investition und finanzierung

Investition und Finanzierung

Prof. Dr. Thomas Braun

Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Finanzwirtschaft

Sommersemester 2010

Prof. Dr. Thomas Braun 1/110

Literatur

Braun, T. (2009), Investition und Finanzierung, Berlin.

Kistner, K.-P. (2003), Optimierungsmethoden: Einführung in dieUnternehmensforschung für Wirtschaftswissenschaftler, Heidelberg,3. Auflage.

Rasmusen, E. (2001), Games and Information, 3rd Ed., Blackwell,Oxford.

Tirole, J. (1988), The theory of industrial organization, Cambridge.


Inhalte der Veranstaltung

1. Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen1.1 Dominanz und Effizienz1.2 Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen1.3 Zinssätze als Kapitalkostensätze

2. Investitionsrechnung2.1 Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium2.2 Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren2.3 interner Zinsfuß2.4 Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines

Hypothekendarlehens2.5 optimaler Investitionszeitpunkt2.6 Sensitivitätsanalyse

Macauley Durationmodifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

3. Grundlagen der RentenversicherungProf. Dr. Thomas Braun 3/110

Inhalte der Veranstaltung

3.1 Barwerte von Zeitrenten in versicherungsmathematischerNotation

3.2 Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfevon Periodensterbetafeln

3.3 Grundlagen der Prämienkalkulation3.4 Kommutationen als Rechenhilfe3.5 prospektives Deckungskapital

4. Investitionsrechnung in stetiger Zeit

5. Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen5.1 Spezifität von Investitionen5.2 strategische Positionierung6. Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten alsKnappheitspreise)6.1 Das Modell von Dean6.2 Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des

Simplex-AlgorithmusProf. Dr. Thomas Braun 4/110

Grundlagen der Bewertung sicherer Zahlungen

Dominanz und Effizienz

Notation :

(z ji )

N j

i=n : durch die Verwirklichung von Projekt j = 1, . . . ,J

ausgelöste Folge von Zahlungen z jn, . . . ,z

jN j

N := max(N1, . . . ,NJ )

zN j

n := (z ji )

N j

i=n

zentrale Annahmen :

◮ Jedes Investitionsprojekt j lässt sich durch eine Folge vonsicheren Zahlungen zj

n vollständig abbilden◮ jedem Zählindex i ∈ N := {1, . . . ,N} ist genau ein Zeitpunkt ti

zugeordnet




Definition : DominanzProjekt a dominiert Projekt b genau dann, wenn

zai ≥ zb

i für alle i ∈ N (1)

und

zai > zb

i für wenigstens ein i ∈ N . (2)




Aufgabe : DominanzGibt es Dominanzbeziehungen zwischen den Projekten a, . . . ,d?Wenn ja, welche?

Projekt a b c dZeitpunkt

t0 -100 -110 -100 -99t1 10 12 11 0t2 110 0 110 110

Lösung : c dominiert a

Problem : mangelnde Vergleichbarkeit von Zahlungen, die inverschiedenen Zeitpunkten erfolgen ⇒ trotz ingesamt wesentlichhöherer Nettozahlungen keine Dominanz von c gegenüber b



Kapitalkosten als Ausdruck subjektiver Zeitpräferenzen

Annahme :Der Wert einer Folge von Zahlungen z0 = (zi)

Ni=0 lässt sich mit

einer linearen Bewertungsfunktion

V0 (z0) =N

∑i=0

αi · zi (3)

mit

α0 = 1

bewerten.




Annahme :Der Entscheider ist in der Lage, für alle Zeitpunkte ti(i = 0, . . . ,N −1) durch Angabe von Ausgleichszahlungen ∆i+1

Indifferenzbeziehungen der folgenden Art zu spezifizieren:

z0, . . . ,zi −1,zi+1 +∆i+1, . . . ,zN ∼ (zi)Ni=0 (4)

Schlussfolgerung :Es können Tauschrelationen angegeben werden:

αi+1

αi=

1

∆i+1(i = 0, . . . ,N −1)




Definition : KapitalkostensatzDer Preis

ki,i+1 := ∆i+1 −1

für die Überlassung einer Geldeinheit über den Zeitraum von tibis ti+1 heißt Kapitalkostensatz der Periode [ti , ti+1).




Schlussfolgerung :Der Wert von zn (n = 1, . . . ,N) im Zeitpunkt tm (m = 0, . . . ,n−1)kann in Verbindung mit der Definition von kapitalkostenbasiertenBewertungsfaktoren

qm,n :=n−1

∏i=m

1

1+ ki,i+1=

n−1

∏i=m

1

∆i+1=

n−1

∏i=m

αi+1

αi=

αn

αm

wie folgt bestimmt werden

Vm (zn) =N

∑i=n

qm,i · zi




Für m = 0, . . . ,n−1, n = 1, . . . ,N −2 und o = n + 1, . . . ,N −1und p = o + 1, . . . ,N gilt

qm,p =αp

αm=

αo

αm·

αp

αo= qm,o ·qo,p

und mithin

Vm (zn) =o

∑i=n

qm,i · zi + qm,o

N

∑i=o+1

qo,i · zi =o

∑i=n

qm,i · zi + qm,o ·Vo (zo+1)




Für n = 0, . . . ,N −1 erhält man unter Berücksichtigung vonVN (zN+1) = VN (0) = 0

Vn (zn+1) = qn,n+1 · zn+1 + qn,n+1 ·Vn+1 (zn+2)

In Verbindung mit

q−1n,n+1 −1 = ∆n+1 −1 = kn,n+1 ,

folgt hieraus die




Fundamentalgleichung I

zn+1 + Vn+1 (zn+2)−Vn (zn+1) = kn,n+1 ·Vn (zn+1) (5)

⇒ Die Wahlentscheidung fällt auf der Grundlage einer Bewertung,die garantiert, dass der Wert des (noch nicht realisierbaren!)Gesamtvermögens in jeder zukünftigen Teilperiode um dieKapitalkosten anwächst!

Begründung: Die Kapitalkosten sind die aus der Sicht desEntscheiders notwendige Kompensation für das Aufschieben vonKonsum!Im Allgemeinen hängt die Investitionsentscheidung demnach vonKonsumpräferenzen ab!



Zinssätze als Kapitalkostensätze

Frage : Kann man Investitionsgelegenheiten auch unabhängigvon Konsumpräferenzen bewerten?

Antwort : Wer Kapitalkostensätze in Höhe tatsächlich geltenderZinssätze für alle Teilperioden ansetzt, kann Konsumpräferenzenignorieren, weil eine den Präferenzen entsprechendeVerschiebung von Zahlungen auf der Zeitachse in diesem Fallnichts an der Bewertung ändert.

Hinweis (Zinssatz): Ein Zinssatz ist der Preis für die Überlassungeiner Geldeinheit für einen bestimmten Zeitraum bezogen auf einNormlänge von einem Jahr (daher der Zusatz p.a. (pro annum)).




Annnahme (Existenz eines vollkommenen und vollständigenKapitalmarktes):

⇒ Auf vollkommenen und vollständigen Kapitalmärkten lassen sichdie Preise für die Verlagerung von Geldeinheiten über beliebigeTeilzeiträume [n,n + 1) zum Zeitpunkt der Bewertung t0 ausbeobachtbaren Preisen ableiten. Sie werden als impliziteTerminzinssätze f0,n,n+1 bezeichnet.

⇒ Die Identifikation von Kapitalkostensätzen mit implizitenTerminzinssätzen gewährleistet in diesem Fall eine Bewertungzukünftiger Zahlungen zu dem Preis, den man in t0 am Markt fürdiese erzielen kann oder bezahlen muss. Dieser Preis wird alsMarktwert bezeichnet und symbolisch durch Π0 dargestellt.




In diesem Fall erhält man statt (5) die

Fundamentalgleichung II

zn+1 +Πn+1 (zn+2)−Πn (zn+1) = fn,n+1 ·Πn (zn+1) (6)

und es ergeben sich Implikationen für den möglichen Konsum:

Beispiel (Kapitalerhaltung):

Πn+1 (zn+2) = Πn (zn+1) für alle n = 0, . . . ,N −1

⇔ zn+1 = f0,n,n+1 ·Πn (zn+1) für alle n = 0, . . . ,N −1

Das Vermögen bleibt demnach genau dann erhalten, wenn amEnde jeder Periode die am Markt realisierbaren Zinsen auf daszu Beginn der jeweiligen Periode vorhandene Kapital konsumiertwerden!




◮ Finanzpläne dienen der Ermittlung der mit einerInvestitionsgelegenheit verbundenen Konsummöglichkeiten.Finanzpläne sind insbesondere dann nützlich, wennMarktunvollkommenheiten (z.B. gespaltene Zinssätze, Steuern)zu berücksichtigen sind.


Investitionsrechnung

Vom Kapitalkostenkonzept zum Kapitalwertkriterium

Notation :

I : Anschaffungsauszahlung für eine Investitionim Betrachtungszeitpunkt (grundsätzlich t0)

Definition : Present Value (Barwert, Gegenwartswert)

PV : = V0 (zn) (7)

wird als Present Value der zukünftigen Zahlungen zn bezeichnet

Definition : Net Present Value (Kapitalwert)

NPV := PV − I




Bei einer Bewertung zukünftiger Cash Flows durch

Vn (zn+1) =N

∑i=n+1

qn,i · zi

ist ist qua definitionem von qn,i gewährleistet, dass einInvestitionprojekt über alle Perioden ab t1 die Kapitalkosten aufden Wert der jeweils noch im Projekt gebundenen Cash Flowserwirtschaftet

⇒ notwendig und hinreichend dafür, dass eine Investition übersämtliche Perioden wenigstens die Kapitalkosten erwirtschaftet,ist demnach:

z1 + V1(z2)− I ≥ k0,1 · I (8)




(8) ist unter Berücksichtigung von k0,1 = q−10,1 −1 äquivalent zum

Kapitalwertkriterium

q0,1 · (z1 + V1(z2)) ≥ I

⇔ PV ≥ I

⇔ NPV ≥ 0 (9)



Vereinfachende Bewertung mit Multiplikatoren

Allgemein gilt für den Present Value einer Zahlungscharakteristikzn und n < o < N

PV =o

∑i=n

q0,i · zi + q0,o ·Vo (zo+1)

Notation :

m : valuation multiple, cash multiple (Multiplikator)

Vorgehensweise :

Vo (zo+1) ≡ m · zo




Unter vereinfachenden Annahmen an die Struktur

• der Zahlungscharakteristik (zi)Ni=o+1

• und/oder der Bewertungsfaktoren (qo,i )Ni=o+1

lassen sich Multiples und Bemessungsgrundlagen exaktberechnen:

Annahmen (konstante Kapitalkostensätze, konstanteCash-Flow-Änderungsraten g):

qo,i = qi−o

zi = zo · (1+ g)i−o

}

für i = o + 1, . . . ,N; g > −1




Bewertungsformeln : In Verbindung mit

k :=k −g

1+ gund q := q(k) =

1

1+ k=

1+ g

1+ k

gilt

Vo (zo+1) =N

∑i=o+1

qi−o · zo = zo ·m




mit

m =

{N −o falls g = k

1k· (1− qN−o) falls g 6= k

und (Gordonsche Wachstumsformel )

limN→∞

m =1

k(0 < k ⇔ g < k)

Fazit :Konstante Cash-Flow-Änderungsraten können durchModifikationen des Kapitalkostensatzes berücksichtigt werden.




Herleitung : Allgemein gilt für eine geometrische Reihexn,xn+1, . . . ,xN mit x 6= 1:

N

∑i=n

x i =xN+1 − xn

x −1

und mithin

N

∑i=o+1

qi−o = q−o ·qN+1 − qo+1

q−1= −

q

q−1· (1− qN−o)

=1

q−1 −1· (1− qN−o)

=1

k· (1− qN−o)




Annahmen (konstante Kapitalkostensätze, Konvergenz der CashFlows zu einem Normalniveau z mit Geschwindigkeit v):

qo,i = qi−o

zi = z + q(v)i−o · (zo − z)

}

für i = o + 1, . . . ,N; v ≥ 0

Definitionen :

m(x ,y) :=1

x· (1−q(x)y )

α : =m(k +(1+ k) · v ,N −o)

m(k ,N −o)




Hinweis

m(x ,y) =1

x−q(x)y ·

1

x= V0(z

∞1 )−q(x)y ·Vy(z

∞y+1)

Bewertungsformel :

Vo = m · (α · zo +(1−α) · z)

Fazit : Konvergenz der Cash Flows zu einem Normalniveau kanndurch eine Modifikation der Bemessungsgrundlage für denMultiplikator berücksichtigt werden.



interner Zinsfuß

Definition (interner Zinsfuß):Ein interner Zinsfuß einer Zahlungsreihe ist ein Zinssatz y (yield),für den der Kapitalwert dieser Zahlungsreihe den Wert Nullannimmt. Interne Zinsfüße werden als Kennziffer zurBeschreibung von Zahlungsreihen verwendet.

Beispiel (Effektivrendite einer Kuponanleihe):Gesucht ist die Effektivrendite einer Kuponanleihe mitNominalwert 1, einer Restlaufzeit von N Jahren und jährlichemKupon c. Die Anleihe hat in t0 einen Preis PN,c

0 und zahlt amEnde der darauf folgenden N Jahre einen Kupon in Höhe von cund bei Fälligkeit zusätzlich den Nominalwert 1. DieEffektivrendite y (yield to maturity) entspricht dem internenZinsfuß der durch ein Buy-and-Hold Geschäft in der Anleihe



interner Zinsfuß

ausgelösten Zahlungsreihe und wird definitionsgemäß implizitdurch

−PN,c0 + c ·

(1

y−q(y)N ·

1

y

)

+ q(y)N ·1!= 0 (10)

bestimmt.

Spezialfall (Pari-Notiz):Für PN,c

0 = 1 (Preis = Nominalwert) wird (10) von y = c erfüllt.



Praxisbeispiel: Bestimmung von Laufzeit und Restschuld eines Hypothekendarlehens

Notation :

f0 : Nominalbetrag (Auszahlungsbetrag)z : monatliche RatefN : Restschuldr : Nominalzinssatzαi : Bruchteil der i-ten Monatsrate, der für die Tilgung verbleibtθ : anfänglicher jährlicher TilgungssatzN : Anzahl voller Monatsraten

Zahlungscharakteristik (aus Gläubigersicht)




−f0z...z

z + fN

mit z =r + θ

12· f0

◮ Bestimmung von Laufzeit und Restschuld: Sei αj der Bruchteilder j-ten Monatsrate, der für die Tilgung verbleibt, dann gilt

αj · z =

{z − f0 ·

r12 für j = 1

z −(

f −∑j−1i=1 αj · z

)

· r12 für j = 2, . . . ,N




Unter Berücksichtigung von

αj = 1−

(

f0z−

j−1

∑i=1

αj

)

·r

12

= 1−

(

f0z−

j−2

∑i=1

αj

)

·r

12︸︷︷︸

αj−1

+ αj−1 ·r

12

erhält man

αj =

θr+θ für j = 1

(1+ r

12

)·αj−1 für j = 2, . . . ,N




Es verbleibt also eine Restschuld in Höhe von

fN = f0 − zN−1

∑i=1

αi

= f0 − zα1

N−1

∑i=0

q(

r12

)−i

= f0 −(

r+θ12 · f0

)·(

θr+θ

)

·q(

r12

)−N−1

q(

r12

)−1−1

= f0 ·(

1− θr

(

q(

r12

)−N−1))

Der interne Zinsfuß pro Monat ym wird implizit durch

z ·m(ym,N)+ fN ·q(ym)N != f0




bzw.

(r+θ12

)· 1

ym

(

1−q(ym)N)

+(

1− θr

(

q(

r12

)−N−1))

·q(ym)N != 1

⇔ ym = r12

bestimmt.Für den Effektivzinssatz p.a. y gilt

1+ y = (1+ ym)12 ,

und somit für das Hypothekendarlehen

y =(1+ r

12

)12−1 > r

12

Als maximale Anzahl voller Monatsraten (Anm.: ⌊x⌋ bezeichnetdie größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist)




Nmax := ⌊x⌋ : zx

∑i=1

αi = f0

errechnet sich

Nmax = ⌊ln(1+ r

θ )ln(1+ r

12)⌋




Beispiel

f0 : 10.000r : 4,4%θ : 100%

z = 0,044+112 ·10.000 = 870

Nmax = ⌊ln(1+ 0,044

1 )ln(1+ 0,044

12 )⌋ = ⌊11,765⌋ = 11

f11 =

(

1− 10,044

((

1+ 0,04412

)11−1

))

·10.000 ≈ 663,42



optimaler Investitionszeitpunkt

AnnnahmeDie Verwirklichung einer Investitionsgelegenheit kann verschobenwerden. Die Zahlungskonsequenzen der Verschiebung sind mitSicherheit bekannt.

Notation :

(z ij )

N i

j=i+1 : durch die Verwirklichung der Gelegenheit in ti = iausgelöste Folge von Zahlungen z i

i+1, . . . ,ziN i

zi+1 := (z ij )

N i

j=i+1




Bedingung für den Aufschub der Projektrealisierung vomZeitpunkt i auf den Zeitpunkt i + 1

q(ki,i+1) ·(Vi+1(z

N+1i+2 )− Ii+1

)> Vi(z

Ni+1)− Ii

bzw.

Vi+1(zN+1i+2 )−Vi(z

Ni+1)− (Ii+1 − Ii) > ki,i+1 · (Vi(z

Ni+1)− Ii)

(11)

Spezialfälle : konstante Investitionsauszahlung Ii+1 = Ii = I undewige Rente




Fall OZ1: konstante Investitionsauszahlung und ewige RenteBedingung (11) konkretisiert sich zu:

0 > ki,i+1 · (Vi(z∞i+1)− I)

⇒ Eine solche Gelegenheit wird entweder sofort oder niemalsrealisiert!

Fall OZ2: konstante Investitionsauszahlung Ii+1 = Ii = I und ewig mit derRate g wachsende ZahlungenUnter Berücksichtigung von

Vi+1(z∞i+2)−Vi(z

∞i+1) = g ·Vi(z

∞i+1)

konkretisiert sich Bedingung (11) zu:

g ·Vi(z∞i+1) > ki,i+1 · (Vi(z

∞i+1)− I)




bzw.

Vi(z∞i+1) <

ki,i+1

g− ki,i+1· I

Nimmt man nun noch ki,i+1 = k > g für alle i an, dann existierteine Schwelle (Barrier)

B :=

kg

kg −1

· I > I ,

die der Present Value wenigstens erreichen muss, bevor dieInvestitionsgelegenheit ergriffen werden sollte. Im Fall g > kbesteht keine Veranlassung zu warten, weil der Wert in jedemmöglichen Investitionszeitpunkt unendlich groß ist.




Fall OZ3: konstanter Kapitalkostensatz; endliche Anzahl N von Zahlungen,die mit konstanter Rate g = k wachsen und

z i+1j − z i

j =

{0 für j = i + 2, . . . , i + N

z i+1i+1+N = (1+ g)N · z i

i+1 für j = i + 1+ N

Bedingung (11) konkretisiert sich zu:

N · zi+1 −N · zi > k · (N · zi − I)

bzw.

g · zi > k · (zi −I

N) ⇔ zi <

kg

kg −1

I

N

In diesem Fall sollte man demnach trotz positivem NPV solangewie möglich mit der Investition warten, falls g ≥ k .



Sensitivitätsanalyse

Macauley Duration

Definition (Macauley Duration):Die Macauley Duration entspricht der gewichteten mittleren(Rest-)Laufzeit einer Zahlungscharakteristik

d : =N

∑i=1

wi · i

mit

wi : =q(y)i · zi

∑Ni=1 q(y)i · zi




Macauley Duration

Beispiel : Duration einer nachschüssige Rente mit insgesamtN = 10 Zahlungen bei einem Kapitalkostensatz in Höhe von 5%

d = 0,1233 ·1

+0,1175 ·2

+0,1119 ·3

+0,1065 ·4

+0,1015 ·5

+0,0966 ·6

+0,0920 ·7

+0,0877 ·8

+0,0835 ·9

+0,0795 ·10

≈ 5,1 <10+1

2




Macauley Duration

Eigenschaften der Macauley Duration:

◮ Die Duration eines Zerobonds entspricht seiner Restlaufzeit, danur eine Zahlung im Zeitpunkt der Fälligkeit erfolgt.

◮ Die Duration einer kupontragenden Anleihe ist stets kleiner alsderen Restlaufzeit, solange der vorletzte Kupon noch nichteingelöst wurde.

◮ Die Duration einer kupontragenden Anleihe nimmt ceteris paribusmit steigendem Kuponzinssatz ab, da sich das Gewicht der relativfrühen Zahlungen erhöht.

◮ Die Duration einer kupontragenden Anleihe nimmt ceteris paribusmit steigender Effektivrendite ab, da die zukünftigen Zahlungendurch die stärkere Abdiskontierung im Zeitpunkt der Berechnungrelativ an Bedeutung verlieren.




modifizierte Duration und Convexity als Sensitivitätskennziffern

Definition (modifizierte Duration):

dm := q(y) ·d = −1

V0(y)

dV0(y)

dy

Definition (Konvexität):

c : =1

V0(y)

d2V0(y)

dy2= q(y)2 ·

(

d +N

∑i=1

wi · i2

)





Wert einer Zahlungscharakteristik (zi)Ni=1 im Zeitpunkt t bei

einem konstanten Kapitalkostensatz k

Vt(k) =N

∑i=1

q(k)(ti−t) · zi

Satz von Taylor

f (x + h) =n

∑i=0

f (i)(x)

i!hi + o(|h|n)





Taylor-Approximation zweiter Ordnung

V0(k +∆k)≈ V0(k)+dV0(k)

dk∆k +

1

2

d2V0(k)

dk2(∆k)2

approximative relative Wertänderung

∆V0(k +∆k)

V0(k)≈

1

V0(k)

dV0(k)

dk︸︷︷︸

−dm

·∆k +1

2

1

V0(k)

d2V0(k)

dk2︸︷︷︸

c

· (∆k)2

(12)

⇒ Investitionsentscheidungen lassen sich umso besser durch dieWahl des Kapitalkostensatzes beeinflussen, je länger diedurchschnittliche Rückflussdauer





⇒ der Wert erhöht sich im Falle einer um den Betrag |∆k |sinkenden Effektivrendite stärker als er im Falle einer um dengleichen Betrag steigenden Effektivrendite fällt!

Beispiel

◮ Annahmen:

◮ Betrachtet werden zwei Investitionsgelegenheiten, die in derZukunft folgende Zahlungen generieren

i 1 2 3

z1i 0 33 0

z2i 10 11 12,1

◮ konstanter Kapitalkostensatz im Bewertungszeitpunkt t0 = 0

◮ exakte Berechnung Auswirkungen einer Absenkung desKapitalkostensatzes um 2%





◮ Wert der Investitionsgelegenheit bei einem Kapitalkostensatz vonk = 10%

V10(10%) =

33

1,12≈ 27,27

V20(10%) =

10

1,1+

11

1,12+

12,1

1,13=

33

1,12≈ 27,27

◮ Wert der Investitionsgelegenheit bei einem Kapitalkostensatz vonk = 8%

V10(8%) =

33

1,082≈ 28,29

V20(8%) =

10

1,08+

11

1,082+

12,1

1,083≈ 28,30





◮ approximative Berechnung der Auswirkungen einer Absenkungdes Kapitalkostensatzes um 2% mit Hilfe von Formel (12)

◮ Berechnung der modifizierten Durationen

d1m =

1

1,1·2 =

2

1,1

d2m =

1

1,1

(

1 ·1

3+ 2 ·

1

3+ 3 ·

1

3

)

=2

1,1

◮ Berechnung der Konvexitäten

c1 =1

1,12· (2 + 22) =

6

1,12

c2 =1

1,12·

(

2 +1 + 4 + 9

3

)

=1

1,12

20

3





◮ Einsetzen in (12)

V10(8%) ≈ 27,27

(

1−2

1,1· (−0,02)+

6

1,12

0,0004

2

)

= 27,27 ·3138

3025≈ 28,28

V20(8%) ≈ 27,27

(

1−2

1,1· (−0,02)+

1

1,12

20

3

0,0004

2

)

= 27,27 ·1883

1815≈ 28,29


Grundlagen der Rentenversicherung

Barwerte von Zeitrenten in versicherungsmathematischer Notation

vereinfachende Annahmen :

◮ konstanter Kapitalkostensatz k ⇒ q = q(k) := 11+k

◮ äquidistante Zahlungszeitpunkte◮ Normierung auf eine Geldeinheit (GE)

Barwert einer nachschüssigen Rente (bestehend aus nZahlungen)

na :=n

∑i=1

qi = m(k ,n)

Barwert einer vorschüssigen Rente

na := na ·q−1



Barwerte von Zeitrenten in versicherungsmathematischer Notation

Endwert einer nachschüssigen Rente

ns := na ·q−n

Endwert einer vorschüssigen Rente

ns := na ·q−n =n a ·q−(n+1)



Berechnung von Barwerten zu erwartender Leibrenten mit Hilfe von Periodensterbetafeln

Definition: Leib - vs. ZeitrenteEine Leibrente wird im Gegensatz zur Zeitrente nur unter derBedingung gezahlt, dass die anspruchsberechtigte Person dieZahlungszeitpunkte erlebt.

Annahmen (über die Lebensdauer)

◮ kein Mensch wird älter als X Jahre◮ Die Lebenserwartung ist stationär, sie hängt ausschließlich vom

bereits erreichten Alter x ab (weder Geburtsjahr nochirgendwelche Ereignisse (z.B. Krankheiten) beeinflussen die voneinem x-jährigen Versicherungsnehmer (VN) noch zudurchlebenden Jahre Tx )

⇒ P (Tx ≤ i + 1|Tx > i) = P (Tx+i ≤ 1) ≡ 1qx+i




In Verbindung mit (Satz von Bayes)

P (i < Tx ≤ i + 1) = P (Tx ≤ i + 1|Tx > i) ·P (Tx > i)

und der Kurzschreibweise

P (Tx > i) ≡ ipx

impliziert die Stationarität

P (i < Tx ≤ i + 1) = ipx · 1qx+i




◮ konstante Anzahl von Geburten + stationäre Verteilung derLebensdauer

⇒ Überlebens- und Sterbewahrscheinlichkeiten jüngerer Menschenlassen sich mittels Volkszählung unmittelbar aus der Altersstrukturdes Gesamtbestands ableiten:Sei lx die Anzahl der Lebenden im Alter x und dx die Anzahlderjenigen, die im Alter x versterben, dann gilt

1qx+i =dx+i

lx+i=

lx+i − lx+i+1

lx+i

ipx =lx+i

lx




Von denÜberlebenden

im Alter xvollendetes Sterbe- Überlebens- Überlebende Gestorbene bis zum insgesamt Durchschnittliche

Alter wahrscheinlichkeit im Alter x im Alter x Alter x +1 noch zu Lebenserwartungvom Alter x bis x +1 bis unter x +1 durchlebte durchlebende im Alter x

Jahre in Jahrenx qx px lx dx Lx ex lx ex

0 0,00451084 0,99548916 100 000 451 99 621 7 621 066 76,211 0,00038944 0,99961056 99 549 39 99 530 7 521 445 75,562 0,00020135 0,99979865 99 510 20 99 500 7 421 916 74,583 0,00018239 0,99981761 99 490 18 99 481 7 322 415 73,604 0,00014866 0,99985134 99 472 15 99 465 7 222 934 72,615 0,00012825 0,99987175 99 457 13 99 451 7 123 470 71,626 0,00011832 0,99988168 99 444 12 99 439 7 024 019 70,637 0,00011816 0,99988184 99 433 12 99 427 6 924 581 69,648 0,00011928 0,99988072 99 421 12 99 415 6 825 154 68,659 0,00010729 0,99989271 99 409 11 99 404 6 725 739 67,66

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

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.

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.

.

.

.

.

.100 0,37845799 0,62154201 539 204 437 1 060 1,97

Tabelle: Periodensterbetafel 2003/2005 für die männliche deutscheBevölkerung, entnommen aus ? S. 30.




Leistungscharakteristik (Todesfallversicherung):Auszahlung von 1 GE am Ende des Jahres, in dem derVersicherungsnehmer stirbt

Barwert der erwarteten Leistung von Todesfallversicherungen

◮ . . . bei unbegrenzter Laufzeit (whole life insurance)

Ax : =X−x

∑i=1

q i ·P (i −1 < Tx ≤ i)

Ax : =X−x−1

∑i=0

q i+1 ·P (i < Tx ≤ i + 1)

=X−x−1

∑i=0

q i+1 · ipx · 1qx+i




◮ . . . bei begrenzter Laufzeit n ≤ X − x (Risikolebensversicherung,term insurance)

nAx =n−1

∑i=0

q i+1 ·i px ·1 qx+i

◮ Leistungscharakteristik (n-jährige Erlebensfallversicherung):Auszahlung von 1 GE am Ende des Jahres n, falls derVersicherungsnehmer dann noch lebt

Barwert der erwarteten Leistung einer n-jährigenErlebensfallversicherung (pure endowment):

nBx := qn ·n px




◮ Barwert der erwarteten Leistungen einer unbegrenztenvorschüssigen Leibrente

ax : =X−x−1

∑i=0

iBx

◮ Barwert der erwarteten Leistungen einer auf n Zahlungenbegrenzten vorschüssigen Leibrente

ax :n | : =n−1

∑i=0

iBx




◮ Kapitallebensversicherung = Risikolebensversicherung +Erlebensfallversicherung

Ax :n | := nAx + nBx

◮ PensionsversicherungBarwert einer lebenslangen Rente in Höhe von 1 GE abErreichen des Renteneintrittsalters z an einen VN mit Alter x < z

|z−x ax : = qz−x ·z−x px · az



Grundlagen der Prämienkalkulation

Kalkulationsschema:Nettoprämie

+ Sicherheitszuschlag+ Kostenzuschläge= Ausreichende Prämie+ Gewinnzuschlag= Tarifprämie (als Jahres- oder Einmalprämie)+ Ratenzuschlag= Tarifprämie (bei Prämienzahlung in Raten)+ Versicherungssteuer= Bruttoprämie

Die Nettoprämie basiert auf dem Prinzip der Gleichheit vonLeistung und Gegenleistung (Äquivalenzprinzip )

⇒ Nettoprämie = erwarteter Leistungsbarwert




Beispiel (Risikolebensversicherung mit Laufzeit n)

Annahmen :

◮ der komplette Jahrgang der heute x-Jährigen wird versichert(perfektes Pooling)

◮ diskontierter erwarteter Gesamtschaden pro Vertrag:

∑n−1i=0 qi+1 ·dx+i

lx=

n−1

∑i=0

qi+1 ·lx+i

lx·

dx+i

lx+i

=n−1

∑i=0

qi+1 ·i px ·1 qx+i

= nAx




◮ faire laufende Prämie bei m gleiche Raten

π ·m−1

∑i=0

qi · lx+i!= lx · nAx

︸︷︷︸

Aequivalenzbedingung

⇔ π =nAx

∑m−1i=0 qi · ipx

=nAx

ax :m |

Beispiel (Rentenversicherung)

faire Prämie für die Anwartschaft eines x-Jährigen auf eine abErreichen des Renteneintrittsalters z > x zahlbare lebenslangevorschüssige Leibrente in Höhe von 1 GE jährlich

πz−x|ax

=z−x |ax

ax :z−x |



Kommutationen als Rechenhilfe

◮ Anwendungsvoraussetzungen:◮ konstante, linear oder geometrische wachsende Zahlungen◮ konstanter Diskontierungszinssatz

◮ Eine Kommutation erster Ordnung ist die diskontierte Zahl derLebenden

Dx := qx lx

◮ Durch Aufsummieren der diskontierten Zahlen der Lebendenerhält man die Kommutation zweiter Ordnung

Nx : =X−1

∑i=x

Di




◮ Beispiele

nBx : = qn ·n px

=qx+n

qx·

lx+n

lx

=Dx+n

Dx

ax : =X−x−1

∑i=0

iBx

=1

Dx

X−x−1

∑i=0

Dx+i

=1

Dx

X−1

∑i=x

Di

=Nx

Dx




◮ noch mehr Beispiele

ax :n | =Nx −Nx+n

Dx

ax :n | =Nx+1 −Nx+n+1

Dx

z−x |ax =Nz

Dx

πz−x| ax

=Nz

Nx −Nz



prospektives Deckungskapital

Prospektives Deckungskapital für eine von einem heutey-jährigen im Alter x abgeschlossene mit Erreichen des Alters zlebenslänglich jährlich vorschüssig zahlbare Altersrente in Höhevon 1 GE

DKx ,y ,z =

{

|z−y ay −πz−x|ax

· ay :z−y | falls y < z

ay sonst

=

{NzDy

− NzNx−Nz

·Ny−Nz

Dyfalls y < z

Ny

Dysonst


Investitionsrechnung in stetiger Zeit

Bei stetiger Verzinsung geht die Anzahl der Abrechnungsperiode ngegen unendlich. Wird zu Beginn eines Jahres eine GE zum Zinssatzr p.a. (per annum) angelegt, dann beträgt der Saldo des Anlagekontosam Jahresende:

limn→∞

(

1+r

n

)n= er

Angenommen Sie legen 1.000.000 eam 1. Januar eines Jahres zu10% an, dann verfügen Sie am 1. Januar des folgenden Jahres übereinen Betrag in Höhe von

◮ 1.100.000,00 e bei jährlicher Abrechnung

◮ 1.102.500,00 e bei halbjährlicher Abrechnung

◮ 1.103.812,89 e bei vierteljährlicher Abrechnung



◮ 1.104.713,07 e bei monatlicher Abrechnung

◮ 1.105.155,78 e bei täglicher Abrechnung (365 Tage)

◮ 1.105.170,92 e bei stetiger Abrechnung



Bei einem Zinssatz in Höhe der konformen Kassazinsrate

rc := ln(1+ r) = 9,531018%

verfügen Sie am 1. Januar des folgenden Jahres über einen Betrag inHöhe von

◮ 1.099.986,31 e bei täglicher Abrechnung (365 Tage)

◮ 1.100.000,00 e (1000000 ·eln(1+0,1) = 1000000 · (1+ 0,1)) beistetiger Abrechnung


Strategische Aspekte von Investitionsentscheidungen

Spezifität von Investitionen

◮ Spezifität ist das Gegenteil von Universalität: Je geringer dieAnzahl alternativer Verwendungsmöglichkeiten, destospezifischer ist eine Investition

Problem : Wer sich von seinem Vertragspartner abhängig macht,muss damit rechnen, dass dieser ihm den Kooperationsgewinn(teilweise) vorenthält (hold up)

Konsequenz : spezifische Investitionen werden nicht oder nurunzureichend getätigt




• Beispiel (Tirole, 1988, S. 24f)

Notation :

B BuyerI Anschaffungsauszahlung (Investition)S Seller

cB(I) Kosten der Kooperation mit B für S (abhängig von I)v Nutzen der Kooperation für B (öffentlich bekannt)p Verkaufspreis




Annahmen :

v = 3

cB(I) =

{3, falls I = 00, falls I = 2

Erläuterung: Die variablen Kosten (= Grenzkosten) von S hängendavon ab, ob dieser zuvor eine auf B zugeschnittene(spezifische) Investition I getätigt hat oder nicht




⊲ ein Planer würde die spezifische Investition tätigen, da

v − cB(2)−2 > v − cB(0)−0 = 0

⊲ S muss fürchten, dass B ihm die Hälfte des ex-postKooperationsgewinns in Höhe von

v − cB(2) = 3−0

vorenthält, obwohl B im Gegensatz zu S keine Vorleistungenerbringen musste




⊲ Bestimmung des Gleichgewichtspreises p:Da der Kooperationsgewinn v − cB(I) geteilt werden soll, mussder Gewinn von Käufer B (v −p) dem halbenKooperationsgewinn entsprechen

v −p =v − cB(I)

2⇔ p = v −

v − cB(I)

2

⇒ die spezifische Investition lohnt sich für S bei einemVerkaufspreis in Höhe von

p = v −v − cB(2)

2= 1.5

wegen p− I = 1.5−2 = −0.5 nicht!




Annahme : Es gibt einen Markt für das von S angeboteneProdukt, auf dem ein Preis in Höhe von pM = 3 erzielbar ist

⊲ eine an die Bedürfnisse des Marktes angepasste Versionverursacht bei S variable Kosten (= Grenzkosten) in Höhe von

cM(I) =

{3, falls I = 01, falls I = 2




⇒ Der ex-post Kooperationsgewinn reduziert sich auf

v − cB(2)− (pM − cM(2))

Die Teilung impliziert einen Verkaufspreis in Höhe von

p = v −v − cB(2)− (pM − cM(2))

2= 2.5

⇒ Dank alternativer Einsatzmöglichkeiten (Belieferung desMarktes) hat sich die Spezifität der Investition verringert,so dass sich die Investition nunmehr rechnet.

⇒ tendenziell wird im Bemühen um eine möglichst guteex-post Verhandlungsposition zu viel in Flexibilitätinvestiert (schwimmende Kraftwerke)



strategische Positionierung

◮ Spielzüge (Rasmusen, 2001, S. 93f)

• I ist bereits am Markt, E entscheidet über denMarkteintritt

◮ Zahlungskonsequenzen

• Monopolgewinn ΠM

• Duopolgewinn ΠD

• Kosten des Markteintritts cE

• Kosten der (stets erfolgreichen) Gegenwehr cI




��

��

collude

fightenter

stay out(0,ΠM)

(−cE ,ΠM − cI)

(ΠD2 − cE , ΠD

2 )

E

I

Abbildung: Die extensive Form des Spiels (vgl. Rasmusen (2001, S. 94))




◮ Ist die Androhung von Gegenwehr glaubwürdig?

• Rekursionsprinzip: Die Androhung ist nur glaubwürdig,falls I sich nicht selbst schadet, wenn er sie (ex post)wahr macht. Die Bedingung hierfür lautet:

ΠM − cI ≥ΠD

2⇔ cI ≤ ΠM −

ΠD

2




◮ Gleichgewicht

• Der Markteintritt kommt dann und nur dann zu Stande,wenn

cI > ΠM −ΠD

2

und

cE <ΠD

2




Möglichkeiten der Einschüchterung des potentiellen Konkurrenten E

• Erhöhung von cE , z.B. Beschränkung des Zugangs zuwichtigen Ressourcen

• Reduktion von cI , z.B. durch deutlich wahrnehmbareÜberkapazitäten (dank niedriger Grenzkosten derProduktion können die negativen Folgen einesPreiskampfes, der ja zu einer Ankurbelung desAbsatzes bei zu niedrigem Preis führt, in Grenzengehalten werden)

• Strategische Positionierung: I muss sich selbst seinerex-post Wahlmöglichkeit berauben (bildlich: Brückenhinter sich abbrechen (Tirole, 1988, S. 316)), um Eabzuschrecken. Funktioniert unter der VoraussetzungcE > 0


Simultane Investitions-und Finanzplanung (Kapitalkosten als Knappheitspreise)

Literaturhinweis :

Kistner (2003, S. 40f)

zentrale Annahme :

◮ beschränkter Zugang zum Kapitalmarkt

zentrale Erkenntnisse :

◮ Kapitalkostensätze lassen sich auch mit der Knappheit anZahlungsmitteln begründen

◮ auf der Grundlage dieser Kapitalkostensätze (= endogeneKalkulationszinssätze)

◮ lässt sich die optimale Entscheidung mit Hilfe derKapitalwertmethode reproduzieren

◮ lassen sich Auswirkungen von Änderungen des Datenkranzesbeurteilen



Notation :

zt : Zahlungen, die im Zeitpunkt t vomUnternehmen an die Anteilseigner (zt > 0) oderin umgekehrter Richtung (zt < 0) fließen

ztj : Zahlungskonsequenzen der Investitions-und Finanzierungsgelegenheiten j = 1, . . . ,Jpro eingesetzer GE in den Zeitpunkten t = 0, . . . ,T

xj : der in Geldeinheiten gemessene Umfang, in demdie Gelegenheit j realisiert wird

xJ+1 : Kassenhaltungxj : maximal möglicher Umfang in GE, in dem

Gelegenheit j realisiert werden kann



Primales Programm

0 · x1 . . . +0 · xJ + xJ+1 → maxxJ+1

!

unter den Bedingungen xj ≥ 0 für j = 1, . . . ,J + 1 und

z01 · x1 . . . +z0J · xJ − xJ+1 ≥ z0 q0...

......

......

zT 1 · x1 . . . +zTJ · xJ ≥ zT qT

x1 ≤ x1 qT+1. . .

......

...xJ ≤ xJ qT+J



Äquivalentes primales Programm

−0 · x1 . . . −0 · xJ − xJ+1 → minxJ+1

!

unter den Bedingungen xj ≥ 0 für j = 1, . . . ,J + 1 und

z01 · x1 . . . +z0J · xJ − xJ+1 ≥ z0 q0...

......

......

zT 1 · x1 . . . +zTJ · xJ ≥ zT qT

−x1 ≥ −x1 qT+1

. . ....

......

−xJ ≥ −xJ qT+J



Duales Programm

z0 ·q0 . . . +zT ·qT −x1 ·qT+1 . . . −xJ ·qT+J → maxq0,...,qT+J

!

unter den Bedingungen qi ≥ 0 für i = 0, . . . ,T + J und

z01 ·q0 . . . +zT 1 ·qT −qT+1 ≤ 0 x1...

.... . .

......

...z0J ·q0 . . . +zTJ ·qT −qT+J ≤ 0 xJ

−q0 ≤ −1 xJ+1



◮ Satz vom komplementären Schlupf

Existiert eine optimale Lösung, dann existieren Dualvariablen q∗t

für alle Zeitpunkte t , so dass

T

∑t=0

ztj ·q∗t < 0 ⇒ x∗

j = 0

T

∑t=0

ztj ·q∗t > 0 ⇒ x∗

j = xj

bzw.

x∗j = 0 ⇒

T

∑t=0

ztj ·q∗t ≤ 0

x∗j = xj ⇒

T

∑t=0

ztj ·q∗t ≥ 0



Das Modell von Dean

Gegeben sei ein Unternehmen mit den in nachfolgender Abbildung 2dargestellten Investitions- und Finanzierungsgelegenheiten

Abbildung: Investitions- und Finanzierungsgelegenheiten



Das Modell von Dean

Ein Blick auf Abb. 2 zeigt, dass das Programm

x∗1 = 20

x∗2 = 0

x∗3 = 10

x∗4 = 0

den Gewinn maximiert. Demnach müssen Bewertungsfaktorenexistieren, so dass gilt

NPV ∗1 ≥ 0

NPV ∗2 ≤ 0

NPV ∗3 ≥ 0

NPV ∗4 ≤ 0



Das Modell von Dean

◮ In Verbindung mit der Definition (endogenerKalkulationszinssatz)

k∗ :=q∗

0

q∗1

−1

sind die Kapitalwertrelationen äquivalent zu

k∗ ≤ 25%k∗ ≥ 5%k∗ ≥ 10%k∗ ≤ 15%

⇒ 10% ≤ k∗ ≤ 15%



Das Modell von Dean

Reproduktion der Lösung mit Hilfe der linearen Programmierung:Maximiere das Endvermögen

54 · x1 + 21

20 · x2 + − 1110 · x3 + − 23

20 · x4 → maxx1,...,x4

!

unter den Bedingungen xj ≥ 0 für j = 1, . . . ,4 und

−x1 − x2 + x3 + x4 ≥ −10x1 ≤ 20

x2 ≤ 10+ x3 ≤ 10

+ x4 ≤ 10



Das Modell von Dean

Transformation des Restriktionen-Systems (zusätzlich gilt xj ≥ 0 fürj = 1, . . . ,9) in ein Standard-Maximum-Problem

x1 +x2 −x3 −x4 +x5 = 10 q0

x1 +x6 = 20 q2

+x2 +x7 = 10 q3

+x3 +x8 = 10 q4

+x4 +x9 = 10 q5

Hinweis: q∗1 wird bewusst übersprungen.



Das Modell von Dean

Vorüberlegungen

◮ 5 der insgesamt 9 Variablen nehmen im Optimum den Wert Nullan, nämlich x2, x4, x5, x6 und x8

◮ Die optimale Basislösung ist primal degeneriert, weil somit aucheine der 5 Basisvariablen den Wert Null annehmen muss

◮ Es muss also (wenigstens) zwei optimale primale Basen B∗i

geben, wobei gilt

x1,x3,x7,x9 ∈ B∗i



Das Modell von Dean

Das duale Restriktionen-(Teil-)System in Normalform

+q0 +q2 −q6 = 54 x1

+q0 +q3 −q7 = 2120 x2

−q0 +q4 −q8 = − 1110 x3

−q0 +q5 −q9 = − 2320 x4

reduziert sich in Verbindung mit (Satz vom komplementärenSchlupf)

x∗1 > 0 ⇒ q∗

6 = 0

x∗3 > 0 ⇒ q∗

8 = 0

x∗7 > 0 ⇒ q∗

3 = 0

x∗9 > 0 ⇒ q∗

5 = 0



Das Modell von Dean

auf

−1 ·q∗0 + 5

4 ·1 = +q∗2 ≥ 0

−1 ·q∗0 + 21

20 ·1 = −q∗7 ≤ 0

1 ·q∗0 − 11

10 ·1 = +q∗4 ≥ 0

1 ·q∗0 − 23

20 ·1 = −q∗9 ≤ 0

(13)

und kann i.V.m. q∗1 ≡ 1 wie folgt interpretiert werden

NPV ∗1 ≥ 0

NPV ∗2 ≤ 0

NPV ∗3 ≥ 0

NPV ∗4 ≤ 0

q∗0 ,q∗

2 ,q∗7 > 0 ist notw. Voraussetzung für (13)



Das Modell von Dean

es existieren 2 optimale duale Basen

DB∗1 = {q0,q2,q4,q7}

DB∗2 = {q0,q2,q7,q9}

mit den korrespondierenden optimalen primalen Basen

B∗1 = {x1,x3,x4,x7,x9}

B∗2 = {x1,x3,x7,x8,x9}

Die optimalen primalen Basen sind wegen x∗4 = 0 und x∗

8 = 0degeneriert



Das Modell von Dean

◮ Bestimmung des endogenen Kalkulationszinsfußes

Einsetzen von q∗4 = 0 bzw. q∗

9 = 0 in (13) führt auf

qDB∗

10 =

11

10

qDB∗

20 =

23

20

Die mit den beiden optimalen dualen Basen korrespondierendenendogenen Kapitalkostensätze belaufen sich auf

k∗1 : =

11101 −1 = 10%

k∗2 : =

23201 −1 = 15%



Das Modell von Dean

Da neben den beiden Ecklösungen des Duals auch sämtlicheKonvexkombinationen der beiden Ecklösungen optimal sind, gilt

q∗0 = λ ·q

DB∗1

0 +(1−λ ) ·qDB∗

20 (0 ≤ λ ≤ 1)

und mithin

10% ≤ k∗ ≤ 15%



Sensitivitätsanalyse auf der Basis der Optimal-Tableaus des Simplex-Algorithmus

B∗1 L.-Sp. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x1 20 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0x3 10 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0x4 0 0 −1 0 0 −1 +1 0 −1 0x7 10 0 +1 0 +1 0 0 +1 0 0x9 10 0 +1 0 0 +1 −1 0 +1 +1

z 14 0 + 220 0 0 + 23

20 + 220 0 + 1

20 0




B∗2 L.-Sp. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x1 20 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0x3 10 0 −1 +1 +1 −1 +1 0 0 0x7 10 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0x8 0 0 +1 0 −1 +1 −1 0 +1 0x9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 +1

z 14 0 + 120 0 + 1

20 + 1110 + 3

20 0 0 0




Auswirkungen von Parameteränderungen auf den Zielfunktionswert

B∗1 B∗

2

p ∆z∗(p) p p ∆z∗(p) p p

∆z02320 ·p −10 0 11

10 ·p 0 10∆x1

220 ·p 0 10 3

20 ·p −10 0∆x2 0 −10 ∞ 0 −10 ∞∆x3

120 ·p −10 0 0 0 ∞

∆x4 0 −10 ∞ 0 −10 ∞∆c1 20 ·p − 2

20 ∞ 20 ·p − 320 ∞

∆c2 0 −∞ 220 0 −∞ 1

20∆c3 10 ·p − 1

20 ∞ 10 ·p − 120

120

∆c4 0 − 220

120 0 −∞ 1

20




◮ Die Mehrzahl dualer Ecklösungen bewirkt, dass Auswirkungenvon Veränderungen der Beschränkungskonstanten vomVorzeichen abhängig sind

◮ Tableau zu B∗1 erfasst Auswirkungen einer Kapitalauszahlung

• Grundsätzlich mögliche Anpassungsreaktionen:◮ (teilweise) Nutzung noch nicht in Anspruch genommener

Finanzierungsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte fürdie Schlupfvariablen x8 und/oder x9)

◮ Drosselung des Volumens bereits beschlossenerInvestitionsprojekte (Voraussetzung: positive Werte für dieEntscheidungsvariablen x1 und/oder x2)




• Die optimale Basis B∗1 = {x1,x3,x4,x7,x9} impliziert die

Alternativen◮ (teilweise) Inanspruchnahme von Finanzierungsgelegenheit 4,

angezeigt durch die Basisvariable x9◮ Drosselung des Volumens von Investitionsprojekt 1, angezeigt

durch die Basisvariable x1

⇒ Inanspruchnahme von Finanzierungsgelegenheit 4 (maximalesVolumen: 10 GE)

◮ Tableau zu B∗2 erfasst Auswirkungen einer Kapitaleinzahlung

• Grundsätzlich mögliche Anpassungsreaktionen:◮ (teilweise) Verwirklichung bislang ungenutzter

Investitionsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte für dieSchlupfvariablen x6 und/oder x7)

◮ (teilweise) Substitution bereits eingeplanterFinanzierungsgelegenheiten (Voraussetzung: positive Werte fürdie Entscheidungsvariablen x3 und/oder x4.




• Die optimale Basis B∗2 = {x1,x3,x7,x8,x9} impliziert die

Alternativen◮ (teilweise) Verwirklichung von Investitionsgelegenheit 2, angezeigt

durch die Basisvariable x7◮ (teilweise) Substitution von Finanzierungsgelegenheit 3, angezeigt

durch die Basisvariable x3

⇒ Substitution von Finanzierungsgelegenheit 3 (maximalesVolumen: 10 GE)

◮ Auswirkungen des maximal möglichen Umfangs vonInvestitionsgelegenheit 1 (zugehörige Beschränkungskonstante:b2)

◮ Erhöhung: Nettorendite 25%−15% = 10%◮ Verminderung: Nettorendite −25%+ 10% = −15%




◮ Auswirkungen des maximal möglichen Umfangs vonInvestitionsgelegenheit 2 und Finanzierungsgelegenheit 4(zugehörige Beschränkungskonstante: b3,b5: keine (Projektesind inattraktiv)

◮ Auswirkungen des maximal möglichen Umfangs vonFinanzierungsgelegenheit 3 (zugehörigeBeschränkungskonstante: b4)

◮ Erhöhung: Nettorendite 0% (wird mangels hinreichend attraktiverAnlagemöglichkeiten nicht in Anspruch genommen)

◮ Verminderung: Nettorendite +10%−15% = −5% (Substitutiondurch Finanzierungsgelegenheit 4)




◮ Die Auswirkungen von Veränderungen derZielfunktionskoeffizienten sind für B∗

1 und B∗2 gleich; allerdings

unterscheiden sich die Intervallgrenzen

◮ Ursache für die unterschiedlichen Intervallgrenzen ist sindvermeintlich unterschiedliche Finanzierungs- bzw.Anlagealternativen, die allerdings faktisch nicht existieren(primale Degeneration!).

◮ Intervallgrenzen, die auf eine degenerierte Basisvariablezurückzuführen sind, ist keine Beachtung zu schenken!

Erläuterung: Darf die Rendite von Investitionsprojekt 1 um 10%(entsprechende Basislösung: B∗

1) oder um 15% (entsprechendeBasislösung: B∗

2) sinken, bevor es zu einem Basiswechselkommt?




Grundsätzlich gilt: Sinkt die Rendite eines Investitionsprojekteskommt es zu einem Basiswechsel, sobald die Kapitalkosten derteuersten in Anspruch genommenen Finanzierungsform(Grenzkapitalkosten) erreicht bzw. unterschritten werden. x4 /∈ B∗

2

impliziert Grenzkapitalkosten von 10%. x4 ∈ B∗1 impliziert

Grenzkapitalkosten von 15%, was aber wegen x∗4 = 0 faktisch

unzutreffend ist. Tatsächlich darf die Rendite vonInvestitionsprojekt 1 also um bis zu 15% sinken, bevor esverworfen wird.

◮ Die Intervallgrenzen zu ∆c3 und ∆c4 erschließen sich, wennman bedenkt, dass ein positiver Wert einer Reduktion derKapitalkosten entspricht


investition und finanzierung

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