CURSO  DE  OPTIMIZACIÓN  

INVESTIGACIÓN  DE  OPERACIONES  Elaborado  por  Brian  Guzmán  M.  bguzman@ipciisa.cl  

INVENTARIOS  Investigación  de  Operaciones  

Teoría  de  Inventarios  ¿Cómo  utilizan  las  compañías  la  investigación  de  operaciones  para  mejorar  sus  políticas  de  inventarios  respecto  a  cuándo  y  cuánto  reabastecer  su  inventario?    1.  Formulando  un  modelo  matemático  que  describa  el  

comportamiento  del  sistema  de  inventarios.  2.  Elaborando  una  política  óptima  de  inventarios  a  partir  este  

modelo.  3.  Utilizar  un  sistemas  computarizados  para  mantener  un  

registro  de  los  niveles  del  inventario.  4.  A  partir  de  estos  registros,  utilizar  la  política  óptima  de  

inventarios  para  señalar  cuándo  y  cuánto  conviene  reabastecer.  

Teoría  de  Inventarios  Los  modelos  de  Inventarios  se  clasifican  dependiendo  de  su  capacidad  para  predecir  la  demanda.  1.  Modelos  Determinísticos:  Demanda  conocida.  2.  Modelos  Estocásticos:  La  demanda  es  una  variable  

aleatoria.    

Componentes  de  los  Modelos  de  Inventarios  Debido  a  que  las  políticas  de  inventarios  afectan  las  ganancias,  la  elección  entre  una  política  y  otra  depende  de  su  rentabilidad  relativa.    Algunos  de  los  costos  que  determinan  esta  rentabilidad  son  1.  Costos  de  ordenar  o  fabricar  2.  Costos  de  inventario.  3.  Costos  por  demanda  insatisfecha.    4.  Ingresos.  5.  Costos  de  recuperación    6.  Tasas  de  descuento.    

Tipos  de  Costos  •   Costo  de  Ordenar  o  Fabricar  •  El  costo  de  ordenar  o  fabricar  una  cantidad  z  (ya  sea  mediante  

compra  o  producción  de  esa  cantidad)  se  puede  representar:  •  Por  una  función  c  (z),  es  decir,  c  *  z.  Donde,  c  representa  el  precio  

unitario.  •  c  (z)  se  compone  de  dos  partes:  un  término  que  es  directamente  

proporcional  a  la  cantidad  ordenada  o  producida  y  un  término  que  es  una  constante  K  para  z  positiva  y  0  –cero–  para  z  =  0.    c(z)  =  costo  de  ordenar  z  unidades.  

         

 Donde  K  es  el  costo  fijo  y  c  el  costo  unitario.  

=0 si z = 0

K +cz si z > 0,

!

"#

$#

%

&#

'#

Tipos  de  Costos  Costo  de  Ordenar  o  Fabricar  

Ejemplo:  

Se  fabrican  ampolletas  y  el  costo  fijo  o  de  preparación  para  la  corrida  de  producción  es  de  $12.000.  Además,  cada  ampolleta  cuesta  $10;  el  costo  de  producción  cuando  se  ordena  una  corrida  de  producción  de  z  ampolletas  está  dado  por:    c(z)  =  12000+10z,  para  z  >  0.  

Tipos  de  Costos  •  Costo  de  Inventario  •  Consiste  en  los  costos  asociados  con  el  almacenamiento  del  inventario  hasta  que  se  vende  o  se  usa.  

•  Este  costo  incluye  el  costo  del  capital  invertido,  espacio,  seguros,  protección  e  impuestos  atribuibles  al  almacenamiento.  

•  Se  puede  evaluar  de  manera  continua  o  por  periodo.  •  Puede  ser  una  función  de  la  cantidad  máxima  que  se  guarda  durante  

un  periodo  •  De  la  cantidad  promedio  en  el  almacén    •  De  la  cantidad  en  inventario  al  final  del  periodo.  

•  Ejemplo:  •  El  costo  de  almacenar  se  calcula  en  forma  continua  como  $0.30  por  

ampolleta  en  inventario  por  mes,  o  sea,  el  costo  de  mantener  promedio  por  mes  es  de  $0.30  por  el  número  promedio  de  ampolletas  en  el  inventario  mensual.  

Tipos  de  Costos  •  Costo  por  Demanda  Insatisfecha  •  Surge  cuando  la  cantidad  que  se  requiere  de  un  bien  (demanda)  es  

mayor  que  el  inventario  disponible.    •  Se  clasifica  en  2  tipo:  

•  Con  Faltantes:  La  demanda  excesiva  no  se  pierde,  queda  pendiente  hasta  que  pueda  ser  satisfecha.    •  Se  puede  Interpretar  como  la  pérdida  de  la  imagen  ante  los  clientes  debida  al  

retraso,  su  duda  para  realizar  futuros  negocios,  el  costo  del  ingreso  retrasado  (flujo  de  caja),  el  trabajo  administrativo  adicionado,  lucro  cesante,  sobre  stock  de  productos  en  proceso,  etc.  

•  Sin  Faltantes:  La  demanda  excesiva  no  puede  esperar  el  reabastecimiento  normal.  •  El  exceso  de  demanda  es  satisfecho  mediante  un  envío  prioritario:    Costo  de  envío  

prioritario.  •  No  se  cumpla  todo  porque  las  órdenes  fueron  canceladas:  Pérdida  en  la  que  se  

incurre  por  no  satisfacer  la  demanda,  más  el  costo  de  perder  negocios  futuros  debido  a  la  pérdida  de  la  imagen.  

Tipos  de  Costos  •  Ingresos  •  Puede  o  no  incluirse  en  el  modelo:  

•  Queda  fuera  si  el  mercado  establece  tanto  el  precio  como  la  demanda  de  un  producto.  

•  De  no  incluirse  en  el  modelo,  entonces  la  pérdida  del  ingreso  debe  incluirse  en  el  costo  de  penalización  por  faltantes  siempre  que  la  empresa  no  pueda  cumplir  con  esa  demanda  y  se  pierda  la  venta.  

Tipos  de  Costos  •  Costo  de  Recuperación  •  El  valor  de  rescate  de  un  producto  es  el  valor  de  un  artículo  sobrante  cuando  no  se  requiere  más  del  inventario.  

•  El  negativo  del  valor  de  rescate  se  llama  costo  de  recuperación.  •  Si  existe  un  costo  asociado  al  hecho  de  poder  deshacerse  de  un  artículo,  el  costo  de  recuperación  puede  ser  positivo.    

•  Se  supondrá́  en  adelante  que  cualquier  costo  de  recuperación  se  incorpora  al  costo  de  mantener.  

Tipos  de  Costos  •  Tasa  de  Descuento  •  También  conocido  como  Costo  de  Capital.  •  Toma  en  cuenta  el  valor  del  dinero  en  el  tiempo,  es  decir,  determina  el  valor  actual  –  valor  presente  neto–  de  un  pago  futuro.  

Teoría  de  Inventarios  Los  modelos  de  Inventarios  se  clasifican  dependiendo  de  su  capacidad  para  predecir  la  demanda.  1.  Modelos  Determinísticos:  Demanda  conocida.  2.  Modelos  Estocásticos:  La  demanda  es  una  variable  

aleatoria.    

Modelos  Determinísticos  de  Revisión  Continua  El  modelo  EOQ  (Economic  Order  Quantity),  representa  la  situación  de  inventarios  más  común,  que  es  donde  los  niveles  de  inventarios  se  reducen  con  el  tiempo  y  después  se  reabastecen  con  la  llegada  de  nuevas  unidades.  •  Se  supone  que  los  artículos  se  sacarán  en  forma  continua  a  una  tasa  constante  conocida  denotada  por  d;  es  decir,  la  demanda  es  de  d  unidades  por  unidad  de  tiempo.    

•  También  se  supone  que  el  inventario  se  reabastece  (al  producir  u  ordenar)  un  lote  de  tamaño  fijo  (Q  unidades),  donde  las  Q  unidades  llegan  juntas  en  el  tiempo  deseado.  

EOQ  

Inicialmente,  consideraremos  los  siguientes  costos:  •  K  =  costo  de  preparación  para  ordenar  un  lote,  •  c  =  costo  unitario  de  producir  o  comprar  cada  unidad,  •  h  =  costo  de  mantener  el  inventario  por  unidad,  por  unidad  de  tiempo.  

 El  objetivo  consiste  en  determinar  con  qué  frecuencia  y  en  qué  cantidad  se  debe  reabastecer  el  inventario  de  manera  que  se  minimice  la  suma  de  estos  costos  por  unidad  de  tiempo.    

EOQ  

Diagrama  del  nivel  de  inventario  como  una  función  del  tiempo  del  modelo  EOQ  básico.      

Modelo  EOQ  básico  •  Supuestos:  •  Se  conoce  la  tasa  de  demanda  de  d  unidades  por  unidad  de  tiempo.  

•  La  cantidad  ordenada  (Q)  para  reabastecer  el  inventario  llega  de  una  sola  vez  y  cuando  se  desea,  es  decir,  cuando  el  nivel  del  inventario  baja  hasta  0  –cero–.  

•  No  se  permite  planear  faltantes.  

•  Punto  de  Reorden  =  (tasa  de  demanda)  *  (tiempo  entrega)  

Modelo  EOQ  básico  •  Ciclo:  tiempo  entre  reabastecimientos  consecutivos  del  inventario.  •  Si  se  producen  24.000  ampolletas  en  cada  corrida  y  luego  se  usan  a  una  tasa  de  8.000  por  mes,  entonces  la  longitud  del  ciclo  es  de  24.000/8.000  =  3  meses.  

•  Generalizando,  un  ciclo  es  Q/d.  

Modelo  EOQ  básico  •  Determinar  tiempo  T  es  a  partir  de  las  siguientes  componentes:  •  Costo  de  producir  u  ordenar  por  ciclo  =  K  +  cQ.  •  El  nivel  de  inventario  promedio  durante  un  ciclo  es  (Q  +  0)/2  =  Q  /2  unidades  

•  El  costo  correspondiente  es  hQ  /2  por  unidad  de  tiempo.  Como  la  longitud  del  ciclo  es  Q  /d  

•  Costo  de  mantener  inventario  por  ciclo    

•  Encontes:  •  Costo  total  por  Ciclo:    

 

hQ2

2d

K + cQ+ hQ2

2d

Modelo  EOQ  básico  •  Entonces,  el  costo  total  por  unidad  de  tiempo  es:  

•  El  valor  de  Q,  sea  Q*,  que  minimiza  T,  se  encuentra  al  establecer  la  primera  derivada  igual  a  cero  (y  al  observar  que  la  segunda  derivada  sea  positiva),  de  donde  se  obtiene:  

T =K + cQ+ hQ

2

2dQ / d

=dKQ

+ dc+ hQ2

−dKQ2 +

h2= 0

Modelo  EOQ  básico  •  De  manera  que:  

•  El  tiempo  de  ciclo  correspondiente,  sea  t*,  es    

Es  interesante  observar  que  Q*  y  t*  cambian  de  maneras  que  son  aceptables  cuando  se  hace  un  cambio  en  K,  h  o  d.  Cuando  el  costo  fijo  K  crece,  tanto  Q*  como  t*  crecen  (menos  preparaciones).  Si  el  costo  unitario  de  mantener  h  aumenta,  tanto  Q*  como  t*  disminuyen  (niveles  de  inventario  menores).  A  medida  que  la  tasa  de  demanda  d  crece,  Q*  crece  (lotes  más  grandes)  pero  t*  disminuye  (preparaciones  más  frecuentes).  

Q* =2dKh

t* = Q*

d=

2Kdh

Modelo  EOQ  básico  •  Si  se  aplican  estas  formulas  Q*  y  t*  en  el  ejemplo  de  las  ampolletas,  los  valores  serían:  

 

K  =12.000,  h  =0.30,  d  =8000,      De  manera  que      Y        En  consecuencia,  la  solución  óptima  es  hacer  una  preparación  de  la  línea  de  producción  de  bocinas  cada  3.2  meses  y  producir  25.298  ampolletas  cada  vez.          

Q* =2*8000*12000

0,3= 25298

t* = 252988000

= 3.2

Modelo  EOQ  con  Faltantes  •  El  requisito  mas  importante  es  que  los  costos  asociados  a  incurrir  en  faltantes,  son  menores  al  costo  de  mantener  inventarios.  

•  Supuestos:  •  Se  conoce  la  tasa  de  demanda  de  d  unidades  por  unidad  de  tiempo.  

•  La  cantidad  ordenada  (Q)  para  reabastecer  el  inventario  llega  de  una  sola  vez  y  cuando  se  desea,  es  decir,  cuando  el  nivel  del  inventario  baja  hasta  0  –cero–.  

•  Ahora  se  permite  faltantes  planeados.  Cuando  ocurre  un  faltante,  los  clientes  afectados  esperan  que  el  producto  esté  nuevamente  disponible.  Sus  órdenes  pendientes  se  satisfacen  de  inmediato  cuando  llega  la  cantidad  ordenada  para  reabastecer  el  inventario.  

Modelo  EOQ  con  Faltantes  •  p  =  costo  de  faltantes  por  unidad  que  falta  por  unidad  de  tiempo  que  falta.  

•  S  =  nivel  de  inventario  justo  después  de  recibir  un  lote  de  Q  unidades,    

•  Q  -­‐  S  =  faltante  en  inventario  justo  antes  de  recibir  un  lote  de  Q  unidades  .  

 El  costo  total  por  unidad  de  tiempo  se  obtiene  a  partir  de  los  siguientes  componentes:    Costo  de  producir  u  ordenar  por  ciclo  =  K  +  cQ.  

Modelo  EOQ  con  Faltantes  Durante  cada  ciclo,  el  nivel  de  inventario  es  positivo  durante  un  tiempo  S  /d.  El  nivel  del  inventario  promedio  durante  este  tiempo  es  (S  +  0)/2  =  S  /2  artículos  por  unidad  de  tiempo  y  el  costo  correspondiente  es  hS  /2  por  unidad  de  tiempo.    Costo  de  mantener  el  inventario  por  ciclo   =

hSS2d

=hS2

2d

Modelo  EOQ  con  Faltantes  De  manera  similar,  los  faltantes  ocurren  durante  un  tiempo    (Q  -­‐  S)/d.    La  cantidad  promedio  de  faltantes  durante  este  tiempo  es    (0  +  Q  -­‐  S)/2  =  (Q  -­‐  S)/2  artículos,  y  el  costo  correspondiente  es  p  (Q  -­‐  S)/2  por  unidad  de  tiempo.      Costo  de  faltantes  por  ciclo      Costo  total  por  ciclo  

=p(Q− S)Q− S

2d=p(Q− S)2

2d

= K + cQ+ hS2

2d+p(Q− S)2

2d

Modelo  EOQ  con  Faltantes  y  el  costo  total  por  unidad  de  tiempo  es:  

T =K + cQ+ hS

2

2d+p(Q− S)2

2dQ / d

=dKQ

+ dc+ hS2

2Q+p(Q− S)2

2Q

Modelo  EOQ  con  Faltantes  En  este  modelo  hay  dos  variables  de  decisión  (S  y  Q)  y  los  valores  óptimos  (S*  y  Q*)se  encuentran  al  igualar  a  cero  las  derivadas  parciales            T  /          S  y            T  /            Q.  Entonces,        

∂ ∂ ∂ ∂

∂T∂S

=hSQ−p(Q− S)Q

=Q

∂T∂S

= −dKQ2 −

hS2

2Q2 +p(Q− S)Q

−p(Q− S)2

2Q2 = 0

Modelo  EOQ  con  Faltantes  Al  resolver  estas  ecuaciones  de  forma  simultánea  se  obtiene        La  longitud  óptima  del  ciclo  t*  está  dada  por:        Y  el  faltánte  máximo  es:          

S* = 2dKh

pp+ h

, Q* =2dKh

p+ hp

t* = Q*

d=

2Kdh

p+ hp

Q* − S* = 2dKp

hp+ h

Modelo  EOQ  con  Faltantes  La  fracción  de  tiempo  en  que  no  existen  faltantes  es        Que  es  independiente  de  K.    •  Cuando  el  valor  de  p  o  de  h  se  hace  mucho  más  grande  que  el  otro,  las  cantidades  anteriores  se  comportan  de  manera  intuitiva.    

•  En  particular,  cuando  pè∞  con  h  constante  (los  costos  por  faltantes  dominan),  Q  *  -­‐  S  *  è  0  mientras  que  tanto  Q*  como  t*  convergen  a  sus  valores  dados  en  el  modelo  EOQ  básico.  Aunque  el  modelo  actual  permite  faltantes,  p  è∞    implica  que  no  vale  la  pena  tenerlos.    

     

S* / dQ* / d

=p

p+ h

Modelo  EOQ  con  Faltantes  •  Por  otro  lado,  cuando  h  è∞ con  p  constante  (de  manera  que  dominan  los  costos  de  mantener  inventario),  S  *  è  0.  Por  ello,  tener  h  è∞ hace  que  no  sea  económico  tener  niveles  de  inventario  positivos,  con  lo  que  cada  nuevo  lote  de  Q*  unidades  va  no  más  allá́  de  eliminar  los  faltantes  actuales  en  el  inventario.  

   

Modelo  EOQ  con  Faltantes  En  el  ejemplo  de  las  ampolletas,  el  costo  por  faltante  se  estimó  como  p=1.10  De  nuevo:  K=12000,  h=0.30,  d=8000  Por  lo  que  ahora:    

S* = 2*8000*120000.30

1.11.1+ 0.3

= 22424,

Q* =2*8000*12000

0.301.1+ 0.31.1

= 28540,

Modelo  EOQ  con  Faltantes  Y    

                               meses    •  En  consecuencia,  la  línea  de  producción  de  ampolletas  debe  prepararse  cada  3.6  meses  para  producir  28540  unidades.    

•  El  faltante  máximo  que  se  permite  es  de  6  116  ampolletas.  •  Note  que  Q*  y  t*  no  difieren  mucho  de  los  valores  del  caso  en  que  no  se  permiten  faltantes.  La  razón  es  que  p  es  mucho  mayor  que  h.    

       

t* = 285408000

= 3.6

Modelo  EOQ  con  descuentos  por  cantidad  •  Sustituye  el  supuesto  de  que  que  el  costo  por  unidad  es  independiente  de  la  cantidad.  

•  Ahora,  el  costo  unitario  disminuye  a  mayor  tamaño  del  lote.  Esto  es  gracias  a  las  economías  de  escala.  

Suponga  que  el  costo  unitario  por  cada  ampolleta  es  c1  =  $11  si  se  producen  menos  de  10000,  c2  =  $10  si  la  producción  está  entre  10000  y  80000  ampolletas  y  c3  =  $9.50  si  la  producción  es  mayor  a  80000  unidades.      ¿Cuál  es  la  política  óptima?  

Modelo  EOQ  con  descuentos  por  cantidad  A  partir  de  los  resultados  del  modelo  básico  EOQ,  el  costo  total  por  unidad  de  tiempo  Tj,  si  el  costo  de  producción  es  cj,  está  dado  por:        Para  j=1,2,3  

Tj =dKQ

+ dcj +hQ2

Modelo  EOQ  con  descuentos  por  cantidad  

Modelo  EOQ  con  descuentos  por  cantidad  Este  valor  de  Q  que  minimiza  es  un  valor  factible  para  la  función  de  costo  T2.  Para  cualquier  Q  fija,  T2  >  T1,  de  manera  que  T1  se  puede  eliminar.  Sin  embargo,  T3  no  puede  eliminarse  de  forma  directa.  Su  valor  factible  mínimo  (que  ocurre  en  Q  =  80  000)  debe  compararse  con  T2  evaluado  en  25  298  (que  es  $87  589).  Como  T3  evaluado  en  80  000  es  igual  a  $89  200,  es  mejor  producir  cantidades  de  25  298,  por  lo  cual  esta  cantidad  es  el  valor  óptimo  para  este  conjunto  de  descuentos  por  cantidad.  

Diferentes  tipos  de  Demanda  •  Demanda  Independiente:  Es  aquella  que  NO  depende  del  resto  de  los  productos  de  la  compañía.    

•  Demanda  Dependiente:  Es  aquella  que  SI  depende  del  resto  de  los  productos  de  la  compañía.  

Debido  a  las  dependencias  e  interrelaciones  involucradas,  la  administración  de  inventarios  de  productos  de  demanda  dependiente  puede  ser  mucho  más  complicada  que  en  el  caso  de  demanda  independiente.    

 

MRP  •  MRP  (material  requirements  planning,  o  planeación  de  los  requerimientos  de  materiales):    •  Sistema  basado  en  computadora  para  planear,  programar  y  

controlar  la  producción  de  todos  los  componentes  de  un  producto  final.    

•  Comienza  por  “explotar”  el  producto  al  dividirlo  en  subensambles  y  después  en  todos  sus  componentes  individuales.  Se  desarrolla  un  programa  de  producción  que  utiliza  la  demanda  y  el  tiempo  de  entrega  de  cada  componente  para  determinar  la  demanda  y  el  tiempo  de  entrega  de  los  componentes  subsecuentes  en  el  proceso.  

•  Además  de  un  programa  maestro  de  producción  para  el  producto  final,  una  lista  de  materiales  proporciona  información  detallada  de  todos  los  componentes.  

•  Cuando  deben  ordenarse  más  unidades  de  un  componente,  el  sistema  MRP  genera  en  forma  automática  una  orden  de  compra  dirigida  al  proveedor  o  una  orden  de  trabajo  para  el  departamento  interno  que  produce  el  componente.  

JIT    •  Justo  a  tiempo    (JIT,  just-­‐in-­‐time)  es  una  filosofía  desarrollada  para  administrar  inventarios.    

•  Hace  hincapié́  en  la  reducción  de  los  niveles  de  inventarios  hasta  el  mínimo,  y  en  proporcionar  los  artículos  justo  a  tiempo  a  medida  que  se  necesite.    

•  A  esta  filosofía,  que  se  desarrolló  en  Japón,  primero  en  la  Toyota  Company  a  finales  de  la  década  de  1950,  se  le  atribuye  parte  del  crédito  por  las  asombrosas  mejoras  en  la  productividad  japonesa  en  la  última  parte  del  siglo  XX.  

•  JIT  y  EOQ  son  complementarias.    

JIT    •  Un  sistema  de  inventarios  JIT  se  centra  en  encontrar  formas  de  reducir  considerablemente  los  costos  de  fijos  para  que  la  cantidad  óptima  por  ordenar  sea  pequeña.  

•  También  trata  de  encontrar  la  manera  de  reducir  el  tiempo  de  entrega  de  la  recepción  de  una  orden  pues  esto  reduce  la  incertidumbre  acerca  del  número  de  unidades  necesarias.  

•  Mejora  del  mantenimiento  preventivo  para  que  las  instalaciones  de  producción  requeridas  estén  disponibles  para  producir  las  unidades  cuando  son  necesarias.    

•  Mejoramiento  del  proceso  de  producción  para  garantizar  la  buena  calidad:  Proporcionar  exactamente  el  número  correcto  de  unidades  justo  a  tiempo  no  equivale  a  tener  una  vía  libre  para  incluir  unidades  defectuosas.  

JIT    •  Ejemplo:    •  Cuando  se  usó  el  modelo  EOQ  básico  para  calcular  el  lote  optimo  de  producción  en  el  ejemplo  de  las  ampolletas,  se  obtuvo  una  cantidad  muy  grande  (25  298  ampolletas).  

•  Esto  permite  tener  que  hacer  pocas  preparaciones  para  iniciar  las  corridas  de  producción  (sólo  una  vez  cada  3.2  meses).  Sin  embargo,  con  esto  se  tiene  niveles  promedio  de  inventario  muy  altos  (12  649  ampolletas),  lo  que  conduce  a  un  costo  total  anual  de  mantener  el  inventario  de  más  de  $45  000.  

•  La  razón  básica  de  este  costo  es  el  costo  de  preparación  (costo  fijo)  tan  alto  K  =  $12  000  de  cada  corrida  de  producción.  El  costo  de  preparación  es  tan  grande  porque  las  instalaciones  deben  establecerse  desde  cero  cada  vez.  Entonces,  aun  con  menos  de  cuatro  corridas  de  producción  por  año,  el  costo  anual  de  preparación  supera  los  $45  000,  igual  que  los  costos  de  mantener.  

JIT    •  Ejemplo:    •  En  lugar  de  seguir  tolerando  un  K  =  $12  000  cada  vez  en  el  futuro,  

otra  opción  es  buscar  la  manera  de  reducir  este  costo.    •  Una  posibilidad  es  desarrollar  métodos  para  transferir  con  rapidez  las  

máquinas  de  un  uso  a  otro.    •  Otra  es  dedicar  un  grupo  de  máquinas  a  la  producción  de  ampolletas  

para  que  permanezcan  listas  para  ello  entre  corridas  de  producción,  esto  es,  preparadas  para  iniciar  otra  corrida  cuando  se  necesite.  

•  Suponga  que  K  se  puede  reducir  en  forma  drástica  desde  $12  000  hasta  K  =  $120.  Esto  reducirá́  el  tamaño  del  lote  óptimo  de  producción  de  25  298  ampolletas  a  Q*  =  2  530,  de  manera  que  una  nueva  corrida  de  producción  con  duración  breve  se  iniciaría  más  de  3  veces  por  mes.    

•  Simultáneamente,  se  reduciría  tanto  el  K  anual  como  el  costo  anual  de  mantener  inventarios  de  más  desde  $45  000  hasta  sólo  $4  500  cada  uno.    

•  Al  tener  estas  corridas  de  producción  frecuentes  (pero  poco  costosas),  las  ampolletas  se  producirían  en  esencia  justo  a  tiempo  para  su  ensamble  en  las  lámparas.  

JIT    •  En  términos  más  generales,  el  enfoque  de  la  filosofía  justo  a  tiempo  se  concentra  en  evitar  el  desperdicio  en  cualquier  forma  que  pueda  ocurrir  en  el  proceso  de  producción.    

•  Una  forma  de  desperdicio  es  el  inventario  innecesario.    •  Otras  son  los  costos  fijos  innecesariamente  altos,  los  tiempos  de  entrega  demasiado  largos,  las  instalaciones  de  producción  que  no  son  operativas  cuando  se  requieren  y  los  artículos  defectuosos.    

•  Minimizar  estas  formas  de  desperdicio  es  un  componente  clave  de  la  administración  de  inventarios  de  nivel  superior.  

Otros  Modelos  Determinísticos  •  De  revisión  Periodica:  •  EOQ  se  bása  en  que  la  tasa  de  demanda  es  constante,  sin  emabargo,  al  relajarse  esta  regla,  EOQ  ya  no  asegura  una  solución  de  costo  mínimo.    

Otros  Modelos  Determinísticos  •  Con  Múltiples  Escalones:  •  El  inventario  de  muchos  fabricantes  está  disperso  por  el  mundo.  Incluso  el  inventario  de  un  producto  individual  puede  estar  globalmente  disperso.  

•  En  un  principio  este  inventario  se  puede  guardar  en  el  punto  o  puntos  de  manufactura  (un  escalón  del  sistema  de  inventario),  después  en  almacenes  regionales  o  nacionales  (un  segundo  escalón),  después  en  centros  de  distribución  (tercer  escalón),  y  así  sucesivamente.  

•  De  esta  forma,  cada  etapa  en  la  que  se  retiene  el  inventario  en  la  progresión  a  través  de  un  sistema  de  inventarios  con  múltiples  etapas  se  llama  escalón  del  sistema  de  inventarios.  

Otros  Modelos  Determinísticos  •  Con  Múltiples  Escalones:  •  Se  necesita  cierta  coordinación  entre  los  inventarios  de  cualquier  producto  en  los  diferentes  escalones.  

•  Como  el  inventario  en  cada  escalón  (excepto  el  primero)  se  reabastece  de  los  escalones  más  elevados.  

•  Integra  la  Cadena  de  Proveedores.  

Otros  Modelos  Determinísticos  El  sistema  de  escalones  múltiples  es  serial  pues,  asume  que  cada  escalón  tiene  solo  un  sucesor  y  de  igual  manera,  tiene  solo  un  predecesor.    •  Sistema  de  Distribución:  Asume  múltiples  sucesores  inmediatos.  

•  Sistema  de  Ensamblaje:  Asume  múltiples  antecesores  inmediatos.  

Modelos  Estocásticos  Modelo  con  Revisión  Continua:  define  un  punto  de  Reorden  que  marca  el  nivel  mínimo  de  invientario  antes  de  reabastecer.  •  Inicialmente,  se  utilizaba  el  sistema  de  2  contenedores,  donde  la  capacidad  de  uno  es  igual  al  punto  de  reorden.  Las  unidades  se  sacaban  primero  del  otro  contenedor  hasta  que  se  acababa.  Esto  era  señal  de  que  era  necesario  colocar  una  orden.  

•  Se  bása  en  2  números  críticos:  •  R  =  Punto  de  reorden  •  Q  =  Cantidad  por  ordenar  

•  Se  conoce  politica  (R,Q)  o  modelo  (R,Q).  

Modelo  (R,Q)  Supuestos  del  Modelo:  1.  Cada  aplicación  se  refiere  a  un  solo  producto.  2.  El  nivel  de  inventario  está  bajo  revisión  continua,  por  lo  que  su  valor  actual  se  

conoce  3.  Debe  usarse  una  política  (R,  Q),  por  lo  cual  las  únicas  decisiones  que  deben  

tomarse  son  las  selecciones  de  R  y  Q.  4.  El  tiempo  de  entrega  (entre  la  orden  y  la  recepción)  puede  ser  fijo  o  variable.  5.  La  demanda  para  retirar  unidades  del  inventario  y  venderlas  (o  usarlas  de  

otro  modo)  durante  este  tiempo  de  entrega  es  incierta.  Sin  embargo,  se  conoce  (o  se  puede  estimar)  la  distribución  de  probabilidad  de  la  demanda.  

6.  Si  ocurren  faltantes  antes  de  recibir  la  orden,  el  exceso  de  demanda  queda  pendiente,  de  manera  que  estos  faltantes  se  satisfacen  cuando  llega  la  orden.  

7.  Se  incurre  en  costo  de  preparación  (denotado  por  K)  cada  vez  que  se  coloca  una  orden.  

8.  Excepto  por  este  costo  fijo,  el  costo  de  la  orden  es  proporcional  a  la  cantidad  Q.  

9.  Se  incurre  en  un  costo  de  mantener  (denotado  por  h)  por  cada  unidad  en  inventario  por  unidad  de  tiempo.  

10.  Cuando  ocurren  faltantes,  se  incurre  en  cierto  costo  por  faltantes  (denotado  por  p)  por  cada  unidad  que  falta  por  unidad  de  tiempo.  

 

Modelo  (R,Q)  •  Determinación  de  Q  

•  Donde  d  esa  hora  la  “demanda  promedio”  por  unidad  de  tiempo.  

Q= 2dKh

p+ hp

Modelo  (R,Q)  •  Determinación  del  punto  de  reorden  R.  •  Por  medio  de  la  determinación  del  nivel  de  servicio:  

1.  Probabilidad  de  que  ocurra  un  faltante  entre  la  colocación  de  la  orden  y  la  recepción  del  pedido.  

2.  Número  promedio  de  faltantes  por  año.  3.  Porcentaje  promedio  de  la  demanda  anual  que  se  satisface  de  

inmediato  (sin  faltantes).  4.  Retraso  promedio  en  satisfacer  las  órdenes  pendientes  cuando  

ocurre  un  faltante.  5.  Retraso  promedio  global  para  satisfacer  las  órdenes  (donde  el  

retraso  sin  faltantes  es  0).  

•  Utilizaremos  la  medida  1  como  la  principal  para  determinar  el  nivel  de  servicio.  

Modelo  (R,Q)  Entonces,  •  L  =  probabilidad  deseada  por  la  administración  de  que  no  ocurran  faltantes  en  el  lapso  entre  colocar  una  orden  y  recibirla.  

•  D  =  demanda  durante  el  tiempo  de  entrega  para  satisfacer  una  orden,  siendo  D  una  variable  aleatoria.  

Por  ejemplo,  con  una  distribución  uniforme,  la  fórmula  para  elegir  el  punto  de  reorden  R  es  sencilla.  Si  la  distribución  de  probabilidad  de  D  es  una  distribución  uniforme  en  el  intervalo  de  a  a  b,  se  establece  R=a+L(b  –  a)  P=(D≤R)=L  Y  la  media  de  distribución   E(D) = a+ b

2

Modelo  (R,Q)  Finalmente,  el  inventario  de  Seguridad:     = R−E(D) = a+ L(b− a)− a+ b

2

= (L − 12)(b− a)

Modelo  (R,Q)  Procedimiento  general  para  elegir  R  1.  Seleccionar  L  2.  Despejar  R  tal  que  P(D≤R)=L  Por  ejemplo,  suponga  que  D  tiene  distribución  normal  con  media            y  varianza    Dado  el  valor  de  L,  se  puede  usar  una  tabla  de  distribución  para  determinar  el  valor  de  R.        La  cantidad  de  inventario  de  seguridad  es  

µ σ

R = µ +K1−Lσ

R−µ = K1−Lσ

Modelo  (R,Q)  Cálculo  del  punto  de  reorden  R  según  el  modelo  estocástico  con  revisión  continua,  cuando  L  =  0.75  y  la  distribución  de  probabilidad  de  la  demanda  en  el  tiempo  de  entrega  es  una  normal  con  media  3  y  desviación  estándar    σ

Modelo  (R,Q)  Volvamos  al  Ejemplo  de  las  Ampolletas.  •  El  costo  de  preparación  para  producir  las  ampolletas  es  K  =  $12  000,  el  costo  unitario  de  mantener  es  h  =  $0.30  mensual  por  unidad  y  el  costo  unitario  por  faltantes  es  p  =  $1.10  por  unidad  por  mes.  

•  La  tasa  de  demanda  fija  original  era  de  8  000  ampolletas  por  mes  para  ensamblarse  en  lámparas  fabricadas  en  la  línea  de  producción  a  esta  tasa  fija.  Sin  embargo,  las  ventas  han  sido  muy  variables,  por  lo  que  el  nivel  del  inventario  de  lámparas  terminadas  fluctúa  de  manera  importante.  Para  reducir  los  costos  de  mantener  el  inventario  de  productos  terminados,  la  administración  ha  decidido  ajustar  la  tasa  de  producción  diaria  para  que  se  ajuste  mejor  a  las  órdenes  que  se  reciben.  

Modelo  (R,Q)  •  En  consecuencia,  la  demanda  actual  de  ampolletas  es  variable.  Existe  un  tiempo  de  entrega  de  1  mes  entre  ordenar  una  corrida  de  producción  de  ampolletas  y  tenerlas  listas  para  el  ensamble.  La  demanda  de  ampolletas  durante  este  tiempo  de  entrega  es  una  variable  aleatoria  D  que  tiene  distribución  normal  con  media  de  8  000  y  desviación  estándar  de  2  000.  

•  Para  minimizar  el  riesgo  de  interrumpir  la  línea  de  producción  de  lámparas,  la  administración  ha  decidido  que  el  inventario  de  seguridad  de  ampolletas  debe  ser  suficiente  para  evitar  faltantes  95%  del  tiempo  durante  este  periodo  de  entrega.  

Modelo  (R,Q)  •  Para  aplicar  el  modelo,  la  cantidad  que  es  necesario  ordenar  en  cada  corrida  de  producción  debe  ser:  

•  Esto  es  lo  mismo  que  determino  el  modelo  EOQ,  pero  a  esto,  hay  que  considerar  un  inventario  de  seguridad,  habiendo  definido  un  nivel  de  servicio  L  =  0.95  ,  obteniendo  de  una  tabla  normal  K1-­‐L=1  645.    

•  Por  lo  tanto,  el  punto  de  reorden  es:  

•  Inventario  de  Seguridad  =    

Q= 2dKh

p+ hp

=2(8000)(12000)

0.301.1+ 0.31.1

= 28540

R = µ +K1−Lσ = 8000+1645(2000) =11290R−µ = 3290

Modelos  Estocásticos  •  De  un  Solo  Periodo  para  Producto  Perecedero  •  Limita  la  cantidad  de  periodos  en  que  el  producto  se  puede  tener  en  inventario.  •  Ej:  Periodicos,  flores,  comida  fresca,  ropa  de  temporada,  productos  

con  rápida  obsolecencia.  

Modelos  Estocásticos  •  De  un  Solo  Periodo  para  Producto  Perecedero  •  Limita  la  cantidad  de  periodos  en  que  el  producto  se  puede  tener  en  inventario.  •  Ej:  Periodicos,  flores,  comida  fresca,  ropa  de  temporada,  productos  

con  rápida  obsolecencia    

 Analicemos  el  modelo  utilizando  un  ejemplo:  Analicemos   la   distribución   de   un   modelo   específico   de   bicicleta   (una  pequeña   bicicleta   de   una   velocidad   para   niñas).   El   fabricante   acaba   de  informar   al   distribuidor   que   este   modelo   se   va   a   descontinuar.   Para  ayudar   a   agotar   su   inventario,   el   fabricante   ofrece   al   distribuidor   la  oportunidad  de  hacer  una  compra  final  en  términos  muy  favorables,  esto  es,  por  un  costo  unitario  de  $20  por  bicicleta.  Con  este  arreglo  especial,  el  distribuidor  no  incurre  en  un  costo  de  preparación  al  colocar  esta  orden.  

De  un  Solo  Periodo  para  Producto  Perecedero  Ejemplo:  Analicemos  la  distribución  de  un  modelo  específico  de  bicicleta  (una  pequeña  bicicleta  de  una  velocidad  para  niñas).  El   fabricante  acaba  de   informar  al  distribuidor  que  este  modelo  se  va  a  descontinuar.  Para  ayudar  a  agotar  su  inventario,  el  fabricante  ofrece  al  distribuidor  la  oportunidad  de  hacer  una  compra  final  en  términos  muy  favorables,  esto  es,  por  un  costo  unitario  de  $20  por  bicicleta.  Con  este  arreglo  especial,  el  distribuidor  no  incurre  en  un  costo  de  preparación  al  colocar  esta  orden.  El  distribuidor  cree  que  esta  oferta  le  proporciona  una  oportunidad  ideal  para  hacer  una  venta   final   a   sus   clientes   (tiendas   de   bicicletas)   para   la   temporada   de   Navidad   a   un  precio   reducido  de  $45  por  bicicleta,   esto   es,   con  una  ganancia  de  $25  por   cada  una.  Ésta  debe  ser  una  venta  de  una  sola  vez  porque  el  modelo  se  sustituirá́  por  uno  nuevo  que  lo  hará́  caer  en  la  obsolescencia.  Entonces,  cualquier  bicicleta  que  no  venda  durante  esta  barata  prácticamente  no  tendrá́  valor.  Sin  embargo,  el  distribuidor  cree  que  podrá́  disponer   de   las   bicicletas   que   queden   después   de   Navidad   si   las   vende   a   un   precio  nominal  de  $10  cada  una  (valor  de  rescate)  y  así  recupera  la  mitad  del  precio  de  compra.  Considerando  esta  pérdida  por  ordenar  más  de  lo  que  puede  vender,  lo  mismo  que  de  la  ganancia  perdida  si  ordena  menos  de  lo  que  puede  vender,  el  distribuidor  debe  decidir  qué  cantidad  ordenar  al  fabricante.      

De  un  Solo  Periodo  para  Producto  Perecedero  El  costo  administrativo  en  el  que  se  incurre  al  colocar  ordenes  especiales  para  la   temporada   navideña   es   bastante   pequeño,   por   lo   que   este   costo   será́  pasado  por  alto  hasta  casi  el  final.  Otro   gasto   relevante   es   el   costo   de  mantener   las   bicicletas   no   vendidas   en  inventario   hasta   que   pueda   disponerse   de   ellas   después   de   Navidad.   Al  combinar  el  costo  de  capital  comprometido  en  el  inventario  y  otros  costos  de  almacenamiento,   este   costo  de   inventario   se   estima  en  $1  por  bicicleta  que  queda  después  de  Navidad.  En  consecuencia,  si  el  valor  de  rescate  es  $10,  el  costo   unitario   de  mantener   es   -­‐$9   por   bicicleta   que   queda   en   inventario   al  final.  Es  necesario  estudiar  otros  dos  componentes  de  costo:  el  costo  por  faltantes  y  el   ingreso.  Si   la   demanda   excede   los   recursos,   los   clientes   que   no   pudieron  comprar   una   bicicleta   quizá́   tengan   alguna   mala   disposición,   lo   que  ocasionará   un   “costo”   al   distribuidor.   Este   costo   por   faltantes   es   la  cuantificación,  por  cada  artículo,  de  la  pérdida  de  imagen  multiplicada  por  la  cantidad  de  demanda  que  no  se  satisface  cuando  hay  faltantes.  El  distribuidor  considera  que  este  costo  es  despreciable.  

De  un  Solo  Periodo  para  Producto  Perecedero  Si   se   adopta   el   criterio   de  maximizar   la   ganancia,   el  modelo   debe   incluir   el  ingreso.  La  ganancia  total  es   igual  al   ingreso  total  menos  el  costo  en  que  se  incurre  (al  ordenar,  almacenar  y  tener  faltantes).  Bajo  el  supuesto  que  no  hay  inventario  inicial,  la  ganancia  para  el  distribuidor  es:  •  Ganancia  =  $  45  ×  cantidad  vendida  por  el  distribuidor.  

                     -­‐  $20  ×  cantidad  comprada  por  el  distribuidor.                          +  $9  ×  cantidad  no  vendida  y  liquidada  a  valor  de  rescate.  

Sea    S  =  cantidad  comprada  al  distribuidor          =  nivel  de  inventario  después  de  recibir  esta  compra  

                               D  =  demanda  de  las  tiendas  de  bicicletas  (variable  aleatoria),  

De  un  Solo  Periodo  para  Producto  Perecedero  De  manera  que:  mín{D,  S  }  =  cantidad  vendida,  máx{0,  S  -­‐  D  }  =  cantidad  no  vendida.  

Sistemas  de  Inventarios    Grandes  en  la  Práctica  •  Todos  los  modelos  de  inventarios  que  hemos  estudiado  se  refieren  a  la  administración  del  inventario  de  un  solo  producto  en  una  sola  ubicación  geográfica.  

•  Estos  modelos  proporcionan  los  bloques  básicos  para  construir  la  administración  científica  de  inventarios.  

Sistemas  de  Inventarios    Grandes  en  la  Práctica  •  Sistemas  de  inventario  de  productos  múltiples:  •  Con  productos  múltiples,  es  posible  aplicar  el  modelo  adecuado  de  un  producto  por  separado  a  cada  uno  de  ellos,  pero  altamente  ineficiente.  

•  Método  de  Control  ABC:  Divide  los  productos  en  tres  grupos  llamados  A,  B  y  C.  Los  productos  del  primer  grupo  son  en  particular  importantes  y  deben  supervisarse  de  acuerdo  con  un  modelo  de  inventarios  formal.  Los  productos  del  último  grupo  son  los  menos  importantes,  por  lo  que  sólo  se  supervisan  ocasionalmente.  Por  su  parte,  los  productos  del  grupo  B  reciben  un  tratamiento  intermedio.  

Sistemas  de  Inventarios    Grandes  en  la  Práctica  •  Administración  del  inventario  en  escalones  múltiples  en  IBM:    •  IBM  tiene  alrededor  de  1  000  productos  en  servicio.  Emplea  más  de  

15  000  ingenieros  de  servicio  capacitados  para  reparar  y  mantener  todos  los  sistemas  que  instala,  vende  o  renta  en  todo  Estados  Unidos.  

•  Para  apoyar  este  esfuerzo,  la  empresa  mantiene  un  enorme  sistema  de  inventarios  de  escalones  múltiples  de  refacciones.  Este  sistema  controla  más  de  200  000  números  de  partes,  mientras  que  su  inventario  total  está  valuado  en  miles  de  millones  de  dólares.  Además,  cada  año  se  procesan  millones  de  transacciones  de  partes.  

•  Los  escalones  del  sistema  comienzan  con  la  fabricación  de  las  partes,  después  se  encuentran  los  almacenes  nacionales  o  regionales,  luego  los  centros  de  distribución,  las  estaciones  de  partes  y,  por  último,  muchos  miles  de  lugares  externos  (que  incluyen  la  ubicación  de  los  inventarios  de  los  clientes  y  las  cajas  de  herramientas  de  los  ingenieros  de  la  compañía).  

Sistemas  de  Inventarios    Grandes  en  la  Práctica  •  Administración  del  inventario  en  escalones  múltiples  en  IBM:    •  Para  coordinar  y  controlar  todos  estos  inventarios  en  los  distintos  

escalones,  se  desarrolló  un  gran  sistema  computarizado  al  que  se  le  dio  el  nombre  de  Optimizer.  Este  sistema  está  conformado  por  cuatro  módulos  principales.  El  de  pronósticos  contiene  algunos  programas  para  estimar  las  tasas  de  falla  de  los  tipos  individuales  de  partes.  El  de  entrega  de  datos  cuenta  con  cerca  de  100  programas  que  procesan  más  de  15  gigabytes  de  datos  para  proporcionar  la  entrada  necesaria  a  Optimizer.  El  módulo  de  decisiones  optimiza  el  control  de  los  inventarios  cada  semana.  El  cuarto  módulo  incluye  seis  programas  que  integran  Optimizer  al  sistema  de  inventario  de  partes  de  IBM  (PIMS).  PIMS  es  un  complejo  sistema  de  información  y  control  que  contiene  millones  de  líneas  de  código.  

•  Optimizer  rastrea  el  nivel  de  inventario  de  cada  número  de  parte  en  todas  las  ubicaciones  (excepto  las  externas  donde  sólo  se  toma  en  cuenta  partes  con  un  costo  mayor  a  cierto  umbral).  Se  aplica  una  política  de  inventarios  tipo  (R,  Q)  para  cada  parte  en  cada  ubicación  y  escalón  del  sistema.  

Sistemas  de  Inventarios    Grandes  en  la  Práctica  •  Administración  del  inventario  en  escalones  múltiples  en  IBM:    •  Una  vez  diseñado,  se  requirió́  de  una  planeación  cuidadosa  para  

implantar  un  sistema  tan  complejo.  En  especial,  tres  factores  fueron  importantes  para  lograr  el  éxito  de  esta  implantación.  El  primero  fue  la  inclusión  de  un  equipo  de  usuarios  (gerentes  operativos)  como  asesores  del  equipo  del  proyecto  durante  todo  el  estudio.  En  la  etapa  de  implantación,  estos  funcionarios,  que  habían  alcanzado  un  alto  sentido  de  pertenencia,  se  habían  convertido  en  los  más  ardientes  defensores  de  la  instalación  de  Optimizer  en  sus  áreas  funcionales.  Un  segundo  factor  de  éxito  fue  una  extensa  prueba  de  aceptación  del  usuario  en  la  que  pudieron  identificar  áreas  problema  que  debían  rectificarse  antes  de  la  implementación  completa.  El  tercer  factor  clave  fue  que  el  nuevo  sistema  se  implantó  en  etapas,  con  pruebas  cuidadosas  en  cada  una,  por  lo  que  los  mayores  problemas  se  eliminaron  antes  de  implementarlo  en  todo  el  país.  

Sistemas  de  Inventarios    Grandes  en  la  Práctica  •  Administración  del  inventario  en  escalones  múltiples  en  IBM:    •  Este  nuevo  sistema  de  escalones  múltiples  demostró́  ser  un  gran  éxito.  Proporcionó  ahorros  cercanos  a  los  $20  millones  por  año  pues  mejoró  de  manera  notable  la  eficiencia  operativa.  También  generó  ahorros  anuales  aún  más  grandes  en  costos  de  mantener  (que  incluye  el  costo  de  capital  comprometido  en  el  inventario)  pues  redujo  el  valor  de  los  inventarios  de  IBM  en  $250  millones.  Además  de  esta  gran  reducción  de  inventarios,  su  mejor  administración  permitió́  proporcionar  un  servicio  más  eficiente  a  los  clientes.  En  especial,  el  nuevo  sistema  produjo  una  mejora  de  10%  en  disponibilidad  de  partes  en  los  escalones  inferiores  (que  afectan  a  los  clientes)  y  mantuvo  el  nivel  de  disponibilidad  en  los  escalones  superiores.