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Elemento Inverso Equacoes Matriciais Condicao de existencia da Matriz Inversa Determinacao da Inversa
Inversao de Matrizes
Prof. Marcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2017.1
18 de setembro de 2017
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Elemento Inverso Equacoes Matriciais Condicao de existencia da Matriz Inversa Determinacao da Inversa
Sumario
1 Elemento Inverso
2 Equacoes Matriciais
3 Condicao de existencia da Matriz Inversa
4 Determinacao da Inversa
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Elemento Inverso Equacoes Matriciais Condicao de existencia da Matriz Inversa Determinacao da Inversa
Sumario
1 Elemento Inverso
2 Equacoes Matriciais
3 Condicao de existencia da Matriz Inversa
4 Determinacao da Inversa
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Elemento Inverso Equacoes Matriciais Condicao de existencia da Matriz Inversa Determinacao da Inversa
Elemento Inverso
Na soma de matrizes, vimos o inverso aditivo
A = [aij ] ∈ Cn×m
Elemento neutro da soma: 0 = [0] ∈ Cn×m
Inverso aditivo: −A = [−(aij)], pois A + (−A) = 0
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Elemento Inverso
Para o produto, no caso de numeros complexos:
Elemento neutro do produto: 1;
se α 6= 0 entao a equacao αx = 1 tem exatamente umasolucao:
x = α−1
Portanto, o inverso multiplicativo de α e o complexo α−1 ou1
α.
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Elemento Inverso
Para o produto de Matrizes em Cn×n:
Elemento neutro do produto: In;
Definicao (Inverso Multiplicativo de uma matriz)
Seja A uma matriz quadrada de ordem n × n. Se existir umamatriz quadrada B tambem de ordem n × n tal que
AB = In e BA = In
dizemos que A e inversıvel ou nao singular e que B e a inversade A. Notacao B = A−1.
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ExemploConsiderando as matrizes
A =
[2 14 3
], B =
[3/2 −1/2−2 1
]temos
A.B =
[A1∗ · B∗1 A1∗ · B∗2
A2∗ · B∗1 A2∗ · B∗2
]
=
[(2.(3/2) + 1.(−2)) (2.(−1/2) + 1.1)(4.(3/2) + 3.(−2)) (4.(−1/2) + 3.1)
]=
[1 00 1
]= I2
Da mesma forma, B.A = I2;
Portanto, A e nao singular com A−1 =
[3/2 −1/2−2 1
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Elemento Inverso Equacoes Matriciais Condicao de existencia da Matriz Inversa Determinacao da Inversa
Observacao
Assim como no caso dos numeros complexos, quando uma matrizA possuir uma inversa, esta sera unica.
Com efeito, suponha que B1 e B2 sejam inversas de A.
Entao AB1 = AB2 = I = B1A = B2A e
B1 = B1.I = B1(AB2) = (B1A)B2 = IB2 = B2
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Sumario
1 Elemento Inverso
2 Equacoes Matriciais
3 Condicao de existencia da Matriz Inversa
4 Determinacao da Inversa
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Equacoes MatriciaisConsidere as matrizes An×n e Bn×p. Suponha que A seja naosingular. Se desejarmos encontrar X tal que AX = B entao
AX = B ⇐⇒ A−1(AX ) = A−1B
=⇒ (A−1A)X = A−1B
=⇒ (I )X = A−1B
=⇒ X = A−1B
Todos os produtos acima sao compatıveis, uma vez que A−1
tem ordem n × n assim como a matriz identidade I .
Quando se trata da equacao matricial de um sistema comnumero de equacoes igual ao numero de variaveis, digamos,An×n.Xn×1 = Bn×1 entao (caso A seja uma matriz naosingular) a solucao sera dada por
X = A−1B
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Sumario
1 Elemento Inverso
2 Equacoes Matriciais
3 Condicao de existencia da Matriz Inversa
4 Determinacao da Inversa
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Condicao de existencia da Matriz Inversa
A questao agora e determinar se a inversa existe ou nao.
Teorema
Seja A uma matriz quadrada de ordem n × n. Sao equivalentes:(i) A−1 existe;(ii) posto(A) = n;(iii) A pode ser transformada em In atraves do metodo deGauss-Jordan;(iv) Se AX = 0 entao X = 0
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ExemploConsidere a matriz
A =
1 2 −13 −1 22 −3 −1
Aplicando o metodo de Gauss-Jordan, obtemos: 1 0 0
0 1 00 0 1
Portanto, A −→ I foi possıvel ou,
posto(A) = n = 3.
Pelo Teorema, existe A−1.
Ainda pelo Teorema, A.X = 0 implica que X = 0.
Isso significa que qualquer sistema homogeneo que tenha Acomo matriz dos coeficientes, tem solucao unica!
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Exemplo
Considerando, agora, a matriz identidade
A =
1 0 00 1 00 0 1
Aplique em I as mesmas operacoes elementares (e na mesmaordem) que foram aplicadas na matriz A do exemplo anterior.Chame a matriz resultante de B.
Faca os produtos A.B e B.A. Qual o resultado?
Qual a conclusao?
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Exemplo
Dada a matriz A =
1 1 11 2 21 2 3
, determine a sua inversa da
seguinte forma:
Escreva lado a lado as matrizes A e I , obtendo uma matriz deordem 3× 6;
Aplique o metodo de Gauss Jordan de modo a obter a matrizidentidade nas 3 primeiras colunas da matriz [A|I ];
A matriz resultante, isto e, [I |B], traz nas 3 ultimas colunas, ainversa de A:
B = A−1 =
2 −1 0−1 2 10 −1 1
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ObservacaoB e a inversa de A se
A.B = I e tambem B.A = I
No entanto, quando A for inversıvel, A.B = I =⇒ B.A = I .
Seja B uma matriz tal que An×n.Bn×n = In.
Afirmacao: B e nao singular.
Suponha, por absurdo, que B e singular.
Entao, pelo Teorema, o produto B.X = 0 ocorre para algumamatriz X nao nula.
Por outro lado, X = I .X = (AB)X = A(BX ) = A.0 = 0. Oque e um absurdo!
Portanto, existe, sim, a inversa de B e
AB = I ⇐⇒ (AB)B−1 = I .B−1 ⇐⇒ A(BB−1) = B−1
⇐⇒ AI = B−1 ⇐⇒ A = B−1
⇐⇒ BA = BB−1 ⇐⇒ BA = I16 / 24
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Sumario
1 Elemento Inverso
2 Equacoes Matriciais
3 Condicao de existencia da Matriz Inversa
4 Determinacao da Inversa
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Determinacao da InversaNosso objetivo e resolver a equacao
An×nXn×n = In
sendo A inversıvel.
(A1∗.X∗1) (A1∗.X∗2) ... (A1∗.X∗n)(A2∗.X∗1) (A2∗.X∗2) ... (A2∗.X∗n)
......
. . ....
(An∗.X∗1) (An∗.X∗2) ... (An∗.X∗n)
=
1 0 ... 00 1 ... 0...
.... . .
...0 0 ... 1
ou seja,
A.X∗1 = I∗1, A.X∗2 = I∗2, ..., A.X∗n = I∗n
que sao n sistemas, cada um deles com n variaveis.
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Determinacao da InversaUsando a notacao matricial e resolvendo esses sistemas pelometodo de Gauss-Jordan, teremos:
A.X∗1 = I∗1 −→ [A | I∗1] −→ [I | B∗1]
A.X∗2 = I∗2 −→ [A | I∗2] −→ [I | B∗2]
...
A.X∗n = I∗n −→ [A | I∗n] −→ [I | B∗n]
As operacoes elementares empregadas foram as mesmas nos nsistemas. Por outro lado, com essas mesmas operacoeselementares, cada coluna de I foi transformada em uma novacoluna:
I∗1 −→ B∗1, I∗2 −→ B∗2, ..., I∗n −→ B∗n
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Determinacao da Inversa
Como se tratam de matrizes colunas de ordem n × 1, podemosdizer que exatamente com as mesmas operacoes elementares:
A −→ I
I −→ B
onde B e a reuniao das colunas de I depois de transformadas!
Retomando os sistemas, A.X∗k = I∗k significa que
X∗k = A−1.I∗k (1)
Ja [I | B∗k ] representa o sistema I .X∗k = B∗k , ou seja,
X∗k = I−1B∗k = B∗k (2)
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De (1) e (2), temos
A−1.I∗k = B∗k (3)
Para encontrarmos de vez a inversa de A, lembremos que
Lema
Se M e uma matriz de ordem n × n e I∗k a k-esima coluna damatriz identidade In, entao M.I∗k e a k-esima coluna de M
Assim, a igualdade em (3) equivale a
(A−1)∗k = B∗k
ou seja, cada coluna da matriz B obtida a partir datransformacao da matriz identidade (usando-se o metodo deGauss-Jordan) equivale a uma coluna da matriz inversa de A.Portanto,
A−1 = B
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Determinacao da Inversa
Resumindo:
I Seja A uma matriz nao singular. O Teorema deCaracterizacao garante que A pode ser transformadana matriz identidade atraves de operacoeselementares;
I Transforme An×n em In;
I Usando exatamente as mesmas operacoeselementares, transforme I . Voce encontrara umaoutra matriz. Chame-a de B.
I A−1 = B.
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Exemplo
Idem para a matriz B =
2 1 0 12 2 −1 11 3 2 11 −1 −1 1
Resposta...
B−1 =1
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9 −2 −3 −4−3 3 1 −14 −4 1 −1−8 1 5 9
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