io equipob informe programacion no lineal

UNIVERSIDAD ESTATAL DE GUAYAQUIL

FACULTAD DE INGENIERA INDUSTRIAL

INGENIERA EN TELEINFORMTICA

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

PROGRAMACION NO LINEAL

DOCENTE:

Ing. Jos Avad

ALUMNOS:

Jair Aguilar

Josu Alcvar

Briggite Aucapia

Guillermo Carrin

Jess Vargas

Marlon Yuquilema

6to. Semestre A

Ao Lectivo:

2014 Guayaquil Ecuador

Tabla de Contenido

INTRODUCCIN ..................................................................................................................... 1

Conceptos bsicos de problemas de programacin no lineal. .................................................... 1

Programacin no lineal .......................................................................................................... 1

Qu es una funcin ................................................................................................................. 1

El mtodo Simplex ................................................................................................................. 1

Un algoritmo .......................................................................................................................... 1

Regin de Factibilidad Ilimitada ............................................................................................ 1

Redundancia Entre las Restricciones ..................................................................................... 2

La teora de la produccin ...................................................................................................... 2

La tecnologa .......................................................................................................................... 2

Las funciones de produccin .................................................................................................. 2

La mono tonicidad .................................................................................................................. 2

La convexidad ........................................................................................................................ 2

Programacin No Lineal ............................................................................................................ 3

Programacin no lineal ( ........................................................................................................ 3

Definicin ............................................................................................................................... 4

Definicin ............................................................................................................................... 5

Definicin ............................................................................................................................... 5

El problema de programacin no lineal ................................................................................. 6

2 PROGRAMACIN NO LINEAL

UNIVERSIDAD ESTATAL DE GUAYAQUIL | INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Problema de programacin No lineal general ........................................................................ 6

Relacin entre el problema de programacin no lineal y el proceso real. ............................. 7

TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN NO LINEAL. .......................................... 8

Optimizacin no restringida. .................................................................................................. 9

Optimizacin linealmente restringida. ................................................................................. 11

Programacin cuadrtica ...................................................................................................... 12

Programacin convexa. ........................................................................................................ 12

Programacin separable. ...................................................................................................... 13

Programacin no convexa. ................................................................................................... 14

Programacin geomtrica. .................................................................................................... 15

Optimizacin de programacin no lineal con Solver .............................................................. 16

Construccin de un problema de optimizacin. ................................................................... 20

Datos del modelo de trabajo ................................................................................................. 21

CONCLUSIN ........................................................................................................................ 22

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ..................................................................................... 23

INTRODUCCIN

En este documento se da a conocer un poco ms sobre la programacin no lineal forma parte de

la investigacin de operaciones y tambin, como la programacin lineal, tiene como finalidad

proporcionar los elementos para encontrar los puntos ptimos para una funcin objetivo. En este

planteamiento, tanto la funcin objetivo como las restricciones son no lineales.

Se presenta un problema de programacin no lineal cuando tanto la funcin objetivo que debe

optimizarse, como las restricciones del problema, o ambas, tienen forma de ecuaciones

diferenciales no lineales, es decir, corresponden a ecuaciones cuyas variables tienen un

exponente mayor que 1.

El campo de aplicacin de la programacin no lineal es muy amplio, sin embargo, hasta la fecha

los investigadores de esta rama del conocimiento no han desarrollado un mtodo sistemtico que

sea prctico para su estudio. La programacin no lineal tambin es conocida con el nombre de

programacin cuadrtica, en virtud de que la mayor parte de los problemas que resultan

contienen ecuaciones cuadrticas o de segundo grado.

Muchas veces se presentan casos en que se deben maximizar funciones no lineales que presentan

restricciones lineales; esto es posible resolverlo, siempre y cuando se admita la hiptesis de que

la utilidad marginal no es constante, en este caso, la funcin objetivo deja de ser lineal.



Las ventajas ms importantes de la programacin no lineal son dos:

1. En algunas ocasiones la distribucin ptima del presupuesto excluye cualquiera de los bienes

considerados en el presupuesto general; esta situacin se refleja en cualquiera de las restricciones

del modelo.

2. La programacin no lineal aporta mayor informacin que la contenida en el anlisis marginal.

No slo define el objetivo, sino que tambin seala la orientacin especfica para lograr el

objetivo.

Autores

Aguilar J., Carrin A., Vargas J., Aucapia B., Alcvar J., Yuquilema M.

Ingeniera en teleinformtica



Conceptos bsicos de problemas de programacin no lineal.

Programacin no lineal: es el proceso de resolucin de un sistema de igualdades y

desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales

desconocidas, con una funcin objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la

funcin objetivo no son lineales.

Qu es una funcin: una funcin es una cosa que hace algo. Por ejemplo, una mquina de moler

caf es una funcin que transforma los granos de caf en polvo. La funcin (objetivo) traza,

traduce el dominio de entrada (denominado regin factible) en un rango de salida con dos

valores finales denominados valores mximo y mnimo.

El mtodo Simplex: es un algoritmo de solucin muy utilizado para resolver programas lineales.

Es la solucin algortmica inicial para resolver problemas de Programacin Lineal (PL). Este es

una implementacin eficiente para resolver una serie de sistemas de ecuaciones lineales.

Mediante el uso de una estrategia ambiciosa mientras se salta desde un vrtice factible hacia el

prximo vrtice adyacente, el algoritmo termina en una solucin ptima.

Un algoritmo: es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.

Regin de Factibilidad Ilimitada: Tal y como se mencion anteriormente, aprenda que una

solucin ilimitada requiere una regin de factibilidad cerrada ilimitada. La situacin inversa de



este enunciado podra no ocurrir. Por ejemplo, el siguiente problema de PL tiene una regin de

factibilidad cerrada ilimitada, sin embargo, la solucin es limitada.

Redundancia Entre las Restricciones: Redundancia significa que algunas de las restricciones

no son necesarias dado que existen otras ms severas.

La teora de la produccin: implica el anlisis de un tipo especfico de restriccin sobre el

comportamiento de la empresa, el impuesto por la tecnologa, as como la investigacin de los

procesos de toma de decisiones de la empresa.

La tecnologa: es simplemente el medio (o el mtodo) por el cual uno o ms factores pueden

convertirse en produccin(es).

Las funciones de produccin: relacionan los factores (frecuentemente denominados factores de

produccin, o simplemente inputs) con la produccin. Se pueden representar grficamente o

matemticamente.

La mono tonicidad: simplemente significa que si una empresa aumenta el uso de un factor,

obtendr al menos tanta produccin.

La convexidad: implica que si tenemos dos combinaciones de factores para producir una cierta

cantidad de produccin, la combinacin de stos producir al menos tanta produccin.



Programacin No Lineal

Programacin no lineal (PNL), Concepto: es el proceso de resolucin de un sistema de

igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables

reales desconocidas, con un funcin objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las

restricciones o la funcin objetivo no son lineales.

Una suposicin importante de programacin lineal es que todas sus funciones (funcin

objetivo y funciones de restriccin) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposicin se cumple

para muchos problemas prcticos, con frecuencia no es as. De hecho muchos economistas han

encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepcin, en los problemas de

planeacin econmica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de

programacin no lineal, lo cual vamos a analizar enseguida.

De la manera general el problema de programacin no lineal consiste en encontrar:

X=(X1, X2, X3, X4, XN) para

Maximizar f(X), sujeta a

Gi(X)0,

Donde f(X) y gi(x) son funciones dadas de n variables de decisin.



Definicin

Se puede expresar un problema de programacin no lineal (PNL)de la siguiente

manera:

Encuentre los valores de las variables que

Como en la programacin lineal z es el funcional del problema de programacin no

lineal y

son las restricciones del problema de programacin no lineal.

Un problema de programacin no lineal es un problema de programacin no lineal no

restringido.

El conjunto de puntos , tal que es un nmero real, es, entonces, es el conjunto de los

nmeros reales.

Los siguientes subconjuntos de (llamados intervalos) sern de particular inters:



Y en forma anloga a las definiciones de la programacin lineal.

Definicin

La regin factible para el problema de programacin no lineal es el conjunto de

puntos que satisfacen las m restricciones de (1).

Definicin

Por supuesto, si son funciones lineales, entonces (1) ser un problema de programacin

lineal y puede resolverse mediante el algoritmo simplex

Un modelo de Programacin Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisin se

expresan como funciones no lineales ya sea en la funcin objetivo y/o restricciones de un modelo



de optimizacin. Esta caracterstica particular de los modelos no lineales permite abordar

problemas donde existen economas o deseconomas de escala o en general donde los supuestos

asociados a la proporcionalidad no se cumplen.

El problema de programacin no lineal

En ingeniera, economa, as como en otros campos, el analista se encuentra

habitualmente enfrentando con el problema de optimizar determinadas funciones, llamadas

funciones objetivo, que representan costes, rendimientos, etc., sujetas a ciertas restricciones. La

mayora de estos problemas de optimizacin, cuando se formulan de forma matemtica, se

pueden agrupar en una categora denominada problemas de programacin no lineal.

Problema de programacin No lineal general

En un sentido amplio, el problema de programacin no lineal general tiene como finalidad

encontrar un extremo de la funcin objetivo que est sujeta a restricciones de igualdad y/o

desigualdad, pudiendo ser stas, lineales y/o no lineales. Sin embargo, es habitual al hablar del

problema de programacin no lineal general, excluir especficamente de toda consideracin, los

siguientes casos especiales:

a) Cuando las variables estn restringidas a valores enteros (programacin no lineal entera).

b) Cuando las restricciones incluyen el parmetro tiempo formando ecuaciones diferenciales

(control optimo, optimizacin dinmica).



Relacin entre el problema de programacin no lineal y el proceso real.

En determinados problemas de optimizacin, tales como el de mnimos cuadrados

(minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones entre la respuesta observada y la

prediccin), la elaboracin del problema de programacin no lineal se realiza fcilmente a partir

del problema fsico a resolver. Pero en otros casos esto no es as.

En la optimizacin de un proceso real los parmetros y/o las variables estn relacionados

por leyes fsicas, tales como conservacin de la masa o energa, que pueden ser incorporadas en

el problema de programacin o lneas como restricciones de igualdad.

Una de las caractersticas que hace que los problemas de optimizacin no lineal sean

muchos ms difciles de resolver que los problemas lineales, es que la solucin ptima no tiene

por qu estar en un punto extremo de la regin de factibilidad que determinan las restricciones

del problema. Puede encontrarse en los bordes de dicha regin o en su interior. Sin embargo, la

gran desventaja de los mtodos de optimizacin no lineales es que generalmente, encuentran un

ptimo local o relativo, mas no el ptimo global o absoluto.

Asimismo, otro problema grave que se presenta, es que no existe mtodo alguno en la

optimizacin no lineal, que detecte sistemticamente a todos los mnimos o mximos locales.

Ms bien estos se encuentran por el mtodo de prueba y error. Afortunadamente, para problemas

basados en procesos reales, la funcin objetivo tiene, normalmente, un buen comportamiento y

un nico extremo. Por lo tanto, para los casos ms prcticos, no es tan problemtico el uso de

procedimientos numricos, que proporcionan una solucin local.



TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN NO LINEAL.

Si la funcin objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de

Programacin lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos

algoritmos de programacin lineal.

Si la funcin objetivo es cncava (problema de maximizacin), o convexa (problema de

minimizacin) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el mtodo

general de Optimizacin convexa.

Existe una variedad de mtodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos

consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programacin lineal. Otro mtodo

implica el uso de tcnicas de Ramificacin y poda, cuando el problema se divide en

subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un lmite inferior del coste total

en cada subdivisin. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendr una solucin cuyo coste es

igual o inferior que el mejor lmite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas.

Esta solucin es ptima, aunque posiblemente no sea nica. El algoritmo puede ser parado antes,

con la garanta de que la mejor solucin ser mejor que la solucin encontrada en un porcentaje

acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difciles y cuando

el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en

un grado de fiabilidad apropiado.

Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para

que una solucin sea ptima.

Los tipos de problemas de programacin no lineal son:

Los problemas de programacin no lineal se presentan de muchas formas distintas. Al contrario

del mtodo simplex para programacin lineal, no se dispone de un algoritmo que resuelva todos



estos tipos especiales de problemas. En su lugar, se han desarrollado algoritmos para algunas

clases (tipos especiales) de problemas de programacin no lineal.

Optimizacin no restringida.

Los problemas de optimizacin no restringida no tienen restricciones, por lo que la

funcin objetivo es sencillamente Maximizar f(X)

Sobre todos los valores X=(X1, X2,...., XN). Segn el repaso del apndice 3, la condicin

necesaria para que una solucin especfica X=X* sea ptima cuando f(X) es una funcin

diferenciable es:

f = 0 en X=X*, para j=1,2,..., n.

Cuando f(X) es cncava, esta condicin tambin es suficiente, con lo que la obtencin de

X* se reduce a resolver el sistema de las n ecuaciones obtenidas al establecer las n derivadas

parciales iguales a cero. Por desgracia cuando se trata de funciones no lineales f(x), estas

ecuaciones suelen ser no lineales tambin, en cuyo caso es poco probable que se pueda obtener

una solucin analtica simultnea. Qu se puede hacer en este caso? Las secciones

anteriores describen procedimientos algortmicos de bsqueda para encontrar X*, primero para

n=1 y luego para n>1. Estos procedimientos tambin tienen un papel importante en la solucin

de varios tipos de problemas con restricciones, que se describen en seguida. La razn es que

muchos algoritmos para problemas restringidos estn construidos de forma que se adaptan a xj

versiones no restringidas del problema en un parte de cada iteracin.



Cuando una variable Xj tiene una restriccin de no negatividad, xj=>0, la condicin

necesaria (y tal vez) suficiente anterior cambia ligeramente a f

Para cada j de este tipo. Esta condicin se ilustra en l figura siguiente, donde la solucin ptima

de un problema con una variable es X=0 aun cuando la derivada ah es negativa y no cero.

Como este ejemplo tiene una funcin cncava para maximizar sujeta a una restriccin de

no negatividad, el que su derivada sea menor a 0 en X=0, es una condicin necesaria y suficiente

para que x=0 sea ptima.

Un problema que tiene algunas restricciones de no negatividad y que no tiene

restricciones funcionales es un caso especial (m=0) de la siguiente clase de problemas.



Optimizacin linealmente restringida.

Los problemas de optimizacin linealmente restringida se caracterizan por restricciones

que se ajustan por completo a la programacin lineal, de manera que todas las funciones de

restriccin gi(X) son lineales, pero la funcin objetivo es no lineal.



El problema se simplifica mucho si solo se tiene que tomar en cuenta una funcin no

lineal junto con una regin factible de programacin lineal. Se han desarrollado varios

algoritmos especiales basados en una extensin del mtodo simplex para analizar la funcin

objetivo no lineal. Un caso especial importante descrito a continuacin es la programacin

cuadrtica.

Programacin cuadrtica

De nuevo los problemas de programacin cuadrtica tienen restricciones lineales, pero

ahora la funcin objetivo f(x) debe ser cuadrtica. Entonces, la nica diferencia entre estos y un

problema de programacin lineal es que algunos trminos de la funcin objetivo incluyen el

cuadrado de una variable o el producto de dos variables.

Se han desarrollado muchos algoritmos para este caso, con la suposicin adicional de que

f(X) es cncava. La programacin cuadrtica es muy importante, en parte porque las

formulaciones de este tipo surgen de manera natural en muchas aplicaciones. Por ejemplo, el

problema de la seleccin de una cartera con inversiones riesgosas se ajusta a este formato. Sin

embargo, otra razn por la que es importante es que al resolver problemas generales de

optimizacin linealmente restringida se puede obtener la solucin de una sucesin de

aproximaciones de programacin cuadrtica.

Programacin convexa.

La programacin convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos

especiales, estn los tipos anteriores cuando f(x) es cncava. Las suposiciones son:



1. F(X) es cncava.

2. Cada una de las gi(X) es convexa.

Como se dijo anteriormente, estas suposiciones son suficientes para asegurar que un

mximo local es un mximo global, en secciones posteriores se ver que la condiciones

necesarias y suficientes para obtener tal solucin optima son una generalizacin natural de la

condiciones que se acaban de exponer para la optimizacin no restringida y su extensin a la

inclusin de restricciones de no negatividad.

Programacin separable.

La programacin separable es un caso especial de programacin convexa, en donde las

suposiciones adicionales es:

3.- todas las funciones f(X) y gj(X) son funciones separables.

Una funcin separable es una funcin en la que cada trmino incluye una sola variable,

por lo que la funcin se puede separar en una suma de funciones de variables individuales. Por N

ejemplo, si f(X) es una funcin separable, se puede expresar como F(X)= fj(Xj), en donde

cada fj(Xj) incluye solo los trminos con Xj. En la terminologa de programacin lineal, los

problemas de programacin separable satisfacen las suposiciones de auditividad pero no las de

proporcionalidad (para funciones no lineales). Para ilustrar, la funcin objetivo considerada en la

siguiente figura:

F(X1, X2)=126X19x21 + 182X213X22

Es una funcin separable porque puede ser expresada como



F(X1, X2)= F(X1) + F(X2)

Donde F1(X1)= 126X19x21 y F(X2)= 182X213X22

Son cada una funciones de una sola variable x1y x2, respectivamente. Usando el mismo

razonamiento, se puede verificar que la funcin considerada en la figura siguiente, tambin es

una funcin separable.

Es importante distinguir estos problemas de otros de programacin convexa, pues

cualquier problema de programacin separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno

de programacin lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente mtodo simplex.

Programacin no convexa.

La programacin no convexa incluye todos los problemas de programacin no lineal que

no satisfacen las suposiciones de programacin convexa. En este caso, aun cuando se tenga xito

en encontrar un mximo local, no hay garanta de que sea tambin un mximo global. Por lo

tanto, no se tiene un algoritmo que garantice encontrar una solucin optima para todos estos



problemas; pero si existen algunos algoritmos bastantes adecuados para encontrar mximos

locales, en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvan demasiado de

aquellas que se supusieron para programacin convexa. Ciertos tipos de problemas de

programacin no convexa se pueden resolver sin mucha dificultad mediante mtodos especiales.

Dos de ellos, de gran importancia.

Programacin geomtrica.

Cuando se aplica programacin no lineal a problemas de diseo de ingeniera, muchas

veces la funcin objetivo y las funciones de restriccin toman la forma

En donde

Tales casos, las ci y aij representan las constantes fsicas y las xj son las variables de

diseo. Estas funciones por lo general no son ni cncavas ni convexas, por lo que las tcnicas de

programacin convexa no se pueden aplicar directamente a estos problemas de programacin

geomtrica. Sin embargo, existe un caso importante en el que el problema se puede transformar

en un problema de programacin convexa equivalente. En este caso es aquel en el que todos los

coeficientes c1 en cada funcin son estrictamente positivos, es decir, las funciones son

polinomios positivos generalizados (ahora llamados posinomiales), y la funcin objetivo se tiene



que minimizar. El problema equivalente de programacin convexa con variables de decisin y1,

y2,..., yn se obtienen entonces al establecer

En todo el modelo original. Ahora se puede aplicar un algoritmo de programacin convexa.

Optimizacin de programacin no lineal con Solver

El algoritmo utilizado por el Solver es el Gradiente Reducido Generalizado (GRG), en la

versin GRG2, cuya estructura matemtica puede ser analizada en Abadie(1978); Lasdon,

Waren, Jain y Ratner(1978); Lasdon y Waren(1978); y Ros(1988). Bsicamente, al igual que

otros algoritmos de programacin no lineal, parte de una solucin factible conocida como punto

inicial. El algoritmo intenta entonces moverse, a partir de este punto, en una direccin a travs de

la regin factible, de tal forma que el valor de la funcin objetivo mejore. Tomando un salto o

movimiento determinado en dicha direccin factible, se pasa a una nueva solucin factible

mejorada. De nuevo, el algoritmo identifica una nueva direccin factible, si existe, y un salto

determinado avanzando hacia una nueva solucin factible mejorada. El proceso contina hasta

que el algoritmo alcanza un punto en el cual no existe una direccin factible para moverse que

mejore el valor de la funcin objetivo. Cuando no hay posibilidad de mejora, o el potencial para

tal mejora es arbitrariamente pequeo, el algoritmo finaliza. Ahora bien, en ese momento la

solucin es un ptimo local, y por tanto no necesariamente global. En este sentido, es preciso



tener en cuenta dos caractersticas de las soluciones obtenidas al resolver un programa no lineal

con Solver:

1. El algoritmo puede finalizar en un ptimo local que puede no ser el ptimo global del

problema.

2. El ptimo local en que finaliza el algoritmo depende del punto inicial.

Si bien la posibilidad de terminar en un ptimo local no es deseable, en el caso de la

programacin entera ya habamos comentado la posibilidad de aceptar soluciones sub ptimas si

estaban dentro del grado de tolerancia aceptable. Desgraciadamente, en los programas no lineales

no se puede determinar fcilmente el grado de alejamiento entre el ptimo local y el global, dado

que no existe un mtodo genrico para obtener cotas del valor de la funcin objetivo.

Sin embargo, muchos programas no lineales tienen ptimos locales nicos que, por definicin,

necesariamente deben ser globales. Por ejemplo, las siguientes condiciones garantizan, si existe,

que el ptimo es global:

a. Funcin objetivo de mximo y cncava, o el logaritmo de la funcin objetivo cncava,

con restricciones lineales.

b. Funcin objetivo de mnimo y convexa, con restricciones lineales.

No obstante, en general, no conoceremos si la solucin obtenida es un ptimo global.

Como consecuencia, se suele intentar la prueba de iniciar el algoritmo desde diferentes puntos

para determinar si el problema tiene diferentes soluciones ptimas. Este procedimiento suele

revelar la existencia de un determinado ptimo global, si existe, pero no es un mtodo de total

fiabilidad.



Dado el carcter de las soluciones de los programas no lineales es importante tener en

cuenta los mensajes que proporciona el Solver:

a. Solver ha encontrado la solucin. Todas las restricciones y condiciones de

optimalizacin estn satisfechas. En este caso habr encontrado un ptimo local,

que no necesariamente ser global. Matemticamente, este mensaje indica que las

condiciones de Karush-Kuhn-Tucker para ptimos locales han sido satisfechas.

Salvo en un problema con un solo ptimo global, se debera ejecutar el Solver

desde diferentes puntos iniciales para incrementar la seguridad sobre la globalidad

del ptimo.

b. Solver ha convergido hacia la solucin actual. Todas las restricciones estn

satisfechas. En este caso el valor de la funcin objetivo cambia muy lentamente en

las ltimas iteraciones. La opcin Convergencia controla este proceso. El

algoritmo termina si el cambio relativo en el valor de la funcin objetivo durante

varias iteraciones es menor que el factor de convergencia. Si se intuye que Solver

finaliza demasiado rpido o que el punto obtenido no es ptimo, ser preciso

reducir la convergencia para evitar soluciones subptimas.

c. Solver no puede mejorar la solucin actual. Todas las restricciones estn

satisfechas. Este mensaje indica que el modelo presenta degeneracin y que el

algoritmo ha entrado en un ciclo. La degeneracin puede ser evitada en muchos

casos eliminando restricciones redundantes.

Tambin es importante tener en cuenta que Solver presenta dificultades en muchos

casos para empezar a aplicar el algoritmo cuando se inicializa en un punto de valor nulo para

todas las variables. Por tanto, es aconsejable comenzar por una solucin no nula. Adems, en la



mayora de los casos, cuanto ms cercanos sean los valores iniciales al ptimo ms rpido ser el

proceso de resolucin.

El proceso de solucin del GRG, al igual que otros muchos algoritmos de programacin

no lineal, calcula valores de la primera derivada parcial de la funcin objetivo y de las

restricciones en cada iteracin. La opcin Derivadas fija cmo se realiza dicho clculo. La

alternativa progresiva considera conjuntamente el punto de la iteracin anterior y el actual, con

lo cual reduce el tiempo de computacin requerido por la diferenciacin finita (este tiempo se

estima que puede llegar a suponer el 50 por ciento del tiempo total de resolucin). La opcin

central tan solo considera el punto actual, lo cual conlleva un mayor tiempo de clculo que

puede sin embargo resultar adecuado si las derivadas cambian rpidamente ya que permite

realizar un menor nmero de iteraciones. En problemas cuadrticos, la diferenciacin central

produce valores de las derivadas exactos, lo cual permite mejorar la exactitud del resultado y

reducir el nmero de iteraciones, aunque stas tendrn un tiempo de ejecucin que puede llegar a

duplicar el de diferenciacin progresiva.

El mtodo del GRG realiza asimismo una reduccin del problema original a otro sin

restricciones resolviendo un sistema de ecuaciones para ciertas variables bsicas en trminos del

resto no bsicas. Entonces, se elige una direccin de bsqueda (un vector n-dimensional donde n

es el nmero de variables no bsicas) a lo largo de la cual se establece una mejora de la funcin

objetivo. La opcin Hallar por fija el criterio para determinar esta direccin de bsqueda. El

mtodo de Newton consiste realmente en el mtodo cuasi-Newton BFGS (Broyden, Fletcher,

Goldfarb, Shanno). En lugar de utilizar la matriz hessiana, utiliza una aproximacin de dicha

matriz, lo cual requiere una importante capacidad de almacenaje que sin embargo se compensa

por los buenos resultados que genera. La alternativa es el mtodo del gradiente conjugado, que



no requiere el almacenamiento de la matriz hessiana sino tan solo de algunos vectores.

Normalmente requiere de ms iteraciones que el mtodo cuasi-Newton, siendo recomendable en

el caso de problemas de gran tamao. En el caso del Solver, la eleccin de una u otra opcin no

resulta relevante dado que es capaz de cambiar automticamente de uno a otro mtodo en

funcin de la capacidad de almacenamiento disponible, sea cual sea la opcin elegida.

Por ltimo, una vez elegida la direccin, el algoritmo realiza una bsqueda a travs de

dicha direccin variando la amplitud del desplazamiento para la mejora del objetivo reducido.

Las estimaciones iniciales de los valores de las variables que experimentan un cambio

tienen un impacto significativo sobre la efectividad del mtodo. La opcin Estimacin indica

cmo se realiza dicho proceso. La alternativa lineal utiliza una extrapolacin lineal a partir de la

tangente a la funcin objetivo reducido. La alternativa cuadrtica extrapola a travs de un ajuste

cuadrtico de dicha funcin en el punto actual. Salvo que la funcin objetivo reducida se ajuste a

un modelo cuadrtico, y si no se tiene ninguna informacin especial a cerca del comportamiento

de la misma, la alternativa lineal es la ms segura, si bien la ms lenta.

Construccin de un problema de optimizacin.

La introduccin del problema de optimizacin, se puede sintetizar en cuatro fases:

a) Organizar los datos del modelo en la hoja de trabajo. Si bien son mltiples las posibles

formas de disear el formato y colocacin de los datos de entrada, es recomendable

seguir los mismos principios que en toda aplicacin con hoja de clculo: pensar en la hoja

como un informe que explique el problema, identificar los datos introducidos, colocar

comentarios, introducir todos los datos iniciales del problema y construir a partir de los



mismos el modelo de optimizacin con el objeto de facilitar el anlisis de sensibilidad,

utilizar tcnicas de diseo para presentar el modelo, etc.

b) Reservar una celda para cada variable de decisin. Siguiendo el esquema de un programa

matemtico, es recomendable que inicien la hoja de trabajo. Debern estar vacas o con

datos numricos, nunca frmulas, y a ser posible con notas o comentarios.

c) Crear una celda para la funcin objetivo prximo a las que recogen las variables. La

frmula que incorpora deber crearse a partir de las celdas descritas en el punto anterior.

d) Para cada restriccin, crear una celda que recoja la frmula de su parte izquierda, y a la

derecha de dicha celda colocar el trmino independiente.

Datos del modelo de trabajo

Tema: La rentabilidad.

La rentabilidad Rt, se calcula mediante la expresin conformada por los siguientes

componentes:

La rentabilidad: Rt=

Donde

es la variacin del precio de la accin en el mercado accionario

Pt= es el precio de la accin en el momento t. Pt-1= es el precio de la accin en el

mercado en un perodo anterior. Dt: es el pago de dividendos por cada accin. Ct: Es la

prima por nueva emisin de acciones.



El precio de la accin se calcula a travs del precio promedio ponderado diario

(PPP), utilizando la informacin de cantidad y volumen del mercado al contado

transmitido por la bolsa en la que se encuentra inscrita la accin.

Dnde: Vi = Volumen de acciones transadas en la ronda "i" de negociacin en el da. Pi =

Precio de la accin transada en la ronda "i" de negociacin. i = 1, 2,3,..., N nmero de rondas

de negociacin.

CONCLUSIN

A lo largo del estudio de este captulo acerca de la Programacin No Lineal, podemos concluir

que es una parte de la Investigacin Operativa cuya misin es proporcionar una serie de

resultados y tcnicas tendentes a la determinacin de puntos ptimos para una funcin (funcin

objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la funcin

objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de

oportunidades pueden ser no lineales.

La programacin lineal ha demostrado ser una herramienta sumamente poderosa, tanto en la

modelizacin de problemas de la vida real como en la teora matemtica de amplia aplicacin.

Sin embargo, muchos problemas interesantes de optimizacin son no lineales. El estudio de estos

problemas implica una mezcla diversa de algebra lineal, calculo multivariado, anlisis numrico

y tcnicas de computacin. Entre las reas especiales importantes se encuentra el diseo de



algoritmos de computacin (incluidas las tcnicas de puntos interiores para programacin lineal),

la geometra y el anlisis de conjuntos convexos y funciones, y el estudio de problemas

especialmente estructurados, tales como la programacin cuadrtica. La optimizacin no lineal

proporciona informacin fundamental para el anlisis matemtico, y se usa extensamente en las

ciencias aplicadas (en campos tales como el diseo de ingeniera, el anlisis de regresin, el

control de inventario, y en la exploracin geofsica).

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