RESOLUCIN DEL PROBLEMA DE LA MOCHILA POR EL METODO DE RAMIFICAR Y ACOTAR

Angela Maria Devia, Carlos Eduardo Rodriguez

Universidad Nacional de Colombia. Bogot D. C., Colombia.

{amdevias,cerodriguezl}@unal.edu.co

Abstract. El problema de la mochila ha sido ampliamente estudiado en el desarrollo de algoritmos ya que permite evaluar la eficacia de los mismos. Las caractersticas de este problema son

fcilmente relacionadas con situaciones reales en las empresas y, en general, en cualquier actividad

que requiera la asignacin de recursos. Pero no implica sencillamente una eleccin de recursos, sino

que adems condiciona la eleccin del recurso a cierto beneficio que se obtendr al asignarlo y a

ciertos factores que restringen su eleccin a partir de la capacidad que se tiene para poder asignarlo.

En este documento describiremos matemticamente las caractersticas de este problema y como

puede ser solucionado a travs del mtodo de ramificar y acotar, uno de los algoritmos lineales ms

frecuentes y aunque no es muy eficiente en cuanto a tiempo de solucin se refiere, es el que

permite considerar realmente todas las posibles soluciones de un problema real.

Keywords: Programacin Entera, knapsack problem, problema de la mochila, rbol de ramificar y acotar.

1 Introduccin

El problema de la mochila surge a partir de la siguiente situacin: Deseamos hacer una

excursin al campo, pero slo podemos llevar con nosotros una mochila, la cual tiene una

capacidad de almacenamiento limitada. Poseemos varios elementos que podramos llevar y

podran ser muy tiles para diferentes situaciones, pero la capacidad de la mochila no es

suficiente para permitirnos llevarlos todos. Tenemos que elegir los elementos que llevaremos

de tal forma que los que llevemos nos proporcionen el mayor beneficio posible y que estos

quepan en la mochila. Este problema es muy frecuente en las empresas cuando se toman

decisiones respecto al presupuesto y las inversiones. A travs de este mtodo de

programacin lineal entera, se busca llegar a concluir la cantidad de elementos que se van a

llevar en la mochila. Este mtodo nos permite concluir cuales elementos se llevan o no se

llevan y esto es representado a travs de un cero (0) cuando no se lleva y con un uno (1) si el

elemento es elegido para llevar en la maleta.

2 Definicin formal del problema

El problema definido matemticamente se describe de la siguiente forma: se cuenta con un

conjunto de objetos de tamao , cada uno de dichos objetos tiene un peso y un beneficio

, y una mochila con una capacidad de donde se cargaran los objetos seleccionados,

representaremos la solucin mediante el vector de tamao , donde puede tomar valor

de 0 o 1 dependiendo si el objeto es o no llevado en la mochila. En las lneas siguientes se

define el problema en trminos de las variables establecidas.

3 Descripcin del mtodo de ramificar y acotar

El mtodo consiste en la evaluacin de todas las posibles soluciones al problema a partir de las

caractersticas inciales del mismo, considerando en cada etapa una decisin respecto a los

elementos del problema, esto es lo que se considera como la eleccin o no del elemento para

ir dentro de la mochila. Los pasos del algoritmo de ramificar y acotar para un problema con

variables binarias (0 1) son:

1. Se plantean las restricciones y la funcin objetivo del problema.

2. Se da la primera solucin de la funcin objetivo donde todas las variables son cero.

3. Se elige la variable i=i+1 y se divide el rbol del algoritmo en dos: por un lado, cuando la

variable es igual a cero (o sea que el elemento no se lleva) y por el otro lado, cuando la

variable es igual a uno (o sea cuando el elemento si va en la mochila o es incluido en la

solucin). Decimos que las soluciones de este paso son relacionadas con la solucin que les

dio origen con un arco el cual se identa con la eleccin para la variable y estas soluciones

son posicionadas en la etapa i=i+1.

4. Si i=n, entonces se termina el algoritmo y se comparan las posibles soluciones para as elegir

la que mejor satisface la funcin objetivo del problema. Si i

El vector Solucin inicial es:

Entonces, el rbol que describe el proceso de ramificar y acotar es el siguiente:

5 Bibliografa

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