introduzione alla logica sfumata introduction to fuzzy logic
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Introduzione alla logica sfumata Introduction to Fuzzy Logic Insieme sfumato Fuzzy Set Dominio di definizione; definition space : x X R L’insieme sfumato è definito dalla f unzione di appartenenza; Fuzzy set defined by its membership function: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Introduzione alla logica sfumata Introduction to Fuzzy Logic
Insieme sfumato Fuzzy SetDominio di definizione; definition space: x X RL’insieme sfumato è definito dalla funzione di appartenenza; Fuzzy set defined by its membership function: A(x) 0 A(x) 1 ,x X
Insieme vuoto; Empty set (x)=0 per xX ;
Insieme universo; Univers set S: S(x) =1 per xX
Insieme unione; Union set: AB AB (x)=max[A(x);B(x)]Insieme intersezione; Intersection set: AB AB(x)=min[A(x);B(x)]Insieme complementare; complement set: A* di of A : A(x)+A*(x)=1=
S(x)
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x
100
X=(0<x<10)Fuzzy sets:: (x)=0 per xXS: S(x)=1 per xX
A insieme sfumato generico A(x) = 01 per xX
A* insieme complementare di A: A*(x) =1-A(x)Vettore sfumato; Fuzzy vector: C(x)= (c1,c2,…,cM) = (c1(x), c2(x),…, cM(x))
S(x)=1
(x)=0
A(x)
F(x)1
B(x)A*(x)
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Per Insiemi Booleani; For Boolean Sets:Principio di esclusione; Exclusion principle:
AA* = S; AA* =
AA* : AA* (x) = max[A(x),A*(x)]≤ 1
AA* : AA* (x) = min[A(x),A*(x)] ≥0
Gli insiemi sfumati non godono del principio di esclusione;Exclusion principle is not valid for Fuzzy sets
A A* S AA*
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A(xi)
x1 xi xM
A
y1
yj
yM
B(yj)
B
C(B)
C(xi,yj)
C(A)
Insiemi sfumati di insiemi sfumati (funzioni sfumate a più valori) Fuzzy sets of fuzzy sets: (multivalued fuzzy functions)
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C2(x)
Vettore sfumato c =(c1 , c2) nel piano delle sue funziomi di appartenenza
Fuzzy vector c =(c1 , c2) in the plane of the membership functions
S=(1,1)
=(0,0)
(1,0)
(0,1)
A(2/3,1/4)
C1(x)
C(x)
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QuantizzatoresfumataFuzzifier
ElaboratorelinguisticoLinguisticprocessor
QuantificatoreDefuzzier
Segnali analogici Analog signals
Struttura di un sistema per l’ elaborazione sfumataFuzzy set processor
Segnale analogico Analog signal
Antecedenti: variabili linguistiche a più valori (simboli) Antecedents: Multivalued linguistic variables (symbols)
variabile linguistica a più valori (simbolo): ConseguenteMultivalued linguistic variable (symbol): Consequent
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QuantizzatoresfumatoFuzzifier
ElaborazionelinguisticaLinguisticprocessing
Segnali analogici Analog signals
Antecedenti: variabili linguistiche a più valori (simboli) Antecedents: Multivalued linguistic variables (symbols)
Massimo degliingressiMax of input
Riconoscitore basato sulla logica sfumataFuzzy recognition system
grado di apparteneza:conseguentemembership value: consequent
Classe riconosciutaSelected class
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Vm T VM x
1
0
binario booleanobinario sfumato
0(x) 1(x)
i(x); i=0,1 (appartenenza alla variabile binaria)
X
Fig. 2 Funzioni di appartenenza alla variabile binaria ( codificatore binario booleano e codificatore binario sfumato)
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x
= {aP
100
A ,aM
,aG}
aP(x) aG(x)aM(x)
ai(x), i= P,M,G
1
Funzioni di appartenenza di una grandezza sfumata a tre valori (piccolo:P,medio: M,grande: G)Membership functions of a three valued fuzzy variable (small:P,medium:M,large: G)
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AaMP aP
aM aGB
bP
bG
cP cP
cPcM
cM cG
cG cMG
C={cP,cM,cG,cMG}A={aMP,aP,xM,aG} B={bP,bG}
C= f(A,B)
Esempio di trasformazione degli antecedenti Ae B nel conseguente CExample of the mapping of antecedents A,B into the conequent C
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Riconoscimento di vocali con logica sfumataFuzzy vowel recognition
F2
F1
F2
QS; F
E
QS;F
F1
A
O
U
I
argmaxI…EElab.
Ling.
F1 MP P M GF2
B
A
U O
U E
A A
E I
V={I,U,O,A,E}F1={MP, P,M,G} F2={B,A}
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Trasformazioni di funzioni logiche a tre valoriBasic three valued logic variable transformation
C= OR(A,B)
A -10 1B
-1
1
0
A -10 1B
-1
1
0
C= AND(A,B)
A -10 1
B-11 0
-1 0 1
0 0 1
1 1 1
-1 -1 -1
-1 0 0
-1 0 1
B= NOT(A)
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y
P(y) G(y)M(y)
i(y),
1
P(y) = .8M(y) = .3
G(y) = .1
y= (i yi Ai)/(i Ai) con i = P,M,G
AP AM
AG
yP yM yG
Quantificazione con il metodo dei centroidiMethod of the centroids for fuzzy quantification
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QuantificatoreDefuzzifier(MLP)
x
e
+ _
xQuantizzatore sfumatoFuzzifier
x^
Realizzazione del Quantificatore con un Percettrone MultistratoImplementation of the Defuzzifier using a Multi LayerPperceptron
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DCT
l(i,j)
FuzzifierLinguisticProcessor
argmax[mHI,mMH,mML,mLO]
T
L
Bclass
S
S
c(m,n)T’
L’
Input: Image luminance I(i,j)
Preprocessed input pattern: DCT Transforms
Input pattern: Total (T’)and low frequency (L’) energies:
T’ = |c(m,n)|-|c(0,0)|, m,n = 0-7
L’ = |c(m,n)|-|c(0,0)|, m,n = 0-3
Antecedents:Fuzzy Total Energy: T={VS, SM, ML, LG}
Fuzzy Low Frequency Energy: L={SM, LG}
Conseguents: Visibility Block Classification: B={LO,ML,MH,HI}
Classificatore sfumato delle trasformate DCT di blocchi d’ immagineImage DCT Block fuzzy Classifier
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L
SM LG
SM, LG
1000
T
VS LG
VS, SM, ML, LG
SM ML
1000
1
1
Funzioni di appartenenza per la codifica sfumata di T ed LMembership functions used for T and L fuzzification
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TL LGML
HI
HI
ML
LO
LG
SM
VS SM
MH
HI
ML
LO
Trasformazione linguistica dell’ attivita’ dei blocchi DCTLinguistic transformation of the DCT blocks
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xControllore
sfumatoFuzzy
controller
inseguitore(motore)
t
(e)/t
e
e’
Errore di posizione; position error: (e=x-y)
Antecedenti; antecedents:
Errore; error: e={N,Z,P},
Derivata dell’ errore; error derivative: e’={N,Z,P},
Velocita’ al tempo n-1; speed at time n-1: vp={N,Z,P}
Conseguente; consequent: Velocita’; speed:v={N,Z,P}
Controllore PID sfumato per motoriFuzzy PID motor controller
y+ _
cs
qs
e’
vp
e
v
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Apprendimento dei classificatori sfumatiLearning of the fuzzy classifiers
a) Metodo del gradiente per l’addestramento dei quantizzatori sfumati; Gradient method for the learning of the fuzzifier
Problema della derivazione delle funzioni discontinue; issues of the differentation of discontinous functions) max(x,a)/x = 1 if x>a else max(x,a)/x = 0
b) Addestramentodi tutti i blocchi (CS, Trasf. Linguistico, QS) Learning of all the blocks (Fuzzifier, Ling. mapping, Defuzzzifier) Si utilizza l’architettura ANFIS; we use the ANFIS architecture
(Adaptive Network-based Fuzzy Inference System;
Sistema d’inferenza sfumato basato su una rete adattativa )
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Problema: date P coppie di addestramento (xp,zp; p=1÷P) della z=z(x)Estrapolare (inferire) la z(x) come combinazione pesata di M interpolatori lineari : z=iwi(pix+ri)
x
zz(x)
x2
z2
xp
zp
xP
zP
x1
z1
Introduzione all’architettura ANFIS,Introduction to the ANFIS architecture
x0= -r/p
z0= wr
Problem: P learning pairs (xp,zp; p=1÷P) of a z=z(x) are given.Infer the z(x)
as a weighted linear combination of M linear interpolator: z=iwi(pix+ri)
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x
xl
xm
xh
y
xl
xm
xh
m1
m2
mi
m8
m9
:mi
z+
w1
w2
wi
w8
w9
wifiAND
fi=pix +qiy +ri
xy
Architettura ANFIS; ANFIS architecture
QSF
x
xl
xm
xh
y
xl
xm
xh
m1
m2
mi
m8
m9
:mi
z+
w1
w2
wi
w8
w9
wifiAND
fi=pix +qiy +ri
xy
QS F
Quantif.Defuzzifier
(OR)
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X /
+
L1(x)
X /
X /
x z
+
+
L3(x)
L2(x)
A3
A2
A1
w3
w1
w2w2
w1
w3
QuantizzatorisfumatiFuzzifiers
Normalizzatori dei minterminiMinterm normalizers
QuantificatoriDefuzzifiersGeneratori dei
MinterminiMinterm generators
1
2
3
IF (A1 AND A2) THEN (w1=12) w1= w1/(w1+ w2+w3)
Dettagli dell’architettura ANFIS; details of the ANFIS architecture
x
Li(x)= pix+ri
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Quantificatore; Defuzzifier: z=iwi(pix+ri)
In the specific case z(x)= w1 L1(x)+w2L2(x)+w3L3(x)
Rappresentazione matematica di ANFIS Mathematical respresentation of ANFIS
Quantizzatori sfumati; Fuzzifiers: i(x)= exp((x-ci)/ai)2,… (i=1÷K)
Generatore dei mintermini (AND aritmetico o logico); minterm generators: mhk =h(x)k(x),… (h;k=1÷K; mhk=mkh)
Normalizzatore dei pesi; weights normalizer: wj= wi/(w1+…+ wi+…+wI),…. With i=1÷I, I=K(K-1)/2)
Interpolatori lineari; Linear interpolators: Li(x)= pix+ri
![Page 24: Introduzione alla logica sfumata Introduction to Fuzzy Logic](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062422/56813c28550346895da5a222/html5/thumbnails/24.jpg)
x
z
1(x)
2(x) 3(x)i(x)
z(x)
x
w2L2(x)
L2(x)
L3(x)
Metodo: K funzioni di appartenenza degli ingressi; K membership functionsIl numero dei tratti lineari che vengono pesati con pesi funzione dell’ingresso sono Numero d’interpolatori lineari; number of linear interpolators; I≤ K(K-1)/2Nell’esempio; in the example K=2, I=3: z(x) ~ w1(x) L1(x)+w2(x)L2(x)+w3(x)L3(x)
w3L3(x)
w1L1(x)
L1(x)
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Parametri; parametersParametri dei quantizzatori sfumati; Fuzzifier parameters: ai,ci (i=1÷K)
Parametri delle rette interpolatrici; linear interpolator parameters: pi,ri (i=1÷K(K-1)/2))
Coppie d’addestramento; training pairs: (xp,zp; p=1÷P) P>>K2
Addestramento ibrido; Hybrid Learning:1) pi e ri ottimizzati con metodo dei minimi quadrati LSE (sistema lineare sovradimensionato
di P equazioni); pi and ri optimized using LSE method (overdimensioned linear system of P equations)
2) ai e ci ottimizzati con il metodo del gradiente e retropropagazione dell’errore EBP per
ogni coppia d’addestramento; ai and ci optimized using the gradient method and EBP for
each training pair.
Riferimento: Jyh-Shing Roger Jang: ANFIS: Adaptive_Network-Based Fuzzy Inference System, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Vol. 23 No. 3 1993 pp. 665-684