : transformée de Fourier à court

terme (1946)

Le pèreJean MORLET ingénieur polytechnicien français,

géologue pour la compagnie pétrolière

Elf Aquitaine

Décomposition en ondelettes de durée inversement proportionnelle à la fréquence

(1982)

les enfants

A.Grossmann (1983), Y.Meyer (1986),

S.Mallat (1987), I.Daubechies (1988),

P.G.Lemarié, R.Kronland-Martinet, J.C.Fauveau (1990), W. Sweldens (1995) ...

Qui a inventé les ondelettes ?

Deuxième partie: un peu plus de rigueur …

… et de mathématiques

Analyse de fonctions d’énergie finie

� On se place dans un contexte Hilbertien:

� Espace vectoriel des fonctions d’énergie finie: L2(R)*

� Produit scalaire et norme

� Convergence des suites de Cauchy (complétude)

� Les expansions: familles, complètes, « overcomplete », linéairement indépendantes, bases et autres

*des analyses en ondelettes sont bien entendu possibles pour d’autres espaces de fonctions comme L1(R)

Analyse linéaire des fonctions

� Famille : {…ei(t)…} pas linéairement indépendant (pas une base) s(t)=Σαiei(t)� αi non uniques (overcomplete expansion). Sous certaines conditions (existence de

bornes) on peut avoir une “trame” (frame).

� L’analyse est redondante.

� Si linéairement indépendant, alors base pour l’espace engendré: les coefficients αi sont uniques, l’analyse est non redondante.

� Base orthogonale <ei, ej>=δij� αi=<ei,s> et donc s(t)=Σ<ei,s> ei(t)

� Théorème de Parseval: ||s ||2= Σ |<ei,s>|2

� Base oblique (biorthogonale), peut, en théorie, toujours être orthogonalisée(Gram-Schmidt pour dimension finie)

� On construit une famille de Riesz (existence de bornes) duale: {…êi(t)…} avec <ei, êj>=δij (peut être difficile pour les espaces de dimension infinie)

� s(t)=Σ<êi,s> ei (t)

� ||s ||2= Σ <ei,s>* <êi,s>

Analyse de Fourier

� Transformée de Fourier

� Transformée de Fourier à fenêtre glissante: analyse de Gabor

Analyse de Gabor

� On choisit une gaussienne comme fonction fenêtre g(t)~e-t2

� La fonction d’analyse est g(t)e-jωt, le spectre de g est translatéautour de ω

� Le plan temps-fréquence est donc découpé en atomes d’analyseconstants.

temps

fréquence

Ondelettes

� Transformée en ondelettes

� Inversion

� Condition d’admissibilité

� Régularité et moments nuls (CN-1 si N moments

nuls, …)

Ondelettes

Conditions pour parler d’analyse en ondelettes:

� Une ou plusieurs fonctions mères qui engendrent par dilatation (analyse à Q constant) et translation la famille des ondelettes

� Reconstruction possible (condition d’admissibilité)

Ondelettes� Dilatation (a)� Translation (b)� Norme invariante dans L2(R)� Expression dans l’espace de départ et dans Fourier:

� Donc le spectre est contracté d’un facteur a si la « largeur » de la fonction est dilatée du même facteur

La transformée en ondelettes

Le plan temps-fréquence est ainsi découpé en atomes d’analyse de Q constant

1/a

a

temps

fréquence:

1/a

Transformée en ondelettes continue

� La transformée en ondelettes continue:

� ou encore dans Fourier:

� L’inversion est possible si l’ondelettes est admissible. Pour une fonction normée:

Transformée en ondelettes continue: admissibilité, inversion

� Condition d’inversion dans le cas normé:

� Ce qui revient, pour les fonctions habituelles, bien localisées à:

� Ou encore, de façon générale, la reconstruction est possible avec une autre fonction vérifiant:

� Transformée inverse:


Analyserecherche du poids de chaque atome dans la fonction

f(t)

)(1

)(,a

bt

atba

−= ψψ

baba fC ,, ,ψ=

ba ,ψ

f

∫+∞

∞−

dtttf ba )()( ,ψ


SynthèseAdditionner les atomes pondérés par leurs poids

respectifs

∫∫=2,, )()(

a

dadbtCctf baba ψ

baC ,

)(, tbaψ

)(tf∫∫ 2,, )(

a

dadbtCc baba ψ

Analyse temps-fréquence

Ondelettes continues

� Exemples de fonctions admissibles� Ondelette de Haar

� Chapeau mexicain

� Ondelette de Morlet (presque admissible)

� Mise en œuvre

� Domaine d’application

ti

t

eet ξ

πψ −−

= 2

2

2

1)(

224

12

)1(3

2)(

t

ett−

−

−=π

ψ

Transformations bilinéaires

Transformations de la classe de Cohen

� Spectrogramme ( carré du module de la STFT): non inversible

� Scalogramme (carré du module de la TO): non inversible

� Wigner-Ville (TF de la « corrélation instantanée »): inversible, mais termes d’intermodulation…

� Pseudo Wigner-Ville

Peu utilisées pour les signaux multidimensionnels

Analyse discrète en ondelettes

� Discrétisation et dépendance translation-dilatation

� Pavage du plan temps-fréquence

Analyse en ondelettes discrète

� Cas général

� Bases dyadiques et autres

� Bases orthogonales

� Bases biorthogonales

� Trames

Analyse multirésolution de Mallat

� Formalisme de base

� Bases orthogonales

� Bases obliques: biorthogonales

� Lifting scheme

� Algorithmes non décimés

� Analyses non-dyadiques

La discrétisation de la TO

� Nécessité d’échantillonner l’analyse : la seule technique actuellement utilisée est dyadique :

2a i= 2nb i=

i est le facteur d’échelle et n

le paramètre de translation

∫+∞

∞−

−− −== dtnttxxnixT ii

niod )2(2)(,),( *2/

, ψψ

Analyse multirésolution de L2(R): Mallat et Meyer

� Axiomatique pour une analyse dyadique:

{ }

ZiWV

WVV

ZkVktxVtx

ZiVtxVtx

V

LV

VVVV

ii

iii

ii

Zi

i

Zi

i

ii

∈∀⊥

⊕=

∈∀∈−⇔∈

∈∀∈⇔∈

=

=

⊂⊂⊂⊂⊂⊂

−

−

∈

∈

−

,

,)()(

,)2()(

0

)(

.........

1

00

1

2

101

I

U R

Analyse multirésolution: base orthogonale

)2(2)( 2/, ntt iini −= − ϕϕ

avec n entier forment une base orthonormée de Vi, notons que ces

fonctions, appelées fonctions d’échelle, ne sont pas des

ondelettes admissibles.

)2(2)( 2/, ntt iini −= − ψψ

avec n entier forment une base orthonormée de Wi, notons que

ces fonctions sont des ondelettes admissibles.

Tous les espaces Wi sont, par constructions, orthogonaux 2 à 2, la somme directe de tous ces sous espaces est égale à L2(R), donc l’ensemble des ni,ψ pour i et n entiers forme une base

orthonormée de L2(RRRR)

Analyse multirésolution

ni

n

nii xxA ,,, ϕϕ∑+∞

−∞=

= ni

n

nii xxD ,,, ψψ∑+∞

−∞=

=

ni

i

n xa ,,ϕ= ),(, , nixTxd odniin == ψ

On définit ainsi un signal de détails et un signal d’approximations caractérisés par des suites discrètes de coefficients d’ondelette et d’échelle:


� Algorithme récursif: Analyse Multirésolution

AApproximation + DDétails

(coefficients d’ondelettes)

)()()( txDtxAtxA ii1i +=−

Analyse multirésolution

x

A0x

A1x D1x

A2x D2x

ϕ ψ

Algorithme de Mallat

� L’algorithme de calcul de ces coefficients proposé par S. Mallat est récursif et il fait appel à des opérations de filtrage numérique linéaire et invariant.

� On définit deux filtres par leurs réponses impulsionnelles h[n] (passe-bas) et g[n] (passe-haut)

nnnh ,1,0 ,][ −= ϕϕ nnng ,1,0 ,][ −= ϕψ


� Compte tenu des propriétés des sous espaces et de leurs bases, ces deux filtres forment une paire de filtres miroirs en quadrature :

� En définissant les filtres « retournés » par :

( ) )/1(/1)( zHzzG −−= ]1[)1(][ nhng n −−=

][][~

nhnh −=


anj-1

anj

dnj

h

g

2

2

anj-1

anj

dnj

h

g

2

2

+

On obtient l’algorithme de TO rapide dit de Mallat

Base de Daubechies à support compact: fonction d’échelle, N=2

Les premières itérations:

x1086420

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

x20151050

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1x

403020100

0.3

0.2

0.1

0

x543210

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Base de Daubechies: fonctions d’échelle

N=2 N=3 N=4 N=5

Analyse multirésolution: bases biorthogonales

� Il est impossible (en 1D) de construire des bases orthogonales associées à des filtres RIF linéaires en phase.

� Filtres non linéaires en phase de longueur minimum pour une régularité donnée: Daubechies

� Filtres quasi-linéaires en phase mais de longueur non minimum: Symlets, Coiflets …

� Filtres RII implémentés dans Fourier (Battle-Lemarié)

� Autre solution utilisée souvent en pratique pour le traitement d’images: bases non-orthogonales, les seules qui soient véritablement utilisables numériquement sont les bases biorthogonales.


� Variante du schéma de l’analyse multirésolution de Meyer-Mallat avec deux familles duales de sous espaces échelles

� Les propriétés d’orthogonalités des fonctions de bases deviennent:

ZiWVetWV

WVetWVmais

WVVetWVV

VVVV

VVVV

iiii

iiii

iiiiii

ii

ii

∈∀⊥⊥

∠∠

⊕=⊕=

⊂⊂⊂⊂⊂⊂

⊂⊂⊂⊂⊂⊂

−−

−

−

,

.........

.........

11

101

101

)(,

)()(,

,,

,,

mn

mnij

mjnj

minj

−=

−−=

δϕϕ

δδψψ


� L’analyse et la synthèse:

� Pour construire une base biorthogonale, il suffit en général de partir d’une famille linéairement indépendante complète (une base) et de vérifier qu’elle constitue une base de Riesz (bornes). De façon générale, plusieurs bases duales existent pour chaque base.

� L’exemple le plus célèbre est celui des bases proposées par I. Daubechies qui sont construites à partir des fonctions B-splines:

nj

n

njj

nj

n

njj

ffD

ffA

,,

,,

,

,

ψψ

ϕϕ

∑

∑

=

=

)()( 11 −− −−= zHzzG

L44

3

4

3

488

3

8

3

83

128

3

64

3

864

19

64

45

64

19

864

3

128

3

844

3

4842

1

42

161622

1

161622

1

22

11

2

)(

2

)(

2

)(

2121

43212342121

3212

zzzzzz

zzzzzzzzzzzzzz

zzzzzzz

zHzHzHN

−++−+++

+−−+++−−−+++−++

−++++−++

−−

−−−−−−−

−−

Bases biorthogonales

Transformée rapide : l’algorithme de MallatAlgorithme récursif et rapide permettant de passer d’une échelle i à la

suivante i-1

anj−1 ~

han

j

↓2

~gd n

j

↓2

ANALYSE

anj−1an

j

d nj

SYNTHESE

2

2

h

g

Basses fréquences

Hautes fréquences

x(n)

0%

Chaque signal de sortie correspond à une bandede fréquence différente

Les bandes bassefréquence sont plus étroites et plus échantillonnées que les bandes haute fréquence

25% 50%12.5%

g(n) 2 a

h(n) 2

h(n) 2

g(n) 2 b

h(n) 2 d

g(n) 2 c

L’algorithme de Mallat

Propriété importante:

•L’essentiel de l’énergie dusignal utile est comprimé dans

les bandes basse fréquence

•L’énergie restante en haute fréquence est concentrée prèsdes “contours”

Exemple| f |∈ [0, 0.5]

| f |∈[0, 0.25] | f |∈[0.25, 0.5]

| f |∈[0, 0.125] | f |∈[0.125, 0.25]

Les niveaux de résolutionSignal analysé au

1er

2ème

3ème …

Niveau de résolution

0 1 2 3

approximationdétailSignal à analyser

Transformée en ondelettes discrète: les trames

� De façon générale, une famille {… ψm,n(t)…} non linéairement indépendante forme une trame (frame) s’il existe deux bornes A et B positives telles que:

� Si les bornes sont égales, la trame est dite serrée (ou étroite), la valeur de A indique la redondance de l’analyse.

� Si dans une trame serrée, les bornes sont égales à 1, on est en présence d’une base orthonormée.

2

,

2

,

2, fBffA

nm

nm∑ ≤≤ ψ

Trame d’ondelettes

� Analyse en trame d’ondelettes:

� L’inversion est possible à partir d’une famille duale (si la trame est serrée, la duale et l’originale peuvent être identiques). La reconstruction est numériquement stable.

� Si la trame est serrée ou presque serrée, un algorithme itératif simple converge rapidement: projection alternée

dttfnbtaafnmfTm

m

nm

ond )()(,),( 00

*2

0, −== −+∞

∞−

−

∫ψψ

)(,)( ,

,

, tftf nm

nm

nm ψψ∑=

x420-2-4

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

Ondelettes discrètes: variantes et extensions

� Paquets d’ondelettes� Multi-ondelettes� Ondelettes rationnelles� Ondelettes multi-dimensionnelles

� Séparables� Non-séparables

� Ondelettes géométriques� Gaborettes…� Ridgelets� Curvelets� …

� Ondelettes multi-valuées� Pseudo, semi, … ondelettes

Une image: une fonction

0 50 100 150 200 250 30040

60

80

100

120

140

160

180

200

220

Une ondelette: une image

Transformée en ondelettes de fonctions à plusieurs variables

� On conserve les principes de bases de la TO:

� Analyse linéaire sur des familles de fonctions d’analyse construites par dilatation et translation de fonctions mères.

� La dilatation est obtenue par l’action d’un opérateur matriciel J (NxN) qui doit réaliser une dilatation suivant chaque dimension (les vecteurs propres doivent être strictement supérieurs à 1).

� La translation est réalisée par un vecteur b

� Inversibilité de la TO, donc admissibilité des fonctions…

))((det)( 12

1

, bxJJxbJ −= −−ψψ

Analyse multirésolution: les images

� Le même schéma (Meyer-Mallat) peut-être généralisé pour des fonctions de N variables:

� J est une matrice de dilatation entière et k un vecteur de translation entier.

{ }

ZiWV

WVV

ZVfVf

ZiVfVf

V

LV

VVVV

ii

iii

N

ii

Zi

i

N

Zi

i

ii

∈∀⊥

⊕=

∈∀∈−⇔∈

∈∀∈⇔∈

=

=

⊂⊂⊂⊂⊂⊂

−

−−

∈

∈

−

,

,)()(

,)()(

0

)(

.........

1

00

1

1

2

101

kkxx

xJx

I

U R

Analyse multirésolution: les images

� Les fonctions d’échelle et d’ondelettes (de N variables) sont définies à partir d’une ou de plusieurs fonctions mères:

� Une particularité: il y a une fonction d’échelle mère et |detJ|-1 fonctions d’ondelette mères (et familles de sous-espaces associés) orthogonales entre elles.

� Dans la pratique, pour N=2, deux cas sont utilisés: l’analyse séparable et l’analyse quinconce.

)(det)( 2, nxJJxn −= −− j

j

j ψψ

2det4det

11

11

20

02

−==

−=

=

JJ

JJ

QuinconceSéparable

Analyse quinconce non séparable: exemple

Analyse multirésolutionséparable

� 3 ondelettes mères construites à partir de fonctions utilisées dans les analyses 1D:

� L’algorithme qui en découle est une combinaison de filtrages et de sous et sur échantillonnages 1D

)()(),(

)()(),(

)()(),(

3

2

1

yxyx

yxyx

yxyx

ψψψ

ϕψψ

ψϕψ

=

=

=

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

h(n)

g(n)

2

2

Dans le cas d’une image, la transformée estappliquée en deux temps :

Filtrage des colonnes

h(n

)

g(n

)

22

h(n

)

g(n

)

22

h(n

)

g(n

)

22

Filtrage des lignes

- Ligne par ligne,- puis colonne par colonne

Originale

l

y

x

d

l

y

x

d

L’image est décomposée en une

imagette d’approximation et

trois imagettes de détails

Transformée d’une image

Transformée d’images

Quelles ondelettes

� La liberté de choix est large (admissibilité)� Malédiction ou bénédiction?

� Quels efforts doit-on faire pour ce choix et quelles en sont les conséquences?� N’importe quelle ondelette?

� Quelles propriétés doit on considérer en priorité?

symétrie, régularité, nombre de moments nuls, compacité

Symétrie

Dans quelques applications la fonction doit être symétrique(ou antisymétrique):

Cas des images du monde réel

C’est lié à la linéarité en phase

Symétriques: Haar, Mexican hat, MorletNon symétriques: Daubechies, 1D support compact et orthogonales

Régularité

� Le degré de régularité d’une ondelette est le nombre de ses dérivées continues

� Ce degré s’exprime en nombre réel. (grâce à

l’extension de la notion de dérivée à partir de son équivalent dans Fourier)

� La régularité indique la « douceur » de l’ondelette

.10 avec est régularitéla alors

deautour localement à ressemble)( Si )(

<<+

−

rrm

tttt o

r

o

mψ

Nombre de moments nuls

� Moment: j’ème moment de la fonction

� Quand les k+1 premiers moments sont nuls

i.e.

Le nombre k de moments nuls de l’ondelette est lié(faiblement) au nombre de ses oscillations.

)(tψ

∫+∞

∞−= dtttm j

j )(ψ

kjourdttt j ,...,0p0)( ==∫+∞

∞−ψ

Nombre de moments nuls

� Quand une ondelette a k moments nuls, la TO conduit à la suppression des signaux qui sont polynomiaux de degréinférieur ou égal à k…. (quelque soit l’échelle)

� … ou à la détection des composantes de degré plus élevé: les singularités qui peuvent être caractérisées localement par l’exposant de Lipschitz ou de Hölder (régularité locale)

� Si une ondelette rapidement décroissante est k fois dérivable, elle a au moins k moments nuls

Découle de )(ˆ)()( )( ωψψ kkk jtt →

Compacité (largeur du support)

� Le nombre de coefficients du filtre RIF.

� Le nombre de moments nuls est proportionel à la largeur dusupport.

� Il faut établir un compromis entre le coût de calcul et la précision de l’analyse

� et un compromis entre la résolution temporelle et fréquentielle

� Une ondelette compacte dans une base orthogonale ne peut pas être symétrique en 1D

Quelle ondelette: exemples pour la TOD

Db1 (Haar) Db2 (D4) Db5 (D10) Db10 (D20)

R=NA R=0.5 R=1.59 R=2.90

VM=1 VM=2 VM=5 VM=10

SS=2 SS=4 SS=10 SS=20

Pour les ondelettes de Daubechies d’ordre N, R tend vers 0.2N pour N grand.

Quelle tranformée en ondelettes?

� Continue, CWT, pour l’analyse de signal, sans synthèse: redondante

� Discrète, DWT, (dyadique ou pas, Mallat ou lifting scheme), pour l’analyse de signal ou d’image si la synthèse est nécessaire

� Non redondante:

� Bases Orthogonales

� Bases non orthogonales (biorthogonales)

� Redondante: non decimée DWT, Trame

� Paquets d’ondelettes (redondante ou pas)

Exemples d’analyses multirésolutions

nNo∞(1/ωn)2nDaub.

nYes∞(1/ωn)∞(1/tn)B-Spline

∞Yesπ∞(1/t)L-P

1Yes∞(1/ω)2Haar

VMPhase

lin.

Freq. res.

Time res.

V0

V1 W1

V2 W2,1

V3 W3,1

W2,2 W2,3

W3,2 W3,7W3,6W3,5W3,4W3,3

Paquets d’ondelettes

Transformée en ondelettes non décimée, algorithme “à trous”

Down sampling of the signal becomes up sampling of the filters

Analyse en ondelettes rationnelles

F. Truchetet, A. Baussard, F. Nicolier

-Multiresolution analysis using wavelet transform is an efficient way to

span the information in a signal or an image.

-Limitation of the scale factor:

M=2 in the dyadic case (Mallat 1989)

M= for the 2D quincunx algorithm (Feauveau 1990)

-Filter banks:

rational filter banks lead to pseudo-wavelet (Blu 1993)

-Rational multiresolution analysis:

formally defined by Auscher (1989)

-Contribution:

rational pyramidal algorithm which generalizes the Mallat algorithm

Fourier domain implementation

rational wavelet shrinkage denoising application

INTRODUCTIONINTRODUCTION

2

RATIONAL MULTIRESOLUTION ANALYSISRATIONAL MULTIRESOLUTION ANALYSIS

( )

{ }( ) ( )( ) ( ) 00

11

2

1

,

,

0

,

VkxfVxfZk

VxMfVxfZj

V

RLV

VVZj

jj

Zj

j

zj

j

jj

∈−⇔∈∈∀∈⇔∈∈∀

=

=⊂∈∀

+−

∈

∈

+

I

U

Let M be a rational number (M=p/q, with p, q ∈ Z, M>1 and, p and q prime numbers).

A sequence {Vj}j ∈Z of closed subspaces of L2(R) is a MRA of rational M if the following

properties are satisfied:

An orthogonal basis of Vj is constructed by dilating and translating ϕ(x) ∈L2(R)

The bases functions of Vj are given by:

- Approximation spaces

( ) ( )nxMMx jjnj −= −− ϕϕ 2, with j, n ∈ Z

RATIONAL MULTIRESOLUTION ANALYSISRATIONAL MULTIRESOLUTION ANALYSIS

- Detail spaces

There exist p-q wavelets ψ1, …, ψp-q in W0 such that the set {ψj,nm(x)}j, n ∈Z, 1≤m≤p-q

defines an orthonormal wavelet basis for L2(R).

The generated subspaces Wjm are defined such that :

Um

mjjj WVV ⊕=−1

mnj

mj WW ≠⊥

Vj-1

Vj Wj1 Wj

2 Wj3

Wj

The basis functions are generated by:

( ) ( )nqxMMx jmjmnj −= −− ψψ 2, with j, n ∈ Z

PYRAMIDAL ANALYSIS ALGORITHMPYRAMIDAL ANALYSIS ALGORITHM

- Approximation computation

( ) [ ] ( )∑ −=n

nii xnhx ,1,0 ϕϕ

As V0 ⊂ V-1, the decomposition of ϕ(x-n)=ϕ0,-n(x) in V-1 can be written:

wherenii nh ,1,0 ,][ −= ϕϕ (i=0,…,q-1)

The orthogonal projection of a function f over Vj can be considered as

the action of a linear operation:

∑∑ ==n

njnjnj

n

njj affA ,,,,, ϕϕϕ

( ) ( )nxMMx jjnj −= −− ϕϕ 2,

( ) [ ] ( )∑ +−−=k

kinMjinj xkhx )(,1, ϕϕ

[ ]∑ −+ −=r

rjiisqj arpsha ,1,

~

r=M(n-i)+k

[ ] [ ]nhnh −=~

where s ∈ Z and i=0,…, q-1


- Detail computation

The decomposition of the wavelet functions ψm(x), corresponding to the

space , over V-1 is given by:Uqp

m

mWW−

=

=1

00

[ ] ( )∑ −=k

mm kMxkgx ϕψ )(

( ) ( )nqxMMx jmjmnj −= −− ψψ 2, [ ] ( )∑ +−=

k

knpjmmnj xkgx ,1, )( ϕψ

The projection of a function f over can be considered as

the action of a linear operation:

mjW

∑∑ ==n

mnj

mnj

mnj

n

mnj

mj dffD ,,,,, ψψψ

r=np+k

[ ] [ ]ngng −=~

[ ]∑ −−=r

rjmmnj arnpgd ,1,

~

where m=1,…, p-q


0

~h

1

~h

1

~−qh

p↓

p↓

p↓

q↑

q↑

q↑

1−z

qz −1

p↓

p↓

1~g

qpg −~

aj

aj+1

11+jd

qpjd

−+1

PYRAMIDAL SYNTHESIS ALGORITHMPYRAMIDAL SYNTHESIS ALGORITHM

The synthesis algorithm is determined from the analysis equation:

∑ ∑∑+=−n m n

mnj

mnjnjnjj dafA ,,,,1 ψϕ

∑ ∑∑ −−− +=k m k

njmkj

mkjnjkjkjnj daa ,1,,,1,,,1 ,, ϕψϕϕ

which can be rewritten as:

[ ] ( )∑ +−=k

knpjmmnj xkgx ,1, )( ϕψ( ) [ ] ( )∑ +−−=

k

kinMjinj xkhx )(,1, ϕϕ

[ ] [ ]∑ ∑∑ −+−−=−k m k

mmkjikjnj kpngdikMnhaa ,,,1 )(

PYRAMIDAL SYNTHESIS ALGORITHMPYRAMIDAL SYNTHESIS ALGORITHM

0h

1h

1−qh

q↓ p↑

1z

1−qz

1g

qpg −

aj

aj+1

11+jd

qpjd

−+1

q↓

q↓

p↑

p↑

p↑

p↑

FILTER CONSTRUCTIONSFILTER CONSTRUCTIONS

As the wavelet bases have been defined in Fourier domain, the determination of

the filter coefficients is done in this domain using the following relations:

- Filter h:

ωωϕωϕω inM

n eM

Mh −=)(ˆ)(ˆ

)(ˆ

- Filter g:

)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

ωϕωψ

ωM

Mgm

m =

where n=0, …, q-1

where m=1, …, p-q

FOURIER DOMAIN IMPLEMENTATIONFOURIER DOMAIN IMPLEMENTATION

- 1D downsampling step:

∑−

=+=

1

0

ˆ1ˆp

l

lpnn xp

y

- 1D upsampling step:

Nnn xy mod ˆˆ =

- Delay step:

zpx y ωipnn exy ˆˆ =

- Filtering step:

Filter Fx y TF

nn xFy ˆˆˆ =

RATIONAL WAVELET BASISRATIONAL WAVELET BASIS

[ ][ ][ ][ ][ ]

+∞∈=∈−−=

∈=

∈−+=∈=

, if 0)(

, if )(4

)(

, if 2

)(

, if )(4

)(

,0 if 0)(

Mb

MbMaq

Mab

baq

a

ωωχωπωβπωχ

ωπωχ

ωπωβπωχωωχ

Rational wavelet basis for M=p/q with p=q+1

Let χ(ω) be an even and C∞(R) function define by:

where a=(q-ε)π, b=(q+ε)π, ε=]0, (1+M)-1]

and β being an odd an C∞(R) function.

Scaling function:

Wavelet:

( ) [ ] elsewhere 0)( if )(cosˆ πεωωχωϕ −≤= q

( ) [ ] ( )2

exp)(sin)(signˆ 1ωωχωωψ iq −= +

where sign(ω)=1 if ω≥0 and –1 elsewhere


-15 -10 -5 0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Mag

nitude

ω

Magnitude of the ‘Auscher’ scaling function (—) and wavelet (– –) for M=3/2


0 100 200 300-0.5

0

0.5

1

0 100 200 300-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300-1

-0.5

0

0.5

1

110 120 130 140 150-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

110 120 130 140 150-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

110 120 130 140 150

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

‘Auscher’ analysis for M=3/2

filter h0 filter h1 filter g

IMAGE ANALYSISIMAGE ANALYSIS

M=2

M=3/2 M=5/3

WAVELET SHRINKAGE DENOISINGWAVELET SHRINKAGE DENOISING

* Wavelet shrinkage based on the Stein’s Umbiased Estimate of Risk (SURE)

method (donoho 1994)

- estimate the variance σ2 of the noise.

- at each scale M j, a threshold Tj is calculated (taking into account σ2).

- perform the thresholding on the different scales.

*Applications:

- signal denoising

- 2D separable image denoising

- white and Gaussian noise centered on high frequency

* Easy extention to the rational case

SIGNAL DENOISINGSIGNAL DENOISING

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

40

60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

40

60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

40

60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

40

60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

original noised signal denoising with M=2 denoising with M=3/2


SNR=16.28 SNR=22.91 SNR=24.03

SNR=17.77 SNR=21.11 SNR=24.29

Bumps

Blocks

SIGNAL DENOISINGSIGNAL DENOISING

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20


SNR=15.91 SNR=28.56 SNR=28.76


SNR=15.70 SNR=25.93 SNR=28.67

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

-10

0

10

20

HeaviSine

Doppler

IMAGE DENOISINGIMAGE DENOISING

original noised image – PSNR=22.85

denoising with M=2 – PSNR=26.51 denoising with M=3/2 – PSNR=27.97

CONCLUSIONCONCLUSION

-Rational multiresolution analysis

-Rational pyramidal algorithm which generalizes Mallat algorithm

analysis & synthesis

filter constructions

Fourier domain implementation

- Rational wavelet shrinkage denoising application

SURE method

signal & image denoising

-Future works

new basis functions

non separable multi-dimensional pyramidal algorithm

others application (fractal, …)

Applications des ondelettes:Principales propriétés utilisées

� Analyse temps-échelle� Scalogrammes� Détection et caractérisation des transitoires� Extraction de caractéristiques

� Analyse multiéchelle (ou multirésolution)� Caractérisation d’un comportement fractal� Analyse de texture

� Capacité à organiser l’information� Compression

� Inversibilité� Filtrage� Débruitage

Quelques applications des ondelettes en traitement des images

� Analyse et caractérisation des images

� Compression des images

� Tatouage

� Débruitage

� Zoom, Codage fractal…

Quelques éléments pour une bibliographie

� Pour une bibliographie complète: consulter l’article de reviewsur les applications industrielles des ondelettes (180 ref.)

� Pour des ouvrages de référence:� S. Mallat: A wavelet tour of signal processing� I. Daubechies: Ten lectures on Wavelets� M. Vetterli, J. Kovacevic: Wavelets and subband coding� G. Strang, T. Nguyen: Wavelets and filter banks

� Pour une introduction simple:� F. Truchetet: Ondelettes pour le signal numérique� G. Gasquet, P. Witomski: Analyse de Fourier et applications

� Pour les transformations bilinéaires:� P. Flandrin:Temps-fréquence

� Pour une présentation grand public:� B.B Hubbard: Ondes et ondelettes

Troisième partie: applications

� Les ondelettes dans l’industrie

Wavelet applications in signal processing

� Acoustical Signal processing

� Ultrasonic Non Destructive Evaluation

� Speech enhancement

Ultrasonic Non Destructive EvaluationAbbate et al., Park et al. (1997)

� WT (Gabor wavelet) applied to the time-frequency

analysis of ultrasonic echo waveform obtained by an

ultrasonic pulse-echo technique

� Noise suppression of ultrasonic flaw signal and NDE of

material degradation using wavelet analysis of

ultrasonic echo waveform

Ultrasonic Non Destructive EvaluationAbbate et al., Park et al. (1997)

Gabor wavelet:

NDE of 2.25Cr-1Mo steel used for turbine rotor of high-temperature and high-pressure power plant

Experimental setup

Effect of degradation time on ultrasonic

time domain information

Ultrasonic echo Wavelet transform

Frequency dependence of attenuation

coefficient identified by the WT analysis

Original signal and de-noised signal with defect

Ultrasonic Examination of Thermal Sprayed Coatings with FrequencyAnalysis Hatanaka et al. (2000)

� Nondestructive methods for evaluating adhesive

strength of thermal sprayed coating and measuring

coating thickness by ultrasonic testing

� Coating thickness measurement: the WT was used

� to analyze the ultrasonic waveform and

� to enhance signal-to-noise ratio of ultrasonic waveforms

Discrete wavelet transform of ultrasonic

waveforms at coating thickness of 450mm

Original waveforms S0 and A3 with

change in coating thickness

Speech enhancementT. Gülzow et al. (1998)

� Spectral subtraction: a popular method for speech

enhancement, if corrupted by additive noise.

� Based on the manipulation of the magnitude of the noisy-

speech spectrum. Previous realizations used uniformly

spaced frequency transformations.

� Application of filterbank with bark-scaled frequency

bands: a discrete wavelet transformation

� The enhancement results as well as the expenditures are

compared to those obtained with uniform spectral

transformations.

Speech enhancementT. Gülzow et al. (1998)


� Power production, electrotechnic andpower electronic

� Control of rotating machines

� Power quality monitoring

Sensorless Speed Measurement of AC Machines Using Analytic Wavelet Transform Aller et al. (2002)

� Analytic wavelet transform of the stator current signal

for a direct torque control drive.

� The time–frequency resolution obtained and the

computation time required by the proposed algorithm

are improved in comparison to existing techniques and

the method can be applied over the entire speed range.

� The instantaneous frequency is estimated by ridges

detection in the spectrogram. The spectrogram can be

obtained using any time–frequency transform such as

STFT, AWT or Wigner–Ville.

Analytic Wavelet Transform of stator current

AWT spectrogram of the stator current.

Ridges of the AWT spectrogram of the stator current

Stator current of the induction

machine during a DTC startup

with constant torque and flux

references.

Power quality monitoring

� High voltage insulation suffers from aging processes

� Failure of equipment can be sudden and catastrophic,

leading to risk of injury to personnel and damage of

expensive equipment.

� On line monitoring of electrical signals has been

shown to provide useful diagnostic information.

� The processing of such information is a complex problem.

� The wavelet transform can be used to provide a method

of analysis and visualisation of transient electrical signals

obtained from on line monitoring.

Visualisation of electrical transients

using the wavelet transformDavid Cornforth and Rick Middleton (2000)

Visualisation of electrical transients using thewavelet transformDavid Cornforth and Rick Middleton (2000)

� These results show that the power coefficients may be

useful in the following ways:

· Manual visualisation and inspection of transients

· Noise removal

· Automatic segmentation of the signal to obtain the

segments of interest

· Automatic classification of transients after further

processing

Visualisation of electrical transients using the

wavelet transformDavid Cornforth and Rick Middleton (2000)

Pattern Recognition Applications For Power System Disturbance ClassificationGaouda et al. (1999)

� Automated on-line disturbance classification technique.

� Based on wavelet multiresolution analysis and pattern recognition

� WT is for feature extraction in order to classify different disturbances.

� Minimum Euclidean distance, k-nearest neighbor, and neural network

classifiers are used to evaluate the efficiency of the extracted features.

� Feature vector: The standard deviation at different resolution levels

� Wavelet basis: Daubechies-8


Five differentdisturbances:

1. Sags

2. swells

3. harmonics

4. sags and harmonics

5. swells and harmonics

6. Pure signal


� Non destructive testing (NDT)

� Magnetic Flux Leakage (MFL)

� Vibration signal analysis

Wavelet Analysis of MFL Signal for

Steel Wire Rope Testing Barat et al. (2000)

� Inspection is realized by magnetic flux leakage (MFL) method: magnetic

head magnetically saturates a rope passing through magnetic head.

� Discontinuities, like broken wires or strands, pits of corrosion etc., cause

changes in leakage magnetic field.

� Signal analysis: register number and characteristics of broken wires and

measure the loss of metallic cross-section area.

� Problem: strong influence of rope vibrations, gap changes, twisted rope

structure, etc… inducing wide band (white) and narrow band noises

� Magnetostatic transducers (based on Hall-effect sensor) are usually used

for inspection of steel wire ropes. This sensor measures the distribution of

leakage field caused by defect. Using differential measurement scheme,

signal of a typical defect has a form of smooth two-polar impulses with

duration depending on depth and size of the defect.

Example of signal for rope area

containing 14 defects

Symmetrical wavelet transform of test

signal

Nonlinear processing of SymmetricalWT

Weighted sum of wavelet values for some

chosen scales:

The application of wavelet transform in magnetic flux leakage test of pipelineYang-Lijian et al. (2001)

� Detecting localized flaws in oil and gas pipeline by

measuring magnetic flux leakage.

� WT is applied to the processing of detected signals.

� Biorthogonal wavelet to decompose actual signals; the

result shows that the wavelet analysis has high

performance in the feature extraction of flux leakage

signals of pipeline.


The principle of testing by Magnetic flex index.


Fourth order decomposition of magnetic flux

leakage signal of pipeline based on tight

supporting biorthogonal wavelet.

X-axis: distance, y-axis: amplitude

A4 keeps the outline of original signal. D1 and D2's

strangeness very sharp, they can be seen as high

frequency interfere. Seeing reconstruction signal taken

off D1 and D2 we find that it basically provides the

same information as actual measurement does. It also

shows that inclined weld's peak-to-peak value is

smaller than circumferential weld's, and circumferential

weld's detail signal is all behaving in D2, D3 and D4

but inclined weld's is just put up distinctly in D4.

Which shows that two kinds of flaw signal's energy and

frequency are different, thereby we get to the purpose

of feature extraction for different flaw signals.


� Tool wear monitoring

� Chemical process

Real-Time Tool Condition Monitoring in Transfer Machining StationsYa Wu et al. (2001)

� Tool condition monitoring is one of the major concerns in

modern machining operations, especially for the transfer

machining operations in mass production. A misdetected

tool failure such as wear, breakage, chipping, etc.! could

lead to poor product quality and even damage the machine

tool and/or the fixture. On the other hand, a false detected

tool failure may cause the unnecessary breakdown of an

entire production line.

� In the indirect methods, tool condition is predicted based

on various sensor signals such as cutting force, vibration,

temperature, acoustic emission, and motor current. cutting

force signals and vibration signals.

Real-Time Tool Condition Monitoring in TransferMachining StationsYa Wu et al. (2001)

Real-Time Tool Condition Monitoring in TransferMachining Stations Ya Wu et al. (2001)

� Based on a combination of wavelet transform, signal reconstruction, andthe probability of threshold crossing. Training is aimed at determining the alarm threshold� Wavelet packet transform of the sensor signals (spindle motor current) obtained

from normal tool conditions. � Select feature wavelet packets that represent the principal components of the

signals. � Reconstruct the signals from the feature wavelet packets (this removes the

unwanted noises). � Calculate the statistics of the reconstructed signals. � Calculate the alarm thresholds based on the statistics of the reconstructed

signals, Calculate the probability of the threshold crossingDecision� Check the threshold crossing,� Calculate the number of threshold crossing to determine whether an alarm shall

be given.� Practical example from a drilling transfer station� The new method is effective (success rate over 90%) fast (the monitoring decision

can be done in milliseconds) Cost-effective (the implementation cost shall be lessthan $500).

Application of the ProcessAnalyzer inChemical IndustryT. Schrötter (1999)


� Stochastic signal analysis

� Wind energy

� DNA-sequences

� Computer traffic (cf P.Abry)

Wavelet Packet Transfer FunctionModelling of Nonstationary Time SeriesG. P. Nason et al. (2000)

� How a non-decimated wavelet packet transform (NWPT) can be used to model a response time series, in terms of an explanatory time series

� The proposed computational technique transforms theexplanatory time series into a NWPT representation andthen uses standard statistical modelling methods to identifywhich wavelet packets are useful for modelling theresponse time series.

� Application to an important problem from the wind energyindustry: how to model wind speed at a target location using wind speed and direction from a reference location.


� Before construction of a wind farm an analysis is

undertaken to establish whether a particular target site is

suitable.

� One aspect of this analysis involves the prediction of the

long-term mean wind speed at the target site.

� Typically, wind speeds are measured by a pilot

anemometer at a height of 10m at the target site for several

months.

� A model predicting target from reference speeds is

constructed.


� Extraction of non-decimated wavelet transform

coefficients at the same dyadic scale for each time series

and then statistically modelling of one set in terms of the

other using linear regression.

� Non-decimated transforms have the same number of

coefficients at each scale and coefficients within each scale

are located according to the same time grid.

� Moreover, wavelet packets can elicit a greater variety of

behaviours than can wavelets alone.

The Analysis of Fractal Geometry using theWavelet Transform With Application to GeneExpression Analysis R.L. Westra (2002)

� Application of wavelet analysis to obtain the fractal

properties of geometric sets.

� Considerable improvement compared with traditional

topological methods like hyperbox-coverings.

� The Wavelet Transform Modulus Maxima (WTMM)

method uses the continuous wavelet transform to

efficiently compute all relevant fractal properties of a set in

the ‘generalised fractal dimensions’.

� This fractal and wavelet formalism can be used for

determining DNA-sequences and elucidating gene

expression and regulation cycles, the so-called ‘genetic

pathways’.

Wavelet applications in image processing

� Image compression

� JPEG

� Finger print

� Color image compression

An Overview of JPEG-2000Michael W. Marcellin1, Michael J. Gormish2, Ali Bilgin1, Martin P. Boliek2 (2000)

� JPEG-2000 is an emerging standard for still image

compression.

� Part I of the JPEG-2000 standard specifies the

minimum compliant decoder.

� Part II describes optional, value-added extensions.

� The standard specifies only the decoder and

bitstream syntax.

An Overview of JPEG-2000M. W. Marcellin et al. (2000)


� JPEG-2000 provides better rate-distortion performance, for any given rate,

than the original JPEG standard. However, the largest improvements are

observed at very high and very low bitrates. The improvements in the “near

visually lossless” realm are more modest (approximately 20%).

� If the regions of interest (ROI) are known in advance, i.e. at encode time,

JPEG-2000 provides additional methods of providing greater image quality in

the foreground vs. the background.

� JPEG-2000 Part I allows 90, 180, and 270 degree rotations, and horizontal and

vertical flips of an image without inverse or forward wavelet transform.

� Finally, the integer nature of the (5,3) wavelet allows an image or portion of an

image to be compressed multiple times with the same quantization with no

additional loss.

Color image compressionTruchetet et al. (2000)

5

4

5 4

5 6

8

9 16

Psychovisual sensibility (max = 0; min= 18) for H1, H2 et H3.

17

15

1217

18 16

17

14 18

17

14

1317

17 18

18

18 18

Before ---------------- Aftercompression ratio 1:10

Before ---------------- After

Before-------------After

FBI Fingerprint System (1993)Tri Caohuu 2002 ([email protected])


� Machine vision

� Textile and fabric

� Precision farming

Vision system for on-loom fabricinspectionH.Sari-Sarraf et al. (1999)

� Fabric inspection system: on-loom inspection of the fabric under construction

with 100% coverage.

� Synchronized to the motion of the loom, the developed system acquires very

high-quality, vibration-free images of the fabric using either front or

backlighting.

� The acquired images are subjected to a defect segmentation algorithm, which

is based on the concepts of wavelet transform, image fusion, and the

correlation dimension.

� Segmentation algorithm based on the localization of those events (i.e., defects)

in the input images that disrupt the global homogeneity of the background

texture.

� The overall detection rate of the presented approach was found to be 89% with

a localization accuracy of 0.2 in. (i.e., the minimum defect size) and a false

alarm rate of 2.5%.


Non-decimated algorithm

Development of a precision sprayer for site-specific weed managementLei Tian et al. (2000)


� Miscellanous

� Bioinformatics

� GIS

� Satellite imaging

Microarray Image Enhancement by Denoising Using Stationary Wavelet Transform X. H. Wang et al. (2003)

� Microarray imaging is a recent cutting-edge technology in bioinformatics

which can monitor thousand of genes simultaneously. Thousands of

oligonucleotides and cDNAs could be globally viewed at the same time. This

provides a systematic and comprehensive way to survey the DNA and RNA

variations, which could become a standard tool for both molecular biology

research and genomic clinical diagnosis, such as cancer diagnosis, diabetes

diagnosis

� The tasks of image processing focus on two major targets: spot segmentation

and spot intensity extraction. However, the quality of the images from the

experiments is not always perfect.

� The noises introduced during the experiment will greatly affect the accuracy of

the gene expression.

� To denoise the image noises before further image processing with stationary

wavelet transform (SWT).

� The time invariant characteristic of SWT is particularly useful in image

denoising.

Microarray Image Enhancement by DenoisingUsing Stationary Wavelet TransformX. H. Wang et al. (2003)

� SWT method:

� At each level, when the high-pass and low-pass

filters are applied to the data, the two new

sequences have the same length as the original

sequences.

� To do this: the original data is not decimated.

However, the filters at each level are modified by

padding them out with zeros.

� Thus, the detail signal is contained in three

subimages

� Soft thresholding, for denoising procedure:

� Decompose,

� threshold detail coefficients,

� reconstruct.


SWT DWT

Multiresolution spatial analysisMitchell Morehart et al. (1999)

� This paper explores the use of the wavelet transform as a spatial analysis tool

for modeling complex multivariate geographic relationships for Geographic

Information Systems (GIS)

� Wavelet methods: ability to process noisy data with local structures and to

represent discontinuities such as jumps or peaks in a function. This is an

important consideration for estimating geographically-referenced multivariate

surfaces where a high degree of spatial inhomogeneity is expected.

� WT: spatial analysis tool for modeling complex multivariate geographic

relationships

� Examples from agricultural data are used to illustrate the exploratory data

analysis inherent in the wavelet transform. The resulting maps provide a

convenient means of visually conveying tremendous amounts of information.

� The redundant à trous discrete wavelet transform is shown to aid enormously

in feature detection and exploration in the succession of resolution views of

the data.


� Spatial analysis of relationships between farming and its naturalresource base are carried out using data collected from USDA'sAgricultural Resource Management Study (ARMS).

� The ARMS is a personally enumerated survey, conducted since 1984 by the National Agricultural Statistics Service (NASS) and theEconomic Research Service (ERS) of the U.S. Department ofAgriculture.

� The ARMS is a probability-based multi frame, stratified survey thatuses multiple questionnaire versions to collect information on farmproduction expenses, capital purchases, income, production practices, and other farm operating characteristics.


Location of country centroids with survey responses


Specific areas of the country where farms are most dependent on

wheat as a source of income.


Economic dependence on wheat data; detail or wavelet coefficients (non-

negative values shown) at successive resolution levels, d1, d2,d3, c3.

Wavelet-Shrinkage(slide from W. Philips and Aleksandra Pizurica)

Wavelet analysis

Coefficientshrinkagereconstruction

« Nettoyer » les images

� L’effet psychovisuel n’est pas très convaincant

� La simple contraction produit des résultatsintéressants, mais il est possible de faire mieux

PSNR=28.3 dB PSNR=51.3 dB

original Version bruitée débruitée

Résultats – Image échographique

(Pizurica et al. 2001)Image originale Débruitée

Résultats – Image radar (SAR)

originaledébruitée

(Pizurica et al. 2001)

Wavelet shrinkage for radar Image (SAR)

original denoised

(Pizurica et al. 2001)

ConclusionWavelet applications in industrial context are numerous and invade nearly every domain

� However, if one considers only operational devices or software, very few can be really pointed out. And most of them deal with image compression.

� Presently one has to admit that wavelet transform stays essentially a laboratory technique, but with the development of dedicated IC and of efficient software tools the gap is being strode.

� Scale discrimination properties of WT are widely used for practical applications in algorithms of de-noising (wavelet shrinkage), scale filtering, fractal analysis or scalogramvisualization

� Organizing and concentrating information are also amongst the main reasons of WT success in numerous applications and particularly in image compression devices.

ConclusionWavelet cannot solve all the problems and there are still a lot of limitations inherent to WT.

� Decimated WT is not invariant by translation: it induces artifacts and a lack of consistency in some transient detection algorithms and in signal or image enhancement approaches.

� Dyadic DWT has a very limited frequency resolution and sometime the searched feature is spread on two scales and cannot be clearly detected.

� CW or, in a more interesting way, rational wavelet analysis

� Transposing 1D WT to 2D is not easy and the separable approach leads to a non isotropic behavior. Horizontal, vertical and diagonal directions are subject to special attention and if it can be of interest when processing is linked to human psycho-visual system imitation, on the contrary when the treatment aims at extracting exact physical information this anisotropy can be a serious source of errors.

� Non-separable wavelet basis, quincunx analysis or steerable wavelet analysis.

� Wavelets for orthogonal basis (in 1D) cannot be symmetrical with FIR filters. Signal and images to be treated are, most often, symmetric and they need a zero-phase filtering for avoiding artifacts.

� Bi-orthogonal wavelets can be of finite length but they lead to poor de-correlation between scales. Symlets or Coiflet are not of minimum length but they provide a quasi-symmetrical analysis function.

ConclusionFinally, is wavelet a success story?

� Is wavelet transform a fashion?

� A long life-time one!!

� Is wavelet transform a gadget?

� Most of the time it brought very little

� Real industrial appplications are stillscarce

� There is still a lot to do to point out what is worthwhile and what is not

� There is still plenty of room for research

……

� And one must admit that…

LastLast wordword :waveletwavelet isis stillstill a hot spota hot spot

By 1990, more than 1000 scientificpapers have been published on WT.

Even in 2009 several international scientific conferences are specifically dedicated to wavelet transform and itsapplications.

Wavelets are present in almost all the conferences on signal or image processing and in many otherconferences dealing with different topics (quanticphysics, optics, thermodynamic, fluid flowing, geology, acoustic, computer science, etc...)

A journal dedicated to wavelets exists since 1993 (AppliedComputational Harmonic Analysis),

A Wavelet Digest is diffused and updated on the web.

Spend sometime at: http://www.wavelet.org

introduction à l’analyse en ondelettes et à l ...le2i.cnrs.fr/img/publications/2305_introduction...

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