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Universidade do Minho2006

Investigação OperacionalJosé António Oliveira – [email protected]

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Investigação OperacionalProgramação Inteira: Partição e Avaliação, Planos de Corte

Universidade do Minho - Escola de EngenhariaDepartamento de Produção e Sistemas

(Licenciatura)

Tecnologias e Sistemas de Informação http://dps.uminho.pt/pessoais/zan



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PI: Introdução• Problema de PI Geral

• Em geral, não faz sentido resolver a relaxação linear e arredondar a solução óptima obtida. A solução arredondada pode nem sequer ser admissível ou pode estar muito afastada da solução óptima.

• Há circunstâncias práticas em que o arredondamento pode fazer sentido, tendo-se a consciência de que se está a obter uma solução que pode não ser óptima (por exemplo, na prática será muito diferente x=1999.5 ou x=2000?).

Ignorando as restrições de integralidade num PI, obtém-se um problema de PL, que se designa por Relaxação Linear (de PI).

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PI: Introdução• Problema de PI Geral

Ignorando as restrições de integralidade num PI, obtém-se um problema de PL, que se designa por Relaxação Linear (de PI).

Conjunto das soluções admissíveis da RL inclui o conjunto das soluções admissíveis do PI o que implica



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PI: Introdução• Problema de PI é muito mais difícil de resolver do que o de PL (perdeu-se a convexidade do conjunto de soluções admissíveis...).

• Para PL são conhecidas condições necessárias e suficientes de optimalidade (admissibilidade primal e dual e verificação do teorema da folga complementar).

• Para PI não são conhecidas condições necessárias nem suficientes de optimalidade: dada uma solução admissível, a única forma de determinar se ela éóptima ou não é demonstrar que não existe nenhuma solução admissível com melhor valor.

• Algoritmos para PI baseiam-se na resolução de múltiplos problemas de PL

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PI: Introdução•Intervalo (gap) de integralidade relativo

• Gap relativo acima de 10%:temos problema difícil!

• Gap relativo acima de 50%:temos problema muito difícil!!!



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Métodos de planos de corte• Um problema de PI é fácil de resolver se a região das soluções admissíveis da relaxação linear tiver todos os pontos extremos inteiros!

• Nesse caso, ao resolver-se um problema de PL está-se a resolver o problema inteiro (é o que acontece na generalidade dos problemas "fáceis": fluxo de custo mínimo, transportes, afectação,...).

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Métodos de planos de corte• Quanto mais a região das soluções admissíveis da relaxação linear se aproximar do invólucro convexo da região das soluções admissíveis do PI melhor

– (é por isso que uma boa formulação pode fazer a diferença entre resolver-se o problema ou não).



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Métodos de planos de corte• Desigualdade válida (corte): restringe a região das soluções admissíveis da relaxação linear, mas não exclui soluções inteiras.

• A inclusão de desigualdades válidas aproxima a região das soluções admissíveis da relaxação linear do invólucro convexo da região das soluções admissíveis do PI (fortalecendo a formulação).

• Exemplo: problema da mochila

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Métodos de planos de corte• Exemplo: problema da mochila



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Métodos de planos de corte • Inicialização

– PL pode ser relaxação linear do PI;– PL pode ser só parte da formulação original

(se o número de restrições for muito elevado).• Separação

– Identificar uma (a) restrição (corte) que estáa ser (mais) violada.

• Cortes– Restrições válidas para qualquer problema de

PI (exemplo: cortes de Gomory);– Restrições específicas do problema que está a

ser resolvido (exemplo: desigualdades de cobertura para o problema da mochila);

– Restrições que foram deixadas de fora da formulação propositadamente devido ao seu elevado número (exemplo: restrições de eliminação de subcircuitos para o problema do caixeiro viajante)

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Métodos de planos de corte • Exemplo de um método de planos de corte:

• Método dos planos de corte de Gomory para PIPs.

• Inicialização: PL é a relaxação linear do problema PIP.

• Separação: é identificada uma desiguladade válida (corte de Gomory) através das linhas do quadro simplex.

• Após um número finito de iterações é sempre obtida uma solução óptima para o PIP.



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Métodos de planos de corte • Quadro óptimo da resolução da relaxação linear.

• As duas restrições são desigualdades válidas: – excluem a solução actual (x1=2.25 e x2=1.5) e não excluem

nenhuma solução inteira.

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• Qual escolher? – A que tem um termo independente com maior parte fraccionária.

(Em caso de empate, escolher arbitrariamente). – No exemplo, a segunda.



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• Como foram obtidas?

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• Linha i está associada a uma variável básica com valor fraccionário. • Define-se para todas as variáveis j :

• Para o termo independente :

• O Corte de Gomory é dado por :



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Métodos de planos de corte • No exemplo, a restrição introduzida é

• Quadro simplex após introdução da nova restrição:

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Métodos de planos de corte • Através de uma iteração do simplex dual

• Solução continua a não ser inteira.• Novo corte de Gomory



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Métodos de planos de corte • Quadro simplex após introdução da nova restrição:

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Métodos de planos de corte • Através de uma iteração do simplex dual

• Solução óptima inteira• O método dos planos de corte de Gomory para PIPsobtém sempre uma solução óptima num número finito de iterações.



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Métodos de planos de corte • Primeiro corte

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• Segundo corte



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• Segundo corte

Z=12.75

Z=12.50

Z=12.00

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• Se a relaxação linear... ... não tem solução óptima finita,

– PI não tem solução óptima finita. ... é impossível,

– PI é impossível. ... tem solução óptima finita e inteira

– é a solução óptima de PI. ... tem solução óptima finita e não é inteira,

– existe uma variável x que tem um valor fraccionário f.

Das duas uma

ou

Método de partição e avaliação



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• No exemplo,• a solução óptima da relaxação linear é x1 =2.25 e x2 =1.5

• Numa solução inteira das duas uma:

ou

Ou então

ou


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Método de partição e avaliação• Criam-se dois novos subproblemas.• No primeiro acrescenta-se às restrições originais a restrição

• No segundo acrescenta-se às restrições originais a restrição

• A solução óptima da relaxação linear (RL) é excluída de ambos os subproblemas, mas nenhuma solução inteira éexcluída reunindo as regiões das soluções admissíveis dos dois subproblemas.



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Método de partição e avaliação• No exemplo, temos mais do que uma variável com valor fraccionário, qual escolher para efectuar a partição?

• Existem várias regras:(1) a que tem menor parte fraccionária,(2) a que tem maior parte fraccionária,(3) a que tem a parte fraccionária mais próxima de 0.5,(4) outras regras (muito mais...) sofistificadas, algumas

dependentes do problema.

• Utilizando a regra (3) seleccionamos para variável de partição a variável x2

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• Árvore de pesquisa do método de partição e avaliação.• Cada nodo corresponde a um subproblema gerado ao adicionar-se

uma restrição de partição ao seu ascendente.




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Método de partição e avaliação• Uma solução óptima inteira (a existir) faz parte da região das soluções admissíveis de SP 1 ou SP2.

• Então basta obter a melhor solução inteira de SP1 e SP2 e compará-las... Qual a melhor solução de SP1? Qual a melhor solução de SP2?

• Repetir o procedimento utilizado em RL para SP 1 e SP2 (notando que a obtenção de uma solução óptima se faz de forma muito eficiente: estamos a resolver um (sub)problema do qual é conhecida uma solução óptima e ao qual foi adicionada apenas uma restrição -reoptimização!)

• Vamos explorar primeiro o SP1.

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Método de partição e avaliação• Passámos a ter três subproblemas em aberto.

• Basta obter a melhor solução inteira de SP2, SP3 e SP4 e compará-las...

• (notar que o número de subproblemas está a aumentar mas estamos cada vez mais perto de ter soluções inteiras!).

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Método de partição e avaliação• Qual resolver primeiro, ou seja qual a estratégia de pesquisa da árvore a utilizar?

(1) primeiro em profundidade (escolher subproblema que está a um nível mais profundo, ou seja, que tem mais restrições de partição): SP3 ou SP4.

(2) primeiro em largura (escolher subproblema que está a um nível menos profundo, ou seja, que tem menos restrições de partição): SP2.

(3) subproblema mais promissor (o que tem um maior limite superior - ver à frente),

(4) outras regras (muito mais...) sofistificadas, algumas dependentes do problema.

• Utilizando a estratégia de pesquisa "primeiro em profundidade" escolhemos SP3 (arbitrariamente em relação a SP4).



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Método de partição e avaliação• zSP3=10, x1=2, x2=1 (valores obtidos através da reoptimização do simplex jáexemplificada). Temos uma solução inteira! Como é a melhor solução inteira obtida até ao momento, designa-se por incumbente.

• SP3 não gera descendentes (por ter uma solução inteira).

• De acordo com a estratégia de pesquisa que estamos a utilizar, o próximo subproblema a ser explorado é o SP4.

• zSP4=9, x1=3, x2=0. Temos outra solução inteira! Como é a pior do que a solução incumbente, ignoramo-la.

• SP4 não gera descendentes (por ter uma solução inteira). Falta explorar SP2.

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Método de partição e avaliação• Ponto da situação: incumbente vale 12 (solução incumbente é x1=2, x2=1) e apenas falta explorar SP6.

• Resolvendo SP6 daria um problema impossível o que permitiria concluir que a solução incumbente é a solução óptima inteira.

• Mas... seria preciso resolver SP6 para chegar a essa conclusão?

• De facto, zSP6<=zSP2 (onde zSP2=12.5) porque a diferença entre SP6 e SP2 é ter mais uma restrição (o valor de uma solução óptima nunca melhora ao adicionarem-se restrições).

• Como os coeficientes das variáveis na função objectivo são todos inteiros, a melhor solução que podemos obter resolvendo SP6 tem valor 12.

• A solução incumbente tem esse valor, logo resolvendo SP6 nunca vamos obter uma solução melhor do que a incumbente. Podemos abandonar SP6 sem o resolver!

• Podemos generalizar este tipo de raciocínio para todos os nodos!



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Método de partição e avaliação• Estratégia de pesquisa: primeiro em profundidade.

• Selecção da variável de partição: parte fraccionária mais próxima de 0.5 .

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Método de partição e avaliação• Ponto da situação: incumbente dada por SP5 com valor zINC=40.

• O valor da solução óptima inteira, z*, é sempre maior ou igual ao da incumbente: z*=>zINC.

• O valor que se pode obter em cada SP, zSP, é sempre igual ou inferior ao da solução do SP ascendente, zSPa



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Método de partição e avaliaçãoPara qualquer subproblema

SP tem de ser explorado SP pode ser abandonado

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Método de partição e avaliaçãoO resultado da resolução de um subproblema pode ser:

(i) impossível, o que implica o abandono do subproblema;(ii) solução tem um valor pior do que a incumbente, o que

implica que o subproblema é abandonado (avaliação dos limites);

(iii) solução é inteira e tem melhor valor do que a incumbente, o que implica a actualização da incumbente (não são gerados descendentes);

(iv) solução é fraccionária e tem melhor valor do que a incumbente, o que implica efectuar a partição, sendo gerados dois novos subproblemas.

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Métodos para PI• Planos de Corte

– Finais dos anos 50, início dos anos 60.– Adicionar restrições para aproximar RL do invólucro convexo

do PI.– Tópico de investigação muito actual (utilização de Teoria dos

Poliedros para definir invólucro convexo das soluções admissíveis do problema).

• R. E. Gomory, "Outline of an algorithm for Integer solutions to linear programs", Bulletin of the American Mathematical Society64, 1958.

• R. E. Gomory, "An Algorithm for Integer Solutions to Linear Programs", in "Recent Advances in Mathematical Programming”, edited by R. L. Graves and P. Wolfe, 1963, McGraw-Hill.

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Métodos para PI• Partição e Avaliação ("branch-and-bound")

– Início anos 60.– Enumeração implícita através do cálculo de limites inferiores

e superiores. Utilizado em todos os packages de software para Programação Inteira.

• A.H. Land, A.G. Doig, "An Automatic Method for SolvingDiscrete Programming Problems", Econometrica 28:3, 1960.

• As ideias centrais de ambos os métodos continuam a estar presentes nos métodos mais recentes para resolver PIs. A evolução (em termos de implementações eficientes em computador e em termos teóricos) foi (está a ser...) enorme!

• Os algoritmos apresentados são versões básicas.



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Métodos para PI• Partição com Cortes ("branch-and-cut")

– Meados dos anos 80. Combinação de Partição e Avaliação com Planos de Corte.

– De forma muito geral, são adicionados cortes aos subproblemas da árvore de pesquisa do método de partição e avaliação.

– Utilizado em todos os packages avançados de software para Programação Inteira.

– Tópico de investigação muito actual.• K. Hoffman, M. Padberg, "LP-based Combinatorial Problem

Solving", Annals of Operations Research 4, 1985.• M. Padberg and G. Rinaldi, "A Branch-and-Cut Algorithm for the

Resolution ofLarge-Scale Traveling SalesmanProblems", SIAMReview 33, 1991.

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Métodos para PI• Partição e Geração de Colunas ("branch-and-price")

– Meados dos anos 80.– Combinação de Partição e Avaliação com Método de Geração

de Colunas para PL (variáveis são geradas à medida que são precisas).

– Tópico de investigação muito actual.• J. Desrosiers, F. Soumis, M. Desrochers, Routing with time

windows by column generation, Networks, 14 (1984) 545-565.

• Partição e Geração de Colunas com Cortes ("branch-and-cut-and-price")

– Meados dos anos 90 (raízes anteriores).– Combinação entre Partição e Avaliação, Planos de Corte e

Geração de Colunas.– Tópico de investigação muito actual.



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Métodos para PI• Métodos heurísticos

– Heurísticas gulosas – Heurísticas de Pesquisa Local– Meta heurísticas (Pesquisa Tabu, Pesquisa por Arrefecimento

Simulado "Simulated Annealing", Algoritmos Genéticos, Colónias de Formigas, GRASP, Pesquisa em Vizinhanças Variáveis, etc,...).

• Área de investigação muito activa desde finais dos anos 80, início dos anos 90. Raízes são muito anteriores. Continua um tópico de investigação muito actual.

• Conceitos básicos muito gerais (e simples!). Muito fáceis de implementar.

• Têm de ser adaptadas para cada problema (o que pode ser feito de muitas formas...). O que tem vantagens e desvantagens...

• Utilizáveis noutros problemas (nomeadamente não lineares). – Heurísticas especializadas

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Métodos para PI• Métodos heurísticos

– Há problemas em que não se justifica o seu uso! As meta heurísticas não dão soluções óptimas (são heurísticas!) e, em problemas fáceis, para os quais existem métodos exactos muito eficientes, o custo de obter soluções óptimas ébaixíssimo. Mesmo para problemas difíceis, a existência de software com implementações muito eficientes de métodos exactos implica sempre a ponderação do seu uso.

– A incorporação de heurísticas nos métodos exactos é cada vez mais utilizada (por exemplo para obter limites inferiores no método de partição e avaliação).



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Métodos para PI• Outros métodos

– Programação em Lógica por Restrições.• Muito bom para obter soluções admissíveis em problemas com

muitas restrições lógicas / altamente combinatórios (escalonamento, por exemplo), não tão bom para obter soluções óptimas. Combinação com Partição e Avaliação é recente (finais dos anos 90) e em alguns problemas tem dado muito bons resultados.

– Algoritmos de redução de base.• Método exacto que se baseia na Teoria dos Números. Poucas

implementações.

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Métodos para PI• Outros métodos

– Relaxação Lagrangeana.• Anos 70. Reformulação que, em certas circunstâncias, dá

formulações mais fortes que a relaxação linear.• A ideia fundamental é eliminar restrições e incorporá-las na

função objectivo com penalização por serem violadas.• Pode ser usada num contexto heurístico ou incorporada no

método de Partição e Avaliação como uma forma de obter limites superiores para PIs (em alternativa a resolver a relaxação linear).

• Fortes relações com optimização não linear (não diferenciável).• Fortes relações com métodos de decomposição.

– Método do subgradiente• Muito fácil de programar, muito utilizado nos anos oitenta e

noventa.



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Métodos para PI• Outros métodos com investigação actual:

– Planos de corte de Kelley / geração de colunas, "bundle", volumétrico, planos de corte baseados no centro analítico.

• M. Hel d, R.M. Karp, The traveling-salesman problem andminimum spanning trees, Operations Research, 18 (1970) 1138-1167.

• M. Hel d, R.M. Karp, The trave ling-salesman problemand minimum spanningtrees: PartII, MathematicalProgramming, 1 (1971) 6-25.

• A.M. Geoffrion, Lagrangean relaxation for integerprogramming, Mathematical Programming Study, 2 (1974) 82-114.

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Conclusões• Problema de PI é muito mais difícil de resolver do que o de PL. Formulação do problema é essencial.

• Métodos/implementações mais eficientes actualmente usam técnicas sofisticadas que envolvem préprocessamento e conjugação dos métodos de planos de corte e partição e avaliação.

• Software para problemas gerais tem tido um evolução notável. Por exemplo o software comercial cplex utiliza pré processamento (em todos os nodos), diferentes tipos de planos de corte ("clique", "cover", disjuntivos, "flow cover", "flow path ”, Gomory, "GUB cover", "implied bound", "MIR rounding") e heurísticas.



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Conclusões• Investigação em problemas específicos (motivados pela sua importância e relação com outros problemas) continua muito activa.

• Métodos heurísticos são sempre uma alternativa para problemas intratáveis por métodos exactos.

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Lista de perguntas• É possível um problema de PI ter soluções admissíveis e a sua relaxação linear não. Verdadeiro ou Falso?

• Em que circunstâncias é que uma solução óptima de um PI obtida por um método de planos de corte pode ser diferente de uma solução óptima obtida por um método de partição e avaliação?

• Represente graficamente um problema de PI cuja solução obtida por arredondamento da solução óptima da relaxação linear não seja admissível.

• Represente graficamente um problema de PI cuja solução obtida por arredondamento da solução óptima da relaxação linear seja admissível mas esteja afastada da solução óptima.



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Lista de perguntas• Uma das seguintes afirmações é falsa.

• a) Há problemas de Programação Inteira que são tão fáceis de resolver como as suas relaxações lineares.

• b) Num problema de maximização, o valor da solução óptima da relaxação linear é sempre menor ou igual que o do problema inteiro.

• c) Uma medida da dificuldade de resolução de um problema de programação inteira é o intervalo (gap) de integralidade.

• d) O conjunto das soluções admissíveis da relaxação linear de um problema de Programação Inteira inclui todas as soluções admissíveis do problema inteiro.

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Bibliografia e Links

investigação operacionalpessoais.dps.uminho.pt/zan/io_tsi/aula9.pdf · métodos de planos de...

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