INSTITUTO TECNOLÓGIO

SUPERIOR DE LERDO

TEMATeoría de juegos

CARRERALicenciatura en Informática

MATERIAInvestigación de Operaciones II

DOCENTERicardo Bustamante Gonzales

ALUMNOS Elizabeth Moreno Castañeda (09231211)

Cinthya Estefanía Martínez Pérez (09231010)José Omar Moreno Veliz (09231276)

Fanny Haydee Diosdado Fernández (09231279) Manuel Gutiérrez García (09231136)

GRUPO4º B

FECHA DE ENTREGAViernes 27 de Mayo de 2011

1

ÍNDICE

Pág.

Teoría de juegos introducción ------------------------------------ 3,4

Tipos de juegos-----------------------------------------------------------5

Juegos de suma cero y de suma constante para dos personas---- 6

El equilibrio de Nash--------------------------------------------------- 7,8

Estrategia maximin------------------------------------------------------ 9,10

Juegos simétricos y asimétricos----------------------------------- 11

Juegos de suma cero y de suma no cero--------------------------- 12, 13,14

Juegos de suma cero para dos personas: estrategias aleatorias, dominación y

solución grafica----------------------------------------------------------- 15, 16,17

Programación Lineal-------------------------------------------- 18, 19, 20, 21, 22, 23,24

Bibl iografía-------------------------------------------------- 25

2

TEORIA DE JUEGOS

Introducción

Los psicólogos destacan la importancia del juego en la infancia como medio de

formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse en

sociedad, a resolver problemas y situaciones conflictivas. Todos los juegos, de

niños y de adultos, juegos de mesa o juegos deportivos, son modelos de

situaciones conflictivas y cooperativas en las que podemos reconocer

situaciones y pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real.

El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos los tiempos para el

desarrollo de teorías y modelos matemáticos. La estadística es una rama de las

matemáticas que surgió precisamente de los cálculos para diseñar estrategias

vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad, media

ponderada y distribución o desviación estándar, son términos acuñados por la

estadística matemáticas y que tienen aplicación en el análisis de juegos de

azar o en las frecuentes situaciones sociales y económicas en las que hay que

adoptar decisiones y asumir riesgos ante componentes aleatorios.

Pero la Teoría de Juegos tiene una relación muy lejana con la estadística. Su

objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los

comportamientos estratégicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las

relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las

situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la

conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un

comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en cuenta la

influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y

ajenas.

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos

para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los

llamados juegos) y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores

estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y

observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente

3

Distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo

tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

La teoría de juegos analiza:

Analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones

en un marco de incentivos formalizados (juegos).

Analiza problemas de optimización interactiva.

4

Tipos de juegos

Los juegos se clasifican en muchas categorías que determinan qué métodos

particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho también cómo se

define “resolución” en una categoría particular). En general, se pueden

considerar cuatro clases de juegos:

Juegos en forma extensiva (árbol)

Juegos en forma estratégica (normal)

Juegos en forma gráfica

Juegos en forma coalicional

Las tres primeras clases de juegos se analizan en la teoría de juegos no

cooperativos y la cuarta corresponde a los juegos cooperativos.

5

Juegos de suma cero y de suma constante para dos personas

Suma cero describe una situación en la que la ganancia o pérdida de un

participante se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros

participantes. Se llama así; porque si se suma el total de las ganancias de los

participantes y se resta las pérdidas totales el resultado es cero. El ajedrez es

un ejemplo de juego de suma cero - es imposible que los dos jugadores ganen.

La suma cero es un caso especial del caso más general de suma constante

donde los beneficios y las pérdidas de todos los jugadores suman el mismo

valor. Cortar una tarta es de suma constante o cero porque llevarte un trozo

más grande reduce la cantidad de tarta que le queda a los demás. Situaciones

donde los participantes pueden beneficiarse o perder al mismo tiempo, como el

intercambio de productos entre una nación que produce un exceso de naranjas

y otra que produce un exceso de manzanas, en la que ambas se benefician de

la transacción, se denominan de “suma no nula”.

El concepto fue desarrollado en la Teoría de juegos, por lo que a menudo a las

situaciones de suma cero se les llama “juegos de suma cero”. Esto no implica

que el concepto, o la teoría de juegos misma, se aplique únicamente a lo que

normalmente se conoce como juegos. Las estrategias óptimas para juegos de

suma cero de dos jugadores suelen emplear estrategias minimax.

6

El equilibrio de Nash

A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de

estrategias, que es una por jugador, se le asocia una salida del juego,

caracterizada por las ganancias expresadas en forma de números que le toca a

cada uno. Entre estas salidas puede haber unas más “interesantes” que otras,

por ejemplo las que “reportan más”. Sin embargo, como regla general, la

mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son comparables entre ellas en el

sentido que el paso de una a otra se traduce en un aumento de ganancias para

unos y una baja para otros.

Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad

de los participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista mas

limitado, que se puede calificar de “local” en el sentido de estudiar

separadamente cada una de las salidas y las combinaciones de estrategias de

las cuales ellas son el resultado; se le acuerda un estatuto privilegiado a las

que son de “equilibrio”, esto es a las que los individuos, tomados uno a uno no

tienen interés en desechar. El matemático John Nash estableció un importante

resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este tipo, se habla

entonces de la existencia de equilibrios de Nash.

Así, por definición, se dice de una combinación de estrategias (una por jugador)

que está en equilibrio de Nash si ningún jugador puede aumentar sus

ganancias por un cambio unilateral de estrategia. Con frecuencia se identifica,

por abuso del lenguaje y sin que ello tenga consecuencias, un equilibrio de

Nash con la salida que le corresponde. En la definición del equilibrio de Nash el

adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial, en tanto ello traduce el carácter no

cooperativo de las elecciones individuales (el “cada cual para sí mismo”). Así

es bastante posible que en un equilibrio de Nash la situación se puede mejorar

para todos por medio de un cambio simultáneo de estrategia por parte de

varios jugadores.

El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye

de alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si

una combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un

jugador que puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en

7

consecuencia, ésta se puede considerar difícilmente como una “solución” del

modelo en la medida en que el jugador interesado en cambiar descarta su

elección, después de conocer la de los otros.

Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego

admite un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste

aparezca como la “solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los

jugadores. Ello al menos por una razón: con frecuencia los juegos admiten

varios equilibrios de Nash.

8

Estrategia maximin

En el concepto de equilibrio de Nash es fundamental es supuesto de

racionalidad de los agentes. Si un agente sospechara que su adversario no se

comporta racionalmente, podría tener sentido que adoptara una estrategia

maximin, esto es, aquella en la que se maximiza la ganancia mínima que

puede obtenerse.

Vamos a considerar un juego de suma cero. Cada jugador dispone de tres

estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que

son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en

la distribución de diez monedas que se repartirán según las estrategias

elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada

matriz de pagos, en la que para cualquier combinación de estrategias, los

pagos de ambos jugadores suman diez.

MATRIZ DE PAGOS

Las estrategias del otro jugador A B C

Mi estrategia

A 9 11 92 8

B 6 45 54 6

C 7 38 23 7

Por ejemplo. Si yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B

entonces yo recibiré ocho monedas y el otro jugador recibirá dos.

Para descubrir qué estrategia me conviene más vamos a analizar la matriz que

indica mis pagos. Ignoro cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida

por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para tomar mi decisión

consiste en mirar cuál es el mínimo resultado que puedo obtener con cada una

de mis cartas. En la siguiente tabla se ha añadido una columna indicando mis

resultados mínimos.

MATRIZ DE MIS PAGOS

9

La estrategia del otro jugador A B C mínimos

Mi estrategia

A 9 1 2 1

B 6 5 4 4

C 7 8 3 3

En efecto,

Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mínimo

obtendré un resultado de 1.

Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como mínimo obtendré

4.

Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mínimo obtendré

3.

De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiero es 4 ya que es el

máximo de los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B

ya que esa estrategia me garantiza que, como mínimo, obtendré 4.

Juegos simétricos y asimétricos

10

Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una

estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los otros

jugadores y no de quién las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden

cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el

juego es simétrico. Muchos de los juegos 2 × 2 más estudiado son simétricos.

Las representaciones estándar del juego de la gallina, el dilema del prisionero y

la caza del ciervo son juegos simétricos.

Juego asimétrico

Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos

de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del

ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada

jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas

para cada jugador. Por ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a

pesar de tener conjuntos de estrategias idénticos para ambos jugadores.

Juegos de suma cero y de suma no cero

11

E F

E 1,2 0,0

F 0,0 1.2

En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del

juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras

palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). El go, el

ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero,

porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como

curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de ser de suma cero, pues las

victorias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese que ambos equipos

parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la actualidad las victorias

reportan 3 puntos y el empate 1.

Se puede analizar más fácilmente un juego de suma cero, y cualquier juego se

puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio"

adicional ("el tablero" o "la banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias

netas de los jugadores.

La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación.

Por ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se

muestra a la derecha.

Ejemplo

Suma cero de dos personas

12

A B C

1 30, -30 -10, 10 20, -20

2 10, -10 20, -20 -20, 20

Dos compañías de autobuses, A y B, explotan la misma ruta entre dos

ciudades y están enzarzadas en una lucha por una mayor parte del mercado.

Puesto que la parte total del mercado es un 100 por 100 fijo, cada punto

porcentual ganado por uno debe ser perdido por el otro. Se dice que tal

situación es un juego de suma cero de dos personas por las razones obvias de

que el juego es jugado por dos jugadores diametralmente opuesto y que la

suma de las ganancias y pérdidas es siempre cero.

Si se supone que la compañía A y la compañía B está considerando las

Tres mismas estrategias para ganar una mayor parte relativa del mercado

como sigue:

1. a1 o b1: Sirve refrescos durante el viaje.

2. a2 o b2: Introduce autobuses con aire acondicionado.

3. a3 o b3: Anuncia diariamente en estaciones de televisión en las dos

ciudades.

Por comodidad, se supone que antes de comenzar el juego ambas compañías

no están haciendo ningún esfuerzo especial y comparte por igual el mercado –

50 por 100 cada una. Además, si se supone también que cada compañía no

puede emplear más de uno de estas actitudes o estrategias al mismo tiempo y

que las tres estrategias tienen idénticos costos.

Por estos supuestos, hay un total de 3 x 3 = 9 combinaciones posibles de

movimientos, y cada una es capaz de afectar a la parte del mercado en una

forma específica. Por ejemplo, si A y B sirvan refrescos durante el viaje, se dice

que A perdería 10 por 100 de la parte del mercado a favor de B, lo que puede

indicar que los refrescos de B son más para los gustos de los clientes,

igualmente, si A anuncio y B, por ejemplo, sirve refrescos, se supone que A

ganaría 20 por 100 del mercado en perjuicio de B; evidentemente, la publicidad

en televisión parece ser más eficaz que servir refrescos.

Ahora, por cada una de las 9 combinaciones puede determinar ganancias o

pérdidas del mercado para A como se indica en la siguiente matriz de pagos.

13

  b1 b2 b3

a1 -10 -11 -1

a2 9 -8 -6

a3 20 -10 -13

Juegos de suma cero para dos personas: estrategias aleatorias, dominación y solución grafica

14

En este tipo de juegos, lo que uno gana es igual a lo que otro pierde, de

manera que si sumamos la ganancia y la pérdida, el resultado es exactamente

cero.

Se analiza como determinar el valor y la estrategia óptimos para un juego de

suma cero para dos personas que no tiene un punto silla. Se inicia con el juego

sencillo de pares y nones.

Ejercicio

Dos jugadores (que se llaman Non y Par) escogen de manera simultánea el

número de dedos (1 o 2) que deben mostrar. Si la suma de los dedos que

muestran los jugadores en non, entonces Non gana 1 dólar a Par. Si la suma

de los dedos es par, entonces Par gana 1 dólar a Non. Consideramos que el

jugador de los renglones es Non y que el jugador de las columnas es Par.

Determine si este juego tiene un punto silla.

Solución:

Este juego de suma cero cuya matriz de recompensas es la que se muestra en

la siguiente tabla. Puesto que Max (mínimo del renglón= =-1 y min (máximo

de las columnas)= +1, no se cumple la ecuación (1), y este juego no tiene

punto silla. Bueno todo lo que sabemos es que Non puede estar seguro de una

recompensa de por lo menos -1, y Par puede mantener a Non es una

recompensa de cuando mucho +1. Por lo tanto no es evidente como determinar

el valor del juego y las estrategias óptimas

Jugador de los

renglones

Jugador de las

columnas

Non 1 dedo 2 dedos

1 dedo -1 +2 -1

2 dedos +1 -1 -1

Máximo se columnas +1 +1

15

Estrategias aleatorias o combinados

Debemos ampliar el conjunto de estrategias admisibles para cada jugador con

el fin de incluir las estrategias aleatorias. Hemos supuesto que hasta ahora que

cada vez que un jugador juega, aplica la misma estrategia. ¿Por qué no dejar

que cada jugador escoja una probabilidad de aplicar cada estrategia? Por

ejemplo:

X1= probabilidad de que Non levante un dedo

X2= probabilidad de Non levante dos dedos

y1= probabilidad de que Par levante un dedo

y2= probabilidad de que Par levante dos dedos

Por lo que se entendió si x1≥0, x2≥0 y x1+x2 = 1, entonces (x1,x2) es una

estrategia combinada o aleatoria a Non. Por ejemplo Non puede seguir la

estrategia (1/2,1/2) si lanza una moneda antes de cada jugada del juego y

levanta un dedo si sale cara o dos dedos si sale cruz; de igual manera para

Par.

Solución grafica de pares y nones Con este es posible determinar la estrategia óptima de Non.

Como x1 + x2 =1, sabemos que x2 = 1 – x1. Por lo tanto, cualquier

estrategia combinada puede ser (x1, 1 - x1) y solo basta determinar el

valor de x. supóngase que Non selecciona una estrategia combinada

[x1, (1 – x1)]. ¿Cuál es la recompensa esperada de Non comparada con

cada una de las estrategias de Par? Si par levanta un dedo, entonces

non recibirá una recompensa de -1 con probabilidad x1 y una

recompensa de +1 con probabilidad de x2 = 1 – x1. Por lo tanto, si Par

levanta un dedo y Non elige la estrategia combinada (x1,1 – x1),

entonces la recompensa esperada de non es:

16

(-1) x1 + (+1) (1 - x1) = 1 – 2x1

Como función de x1 esta recompensa esperada se traza como un

segmento de recta AC en de igual manera, si par muestra dos dedos y

non elige la estrategia combinada (x1, 1 – x1), la recompensa esperada

de non es:

(+1) x1 + (-1) (1 - x1) = 2x1 – 1

Que es el segmento de la recta DE.

E (1,1)

A

B X1

1

D C (1,-1)

AC= recompensa de non x1 si par escoge 1

DE= recompensa de non x1 si par escoge

¿Cómo hacer que una estrategia no optima recompense?

Estrategia de Non Par puede escoger Recompensa esperada

X1< ½ 2 dedos <0 (sobre BD)

X1 > ½ 1 dedo <0 (sobre BC)

Y1< ½ 1 dedo >0 (sobre AB)

Y2> ½ 2 dedos > 0 (sobre BE)

Programación Lineal

Historia

17

A pesar de que la programación lineal se empezó a estudiar desde finales del

S.XIX no fue hasta mediados del presente siglo en que tuvo auge como técnica

matemática aplicable a los problemas de la empresa. El Dr. G. Damtzing

desarrolló el método simplex y con ello hizo posible la solución de grandes

problemas modelados con programación lineal que solo quedaban en la

situación de estudios. Paralelamente a la invención de este método a partir de

mediados del siglo se desarrolló la computación digital y se pudo tener

resultados óptimos a los problemas estudiados que se quedaron como

modelos. La programación lineal es actualmente la técnica matemática utilizada

más actualmente gracias a que el algoritmo simplex es muy eficiente y al

desarrollo de la computación. Lo que se busca con la aplicación de la

programación lineal es resolver problemas comunes y a la vez muy variados de

la empresa en donde en general se tienen necesidades por satisfacer con

cierto número de recursos limitados o escasos y con el objetivo de lograrlo en

forma óptima. Esto significa la búsqueda de un valor máximo cuando se trata

de beneficios; o bien la búsqueda de un mínimo cuando se trata de esfuerzos a

desarrollar. Un modelo de programación lineal es un conjunto de expresiones

matemáticas las cuales deben cumplir la característica de linealidad que puede

cumplirse siempre y cuando las variables utilizadas sean de primer grado.

Además un modelo de P.L debe tener las propiedades de:

Proporcionalidad

Aditividad (adición)

Divisibilidad

Certidumbre (certeza)

La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la

Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos

modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir,

función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de

decisión. Además es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual

se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones

lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

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Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal,

denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha

función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos

mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Se considera que las variables de decisión tienen un comportamiento

lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En

este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más

utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza

se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de

la realidad.

Son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de

problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha

permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros

asociados a su utilización.

Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas

(MD) o Modelos Estocásticos (ME).

Modelo (MD): se considera que los parámetros asociados al modelo son

conocidos con certeza absoluta.

19

Modelo (ME): donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros

tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos

introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo

en Modelos Determistas.

Ejemplo:

Unos grandes almacenes encargan a un fabr icante pantalones

y chaquetas deport ivas. El fabr icante dispone para la

confección de 750 m de te j ido de algodón y 1000 m de te j ido

de pol iéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de

pol iéster. Para cada chaqueta se necesi tan 1.5 m de algodón y

1 m de pol iéster. El precio del pantalón se f i ja en 50.00 y el de

la chaqueta en 40.00

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima?

Paso 1.-Elección de las incógni tas .

x = número de pantalones

20

y = número de chaquetas

Paso 2.-Función objetivo

f (x , y )=50 x+40 y

Paso 3.-Restricciones

Para escr ib ir las restr icciones vamos a ayudarnos de

una tabla:

Pantalones chaquetas disponible

algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x+1.5 y≤7502x+3 y≤1500

2 x+ y ≤1000

Como el número de pantalones y chaquetas son

números naturales, tendremos dos restr icciones más:

X ≥ 0

Y ≥ 0

Paso 4.- Hal lar el conjunto de soluciones fact ib les

Tenemos que representar gráf icamente las

restr icciones.

21

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, t rabajaremos en el pr imer

cuadrante.

Representamos las rectas, a part i r de sus puntos de

corte con los ejes.

Resolvemos gráf icamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500,

para el lo tomamos un punto del p lano, por ejemplo el (0,0).

2 ·0+3·0≤1500

Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en

el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2 ·0+0≤100

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La zona de intersección de las soluciones de las

inecuaciones sería la solución al s istema de inecuaciones,

que const i tuye el conjunto de las soluciones fact ib les.

Paso 5.- Calcular las coordenadas de los vért ices del recinto

de las soluciones fact ib les.

La solución óptima , s i es única, se encuentra en un

vért ice del recinto. Éstos son las soluciones a los s istemas:

2 x+3 y=1500; x=0(0 ,500)

2 x+ y=1000 ; y=0(500 ,0)

2 x+3 y=1500;2 x+ y=1000(375 ,250)

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Paso 6.-Calcular e l valor de la función objetivo

En la función objet ivo sust i tu imos cada uno de los

vért ices.

F(x, y) = 50x + 40y

F (0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000

F (500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000

F (375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750      Máximo

La solución óptima es fabricar

375 pantalones

250 chaquetas

28750 opt imización máxima

24

Bibliografía

Investigación de operaciones

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