11/2/2012

1

Introductory to Numerical

Analysis การวเคราะหเชงตวเลขเบองตน

01417343

by

Suriya Na nhongkai

Type of Errors ความคลาดเคลอนฝงตด (Inherent error)

เกดจากการทเราไมสามารถจ าลองแบบของธรรมชาตไดตามปรากฏการณทเกดขนจรง ความผดพลาดจากการวดขอมล

ความคลาดเคลอนจากการปดเศษ (Round-off error)

เกดจากการตดทอนตวเลขอนเนองมาจากขอจ ากดของพนท ความคลาดเคลอนจากการตดปลาย (Truncation error)

เกดจากการตดทอนจ านวนพจนของการค านวณใหเปนพจนจ ากด การแปลงปญหาในระบบตอเนอง (continuous system) ใหเปนปญหาในระบบไมตอเนอง (discrete system)

11/2/2012

2

Definition of Error นยามความคลาดเคลอนสมบรณและความคลาดเคลอนสมพทธ

นยาม 1 ความคลาดเคลอน ม ร ล ความคลาดเคลอน ม x เป นค า จรง ล x~ เป นค าปร มา อง x ความคลาดเคลอน xxe ~ ความคลาดเคลอน ม ร (Absolute error) xxe ~ อ เ ต องความคลาดเคลอน ม ร คอ ความคลาดเคลอน ม ร ง ด นนคอ

xx ~

ความคลาดเคลอน ม คอ x

e รอ

x

e~

อ เ ต องความคลาดเคลอน ม คอ x

e รอ x

e~

Error: Example ตวอยาง ถา x = 0.5225 เป นคาแมนตรง และ x~ =0.5237 เป นคา ดยประมาณของ x

ความคลาดเคลอน e = 0.5225-0.5237 = -0.0012

ขอบเขตความคลาดเคลอนสมพทธ x

e = 5225.0

0012.0 = 0.0023

11/2/2012

3

Accuracy Identification จ านวนต า น ง ศนยม (Decimal Place, D.P.)

จ านวนตวเล ลงจ ด ศนยม จ าเป นต องเ ยน

เ น x = 3.14725 ค าปร มา กต อง ง 3 D.P. คอ x = 3.147

จ านวนเล นย าค (Significant Digit, S.D.)

จ านวนตวเล ม ศ นย ตว รกจาก าง าย งตว ด าย จ าเป นต องเ ยน เ น 0.012041 ล 0.31470 ม เล นย าค 5 ตว ต 5103147. ม เล นย าค 4 ตว

ค า อ เ ต องความคลาดเคลอน (Error Bound)

ค าปร มา 147.3~ x ม อ เ ตความคลาดเคลอน 0.0012 มายความว า x อย ร ว าง

0012.0147.3

General Rounding off

เปล ยนตวเล าง วามอ องตว n เปนศ นย ง มด

123.4567890123456…23456… จ ด

123.4567890123456…23000…

ต า น ง n น จ

11/2/2012

4

General Rounding off

จาร า วน จ ปด

าม ค ามากกว า 5000... เ มค าตว n อ ก น ง าม ค าน อยกว า 5000... ม ต องเ มค า าม ค าเ าก 5000... ◦ จาร าตว n ว าเปนเล ค รอค ◦ าเปนเล ค ม ต องเปล ยน ◦ าเปนเล ค เ มค าเปนเล ค งกว า

General Rounding off: Example ตวอย าง จ ปดเศษ อง 5.4565725 กต อง

2 D.P. จ ด 5.46 ม ความคลาดเคลอน – 𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 3 D.P. จ ด 5.457 ม ความคลาดเคลอน – 𝟎. 𝟒𝟐𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 6 D.P. จ ด 5.456572 ม ความคลาดเคลอน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔

5 S.D. จ ด 5.4566 ม ความคลาดเคลอน– 𝟎. 𝟐𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒

จ านวน ด กปดเศษ เ ลอ n D.P. ค า อ เ ตความคลาดเคลอนคอ 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝒏

าค าปร มา 𝒙 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 กปดเศษ ม ความ กต อง 3 S.D. จ ด

𝒙 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 รอ 𝒙 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟓𝟖 ม นาด องความคลาดเคลอน ง ดเปน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟕

11/2/2012

5

Propagated Error

ก า นด 𝒙𝟏 ล 𝒙𝟐 เปนค า ม นตรง องค า 𝒙 𝟏 ล 𝒙 𝟐 เปนค าปร มา อง 𝒙𝟏 ล 𝒙𝟐 ตามล าด 𝒆𝟏 ล 𝝐𝟐 เปนค าความคลาดเคลอน อง 𝒙𝟏 ล 𝒙𝟐 ตามล าด 𝝐𝟏 ล 𝝐𝟐 เปน อ เ ต องความคลาดเคลอน อง 𝒙𝟏 ล 𝒙𝟐 ตามล าด 𝒙𝟏 = 𝒙 𝟏 + 𝒆𝟏 ล 𝒙𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒆𝟐 𝒆𝟏 < 𝝐𝟏 ล 𝑒2 < 𝜖2

Propagated Error: Addition and Subtraction ก า นด 𝒆𝒙𝟏+𝒙𝟐

ล 𝒆𝒙𝟏−𝒙𝟐 เปนค าคลาดเคลอน องการ วก ล การล ตามล าด

𝒙𝟏 ± 𝒙𝟐 = 𝒙 𝟏 ± 𝒙 𝟐 + 𝒆𝟏 ± 𝒆𝟐 นนคอ 𝒆𝒙𝟏±𝒙𝟐

= 𝒆𝟏 ± 𝒆𝟐

ปกต ล วเราจ ม รา ค า 𝒆𝟏 ล 𝒆𝟐 จ รา เ ยง 𝝐𝟏 ล 𝝐𝟐 ดงนน

𝒆𝒙𝟏±𝒙𝟐 ≤ 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 ≤ 𝝐𝟏 + 𝝐𝟐

11/2/2012

6

ตวอย าง 𝒙 𝟏 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟐 ล 𝒙 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟐𝟎𝟑𝟕𝟒 ค าปร มา รกม ความ กต อง 3 D.P. ม อ เ ต องความคลาดเคลอนเปน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 ค าปร มา องม ความ กต อง 8 D.P. ม อ เ ต องความคลาดเคลอนเปน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟖

ดงนน 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 = 𝟐. 𝟔𝟖𝟎𝟕𝟗𝟔𝟐𝟔

ม อ เ ตความคลาดเคลอนเปน 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 + 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 +

𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟎𝟎𝟓 ≈ 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑

Propagated Error Addition and Subtraction: Example

Propagated Error: Multiplication

ห 111~ exx ละ 222

~ exx ะ ว า

2112212121~~~~ eeexexxxxx

เ อ าร าเ าะ นของควา คลา เคล อน ะ

211221~~

21eeexexe xx

หรอ 21

12

21

21

21

21

x~x~x~e

x~x~x~e

x~x~

e xx

น นคอ 2

2

1

1

2

2

1

1

21

21

x~x~x~e

x~e

x~x~

e xx

ความคลาดเคลอนก าลงสอง

ความคลาดเคลอนสมพทธของการคณ

ของเขตความคลาดเคลอนสมพทธ

11/2/2012

7

ลค องค าปร มา องค า −𝟑. 𝟕𝟖𝟒 × 𝟒𝟎. 𝟎𝟑 เ าก −𝟏𝟓𝟏. 𝟒𝟕𝟑𝟓𝟐

−𝟑. 𝟕𝟖𝟒 เปนตวเล ม ความ กต อง 3 D.P. ม อ เ ตความคลาดเคลอน ม 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟑

−𝟑.𝟕𝟖𝟒

𝟒𝟎. 𝟎𝟑 เปนเล ม ความ กต อง 2 D.P. ม อ เ ตความคลาดเคลอน ม 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟐

𝟒𝟎.𝟎𝟑

ลค อง องค าปร มา น ม อ เ ตความคลาดเคลอน ม เ าก

𝒆𝒙𝟏𝒙𝟐

𝒙 𝟏𝒙 𝟐 ≤

𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑

𝟑. 𝟕𝟖𝟒+

𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐

𝟒𝟎. 𝟎𝟑≤

𝟏

𝟕𝟎𝟎𝟎+

𝟏

𝟖𝟎𝟎𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔𝟖

𝝐𝒙𝟏𝒙𝟐= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔𝟖 ∙ 𝒙 𝟏𝒙 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟔𝟖 ∙ 𝟏𝟓𝟏. 𝟒𝟕𝟑𝟓𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟎𝟓𝟕𝟑𝟐𝟔𝟒 ≤

𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏

นนคอ ลค ม ความ กต อง 1 D.P. รอค า จรงม ค าอย ร ว าง −𝟏𝟓𝟏. 𝟒𝟕 ± 𝟎. 𝟎𝟒

Propagated Error Multiplication: Example 1

ลค องค าปร มา องค า −𝟑. 𝟕𝟖 × 𝟒𝟎. 𝟎𝟑𝟑 เ าก −𝟏𝟓𝟏. 𝟑𝟐𝟒𝟕𝟒

−𝟑. 𝟕𝟖 ม ความ กต อง 2 D.P. ล ม อ เ ตความคลาดเคลอน ม 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟐

−𝟑.𝟕𝟖

𝟒𝟎. 𝟎𝟑𝟑 ม ความ กต อง 3 D.P. ล ม อ เ ตความคลาดเคลอน ม 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟑

𝟒𝟎.𝟎𝟑𝟑

ลค อง องค าปร มา น ม อ เ ตความคลาดเคลอน ม เ าก

𝒆𝒙𝟏𝒙𝟐

𝒙 𝟏𝒙 𝟐 ≤

𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐

𝟑. 𝟕𝟖+

𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑

𝟒𝟎. 𝟎𝟑𝟑≤

𝟏

𝟕𝟎𝟎+

𝟏

𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟒𝟏

𝝐𝒙𝟏𝒙𝟐= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟒𝟏 ∙ 𝒙 𝟏𝒙 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟒𝟏 ∙ 𝟏𝟓𝟏. 𝟑𝟐𝟒𝟕𝟒 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟖𝟎𝟔𝟗 ≤ 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎𝟎

นนคอ ลค ม ความ กต อง 0 D.P. ม ค าเ าก -151

Propagated Error Multiplication: Example 2

11/2/2012

8

Propagated Error: Division

2

211

222

11

2

1

~1~~1

~

~

x

eex

xex

ex

x

x

2

2

2122

2

1

2

1

2

1

~~

~

~~

~

x

eee

x

x

x

e

x

x

นนคอ 22

2

1

2

1

~

~

~21e

x

x

x

ee xx ( จาร าเ า ความคลาดเคลอนอนด น ง)

ความคลาดเคลอน ม องการ าร 2

2

1

1

21~~~~

21

x

e

x

e

xx

e xx

ง 2

2

1

1

2

2

1

1

21~~~~~~

21

xxx

e

x

e

xx

e xx

ความคลาดเคลอนก าลงสอง

ความคลาดเคลอนสมพทธของการหาร

ของเขตความคลาดเคลอนสมพทธ

Propagated Error Division: Example

า 𝒙 𝟏 = 𝟒𝟎. 𝟐𝟏 (2 D.P.) ล 𝒙 𝟐 = 𝟐. 𝟓𝟐𝟏 (3 D.P.) ง 𝒙 𝟏

𝒙 𝟐= 𝟏𝟓. 𝟗𝟓𝟎𝟎𝟏𝟗𝟖𝟑

𝒙 𝟏 ม อ เ ตความคลาดเคลอน ม 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟐

𝟒𝟎.𝟐𝟏 ≈

𝟏

𝟖𝟎𝟎𝟎

𝒙 𝟐 ม อ เ ตความคลาดเคลอน ม 𝟎.𝟓×𝟏𝟎−𝟑

𝟐.𝟓𝟐𝟏 ≈

𝟏

𝟓𝟎𝟎𝟎

ด อ เ ตความคลาดเคลอน ม องการ ารเปน 𝟏

𝟖𝟎𝟎𝟎+

𝟏

𝟓𝟎𝟎𝟎= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟐𝟓

อ เ ตความคลาดเคลอน องการ ารเปน 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟐𝟓 𝟏𝟓. 𝟗𝟓𝟎𝟎𝟏𝟗𝟖𝟑 =

𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟏𝟖𝟑𝟕𝟓𝟔 < 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏 𝒙 𝟏

𝒙 𝟐= 𝟏𝟓. 𝟗𝟓 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟓𝟏 ม ความ กต อง 1 D.P.

11/2/2012

9

Fundamental Theorem in Calculus

ษ

𝒇 เปน งก นนยาม นเ ตจ านวนจรง 𝐗 จ กล าวว า งก น 𝒇 ม ลมตเ าก 𝑳

𝒙𝟎 เ ยน นด วย 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎𝒇 𝒙 = 𝑳 า ว า า ร จ านวนจรง ด 𝜺 > 𝟎 จ

ม จ านวนจรง 𝜹 > 𝟎 ง 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺 เมอ ดก ตาม 𝒙 ∈ 𝐗 ล 𝟎 <

𝒙 − 𝒙𝟎 < 𝜹

Fundamental Theorem in Calculus

𝒇 𝒙

𝒙 𝒙𝟎 𝒙𝟎 + 𝜹

𝑳 + 𝜺

𝒙𝟎 − 𝜹

𝑳 𝑳 − 𝜺

11/2/2012

10

Fundamental Theorem in Calculus

ษ 𝒇 เปน งก นนยาม นเ ตจ านวนจรง 𝐗 ล 𝒙𝟎 ∈ 𝐗 จ กล าวว า งก น 𝒇 ม ความต อเนอง 𝒙𝟎 า 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 ล จ กล าวว า งก น 𝒇 ม ความต อเนอง น 𝐗 า 𝒇 ต อเนอง กจ ด น 𝐗

ลกษ 𝑪 𝐗 จ นเ ต อง ก งก น ม ความต อเนอง น 𝐗

Fundamental Theorem in Calculus

ษ 𝒙𝒏 𝒏=𝟏

∞ เปนล าด อนนต องจ านวนจรง รอจ านวนเ ง อน จ กล าวว า

ค า 𝒙 า า ร 𝜺 > 𝟎 ด จ ม จ านวนเต ม วก 𝑵 𝜺 ง 𝒏 >

𝑵 𝜺 ล วจ ด ว า 𝒙𝒏 − 𝒙 < 𝜺

ลกษ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒙𝒏 = 𝒙 รอ 𝒙𝒏 → 𝒙 เมอ 𝒏 → ∞ มาย งล าด 𝒙𝒏 𝒏=𝟏

∞ ล เ าค า 𝒙

11/2/2012

11

Fundamental Theorem in Calculus

ษ

า 𝒇 เปน งก นนยาม นเ ตจ านวนจรง 𝐗 ล 𝒙𝟎 ∈ 𝐗 ล ว อความต อ ปน มม ลกน

1. 𝒇 ต อเนอง จ ด 𝒙𝟎 2. า 𝒙𝒏 𝒏=𝟏

∞ เปนล าด ด น 𝐗 ล เ า 𝒙𝟎 ล ว 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝒇 𝒙𝒏 = 𝒇 𝒙𝟎

Fundamental Theorem in Calculus

ษ

𝒇 เปน งก น นยาม น วงเป ด รรจ 𝒙𝟎 จ กล าวว า 𝒇 ม อน น จ ด 𝒙𝟎 า

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙𝟎

𝒙 − 𝒙𝟎

าค า ด เราจ ลกษ 𝒇′ 𝒙𝟎 ล เร ยก งน ว า อน น อง 𝒇 จ ด 𝒙𝟎 งก น ด

ม อน น กจ ด นเ ต 𝐗 จ กเร ยกว าเปน งก น าอน น ด นเ ต 𝐗 อน น

อง 𝒇 จ ด 𝒙𝟎 คอ ความ น องเ น ม กรา 𝒇 𝒙𝟎, 𝒇 𝒙𝟎

11/2/2012

12

Fundamental Theorem in Calculus

ษ

า 𝒇 เปน งก น าอน น ด จ ด 𝒙𝟎 ล ว 𝒇 จ ต อเนอง 𝒙𝟎 ด วย

เ ต อง งก น ม ความต อเนอง งอน น อนด 𝒏 นเ ต 𝐗 จ เ ยน นด วย 𝑪𝒏 𝐗 ล เ ต อง งก น ม ความต อเนอง ง กอนด องอน น นเ ต 𝐗 จ เ ยน นด วย 𝑪∞ 𝐗

Fundamental Theorem in Calculus

ษ อง รลล (Roll’s Theorem)

𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 ล 𝒇 าอน น ด เ นอ วงเป ด 𝒂, 𝒃 า 𝒇 𝒂 = 𝒇 𝒃 = 𝟎

ล วจ ม จ านวน 𝒄 ง 𝒇′ 𝒄 = 𝟎

𝒇 𝒙

𝒙

𝒇′ 𝒄 = 𝟎

𝒄 𝒂 𝒃

11/2/2012

13

Fundamental Theorem in Calculus ษ ค าม ม (Mean Value Theorem) 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 ล 𝒇 าอน น ด เ นอ วงเป ด 𝒂, 𝒃 ล วจ ม จ านวน 𝒄 ง

𝒇′ 𝒄 =𝒇 𝒃 −𝒇 𝒂

𝒃−𝒂

𝒇 𝒙

𝒙

Slope = 𝒇′ 𝒄

𝒄 𝒂 𝒃

slope =𝒇 𝒃 −𝒇 𝒂

𝒃−𝒂

𝑦 = 𝑓 𝑥

Fundamental Theorem in Calculus

ษ ค า ด ด (Extreme Value Theory)

า 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 , ล ว 𝒄𝟏, 𝒄𝟐 ∈ 𝒂, 𝒃 จ ม

𝒇 𝒄𝟏 ≤ 𝒇 𝒙 ≤ 𝒇 𝒄𝟐 า ร 𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃

า 𝒇 าอน น ด เ นอ วงเป ด 𝒂, 𝒃 ล วจ านวน 𝒄𝟏 ล 𝒄𝟐 จ ปราก ปลาย

อง วง 𝒂, 𝒃 รอ จ ด น วง 𝒂, 𝒃 า 𝒇′ ม ค าเ าก ศ นย

11/2/2012

14

Fundamental Theorem in Calculus

นยาม

ร มานน อน กรล (Riemann Integral) อง งก น 𝒇 น วงป ด 𝒂, 𝒃 คอลมต ก า นด ดย

𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝐛

𝒂

= 𝐥𝐢𝐦𝐦𝐚𝐱 𝚫𝒙𝒊→𝟎

𝒇 𝒛𝒊 𝚫𝒙𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

เมอ 𝒂 = 𝒙𝟎 ≤ 𝒙𝟏 ≤ ⋯ ≤ 𝒙𝒏 = 𝒃 า ร 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏, 𝚫𝒙𝒊 = 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊−𝟏 ล 𝒛𝒊 กเลอกจากค า ด น วง 𝒙𝒊−𝟏, 𝒙𝒊

Fundamental Theorem in Calculus

ษ (Weighted Mean Value Theorem for Integral) า 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 , 𝒈 ามาร าปร น ด เ นอ วง 𝒂, 𝒃 ล 𝒈 ม เปล ยนเครอง มายเ นอ วง 𝒂, 𝒃 ล วจ ม จ านวน 𝒄 น วง 𝒂, 𝒃 ง

𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 𝒅𝒙𝐛

𝒂

= 𝒇 𝒄 𝒈 𝒙 𝒅𝒙𝐛

𝒂

เมอ 𝒈 𝒙 = 𝟏 ษ น จ ค าเ ล ย อง งก น 𝒇 เ นอ วง 𝒂, 𝒃 งค าเ ล ยน คอ

𝒇 𝒄 =𝟏

𝒃 − 𝒂 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

𝐛

𝒂

11/2/2012

15

Fundamental Theorem in Calculus

𝑓 𝑥

𝑥

𝑓 𝒄

𝑐 𝑎 𝑏

𝑦 = 𝑓 𝑥

Fundamental Theorem in Calculus

ษ ษ ค าร ว างกลาง (Intermediate Value Theorem)

า 𝒇 ∈ 𝑪 𝒂, 𝒃 ล 𝑲 เปนจ านวน ด อย ร ว าง 𝒇 𝒂 ก 𝒇 𝒃 ล ว จ ม

จ านวน 𝒄 น วง 𝒂, 𝒃 ง 𝒇 𝒄 = 𝑲

11/2/2012

16

Fundamental Theorem in Calculus:

Example

จงแสดงวา 𝑥5 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 1 = 0 มผลเ ลยในชวง 0,1

เนองจาก 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 1 เปน งกชนพห นาม และมความตอเนองบนชวง 0,1 งเราพบวา 𝑓 0 = −1 < 0 < 1 = 𝑓 1 ดยทบ.คาระหวางกลางจะไดวา จะมคา 𝑥 ∈ 0,1 ทท าให 𝑥5 − 2𝑥3 + 3𝑥2 − 1 = 0

ษ ษ องเ ย เลอร (Taylor’s Theorem)

า 𝒇 ∈ 𝑪𝒏 𝒂, 𝒃 ล 𝒇 𝒏+𝟏 าค า ด เ นอ วง 𝒂, 𝒃 า ร ก 𝒙 ∈ 𝒂, 𝒃 จ

ม 𝝃 𝒙 อย ร ว าง 𝒙𝟎 ก 𝒙 ง 𝒇 𝒙 = 𝑷𝒏 𝒙 + 𝑹𝒏 𝒙

เมอ 𝑷𝒏 𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 + 𝒇′ 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 +𝒇′′ 𝒙𝟎

𝟐! 𝒙 − 𝒙𝟎 𝟐 + ⋯ +

𝒇 𝒏 𝒙𝟎

𝒏! 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒏 =

𝒇 𝒌 𝒙𝟎

𝒌!

𝒏𝒌=𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒌

ล 𝑹𝒏 𝒙 =𝒇 𝒏+𝟏 𝝃

𝒏+𝟏 ! 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒏+𝟏

Fundamental Theorem in Calculus: Taylor’s Theorem

11/2/2012

17

เร ยก 𝑷𝒏 𝒙 ว า นามเ ย เลอร อนด 𝒏 (Taylor Polynomial) า ร งก น 𝒇 รอ

จ ด 𝒙𝟎 ล เร ยก 𝑹𝒏 𝒙 ว า จน เศษเ ลอ (Remainder Term or Truncation Error)

อดคล องก 𝑷𝒏 𝒙

กร เปนอน กรมอนนต (𝒏 → ∞) นาม 𝑷𝒏 𝒙 ง 𝒏 → ∞ จ กเร ยกว าอน กรม

เ ย เลอร นกร 𝒙𝟎 = 𝟎 อน กรมเ ย เลอร น จ กเร ยกว า อน กรม มคลอรน

(Maclaurin Series)

Fundamental Theorem in Calculus: Taylor’s Theorem

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

ก า นด 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 จง า

(1) นามเ ย เลอร อนด อง ล อนอ าม อง 𝒇 𝒙 รอ จ ด 𝒙𝟎 = 𝟎 ล

นาม ด ปร มา ค า 𝐜𝐨𝐬 𝟎. 𝟎𝟏

(2) จง นามเ ย เลอร อนด าม ร อม จน เศษเ ลอปร มา ค า

𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙𝟎.𝟏

𝟎

11/2/2012

18

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

ส าหรบ 𝑛 = 2 และ 𝑥0 = 0 เราได

cos 𝑥 = 1 −1

2𝑥2 +

1

6𝑥3 sin 𝜉 𝑥

เมอ 𝜉 𝑥 เปนจ านวนทอยระหวาง 0 กบ 𝑥

เมอคา 𝑥 = 0.01 พห นามเทยเลอรและเ เหลอจะเปน

cos 0.01 = 1 −1

20.012 +

1

60.013 sin 𝜉 𝑥

= 0.99995 + 0.16∙ × 10−6 sin 𝜉 𝑥

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

เมอ 0 < 𝜉 𝑥 < 0.01

เราทราบวา 0 = sin 0 < sin 𝜉 𝑥 < sin 0.01 = 0.099833 เราจะได 𝐸 = cos 0.01 − 0.99995 = 𝑅2 𝑥

≤ 0.16∙ × 10−6 sin 0.01

= 0.166 × 10−8 ≤ 0.5 × 10−8 นนหมายความวา คาประมาณของ cos 0.01 ทประมาณดวยพห นามเทยเลอรอนดบ

สองจะมขอบเขตความคลาดเคลอนเทากน 0.5 × 10−8 หรอมความแมนย า 8 D.P.

11/2/2012

19

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

ส าหรบ 𝑛 = 3 และ 𝑥0 = 0 เราได

cos 𝑥 = 1 −1

2𝑥2 +

1

24𝑥4 cos 𝜉 𝑥

คาประมาณของพห นามเทยเลอรอนดบสามนนเทากบคาทไดจากพห นามเทยเลอรอนดบ

สอง นนคอ cos 0.01 ≈ 1 −1

20.012 = 0.99995

เมอพจารณา 𝑅2 𝑥 =1

24𝑥4 cos 𝜉 𝑥 ส าหรบ 0 < 𝜉 𝑥 < 0.01 จะไดวา

𝐸 = cos 0.01 − 0.99995 = 𝑅3 𝑥 ≤1

240.014 cos 0

= 0.4166 × 10−9 ≤ 0.5 × 10−9

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

คาประมาณของ cos 0.01 ทประมาณดวยพห นามเทยเลอรอนดบสามมความแมนย า

9 D.P.

คาจรงของ cos 0.01 คอ 0.99995000042

เมอเทยบกบคาประมาณดวยพห นามเทยเลอรอนดบสองและสาม พบวาคาประมาณม

ความถกตองถงท นยมต าแหนงท 9

11/2/2012

20

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

(2) เนองจาก

cos 𝑥 = 1 −1

2𝑥2 +

1

24𝑥4 cos 𝜉 𝑥

cos 𝑥 𝑑𝑥0.1

0

= 1 −1

2𝑥2 𝑑𝑥

0.1

0

+1

24 𝑥4 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥

0.1

0

= 𝑥 −1

6𝑥3

0

0.1+

1

24 𝑥4 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥

0.1

0

= 0.1 −1

6 0.1 3 +

1

24 𝑥4 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥

0.1

0

งท าใหเราไดคาประมาณของ cos 𝑥 𝑑𝑥0.1

0≈ 0.1 −

1

6 0.1 3 = 0.09983∙

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

เมอพจารณาพจนเ เหลอ จะได

𝐸 =1

24 𝑥4 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥

0.1

0 ≤ 𝑥4 cos 𝜉 𝑥 𝑑𝑥

0.1

0 ≤ 𝑥4𝑑𝑥

0.1

0= 0.83∙ × 10−7

งคาจรงของ cos 𝑥 𝑑𝑥0.1

0 คอ 0.099833417

งจากท เราได 𝐸 ≤ 0.83∙ × 10−7 ≤ 0.5 × 10−6 หรอคาประมาณจะม

ความแมนย า 6 D.P.

ความคลาดเคลอนของคาประมาณ ายในขอบเขตของความคลาดเคลอนจากท

11/2/2012

21

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

อน กรมแมคคลอรน (อน กรมเทยเลอรกระจายรอบจ ด 00 x ) ถงพจน 3x เขยนไดเปน

xRxx

xe x

3

32

621

ex

xR!4

4

3 , x 0

ถาใชอน กรมนค านวณคา 04.0e เราจะแทนคา x ดวย 0.04

04.06

04.0

2

04.004.01 3

3204.0 Re

04.004081067.1 3

04.0 Re

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

ถาใชคาประมาณ 04081067.104.0 e คาความคลาดเคลอน eE24

04.04

ดยท x0

เราได 04.0

440

4

24

04.0

24

04.0

24

04.0eeEe

หรอ 77 1011.1107.0 E นนคอ 66 105.0101.0 E

นนแสดงวา การประมาณคา 04.0e ดวยอน กรมแมคคลอรนจ านวน 3 พจน หรอถง 3x

ไดคา 040811.104.0 e งมความแมนย าถงท นยมต าแหนงทหก (6 D.P.)

11/2/2012

22

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

ในการใชอน กรมแมคคลอรนประมาณคา xsin เมอ 5.0x ใหไดผลลพธถกตอง 5 D.P. จะตองใชกพจน

...!7!5!3

sin753

xxx

xx

ความถกตอง 5 D.P. หมายถงขอบเขตของความคลาดเคลอน 5105.0

Fundamental Theorem in Calculus

Taylor’s Theorem: Example

ถาใชถงพจนท 2 ได !5

5

3

xxR มคาสงส ดเมอ 5.0x เทากบ 3102.0

ถาใชถงพจนท 3 ได !7

7

5

xxR มคาสงส ดเมอ 5.0x เทากบ 5102.0

ดงนนเราสามารถใชอน กรมแมคคลอรน 3 พจนในการประมาณคา xsin เมอ 5.0x นนคอ

!5!3sin

53 xxxx

11/2/2012

23

Rounding off and Computer Arithmetic

รปแบบในการแทนคาตวเลขของเครองค านวณ

𝒇 × 𝒃𝒄 เมอ

𝑓 หมายถง เลขนยส าคญ (Significant Number) หรออกชอหนงคอ แมนทส า (Mantissa) 𝑏 หมายถง เลข าน งอาจจะหมายถง านสอง านสบ านสบหก 𝑐 หมายถง เลขชก าลง หรอเรยกวา คาแรคเตอรรสตค (Characteristic)

Rounding off and Computer Arithmetic

าจ ด านอย ลงเล ดดตว รก องเล นย าค ล าน (𝒃) เปน าน

123.4567 𝟏. 𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕 × 𝟏𝟎𝟐

0.00021378 𝟐. 𝟏𝟑𝟕𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒

นการ น ก เล าน ม จ าเปนต อง ก น กลง ปด วย

ค า นเครองค านว มกจ อย นร ป 𝟐. 𝟏𝟑𝟕𝟖 𝑬 − 𝟒

11/2/2012

24

Rounding off and Computer Arithmetic: Example

คอม วเตอร เมนเ รม 32 ต เ น IBM 3000 ล IBM 4300

◦ 1 ต นเครอง มาย วก รอล ◦ 7 ต นเล ก าลง ( าน 16) ◦ 24 ต นเล นย าค

เล ก าลง 7 ต นตวเล ตง ต 0 ง 127 ต ต องล เล ก าลงด วย 64 เ อ า ามาร นค าน อย ด งจ า เล ก าลงม ค าอย ร ว าง -64 ง 63

Rounding off and Computer Arithmetic: Example

0 1000010 101100110000010000000000

Sign bit 0 เปนค า วก เล ก าลง 1 × 26 + 0 × 25 + 0 × 24

+0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21

+0 × 20 = 66

1 ×1

2+ 1 ×

1

23+ 1 ×

1

24

+1 ×1

27+ 1 ×

1

28+ 1 ×

1

214

เล นย าค

ลงเ นเลข าน บ ะ

1

2+

1

23+

1

24+

1

27+

1

28+

1

214 ∙ 1666−64 = 179.015625

11/2/2012

25

Rounding off and Computer Arithmetic: Example

จ านวนจรง น อยกว า

ดจาก 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

คอ 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

ม ค าเ าก 179.0156097412109375

จ านวนจรง มากกว า

ดจาก 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

คอ 𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏

ม ค าเ าก 179.0156402587890625

179.015625

Single Precision 32 ต

1 ต นเครอง มาย วก รอล (𝒔) 8 ต นเล ก าลง (𝒄) 23 ต เ ลอจ ก นเล นย าค (𝒇) ามาร ปลงเปนเล าน นร ป

−𝟏 𝒔 ∙ 𝟐𝒄−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝒇

Rounding off and Computer Arithmetic: IEEE-754 Single Precision

11/2/2012

26

Double Precision 64-bit

1 ต นเครอง มาย วก รอล (𝒔) 11 ต นเล ก าลง (𝒄) 52 ต เ ลอจ ก นเล นย าค (𝒇) ามาร ปลงเปนเล าน นร ป

−𝟏 𝒔 ∙ 𝟐𝒄−𝟏𝟎𝟐𝟑 ∙ 𝟏 + 𝒇

Rounding off and Computer Arithmetic: IEEE-754 Double Precision

Rounding off in Calculator

การปดเศษจ เกด น วน อง มน า (𝒇) า น เก อม ล น วน มน าม นาด ก จ า ค า นนนม ความ ม นย า ง น าจ าลอง เล าน อย นร ป

𝒙(𝟏𝟎) = 𝟎. 𝒅𝟏𝒅𝟐 … 𝒅𝒍𝒅𝒍+𝟏𝒅𝒍+𝟐 … × 𝟏𝟎𝒎 ก ปลง เปนเล าน อง อย นร ป

𝒙(𝟐) = 𝟎. 𝒃𝟏𝒃𝟐 … 𝒃𝒌𝒃𝒌+𝟏𝒃𝒌+𝟐 … × 𝟐𝒏 น อง มน า จ ากด า ต องม การปร เปล ยนค า 𝒙(𝟐) งอาจ า ดยการตด ง (Chopping) รอ การปดเศษ (Rounding)

11/2/2012

27

Chopping and Rounding

Chopping ตด ตตง ต ต า น ง 𝒌 + 𝟏 ง ป

Rounding จาร า ต 𝒌 + 𝟏 ดย า 𝒃𝒌+𝟏 ≥ 𝟏 จ วก ต 𝒌 ด วย 1 ล วตด ต

ตง ต ต า น ง 𝒌 + 𝟏 ง ป

ต า 𝒃𝒌+𝟏 < 𝟏 ก จ ตด ตตง ต ต า น ง 𝒌 + 𝟏 ง ป

เล าน อง 33 ต รก นค า อง 𝜋 คอ

11.001001 00001111 110011010 10100010 0

จง นค า 𝜋 น นร ป Single Precision IEEE-754 ร อม งค านว ค าปร มา

อง 𝜋 นร ปเล าน

33 ต รก อง 𝝅 คอ

11.001001 00001111 110011010 10100010 0 เมอปดเศษเ ลอ 24 ตจ ด

11.001001 00001111 110011011

Rounding off in Calculator: Example

11/2/2012

28

Rounding off in Calculator: Example

า Normalize

1. เลอนจ ด ว ลง ต รก ม ค าเปน 1 ( อน ต องเลอนมา าง าย 1 ต า น ง)

2. ตดเล 0 อย น า ง ( าม )

การเลอนจ ดน าเลอน ป าง ายจ ม ค าเปน วก ต าเลอน ป าง วาจ ม ค าเปนล

11.001001 00001111 110011011 จ เปน 1.1001001 00001111 110011011

จ ด เล ก าลงเปน 1 ล เนองจากเล นย าค ม ต รกเปน 1 เ มอ จ งตด ง ด

Rounding off in Calculator: Example

Sign (s) Characteristic (c) Mantissa (f) 0 10000000 10010010000111111011011

+ 128 2−1 + 2−4 + 2−7 + 2−12 + 2−13 + ⋯ + 2−23

เล ก าลงเปน 𝟏 = 128 − 127 นนคอ 𝑐 = 128

เล นย าค ม ต รกเปน 1.1001001 00001111 110011011

เมอ ปลงค า ดย ตร −𝟏 𝒔 ∙ 𝟐𝒄−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝒇

จ ด −𝟏 𝟎 ∙ 𝟐𝟏𝟐𝟖−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝟐−𝟏 + 𝟐−𝟒 + 𝟐−𝟕 + 𝟐−𝟏𝟐 + 𝟐−𝟏𝟑 + ⋯ +

𝟐−𝟐𝟑 งม ค า 𝟏. 𝟓𝟕𝟎𝟕𝟗𝟔𝟐𝟓𝟏 × 𝟐𝟏 = 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟓𝟎𝟑

ค าจรง อง 𝝅 เปน 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑𝟓𝟖𝟗𝟕𝟗𝟑𝟐𝟑𝟖𝟒𝟔𝟐𝟔𝟒𝟑𝟑𝟖𝟑𝟐𝟕𝟗𝟓…

11/2/2012

29

Rounding off in Calculator: Example

ร ป Single Precision IEEE-754 เล าน อง อง 0.1 คอ

0.000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 …

Normalize

0000 1.100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 …

Rounding

0000 1.100 1100 1100 1100 1100 1101 1100 1100 …

เลอนจ ด ป าง วา 4 ต า น ง ด ว า – 4 = 𝑐 − 127

นนคอเรา ด 𝑐 = 123 เปนเล ก าลง

เล นย าค จ เปน 100 1100 1100 1100 1100 1101

Rounding off in Calculator: Example

ปลงค า ดย −𝟏 𝒔 ∙ 𝟐𝒄−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝒇

จ ด −𝟏 𝟎 ∙ 𝟐𝟏𝟐𝟑−𝟏𝟐𝟕 ∙ 𝟏 + 𝟐−𝟏 + 𝟐−𝟒 + 𝟐−𝟓 + 𝟐−𝟖 + 𝟐−𝟗 + ⋯ + 𝟐−𝟐𝟑 งม ค า 𝟏. 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟒 × 𝟐−𝟒 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏

Sign (s) Characteristic (c) Mantissa (f) 0 01111011 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏 + 123 2−1 + 2−4 + 2−5 + 2−8 + 2−9 + ⋯ + 2−23