introduÇÃo ao estudo de probabilidade · 2014. 10. 15. · amostral se tem a mesma probabilidade,...
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Leno Matos
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE
PROBABILIDADE
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A história da teoria da probabilidade teve início na tentativa de explicar os jogos de azar.
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
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No estudo de um fenômeno de observação, cumpre-se distinguir o fenômeno e o modelo:
Determinístico
Probabilístico ou estocásticos
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
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Determinísticos: conduzem sempre a um mesmo resultado em condições iniciais idênticas.
Probabilísticos ou estocásticos: podem conduzir a diferentes resultados mesmo em condições iniciais idênticas.
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Os fenômenos estudados pela probabilidade, mesmo em condições normais de experimentação, podem variar de uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado futuro.
Adoção do cálculo matemático probabilístico: Experimento Ponto Amostral
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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
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Análise desse experimento revela que:
Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições.
Não se conhece “a priori” um resultado particular do experimento.
Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fração:
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
fi = n/N
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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Exemplo para o lançamento de uma moeda: Sucesso = cara → c
Insucesso = coroa → K
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INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Verificação da estabilização da frequência relativa de caras de uma moeda não viciada em função do aumento do número de lançamentos.
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O espaço amostral de um experimento aleatório definido por S, é o conjunto com todos os possíveis resultados desse experimento.
Exemplo de Espaços Amostrais: Lançamento de um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lançamento de duas moedas: S = {(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)}
ESPAÇO AMOSTRAL
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Diagrama de árvore:
Obs: muito úti l para defi nir o espaço amostral de experimentos aleatórios.
ESPAÇO AMOSTRAL
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É qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. Considerando S e Ф(conjunto vazio) como eventos: S: é dito evento certo Ф: é dito evento impossível
Evento certo: é um evento que ocorre em qualquer realização do experimento aleatório.
Se E = S, é chamado de evento certo.
EVENTOS
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Exemplo de evento certo:Seja S = {1, 3, 5, 7}C: um número ímpar = C {1, 3, 5, 7}:
C = S (evento certo)
Para todos os valores do conjunto S, o evento C (um número ímpar), ocorre. Então C = S logo C é um evento certo.
EVENTOS
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Evento elementar: é formado por um único elemento do espaço amostral. Se E ⊂ S e E é um conjunto unitário.
Evento impossível: é aquele que não ocorrer em nenhuma situação. O Ф é dito evento impossível.
Evento complementar: Seja um evento A qualquer, o evento Ā (complementar de A), tal que Ā= S – A, ou seja é um conjunto com todos os elementos que pertencem a S e não pertencem a A.
EVENTOS
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Eventos equiprováveis: quando para cada ponto amostral se tem a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Isto significa que todos os pontos tem a mesma probabilidade de ocorrer: P = 1/n
Eventos mutuamente exclusivos: eventos são declarados mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente em S. Ex: Jogar um dado, evento A: ser ímpar e evento B: ser par.
EVENTOS
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Utilizando operações de conjuntos, novos conjuntos podem ser formados.
AUB: é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre, ou ambos ocorrem.
EVENTOS
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A∩B: o evento que ocorre em A e B simultaneamente
EVENTOS
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Ā: é o evento que ocorre se A não ocorrer
EVENTOS
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Conceito: probabilidade é uma medida numérica da provável ocorrência de um evento.
CONCEITO E DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
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Definição: dado um experimento aleatório E, e S seu espaço amostral, a probabilidade de um evento A, indicado por P(A), é uma função definida em S que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas:
CONCEITO E DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
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Axiomas da probabilidade:– P(S)=1
– 0≤P(A)≤1
– Se A e B forem mutuamente exclusivos, A∩B = Φ, então P(AUB) = P(A) + P(B)
Axioma: proposição geral que não tem demonstração, recebida e aceita por todos como verdadeira e evidente.
CONCEITO E DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
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Se Φ é um conjunto vazio, então P(Φ) = 0Se Ā é complemento do evento A, então:
P(Ā) = 1 - P(A)
PRINCIPAIS TEOREMAS DA PROBABILIDADE
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Exemplo: Dentro de um saco temo 3 limões e 7 laranjas P(A): tirar um limão = 3/10 P(Ā) = 1 – P(A) P(Ā) = 1 – 3/10 P(Ā) = (10 – 3)/10 P(Ā) = 7/10
PRINCIPAIS TEOREMAS DA PROBABILIDADE
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Se A⊂B, então P(A) ≤ P(B)
PRINCIPAIS TEOREMAS DA PROBABILIDADE
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Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A∪B)=P(A) + P(B) - P(A∩B)
PRINCIPAIS TEOREMAS DA PROBABILIDADE
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Seja um espaço amostral finito S={a1, a2, ..., an}A cada evento simples ai associa-se um número pi
denominado probabilidade de ai, P(a i) ou simplesmente pi, satisfazendo as seguintes condições:
Pi ≥ 0 (i = 1, 2, 3, ..., n) e P1 + P2 +...+Pn = 1
A probabilidade P(A) de cada evento composto (mais de um elemento ou ponto amostral) é então definida pela soma das probabilidades dos pontos amostrais de A.
PROBABILIDADES FINITAS DOS ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS
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PROBABILIDADES FINITAS DOS ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS
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PROBABILIDADES FINITAS DOS ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS
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ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
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Este método de avaliar P(A) é enunciado da seguinte maneira:
Ou:
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
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Exemplo: Escolher aleatoriamente(a expressão “aleatória” indica que
o espaço amostral é equiprovável) um carta de um baralho de 52 cartas.
Evento A = {a carta é de ouros} Evento B = {a carta é uma figura} Calcular P(A) e P(B)
O cálculo da probabilidade de um evento se resume a um problema de contagem!
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
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A análise combinatória (teoria da contagem) tem fundamental importância para contar o número de casos favoráveis e o total de casos.
A combinação de N elementos tomados (combinados) n a n, sendo n ≤ N, é calculado por:
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
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Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas aleatoriamente uma após a outra sem reposição. Temos:
P(A) a probabilidade de ambas serem defeituosas:
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
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P(B) probabilidade de ambas não serem defeituosas:
P(C) probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa:Observando que C é complemento de B, ou seja C = B
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
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É de essencial importância calcular a probabilidade condicional.
Seja E lançar um dado, e o evento A={3}. Então:
Considere agora o evento B = {impar} = {1, 3, 5}Então devemos, avaliar o evento A condicionado ao
evento B, ou ainda, a probabilidade de A dado B:
PROBABILIDADE CONDICIONAL
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A seguinte fórmula é dada para o cálculo da probabilidade condicional:
Exemplo: Dois dado são lançados. Considere os eventos:
Onde X1 é o resultado do dado 1 e X2 é o resultado do dado 2
PROBABILIDADE CONDICIONAL
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Avaliar:– P(A)
– P(B)
– P(A/B)
– P(B/A)
PROBABILIDADE CONDICIONAL
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
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A partir da definição de probabilidade condicional pode-se enunciar o teorema do produto:
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro.”
TEOREMA DO PRODUTO
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Exemplo: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de ambas não serem defeituosas ?
A = {a primeira peça é boa}B = {a segunda peça é boa}
TEOREMA DO PRODUTO
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Defi nição: um evento A é dito independente de um evento B, se a probabilidade de A ocorrer não é infl uenciada pelo fato de B ter ocorrido ou não.
Em outras palavras se a probabil idade de A é igual à probabil idade condicional de A dado B, isto é, se:
Em consequência, se A é independente de B, B é independente de A, assim:
Considerando o teorema do produto, pode-se afi rmar que se A e B são independentes, então:
A equação acima é usada como defi nição formal de independência.
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
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Dados n elementos A1, A2, ..., AN, diz-se que eles são independentes se o forem 2 a 2, 3 a 3, n a n.
Isto é, se as igualdades abaixo forem verificadas:
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
![Page 45: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE PROBABILIDADE · 2014. 10. 15. · amostral se tem a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Isto significa que todos](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071108/5fe366b5e0e98961d511420e/html5/thumbnails/45.jpg)
Exemplo A: Num lote de 10 peças, 4 são defeituosas, duas peças são
retiradas uma após a outra com reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
A = {a primeira peça é boa} B = {a segunda peça é boa} Notando que A e B são independentes, pois P(B)= P(B/A)
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
![Page 46: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE PROBABILIDADE · 2014. 10. 15. · amostral se tem a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Isto significa que todos](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071108/5fe366b5e0e98961d511420e/html5/thumbnails/46.jpg)
Faria, José Cláudio – CET18_10ed_1pf.
Correa, Sonia Maria Barros Barbosa – Probabilidade e Estatística, 2º Edição.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS