UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1. Considere o seguinte problema de programação linear:

Max G = 3 X1 + 4 X2

s.a. 2 X1 + 3 X2 ≤ 3600

15 X1 + 6 X2 ≤ 10800

X1, X2 ≥ 0

Recorrendo ao algoritmo do simplex revisto resolva completamente este problema.

2. Um sector de uma fábrica tem oito trabalhadores que fabricam dois produtos do mesmo tipo, um normal e

outro especial, vendidos com um lucro de 600 e 1000 u.m. por unidade, respectivamente. Este sector dispõe

ainda de três máquinas para o fabrico deste produto. O fabrico de uma unidade normal requer uma hora de

trabalho manual e 0.5 horas de trabalho máquina, enquanto que para o produto especial estes valores são

respectivamente de 1.8 e 0.6 horas.

2.1. Qual o número de unidades de cada tipo que deve ser produzido num dia de 8 horas de trabalho?

2.2. Qual a solução no caso do produto especial passar a ser vendido com um lucro de 1100 u.m. ?

2.3. Qual a solução no caso de haver uma redução para cinco horas diárias de trabalho manual e seis horas de

trabalho da máquina ?

2.4. Se o número de horas de laboração do produto especial passar para uma hora manual e 0.3 horas em

máquina, qual a solução óptima ?

2.5. Pensa-se lançar um novo produto, de qualidade intermédia vendido com um lucro de 800 u.m. e

necessitando de 0.5 horas de trabalho manual e 1 hora de trabalho máquina. Qual a nova solução óptima?

2.6. Qual a solução óptima se se pretender que o número de produtos fabricados não ultrapasse as 36

unidades.

3. Considere o seguinte problema de Programação Linear:

Max G = - 2 X1 + 4 X2

s.a. – X1 + 2 X2 ≤ 2

X1 + X2 ≤ 7

X1, X2 ≥ 0

Construa o quadro final do Simplex, sabendo que a solução óptima é obtida com a seguinte base (X2, X1).

4. Sabendo que a solução óptima de um problema com as seguintes características:

Objectivo: Min;

V. Decisionais: X1 e X2

Restrições do tipo ≤

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ É:

X1 X2 X3 X4

1 0 1 -1 0

0 1 0 1 4

0 0 1 1 8

Indique o problema inicial.

5. Um problema de programação linear foi formulado e resolvido, a solução óptima para ele obtida foi a

seguinte:

X2 + 2/3 X3 – 1/3 X4 = 10/3

X1 – 1/3X3 + 2/3 X4 = 10/3

- F + 1/3 X3 + 1/3 X4 = 20/3

Sabendo que se tratava de um problema de minimização, responda:

5.1. Qual é a base na solução óptima ? Quanto vale a F.O. nessa solução ?

5.2. Determine o vector de recursos e a matriz de intensidade das variáveis básicas do problema original.

6. O quadro seguinte é um quadro completo óptimo de um P.L. onde X3, X4 e X5 são variáveis de desvio ou

folga. As restrições são do tipo ≤. E o objectivo era maximizar.

X1 X2 X3 X4 X5 Termo independente

1 0 1/8 3/8 0 3/2

0 1 1/2 -1/2 0 2

0 0 1 -2 1 4

0 0 1/4 1/4 0 2

6.1. Apresente o modelo matemático do problema inicial.

6.2. Indique a solução óptima do problema.

7. Determinado problema de Programação linear depois de formulado permitiu obter as seguintes

expressões:

Max L = 4 X1 – 2 X2 + 2 X3 – X4

s. a X1 – X2 + 2 X3 + X4 ≤ 10

5 X1 +1,25 X2 – 5 X4 ≤ 20

X1 + 2X2 + 3 X3 + 4 X4 ≤ 42

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Que depois de resolvido pelo algoritmo simplex deu origem ao seguinte quadro:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

0 -0,625 1 1 0,5 -0,1 0 3

1 -0,375 1 0 0,5 0,1 0 7

0 4,875 -2 0 -2,5 0,3 1 23

0 1,125 1 0 1,5 0,5 0 25

7.1. Faça a interpretação económica da solução do problema;

7.2. Qual a consequência da introdução de um novo produto, representado pela variável X com os seguintes

coeficientes C8 = 1, A18 = 1, A28 = 1 e A38 = 0;

7.3. Diga se a solução se mantém, no caso do recurso da terceira restrição passar para 50.

8. Uma empresa do ramo alimentar pode produzir quatro tipos de óleos: óleo de palma, de coco, de soja e de

girasol com os lucros por litro produzido iguais a 5.5, 9, 6 e 10 u.m., respectivamente. Para determinar o

melhor plano de produção a empresa utilizou um modelo de programação linear, onde X1, X2, X3 e X4

representam respectivamente, as quantidades em litros a produzir semanalmente de cada tipo de óleo e a

função valoração é o lucro total semanal da empresa. As restrições dizem respeito às disponibilidades

semanais, em horas máquina, da secção de prensagem e a da secção de refinação, pela respectiva ordem,

conforme o modelo:

Max F = 5,5 X1 + 9 X2 + 6 X3 + 10 X4

s.a. 2 X1 + 6 X2 + 4 X3 + 8 X4 ≤ 200

4 X1 + 5 X2 + 6 X3 + 4 X4 ≤ 184

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

A resolução deste problema através do simplex, conduziu ao quadro seguinte da solução óptima:

X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 7/12 1/6 1 1/6 -1/12 18

1 2/3 4/3 0 -1/6 1/3 28

0 1/2 3 0 3/4 1 334

8.1. Faça a interpretação económica da solução óptima.

8.2. Suponha que por motivos de competitividade o preço de venda do óleo de girassol, terá de ser reduzido

em 1 u.m. por litro. Diga, qual o impacto que tal alteração terá no plano de produção e nos resultados da

empresa.

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8.3. A partir do problema original, admita que a empresa para aumentar a qualidade dos seus produtos,

pretende fazer passar as sementes das matérias primas por uma secção de selecção e preparação, dispondo

para o efeito de uma disponibilidade de 44 horas homem por semana e tendo a ocupação de 1 Hh por litro

produzido para os óleos de palma, de coco e girassol e 0,5 Hh para o óleo de soja. Nesta circunstância,

deverá ser alterado o plano de produção. Em caso afirmativo indicar o novo plano. (nesta alínea pode usar-se

o algoritmo simplex dual)

9. Uma empresa produz 3 produtos (P1, P2, P3). Para a sua produção considera uma restrição respeitante ao

nível mínimo de produção (NP) e outra respeitante à matéria prima disponível (MP). Com o objectivo de

maximizar o lucro total (em u.m.), a empresa determinou o plano óptimo de produção resolvendo o seguinte

problema de P.L.

Max G = X1 + 5 X2 + 4 X3

S . a. 5 X1 + 10 X2 + 2 X3 ≥ 10

4 X1 + 4 X2 + 2 X3 ≤ 16

X1, X2, X3 ≥ 0

Cujo quadro óptimo é:

X1 X2 X3 X4 X5

2 2 1 0 1/2 8

-1 -6 0 1 1 6

7 3 0 0 2 32

9.1. Admita que a quantidade disponível de matéria prima é de 13 unidades. Indique as consequências desta

alteração no plano óptimo de produção.

9.2. Determine para que valores do lucro unitário de P2 o actual plano de produção permanece óptimo.

10. Considere o seguinte problema de Programação Linear:

Max G = 3 X1 + X2 + 4 X3

s.a. 6 X1 + 3 X2 + 5 X3 ≤ P

3 X1 + 4 X2 + 5 X3 ≤ Q

X1, X2, X3 ≥ 0

Cuja solução óptima é:

X1 X2 X3 X4 X5

1 -1/3 0 1/3 -1/3 5/3

0 1 1 -1/5 2/5 3

0 2 0 r s 17

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 10.1. Apresente a base óptima e o valor correspondente da Função de Valoração.

10.2. Indique os valores representados por p, q, r e s .

10.3. Diga, justificando, quais as implicações que resultam de cada uma das seguintes alterações:

10.3.1. Um aumento em q de 8 unidades.

10.3.2. A mudança dos coeficientes C1 e C3 da Função de Valoração. C1 = 7 e C3 = 1.

10.3.3. Introdução de uma nova restrição 2 X1 + 7 X2 + 3 X3 ≤ 18.

11. Considere o seguinte problema de Programação Linear:

Max G = X1 + 3 X2

s.a. X1 + X2 ≤ 8

- X1 + X2 ≤ 4

X1 ≤ 6

X1, X2 ≥ 0

Sabe-se que a base óptima é (X1, X2, X5) e que o quadro abaixo corresponde ao quadro final do simplex

incompleto.

X1 X2 X3 X4 X5

1/2 -1/2 0 2

1/2 1/2 0 6

-1/2 1/2 1 4

0 0 0

11.1. Complete-o.

11.2. Estude a variação viável para o recurso da primeira restrição, mantendo a solução óptima.

11.3. Suponha que os coeficientes de X1 nas restrições eram alterados de (1, -1, 1) para (2, -1, 2) que efeitos

seriam de esperar na solução óptima.

12. Considere o seguinte problema de Programação Linear:

Max G = 3 X1 + 6 X2

s.a. 3 X1 + X2 ≤ 18

X1 + X2 ≥ 8

X1 ≤ 4

X1, X2 ≥ 0

Sabe-se que (X3, X2, X5) é uma das bases possíveis, e ainda que X3 e X5 são variáveis de folga da 1ª e 3ª

restrições respectivamente.

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 12.1. Verifique se esta base é óptima. Indique o valor das variáveis decisionais e o valor da função objectivo.

12.2. Diga, justificando, se a solução óptima se altera quando:

12.2.1. O coeficiente de X1 na função de valoração triplicar.

12.2.2. O recurso da 3ª restrição passar para o máximo de 12.

13. A empresa “Deque” procede à montagem e pinturas de secretárias de escritório, podendo produzir os

modelos, X1, X2 e X3 cujos lucros unitários são respectivamente de 120, 80 e 150 Euros.

A empresa estabeleceu o seu plano de produção, utilizando um modelo de programação linear, onde a

primeira restrição refere-se à capacidade semanal da linha de montagem (em horas-máquina) e a segunda à

disponibilidade por semana da secção de pintura (em horas-homem).

A solução óptima está expressa no quadro seguinte:

X1 X2 X3 X4 X5

1 0.6 1 0.1 0 24

0 3 0 -0.8 1 60

30 10 0 15 0 3600

13.1. Identifique a solução óptima.

13.2. A empresa tem a possibilidade de produzir um novo modelo cujos coeficientes técnicos de produção

são 5 horas-máquina na montagem e 10 horas-homem na pintura com um lucro unitário de 140 u.m.

Deverá introduzir o novo produto no seu plano de produção ? Em caso afirmativo, qual o novo plano a

implementar.

13.3. A partir do problema original, a empresa pode aumentar a curto prazo, a capacidade da sua linha de

montagem em 30 horas-máquina com um custo adicional de 400 u.m. por semana. Diga, justificando, se é

economicamente vantajoso para a empresa proceder a esse acréscimo de capacidade.

14. A ABC é uma empresa que pode produzir três modelos diferentes (X1, X2 e X3) de componentes para

computadores, cujos lucros unitários são, respectivamente, 12, 18 e 20 Euros. Para determinar o plano de

produção da empresa foi utilizado um modelo de programação linear, cujo quadro na solução óptima é:

X1 X2 X3 X4 X5 X6

2 1 0 0.8 0 -1 20

2 0 0 0.4 1 -2 40

-1 0 1 -0.6 0 1 30

4 0 0 2.4 0 2 960

Cujas restrições respeitam a:

1ª restrição – disponibilidade de 250 horas-homem diárias

2ª restrição – disponibilidade de 300 unidades de matérias-primas

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3ª restrição – capacidade instalada de 180 horas-máquina por dia.

14.1. Identifique a solução óptima.

14.2. Por razões de competitividade o preço de venda do modelo X2 tem de ser reduzido em 3 Euros,

implicando igual redução do respectivo lucro unitário. Diga, justificadamente, se esta redução deverá

implicar alteração no plano de produção da empresa e, em caso afirmativo, qual o novo plano a implementar.

14.3. A partir do problema original, suponha que a empresa tem a oportunidade de alugar 20 horas-máquina

da sua capacidade instalada ao preço de 5 Euros. Qual a decisão que deve ser tomada? Justifique.

15. Considere o seguinte problema de Programação Linear:

Max F = 2 X1 + 3 X2 + X3

s.a. 1/3 X1 + 1/3 X2 + 1/3 X3 ≤ 1

1/3 X1 + 4/3 X2 + 7/3 X3 ≤ 3

X1, X2, X3 ≥ 0

Cujo quadro óptimo é:

X1 X2 X3 X4 X5

1 0 -1 4 -1 1

0 1 2 -1 1 2

0 0 3 5 1 8

15.1. Apresente a base óptima e o valor correspondente da F.O.

15.2. Resolva o problema supondo as seguintes alterações:

15.2.1. Uma variação no termo independente b1 = 4.

15.2.2. Uma mudança nos coeficientes da F.O. C1 = 4 e C3 = 2.

15.2.3. A partir do problema original, estudar os efeitos de duplicar os coeficientes da variável X3 nas

restrições.

16. Considere o problema seguinte:

Max F = 2 X1 – X2 + X3

s.a. 3 X1 – 2 X2 + 2 X3 ≤ 15

- X1 + X2 + X3 ≤ 3

X1 – X2 + X3 ≤ 4

X1, X2, X3 ≥ 0

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Utilizando o algoritmo simplex obteve-se a seguinte solução óptima:

X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 1 5 1 3 0 24

0 0 2 0 1 1 7

1 0 4 1 2 0 21

0 0 2 1 1 0 18

16.1. Se a função objectivo passar a ser F = 5 X1 + X2 + 3 X3 alterar-se-á a solução óptima obtida?

16.2. Quais os limites entre os quais podem variar os recursos de modo a que o conjunto de variáveis que

constitui a base se mantenha ? Nestas condições, será aceitável um vector de recursos b = (-1/2, 1, –1)?

16.3. Introduzindo-se a nova restrição 2 X1 + X2 + 2 X3 ≤ 60 poderá manter-se óptima a solução original.

17. Considere o seguinte problema de P.L.

Max F = 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 – 3 X4

s.a. – 2 X1 + 3 X2 + X4 ≤ 20

6 X1 + X2 + X3 – X4 = 6

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Cujo quadro óptimo é:

X1 X2 X3 X4 X5

-5 0 -3/4 1 1/4 1/2

1 1 1/4 0 1/4 13/2

9 0 5/4 0 1/4 49/2

17.1. Que valores pode tomar o coeficiente de X2 na função objectivo de modo a que esta solução se

mantenha óptima ?

17.2. Se no problema inicial o termo independente for alterado para b = (20, 10) a solução mantem-se

possível e óptima ?

17.3. Suponha que se pretende acrescentar ao problema inicial uma variável X6 com coeficientes nas

restrições –1 e –1. Qual o coeficiente que ela deve ter na função objectivo de modo que a solução óptima

dada não seja única?

17.4. Qual a solução óptima do problema inicial se acrescentarmos a restrição X1 + 2 X2 – X4 ≤ 14.

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA Investigação Operacional Algoritmo Simplex Revisto e Análise de Sensibilidade. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 18. Considere o problema de Programação Linear.

Max F = X1 – 2 X2 + 3 X3

s.a. X1 – X2 + 2 X3 ≤ 10

-2 X1 + 2 X2 + X3 ≤ 4

X1, X2, X3 ≥ 0

Cujo quadro óptimo é:

X1 X2 X3 X4 X5

1 -1 0 1/5 -2/5 2/5

0 0 1 2/5 1/5 24/5

0 1 0 7/5 1/5 74/5

18.1. Que valores pode tomar o coeficiente de X1 na função objectivo mantendo-se esta solução óptima?

18.2. Se o coeficiente de X3 na função objectivo passar a ser 1 esta solução mantem-se óptima ? Se não, qual

a nova solução óptima?

18.3. Se, no problema inicial, o termo independente for modificado para b = (15,10) a solução mantém-se

óptima?

18.4. Suponha que pretende acrescentar ao problema inicial, uma variável X6 com coeficiente na função

objectivo 1 e coeficientes 1 e –2. Qual a solução óptima ?

18.5. Se acrescentar ao problema inicial a restrição – 2 X1 – X2 + X3 ≤ 2, a solução continua possível ?