Tema 6 investigaci on Operativa:

Procesos de Poisson Problemas resueltos

C URSO 2003-2004. C ONVOCATORIA

DE JUNIO DEL

2004

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3 PROBLEMA 5

1. Problema 1Sabemos que la duraci on del tipo de bombillas que usamos sigue una distribuci on exponencial de media 6 horas. Una persona entra en la habitaci on con la luz encendida dispuesta a permanecer 7 horas. Podr a hacerlo sin que se funda la bombilla? Respuesta: Se pide la probabilidad de que dure 7 h: P (c 7) = et = e7/6 Dado que la probabilidad es mayor que 0, puede pasar las 7 horas sin que se funda la bombilla aunque no es seguro.

2. Problema 2Consideremos un sistema multiprocesamiento con n procesadores. La llegada de trabajo sigue un proceso de Poisson de tasa . Suponemos que las llegadas se reparten aleatoriamente a cada procesador con la misma probabilidad. Cu al es la distribuci on del tiempo entre llegadas de trabajos a los procesadores? Respuesta: El sistema descrito se ajusta a un proceso de Poisson con tasa . Dado que hay n procesadores, se puede partir este proceso en otros n procesos, siendo cada uno de ellos las llegadas de trabajos a un determinado procesador. Estos procesos, tienen una tasa de n, as que la distribuci on del tiempo entre llegadas de trabajos a los procesadores es una exponencial de par ametro n: Exp ( n).

3. Problema 5En cierto sistema, un cliente debe ser servido primero por el servidor 1 y despu es por el servidor 2. El tiempo de servicio en el servidor i es exponencial con tasa i , i = 1,2. Una llegada que encuentra el servidor 1 ocupado, espera en cola por ese servidor. Cuando un cliente termina con el servidor 1, pasa al servidor 2 si este est a libre. Si el servidor 2 est a ocupado, el cliente se queda en el servidor 1 (impidiendo que sea servido otro cliente) hasta que el servidor 2 est e libre. Los clientes salen del sistema despu es de ser atendidos por el servidor 2. Si al llegar hay un cliente en el sistema al que est a atendiendo el servidor 1, Cu al es el tiempo total esperado que pasar as en el sistema? Y si al llegar est an los dos servidores ocupados? cliente 1 servidor 1 2 servidor 2

a) Cu al es el tiempo total esperado que pasar as en el sistema? El tiempo que se pasa en el sistema es el tiempo que se pasa esperando para entrar, el tiempo del servicio 1, el tiempo que se pasa esperando para entrar en 2 y el tiempo de servicio en 2.

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Tiempo esperado para entrar en 1, es el tiempo que pasa un cliente que encuentra el servidor 1 ocupado y debe esperar a que termine: = media de Exp (1 ) = 1 / 1 . Tiempo de servicio en 1 = 1 / 1 . Tiempo esperado para entrar en 2 = o Tiempo Probabilidad estar vac 0 2 2 + 1 Tiempo de servicio en 2 = 1 / 2 . Tiempo total = 1/1 + 1/1 + 1/2 1 /(1 + 2 ) + 1/2 b) Y si al llegar est an los dos servidores ocupados? El tiempo esperado para entrar en 1, es el tiempo de servicio en 1 si el servidor 2 termina antes que el 1, y el tiempo del servidor 2 si el servidor 1 es el que termina antes = 1/1 2 /(1 + 2 ) + 1/2 1 /(1 + 2 Tiempo de servicio en 1 = 1 / 1 . El tiempo esperado para entrar en 2 es el mismo que en el apartado anterior = 1/2 1 /(1 + 2 ) Tiempo de servicio en 2 = 1 / 2 . Tiempo total = 1/1 2 /(1 + 2 ) + 1/2 1 /(1 + 2 ) + 1/1 + 1/2 1 /(1 + 2 ) + 1/2 + + Tiempo esperando 1/2 Probabilidad ocupado 1 2 + 1

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Problema 6

Sean Xt , Yt dos procesos de Poisson independientes de tasas 1 y 2 , respectivamente que describen las llegadas de dos tipos de trabajos en un sistema.Calcular: a) Probabilidad de que un trabajo de tipo 1 llegue antes que un trabajo de tipo 2. La probabilidad de que una exponencial de tasa 1 llegue antes que una de tasa 2 es, por propiedades de la exponencial: 1 /(1 + 2 ) b) Probabilidad de que lleguen en una hora 4 trabajos. El sistema descrito, es un proceso de Poisson de tasa 1 + 2 . La probabilidad de que para t = 1 hora, lleguen N(t) = 4 es: P (N (1) = 4) = (e(1 +2 ) (1 + 2 )4 /4! c) Suponiendo que han llegado 4 trabajos, Cu al es la probabilidad de que los 4 sean de tipo 1? La probabilidad de que un trabajo sea de tipo 1 es 1 /(1 + 2 ), as que la probabilidad de que los 4 trabajos sean de tipo 1 es de P(4 trabajos de tipo 1) = (1 /(1 + 2 ))4

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6 NOTA DEL AUTOR

5. Problema 7 a de seguros debe afrontar sobre El numero de demandas que cierta compan sus p olizas, sigue un proceso de Poisson de tasa = 5 p olizas por semana. Si la cantidad de dinero pagado por cada p oliza se distribuya exponencialmente con media 2000. Cu al es la media y la varianza de la cantidad de dinero pagado por a de seguros en 4 semanas? la compan Este problema se puede modelizar como un proceso de Poisson compuesto: X (t) Cantidad de dinero pagado hasta t. N (t) N umero de demandas recibidas hasta t. X (t) =N (t) i=1 Yi

Por denici on de un proceso de Poisson compuesto: E (x(t)) = t E (Y1 ) = 5 4 2000 = 40000 V ar(x(t)) = t E (Y12 ) = 5 4 (V ar(Y1 ) + E (Y1 )2 ) = 20 (4 106 + 4 106 )

6. Nota del AutorPasar estos apuntes a Latex, ha sido un tanto tedioso, pero, dado que nunca tengo apuntes propios y tengo que ir fotocopiando los de mis compa neros, pues esta es mi aportaci on de apuntes para la posteridad. Para dudas, sugerencias, errores, agradecimientos o donaciones, escribid a: ester sin h@hotmail.com