PROBLEMAS DE REDES

PROBLEMAS DE ARBOL DE EXPANSION MINIMA y RUTA CORTA

1.- El Ministerio de Energía está evaluando un proyecto para bombear la producción de los pozos de gas natural (ubicados mar adentro) hasta el pozo P1 el cual, por su cercanía a la playa, ya se encuentra conectado con el punto de entrega ubicado en tierra firme. Las interconexiones entre pozos se realizará mediante ductos y en la tabla adjunta se da el costo (cientos de miles de dólares) de conexión entre dos pozos. Se desea determinar la red de ductos que transporte el gas natural desde cualquiera de los pozos hasta el pozo P1, de manera que el costo total sea mínimo.

Costo ductos entre A B C D E F G H I J

P1 7 10 - 6 - 8 - - 15 10 A - 6 20 - 4 - 14 15 - - B 6 - 15 - 10 - - - - 6 C 20 15 - 7 20 12 - - - 8 D - - 7 - 3 - - - 15 9 E 4 10 20 3 - 5 13 6 - - F - - 12 - 5 - 7 - - - G 14 - - - 13 7 - 5 10 - H 15 - - - 6 - 5 - 12 - I - - - 15 - - 10 12 - 10 J - 6 8 9 - - - - 10 -

2.- Una determinada provincia del país posee 8 distritos (A, B, C, D, E, F, G, H) que aún no cuentan con luz eléctrica. El gobierno regional desea realizar un proyecto para electrificar dichos poblados, conectándolos con la hidroeléctrica que se encuentra en la capital de la provincia (P). Un estudio técnico ha recomendado que los cables eléctricos deben seguir la ruta de los caminos que unen dichos poblados.En la siguiente tabla se da las longitudes (en Km) de los caminos que unen en forma directa a dos poblados:

Distancia entre P A B C D E F G H

P - 20 35 - 24 30 - 15 - A 20 - 18 25 15 - 20 - 30 B 35 18 - 30 - 20 25 - 27 C - 25 30 - - 18 26 - - D 24 15 - - - 15 - 27 20 E 30 - 20 18 15 - 16 24 - F - 20 25 26 - 16 - 25 15 G 15 - - - 27 24 25 - 18 H - 30 27 - 20 - 15 18 -

Se desea que la luz llegue a todos los poblados de manera que la longitud total de cable sea mínimo. Resuelva el problema como un modelo de red aplicando el algoritmo adecuado y mostrando los pasos seguidos.

3.- Una reserva natural cuenta con 9 puestos de vigilancia unidos entre si por un sistema de caminos.

La longitud de los caminos que unen los puestos de vigilancia se da en la siguiente tabla:

Long. entre A B C D E F G H I J

A -- 7 6 2 -- -- 6 -- -- -- B 7 -- 4 3 6 -- -- -- -- -- C 6 4 -- 3 -- -- 8 5 -- -- D 2 3 3 -- 11 9 -- 8 -- -- E -- 6 -- 11 -- 7 9 -- 9 -- F -- -- -- 9 7 -- -- 6 10 -- G 6 -- 8 -- 9 -- -- 11 12 8 H -- -- 5 8 -- 6 11 -- 8 4 I -- -- -- -- 9 10 12 8 -- -- J -- -- -- -- -- -- 8 4 -- --

a) Se desea diseñar una red de telefonía fija que conecte todas las estaciones al mínimo costo total. Considere que el tendido de los cables telefónicos siguen la ruta de los caminos. (Nota: El costo de 1 km de cable telefónico incluido la mano de obra es de $2000).

b) Determine la ruta que debe seguir el supervisor de estaciones que se encuentra en A para llegar a la estación I en el menor tiempo posible. Considere que el supervisor viaja a pie a una velocidad de 4 km por hora.

Nota: En ambos casos utilice el algoritmo heurístico apropiado, indicando los pasos seguidos.

4.- Diariamente el parque nacional de Iguazú es visitada por cientos de turistas de todo el mundo. Este parque posee 13 puntos de observación de las cataratas, los cuales se encuentran interconectados por un sistema de caminos. El punto de entrada al parque es la estación A en el que se encuentra el puesto de primeros auxilios, puesto de bomberos, etc. En la siguiente tabla se da las longitudes (en metros) de los caminos que unen los puntos de observación:

Camino Long. (m) Camino Long. (m) Camino Long. (m)A – B 300 D – G 300 H – K 400A – C 500 E – H 700 I – K 600A – D 400 E – I 400 I – L 900B – C 200 E – F 200 I – J 200B – G 800 E – D 400 I – H 100B – F 200 F – H 500 J – K 600B – E 300 F – I 200 J – L 400C – E 500 F – J 800 K – M 300C – F 600 G – J 600 K – L 200D – F 200 G – F 300 L – M 500

I – M 1000a) Se desea contar con un sistema telefónico que una todos los puntos de

observación, ¿Cuál el la longitud de cable mínimo necesario para este propósito, si el cableado de la línea telefónica deben seguir los bordes del camino?

b) Determine la ruta que debe tomar el equipo médico que se encuentra en A para auxiliar a un turista que se encuentra en M

NOTA: Resuelva el problema utilizando los algoritmos heurísticos correspondientes y mostrando los pasos seguidos.

PROBLEMA DE REEMPLAZO DE EQUIPOS

1.- José Luis es un estudiante aplicado y acaba de ingresar a la UNI. Por este importante logro, sus padres han decidido obsequiarle $2,000 para que compre una PC nueva de última tecnología y lo mantenga durante toda su carrera. José Luis desea contar en todo momento con una PC operativa al mínimo costo total, pero le preocupa si el dinero asignado va a ser suficiente o no.Usted debe ayudarle a resolver este problema indicándole además qué estrategia debe adoptar durante los 5 años de carrera.Se conoce que:Precio de una PC nueva en cualquier año:$1000El precio de reventa de una PC usada y los costos de operación, dependen de su edad

EDAD PRECIO DE REVENTA($) COSTO DE OPERACIÓN ($)1 700 70 (año 1)2 500 100 (año 2)3 270 180 (año 3)4 150 250 (año 4)5 50 400 (año 5)

2.- Juan José es el nuevo gerente de una empresa contratado por 5 años. JJ posee un ahorro de $20,000 para comprarse un auto nuevo y el dinero restante para el mantenimiento del mismo durante los 5 años de su cargo gerencial.JJ desea optimizar el uso de su dinero, para lo cual analiza la posibilidad de renovar su auto uno o mas veces durante el período. Los datos que ha conseguido son los siguientes:Precio de compra de un auto nuevo en cualquier año: $12,000Costos operativos y de mantenimiento por cada año de uso:

Año: 1 2 3 4 5Costo $2,000 2,500 3,500 5,000 6,500

El valor de reventa de un auto usado depende del año de uso:Años de uso 1 2 3 4 5Valor ($) 10,000 9,000 8,000 6,500 4,500

a) Represente el problema como una red de costo mínimo y determine cuanto dinero le falta o le sobra a JJ al finalizar su contrato?

b) ¿En qué año(s) debe renovar su auto, si es que esto le conviene?

PROBLEMAS DE FLUJO MAXIMO

1.- Un sistema de acueductos que se origina en tres ríos (R1, R2, R3) traslada el agua a los reservorios (A, B, C, D) donde se les realiza un primer tratamiento, de allí se bombea el agua a los reservorios E, F, G, H donde se les realiza un segundo tratamiento para potabilizarlo. De estos reservorios se lleva el agua apta para el consumo humano, al reservorio de una importante ciudad T cuya capacidad diaria es 600 mil m3 .En la siguiente tabla se muestra la cantidad máxima de agua (m3) que puede bombearse por día, a través de cada acueducto:

De/a A B C D De/a E F G H De/a T

R1 75 65 -- 50 A 60 45 -- 50 E 110R2 40 50 60 50 B 50 45 45 30 F 190R3 -- 80 70 50 C -- 50 40 40 G 150

D -- 60 40 40 H 150

Se desea determinar la máxima cantidad de agua que puede fluir desde los ríos hacia la ciudad y comprobar usando la capacidad de corte mínimo de la red.

2.- Una empresa fabrica 3 tipos de productos (A, B, C). Posee dos fábricas cercanas F1 y F2 en las cuales pueden fabricar cualquiera de los productos y tienen capacidades de producción de 35 y 30 mil productos al mes respectivamente.Los productos fabricados son llevados a los almacenes de la empresa (A1,A2, A3, A4) desde donde se transportan a los centros de distribución CD1 y CD2 cuyas capacidades de almacenamiento son de 30mil productos al mes cada uno.Las capacidades máximas de transporte (en miles de unidades) para llevar productos de las fábricas a los almacenes y de los almacenes a los centros de distribución son:

Al Almacén A B C De/a CD1 CD2 A1 5 5 6 A1 5 7 A2 4 5 4 A2 9 8 A3 6 4 5 A3 7 9 A4 4 4 4 A4 6 6

Se desea llevar la máxima cantidad de productos desde las fábricas hacia los centros de distribución y determinar entonces cuántas unidades de cada tipo de producto se debe producir en cada una de las fábricas.Resuelva el problema como un problema de flujo máximo y utilice el corte mínimo de red para probar el resultado.

3.- La empresa MAPRE posee 4 fábricas (F1, F2, F3, F4) en las que fabrica un cierto producto PX. De estas fábricas los productos son llevados a los almacenes (A1, A2, A3) ubicados en diferentes lugares y desde allí son enviados a los clientes (C1, C2, C3, C4).. La capacidad de producción de cada una de las fábricas son:

F1: 200 unidades, F2: 120 unidades, F3: 160 unidades, F4: 200 unidades.Las capacidades de almacenamiento de A1 y A2 son de 280 y 200 productos PX respectivamente. A3 tiene capacidad para almacenar la cantidad que sea necesaria.La empresa ha recibido pedidos de sus clientes. El pedido de los clientes C1 y C2 es de máximo 200 productos cada uno y de C3 y C4 es de máximo 160 productos cada uno respectivamente.La capacidad máxima de transporte de las fábricas a los almacenes es:

De F1 a cada almacén: 80 productos, de F2 a cada almacén: 60 productosDe F2 a cada almacén: 40 productos, de F4 a cada almacén: 80 productos

La capacidad de transporte de los almacenes a los clientes son:De A1 a cada cliente: hasta 80 productosDe A2 a cada cliente: hasta 80 productosDe A3 a cada cliente: hasta 40 productos

a) ¿Cuál es la máxima cantidad de productos que en total las fábricas pueden enviar a sus clientes?. Resuelva el problema como una red de flujo máximo.

b) Pruebe su resultado con la capacidad de corte mínimo de red.

NOTA: Resuelva el problema utilizando el algoritmo heurístico correspondiente mostrando los cálculos y notaciones realizados.

4.- Una empresa posee 2 fábricas (F1, F2) que tienen la capacidad de fabricar productos A, B y C, los cuales serán enviados a sus clientes. Para el envío posee 4 vehículos de transporte (V1, V2, V3, V4).F1 tiene capacidad para producir 100 productos A, 50 productos B y 80 productos C.F2 tiene capacidad para producir 80 productos A, 100 productos B y 150 productos C.Pero ambas fábricas en total deben fabricar como máximo 150 productos A, 150 productos B y 200 productos C.

V1 tiene capacidad para transportar hasta 150 productos en total pero en èl no puede llevar mas de 50 productos del mismo tipo. V2 tiene capacidad para transportar hasta 200 productos en total pero en èl no puede llevar mas de 70 productos del mismo tipo.V3 tiene capacidad para transportar hasta 110 productos en total pero en èl no puede llevar mas de 40 productos del mismo tipo.V4 tiene capacidad para transportar hasta 160 productos en total pero en èl no puede llevar mas de 50 productos del mismo tipo.La empresa desea enviar a sus clientes la máxima cantidad de productos. Resuelva el problema utilizando el algoritmo heurístico adecuado y pruebe su resultado.