Definicin De Integral Indefinida

El clculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del lmite superior de la integracin ni del lmite inferior de la integracin.Esto tambin significa que la solucin de la integracin indefinida nunca es un nmero, sino una funcin del integrando dado. La forma ms fundamental para computar la integracin de un integrando dado es,

Aqu el valor de n no debe ser igual a 1.Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Est bastante claro que el valor de n = 1 no es admisible dado que este convertira el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.Otro mtodo bsico de la integracin es,

Esto significa que la integracin de una constante producir la variable de integracin como salida con la constante dada como su coeficiente.Existen algunas frmulas de integracin las cuales se utilizan directamente para la integracin de funciones trigonomtricas, funciones exponenciales, funciones logartmicas, etc.Algunas de estas frmulas se enumeran a continuacin,Es fundamental tener en cuenta que el mtodo de integracin de la multiplicacin o la divisin de dos o ms funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar a como lo hacemos con la suma o resta de dos o ms funciones. Para integrar la multiplicacin de funciones primero tenemos que multiplicar los productos y para la integracin de la divisin de las funciones tenemos que quebrar el cociente.El clculo por sustitucin es un importante mtodo del clculo de integrales indefinidas. Este mtodo es utilizado cuando el integrando no es sencillo y las frmulas de integracin simple no se pueden aplicar directamente. Apartando esto un pre- requisito importante para este mtodo es que el integrando debe definirse de forma tal que para cualquier funcin f(x) el integrando es la multiplicacin de la diferenciacin de f(x) y funcin de f(x) como se muestra a continuacin,

Aqu tenemos g(x) como la funcin principal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo que producir,g(x) = ag(x) = da/ dxda = g(x) dxLos valores anteriores pueden ser sustituidos en la expresin real como integrando y la integracin se puede seguir como es usual para el nuevo integrando. Por ltimo, sustituimos de vuelta los valores reemplazados dentro de la expresin para obtener la respuesta final.Para analizar si la sustitucin se ha llevado a cabo de forma correcta o no, asegrese que despus de la sustitucin la nueva variable reemplazada aparezca y que la variable original de la integracin desaparezca completamente del integrando.Vale la pena saber que generalmente no obtenemos el problema de laforma exacta que se ha descrito anteriormente. Entonces tenemos primero que modificarlo a una forma en que la sustitucin pueda llevarse a cabo.Veamos ahora un ejemplo para entender el proceso de resolver integraciones indefinidas. 5ex + cos(x) 5 sec2(x) dx= 5ex + sin(x) 5 tan(x) + cPropiedades De Integrales IndefinidasEn clculo infinitesimal, la funcin primitiva o antiderivada de una funcin f es una funcin F cuya derivada es f, es decir, F = f.Una condicin suficiente para que una funcin f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.Si una funcin f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre s en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un nmero real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integracin. Como consecuencia, si F es una primitiva de una funcin f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

El proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce como integracin indefinida y es por tanto el inverso de la derivacin. Las integrales indefinidas estn relacionadas con las integrales definidas a travs del teorema fundamental del clculo, y proporcionan un mtodo sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

EjemploUna primitiva de la funcin \scriptstyle f(x)=\cos(x) en \scriptstyle \mathbb{R}, es la funcin \scriptstyle F(x)=\sin(x) ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendr un nmero infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es ms, cualquier primitiva de la funcin f(x) = cos(x) ser de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integracin.Constante de integracinLa derivada de cualquier funcin constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) = F + C = F + 0 = F . La constante es una manera de expresar que cada funcin tiene un nmero infinito de primitivas diferentes.Para interpretar el significado de la constante de integracin se puede observar el hecho de que la funcin f (x) es la derivada de otra funcin F (x), es decir, que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeo segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una funcin F (x) tal que su derivada sea la funcin f (x) se convierte en el problema de encontrar una funcin de la grfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integracin se obtienen diversas funciones que cumplen esta condicin y son traslaciones verticales unas de otras.

Calculo De Integrales IndefinidasEl clculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del lmite superior de la integracin ni del lmite inferior de la integracin. Esto tambin significa que la solucin de la integracin indefinida nunca es un nmero, sino una funcin del integrando dado.La forma ms fundamental para computar la integracin de un integrando dado es,Aqu el valor de n no debe ser igual a 1.Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada.Est bastante claro que el valor de n = 1 no es admisible dado que este convertira el valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.Otro mtodo bsico de la integracin es,

Esto significa que la integracin de una constante producir la variable de integracin como salida con la constante dada como su coeficiente.Existen algunas frmulas de integracin las cuales se utilizan directamente para la integracin de funciones trigonomtricas, funciones exponenciales, funciones logartmicas, etc.Algunas de estas frmulas se enumeran a continuacin,Es fundamental tener en cuenta que el mtodo de integracin de la multiplicacin o la divisin de dos o ms funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar a como lo hacemos con la suma o resta de dos o ms funciones. Para integrar la multiplicacin de funciones primero tenemos que multiplicar los productos y para la integracin de la divisin de las funciones tenemos que quebrar el cociente.El clculo por sustitucin es un importante mtodo del clculo de integrales indefinidas. Este mtodo es utilizado cuando el integrando no es sencillo y las frmulas de integracin simple no se pueden aplicar directamente. Apartando esto un pre- requisito importante para este mtodo es que el integrando debe definirse de forma tal que para cualquier funcin f(x) el integrando es la multiplicacin de la diferenciacin de f(x) y funcin de f(x) como se muestra a continuacin,

Aqu tenemos g(x) como la funcin principal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo que producir,g(x) = ag(x) = da/ dxda = g(x) dxLos valores anteriores pueden ser sustituidos en la expresin real como integrando y la integracin se puede seguir como es usual para el nuevo integrando. Por ltimo, sustituimos de vuelta los valores reemplazados dentro de la expresin para obtener la respuesta final.Para analizar si la sustitucin se ha llevado a cabo de forma correcta o no, asegrese que despus de la sustitucin la nueva variable reemplazada aparezca y que la variable original de la integracin desaparezca completamente del integrando.Vale la pena saber que generalmente no obtenemos el problema de la forma exacta que se ha descrito anteriormente. Entonces tenemos primero que modificarlo a una forma en que la sustitucin pueda llevarse a cabo.Veamos ahora un ejemplo para entender el proceso de resolver integraciones indefinidas. 5ex + cos(x) 5 sec2(x) dx= 5ex + sin(x) 5 tan(x) + c

Integrales Indefinidas DirectasLa integracin indefinida es el proceso de clculo de la diferenciacin inversa.Estudiada bajo el clculo en matemticas, es vastamente utilizado para encontrar el rea de las curvas que no pueden ser calculadas directamente y tambin en el despeje de algunas ecuaciones importantes de fsica, electrnica etc. que son altamente utilizadas en el da a da de la vida.Debido a la ausencia tanto del lmite superior como del lmite inferior, la integracin indefinida no proporciona una respuesta exacta para cualquier problema, pero produce una ecuacin que representa la solucin del problema.Existen numerosos mtodos disponibles para resolver las integrales indefinidas.El ms simple entre todos estos mtodos es el mtodo directo, en el cual se sustituye directamente la frmula para obtener la respuesta deseada. Existe una cantidad de frmulas de integracin con este propsito.Estas frmulas son comunes tanto para la integracin indefinida como para la integracin definida.Existen principalmente cuatro categoras, a saber, funciones exponenciales, funciones trigonomtricas, funciones logartmicas y funciones polinmicas. Algunas de las frmulas ms importantes en cada una de estas categoras se enumeran a continuacin.Una integral indefinida se define slo hasta una constante aditiva. Esta constante es la constante de integracin que se aade al final de la integracin.Esta constante representa los trminos constantes que se convierten en cero cuando esta funcin es diferenciada.Puesto que la integracin es la tcnica inversa de la diferenciacin, esta constante se adjunta.Esta es una constante arbitraria y su valor se puede obtener con algunos pre-requisitos dados para satisfacer la funcin dada.Funciones Polinomicas

89Existe una serie de otras frmulas en esta categora tambin.Funciones exponenciales:

Existe una gran cantidad de otras frmulas en esta categora tambin.Funciones trigonomtricas:

Existe una serie de otras frmulas en esta categora tambin.Funciones logartmicas:

Existe una gran cantidad de otras frmulas en esta categora tambin.Todas estas frmulas pueden ser sustituidas directamente por su respectivo integrando. Un ejemplo ilustrativo puede arrojar luz sobre los conceptos para hacer las cosas ms claras. sin (2x) / cos2 (x) dxDe las propiedades de la trigonometra sabemos que, sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) Sustituyendo esta expresin para el integrando real obtenemos, sin 2 (x) cos (x) / cos2 (x) dx

Ahora expanda el integrando para simplificarlo, 2 sin (x) cos (x) / cos (x) cos (x) dxEsto nos da, 2 sin (x) / cos (x) dxMueva la constante fuera de la integracin, 2 sin (x) / cos (x) dxUna vez ms haciendo uso de las propiedades trigonomtricas reduzca el integrando a, 2 tan (x) dxIntegrando el integrando final, obtenemos, 2 ln|cos (x) | + cComo podemos observar que adems del conocimiento de la frmula de integracin, es esencial el conocimiento bsico de las frmulas matemticas

Integrales Indefinidas Con Cambio De VariableLa integracin mediante el cambio de variable o por sustitucin se encuentra entre uno de los mtodos de integracin ms poderosos.Es conocido por todos que la integracin es el proceso contrario de la diferenciacin, en esta perspectiva la integracin con cambio de variable es el proceso contrario de la diferenciacin llevada a cabo a travs de regla de la cadena.La integracin a travs de la sustitucin se realiza cuando el integrando dado es de la forma,

Es decir se nos provee una funcin primaria y el integrando es el producto de la derivada de esta funcin primaria y funcin de esta funcin primaria.Sin embargo, no siempre es el caso que el integrandoseadado directamente en la forma que podamos aplicar directamente la regla de la sustitucin, hay situaciones en las que primero tenemos que modificar el integrando dado de tal manera que podamos aplicar la frmula de sustitucin.Los pasos para realizar el mtodo de sustitucin para las integrales indefinidas son los siguientes.1 Identificar la funcin primaria g(x).En caso que el integrando no pueda ser sustituido directamente realice una serie de multiplicaciones y divisiones o recurra a otros mtodos para convertirloen la forma deseada.2 Sustituya la funcin primaria g(x) por alguna variable, digamos a,

3 Esta diferenciacin producira

4 Sustituya estos valores en la expresin real para modificar el integrando como,

5 En caso de que la variable original todava exista en el integrando, entonces sencillamente usamos la definicin de a desde el paso inicial para la variable real en trminos de la nueva variable.6 Finalmente integre este integrando.7 Despus de obtener la antiderivada de este integrando, sustituya la variable original en la antiderivada obtenida.Puede parecer que los pasos para la realizacin de este mtodo son los mismos tanto para la integracin indefinida como para la definida, pero existe fina diferencia entre los dos que es esencial entender.Primeramente en el caso de una integracin definida una cosa importante a tener en cuenta es cambiar el lmite superior, as como el lmite inferior de integracin.Esto se hace porque se han sustituido las variables del integrando y por lo tanto los lmites de integracin tienen que ser redefinidos en consecuencia de los nuevos lmites de integracin.En segundo lugar, en el caso de la integracin indefinida, tenemos que volver a colocar de nuevo la variable el integrando de manera que la solucin final sea en trminos de la variable real.Mientras que para la integracin definida ponemos al final los valores del lmite superior e inferior en la expresin para obtener la respuesta numrica.Observemos ahora un ejemplo ilustrativo para aclarar los conceptos. 185 (x3 5)4 dxSea a = (x3 5)4da = 32 dxdx = da/32 185 (x3 5)4 da/ 32

62 (x3 5)4 da 62 a4 da6(a +5) a4 da(6a5 + 30 a4) daa6 + 6a5 + c(a + 6) a5 + c(x3 5 + 1) (x3 5)5 + c(x3 + 1) (x3 5)5 + cEn el ejemplo anterior fueron empleadas varias transformaciones para obtener la forma deseada del integrando.De manera similar otros problemas pueden ser resueltos, sin embargo para cada problema puede ser necesaria una tcnica distinta para obtener el integrando deseado.Integrales Indefinidas TrigonomtricasAl igual que las funciones logartmicas y exponenciales, las funciones trigonomtricas tambin pueden ser integradas.Existe un conjunto separado de frmulas disponibles para todas las funciones trigonomtricas as como para las funciones trigonomtricas inversas.Estas frmulas pueden ser utilizadas directamente en su lugar para integrar el integrando dado.Aparte de eso las identidades trigonomtricas son tambin fundamentales para llevar a cabo la solucin de problemas, especialmente durante el uso de mtodos como la sustitucin.Las integrales de las funciones trigonomtricas se enumeran a continuacin.

Con excepcin de las ltimas cuatro frmulas, el resto se obtiene directamente usando los resultados de sus respectivas derivadas. Las ltimos cuatro frmulas son obtenidas utilizando las identidades trigonomtricas y la integracin a travs de la sustitucin.Mientras calculamos un determinado integrando trigonomtrico es esencial el seguimiento de una estrategia como se describe a continuacin.1 Si la funcin seno es elevada a un exponente impar, a continuacin, mantenga la funcin seno separada y use la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la funcin coseno y por lo tanto, utilice el mtodo de integracin a travs de la sustitucin al igualar el coseno a la nueva variable.2 Si la funcin coseno es elevada a un exponente impar, a continuacin, mantenga la funcin coseno separada y use la identidadsin2(x) + cos2(x) = 1 para conseguir la funcin seno y por lo tanto, utilice el mtodo de integracin a travs de la sustitucin al igualar el seno a la nueva variable.3 En el caso que tanto la funcin seno como la funcin coseno se eleven a un exponente par entonces las identidades del ngulo medio pueden ser aplicadas para conseguir el integrando completo dentro de los trminos de la funcin coseno.

4 Otras identidades, tales como,

tambin pueden ser utilizadas en los lugares requeridos.5 Si la funcin secante es elevada a un exponente par, a continuacin, mantenga la funcin secante separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la funcin tangente y por lo tanto, utilice el mtodo de integracin a travs de la sustitucin al igualar la tangente a la nueva variable.6 Si la funcin tangente es elevada a un exponente par, a continuacin, mantenga la funcin sec(x) tan(x) separada y use la identidad sec2(x) + 1 = tan2(x) para conseguir la funcin secante y por lo tanto, utilice el mtodo de integracin a travs de la sustitucin al igualar la secante a la nueva variable.Sea un integrando de la forma, sin5(x) dxAl mirar este integrando la mayora de las personas trataran de sustituir sin(x) = a, lo cual producira cos(x) dx = da. Pero esto es una interpretacin errnea. En general, para integrar una funcin seno una funcin coseno es necesaria y para integrar una funcin coseno una funcin seno.Por lo tanto, para el ejemplo anterior mantenga la funcin seno a un lado y transforme el integrando de la funcin coseno con la ayuda de la identidad sin2(x) + cos2(x) = 1 como se describe a continuacin.sin5(x) dx = sin(x) (sin2(x))2sin(x) (1 - cos2(x))2Ahora la integracin a travs del mtodo de sustitucin puede ser aplicada al mantener cos(x) = aEsto produce sin(x) dx = da -(1 a2) da (-a4 + 2a2 1)da -a5/ 5 + 2a3/ 3 - a + c cos5(x)/ 5 + 2cos3(x)/ 3 cos(x) + c

Integrales Indefinidas Por PartesLa mayora de las veces la gente intenta usar las frmulas de integracin de la suma o la resta de dos funciones para el producto de dos funciones, lo cual sin embargo produce resultados errneos dado que esta no es la tcnica correcta. Como ejemplo,

Un error comn cometido por las personas que observan una expresin de este tipo sera,

El cual es sin embargo un enfoque equivocado.Para entender el concepto suponga que f(x) es x y g(x) es 1.En tal escenario la integracin de 1 producira x lo cual no es correcto.Para resolver una ecuacin de este tipo, se utiliza la tcnica de la integracin por partes.Como es conocido la integracin es la tcnica inversa de la diferenciacin; la integracin por partes es la tcnica inversa de la regla del producto de la diferenciacin.La frmula general para la integracin por partes,

Esta frmula podra confundirlo. As que para entender el concepto detrs de la formulacin de esta frmula observe la regla del producto de la diferenciacin escrita a continuacin,

De la expresin anterior se puede deducir que,

Ahora bien, si una de las dos expresiones puede ser resuelta con facilidad, entonces podra ser utilizada para deducir la otra tambin, lo cual constituye la base para la formulacin de la tcnica de integracin por partes.La Integracin por partes se desarrolla de la siguiente manera,1 Trace las dos funciones primarias para el integrando dado, esto es f(x) yg(x). En caso que no exista una segunda funcin primaria, sea esta g(x) no es real asumirla como una.2 Ahora las funciones secundarias se colocarn en el lugar de las primarias como se describe a continuacin,y3 Luego integre cualquiera de las dos funciones y diferencie la otra funcin. Cualquiera de las dos pueden ser integradas o diferenciadas.4 Ahora aplique la frmula de integracin por partes como,

Esto puede parecer bastante confuso y un ejemplo ilustrativo sera de mucha ayuda. ln(x) dxDado que slo una de las funciones primarias est ah se puede asumir que la segunda es 1.Ahora sea ln (x) = u y 1.dx = dv.Luego diferenciando la primera funcin e integrando la segunda obtenemos,du = 1 / x dxv = xColocando los valores anteriores en la expresin real tenemos que, ln(x) dx = x * ln(x) - x * 1 / x dx x * 1 / x dx = dx x + c Por tanto la solucin final es x * ln (x) - x + cEn la prctica, los integrandos que son difciles para ser integrados directamente se transforman de forma que el mtodo de integracin por partes se pueda aplicar para hacerlos ms fcil de integrar.Sin embargo, es muy importante una eleccin correcta de la funcin a ser integrada y diferenciad asi no se efecta de esta forma es posible que el integrando se vuelva an ms crptico que antes.Otra razn para que la integracin por partes falle sera que algunas de las transformaciones de los integrandos causen que el integrando original aparezca de nuevo.Tambin para algunas funciones, puede ser necesario realizar el mismo procedimiento en n repetidas ocasiones lo cual hace que todo el proceso sea an ms complejo.

Integrales Indefinidas por Sustitucin TrigonomtricaLa sustitucin de las funciones de trigonometra por alguna funcin algebraica se conoce como sustitucin trigonomtrica.Existen ciertas funciones para las cuales otras sustituciones no funcionan dado que podran transformar toda la expresin en una forma an ms crptica.Algunos de estos ejemplos pueden ser resueltos por las sustituciones trigonomtricas a lugar.Es muy importante identificar el tipo de integrandos donde hacer una sustitucin trigonomtrica es la mejor opcin.Por lo general las expresiones que pueden representar los lados de un tringulo, y debido a esto, el teorema de la hipotenusa puede mantenerse cierto, pueden ser sustituidas por una funcin trigonomtrica.Tambin es importante estar al tanto de las identidades y frmulas trigonomtricas para poder resolver estos problemas. Por ejemplo para una funcion tal que,

Un error comn que la gente comete cuando observa las integrales de este tipo es reemplazar 9 - x2 por alguna variable lo que es una suposicin errnea.Tambin podemos ver que existe una expresin de raz cuadrada en el integrando la cual podra resultar tediosa de resolver, por tanto su eliminacin sera una buena eleccin.

Como podemos ver en la figura anterior la expresin de la base del tringulo es representada por y x representa la altura del tringulo. Por tanto una sustitucin trigonomtrica sera una mejor opcin. Supongamos ahorasin = x/ 3 utilizando la frmula sin = longitud del tringulo dividido por la hipotenusa del tringulox = 3 sin (1)El valor de puede ser deducido usando la formula = arcsin (x/ 3)Ahora diferenciando la ecuacin nmero (1) obtenemos dx = 3 cos d = 3 cos Ahora el nuevo integrando se convierte Simplificando esta obtenemos Finalmente nos da + c como respuesta.Es esencial que antes de uno proceder con la solucin, sea dibujado un bosquejo aproximado de los lados del tringulo para que en ningn paso ocurra una sustitucin incorrecta. Adems, si el valor de x es igual a cero o el valor de es igual a cero entonces tal tringulo no puede existir.Un conjunto general de las sustituciones que se utilizan para sustituciones trigonomtricas son las siguientes,es sustituido asumiendo que x = p sines sustituido asumiendo que x = p tanes sustituido asumiendo que x = p secEstas son sustituciones estndares que pueden ser tomadas como normas para la sustitucin trigonomtrica.En el caso que la variable sea precedida por un trmino coeficiente, entonces ese coeficiente pasa a ser el denominador del trmino constante que precede a la funcin trigonomtrica en el lado derecho.Si tenemos algn tipo de expresin cuadrtica bajo la raz cuadrada entonces convertir esta en un cuadrado perfecto debe ser el primer paso para la solucin del problema.Vale la pena saber que slo en los casos donde el denominador no produce una raz real, podemos usar una funcin tangente como sustitucin.Sin embargo, hacer que una funcin trigonomtrica sustituya una funcin algebraica no es la nica solucin, el problema tambin puede resolverse utilizando las reglas simples de integracin, ya que existen muchas maneras de resolver un integrando especfico

Integracin Indefinida por Fracciones ParcialesUn polinomio general, que est en trminos defracciones, puede ser dividido en varios polinomios en cascada, de tal manera que si todos estos son reunidos de nuevo formaran el polinomio original nuevamente. Este es el concepto detrs del mtodo de integracin por fracciones parciales. Por lo general los integrandos que se encuentran en la forma de expresiones racionales son evaluados a travs de este mtodo rompiendo el integrando a travs de sucesivas adiciones y restas a la inversa.A las expresiones de descomposicin fraccional de la expresin real se les conoce como sus fracciones parciales. Este mtodo tambin es utilizado de forma muy importante en las transformaciones de Laplace. Tambin transforma los integrandos en formas mucho ms simples lo cual hace que la evaluacin sea realizada con mucha facilidad.Despus de la descomposicin, todas las fracciones parciales poseen una expresin polinmica de primer grado o de segundo grado en su denominador.En el caso de una expresin racional compleja, el denominador posee nicamente expresiones polinmicas de primer grado.Sin embargo, este mtodo slo es aplicable si podemos descomponer el denominador del integrando real.Hay ciertas reglas cuyo conocimiento es esencial antes de aplicar este mtodo, estas son:1 Para descomponer un integrando en sus fracciones parciales, asegrese que el denominador del integrando es de al menos un grado ms alto que el numerador.2 Existe una fraccin parcial para todos los factores de descomposicin del denominador de la expresin real, existe una fraccin parcial como,

Donde (ax + b) es una de las fracciones parciales.3 Ampliando la regla anterior, si para algn integrando el denominador produce un factor lineal equivalente para m nmero de veces, y entonces tenemos m fracciones parciales para ese mismo factor lineal incrementando su grado desde uno hasta m.4 En caso que el denominador del integrando posea una ecuacin cuadrtica, entonces la fraccin parcial ser de la forma,

En resumen, las reglas para la integracin de una expresin racional utilizando el mtodo de fracciones parciales son las siguientes:

Aqu A, B C en las expresiones anteriores son trminos constantes cuyos valores se obtienen a travs de la solucin de problemas y entonces se colocan en la expresin de integracin. Para la existencia de estos trminos constantes para cualquier expresin racional de la forma a(x)/ b(x) las dos condiciones siguientes siempre deben ser ciertas: 1. a(x) y b(x) deben ser nicamente expresiones polinmicas.2. El grado del numerador debe ser al menos menor en uno en comparacin con el de grado de su denominador.Este mtodo podra parecer un poco confuso para usted y por tanto, un ejemplo ilustrativo sera de mucha ayuda para usted.

El denominador del problema anterior puede ser descompuesto como (x + 3) (x - 3). Entonces el integrando se convierte ahora a2x + 3/ (x + 3) (x 3)Se puede descomponer en sus fracciones parciales posteriores como, [(A/ x + 3) + (B/ x 3)].Lo que resulta en A(x 3) + B(x + 3) = 2x + 3.Resolviendo la expresin anterior al reemplazar los valores de x por+3 y 3 obtenemos los valores de A y B como y 3/2, respectivamente.El integrando obtenido es [(1/2/ x + 3) + (3/2/ x 3)]. ln |x + 3| + 2/3 ln |x 3|.