inverzna doloČitev materialnih parametrov votle cevi … · v okviru raziskave določevanja...
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO
Matej ŽNIDARŠIČ
INVERZNA DOLOČITEV MATERIALNIH PARAMETROV VOTLE CEVI PRI UPOGIBNI OBREMENITVI
Magistrsko delo
študijskega programa 2. stopnje
Strojništvo
Maribor, april 2016
Magistrsko delo
INVERZNA DOLOČITEV MATERIALNIH PARAMETROV
VOTLE CEVI PRI UPOGIBNI OBREMENITVI
Študent: Matej ŽNIDARŠIČ
Študijski program 2. stopnje: Strojništvo
Smer: Računalniško inženirsko modeliranje
Mentor: izr. prof. dr. Matej Vesenjak
Somentor: asist. dr. Matej Borovinšek
Maribor, april 2016
I Z J A V A
Podpisani Matej Žnidaršič, izjavljam, da:
• je magistrsko delo rezultat lastnega raziskovalnega dela,
• predloženo delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev kakršnekoli
izobrazbe po študijskem programu druge fakultete ali univerze,
• so rezultati korektno navedeni,
• nisem kršil avtorskih pravic in intelektualne lastnine drugih,
• soglašam z javno dostopnostjo magistrskega dela v Knjižnici tehniških fakultet ter
Digitalni knjižnici Univerze v Mariboru, v skladu z Izjavo o istovetnosti tiskane in
elektronske verzije zaključnega dela.
Maribor,_____________________ Podpis: ________________________
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorju izr. prof. dr. Mateju
Vesenjaku in somentorju asist. dr. Mateju Borovinšku
za pomoč in vodenje pri opravljanju magistrskega
dela.
- I -
INVERZNA DOLOČITEV MATERIALNIH PARAMETROV VOTLE CEVI PRI
UPOGIBNI OBREMENITVI
Ključne besede: inverzna določitev materialnih parametrov, optimizacija, metoda končnih
elementov, Abaqus, tri-točkovni upogibni preizkus
UDK: 004.896:519.863(043.2)
POVZETEK
Cilj magistrskega dela je določitev materialnih parametrov aluminijaste cevi na podlagi reakcijskih sil opravljenih tri-točkovnih upogibnih preizkusov. Pri tem je bil uporabljen inverzni postopek na osnovi reakcijskih sil numeričnega modela tri-točkovnega upogibnega preizkusa in optimizacijskih algoritmov. Izdelali smo delujoč eksplicitni numerični model s splošno nastavitvijo materialnih parametrov, katerih vrednosti smo nato zamenjali s spremenljivkami in vnesli v optimizacijsko shemo. Variacijo spremenljivk smo izvajali s pomočjo optimizacijskih algoritmov. Uporabljena sta bila genetski algoritem in Nelder-Meadova simpleks metoda. Primerjavo reakcijskih sil (F-d diagram) simulacije in ekspeimenta smo vršili z metodo najmanjših kvadratov. Povprečna napaka najboljše simulacije je zanšala le 0,89 %. Dobljeni rezultati optimizacije se več kot zadovoljivo skladajo z rezultati upogibnega preizkusa, zato smatramo, da bi se na podoben način dalo pridobiti matreialne podatke tudi pri drugih vrstah obremenitvenih primerov.
- II -
INVERSE DETERMINATION OF EMPTY TUBE MATERIAL PARAMETERS
AT BENDING LOAD
Key words: inverse determination of material parameters, optimization, finite element
method, Abaqus, three-point bending test
UDK: 004.896:519.863(043.2)
ABSTRACT
The goal of this master thesis is to determine the material parameters of empty aluminum tube based on the reaction forces of the three-point bending test. An inverse method was used, based on the reaction forces of the numerical model of the three-point bending test and optimization algorithms. We have created an explicit numerical model with general values of the material parameters, which were then replaced with variables and imported into the optimization scheme. Variation of variables was performed using optimization algorithms. Genetic algorithm and Nelder-Mead Simplex method were used. Least squares method was used to evaluate the difference between simulation and experiment reaction force data. Average error of the best simulation was only 0,89 %. The results of the optimization are more than sufficiently consistent with the results of the experimental bending test. Therefore, we consider that material data for other types of loading conditions could also be obtained in a similar manner.
- III -
KAZALO
1 UVOD ............................................................................................................................. 1
1.1 Opis problema ......................................................................................................... 1
1.2 Struktura magistrskega dela ..................................................................................... 2
2 KOMPOZITI S POROZNIM MATERIALOM........................................................................ 3
3 TRI-TOČKOVNI UPOGIBNI TEST ...................................................................................... 5
3.1 Opis eksperimenta ................................................................................................... 5
3.2 Rezultati eksperimenta ............................................................................................ 6
4 PRIPRAVA NUMERIČNEGA MODELA V PROGRAMU ABAQUS ........................................ 7
4.1 Materialni model ..................................................................................................... 7
4.2 Časovna shema ...................................................................................................... 10
4.3 Hitrost obremenjevanja in kontakti ........................................................................ 12
4.4 Mreženje, konvergenčna analiza in rezultati .......................................................... 13
5 OPTIMIZACIJA MODELA S PROGRAMOM OPTIMAX 0.6 ............................................... 23
5.1 Inverzna določitev materialnih parametrov ........................................................... 23
5.2 Opis delovanja programa ....................................................................................... 24
5.3 Opis optimizacijskih algoritmov.............................................................................. 26
5.4 Optimizacijske spremenljivke ................................................................................. 31
5.5 Priprava optimizacijske sheme ............................................................................... 33
5.6 Izboljšava optimizacijske sheme ............................................................................. 41
6 REZULTATI .................................................................................................................... 44
7 ZAKLJUČEK.................................................................................................................... 53
8 LITERATURA ................................................................................................................. 55
- IV -
UPORABLJENE KRATICE
DOE Design of Experiments
GA Genetski algoritem
KE Končni elementi
NM Nelder-Meadov algoritem
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 1 -
1 UVOD
1.1 Opis problema
V okviru raziskave določevanja mehanskih lastnosti aluminijastih cevi napolnjenih s kovinsko
peno so bili izvedeni tri-točkovni upogibni testi na votli cevi iz aluminijeve zlitine, najprej pri
kvazi-statični obremenitvi, in nato še pri dinamični obremenitvi. Kot rezultat preizkusov so
bili izdelani diagrami sile v odvisnosti od pomika.
Namen magistrske naloge je izvesti eksplicitno simulacijo z Abaqusom, kjer je potrebno
določiti materialne parametre aluminijeve zlitine tako, da bodo rezultati simulacije kar
najbolje opisovali rezultate eksperimenta. Glede na dejstvo, da so na razpolago le
eksperimentalni podatki iz upogibnega preizkusa (F-d), na podlagi katerih je nemogoče
direktno določiti materialne podatke, je torej osnovna ideja čimbolj natančna določitev le-
teh s pomočjo inverznega inženirstva.
Ker pa gre v tem primeru za variacijo različnih materialnih parametrov (npr. modul
elastičnosti, Poissonovo število, meja tečenja), ki jih je preveč za zgolj naključno
preizkušanje, kakor tudi časovno zelo potratno, si bomo pri tem pomagali s programom
OptiMax. Sestavni del programa so optimizacijski algoritmi, s pomočjo katerih se izvede
optimizacija izbranih materialnih parametrov preko Abaqusove vhodne datoteke. Rezultat
serije simulacij bodo materialni parametri, pri katerih bo krivulja odziva najmanj odstopala
od eksperimentalno dobljene krivulje.
Glede na željo, da bi se s simulacijskim modelom čimbolj natančno približali
eksperimentalnim rezultatom, bo glavna omejitev raziskave vsekakor predstavljala
zmogljivost računalnika, kar bo vplivalo na velikost in število končnih elementov, število
časovnih korakov simulacije in izbiro optimizacijskega algoritma.
V kolikor se bodo dobljeni rezultati optimizacije zadovoljivo skladali z rezultati upogibnega
preizkusa, predpostavljamo, da bi se na podoben način dalo optimizirati tudi druge vrste
obremenitvenih preizkusov.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 2 -
1.2 Struktura magistrskega dela
Drugo poglavje vsebuje splošen opis kompozitov s poroznim materialom. V tretjem poglavju
sledi najprej opis poteka tri-točkovnega upogibnega eksperimenta, nato pa še kratek
povzetek z rezultati. Četrto poglavje vsebuje opis izdelave numeričnega modela v Abaqusu.
Najprej je predstavljena izdelava modela. Sledi izbira časovne sheme, podatki o
obremenitvah, kontaktih, robnih pogojih. Zadnji, najobsežnejši del poglavja, vsebuje detajlni
opis izbire optimalne mreže in konvergenčno analizo, izbiro kontaktnega algoritma in vpliv
stabilnega časovnega koraka na čas simulacije. Glavni cilj sestave modela je čim hitrejši
računski čas simulacije ob čim manj poenostavitvah. Peto poglavje predstavlja bistvo
magistrske naloge, to je optimizacija vhodnih simulacijskih parametrov z namenom doseči
čim manjšo razliko v vrednosti eksperimentalne in simulacijske reakcijske sile. Poglavje se
začne z opisom inverznega problema določitve materialnih parametrov. Sledi opis delovanja
obeh uporabljenih optimizacijskih algoritmov, to sta Nelder-Meadova simpleks metoda in
genetski algoritem. Opisane so tudi oprimizacijske spremenljivke, nakar sledi detajlni opis
izgradnje optimizacijske sheme z izbiro spremenljivk, vhodnih in izhodnih datotek ter
zaganjalnikov programov. V zadnjem podpoglavju je prikazan še postopek izboljšave osnovne
sheme. V šestem poglavju so predstavljeni vsi pomembnejši rezultati najuspešnejših
simulacij posameznih optimizacijskih shem, večinoma v obliki grafov in tabel. Sedmo
poglavje predstavlja zaključek magistrskega dela, v katerem so predstavljena lastna
razmišljanja ob komentarju rezultatov.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 3 -
2 KOMPOZITI S POROZNIM MATERIALOM
Obravnavan problem magistrskega dela se nanaša na raziskave določevanja mehanskih
lastnosti aluminijastih cevi napolnjenih s kovinsko peno, katere spadajo v širše področje
kompozitnih materialov.
Kompoziti so tako rekoč nepogrešljiv del našega življenja, saj se z njimi vsakodnevno
srečujemo: armirano betonska stena, vezana lesena plošča, avtomobilska guma, teniški
lopar, PVC vrečka, itn. Po osnovni definiciji je kompozit material, sestavljen iz dveh ali več
komponent z različnimi mehanskimi, fizikalnimi ali kemijskimi lastnostmi. Z združitvijo
osnovnih komponent, ki ostanejo med seboj jasno ločene, dobi kompozit popolnoma nove
karakteristike.
Glavni namen njegove izdelave predstavlja izboljšanje lastnosti osnovnih sestavin, na primer
povečanje trdnosti, togosti, žilavosti, odpornosti na utrujanje, znižanje gostote,
temperaturnega raztezka, itn. Velika prednost kompozitov je, da lahko v večini primerov
vnaprej načrtujemo njihove lastnosti, ki so posledično odvisne od lastnosti osnovnih
komponent, njihove oblike, usmeritve, porazdelitve, prostorninskega deleža, ter interakcije
mejnih površin med komponentami [1].
V današnjem času velik razcvet doživljajo raziskave kovinskih kompozitov s poroznim
materialom, predvsem v obliki sendvič panelov (ojačana pločevina – slika 2.1) in polnjenih
zaprtih profilov (ojačane cevi – slika 2.2). Kombinacija kovinske pene in tankostenskega
kovinskega ovoja je zanimiva na področju številnih aplikacij v strojništvu, kjer je zahtevana
visoka stopnja absorpcije energije in čim lažja konstrukcija.
Slika 2.1: Kompozit iz aluminijaste pločevine in aluminijaste pene [2]
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 4 -
Pomembna komponenta kompozita je kovinska pena – to je celična struktura iz osnovne
kovine, katere velik volumski delež zavzemajo s plinom zapolnjene pore. Te so lahko
medsebojno ločene (zaprto-celična struktura), ali pa neprekinjeno povezane (odprto-celična
struktura). Struktura por je lahko urejena ali pa naključna [3].
Slika 2.2: Prerez kompozita iz jeklene cevi in aluminijaste pene po upogibnem preizkusu [4]
Visoka stopnja poroznosti (običajno 75 do 95 %) uvršča kovinske pene med izjemno lahke
materiale. V primerjavi z osnovnim materialom imajo nižjo trdnost (ta se z manjšanjem
gostote eksponentno znižuje), znižano toplotno in električno prevodnost, zelo dobro pa
absorbirajo mehansko energijo in zvok. Običajno zadržijo nekaj fizikalnih lastnosti osnovnega
materiala, na primer negorljivost in koeficient toplotnega raztezka, možna pa je tudi
reciklaža nazaj v osnovni material [3].
V okviru raziskave aluminijaste cevi s polnilom iz aluminijaste pene so ločeni upogibni
preizkusi pokazali različno obnašanje cevi, pene in kompozita. Kompozit je napram votli cevi
prenesel veliko večjo obremenitev in izkazal veliko večjo učinkovitost absorpcije energije,
vendar pa je prišlo do odpovedi materiala veliko hitreje, z manjšimi lokalnimi deformacijami.
Zato so zelo pomembne tudi lastnosti aluminijaste cevi kot osnovne komponente kompozita.
Ker pa za primer cevi ne obstaja standardiziran natezni preizkus, s pomočjo katerega bi lahko
neposredno določili osnovne materialne parametre, bomo le-te poizkusili določiti na
inverzen način s pomočjo optimizacije na podlagi reakcijske sile upogibnega testa, opisanega
v naslednjem poglavju.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 5 -
3 TRI-TOČKOVNI UPOGIBNI TEST
3.1 Opis eksperimenta
Izvedeni so bili tri-točkovni upogibni testi na votli cevi iz aluminijeve zlitine, najprej pri kvazi-
statični obremenitvi (hitrost obremenjevanja 0,1667 mm/s), in nato še pri dinamični
obremenitvi (hitrost obremenjevanja 284 mm/s). Votla cev je dolžine 150 mm, z notranjim
premerom 26 mm in zunanjim premerom 30 mm, izdelana iz aluminijeve zlitine AA 6060 T66
(AlMgSi).
Tekom preizkusov je bila cev na spodnji strani podprta z dvema polnima valjčkoma premera
20 mm z medosno razdaljo 100 mm, z zgornje strani pa je bila obremenjevana s pomikom
sredinskega polnega valjčka premera 20 mm v smeri navpično navzdol s konstantno
hitrostjo, kot je prikazano na sliki 3.1.
Slika 3.1: Potek obremenjevanja votle cevi pri kvazi-statični upogibni obremenitvi [5]
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 6 -
3.2 Rezultati eksperimenta
Kot rezultat preizkusov so bili izdelani diagrami sile v odvisnosti od pomika, kar prikazuje
slika 3.2.
Slika 3.2: Diagram F-d pri kvazi-statični in dinamični obremenitvi
Krivuljo lahko razdelimo na tri osnovna področja: začetno kvazi-linearno elastično področje,
počasno naraščanje do največje sile (ovalizacijski plato), ter območje počasne odpovedi
materiala.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 5 10 15 20 25 30
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
Dinamična obremenitev
Kvazi-statična obremenitev
kvazi-linearno elastično področje
naraščanje do največje sile
območje počasne odpovedi materiala
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 7 -
4 PRIPRAVA NUMERIČNEGA MODELA V PROGRAMU ABAQUS
4.1 Materialni model
Za pripravo numeričnega modela v programskem paketu Abaqus [6] je potrebno najprej
določiti vse različne dele, ki bodo združeni v sestavo predstavljali model našega
eksperimenta. Potrebujemo torej eno cev in prav tako en valjček, saj so vsi trije identični. Za
cev izberemo 3D deformabilni ploščinski tip (3D Deformable Shell), medtem ko za valjček
izberemo 3D analitično togo telo (3D Analytical Rigid).
Nato je potrebno definirati materialne lastnosti za aluminijevo zlitino AA 6060 T66 (AlMgSi).
Ker bomo zaradi vseh v modelu prisotnih nelinearnosti (materialna, nelinearnost zaradi
velikih deformacij in predvsem kontaktov) izvedli eksplicitno simulacijo, obvezno
potrebujemo gostoto. Ta za izbrani material znaša 2700 kg/m3. Vnesti moramo še podatke za
elastične in plastične lastnosti materiala. Čeprav je cilj magistrske naloge ravno iskanje teh
parametrov, jih trenutno vnesemo zgolj zato, da dobimo delujočo simulacijo z vsemi
potrebnimi izpisi v Abaqusovo vhodno datoteko, ki jih bomo potrebovali pri kasnejši obdelavi
podatkov. Najprej vnesemo podatke za modul elastičnosti (E = 70000 MPa) in Poissonov
koeficient (ν = 0,33), ter predpostavimo izotropen material. Nato v tabelarični obliki
vstavimo podatke za plastični model, kot je prikazano v tabeli 4.1.
Tabela 4.1: Tabelarični zapis plastičnega modela
Napetost [MPa] Plastična deformacija [/]
1 100 0
2 140 0,05
3 180 0,1
4 200 0,15 5 250 0,3
Ker je trenutni geometrijski model cevi v bistvu plašč valja, moramo tako izbranemu modelu
predpisati debelino. Zato je potrebno najprej ustvariti sekcijo. Izberemo sekcijo vrste
Homogeneous Shell, kjer definiramo debelino 2 mm, prav tako pa izberemo še predhodno
definirani material z imenom Aluminij. Nato izbrano sekcijo predpišemo cevi, kjer določimo
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 8 -
še Shell Offset: Top Surface, kar pomeni, da bo debelina cevi definirana od plašča proti
notranjosti. Tako bo notranji premer cevi enak 26 mm.
Valjčku ne rabimo predpisati nobene sekcije, saj smo ga že definirali kot analitično togo telo.
Sedaj lahko določimo sestavo našega modela. Najprej vnesemo predhodno definirane dele,
torej eno cev in trikrat po en valjček. Ker so deli naključno razporejeni v sestavo,
premaknemo vsakega na svoje mesto. Seveda smo morali že na začetku pri modeliranju
valjčka določiti referenčno točko, s pomočjo katere lahko sedaj natančno določimo pozicije
vseh valjčkov. Končna sestava modela je prikazana na sliki 4.1.
Slika 4.1: Sestava celotnega modela
Ker je iz zgornje slike očitno, da je model dvojno simetričen (x-y in x-z ravnina), in ker so
numerične simulacije časovno zahtevne, si na tej točki vzporedno pripravimo še četrtino
modela, kar bo zelo skrajšalo računski čas.
Najprej določimo pomožne ravnine, s pomočjo katerih cev navidezno razdelimo na štiri
enake dele. Nato odstranimo 3 površine, ki jih ne bomo potrebovali, prav tako odstranimo še
odvečni valjček. Tako smo ustvarili četrtinski model, prikazan na sliki 4.2.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 9 -
Slika 4.2: Sestava četrtine modela
Zaradi priprave mreže končnih elementov in definicij kontaktov pa je v tej fazi smiselno
četrtino cevi še dodatno razdeliti, kot je prikazano na sliki 4.3.
Slika 4.3: Navidezna razdelitev četrtine modela
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 10 -
4.2 Časovna shema
Najprej definiramo nov korak in izberemo shemo Dynamic Explicit, kjer določimo čas
simulacije 0,01 sekunde.
Ker želimo narediti simulacijo za primerjavo z eksperimentom pri statični obremenitvi, ki je
trajal nekaj minut, bi ob nastavitvi dejanskega časa eksperimenta na rezultate čakali nekaj
tednov, saj je čas računanja simulacije direktno odvisen od velikosti stabilnega časovnega
koraka.
Ta časovni korak pa ni odvisen od dolžine trajanja eksperimenta, ampak le od karakteristične
dolžine končnega elementa in hitrosti potovanja napetostnega vala, kot je prikazano v
enačbi 4.1. Če se na primer karakteristična dolžina končnega elementa zmanjša za faktor 2,
se bo tudi časovni korak zmanjšal za faktor 2:
∆𝑡 =∆𝑙𝑐 , (4.1)
kjer je:
Δt [s] – stabilni časovni korak
Δl [mm] – karakteristična dolžina končnega elementa
c [mm/s] – hitrost potovanja napetostnega vala
Hitrost potovanja napetostnega vala je nadalje odvisna od modula elastičnosti in gostote
končnega elementa, kot je razvidno iz spodnje enačbe 4.2:
𝑐 = �𝐸𝜌 , (4.2)
kjer je:
E [N/mm2] – modul elastičnosti
ρ [t/mm3] – gostota
Časovni korak je vedno definiran tako, da v enem simulacijskem časovnem koraku
napetostni val ne sme prečkat celotnega elementa (v vsakem časovnem koraku namreč ta
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 11 -
napetostni val potuje iz enega elementa v drugega itn), in ne sme se zgoditi, da bi katerega
koli od elementov preskočilo.
Naslednja možnost je določitev faktorja (Time Scaling Factor), s katerim lahko skaliramo
stabilni časovni korak. V kolikor ga povečamo, bo simulacija dosti hitreje potekala, vendar pa
se zaradi tega lahko zgodi, da rešitev enačb ne konvergira. Time Scaling Factor je torej bolj
namenjen zmanjševanju časovnega koraka, na primer kadar imamo veliko nelinearnost,
težave s kontaktom. S tem faktorjem tako pomnožimo stabilni časovni korak, ki ga je določil
programski paket Abaqus (nekateri programi že v osnovi uporabljajo faktor 0,9).
Imamo tudi možnost skaliranja mase (Mass Scaling), kar posredno pomeni spreminjanje
gostote, česar se bomo kasneje tudi poslužili z namenom dodatnega skrajšanja računskega
časa simulacije. Izbrali bomo pol-avtomatsko skaliranje mase (Semi-automatic mass scaling),
kjer bomo vrsto (Type) nastavili tako, da mu bomo sami določili želeni časovni korak (Scale to
target time increment). To pomeni, da bo stabilni časovni korak tak, kot ga bomo predpisali.
Le-tega pa Abaqus ne bo dosegel kar z množenjem trenutnega koraka (Scale by factor),
ampak bo na podlagi enačbe za stabilni časovni korak spremenil gostoto le pri tistih
elementih, kjer je to potrebno, da bo Δt v enačbi takšen, kot ga želimo.
Zmanjšali smo torej čas simulacije na 0,01 sekunde, s čemer smo avtomatsko nekoliko
povečali efekte vztrajnosti, a na žalost ne gre drugače, saj si ne moremo privoščiti
večtedenskega čakanja na rezultate ene same simulacije.
Ker bomo optimizacijo izvajali s primerjavo eksperimentalne in simulacijske krivulje F-d, si je
smiselno v modulu Step prilagoditi še izpise rezultatov, zato bomo v History Output določili
le izpis reakcijske sile na fiksno vpetem zgornjem valjčku.
Na voljo imamo še nekatere druge možnosti. Najprej bomo nastavili izpis reakcijske sile na
200 enakomerno porazdeljenih intervalih našega časovnega območja.
Tukaj lahko vključimo tudi opcijo avtomatskega glajenja krivulje. Namreč, želimo si čim bolj
gladko krivuljo, kakršna je tudi odzivna krivulja iz eksperimenta, saj bo vsaka nepravilnost na
rezultatih simulacije le še povečevala napako med obema krivuljama.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 12 -
4.3 Hitrost obremenjevanja in kontakti
Najprej definiramo lastnosti interakcije površin z določitvijo koeficienta trenja (Friction
Coefficient), kjer izberemo vrednost 0,2.
Tukaj velja omeniti, da smo se za nekoliko nižji koeficient trenja odločili predvsem zaradi
dejstva, da sta se spodnja valjčka tekom eksperimenta lahko pomikala in rotirala v čašah,
medtem ko smo za potrebe simulacije privzeli, da se valjčka ne vrtita okoli svoje osi,
pomikata pa se lahko le v vertikalni smeri.
Smo pa na koncu naše optimizacije na podlagi najuspešnejše simulacije preverili različne
vrednosti koeficienta trenja na intervalu od 0 do 3 (v korakih po 0,05), s čimer smo preverili
njegov vpliv na povprečno napako v sami simulaciji, kar je razvidno iz slike 6.14.
Nato za izbrani korak definiramo kontakte med valjčki in cevjo. Najpreprostejši algoritem za
predpis kontaktov je tip General Contact (Explicit), kjer površin ne rabimo določevati, saj gre
v tem primeru za kontakt vseh površin z vsemi. Izberemo pa lahko tudi Surface-to-surface
Contact (Expicit), kjer lahko sami določimo le tiste površine, kjer bo po naši presoji prišlo do
kontakta. Ker so valjčki trenutno definirani le kot analitično togo telo, jim je za primer
kontakta z drugimi površinami potrebno določiti še zunanjo površino.
Zgornjemu valjčku predpišemo robne pogoje tako, da mu vpnemo vse prostostne stopnje.
Obremenjevanje bomo predpisali s pomikom in ne s silo, zato izberemo spodnja valjčka in
jima določimo le pomik 25 mm v smeri navpično navzgor, medtem ko imajo preostale
prostostne stopnje vrednost 0. Ker je tukaj amplituda v osnovi določena kot Insantaneous
(kar pomeni, da bi pomik v trenutku skočil iz 0 mm na 25 mm), jo moramo sami določiti.
Izberemo tabelarični vnos, in sicer tako, da bo na začetku simulacije (t = 0) enaka 0, na koncu
simulacije (t = 0,01) pa enaka 1. Tako smo normirali samo funkcijo (amplitudo) in ne pomika.
Abaqus bo namreč potem sam pomnožil to funkcijo s 25, ko bo računal pomike. V kolikor bi
dali na koncu časa vrednost funkcije 25, bi morali spremeniti pomik v 1 mm, zato je bolje, da
je normirana sama amplituda in ne pomik.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 13 -
Na odrezanih delih cevi moramo predpisati še simetrijske robne pogoje, ki bodo nadomestili
manjkajoč del. Prostostne stopnje v vozliščih na teh robovih moramo vpeti oziroma sprostiti
tako, da se bo četrtina cevi obnašala enako, kot če bi imeli zraven še njen preostanek. Ker
imamo simetrični model in ga simetrično obremenjujemo, lahko pričakujemo, da bo tudi
deformacija simetrična preko simetrijske ravnine. Torej bodo točke, ki so bile pred
deformacijo na simetrijski ravnini, tudi po deformaciji ležale na njej.
Ker ima Abaqus že vnaprej pripravljene simetrične robne pogoje, moramo le izbrati pravega.
Najprej za polkrožni rob cevi izberemo simetrijo preko x-y ravnine, kjer je vpet pomik v z-
smeri, pomika v x in y smereh pa sta prosta. Prav tako sta fiksirani rotaciji po x in y osi,
medtem ko je rotacija po z-osi prosta. Analogija velja za oba odrezana roba cevi v vzdolžni
smeri.
Vsi predpisani robni pogoji so razvidni iz slike 4.4.
Slika 4.4: Robni pogoji na četrtini modela
4.4 Mreženje, konvergenčna analiza in rezultati
Najprej je potrebno oceniti razliko med rezultati na celotnem in četrtinskem modelu cevi,
zato za oba pripravimo mreži z velikostjo končnih elementov (KE) 4 mm in zaženemo
simulacijo. Mrežo celotnega modela tako tvori 912 KE, četrtinskega pa 216 (slika 4.5).
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 14 -
Slika 4.5: Mreža KE velikosti 4 mm na celotnem (levo) in četrtinskem (desno) modelu
Ker pri četrtinskem modelu reakcijsko silo v zgornjem valjčku povzroča le četrt cevi, moramo
za primerjavo s celotnim modelom rezultate pomnožiti s 4, kar storimo s pomočjo
Abaqusovih vgrajenih funkcij za manipulacijo s podatki.
Rezultati simulacij so razvidni iz spodnjih slik, kjer slika 4.6 prikazuje polja von Misesovih
primerjalnih napetosti na deformiranih mrežah obeh modelov s pripadajočima skalama,
medtem ko sta na sliki 4.7 direktno primerjani reakcijski sili.
Slika 4.6: Polja von Misesovih napetosti na celotnem (levo) in četrtinskem (desno) modelu
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 15 -
Slika 4.7: Primerjava reakcijske sile na celotnem in četrtinskem modelu cevi
Primerjavo dveh krivulj bomo vršili s pomočjo metode najmanjših kvadratov (Least Square
Method, [7]), ki temelji na povprečni razliki vrednosti primerjalnih točk. Seveda je osnovni
pogoj, da imata krivulji enako število točk na identičnih intervalih, torej ima vsak par
primerjalnih točk enako vrednost na abscisni osi.
Za vsak par točk najprej izračunamo razliko vrednosti odvisnih koordinat (glej enačbo 4.3).
𝑟𝑖 = 𝑦2𝑖 − 𝑦1𝑖 (4.3)
Dobljene vrednosti nato kvadriramo (s tem se izognemo vplivu predznaka), kvadrate
seštejemo, delimo s številom točk, ki določajo krivuljo (n), in izračunano vrednost korenimo.
Rezultat je povprečna napaka izražena v N:
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 [𝑁] = �∑ 𝑟𝑖2𝑛𝑖=1𝑛 . (4.4)
V kolikor zgornjo enačbo delimo s povprečjem vrednosti točk izhodiščne kririvulje (𝑦1𝚤����),
dobimo povprečno napako izraženo v %:
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
četrt cevi
cela cev
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 16 -
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 [%] =𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 [𝑁]
𝑦1𝚤���� . (4.5)
V našem primeru omenjena povprečna napaka predstavlja merodajni kriterij za izračun
razlike med krivuljama, kar bo uporabljeno tudi v vseh nadajnjih primerjavah.
Povprečna napaka četrtinskega modela napram celotnemu znaša 137,1 N oziroma 3,1 %.
Ocenimo, da razlika ni prevelika, zato se zadovoljimo z modelom četrtine cevi, na katerem
bodo opravljene vse nadaljnje analize. Ker predpostavimo, da je stopničast odziv na sliki 4.7
posledica gostote mreže, je naslednji korak njena izboljšava.
Narejene so bile mreže KE z velikostjo od 2 do 0,75 mm. Slika 4.8 prikazuje mreži z velikostjo
2 mm in 1,5 mm, kjer prva vsebuje 912, druga pa 1550 elementov.
Slika 4.8: Mreža KE velikosti 2 mm (levo) in 1,5 mm (desno)
Slika 4.9: Mreža KE velikosti 1 mm (levo) in 0,75 mm (desno)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 17 -
Na sliki 4.9 sta prikazani še mreži KE z velikostjo 1 mm in 0,75 mm, kjer prva vsebuje 3525,
druga pa 6300 elementov.
Rezultate simulacij četrtine modela za vseh pet različnih računskih mrež sedaj neposredno
primerjamo med seboj, kar prikazuje slika 4.10.
Slika 4.10: Primerjava reakcijske sile pri različnih velikostih KE
Opazimo lahko, da odzivna krivulja z manjšanjem velikosti KE postaja vedno bolj gladka, kar
potrjuje našo predhodno predpostavko o stopničastem odzivu mreže. Prav tako je razvidno,
da se krivulji pri KE velikosti 0,75 in 1 mm že praktično prekrivata, zato bi bila tukaj logična
izbira mreže KE z velikostjo 1 mm, kar potrjujeta tudi povprečna napaka (tabela 4.2) in
konvergenca mrež (slika 4.11).
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
4 mm
2 mm
1,5 mm
1 mm
0,75 mm
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 18 -
Slika 4.11: Konvergenca maksimalne reakcijske sile z večanjem števila KE
Glede na dejstvo, da kasnejša optimizacija prinaša serije po 100 in več zaporednih simulacij,
je priporočljivo pogledati, koliko časa traja posamezna simulacija.
Tabela 4.2: Podatki o simulacijah pri različnih velikostih KE
Velikost KE [mm]
Število elementov
Število inkrementov
Stabilni čas. korak [s]
Procesorski čas [s]
Procesorski čas [%]
Povprečna napaka [%]
4 228 15974 6,30E-07 6,2 0,8 7,75 2 912 32080 3,10E-07 39,9 5,4 2,28
1,5 1550 46468 2,10E-07 89,0 12,1 1,35 1 3525 70153 1,40E-07 302,5 41,1 0,54
0,75 6300 94469 1,00E-07 735,7 100,0 0,00
Iz tabele 4.2 so vidne medsebojne povezave posameznih opazovanih količin. Ko
zmanjšujemo velikost KE, se povečuje njihovo število. Prav tako narašča število inkrementov,
saj se ob enakem izbranem času simulacije (0,01 s) manjša stabilni časovni korak, ki je
neposredno odvisen od velikosti KE (glej enačbo 4.1). Posledica je eksponentno naraščanje
računskega časa simulacije, saj se na primer ob prepolovljeni velikosti KE čas procesiranja
poveča za faktor 7 ali 8. V kolikor izberemo mrežo KE velikosti 1 mm, to pomeni računski čas
posamezne simulacije približno 5 minut, kar bi pri posameznem poskusu optimizacije s 100
simulacijami pomenilo skupni čas računanja več kot 8 ur. Ker pa je na podlagi slike 4.10 in
tabele 4.2 očitno, da krivulja pri velikosti KE 1.5 mm že nekoliko bolj odstopa od KE 1 mm,
poizkusimo najprej nekoliko modificirati mrežo z variiranjem velikosti elementov.
4800
4900
5000
5100
5200
5300
5400
5500
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Mak
sim
alna
reak
cijs
ka si
la [N
]
Število končnih elementov
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 19 -
Mrežo skušamo torej zreducirati na delih, kjer se nam zdi to smiselno, na primer na koncu
cevi, vsekakor pa se zdi potrebno najgostejšo mrežo pustiti v okolici valjčkov. Glede na to, da
je stabilni časovni korak odvisen od karakteristične velikosti najmanjšega KE (ne glede na
njihovo število), se odločimo, da bo le-ta velikosti 1 mm.
Cev najprej razrežemo na 6 delov, kot je prikazano na sliki 4.3, nato pa z ukazom Seed Edges
določimo naraščajočo oziroma padajočo razporeditev vozlišč po posameznih robovih (Bias).
Za strukturirano mrežo moramo biti pozorni, da so paroma vzporedni robovi zasejani z
vozlišči na enak način. Ob vsem naštetem se zdi smiselno v vzdolžni smeri razporediti
vozlišča tako, da so najgosteje zasejana v območju obeh valjčkov, in najredkeje tako na
koncu cevi kot tudi na polovici med obema vajlčkoma. V prečni smeri (po krožnih lokih) pa
vozlišča razporedimo najgosteje v območju vzdolžnih robov, ter najredkeje v središču
polkrogov (vendar ne preveč, saj zaradi vpliva zgornjega valjčka pričakujemo velike napetosti
po celotnem sredinskem polkrogu).
Po nekaj preizkušanih variantah z različnimi vrednostmi razdalj med vozlišči se odločimo za
razporeditev v vzdolžni smeri 1–2,5–1–2,5 mm, ter 1–1,5–1 mm v prečni smeri, kar nam da
mrežo s 1710 elementi (slika 4.12).
Slika 4.12: Mreža KE z velikostjo od 1 do 2,5 mm vzdolžno in 1 do 1,5 mm prečno
Seveda nas najprej zanima, kakšna je odzivna krivulja nove mreže (1–1,5–2,5) v primerjavi s
predhodno krivuljo velikosti mreže KE 1 mm, kar je prikazano na sliki 4.13.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 20 -
Slika 4.13: Primerjava reakcijske sile za mreži KE 1 mm in 1-1,5-2,5 mm
Izračunana povprečna napaka nove mreže znaša le 0,93 %, obenem pa smo z njo močno
skrajšali tudi računski čas – iz 300 na 140 sekund. Kljub temu, da nova mreža nima tako
gladke reakcijske krivulje kot predhodna, se odločimo le-to obdržati.
Nato se z namenom dodatnega skrajšanja časa simulacije na novi mreži poslužimo še (v
poglavju 4.2 omenjenega) pol-avtomatskega skaliranje mase, kjer bomo predpisali želeno
vrednost stabilnega časovnega koraka – najprej z dvakratnim, nato pa še s trikratnim
povečanjem trenutnega koraka, ki znaša približno 1,4E-7 sekunde.
Ciljna vrednost stabilnega časovnega koraka pomeni seveda le okvirno vrednost, saj se le-ta
tekom simulacije spreminja od koraka do koraka, kljub temu pa ne odstopa veliko od
predpisane vrednosti in se giblje znotraj njenega ranga v zelo ozkem intervalu.
Rezultati vseh treh simulacij z različnimi stabilnimi časovnimi koraki na mreži 1–1,5–2,5 mm
so primerjani v tabeli 4.3 in na sliki 4.14. Opazimo, da se najbolj razlikujejo na samem
začetku, kjer krivulja s trikratnim povečanjem časovnega koraka že kar nekoliko odstopa od
ostalih dveh, zato za nadaljnje delo ne pride v poštev.
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
1 mm
1-1,5-2,5 mm
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 21 -
Slika 4.14: Primerjava reakcijske sile za različne stabilne časovne korake
Na obeh preostalih krivuljah nato preizkusimo še spremembo kontaktne definicije iz General
v Surface-to-surface, kjer imamo dve možnosti definicije kontakta: Kinematic in Penalty.
Rezultati novih štirih simulacij so skupaj s predhodnimi tremi prikazani v tabeli 4.3.
Tabela 4.3: Podatki o simulacijah na mreži 1–1,5–2,5 mm s 1710 elementi
Ciljni čas. korak [s]
Kontaktna definicija
Število inkrementov
Stabilni čas. korak [s]
Procesorski čas [s]
Procesorski čas [%]
Povprečna napaka [%]
1,40E-07 General 70241 1,40E-07 143,1 19,5 0,00 2,80E-07 General 37270 2,60E-07 78,6 10,7 1,35 4,20E-07 General 24714 3,90E-07 52,8 7,2 3,08 1,40E-07 Kinematic 69696 1,40E-07 124,0 16,9 0,59 1,40E-07 Penalty 71759 1,40E-07 128,3 17,4 0,47 2,80E-07 Kinematic 36692 2,70E-07 65,9 9,0 1,30 2,80E-07 Penalty 37379 2,60E-07 66,8 9,1 1,32
Najprej se odločimo, da bomo obdržali dvakratno povečanje stabilnega časovnega koraka
(2,80E-07 s), kjer je čas računanja skoraj prepolovljen. Prav tako vidimo, da se je z novo
definicijo kontaktov čas še dodatno zmanjšal, kar je posledica dejstva, da pri splošnem
kontaktu (General) algoritem preverja kontakt vsega z vsem, medtem ko smo pri Surface-to-
surface sami predhodno definirali kontaktne površine (kjer pa zna težava nastati le, če smo
kakšno izmed njih spregledali). Pred dokončno izbiro kontaktne definicije preverimo še vpliv
na vrednost povprečne napake (tabela 4.3) in reakcijske sile (slika 4.15).
0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,05,5
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
Δt = 1,4E-7 s
Δt = 2,8E-7 s
Δt = 4,2E-7 s
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 22 -
Slika 4.15: Primerjava odzivnih krivulj z različnimi kontaktnimi definicijami pri Δt=2,8E-7 s
Ker so vse tri krivulje skoraj identične, se odločimo za najkrajši čas računanja, torej izberemo
vrsto kontakta Kinematic Contact. S tem je naš model dokončno izbran. Iz tabele 4.3 vidimo,
da bo simulacija končana po 66 sekundah, kar pri 100 simulacijah znese približno 2 uri.
Končno deformacijo izbranega modela cevi prikazuje slika 4.16.
Slika 4.16: Deformirana četrtina cevi pri pomiku 25 mm
Pri vseh do sedaj predstavljenih odzivnih krivuljah je opaziti, da reakcijska sila na samem
začetku simulacije ni takoj zaznana – pojavi se določen zamik, ki je pri enih bolj, pri drugih pa
manj izrazit. Predvidevamo, da je to posledica delovanja kontaktnega algoritma. Izbrana
simulacijska krivulja tudi ni tako gladka kot eksperimentalna. Omenjeno bomo skušali rešiti
tekom izgradnje optimizacijske sheme v naslednjem poglavju.
0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,05,5
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
General Contact
Kinematic Contact
Penalty Contact
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 23 -
5 OPTIMIZACIJA MODELA S PROGRAMOM OPTIMAX 0.6
Na osnovi rezultatov eksperimenta in izbranega simulacijskega modela bomo v tem poglavju
skušali določiti optimalne materialne parametre s pomočjo optimizacijsega programa
OptiMax 0.6. Njegove lastnosti, gradniki in način delovanja so natančneje opisani v
nadaljevanju, najprej pa sledi opis procesa določitve materialnih parametrov.
5.1 Inverzna določitev materialnih parametrov
Proces inverzne določitve materialnih parametrov za obravnavani primer bo najbolj
razumljiv kar s pomočjo sheme, ki je prikazana na sliki 5.1.
Slika 5.1: Shematski prikaz procesa inverzne določitve materialnih parametrov cevi
Vrednosti izbranih parametrov v splošnem predstavljajo vektor optimizacijskih spremenljivk
(𝒙 ∈ 𝑅), ki je omejen z zgornjo in spodnjo mejo (𝒙𝒔𝒔 ≤ 𝒙 ≤ 𝒙𝒛𝒛) predhodno določenega
intervala. Iteracijski proces se prične z Abaqusovo simulacijo na podlagi trenutno izbranih
vrednosti parametrov. Rezultat je reakcijska sila simulacije, ki jo je potrebno približati
ciljnemu odzivu oziroma eksperimentu (y). To storimo s pomočjo iskanja minimuma
namenske funkcije 𝑓0(𝒙,𝒚), katere vrednost nam podaja razliko med obema krivuljama; v
našem primeru namensko funkcijo predstavlja enačba 4.4. Proces se zaključi z izpolnjenim
Začetne vrednosti parametrov
ZAČETEK Določitev intervalov iskanih materialnih parametrov
Simulacija z Abaqusom
Reakcijska sila simulacije
Reakcijska sila eksperimenta
Izbor novih materialnih
parametrov z namenom čim nižje
vrednosti namenske funkcije
Ocena razlike med simulacijsko in
eksperimentalno reakcijsko silo s
pomočjo namenske funkcije
OK?
KONEC da
ne
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 24 -
konvergenčnim kriterijem ali s preseženim maksimalnim številom iteracij, v nasprotnem
primeru sledi izbor novih vrednosti materialnih parametrov in ponovitev zanke.
5.2 Opis delovanja programa
Ob zagonu programa OptiMax 0.6 nas na zaslonu pričaka prazno delovno polje (jeziček
Workflow), kjer s pomočjo gradnikov začnemo sestavljati shemo. Gradniki so združeni po
posameznih sklopih v orodnem stolpcu na zgornji levi strani okna.
Slika 5.2: Delovo okno programa OptiMax 0.6
V prvem sklopu so zbrane sledeče spremenljivke:
• Input Variable: vhodni parameter, ki ni vnaprej definiran, in ga bo optimizator spreminjal
znotraj določenih mej (na primer na intervalu od 1 do 5);
• Constant Variable: konstanta, ki se med samim izvajanjem programa ne spreminja;
• Variable Output: določitev izhodnega parametra iz datoteke (če imamo simulacijo, iz
katere bi radi prebrali eno končno vrednost, eno številko, na primer napetost);
• Variable Function: spremenljivka, ki jo lahko zapišemo kot funkcijo, enačbo; podprte so
osnovne matematične funkcije (sin, cos, kvadrat, koren); rezultat je skalar;
• Variable From Array: imamo polje podatkov, iz katerega hočemo dobiti eno samo
vrednost (na primer poberemo eno vrednost iz stolpca - povprečje, seštevek, min, max);
rezultat je skalar;
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 25 -
• Variables Container: več različnih spremenljivk v enem samem oknu; lahko so vhodne,
konstantne, ali pa jih zapišemo kot funkcijo.
Podobno so zgrajeni vektorji v drugem sklopu:
• Constant Array: konstanten vektor, ki se tekom optimizacije ne spreminja;
• Output Array: izhodni vektor, ki ga beremo iz datoteke; tako bomo na primer prebrali
krivuljo iz Abaqusa;
• Array Function: omogoča funkcije med vektorji (seštevanje, množenje,...); operacije bo
program izvajal le med istoležnimi elementi; ni namenjeno vektorskemu produktu;
• Array Operation: operacijo lahko izvedemo le na enem vektorju – ne moremo jih množiti,
deliti,... Na voljo imamo tri operacije: Moving Average (drseča stednja vrednost),
Subarray (iz celotnega vektorja lahko vzamemo le del podatkov), in Central Difference
(numerično izračuna odvod podatkov po metodi centralnih razlik); ob izbiri operacije se
spodaj izpiše, katere paramertre je potrebno vstaviti.
Tretji sklop predstavlja delo z datotekami:
• File Resource: kot gradnik sheme lahko izberemo vhodno datoteko (namenjena za
preračun), izhodno datoteko (ki je rezultat), ali pa konstantno datoteko.
Četrti sklop sestavljajo komponente, ki poganjajo programe – DOS, Abaqus, LS-Dyna, Qsub,
Excel. Pomembna novost v verziji programa 0.6 je komponenta Excel-a, kar za razliko od
predhodnih verzij omogoča veliko večjo fleksibilnost in stopnjo avtomatizacije.
Peti sklop vsebuje zaganjalnik za paramertične študije in optimizatorje:
• DOE Driver: Design of Experiments;
Nastaviti je potrebno meje intervala spremenljivke in število točk, ki so enakomerno
razporejene na tem intervalu od spodnje do zgornje meje. Program bo nato za vsako
vrednost parametra izvedel novo simulacijo – gre torej za parametrično analizo.
• NM Driver: Nelder-Mead oziroma Simplex metoda;
Osnovni parametri za nastavitev optimizacije so: objektna spremenljivka (kateri hočemo
poiskati minimum), toleranca (zaustavitveni kriterij), maksimalno število simulacij in
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 26 -
podatki o spremenljivkah. Le-tem nastavimo zgornjo in spodnjo mejo intervala,
izhodiščno vrednost na tem intervalu, ter začetni korak spreminjanja te vrednosti.
• GA Driver: genetski algoritem;
Osnovni parametri za nastavitev optimizacije so: objektna spremenljivka (kateri hočemo
poiskati minimum), odstotek križanja, odstotek mutacije, velikost populacije (število
osebkov), število generacij in podatki o spremenljivkah, ki jim določimo le zgornjo in
spodnjo mejo intervala.
• AMQ Driver: konveksna aproksimacijska metoda;
• LM Driver: metoda Levenberg-Marquard.
Zadnji sklop sestavljajo snemalniki:
• File Recorder: snema datoteke;
• Csv Recorder: shranjuje rezultate simulacij v *.csv datoteko;
• Mem Recorder: shranjuje rezultate simulacij v interno tabelo, ki je z grafičnim prikazom
na voljo v oknu MemRecords; podatki so na voljo le do zagona nove optimizacije,
oziroma do zaprtja programa.
5.3 Opis optimizacijskih algoritmov
Za potrebe iskanja optimalnih materialnih parametrov smo izvajali optimizacije najprej s
pomočjo genetskega algoritma, nato pa še z Nelder-Meadovo simpleks metodo. Ker sta obe
metodi dokaj dobro poznani in dokumentirani, v nadaljevanju sledi le kratek opis obeh.
Nelder-Meadov algoritem
Kljub svoji dokaj dolgi zgodovini Nelder-Meadov algoritem (NM) še vedno predstavlja enega
najboljših znanih algoritmov za iskanje minimuma nelinearne funkcije v večdimenzijskem
prostoru, ki za svoje delovanje ne potrebuje nobene informacije o njenih odvodih, zato je
splošno uporaben za iskanje okvirne vrednosti neznanih parametrov.
Metoda je zasnovana na osnovi n-dimenzijskega simpleksa S, ki je definiran kot konveksen
ovoj n+1 točk; v 1D prostoru je simpleks daljica, v 2D trikotnik, v 3D tetraeder, itn. [8]
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 27 -
Čeprav je metoda dokaj preprosta, pa obstaja kar nekaj njenih implementacij, ki se v
glavnem razlikujejo v zgradbi osnovnega simpleksa in zaustavitvenega kriterija iteracijskega
procesa. Splošna struktura algoritma je prikazana na sliki 5.3.
Slika 5.3: Osnovna struktura Nelder-Mead simpleks algoritma
Začne se z nastavitvijo osnovnih parametrov (opisanih v poglavju 5.2), nakar se zgenerira
začetni delovni simpleks iz n+1 točk, katere predstavljajo njegova oglišča z ustreznim
naborom funkcijskih vrednosti. Prva točka je določena z izhodiščnimi vrednostmi iskanih
spremenljivk. Vsaka naslednja točka simpleksa je določena s spremembo posamezne
koordinate prve točke tako, da se ji prišteje začetni korak spreminjanja odgovarjajoče
izhodiščne vrednosti.
Jedro algoritma predstavlja iteracijski postopek, ki je sestavljen iz zaporedja transformacij
delovnega simpleksa z namenom zmanjšanja funkcijskih vrednosti v njegovih ogliščih. Proces
je zaključen, ko je dosežen zaustavitveni kriterij – relativna razlika vrednosti dveh zaporednih
iteracij (konvergenčni test) oziroma maksimalno število le-teh.
ZAČETEK Nastavi parametre Nelder-Mead algoritma
Ustvari začetni delovni simpleks
Razvrsti točke simpleksa po funkcijskih vrednostih
Ali je zaustavitveni
kriterij izpolnjen?
Zaporedje transformacij trenutnega delovnega
simpleksa (zrcaljenje / ekspanzija / kontrakcija
navzven / kontrakcija navznoter / zmanjšanje)
Nov trenutni delovni simpleks
Izpis najboljše točke
trenutnega simpleksa in
funkcijske vrednosti
KONEC
da
ne
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 28 -
Iteracijski postopek se začne z razvrstitvijo točk simpleksa po funkcijskih vrednostih, kjer se
določijo še indeksi najslabše (h), druge najslabše (s), in najboljše (l) točke. Sledi izračun
koordinat težišča (c) vseh točk razen najslabšega oglišča (xh). Če si za lažjo predstavo
ogledamo primer v 2D (slika 5.4), je omenjeno težišče enako kar središču stranice, ki
povezuje najboljšo in drugo najboljšo (obenem drugo najslabšo) točko trikotnika.
Slika 5.4: Shematski prikaz osnovnih transformacij delovnega simpleksa v 2D [8]
Zrcaljenje predstavlja prvi transformacijski korak, kjer najprej določimo točko zrcaljenja (xr),
kot je prikazano na sliki 5.4a, ter izračunamo njeno funkcijsko vrednost f(xr). Sledijo trije
možni scenariji:
• če je f(xl) ≤ f(xr) < f(xs) , zamenjaj točko xh s točko xr in končaj iteracijo;
• če je f(xr) < f(xl) , začni s procesom ekspanzije;
• če je f(xr) ≥ f(xs) , začni s procesom kontrakcije.
Ekspanzija: izračunamo točko ekspanzije (xe), kot je prikazano na sliki 5.4b, ter izračunamo
njeno funkcijsko vrednost f(xe). Tukaj poznamo dva scenarija:
• če je f(xe) < f(xr) , zamenjaj točko xh s točko xe in končaj iteracijo;
• če je f(xe) ≥ f(xr) , zamenjaj točko xh s točko xr in končaj iteracijo.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 29 -
Kontrakcija: za izračun točke kontrakcije (xc) ločimo dve različni varianti z uporabo boljše
izmed točk xh in xr, odvisno od funkcijske vrednosti f(xr):
• če je f(xs) ≤ f(xr) < f(xh) , začni s procesom kontrakcije navzven;
• če je f(xr) > f(xh) , začni s procesom kontrakcije navznoter.
Kontrakcija navzven (slika 5.4c): za izračun točke kontrakcije xc uporabimo točko xr in
izračunamo njeno funkcijsko vrednost f(xc). Poznamo dva scenarija:
• če je f(xc) ≤ f(xr) , zamenjaj točko xh s točko xc in končaj iteracijo;
• če je f(xc) > f(xr) , začni s procesom krčenja.
Kontrakcija navznoter (slika 5.4d): za izračun točke kontrakcije xc uporabimo točko xh in
izračunamo njeno funkcijsko vrednost f(xc). Poznamo dva scenarija:
• če je f(xc) < f(xh) , zamenjaj točko xh s točko xc in končaj iteracijo;
• če je f(xc) ≥ f(xh) , začni s procesom krčenja.
Krčenje oziroma zmanjšanje uporabimo, kadar nobena izmed testnih točk transformacije ni
izboljšala rezultata. Simpleks se tako zmanjša proti najboljšemu oglišču (xl), ki ostane
nespremenjeno, tako da je potrebno preračunati n novih oglišč.
Algoritem se zaključi z doseženim zaustavitvenim kriterijem, kar v večini implementacij
pomeni, da je izpolnjen konvergenčni kriterij (bodisi domene, bodisi funkcijskih vrednosti) ali
pa je preseženo maksimalno dovoljeno število iteracij.
Genetski Algoritem
Genetski algoritem (GA) predstavlja nedeterministično metodo umetne inteligence, ki
posnema proces naravne selekcije organizmov. Genetski algoritmi spadajo v razred
evolucijskih algoritmov, s pomočjo katerih iščemo rešitve optimizacijskih problemov z
uporabo tehnik naravne evolucije, kot so dedovanje, mutacija, selekcija, in križanje.
Struktura GA je močno odvisna od same narave oprimizacijskega problema, vendar jo lahko v
grobem predstavimo s shemo, prikazano na sliki 5.5.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 30 -
Slika 5.5: Osnovna struktura genetskega algoritma
Najprej se nastavijo parametri GA (opisani v poglavju 5.2), nakar se zgenerira začetna
naključna populacija organizmov. Vsak organizem predstavlja kromosom, ta pa je sestavljen
iz posameznih genov. Obliko kromosoma imenujemo genotip, njegovo prilagojenost oziroma
funkcijsko vrednost pa fenotip.
Evolucijski proces se začne z zagonom iteracijske zanke algoritma, katere prvi korak je
ovrednotenje prilagojenosti vsakega člana trenutne populacije, ki jo imenujemo generacija.
Sledi proces naravne selekcije organizmov, ki bodo sodelovali pri genetskih operacijah za
naslednjo generacijo. Obstaja več metod za njihov izbor, med katerimi sta najpogostejši:
izbor po principu igralniške rulete (bolj prilagojeni organizmi imajo večjo verjetnost
sodelovanja) in turnirski način selekcije (za vsak turnir izberemo nekaj naključnih
organizmov, zmagovalec je najbolje ocenjeni).
Osnovne genetske operacije so sledeče:
• reprodukcija: organizem se nespremenjen prenese v naslednjo generacijo;
• križanje: z mešanjem genskega materiala dveh staršev dobimo dva potomca;
• mutacija: naključna sprememba posameznega gena v organizmu.
ZAČETEK Nastavi parametre genetskega algoritma
Ustvari začetno naključno populacijo organizmov
Oceni vrednost vsakega organizma v populaciji
Ali je zaustavitveni
kriterij izpolnjen?
Izbira organizmov in izvedba genetskih operacij
Nova generacija organizmov
Izpis najboljšega organizma in
njegove funkcijske vrednosti
KONEC
da
ne
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 31 -
Tukaj velja omeniti, da veljajo zaradi specifičnosti našega optimizacijskega problema
določene omejitve pri izvedbi genetskih operacij:
• točka križanja genetskega materiala mora biti pri obeh starših na istem mestu, saj bi sicer
dobili potomca z različnim številom genov (parametrov);
• pri mutaciji oziroma spremembi posameznega gena mora njegova zamenjava vsebovati
vrednost le iz odgovarjajočega intervala;
• permutacija dveh ali več genov je nedopustna.
Pomembno je, da v algoritem vnesemo tudi določeno stopnjo elitizma, kar pomeni, da se
najbolje prilagojeni organizmi vsake generacije avtomatsko prenesejo v naslednjo generacijo
(v našem primeru le najboljši organizem).
Po končanem procesu genetskih operacij (trenutna populacija je dosegla maksimalno število)
sledi ocenitev organizmov nove generacije. Iteracijski proces se nato ponavlja vse do zadnje
generacije, ki v tem primeru predtavlja zaustavitveni kriterij.
5.4 Optimizacijske spremenljivke
Optimizacijske spremenljivke predstavljajo vse neznane materialne parametre cevi, katerim
bomo (z namenom čim boljšega ujemanja rezultatov simulacije in eksperimenta) skušali
poiskati optimalne vrednosti. Zaradi velikega števila materialnih parametrov, ki določajo
simulacijski model, smo se že na začetku omejili na modul elastičnosti, mejo tečenja, in
napetosti v plastičnem področju.
Začetna optimizacijska shema je bila za namene testiranja zgrajena na osnovi linearnega
plastičnega modela, s spremenljivkami podanimi v tabeli 5.1.
Tabela 5.1: Optimizacijske spremenljivke linearnega plastičnega modela
Optimizacijska spremenljivka Simbol Oznaka v OptiMaxu
Modul elastičnosti E E0
Meja tečenja σy SigY
Napetost pri εpl = 1,0 σ1 Sig1
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 32 -
Optimizacije omenjenega modela smo izvajali s pomočjo NM algoritma, pri čemer pa so bile
meje intervalov optimizacijskih spremenljivk določene na podlagi testne optimizacije s
pomočjo genetskega algoritma. Nastavitve spremenljivk prikazuje tabela 5.2.
Tabela 5.2: Nastavitev optimizacijskih spremenljivk linearnega plastičnega modela
Spremenljivka Enota Spodnja meja
Zgornja meja
Izhodiščna vrednost
Korak spremembe
E0 MPa 60000 80000 70000 1000
SigY MPa 175 325 250 10
Sig1 MPa 210 500 330 10
Naslednja optimizacijska shema (poglavje 5.5) je bila zgrajena na osnovi 5-segmentnega
plastičnega modela, s spremenljivkami podanimi v tabeli 5.3.
Tabela 5.3: Optimizacijske spremenljivke 5-segmentnega plastičnega modela
Optimizacijska spremenljivka Simbol Oznaka v OptiMaxu
Modul elastičnosti E E0
Meja tečenja σy SigY
Napetost pri εpl = 0,02 σ1 Sig1
Napetost pri εpl = 0,05 σ2 Sig2
Napetost pri εpl = 0,10 σ3 Sig3
Napetost pri εpl = 0,30 σ4 Sig4
Napetost pri εpl = 1,00 σ5 Sig5
Tudi v primeru te sheme je bila z namenom določitve intervalov spremenljivk najprej
izvedena testna optimizacija s pomočjo genetskega algoritma, kjer pa je bilo iz rezultatov
dolčenih simulacij opaziti, da lahko pride do izmeničnega utrjevanja in mehčanja materiala.
Zato smo hoteli doseči, da bo vsaka naslednja vrednost napetosti σi večja od predhodne,
torej da se material le utrjuje in ne mehča. Pri tem smo si pomagali z uvedbo novih
neodvisnih spremenljivk Δσi (dSig1 do dSig5), ki so zaradi omenjenega pogoja definirane
vedno pozitivno, kar je razvidno iz tabel 5.4 in 5.5. Tako so sedaj vredosti parametrov Δσi
tiste, ki jih bomo z optimizatorjem variirali, spremenljivke σi (Sig1 do Sig5) pa postanejo
odvisne, definirane z enačbami v tabeli 5.5.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 33 -
Tabela 5.4: Nastavitev neodvisnih spremenljivk 5-segmentnega plastičnega modela
Spremenljivka Enota Spodnja meja
Zgornja meja
Izhodiščna vrednost
Korak spremembe
E0 MPa 60000 80000 70000 1000
SigY MPa 160 300 200 10
dSig1 MPa 1 200 20 10
dSig2 MPa 1 200 20 10
dSig3 MPa 1 200 20 10
dSig4 MPa 1 200 20 10
dSig5 MPa 1 200 20 10
Tabela 5.5: Izračun odvisnih spremenljivk 5-segmentnega plastičnega modela
Spremenljivka Sig1 Sig2 Sig3 Sig4 Sig5 Izračun SigY + dSig1 Sig1 + dSig2 Sig2 + dSig3 Sig3 + dSig4 Sig4 + dSig5
S tem so določene vse spremenljivke osnovne optimizacijske sheme, katere izgradnja je
podrobno opisana v sledečem poglavju. V poglavju 5.6 sledi še opisan postopek določitve
dodatnih spremenljivk izboljšane optimizacijske sheme, zato jih tukaj ne bomo navajali.
5.5 Priprava optimizacijske sheme
Vse optimizacijske sheme, ki smo jih za potrebe te naloge testirali, so vsaj navzven identične
(slika 5.6), vendar pa se razlikujejo v številu spremenljivk, nastavitvah njihovih parametrov,
vhodnih in izhodnih datotekah, nastavitvah zaganjalnika ter excelovih datotekah.
Kljub temu, da smo začetno optimizacijsko shemo zgradili na osnovi linearnega modela, pa je
v nadaljevanju prikazan postopek izgradnje sheme na osnovi 5-segmentnega plastičnega
modela. V nadaljnjem besedilu bo omenjana kot osnovna optimizacijska shema.
S pomočjo menija TOOLS/Settings najprej nastavimo osnovne podatke o projektu – ime,
opis, ter projektno mapo, v kateri se avtomatsko ustvarita podmapi Work (delovna mapa
programa) in Results (mapa z rezultati). S potrditvijo na gumb OK se v projektni mapi ustvari
še projektna datoteka (*.om).
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 34 -
Slika 5.6: Optimizacijska shema v programu OptiMax 0.6
Ker OptiMax za zagon Abaqusovih simulacij potrebuje le vhodno datoteko modela (*.inp), je
pomembno nekaj besed nameniti še njeni strukturi in delovanju. V njej so v tekstovni obliki
shranjeni vsi vhodni podatki oziroma parametri, ki so bili v fazi predprocesiranja preko
komandnih oken vnešeni v model. Tako sedaj ustrezno vhodno datoteko izbranega
simulacijskega modela najprej skopiramo v OptiMaxovo projektno mapo, nato pa s pomočjo
okna File Resource definiramo še pot do nje, kot je prikazano na sliki 5.7. Datoteka bo na tem
mestu ostala nespremenjena, saj jo program ob zagonu avtomatsko kopira v delovno mapo,
kjer jo tekom optimizacije tudi obdeluje.
Slika 5.7: Definicija poti do Abaqusove vhodne datoteke
Datoteko je potrebno sedaj še nekoliko modificirati (s klikom na Edit jo odpremo v
urejevalniku besedil), in sicer tako, da zamenjamo vse numerične vrednosti iskanih
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 35 -
parametrov z lastnimi simboli (E0, SigY, Sig1 do Sig5). Le-te vstavimo med simbola @, kot je
prikazano na sliki 5.8. S tem bo izbrani OptiMaxov zaganjalnik sam spreminjal izbrane
parametre na način, kot mu ga določimo.
Slika 5.8: Modifikacija Abaqusove input datoteke
Nato ustvarimo novo zbirko spremenljivk (Variables Container – slika 5.9), kamor vnesemo
vse osnovne podatke o spremenljivkah 5-segmentnega plastičnega modela. Za odvisne
spremenljivke je potrebno določiti še enačbe za njihov izračun, kot so prikazane v tabeli 5.5.
Slika 5.9: Določitev neodvisnih in odvisnih spremenljivk
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 36 -
Za branje rezultatov vstavimo v shemo novo datoteko (File Resource), a tokrat kot vrsto
določimo izhodno (Output) datoteko (slika 5.10), kjer datoteka z rezultati (cev.rep)
samodejno nastane šele kasneje, ob prvem zagonu simulacije.
Slika 5.10: Abaqusova izhodna datoteka
Nato vstavimo še Abaqusovo komponento (slika 5.11), kjer izberemo predhodno definirani
vhodno (inp) in izhodno (result) datoteko. Za vrsto izpisa rezultatov v izhodno datoteko
izberemo History Output. V polju Argument je prikazan ukaz, ki ga program uporabi za zagon
Abaqusa, lahko pa le-tega tudi dopolnimo s svojimi ukazi (Argument to add).
Slika 5.11: Nastavitev Abaqusove komponente
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 37 -
Sedaj vstavimo zaganjalnik DOE Driver brez variacije parametrov, s čimer bo izvedena le ena
hitra testna simulacija. Tako v Optimaxovi delovni mapi nastane nova datoteka z rezultati
(cev.rep), ki jo skopiramo v osnovno mapo projekta (sicer bi jo ob naslednjem zagonu
simulacije pobrisalo). Na podlagi te datoteke določimo vzorec (Create/edit template), po
katerem bo program tekom optimizacij črpal podatke iz nje (slika 5.12). DOE Driver nato
nadomestimo z NM Driverjem, kjer nastavimo potrebne parametre (slika 5.13 in tabela 5.4).
Slika 5.12: Zapis izhodnega vektorja rezultatov simulacije
Slika 5.13: Določitev in omejitev vrednosti paramertov v zaganjalniku NM Driver
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 38 -
Sledi vstavitev Excelove komponente (slika 5.14), kjer najprej določimo pot do lastne
datoteke, nato pa še obseg celic v njej, kamor se bodo kopirali podatki izbrane vhodne
spremenljivke – v našem primeru izhodni vektor rezultatov simulacije (simCetrt).
Slika 5.14: Določitev Excelove komponente
Morda najpomembnejši postopek v izgradnji sheme je kreiranje Excelove datoteke, kjer
bomo s pomočjo enačb vršili primerjavo med eksperimentalno in simulacijsko krivuljo, za kar
pa ju moramo najprej uskladiti, saj ni smiselno primerjati dveh neporavnanih krivulj.
Simulacijska krivulja ima 201 točko, ki si sledijo na 200 enakomernih intervalih po abscisni osi
(od 0 do 0,01 sekunde), zato je potrebno na enak način obdelati še eksperimentalno krivuljo,
kjer imamo točke razporejene drugače, s podatki pomika na abscisni osi. Ker vemo, da
končni čas simulacije (0,01 s) ustreza 25 mm pomika, najprej izračunamo velikost enega
intervala (0,125 mm), nato pa s pomočjo linearne interpolacije določimo še nove vrednosti
točk eksperimentalne krivulje, ki so razporejene na 200 enakomernih intervalih po x-osi od 0
do 25 mm.
Obe krivulji sta sedaj poravnani, tako da lahko začnemo s sestavo Excelove datoteke. V prva
dva stolpca vnesemo velikost pomika ter pripadajoče vrednosti eksperimentalne sile, nato pa
pustimo prazen stolpec, kamor se bo tekom posamezne simulacije zapisoval izhodni vektor z
vrednostmi reakcijske sile. Ker imamo v simulaciji le četrt cevi, kjer je reakcijska sila za povrh
še negativna, pripravimo nov stolpec, kjer bodo vrednosti simulacijske krivulje pomnožene s
faktorjem –4. Dokument je sedaj pripravljen za direktno primerjavo krivulj (enačba 4.4).
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 39 -
Zavedamo se tudi problema zamujanja reakcijske sile, saj bi razlika vrednosti začetnih točk
utegnila imeti (pre)velik vpliv na rezultate optimizacije. Ker pa je začetni strm naklon
eksperimentalne krivulje praktično vzporeden z zamaknjenim simulacijskim, smo prišli do
ideje za rešitev problema kar v Excelu s sledečim zaporedjem korakov (slika 5.15):
• poišči najbolj strm naklon med posameznima zaporednima točkama;
• zapiši enačbo premice, ki poteka skozi dobljeni točki;
• izračunaj presečišče premice z x-osjo;
• izračunaj razdaljo med presečiščem in izhodiščem koordinatnega sistema;
• zamakni celotno simulacijsko krivuljo za dobljeno razdaljo v smeri negativne x-osi;
• z interpolacijo izračunaj nove točke na originalnih intervalih.
Naštete korake smo z razvojem nekoliko kompleksnejših formul uspešno implementirali v
osnovno Excelovo datoteko, tako da imamo sedaj popolnoma samodejen postopek.
Slika 5.15: Shematski prikaz zaporedja modifikacij simulacijske krivulje v Excelu
Ker pa je krivulja (zaradi vseh poenostavitev tekom izdelave simulacijskega modela) dokaj
groba, si pripravimo različne filtre po principu drseče srednje vrednosti, s čimer jo skušamo
nekoliko zgladiti. Izvedenih je bilo več variant: drsenje povprečne vrednosti razpona 5, 7, 11,
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 40 -
in 15, ter še nekatere druge kombinacije. Za najboljšo varianto se je izkazala drseča srednja
vrednost širine 11, kjer sta prvi dve točki ostali nespremenjeni (da ne zmanjšamo začetnega
naklona), tretja je povprečje treh, četrta petih, peta sedmih, šesta devetih, in sedma enajstih
točk, ter nato vse ostale točke do konca s povprečjem 11 točk. Ker smo z uporabo filtra na
koncu izgubili oziroma popačili nekaj točk, smo se odločili za primerjavo krivulj le do pomika
24 mm.
V datoteko je potrebno implementirati še enačbe (4.3, 4.4, in 4.5) za izračun merodajnega
kriterija (povprečna napaka simulacije) s pomočjo metode najmanjših kvadratov. S tem je
izdelava Excelove datoteke zaključena, vstavimo jo v shemo, kot je prikazano na sliki 5.14.
Sedaj moramo določiti še, kateri posamezni podatki naj se iz Excelovega dokumenta
kopirajo. Odločimo se za izpis začetne neobdelane cele simulacije (simCela), za zamaknjeno
in filtrirano simulacijo (simCelaFil) in za izpis povprečne napake (error), saj je le-ta merodajna
za optimizacijo (slika 5.16). Seveda si želimo tekom optimizacije spremljati tudi
eksperimentalno krivuljo.
Slika 5.16: Določitev izhodnih podatkov iz Excela za merodajno napako
V shemo vključimo še Memory Recorder in Csv Recorder, v vsakem od njiju pa izberemo
parametre za izpis. S tem je proces izdelave osnovne optimizacijske sheme zaključen.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 41 -
5.6 Izboljšava optimizacijske sheme
Osnovno optimizacijsko shemo smo omejili s pogojem, da mora biti vsaka naslednja vrednost
napetosti (σi+1) v diagramu σ–εpl večja od predhodne (σi). Vendar pa so rezultati optimizacij
dali diagrame, kjer se je naklon posameznih odsekov močno spreminjal, kar je lepo razvidno
iz slike 6.4. Takšni rezultati se razlikujejo od splošno znanih rezultatov za izbran material, kjer
je utrjevalna funkcija strogo padajoča.
Zato je bil izveden naslednji korak, to je izboljšava optimizacijske sheme. Želimo si torej
omejitve naklonov na način, da vsak naslednji naklon (αi+1) ne sme biti večji od predhodnega
(αi), hkrati pa ne sme imeti negativne vrednosti, kar lahko zapišemo s sledečo enačbo (5.1):
0 ≤ 𝛼𝑖+1 ≤ 𝛼𝑖 . (5.1)
Ker imamo v OptiMaxu popolnoma delujočo shemo, moramo na novo definirati le
spremenljivke (inpVar), kakor tudi njihove intervale definicijskega območja z začetnimi koraki
spreminjanjanja (NM Driver).
Najprej si za lažje razumevanje pripravimo skico (slika 5.17), s pomočjo katere bomo določili
povezave med spremenljivkami:
Slika 5.17: Skica strogo padajoče utrjevalne krivulje
0 0,02 0,05
σ
εpl 0,10
σy
σ1
σ2
σ3
α1
α2
α3
Δσ1
Δσ2
Δσ3
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 42 -
Glede na obstoječo shemo obdržimo nastavitve za modul elastičnosti (E), mejo tečenja (σy),
ter spremembo napetosti na prvem intervalu v plastičnem področju (Δσ1), torej
spremenljivke, ki jih bo OptiMax tekom optimizacije spreminjal. Prav tako ostane enak
izračun napetosti pri εpl = 0,02 (σ1), ki ga izračunamo kot vsoto σy in Δσ1.
Ker pa nas sedaj zanimajo tudi nakloni, smo uvedli še naklonske kote. Najprej podamo
enačbo 5.2 za izračun prvega naklonskega kota:
𝛼1 =∆𝜎1∆𝜀𝑝𝑝,1
=∆𝜎1
0,02 − 0 =∆𝜎10,02 . (5.2)
Nato sledi izračun drugega naklonskega kota (α2). Kot je razvidno iz enačbe 5.1, α2 ne sme
biti negativen in hkrati ne večji kakor α1, kar lahko zapišemo tudi kot:
𝛼2 ∈ [0,𝛼1] . (5.3)
Tukaj naletimo na težavo, saj morajo biti meje intervalov spremenljivk določene zgolj z
numeričnimi vrednostmi, medtem ko je v tem primeru zgornja meja intervala določena z α1,
ki je odvisna od spremenljivke Δσ1. Zato si pomagamo s preprostimi matematičnimi
operacijami in enačbo 5.3 delimo z α1:
𝛼2𝛼1
∈ �0𝛼1
,𝛼1𝛼1� . (5.4)
Kvocient na levi strani enačbe 5.4, ki nam podaja razmerje dveh naklonskih kotov, lahko
nadomestimo z novo spremenljivko (k2). Enačbo uredimo in dobimo enačbo 5.5:
𝑛2 ∈ [0,1] . (5.5)
Koeficient k2, ki predstavlja našo novo neodvisno spremenljivko, vnesemo v NM Driver, kjer
zraven omenjenega intervala vnesemo še korak spreminjanja (Δ = 0,1) in izhodiščno vrednost
(odločimo se za sredino intervala, torej 0,5). Nato dodamo odvisno spremenljivko α2, ki je
določena z enačbo 5.6:
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 43 -
𝛼2 = 𝑛2 ∙ 𝛼1 . (5.6)
S pomočjo slike 5.17 lahko določimo in dodamo še enačbi 5.7 in 5.8 za odvisni spremenljivki
Δσ2 in σ2:
∆𝜎2 = ∆𝜀𝑝𝑝,2 ∙ 𝛼2 = (0,05− 0,02) ∙ 𝛼2 = 0,03 ∙ 𝛼2 , (5.7)
𝜎2 = 𝜎1 + ∆𝜎2 . (5.8)
Naslednji korak je določitev nove neodvisne spremenljivke. To je koeficient k3, ki je podan z
enačbo (5.9) in predstavlja kvocient naklonskih kotov α3 in α2. Vnesemo ga v NM Driver z
enakimi nastavitvami kot koeficient k2.
𝑛3 ∈ [0,1] . (5.9)
Podobno, kot za vse spremenljivke z indeksom 2, sledi od tod naprej analogna izpeljava za
vse spremenljivke z indeksi od 3 do 5, kot je lepo razvidno iz slike 5.18.
Slika 5.18: Nove nastavitve spremenljivk in NM Driverja
S tem je izboljšana optimizacijska shema zaključena. Materialne parametre najuspešnejše
simulacije smo uporabili še za testiranje različnih vrednosti koeficienta trenja med valjčki in
cevjo. Rezultati optimizacij so prikazani v naslednjem poglavju.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 44 -
6 REZULTATI
Testiranih je bilo 26 optimizacijskih shem z različnim številom parametrov, različnimi
omejitvami parametrov, filtri in manipulacijami krivulj. Večina optimizacij je bila izvedenih z
Nelder-Mead metodo, in sicer s serijami po 100 simulacij, katerih izračun je trajal približno
2 uri in 15 minut (na računalniku z Intelovim i7-3630QM 2.40 GHz procesorjem in 8 GB
delovnega pomnilnika). Optimizacije z genetskim algoritmom so bile v glavnem uporabljene
za okvirno določitev intervalov gibanja posameznih materialnih parametrov.
Najprej sledi prikaz rezultatov optimizacije linearnega modela z začetno shemo. Primerjava
eksperimentalne in najboljše simulacijske krivulje je prikazana na sliki 6.1.
Slika 6.1: Primerjava reakcijskih sil eksperimenta in linearnega plastičnega modela
Povprečna napaka med krivuljama je po 100 simulacijah optimizacije znašala 94,51 N,
oziroma 1,15 %. Parametri najuspešnejše simulacije so prikazani v tabeli 6.1, medtem ko je
na sliki 6.2 prikazan še njen σ–εpl diagram.
Tabela 6.1: Najboljša simulacija optimizacije s pripadajočimi parametri
ID napaka [N] E [MPa] σy [MPa] σ1 [MPa] 57 94,508 76052,1 263,08 309,62
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 5 10 15 20 25
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
eksperiment
simulacija
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 45 -
Slika 6.2: σ–εpl diagram najuspešnejše simulacije linearnega modela
Sledi prikaz rezultatov najuspešnejše simulacije 5-segmentnega plastičnega modela,
dobljene s pomočjo osnovne optimizacijske sheme (glej poglavje 5.5). Primerjava reakcijskih
sil eksperimenta in najboljše simulacije je prikazana na sliki 6.3.
Slika 6.3: Primerjava reakcijskih sil eksperimenta in najboljše simulacije osnovne sheme
020406080
100120140160180200220240260280300320
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Sigm
a [M
Pa]
Eps,pl
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 5 10 15 20 25
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
eksperiment
simulacija
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 46 -
Tabela 6.2: Najboljših pet simulacij optimizacije s pripadajočimi parametri
ID napaka [N] E [MPa] σy [MPa] σ1 [MPa] σ2 [MPa] σ3 [MPa] σ4 [MPa] σ5 [MPa] 100 73,24 73850,5 256,69 259,64 269,54 284,75 286,16 305,19 98 73,33 73827,2 256,35 259,58 269,97 285,25 286,59 304,97 58 74,10 73571,6 256,42 257,42 270,03 287,35 288,35 306,31 94 74,23 73924,5 255,89 259,59 269,16 283,73 285,05 303,57 79 74,56 73722,4 256,89 258,88 269,19 284,40 285,85 305,69
Najuspešnejših 5 simulacij optimizacije je zbranih v tabeli 6.2, razvrščenih po naraščajočih
vrednostih povprečne napake. Ta je v primeru najboljše simulacije znašala 73,24 N oziroma
0,90 %. Na sliki 6.4 je prikazan še σ–εpl diagram najuspešnejše simulacije.
Slika 6.4: σ–εpl diagram najuspešnejše simulacije osnovne sheme
Za konec še nekoliko bolj podroben prikaz rezultatov najuspešnejše simulacije, dobljene na
osnovi izboljšane optimizacijske sheme (glej poglavje 5.6). Najboljših pet simulacij
optimizacije je skupaj s pripadajočimi parametri prikazanih v tabeli 6.3. Po 100 simulacijah je
bila povprečna napaka najboljše enaka 74,26 N, kar znaša 0,91 %. Isto optimizacijo smo
izvedli še z 200 simulacijami, kjer je najuspešnejših pet prikazanih v tabeli 6.4. Najboljša
izmed njih je imela povprečno napako 72,72 N, oziroma 0,89 %, njena primerjava z
eksperimentalno krivuljo je prikazana na sliki 6.5. Slike od 6.6 do 6.12 prikazujejo trende
gibanja parametrov v odvisnosti od povprečne napake za prvih 100 simulacij, saj so se v
250
260
270
280
290
300
310
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Sigm
a [M
Pa]
Eps,pl
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 47 -
naslednjih 100 simulacijah vrednosti že čisto ustalile. Na sliki 6.13 je prikazan σ–εpl diagram
najuspešnejše izmed 200 simulacij izboljšane sheme.
Tabela 6.3: Najboljših pet izmed 100 simulacij optimizacije s pripadajočimi parametri
ID napaka [N] E [MPa] σy [MPa] σ1 [MPa] σ2 [MPa] σ3 [MPa] σ4 [MPa] σ5 [MPa] 98 74,26 70493,1 254,37 266,77 275,06 277,55 280,66 287,41
100 74,41 70535,9 255,39 267,14 274,84 276,96 279,69 285,62 94 74,56 70565,8 256,30 267,12 274,39 276,45 279,14 284,83 70 75,12 70362,7 255,26 267,52 274,96 276,36 278,23 282,62 95 75,16 70744,7 257,97 267,32 273,13 274,37 276,09 279,80
Tabela 6.4: Najboljših pet izmed 200 simulacij optimizacije s pripadajočimi parametri
ID napaka [N] E [MPa] σy [MPa] σ1 [MPa] σ2 [MPa] σ3 [MPa] σ4 [MPa] σ5 [MPa] 159 72,72 70604,1 254,19 266,37 275,11 278,41 282,46 290,57 147 72,77 70599,5 254,21 266,40 275,13 278,41 282,43 290,50 173 72,81 70601,6 254,22 266,39 275,11 278,41 282,44 290,53 188 72,88 70604,8 254,21 266,38 275,10 278,41 282,46 290,57 198 72,89 70604,6 254,20 266,38 275,11 278,41 282,46 290,56
Slika 6.5: Primerjava reakcijskih sil eksperimenta in najboljše simulacije izboljšane sheme
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 5 10 15 20 25
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
eksperiment
simulacija
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 48 -
Slika 6.6: Trend gibanja modula elastičnosti v odvisnosti od povprečne napake
Slika 6.7: Trend gibanja σy v odvisnosti od povprečne napake
Slika 6.8: Trend gibanja σ1 v odvisnosti od povprečne napake
0
3
6
9
12
15
69000 69200 69400 69600 69800 70000 70200 70400 70600 70800 71000 71200
Nap
aka
[%]
Modul elastičnosti [MPa]
0
3
6
9
12
15
190 200 210 220 230 240 250 260 270
Nap
aka
[%]
SigmaY [MPa]
0
3
6
9
12
15
210 220 230 240 250 260 270 280
Nap
aka
[%]
Sigma1 [MPa]
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 49 -
Slika 6.9: Trend gibanja σ2 v odvisnosti od povprečne napake
Slika 6.10: Trend gibanja σ3 v odvisnosti od povprečne napake
Slika 6.11: Trend gibanja σ4 v odvisnosti od povprečne napake
0
3
6
9
12
15
230 240 250 260 270 280 290 300 310 320
Nap
aka
[%]
Sigma2 [MPa]
0
3
6
9
12
15
250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
Nap
aka
[%]
Sigma3 [MPa]
0
3
6
9
12
15
270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370
Nap
aka
[%]
Sigma4 [MPa]
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 50 -
Slika 6.12: Trend gibanja σ5 v odvisnosti od povprečne napake
Slika 6.13: σ–εpl diagram najuspešnejše izmed 200 simulacij izboljšane sheme
Vrednosti materialnih parametrov najboljše simulacije smo uporabili še za preizkus
ustreznosti izbranega koeficienta trenja med valjčki in cevjo (0,2), tako da smo s pomočjo
DOE Driverja naredili parametrično analizo za izbrane vrednosti od 0 do 3 v korakih po 0,05.
Slika 6.14 prikazuje vpliv vrednosti koeficienta trenja na napako najboljše simulacije, na sliki
6.15 pa je prikazan njegov vpliv na obliko reakcijske krivulje.
0
3
6
9
12
15
270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370
Nap
aka
[%]
Sigma5 [MPa]
250
255
260
265
270
275
280
285
290
295
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Sigm
a [M
Pa]
Eps,pl
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 51 -
Slika 6.14: Vpliv vrednosti koeficienta trenja na napako najboljše simulacije
Slika 6.15: Vpliv vrednosti koeficienta trenja na obliko reakcijske krivulje
Na sliki 6.16 je prikazan še potek obremenjevanja votle cevi z direktno primerjavo med
eksperimentom pri kvazi-statični obremenitvi in najuspešnejšo simulacijo.
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00
Povp
rečn
a na
paka
[%]
Koeficient trenja
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 5 10 15 20 25
Reak
cijs
ka si
la [k
N]
Pomik [mm]
Eksperiment
koeTr = 0,00
koeTr = 0,20
koeTr = 0,40
koeTr = 0,65
koeTr = 1,00
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 52 -
Slika 6.16: Potek obremenjevanja votle cevi pri kvazi-statični obremenitvi (levo, [5]) in
primerjava s simulacijo (desno)
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 53 -
7 ZAKLJUČEK
Magistrska naloga prikazuje postopek določevanja materialnih parametrov votle
aluminijaste cevi, za katero je bila podana le odzivna krivulja upogibnega preizkusa (F-d). Cilj
naloge je bila izgradnja eksplicitnega modela v Abaqusu z določitvijo materialnih parametrov
na način, da bi se izhodna simulacijska krivulja čim bolj ujemala z eksperimentalno. Ker je
iskanih parametrov bistveno preveč za zgolj nakjučno preizkušanje, smo si pomagali s
pomočjo postopka optimizacije. Uporabili smo program OptiMax, v katerem smo sestavili
optimizacijsko shemo za primerjanje eksperimentalne in simulacijske reakcijske krivulje.
Posredno je bil naš cilj torej iskanje minimuma povprečne razlike v vrednostih reakcijske sile.
Že z osnovno optimizacijsko shemo smo se zelo približali optimumu funkcije, saj je
povprečna razlika znašala le 73,24 N oziroma 0,90 %. V primeru izboljšane sheme je
povprečno odstopanje reakcijske sile po 100 simulacijah znašalo 74,26 N oziroma 0,91 %, kar
je sicer malenkost več od predhodnega, kjer pa so se parametri znotraj določenega območja
lahko poljubno gibali. Z dodatnimi 100 simulacijami izboljšane sheme se je vrednost
zmanjšala na 72,72 N oziroma 0,89 %, kar ne predstavlja bistvenega izboljšanja, dosežena pa
je bila že 40 simulacij pred koncem optimizacije.
Iz tega sklepamo, da je 100 simulacij na optimizacijo več kot dovolj za naše potrebe, kar je
zelo lepo razvidno tudi iz trenda gibanja posameznih parametrov glede na povprečno napako
simulacije. Vse omenjeno potrjuje tudi ustreznost izbire Nelder-Meadovega algoritma, s
pomočjo katerega smo se optimalni rešivi problema dokaj dobro približali.
Optimizacije z genetskim algoritmom so bile uprabljene le za testiranje, saj je le-ta zaradi
svoje robustnosti več kot odličen pripomoček za iskanje okvirnih vrednosti parametrov. Ker
pa je bil naš optimizacijski problem predvsem zaradi svoje specifike dovolj omejen, se
Nelder-Meadov algoritem zaradi izredne preprostosti zelo dobro obnese.
Sama optimizacijska shema je torej v našem primeru delovala brezhibno, zato se moramo za
dodatno izboljšanje rezultatov vrniti na sam simulacijski model. Eden izmed problemov
tekom njegove izgradnje je predstavljalo začetno zamujanje reakcijske sile, katerega smo
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 54 -
vsaj nekoliko omilili z manipulacijo krivulje. Določene napake smo v sistem vnesli z
nekaterimi poenostavitvami, med katere vsekakor sodita skaliranje mase (povečanje
stabilnega časovnega koraka) in reducirana gostota mreže, ki sta imela velik vpliv na
omenjeno zamujanje sile ter še večji vpliv na oscilacije odzivne krivulje, kar je lepo razvidno
iz primerjalnih grafov.
Z vrednostmi najboljše simulacije smo izvedli tudi parametrično analizo koeficienta trenja
med valjčki in cevjo, kjer je bil ob najbolj neugodni vrednosti njegov vpliv na napako
simulacije nekaj manj kot 4 %. Seveda je tukaj še ogromno ostalih parametrov, ki bi ob
kombinaciji utegnili imeti veliko večji vpliv na povprečno napako. V kolikor bi jih hoteli vse
simultano preverjati, pa bi se pod vprašaj postavil celoten smisel optimizacije.
Dobljeni rezultati optimizacije se več kot zadovoljivo skladajo z rezultati upogibnega
preizkusa, zato smatramo, da bi se na podoben način dalo pridobiti matreialne podatke tudi
pri drugih vrstah obremenitvenih primerov.
Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo
- 55 -
8 LITERATURA
[1] I. Anžel, F. Zupanič, Gradiva. Maribor: Fakulteta za strojništvo, 2007
[2] Havel metal foam, Innovative solutions for lightweight constructions [online],
Dosegljivo: http://www.havel-mf.de/index_en.html [Datum dostopa: 6.4.2016].
[3] Wikipedia, Metal Foam [online], Dosegljivo: https://en.wikipedia.org/wiki/Metal_foam
[Datum dostopa: 6.4.2016]
[4] M. Strano, "A New FEM Approach for Simulation of Metal Foam Filled Tubes," Journal
of Manufacturing Science and Engineering, vol. 133, pp. 1-11, 2011
[5] I. Duarte, M. Vesenjak, L. Krstulović-Opara. "Dynamic and quasi-static bending
behaviour of thin-walled alluminium tubes filled with aluminium foam," Composite
Structures, vol. 109, pp. 48-56, 2014
[6] Abaqus 6.13 Documentation, Dassault Systèmes [online], Dosegljivo:
http://129.97.46.200:2080/v6.13/ [Datum dostopa: 6.4.2016]
[7] Wikiversity, Least-Squares Method [online], Dosegljivo:
https://en.wikiversity.org/wiki/Least-Squares_Method [Datum dostopa: 6.4.2016]
[8] Scholarpedia, Nelder-Mead algorithm [online], Dosegljivo:
http://www.scholarpedia.org/article/Nelder-Mead_algorithm [Datum dostopa:
6.4.2016]
[9] Wikipedia, Genetic algorithm [online], Dosegljivo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_algorithm [6.4.2016]