CHƯƠNG I

Giới thiệu: Các hệ spin frustrated, hiệu ứng từ bề mặt.

Chương này trình bày một cách tổng quát về hệ spin frustrated, nhắc lại

một số tính chất cơ bản để giúp người đọc làm quen với các đối tượng sẽ được

nghiên cứu.

Phần cuối chương trình sẽ đưa ra một số dữ liệu thực nghiệm có ý nghĩa

trong những công trình được nêu trong luận án này.

1.1. Frustration

Xét 2 spin Si và Sj với hằng số tương tác J, năng lượng tương tác là E = -J

(Si , Sj). Nếu J là dương (tương tác sắt từ) thì cực tiểu của E là –J, tương ứng với

cấu hình trong đó Si song song với Sj. Nếu J < 0 (phản sắt từ) thì cực tiểu của E

tương ứng với cấu hình trong đó Si đối song với Sj. Dễ thấy rằng trong một hệ

spin với tương tác sắt từ lân cận gần nhất (NN), trạng thái cơ bản (GS) của hệ

tương ứng với cấu hình spin mà ở đó tất cả các spin là song song: tương tác của

mỗi cặp spin hoàn toàn thoã mãn. Điều này đúng cho bất cứ cấu trúc mạng nào.

Nếu J là phản sắt từ, cấu hình spin của GS phụ thuộc vào cấu trúc mạng:

1- Với các mạng không chứa các tam giác cơ sở, nghĩa là các mạng có

cạnh song song, chẳng hạn mạng hình vuông, mạng lập phương đơn giản, ... thì

GS là cấu hình trong đó mỗi spin đối song với các lân cận của nó, nghĩa là mỗi

liên kết hoàn toàn thoã mãn.

2- Đối với mạng chứa ô cơ sở tam giác như mạng tam giác, lập phương

tâm mặt (FCC), mạng lục giác xếp chặt (HCP), ta không thể xây dựng một GS

mà ở đó tất cả đều thoã mãn (xem hình 1.1). GS không tương ứng với cực tiểu

của tương tác của mỗi cặp spin. Trong trường hợp này ta nói là frustrated.

1

Chúng tôi xét tình huống khác, ở đó hệ spin có thể bị frustrated: đó là

trường hợp với các dạng khác nhau của tương tác (đối kháng) tương phản

(conflicting) và GS không tương ứng với cực tiểu của mỗi dạng tương tác . Ví

dụ , xem xét một chuỗi các spin, ở đó tương tác NN J1 là sắt từ, trong khi tương

tác NN tiếp theo (NNN) J2 là phản sắt từ. Chừng nào thì GS là sắt từ:

mỗi tương tác NN khi đó thoã mãn nhưng NNN thì không. Tất nhiên, khi

vượt quá một giá trị giới hạn, GS sắt từ không còn thoã mãn ( xem ví dụ dưới

đây): cả hai tương tác NN và NNN không hoàn toàn thoã mãn.

Nói chung, chúng ta có thể nói rằng một hệ spin frustrated khi ta không

thể tìm thấy một cấu hình của các spin hoàn toàn thoã mãn tương tác (liên kết)

giữa mỗi cặp spin. Nói cách khác, cực tiểu của E toàn phần không tương ứng với

cực tiểu của mỗi liên kết. Tình huống này xuất hiện khi có sự cạnh tranh giữa

các dạng tương tác khác nhau tác động lên một spin bởi các lân cận của nó hoặc

khi dạng hình học mạng không cho phép thoã mãn tất cả các liên kết một cách

đồng thời. Với định nghĩa này, chuỗi với các tương tác sắt từ NN và phản sắt từ

NNN được thảo luận ở trên bị frustrated, ngay cả trong trường hợp khi cấu hình

spin sắt từ là GS của nó ( ).

Hệ frustrated đầu tiên được nghiên cứu vào năm 1950 là mạng tam giác

với các spin Ising, tương tác với nhau thông qua tương tác phản sắt từ NN

. Với các spin vectơ, các cấu hình spin không đồng tuyến tính do các tương tác

cạnh tranh đã được phát hiện đầu tiên vào năm 1959 một cách độc lập bởi

Yoshimori[12], Villain[96] và Kaplan[33,168, 169], và các hệ spin frustrated là

đối tượng được khảo sát nhiều trong suốt 40 năm qua sau sự khởi đầu của

Villain[97] và Toulouse[56], lúc đó từ ”frustrated” lần đầu tiên được đưa ra.

Hãy khảo sát một phần tử cơ sở của mạng, phần tử này là một hình đa

giác được tạo bởi các mặt, từ nay về sau được gọi là ”mặt cắt” . Ví dụ phần tử cơ

sở mạng là một khối lập phương đơn giản với 6 mặt vuông, phần tử cơ sở của

mạng FCC là một hình tứ diện được tạo bởi 4 tam giác đều. Gọi Jij là tương tác

2

giữa 2 spin NN trên mặt cắt. Theo định nghĩa của Toulouse, mặt cắt bị frustrated

nếu tham số P được định nghĩa dưới đây là âm:

(1.1)ở đó tích được lấy theo tất cả các Jij xung quanh mặt cắt.

Hai ví dụ của mặt cắt bị frustrated được chỉ ra ở hình 1.1: một tam giác

với 3 liên kết phản sắt từ và một hình vuông với 3 liên kết phản sắt từ và 1 liên

kết sắt từ, với P < 0 trong cả hai trường hợp. Ta thấy rằng nếu ta cố gắng đặt các

spin Ising trên các mặt cắt này thì có ít nhất một trong số các liên kết xung

quanh mặt cắt sẽ không thoả mãn. Đối với các spin véctơ, chúng ta chỉ ra rằng

trong trạng thái năng lượng thấp nhất, mỗi liên kết chỉ thoả mãn một phần.

Hình 1.1: Các ví dụ của mặt cắt bị frustrated: các tương tác sắt từ J và phản sắt

từ -J được biểu thị bởi các đường đơn và kép, các spin Ising ↑ và ↓ được biểu

diễn bởi các vòng tròn đặc và rỗng. Chọn bất cứ sự định hướng nào đối với spin

được đánh bởi dấu ? sẽ làm cho một trong số các liên kết của nó không được

thoã mãn ( liên kết frustrated ).

Ta thấy rằng với mặt cắt tam giác, độ bội suy biến là 3 và đối với mặt cắt

hình vuông độ bội suy biến là 4. Độ suy biến liên quan tới sự quay của tất cả các

spin, bởi vậy độ suy biến của một mạng vô hạn tạo bởi các mặt cắt như vậy là vô

hạn, ngược với trường hợp không bị frustrated.

Chúng ta chú ý rằng, phần trình bày ở trên chúng ta chọn tương tác giữa 2

spin có dạng E = -J (Si , Sj), song khái niệm frustrated có thể được áp dụng đối với

các dạng tương tác khác, chẳng hạn tương tác Dzyaloshinski-Moriya E = -J |(Si

3

^Sj)| : một hệ spin là frustrated chừng nào cực tiểu năng lượng của hệ không

tương ứng với cực tiểu của tất cả các tương tác cục bộ, dù là dạng tương tác nào.

Như vậy định nghĩa này của frustrated là tổng quát hơn so với định nghĩa ở công

thức 1.1.

Việc xác định GS của các hệ spin frustrated Ising cũng như việc thảo luận

về các tính chất của chúng được trình bày chi tiết trong cuốn sách do Diep và

Giacomini viết . Trong phần tiếp theo chúng tôi phân tích GS của các spin

XY và Heisenberg.

1.2. Các cấu hình spin không đồng tuyến tính

Chúng ta trở lại mặt cắt được biễu diễn ở hình 1.1. Trong trường hợp các

spin XY, ta có thể tính cấu hình GS bằng cách lấy cực tiểu năng lượng của mặt

cắt E trong khi giữ độ lớn spin không đổi. Trong trường hợp mặt cắt tam giác,

giả sử rằng spin Si(i=1,2,3) có độ lớn S tạo góc với trục Ox. Viết E và lấy cực

tiểu theo các góc , ta có:

Nghiệm của 3 phương trình cuối là . Ta có thể

viết:

E = J(S1.S2 + S2.S3 + S3.S1) = - JS2 + (S1 + S2 + S3)2

Cực tiểu ở đây rõ ràng tương ứng với S1 + S2 + S3 = 0 cho cấu trúc 1200. Điều

này cũng đúng với các spin Heisenberg.

4

Chúng ta cũng có thể thực hiện thuật toán tương tự với trường hợp mặt cắt

hình vuông bị frustrated . Giả sử liên kết giữa các spin S1 và S2 là phản sắt

từ. Chúng ta thấy tìm:

và (1.2)

Nếu liên kết phản sắt từ bằng - J, nghiệm đối với các góc là:

(1.3)

và , trong đó .

Nghiệm này tồn tại nếu , tức là . Ta có thể kiểm tra lại khi

, ta có , .

Chúng tôi chỉ ra các mạng hình vuông và các mạng hình tam giác bị

frustrated trên hình 1.2 với các spin XY (N = 2).

Hình 1.2: Cấu hình spin không đồng tuyến tính của các mặt cắt hình vuông và

hình tam giác bị frustrated với các spin XY: Các tương tác sắt từ và phản sắt từ J

và -J được biểu diễn bởi các đường đơn và đôi.

Ta thấy rằng có một sự suy biến bội 2 gây ra từ sự đối xứng bởi phản xạ

gương tương ứng với một trục, ví dụ trục y trong hình 1.2. Bởi vậy đối xứng của

các mặt cắt này là đối xứng kiểu Ising O(1), cùng với đối xứng SO(2) do sự bất

biến bởi phép quay toàn phần của các spin trong mặt phẳng. Các mạng tạo bởi

các mặt cắt này trong phần tiếp theo sẽ được gọi là ” mạng tam giác phản sắt từ”

và ”mạng Villain” một cách tương ứng.

5

Từ đối xứng GS của các hệ này, ta suy ra rằng các sự chuyển pha do phá

vỡ các đối xứng O(1) và SO(2) tại các nhiệt độ khác nhau, gọi là chuyển pha

kiểu Ising trong mạng 2 chiều và chuyển pha kiểu Kosterlitz-Thouless

. Câu hỏi đặt ra là liệu 2 sự chuyển pha có diễn ra ở cùng nhiệt độ hay

không và bản chất chung của chúng là gì, cho đến nay vẫn là câu hỏi mở .

Một ví dụ khác là trường hợp của một chuỗi spin Heisenberg với tương

tác sắt từ J1(>0) giữa NN và tương tác phản sắt từ J2(<0) giữa NNN. Khi

lớn hơn giá trị tới hạn , cấu hình của GS trở nên không đồng tuyến

tính. Cấu hình xoắn ốc được biểu diễn ở hình 1.3 là thu được bằng cách lấy cực

tiểu của năng lượng:

trong đó ta đã giả sử rằng góc giữa các spin NN là .

Hai nghiệm là:

(sắt từ)

và arccos (1.5)

Nghiệm sau là khả dĩ nếu -1 cos 1, tức là hoặc

Trong ví dụ này có hai cấu hình suy biến: cùng chiều kim đồng hồ và

ngược chiều kim đồng hồ.

6

Hình 1.3: Cấu hình xoắn khi (J1 > 0, J2 < 0).

Trong phần tiếp theo ta định nghĩa một tham số xoắn (chiral) đối với mỗi

mặt cắt. Ví dụ, trong trường hợp của một mặt cắt tam giác, tham số xoắn được

cho bởi:

Trong đó hệ số được đưa ra sao cho sự suy biến tương ứng với

kj =

Chúng ta có thể tạo một mạng tam giác bằng cách sử dụng các mặt cắt

như được chỉ ra ở hình 1.4. GS tương ứng với trạng thái ở đó tất cả các mặt cắt

có định hướng giống nhau, có tính phản đối xứng giống nhau: Mặt cắt có tính

phản đối xứng dương (k = 1) và các mặt cắt có tính phản đối xứng âm (k = -

1). Nếu là spin Ising, chúng ta có một trật tự phản sắt từ hoàn hảo, trật tự này bị

phá vỡ tại một nhiệt độ chuyển pha mà ở đó hệ số k bị triệt tiêu.

Hình 1.4: Mạng tam giác phản sắt từ với các spin XY. Các phản đối xứng dương

dương và âm được biểu thị bởi dấu + và -.

7

trục c

Chúng ta chỉ ra 2 hệ spin frustrated thường gặp, ở đó tương tác NN là

phản sắt từ: đó là mạng lập phương tâm mặt và mạng lục giác xếp chặt. Hai

mạng được tạo ra bằng cách gắn tứ diện với 4 mặt tam giác. Sự frustration do

cấu trúc mạng như trong các trường hợp này được gọi là “ frustration hình học”.

1.3. Từ xoắn: Sự kích thích cơ bản

Trong một số phần của luận án này, phổ sóng - spin trong các màng mỏng

bị frustrated thường được sử dụng để tính các tính chất nhiệt động lực học. Dưới

đây là phương pháp chung để khảo sát các sóng – spin kích thích trong các hệ

spin không đồng tuyến tính.

Xét một tinh thể có cấu trúc tứ diện tâm khối, ở đó ta đưa ra một tương tác

phản sắt từ J2 < 0 giữa NNN dọc theo trục c, từ nay về sau gọi là trục y, ngoài

tương tác sắt từ J1 > 0 giữa các NN dọc theo hướng . Hàm Hamintonian có

dạng:

trong đó D > 0 là hệ số bất đẳng hướng trong mặt phẳng, nó cho phép ổn định

các spin trong mặt phẳng xz.

Ta có thể xác định giá trị tới hạn của /J1 bằng phương pháp như ở

phần trước, ta thu được . Khi thì các spin NN nằm trong hai mặt phẳng

liên tiếp vuông góc với trục y và tạo một góc Q với:

Các spin nằm trong cùng mặt phẳng xz là // với nhau. Đặt là các vectơ

đơn vị tạo thành một góc tam diện thuận tại nút i mà song song với trục y.

Ngoài ra ta giả sử rằng trục lượng tử hoá của spin Si dọc theo trục địa phương

như hình 1.5.

Ta sử dụng các phép biến đổi sau đây:

8

Trong hệ toạ độ địa phương ta biết:

bởi vậy:

Hình 1.5: Các toạ độ địa phương được xác định đối với Si và Sj . Trục là trục

chuẩn.

Nói chung góc Q phụ thuộc vào các vị trí của Si và Sj. Ta đặt cosQ =

cos(Q.Rij), trong đó Q là véctơ có độ lớn Q, vuông góc với mặt phẳng của góc

Q, tức là vuông góc với mặt phẳng , và Rij là véctơ nối các vị trí của các

spin Si và Sj. Ta coi J(Rij) như là tương tác giữa Si và Sj và ta sẽ thay nó bởi J1

hoặc J2 ở cuối phép tính. Hàm Hamintonian (1.7) được viết lại :

9

Từ Hamintonian này ta có thể chọn một phương pháp để tính phổ sóng -

spin : hoặc là phương pháp gần đúng Holstein-Primakopff, hoặc phương pháp

hàm Green hoặc bằng cách sử dụng phương trình chuyển động của toán tử spin.

Ta thu được hệ thức sau đây, hay phổ sóng spin trong gần đúng điều hoà

viết dưới dạng toán tử Holstein-Primakopff :

trong đó :

(Tổng lấy theo Rij nối các vị trí i và j) (1.19)

Ta có thể chéo hoá (1.18) bằng cách đưa ra các toán tử mới :

trong đó và tuân theo các hệ thức giao hoán thông thường. Hàm

Hamintonian (1.18) được chéo hoá nếu ta chọn :

Khi đó ta có :

10

Trong đó năng lượng riêng của magnon với véctơ sóng spin k là :

Hình 1.16 : Phổ Magnon như là hàm của kzc trong một heli-magnet được định

nghĩa bởi (1.7) với Q= , kx = ky = 0.

Trong trường hợp mạng tứ giác tâm khối, ta có:

trong đó ta đã áp dụng (1.8), a và c là các hằng số mạng. Phổ magnon được biểu

diễn ở (1.6) với Q = Q= . Ta thấy rằng tần số magnon bằng 0 không chỉ tại k =

0 mà tại kz = Q do đối xứng GS.

1.4. Các hiệu ứng frustration

Các hiệu ứng frustration phong phú và có những tính chất dị thường.

Nhiều hiệu ứng chưa được nghiên cứu ( xem ).

11

Thực tế là các vật liệu từ thường bị frustration do các dạng tương tác khác

nhau, các hệ spin frustration có đặc điểm riêng quan trọng trong cơ học thống

kê, nhiều phương pháp và lý thuyết thống kê được xây dựng nhưng lý thuyết đó

gặp quá nhiều khó khăn khi đối mặt với các hệ frustration . Theo nghĩa nào đó,

các hệ frustration là các ứng cử viên tuyệt vời để kiểm chứng các phương pháp

gần đúng và để hoàn thiện các lý thuyết.

Các cơ chế của nhiều hiện tượng vẫn chưa được hiểu rõ trong các hệ thực

( các hệ phi trật tự, các hệ với tương tác tầm xa, các hệ ba chiều, …). May mắn

là có một vài hệ Ising frustration hai chiều có thể giải được chính xác. Các kết

quả chính xác đó cho phép hiểu một cách định tính tính chất của các hệ thực, mà

nói chung phức tạp hơn nhiều. Cho đến nay rất ít hệ giải được một cách chính

xác, chúng bị giới hạn bởi một hoặc hai chiều . Một vài hệ đã cho thấy rõ

các tính chất khác thường bao gồm mạng centered square và các mạng

được mở rộng ra từ nó , mạng Kagomé , và mạng tổ ong

tâm khối bất đẳng hướng , và một vài tinh thể

Các mô

hình cụm phức tạp , và một trường hợp 3 chiều cụ thể đã được giải quyết

. Các giản đồ pha trong các mô hình frustrated cho thấy rất nhiều tính chất.

Chúng ta hãy đề cập một vài hệ quả nổi bật của frustration. Độ suy biến của

trạng thái cơ bản là rất cao, thường là vô hạn. Ở nhiệt độ hữu hạn, trong một số

hệ, độ suy biến bị giảm bởi các thăng giáng nhiệt, các thăng giáng này chọn lựa

trạng thái với entropy lớn nhất. Điều này được gọi là “ trật tự bởi bất trật tự “

, trong trường hợp Ising. Các thăng giáng lượng tử hoặc các thăng giáng

nhiệt cũng có thể được lựa chọn các cấu hình spin cụ thể trong trường hợp của

các spin véctơ . Hiện tượng đáng chú ý khác là sự đồng tồn tại của trật tự

và bất trật tự ở trạng thái cân bằng: một số lượng spin trong hệ là mất trật tự tại

mọi nhiệt độ, thậm chí cả ở trong một pha có trật tự . Frustration cũng là

nguồn gốc của hiện tượng góc lõm (reentrance). Một pha reentrance có thể được

xem như là một pha mất trật tự ở tầm xa , hoặc không hề có trật tự, diễn ra ở một

12

khu vực phía dưới một pha có trật tự trên thang nhiệt độ. Ngoài ra frustration

cũng có thể sinh ra các đường bất trật tự trong giản đồ pha của nhiều hệ.

Trong trường hợp các mô hình spin khác với mô hình Ising, các tính chất

của các hệ frustration chưa được hiểu rõ. Có một số lượng lớn các công trình

nghiên cứu gần đây liên quan tới các hệ spin lượng tử frustrated, các hệ spin

frustrated XY và Heisenberg, mô hình frustrated Potts …Nhiều công trình thực

nghiệm cũng được tiến hành trên các vật liệu frustrated .

Chúng ta sẽ chỉ đề cập một vài chủ đề đang được tranh luận gần đây:

1- Bản chất của dịch chuyển pha trong các hệ frustrated với các spin véctơ

(N thành phần):

Ta đã thấy ở mục 1.3 rằng trong trường hợp các spin N thành phần,

frustration dẫn tới một GS không đồng tuyến tính. Khi không có lời giải chính

xác, ta dùng các phương pháp gần đúng và mô phỏng số để xác định bản chất

của dịch chuyển pha diễn ra trong các hệ này. Hầu hết các mô phỏng số đã được

tiến hành cho đến nay trong các hệ có số chiều d = 2 và d = 3 với N = 2 ( XY) và

N = 3 (Heisenberg) .Ta có thể tóm tắt những hiểu biết cơ bản trên mô phỏng này

: người ta tìm thấy các thành tố tới hạn mà chúng không tuân theo những quy

luật thông thường. Một ví dụ đã được khảo sát kỹ là mạng phản sắt từ tam giác

xếp chặt tại d = 3 với các spin Heisenberg: một vài nhóm nghiên cứu đã tìm thấy

, , mâu thuẫn với các kết quả thực

nghiệm (ví dụ, với VCl2: , , , và với

VBr2: .

Hầu hết các nghiên cứu đã được tiến hành với lý thuyết nhóm tái chuẩn

hoá. Trong các trường hợp 3 chiều, với N = 2 và N = 3 sự tiên đoán của một quy

luật mới được đưa ra bởi H.Kawamura dựa trên một sự phát triển vòng lặp

đã là đối tượng được thảo luận trong suốt hai thập kỷ qua . Các cách

tiếp cận khác, chẳng hạn trong một mô hình sigma phi tuyến và các

mô hình 3 vòng lặp đã mở ra các viễn cảnh khác. Tuy nhiên những

kết quả đó lại mâu thuẫn với các kết quả thu được từ phương pháp mô phỏng số.

13

Một số công trình gần đây sử dụng cách tiếp cận không nhiễu loạn cho thấy với

N = 3 tồn tại một chiều tới hạn dc=2.87, với số chiều lớn hơn số chiều tới hạn đó

thì sự chuyển pha là loại I . Kết quả này nói rằng sự dịch chuyển pha với d =

3, gần với dc, thì sẽ tồn tại chuyển pha loại I yếu. Các luỹ thừa tới hạn được tìm

thấy bởi các mô phỏng Monte Carlo được diễn giải theo lý thuyết này như là các

luỹ thừa tới hạn của một dịch chuyển yếu bậc I.

2- Các thăng giáng lượng tử trong các hệ frustrated thấp chiều: Chúng ta

biết từ lý thuyết sóng spin rằng các tương tác phản sắt từ gây ra các thăng giáng

lượng tử ở nhiệt độ thấp (thậm chí tại T = 0) trong các hệ spin không bị

frustrated. Trong các hệ spin frustrated, ta kỳ vọng rằng các thăng giáng này trở

nên mạnh hơn, đặc biệt trong các hệ thấp chiều. Với d = 1, một số hệ thậm chí

không có trật tự tại T = 0, sự co spin tại điểm 0 mạnh đến mức sự trật tự ở tầm

xa không thể diễn ra. Câu hỏi sự trật tự có diễn ra hay không tại T = 0 ở d = 2 là

đề tài được nghiên cứu gần đây .

3- Một câu hỏi mở đó là ngoài mô hình spin Ising ra, pha reentrance có

thể xuất hiện trong các mô hình spin khác hay không?

4- Liệu sự đồng thuận của trật tự và bất trật tự có tồn tại trong các mô

hình spin khác với mô hình Ising hay không? Một số công trình gần đây đưa ra

một câu trả lời khẳng định cho câu hỏi này .

5- Trật tự bởi bất trật tự:

Đây là một khái niệm rất thú vị mà gợi ý rằng trong các trạng thái

GS suy biến, hệ lựa chọn trạng thái có số trạng thái bị kích thích lớn nhất ở vùng

năng lượng thấp. Nói cách khác, hệ lựa chọn trạng thái có Entropy lớn nhất. Bởi

vậy một sự trật tự được thiết lập trên thông số Entropy (bất trật tự). Giả thiết này

đã được kiểm chứng trong một số hệ frustrated. Chú ý rằng sự lựa chọn này bởi

Entropy cũng được áp dụng cho các hệ lượng tử tại T = 0, ở đó các dao động

lượng tử thay thế các dao động nhiệt.

1.5. Từ bề mặt:

14

Phần này trình bày một số khái niệm cơ bản, một số định nghĩa cần thiết

để hiểu các hiệu ứng bề mặt khác nhau, đặc biệt là các domain từ mà nó có

nhiều ứng dụng trong cuộc sống.

1.5.1. Giới thiệu:

Tính chất của một vật liệu thay đổi nhanh khi kích cỡ của nó trở nên rất

nhỏ (thang nm). Chẳng hạn các màng siêu mỏng (các lớp một vài nguyên tử) và

các hạt siêu nhỏ (chứa vài nguyên tử đến vài trăm nguyên tử). Các hệ siêu nhỏ

này là đối tượng được nghiên cứu nhiều trong suốt bốn mươi năm qua. Công

nghệ sử dụng các đối tượng ở thang nm này được gọi là “công nghệ nanô”. Về

khía cạnh thực nghiệm, nhiều phương pháp đã được phát minh để nghiên cứu

các hiệu ứng bề mặt (ví dụ Zangwill và Heinrich . Nhiều hiệu ứng nổi

bật đã được tìm thấy và áp dụng, đặc biệt Vật lý các màng từ mỏng và đa lớp là

đối tượng được khảo sát nhiều trong các thập kỷ qua . Điều này, một mặt

là do rất nhiều ứng dụng đã được ghi nhận, mặt khác do những sự quan tâm cơ

bản trong sự hiểu biết các cơ chế Vật lý liên quan trong các hệ kích thước nhỏ

này, mà tương đối khác so với các hệ khối. Một trong những tính chất quan

trọng của đa lớp là hình dạng của đường từ trễ của hệ dưới tác dụng của từ

trường. Tính chất thú vị khác trong các vật liệu đa lớp tạo bởi các màng rất

mỏng là sự bất đẳng hướng của từ tính theo phương vuông góc. Đặc biệt đã

quan sát thấy rằng sự từ hoá của màng vuông góc với bề mặt màng ở nhiệt độ T

thấp, có thể thay đổi thành cấu hình song song ở nhiệt độ T trung bình trước khi

trở nên bất trật tự ở nhiệt độ cao hơn. “Sự định hướng lại của độ từ hoá” đã được

chứng minh là hệ quả của sự cạnh tranh giữa sự bất đẳng hướng theo phương

vuông góc và tương tác lưỡng cực tầm xa .

Về mặt lý thuyết, cũng đã có nhiều nỗ lực trong việc nghiên cứu Vật lý bề

mặt. Nhiều lý thuyết và phương pháp gần đúng mới đã được đề xuất để giải

15

thích các kết quả thực nghiệm và tiên đoán các hiện tượng mới . Đặc

biệt, với các màng từ mỏng, đã chỉ ra từ lâu rằng các loại định xứ hoá bề mặt

nằm ở vùng năng lượng thấp đóng vai trò quan trọng trong các tính chất nhiệt

động lực học của các màng mỏng ở nhiệt độ T thấp. Một trong những hiệu ứng

của các loại bề mặt này là độ từ hoá bề mặt thấp so với bên trong khối .

Cần phải lưu ý điều này khi phân tích các kết quả số và giải tích.

Vì dạng hình học của các hệ có kích thước rất nhỏ (các chấm, các màng

mỏng, …) và các điều kiện bề mặt của chúng là phức tạp, các tính toán giải tích

thường là không thể. Bởi vậy ta cần mô phỏng số để khảo sát các tính chất nhiệt

động lực học của các hệ này. Vì vậy công trình được tiến hành trong luận án này

là sự kết hợp của mô phỏng số và các giải tích khi có thể.

1.5.2. Dạng hình học bề mặt và tương tác bề mặt:

Do sự tồn tại của bề mặt mà những sự thay đổi khác nhau có thể quan sát

thấy:

- Bề mặt sạch: đây là trường hợp lý tưởng, ở đó có sự thay đổi của cấu trúc

mạng ở lớp bề mặt.

- Bề mặt với sự bất trật tự: có các bậc, các đảo, các vùng trống ...).

- Bề mặt với các dạng khác của các nguyên tử như là không tinh khiết, các

nguyên tử hấp thụ hoá học, các nguyên tử hấp thụ bề mặt, ...

- Sự thay đổi của các tham số tương tác: mật độ trạng thái của bề mặt (cấu trúc

vùng điện tử), mômen từ bề mặt, bất đẳng hướng bề mặt (độ lớn, dấu, định

hướng), tương tác trao đổi bề mặt…

- Sự tái cấu trúc bề mặt của cấu trúc tinh thể: sự giãn hoặc sự co của hằng số

mạng, cấu trúc từ (cấu hình spin có thể không đồng tuyến tính ở gần bề mặt).

Khi nghiên cứu các màng mỏng này chúng ta phải kể tới một hoặc vài

thay đổi nói trên. Đây là một nhiệm vụ phức tạp khi một vài tham số được kể

tới.

16

1.5.3. Các kích thích bề mặt cơ bản: các sóng spin bề mặt

Chúng ta thấy rằng các sóng spin dưới bề mặt ảnh hưởng mạnh đến các

tính chất từ của màng mỏng

Để có mô hình về các loại sóng spin bề mặt lý tưởng, ta xét một màng sắt

từ mỏng tạo bởi các lớp NT. Bề mặt này tương ứng với chỉ số n = 1 và lớp cuối

cùng (bề mặt đáy) ứng với n = NT. Trục Oz được chọn vuông góc với màng.

Trong các vật liệu khối, sóng spin có biên độ không đổi trong không gian.

Trong các màng mỏng, có thể tồn tại một loại bề mặt tương ứng với trường hợp

ở đó biên độ sóng spin giảm từ bề mặt vào bên trong. Nó được chỉ ra ở hình 1.7.

Ta có thể biểu diễn biên độ của một loại bề mặt bởi hàm ,

trong đó n biểu thị số thứ tự của lớp và là vị trí của một nút mạng

nằm dọc lớp thứ n mà thành phần của nó trên trục Oz là z = na, a là khoảng cách

giữa 2 lớp liên tiếp theo hướng z. Một loại bề mặt tương ứng với véctơ sóng

phức k = k1 + ik2. Biên độ của nó giảm khi truyền vào bên trong (n

tăng).

17

Hình 1.7: Sóng spin tại bề mặt (trên) và trong khối (dưới).

Dễ dàng tính được phổ sóng spin đối với tinh thể bán vô hạn hoặc màng

mỏng. Phép gần đúng thứ nhất bao gồm việc viết các phương trình chuyển động

cho các toán tử spin S+ và S- đối với một spin tại bề mặt và cho các spin ở các

lớp dưới để thu được một hệ phương trình. Tiếp theo sử dụng biến đổi Fourier

theo thời gian và trong mặt phẳng đối với các phương trình này và giải, chúng ta

thu được các tần số sóng spin và các biên độ sóng spin.

Các loại bề mặt định xứ thường nằm ngoài dải sóng spin liên tục phía

trong khối và các biên độ của chúng bị giảm từ bề mặt vào bên trong như đã nói

ở trên. Thông thường các tần số của các loại bề mặt phụ thuộc vào tương tác trao

đổi bề mặt, sự bất đẳng hướng bề mặt, mô men bề mặt.

1.5.4. Ví dụ: Các màng sắt từ mỏng

Chúng ta trình bày một ví dụ trong đó các loại bề mặt ảnh hưởng tới tính

chất nhiệt động lực học của các màng sắt từ mỏng (TFF), ngay cả trường hợp

một bề mặt sạch không có các thay đổi về các thông số bề mặt. Một trong số các

hiệu ứng nổi bật là độ từ hoá bề mặt nhỏ so với độ từ hoá bên trong khối. Một

hiệu ứng khác là nhiệt độ tới hạn bề mặt thấp hơn so với trong khối, tuy nhiên

nó thường phụ thuộc vào độ dày của màng.

Ta khảo sát một màng sắt từ mỏng gồm NT lớp với các spin Heisenberg.

Hàm Hamiltonian được cho bởi:

Trong đó và là độ bất đẳng hướng. Khi Dij rất lớn so với Jij,

các spin thể hiện như các spin Ising. Thừa số 2 được đưa vào do tính chất lịch

sử. Sử dụng phương pháp hàm Green (GFM), ta thu được phổ sóng spin và độ từ

18

hoá cho từng lớp như là hàm của nhiệt độ. Chú ý rằng, không giống lý thuyết

sóng spin (lý thuyết Holstein-Primakoff), phương pháp hàm Green cho phép

chún ta tính toán gần tới điểm nhiệt độ tới hạn.

Phổ sóng spin

Hình 1.8 và 1.9 là phổ sóng spin của các màng mỏng sắt từ của các mạng

hình lập phương đơn (SC) và mạng lập phương tâm khối (BCC), với NT = 8. Tất

cả các tương tác được giả thiết là đồng nhất tại mọi nơi và bằng J. Độ bất đẳng

hướng D là đều bằng 0,01J. Ta thấy rằng màng mỏng SC không có nhánh bề

mặt, trong khi màng mỏng BCC có 2 nhánh bề mặt. Mỗi một nhánh này tương

ứng với một bề mặt. Nếu độ dày lớn hơn thì hai nhánh này trở nên suy biến.

Hình 1.8. Phổ sóng spin của màng sắt từ SC như là hàm của với

NT = 8 và D/J = 0.01.

19

Hình 1.9. Phổ sóng spin của màng mỏng sắt từ BCC như là hàm của

với NT = 8 và D/J = 0.01. Các nhánh bề mặt được ký hiệu bởi MS.

Độ từ hoá của lớp

Hình 1.10 cho biết độ từ hoá đối với 2 lớp đầu tiên trong trường hợp NT =

4 đối với các màng mỏng SC (a) và BCC (b). Ta thấy rằng độ từ hoá bề mặt nhỏ

hơn độ từ hoá của lớp thứ hai. Sự khác biệt này thể hiện rõ hơn trong trường hợp

BCC do sự tồn tại của các nhánh bề mặt. Ta cũng quan sát thấy rằng nhiệt độ tới

hạn Tc thấp hơn nhiều so với trong khối trong cả hai trường hợp. Tuy nhiên độ

giảm của Tc thì mạnh hơn so với trường hợp SC do các loại bề mặt.

Hình 1.10: Các màng mỏng sắt từ SC (a) và BCC (b). Độ từ hoá của lớp như là

hàm của T, với NT = 4, D = 0.01J, J = 1. Các đường cong phía dưới (trên) tương

ứng với n = 1(2).

20

1.5.5. Sự chuyển pha bề mặt

Sự chuyển pha bề mặt có thể được nghiên cứu bằng phương pháp số, khai

triển tại vùng nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp, lý thuyết nhóm tái chuẩn hoá

. Tóm lại, do các thông số tương tác bề mặt thường khác với các thông

số bên trong khối, nên các spin bề mặt có thể trở nên bất trật tự tại một nhiệt độ

thấp hơn so với các spin bên trong.

1.6. Tình hình thực nghiệm:

Rất nhiều số liệu thực nghiệm quan trọng về cấu trúc từ siêu mỏng thu

được bằng các kỹ thuật khác nhau được trình bày trong các cuốn sách của Bland

và Heinrich

Trong phần này chúng tôi nhắc lại một vài kết quả thực nghiệm về các

màng từ mỏng và các hệ từ đa lớp.

1.6.1. Liên kết trao đổi trong các hệ từ đa lớp

Tương tác trao đổi phản sắt từ có thể diễn ra giữa hai hoặc nhiều màng sắt

từ siêu mỏng (ví dụ: Fe), bị ngăn cách bởi một lớp không có từ tính từ (ví dụ:

Cr) nếu độ dày của lớp ngăn cách được chọn phù hợp. Cơ chế của hiện tượng đó

xuất hiện từ tương tác Rudermann-Kitel-Kasuya-Yosida (RKKY) giữa các màng

sắt từ. Sự thăng giáng của tương tác RKKY phụ thuộc vào khoảng cách đã được

chỉ ra là nguyên nhân của liên kết phản sắt từ, điều này đã được quan sát rõ bằng

thực nghiệm trong nhiều hệ, chẳng hạn Fe/Cr/Fe, Fe/Cu/Fe, Co/Cu/Co, …

. Liên kết phản sắt từ dẫn tới hiện tượng gọi là siêu kháng từ. Hiệu ứng

này được ứng dụng trong các sensor từ để ghi nhớ mật độ cao .

21

Hình 1.11. Các đường cong từ trễ đối với hệ 3 lớp ghép

Fe(14ML)/Mo/Fe(14ML) được hình thành trên Mo . Độ dày trung bình

của lớp ngăn cách Mo được chỉ ra. Các vòng lặp biểu thị các liên kết sắt từ và

phản sắt từ dọc theo các lớp ngăn cách Mo có dạng hình nêm. Trường Hs được

xác định với trường hợp phản sắt từ như là độ dịch từ điểm 0 của tâm vòng lặp.

Mặc dầu có rất nhiều số liệu thực nghiệm về hiện tượng này và các

nghiên cứu lý thuyết về nguồn gốc của liên kết RKKY , song chưa có

nghiên cứu lý thuyết hoặc số về bản chất của chuyển pha trong các hệ này. Kết

quả thí nghiệm đáng chú ý khác là dạng của đường cong trễ từ trong hệ đa lớp

Fe/Mo/Fe được chỉ ra ở hình 1.11 .

1.6.2. Độ bất đẳng hướng từ trong các màng siêu mỏng:

Các màng Fe siêu mỏng thể hiện sự bất đẳng hướng mạnh theo một trục

vuông góc với bề mặt màng . Ví dụ, trong Co/Pd có một sự bất đẳng

hướng vuông góc mạnh đã được tìm thấy khi độ dày Co nhỏ hơn 8 lớp đơn,

trong khi đó ở Co/Ni điều này được tìm thấy đối với độ dày Co nhỏ hơn 3 lớp

đơn. Sự thay đổi của độ bất đẳng hướng từ theo độ dày của màng được chỉ ra ở

các hình 1.12 và 1.13 được lấy từ các tài liệu tham khảo . Chú ý rằng

dấu dương của độ bất đẳng hướng tương ứng với sự bất đẳng hướng vuông góc.

22

Điều này kiểm chứng mô hình được trình bày trong chương này, ở đó chúng ta

giả sử rằng các spin vuông góc với bề mặt màng.

Hình 1.12: Mật độ bất đẳng hướng từ theo độ dày Co được đo trên một lớp Co

dạng hình nêm trên nền Pd(1 1 1) sử dụng hiệu ứng Kerr (vòng tròn đặc). Các

hình vuông rỗng biểu diễn các phép đo FMR trên các mẫu riêng biệt theo độ dày

của Co đồng nhất

Hình 1.13: Mật độ bất đẳng hướng từ theo chu kỳ của đa lớp được đo đối với

lớp Co/Ni với tỉ lệ

1.6.3. Sự chuyển pha bề mặt:

23

Ta biết rằng các hiệu ứng bề mặt gây ra sự thăng giáng về độ từ hoá ở lân

cận bề mặt màng. Tuỳ thuộc vào các tham số bề mặt như mô men từ bề mặt,

tương tác trao đổi bề mặt, sự bất đẳng hướng bề mặt,… ta có thể có bề mặt

“cứng” hoặc “mềm”, về mặt từ tính nghĩa là độ từ hoá bề mặt lớn hơn hoặc bé

hơn độ từ hoá trong khối như được chỉ ra ở hình 1.14 . Một kết quả thực

nghiệm được chỉ ra ở hình 1.15 trong trường hợp một bề mặt thông thường,

nghĩa là các thông số bề mặt không khác nhiều so với các thông số trong khối,

nhiệt độ chuyển pha giảm rất nhanh theo độ dày của màng. Một số ví dụ được

chỉ ra ở hình 1.16 và 1.17 .

Trong các tình huống khác, ở đó các tương tác bề mặt là không giống như

trong khối, ta có thể có các kết quả bất ngờ. Một trong số các kết quả đó được

gọi là lớp từ chết, đã được quan sát về mặt thực nghiệm trong một số màng

mỏng .

Hình 1.14: Độ từ hoá đối với mô hình Ising lân cận gần nhất bán vô hạn:

(a) ; T < Tc; (b) ;Tc < T < Tcs ; (c) T < Tc (Kumar, 1974).

24

Hình 1.15 : Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của sự phân cực spin của các electron

quang phát xạ từ Fe (100). Đường liền nét đi qua các điểm dữ liệu để dễ quan

sát. Đường cong liền nét là kết quả dự đoán ở trong khối (Kisker, Schroder,

Gudat và Campagna, 1985).

Hình 1.16 : Độ phân cực spin tương đối của các electron ở lớp năng

lượng thấp từ màng tinh thể Fr 0,5 nm trong trạng thái sắt từ với độ dày x khác

nhau của lớp ngăn cách Ta. trong đó là điểm Curie trong

khối Fe. Các đường liền nét được tính từ lý thuyết trường trung bình đối với

trong Hex được chọn phù hợp sao cho có thể quan sát được. Đường cong

tính từ lý thuyết trường trung bình đối với khối Fe(Hex = 0) được chỉ ra để minh

hoạ sự chuyển từ tính từ 2D tới 3D.

25

Hình 1.17 : Sự thay đổi Tc đối với Fe/Pd(100) như là hàm của độ dày Fe.

1.7. Kết luận :

Trong chương này chúng tôi đã chỉ ra một vài tính chất nổi bật của hệ

frustrated. Trong số đó ta có thể đề cập tới độ suy biến cao của GS, các cấu hình

spin GS không đồng tuyến tính, góc lõm, sự đồng tồn tại của pha trật tự và bất

trật tự ở trạng thái cân bằng, các đường bất trật tự,…. Tất cả các hiệu ứng nổi

bật này được tìm thấy trong mô hình Ising 2D giải được một cách chính xác.

Còn nhiều câu hỏi trong các hệ frustrated. Một trong số các câu hỏi đó là hiệu

ứng frustrated trên các màng mỏng là gì ?

Chúng tôi cũng đã nhắc lại trong chương này một số khái niệm cơ sở của

sự từ hoá bề mặt. Lĩnh vực này phát triển nhanh chóng trong 40 năm qua, do có

nhiều ứng dụng của các màng mỏng trong công nghiệp. Trong chương tiếp theo

chúng tôi nghiên cứu hiệu ứng của từ trường lên các tính chất của các màng 3

lớp bằng mô phỏng Monte Carlo và phương pháp giải tích.

26

CHƯƠNG II : NGUYÊN TẮC CỦA PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO

Trong những năm gần đây, phương pháp ‘mô phỏng máy tính’ được coi

như một cuộc cách mạng trong khoa học : sự phân chia cổ điển của Vật lý (cũng

như hoá học, sinh học) thành ‘thực nghiệm’ và ‘lý thuyết’ không còn duy nhất.

Mô phỏng máy tính trở thành một cách thứ 3 để nghiên cứu Vật lý bổ sung vào

hai cách tiếp cận truyền thống.

Mô phỏng máy tính thu được thông tin chính xác trên các hệ mô hình

được đặc trưng một cách chính xác (không kể sai số về mặt thống kê, nhưng

những sai số này có thể cho nhỏ ở mức mong muốn, tối thiểu về mặt nguyên

tắc). Đối với các bài toán trong vật lý thống kê, điều này có nghĩa các tham số

mô tả hàm Hamiltonian được biết một cách chính xác.

Ngược lại, thông tin được cung cấp bởi lý thuyết giải tích chỉ chính xác

trong rất ít trường hợp, trong khi hầu hết các trường hợp khác đều phải sử dụng

các phép tính gần đúng. Ví dụ, các bài toán vật lý thống kê có thể giải được

trong hình học 3 chiều là các trường hợp giới hạn lý tưởng, chẳng hạn như các

khí lý tưởng, các cặp dao động tử điều hoà... Thậm chí các mô hình rất đơn giản

như mô hình Ising 3 chiều thì cơ học thống kê không thể giải được một cách

chính xác, cũng giải quyết được rất ít về các mô hình với các thế năng thực

tương tác giữa các bậc tự do của nguyên tử. Bởi vậy mô phỏng máy tính thường

là thích hợp để kiểm tra độ chính xác của một số phép gần đúng được thực hiện

bằng phương pháp giải tích của một mô hình.

Tương tự, thông tin thu được bởi các thí nghiệm dường như không bao

giờ mô tả một cách chính xác theo nghĩa rằng, hàm Hamintonian hiệu dụng của

một mẫu thí nghiệm đã cho là được biết chính xác. Đôi khi ta không hiểu liệu

một số hiện tượng quan sát được về mặt thí nghiệm là ‘ thuộc tính nội tại ‘ hay

là do ảnh hưởng của tạp chất lạ. Nhớ rằng cấu tạo hoá học của một mẫu thí

nghiệm được biết chỉ gần đúng. Đó chỉ là một vài ví dụ cho thấy một cách rõ

ràng rằng việc so sánh giữa lý thuyết giải tích và thí nghiệm phải luôn dẫn tới

27

những câu trả lời mang tính kết luận, bởi vậy mô phỏng là cần thiết để giảm bớt

khoảng cách. Hệ quả là một sự so sánh trực tiếp giữa sự mô phỏng của một mô

hình và thực nghiệm không bị ngăn cản bởi các phép gần đúng không chính xác,

mà thường không thể tránh khỏi trong lý thuyết giải tích và do đó có thể mô tả

tốt hơn cho dù đó là hệ thực hay không.

Tất nhiên, đây không phải là lý do duy nhất để mô phỏng máy tính trở nên

hấp dẫn và quan trọng. Cần lưu ý rằng, mô phỏng cung cấp thông tin về các hệ

mô hình, được chi tiết hoá một cách tuỳ ý kể cả về mặt định lượng. Ví dụ các kỹ

thuật tán xạ được áp dụng cho các hệ thực thường thu được thông tin về các hàm

tương quan của hai hạt, nhưng rất khó thu được thông tin thực nghiệm trực tiếp

về các tương quan bậc 3 hoặc các tương quan bậc cao hơn. Ngược lại, mô phỏng

có thể thu được các tương quan bậc cao hơn, tối thiểu là về mặt nguyên tắc. Và

trong khi các nhà thực nghiệm có thể thay đổi nhiệt độ và áp suất của mẫu,

nhưng không dễ dàng trong việc đánh giá ảnh hưởng của sự thay đổi thế năng

tương trong nguyên tử. Trái lại, những sự thay đổi tuỳ ý giữa thế năng của các

nguyên tử không gây ra khó khăn lớn cho sự mô phỏng máy tính. Bây giờ đã

khá rõ ràng rằng phương pháp mô phỏng máy tính là thú vị vì lý do của chính

nó ; nó là một cách tiếp cận khoa học đúng đắn để hiểu các quy lụât tự nhiên,

cung cấp cho những người sử dụng phương pháp này một cách thức để bổ sung

vào lý thuyết hoặc thực nghiệm.

Trong chương này chúng tôi giới thiệu những cơ sở của phương pháp

Monte - Carlo và những ứng dụng của nó trong vật lý thống kê, các

phương pháp nghiên cứu, các hiện tượng tới hạn như histogram và các

phương pháp Monte Carlo phân cụm .

2.1. Các cơ sở lý thuyết của phương pháp Monte Carlo

Trong phần này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của phép thử

Monte Carlo, trình bày một số chi tiết về việc làm sao có thể thiết lập các

28

chương trình Monte Carlo và sau đó trình bày các tính toán và phân tích các kết

quả Monte Carlo.

2.1.1. Mô hình

Vật lý thống kê nghiên cứu các hệ có số bậc tự do rất lớn. Bài toán điển

hình của vật lý thống kê là tính giá trị trung bình của các đại lượng vĩ mô của hệ,

giả sử đã biết hàm Hamintonian. Ví dụ hãy xem xét các hệ từ : nếu một chất sắt

từ có sự bất đẳng hướng theo một trục nào đó rất mạnh thì chúng ta có thể mô tả

nó theo mô hình Ising, trong đó N spin Si tương tác theo công thức :

trong đó các spin Si tại nút mạng i có thể hoặc dọc theo trục, năng lượng trao

đổi J bị giới hạn trong công thức 2.1 vào các lân cận gần nhất và H là từ trường

( số hạng mô tả năng lượng Zeeman của hệ ). Tuy nhiên, có thể xảy ra

các trường hợp khác nếu chất sắt từ có sự bất đẳng hướng theo mặt phẳng (Spin

bị giới hạn nằm trong mặt phẳng xy : Mô hình XY ) hoặc bất đẳng hướng hoàn

toàn ( Mô hình Heisenberg) :

Rất nhiều vật liệu thực mà các nhà thực nghiệm có thể tạo ra trong phòng

thí nghiệm với rất nhiều biến thể khác nhau của các mô hình này : thay cho số

lượng tử spin S = ½, được áp dụng trong 2.1, hoặc S được áp dụng trong 2.2

và 2.3, chúng ta có thể khảo sát các số lượng tử spin tổng quát, thay cho sự thay

29

đổi chỉ giữa các lân cận gần nhất, ta có thể khảo sát cả các năng lượng trao đổi

giữa các lân cận gần nhất tiếp theo, các lân cận gần nhất thứ 3, ... ; thay cho sự

bất đẳng hướng hoàn toàn trong 2.3, có thể bổ sung vào đó số hạng bất đẳng

hướng đơn trục hoặc mặt phẳng ; thay cho sự thay đổi đồng nhất J và từ trường

đồng nhất H trong 2.1, có thể thực hiện với hằng số trao đổi bất kỳ J ij và các

trường bất kỳ Hi để mô hình có sự đông cứng trong hệ bất trật tự ngẫu nhiên.

Bởi vậy, vật liệu từ cứng đã cung cấp cho chúng ta rất nhiều các mô hình

Hamintonian trong đó 2.1 đến 2.3 chỉ là một vài ví dụ ban đầu, và các mô hình

này chỉ là một phần nhỏ của những ứng dụng rộng rãi đem lại từ vật lý chất rắn.

Một nhiệm vụ của Vật lý thống kê là tính các đại lượng trung bình từ mô

hình Hamintonian H, ví dụ năng lượng trung bình E hoặc độ từ hoá trung bình

M cho mỗi bậc tự do :

Ở đây trung bình nhiệt của bất cứ đại lượng vật lý A(x) nào

và x trong không gian pha đặc trưng cho một tập các biến mô tả bậc tự do mà ta

đang xét, ví dụ x = (S1,S2,...,SN) đối với 2.1, x = (S1,S2,...,SN) đối với 2.3 được

định nghĩa theo tập hợp chính tắc :

sẽ là thích hợp để xem các đại lượng này là tập hợp của ‘ Vật lý thống kê ‘ vì

thừa số Boltzomann đã chuẩn hoá.

đóng vai trò mật độ xác suất mô tả trọng số thống kê mà theo đó cấu hình x diễn

ra ở trạng thái cân bằng nhiệt. mặc dầu 2.6 cho một sự mô tả chính xác của phân

bố xác suất p(x), chúng ta vẫn gặp một số vướng mắc: chúng ta hoặc là không

30

khảo sát được các thông tin chi tiết ( trong ví dụ của chúng ta x đặc trưng cho

một tập hợp các biến xác định số bậc tự do của N spin), hoặc là không thể lấy

tích phân trong không gian nhiều chiều (2.4, 2.5 ) trong trường hợp tổng quát.

2.1.2. Phép thử đơn giản

Phương pháp Monte - carlo trong cơ học thống kê cân bằng bắt nguồn từ

ý tưởng giải gần đúng phương trình 2.5, trong đó ta lấy tích phân theo tất cả các

trạng thái xvới trọng số p(x) tương ứng của chúng, bằng cách giả thiết chỉ dùng

một tập ngẫu nhiên các điểm { x1, x2, ... xm } được dùng như là một mẫu thống

kê. Rõ ràng là nếu ta khảo sát giới hạn M , thì tổng các đại lượng gián đoạn

phải xấp xỉ 2.5, do trong cách lấy tích phân số thì các tích phân được thay bởi

các tổng (đối với các bậc tự do gián đoạn, chẳng hạn mô hình Ising, trong

2.5 rõ ràng thay cho một tổng gián đoạn lấy theo tất cả 2N trạng thái x = ( S1,

S2, ..., SN ), nhưng trong 2.7, khi đó chúng ta chỉ tính được với một tập con của

các trạng thái này, M rất bé so với 2N). Nhưng không giống với các cách làm

thông thường để giải các tích phân một chiều , trong đó f(x) là hàm của

một biến thực x trong không gian nhiều chiều, không có ý nghĩa khi chọn các

điểm xl theo một hướng có quy luật, thay vào đó chúng ta chọn các điểm xl ngẫu

nhiên. Để tìm hiểu điều này một cách chi tiết ta hãy xét một ví dụ mô hình XY

được định nghĩa ở 2.2. Do đối với mỗi vị trí i nên ta có thể viết

và lấy góc như là một biến để đặc trưng cho bậc

tự do. Khi đó được đơn giản hoá thành . Bây giờ chúng ta hãy đưa

ra một hệ thống (grid) có quy luật được định nghĩa bởi , với

trong đó p là một số nguyên dương đặc trưng cho hệ thống (grid).

Rõ ràng là tổng số điểm được dùng trong mạng này là pN, nó là rất lớn đối với N

31

lớn, không thể dùng trong thực tế ngay cả p khá nhỏ. Ngoài khó khăn này, nếu

chúng ta có thể tính với một giá trị p lớn, chúng ta vẫn gặp vướng mắc khác là

hầu hết các điểm được nằm trên bề mặt của tích phân cầu phương và dường như

không có điểm nào nằm trong nó vì theo một hướng bất kỳ của mạng trên cầu

phương có p điểm của hệ thống (grid), p-2 điểm ở bên trong hình lập phương,

nên tỉ số toàn phần của các điểm nằm bên trong là :

Để lấy tích phân tốt hơn, thay vì chọn hệ thống(grid) với phân bố đều, ta

chọn các điểm xl một cách ngẫu nhiên, bằng cách sử dụng ‘các số ngẫu nhiên

nhân tạo‘ được tạo bởi ‘một bộ số ngẫu nhiên‘ được tạo ra trong máy tính. Việc

dùng các số ngẫu nhiên này được lấy từ tên của trò chơi(Monte Carlo). Trong

thực tế phương pháp được mô tả cho tới nay bởi 2.7 quả thực là một sự biến

tướng của phương pháp Monte Carlo, được gọi là phương pháp Monte Carlo

dùng phép thử.

2.1.3 : Trung bình nhiệt bằng phương pháp phép thử đơn giản

Nhiệt độ đóng vai trò như thế nào? Bằng cách định nghĩa phương pháp, ta

hãy xem xét một bước nhảy (self-avoiding) trong không gian 3 chiều. Trong một

cấu hình với n tương tác lân cận gần nhất (khác với các cấu hình dọc theo một

đường biên của chuỗi), trọng số Boltzmann tỉ lệ với . Bởi vậy chúng

ta cần ghi lại số n trong mỗi cấu hình để sử dụng lại trong quá trình tính toán

vàĩây dựng hàm phân bố thích hợp : Trung bình nhiệt tại nhiệt độ T bất kỳ mà ta

muốn khảo sát có thể tính được trực tiếp ! Đặc biệt là với phép thử Monte Carlo,

ta phải thiết lập được hàm phân bố , nghĩa là số cấu

hình bước nhảy SAW (self-avoiding walks) của N bước với n tương tác lân cận

gần nhất, và , số cấu hình SAW của N bước nhảy với

32

n tiếp xúc lân cận gần nhất trong phạm vi của một véctơ R. Khi đó trị trung bình

của đại lượng ta quan tâm được biểu diễn :

Nhiệt dung riêng C tính cho mỗi liên kết của chuỗi có thể thu được bằng cách áp

dụng hệ thức thăng giáng :

để tính (chú ý rằng phương trình 2.10 thu được một cách dễ dàng từ 2.8 và định

nghĩa của C, nhưng không mất tính tổng tổng quát) :

2.1.4. Phép thử quan trọng

Sự lựa chọn đơn giản và tự nhiên nhất cho hàm xác suất là

, khi đó chúng ta có trung bình số học đơn giản :

Tất nhiên, vấn đề là tìm một phương thức nhằm thực hiện được ‘phép thử

quan trọng’ này. Metropolis và đồng tác giả đã đưa ra ý tưởng không chọn

các trạng thái liên tiếp độc lập với nhau, mà xây dựng một quá trình Markov,

ở đó mỗi trạng thái được xây dựng từ trạng thái ngay trước đó thông

qua một xác suất chuyển trạng thái khả dĩ . Họ chỉ ra rằng có thể

chọn xác suất chuyển W sao cho ở giới hạn để hàm phân bố của các

33

trạng thái được tạo ra bởi quá trình Markov này có xu hướng tiến về phân bố cân

bằng như mong muốn:

.

Một điều kiện đủ để hiện thực hoá điều này là đưa vào nguyên lý cân bằng chi

tiết:

Theo phương trình 2.14 thì tỉ số của các xác suất chuyển dời đối với một dịch

chuyển và phép chuyển ngược lại chỉ phụ thuộc vào sự biến thiên

năng lượng 

Phương trình 2.15 không xác định rõ xác suất chuyển trạng thái một

cách duy nhất, ta có thể chọn W một cách tuỳ ý. Hai cách chọn xác suất chuyển

trạng thái thường dùng là

hoặc :

là hệ số tuỳ ý mà có thể chọn bằng đơn vị.

Trong khi dễ kiểm tra lại rằng 2.16 và 2.17 thoã mãn 2.14 và 2.15, còn phải

chứng tỏ rằng một chuỗi các trạng thái ... được tạo ra dựa vào các

phương trình 2.16 và 2.17 thực sự có tính chất rằng phân bố xác suất hội

tụ về phân bố chính tắc , 2.13.

Một lập luận để chứng tỏ điều này là như sau : Giả sử ta xét một số lượng

lớn các chuỗi Markov và ở mỗi bước cụ thể của quá trình có Nr hệ ở trạng thái r,

34

Ns hệ ở trạng thái s và < . Sử dụng các số ngẫu nhiên ta có thể thực

hiện phép chuyển xr xs , như được trình bày dưới đây. Bỏ qua sự thay đổi năng

lượng , xác suất chuyển dời đối với các dịch chuyển này sẽ đối xứng, nghĩa là

. Với xác xuất suất chuyển trạng thái này

, ta dễ dàng xây dựng được các xác suất chuyển trạng thái phù hợp với

2.14 và 2.15. Cụ thể là:

Tổng số của các chuyển trạng thái từ tại một bước của chuỗi Markov

là :

Trong khi s tổng số các chuyển trạng thái ngược lại là :

Tổng số các chuyển trạng thái cuối cùng là :

Phương trình 2.22 là kết quả chính của lập luận này, cho thấy rằng

phương trình Markov có các tính chất mong muốn mà các trạng thái diễn ra với

xác suất tỉ lệ với xác suất chính tắc như ở 2.13. Nếu Ns / Nr bé hơn tỉ số

của các xác suất chính tắc, chúng ta có > 0, nghĩa là tỉ số Ns / Nr tăng lên

đến tỉ số của các xác suất chính tắc ; ngược lại, nếu Ns / Nr lớn hơn ‘tỉ số chính

tắc’, < 0 và do đó Ns / Nr giảm về đến tỉ số chính tắc. Cho giới hạn

thì hàm phân bố tiến đến trạng thái dừng, ở đó Ns / Nr có giá trị đúng bằng phân

bố chính tắc (2.13). Thay vì khảo sát cùng lúc nhiều chuỗi Markov, chúng ta có

thể cắt mỗi chuỗi Markov dài thành các đoạn nhắn và áp dụng cùng một đối số

cho từng phần nhỏ của chuỗi.

35

Bây giờ chúng ta thảo luận về một câu hỏi : dịch chuyển có ý nghĩa

gì trong thực tiễn ? Về nguyên tắc, có rất nhiều cách chọn tuỳ ý trong việc

chuyển trạng thái này sao cho nó thoã mãn điều kiện đối xứng của

nghĩa là , và xác suất chuyển trạng thái

khi có biến thiên năng lượng có giá trị trong khoảng từ 0 đến 1. Bởi vậy, ta

dường như thực hiện các dịch chuyển khi chỉ một hoặc vài bậc tự do thay đổi, vì

nếu chúng ta thay đổi >>1 bậc tự do một cách đồng thời, thì chúng ta thấy

trong 2.16 hoặc 2.17 vào cỡ trong đó thiết lập theo đơn vị

năng lượng ( nghĩa là =J đối với các hàm Hamintonian của hệ từ trong (2.1),

(2.2) và (2.3)). Vì nhiệt độ ta đang xét như trong hệ thức vào cỡ đơn vị,

nên với mỗi dịch chuyển sang điểm lân cận với , chúng ta có một xác suất

chuyển trạng thái cực bé nếu có mất mát năng lượng và bởi vậy hầu hết các dịch

chuyển mà thử sẽ không diễn ra, hệ cứ tiếp tục tiến triển từ cấu hình ban đầu của

nó. Điều này rõ ràng dẫn tới một thuật toán không có ý nghĩa thực tế trong hầu

hết các trường hợp. Tuy nhiên, một cách để khắc phục vấn đề này là người ta

dùng thuật toán kết hợp gọi là thuật toán Monte-Carlo-Langevin .

2.1.5. Số đo nhiệt độ TN

Có một vài đại lượng vật lý có giá trị tới hạn tại TN. Việc xác định giá tri

TN chính xác là bước cơ bản đầu tiên để nghiên cứu các hiện tượng tới hạn. Ta

có :

độ cảm từ:

nhiệt dung riêng

đạo hàm bậc nhất và bậc hai thông số trật tự theo nhiệt độ

36

đạo hàm bậc nhất và bậc hai logarit của thông số trật tự theo nhiệt độ

Trong đó 0 là tham số bậc, là tích bậc 4 của thông số trật tự và

là tích năng lượng bậc 4.

Ứng dụng phương pháp Monte Carlo của tất cả các đại lượng Vật lý này

có thể thu được nếu với mỗi trạng thái được lập mẫu, các giá trị của E, O, O2 và

O4 đều được tính. Vì tham số bên ngoài duy nhất được xem xét là T, nên cần

phải lưu lại các giá trị năng lượng dưới dạng biểu đồ. Mỗi giá trị O, O2, O4 được

lưu lại tại mỗi giá trị năng lượng E xác định, sau đó thưc hiện phép tính tổng và

tính trung bình. Theo cách này, ta thu được các giá trị và

.

2.1.6. Định tỉ lệ, kích cỡ hữu hạn( tỉ xích)

Các quy luật định tỉ lệ, kích cỡ hữu hạn do Fisher dẫn ra đối với một

chuyển pha liên tục hoặc chuyển pha loại 2 được cho bởi :

37

Trong đó , và TN là nhiệt độ chuyển pha đối với một mạng có

kích cỡ L. Tại điểm chuyển pha T = 0, chúng ta có trường hợp đặc biệt của các

phương trình -  :

Các hệ thức định tỉ lệ khác liên quan tới một sự chuyển pha liên tục là :

Mỗi đại lượng Vật lý này có nhiệt độ tới hạn TN(L) khác nhau. Với L lớn thì :

Có thể áp dụng những biểu thức giải tích này cho các mạng tương đối

nhỏ, tuy nhiên một số hạng hiệu chỉnh mới phải được kể tới để tính toán sự

ảnh hưởng của các trường ngoài và những sự phi tuyến trong các biến số tỉ xích.

Tính cả số hạng này, ta có :

TN đối với mỗi đại lượng quan sát được có CA và DA riêng rẽ và độc lập, nhưng

có θ chung.

Với chuyển pha không liên tục hay bậc 1, các quy luật định tỉ lệ sau đây

được áp dụng :

2.2. Các phương pháp biểu đồ

Ý tưởng sử dụng các lược đồ để tăng số lượng thông tin thu được từ mô

phỏng Monte Carlo được đề cập từ hơn 40 năm nay nhưng chỉ gần đây mới

38

được áp dụng thành công để nghiên cứu các hiện tượng tới hạn

2.2.1. Phương pháp biểu đồ đơn

Mô phỏng Monte Carlo được thực hiện tại T = T0 tạo ra các cấu hình của

hệ với tần suất tỉ lệ thuận với trọng số Boltzmann trong đó

, và H là Hamintonian của hệ đang được nghiên cứu. Để đơn giản, ta khảo sát

mô hình Ising lân cận gần nhất 3D với Hamintonian :

với một nhiệt độ mô phỏng T0 tương ứng với hằn số liên kết , trọng số

Boltzmann có thể được viết là  , trong đó E là năng lượng của hệ. Xác

suất tìm thấy hệ với năng lượng E và độ từ hoá không thứ nguyên khi

đó là :

Trong đó W(E,M) là số cấu hình (mật độ trạng thái) với năng lượng E và độ từ

hoá M và là hàm chia (partition) của hệ.

Do việc mô phỏng sinh ra các cấu hình tuân theo phân bố xác suất cân

bằng, nên biểu đồ H(EM) của E và M được giữ trong suốt quá trình mô phỏng

gần đúng với hàm phân bố xác suất cân bằng, càng chính xác nếu số lần mô

phỏng tiến đến vô hạn. Với mô phỏng có thời gian hữu hạn, biểu đồ sẽ có các sai

số thống kê, nhưng trong đó N là số phép đo đã được thực hiện vẫn

chính xác đối với xác suất trong khoảng các giá trị của E và M được

tạo ra trong suốt quá trình mô phỏng. Lưu ý tới điều này chúng ta biến đổi

phương trình (2.46) thành :

39

Trong đó là một xấp xỉ của mật độ trạng thái . Từ dạng của

phương trình (2.46) và (2.47), dễ thấy rằng nếu biết được hàm phân bố tại một

giá trị K là đủ để xác định nó cho bất cứ K nào. Để thấy rõ điều này, ta viết lại

hàm phân bố xác suất với bất cứ giá trị K nào có dạng như (2.46):

Tiếp theo, vì chúng ta biết phân bố tại K0, từ lược đồ ta có thể

đảo ngược phương trình (2.46) để xác định  :

Nếu bây giờ ta thay trong phương trình (2.48) với biểu thức của

từ (2.49) và chuẩn hoá hàm phân bố, ta tìm được mối liên hệ giữa biểu

đồ đo tại K = K0 và phân bố xác suất với K bất kỳ là :

với . Từ PK(E,M), giá trị trung bình của bất cứ hàm nào của E và M,

f(EM), có thể được tính như là một hàm liên tục của K :

Các phương trình (2.50) và (2.51) được gọi là các phương trình biểu đồ

đơn.

Hình 2.1 nêu một kết quả ví dụ của phân bố xác suất đối với năng lượng

trong trường hợp hệ Ising 2D, số liệu thu được từ mô phỏng với 2.500.000 bước

Monte Carlo cho mỗi spin.

40

Hình 2.1 : Phân bố xác suất theo năng lượng với L = 64 được đo tại K = 0.1540.

Khả năng thay đổi K một cách liên tục làm cho phương pháp biểu đồ trở

thành lý tưởng trong việc xác định cực trị trong đạo hàm nhiệt động lực học.

Dùng phương trình (2.51) ta có thể tính giá trị trung bình của một đại lượng

nhiệt động lực học cũng như đạo hàm bậc bất kỳ của đại lượng theo K. Ví dụ,

đạo hàm của theo K là

Và đạo hàm bậc hai

Các đạo hàm bậc cao hơn cũng tính được nếu cần. Khi một hàm, ví dụ

nhiệt dung riêng là cực đại thì đạo hàm của nó theo K bằng 0. Bài toán xác định

đỉnh có thể chuyển thành bài toán tìm nghiệm của phương trình. Điều này có thể

thực hiện, ví dụ bằng cách dùng phương pháp Newton vì bất cứ đạo hàm nào

cũng có thể được tính theo các hệ thức chéo với năng lượng E, giống như một

hàm liên tục của K đã mô tả ở trên. Quá trình này có thể tự động tìm đỉnh của

hàm một cách nhanh chóng và có tính chính xác cao.

41

2.2.2. Phương pháp biểu đồ kép

***************

Hầu hết các phương trình mô phỏng Monte Carlo sử dụng thuật toán

Metropolis để tính các cấu hình spin mới tại một nhiệt độ xác định. Sau đó

người ta tính giá trị trung bình nhiệt động lực học của các đại lượng Vật lý. Gần

đây, Ferrenberg và Swendson nhận ra rằng phương pháp này không sử dụng

hết tất cả các dữ liệu trong các phân bố thực của trạng thái đã thử. họ phát triển

những biểu đồ đơn của phương pháp Monte Carlo để thu nhận thêm thông tin.

Một khó khăn của phương pháp biểu đồ đơn là tại bất cứ nhiệt độ nào,

phân bố xác suất theo năng lượng là khá hẹp. Điều này được cải thiện bằng cách

phát triển phương pháp biểu đồ kép và sau đó dùng phương pháp Ferrenberg

và Swendson , trong đó dữ liệu được lấy tại các nhiệt độ khác nhau để kết hợp

lại giúp cho việc xác định chính xác hơn của hàm phân bố. Phương pháp biểu đồ

kép này cho phép xác định chính xác hơn các đại lượng vật lý trong một khoảng

nhiệt độ rộng.

Thông tin khác về PM

Giá trị của một đại lượng tìm thấy được chỉ là một phần của thông tin

về toàn bộ hiện tượng của hệ đã cho, có thể thu được từ mô phỏng Monte Carlo.

Các thông tin khác được chứa đựng trong cấu trúc của phân bố xác suất của các

trạng thái tại TN, P(TN,E). Nếu một cấu trúc hai đỉnh được quan sát thấy thì ta có

thể chắt lọc thông tin về bậc của dịch chuyển, chú ý rằng cấu trúc hai đỉnh

không nhất thiết phải là chuyển pha là bậc nhất. Ta cũng có thể kiểm tra các cấu

hình spin, không gian thực với mô phỏng Monte Carlo. Điều này là cần thiết

trong việc nghiên cứu các biến đổi theo spin ở lân cận dịch chuyển pha và có thể

hé lộ thông tin về cơ chế Vật lý, chỉ ra một sự dịch chuyển pha cụ thể. Các thí

nghiệm tán xạ nơtron khảo sát tương quan spin trong không gian thuận nghịch

42

(reciprocal) , và thông tin không gian thực này về các hệ mô hình có thể là một

sự bổ sung hữu ích vào các kết quả của các thí nghiệm như vậy trong các vật

liệu thực.

Một số thuật toán để xác định các số mũ tới hạn

Dưới đây chúng ta chỉ ra các bước được dùng để tính các số mũ tới hạn

bằng cách sử dụng phương pháp biểu đồ kép.

1. Xác định gần đúng vùng tới hạn và tạo ra R biểu đồ quanh nhiệt

độ chuyển pha T, lưu giữ các giá trị vào biểu đồ cũng như

, , , với L là kích thước mạng đang xét.

2. Tính các đại lượng này đối với mỗi biểu đồ R ở mỗi kích thước mạng L.

Tìm các giá trị của , , , , , quanh điểm giới hạn

T và sử dụng các giá trị này để tính tất cả các đại lượng ở (2.23) - (2.31).

3. Xác định loại chuyển pha. Nếu phân bố PM(E) tại TN là hai đỉnh thì có thể

áp dụng phương pháp Lee và Kosterlitz. Nếu hàm phân bố chỉ có một

đỉnh và giá trị cực tiểu của tích năng lượng bậc 4 tiến tới hằng số

khi thì đó là một sự chuyển pha liên tục, hoặc < 2/3 thì

biểu thị một sự chuyển pha bậc 1. Nếu sự chuyển pha là liên tục thì các

thành phần tới hạn có thể được xác định ở các bước tiếp theo.

4. Xác định từ tỉ lệ xích cho kích thước mạng hữu hạn với các cực đại của

, , (phương trình 2.39). Điều này được thực hiện bằng

cách vẽ đồ thị  theo . Tương tự xác định bằng cách vẽ đồ thị

theo .

5. Xác định tất cả các TN(L từ các phương trình (2.31) - (2.39) đối với các

đại lương đã tìm được và vẽ đồ thị theo . có thể được xác

định bằng cách làm khớp dữ liệu theo biểu thức và

, trong đó là trung bình của B cho tất cả các đại lượng Vật

lý.

43

6. Với các kết quả của và , xác định từ đồ thị theo . Sau

đó ta có thể sử dụng các quy luật định tỉ lệ đối với để kiểm tra các

kết quả đối với và . Điều này được thực hiện bằng cách vẽ đồ thị

và theo , trong đó . Nếu các số mũ

tới hạn được chọn đúng thì các kết quả đối với một trong số hai đồ thị này

với L khác nhau phải nằm trên cùng một đường.

7. Cuối cùng, tính gần đúng bằng các quy luật định tỉ lệ

và kiểm tra các phép tính gần đúng này bằng cách làm khớp dữ liệu với phương

trình (2.36) bằng cách sử dụng từ các hệ thức định tỉ lệ.

*********************

2.3. Các phương pháp Monte Carlo đám

Mô phỏng Monte Carlo nghiên cứu các hiện tượng tới hạn gặp nhiều

khó khăn bởi sự hội tụ chậm quanh điểm tới hạn . Khi gần tới đỉểm tới hạn

này, thời gian tương quan phân kỳ theo quy luật ~ , trong đó là độ dài

tương quan về không gian và z được gọi là luỹ thừa tới hạn động. Với mỗi hệ

hữu hạn được dùng trong mô phỏng máy tính, độ dài quan không phân kỳ,

nhưng nó tăng theo kích cỡ của hệ theo quy luật ~ , trong đó L là kích thước

tuyến tính của hệ. Với hầu hết thuật toán Monte Carlo, và tăng nhanh đối

với hệ càng lớn.

Vì các cấu hình là không độc lập thống kê trong khoảng thời gian vào cỡ

nên điều này làm tăng đáng kể các sai số thống kê của các đại lượng Vật lý.

Việc làm giảm hoặc loại bỏ sai số này có tầm quan trọng đặc biệt để có thể tăng

độ chính xác của các phép tính toán.

Nguyên nhân bị hội tụ ở điểm tới hạn là do các thuật toán Metropolis

thường dùng là mang tính cục bộ. Các thay đổi được phổ biến một cách tản mát.

Từ lâu, người ta đã nhận ra rằng việc cập nhật không định xứ là cần thiết đối với

44

các quá trình động học . Một số phương pháp cụ thể đã được đề xuất như:

biến đổi nhanh Fourier , Monte Carlo đa chiều (multigrid) , các

thuật toán dựa trên các ý tưởng nhóm tái chuẩn hoá và các thuật

toán hồi phục lại .

Swendsen và Wang đã đề xuất một thuật toán dựa trên một ánh xạ

giữa mô hình Potts và vấn đề (thẩm thấu) chọn lựa (percolation) . Tiếp

đó, các thành tựu đã đạt được cho các mô hình khác

. Các loại thuật toán này (hiện

nay được gọi là các thuật toán đám) cho thấy là rất hữu ích trong việc làm giảm

sự hội tụ quanh điểm tới hạn.

2.3.1. Thuật toán Swendsen-Wang

Khoảng 40 năm trước Fortuin và Kasteleyn tìm ra mối liên hệ giữa

mô hình Potts và bài toán thẩm thấu . Điều này cho phép có thể mô tả những

sự chuyển pha nhiệt động lực học bởi các chuyển pha thẩm thấu hình học

và làm cho hình ảnh giọt nhỏ Fisher. Sweeny đề xuất một thuật toán để mô

phỏng mô hình Potts theo mô tả thẩm thấu chọn lựa trong hai chiều . Gần

đây người ta đã nhận ra rằng các spin và các cụm nước thẩm thấu có thể được

dùng để xây dựng một thuật toán Monte Carlo.

Ta hãy xem xét một mô hình Potts được định nghĩa bởi phân bố xác suất:

Trong đó là cường độ liên kết; ; tổng lấy theo các cặp lân

cận gần nhất, Z là hàm chia (partition) .

Dịch chuyển Monte Carlo Swendsen - Wang gồm hai bước: Bước một

biến đổi cấu hình Potts thành một cấu hình liên kết; bước hai chuyển ngược từ

một liên kết thành một cấu hình Potts mới.

45

Bước 1: Tạo ra một liên kết , giữa vị trí i và j lân cận với xác suất

nếu . Ngược lại, nếu không có liên kết thì gán bằng không,

Bước 2: Xác định các cụm như là một tập hợp của các nút được nối bởi

các liên kết hoặc các nút cô lập. Hai nút được coi là nằm trong cùng một cụm

nếu có một đường nối các liên kết giữa hai nút đó với nhau. Mỗi cụm được gắn

với một giá trị Potts được chọn với xác suất trong khoảng từ 1 tới q. Lúc này

biến Potts nhận giá trị của cụm mà nó nằm trong đó.

Thuật toán có tính ngẫu nhiên cao, vì mỗi trạng thái có thể đạt tới từ bất

cứ một trạng thái khác nào trong một dịch chuyển với xác suất khác không. Để

chứng tỏ rằng thuật toán tạo ra một phân bố cân bằng, phương trình (2.52) đủ để

thấy rằng các bước 1 và 2 là phân bố xác suất không thay đổi và có thể bỏ qua

phần tiếp theo của mục này.

Xét trường hợp mạng (với q = 2, được định dạng bởi và được

phân biệt bởi ký hiệu + và -). Spin được ký hiệu bởi các dấu + và - và các biến

liên kết . Giả sử rằng một cấu hình xuất hiện với xác suất cho bởi phương

trình 2.52.Nếu , chúng ta thêm hệ số 1 vào công thức trên và cho

các trường hợp khác. Trọng số hay xác suất toàn phần là tích của tất cả các hệ

số. Bước 1 thực chất để tạo ra một cấu hình liên kết cho đã cho với xác suất

(có điều kiện). Xem xét cả và như là các biến động lực học, chúng ta tiến

đến nút liên kết có liên quan đến bài toán thẩm thấu với xác suất chung:

(2.53)

Lấy tổng trên các cấu hình liên kết, chúng ta trở lại mô hình Potts ban

đầu, phương trình 2.52 được chuẩn hoá bởi sự chuyển pha 2.53. Nếu ta bỏ qua

các spin Potts và chỉ quan tâm tới các liên kết, thì chúng được phân bố theo:

trong đó là số liên kết, là số liên kết bị thiếu (giả thiết với

mạng siêu lập phương d chiều và kích thước mỗi chiều là L), Nc là số cụm của

46

cấu hình n. Đây chẳng qua là ánh xạ Fortuin-Kasteleyn của mô hình Potts sang

mô hình thẩm thấu.

Đối với mô hình kết hợp của các spin Potts và các liên kết, ta chú ý rằng

với mỗi liên kết ta có một trọng số p. Có hai tình huống khác nhau khi một liên

kết bị đứt, hoặc là do , với trọng số exp(-K), hoặc do xác suất của liên kết

p. Nếu chọn exp(-K) = 1-p, nghĩa là không có tương tác giữa các cụm. Bởi vậy

trạng thái của mỗi cụm có thể được thay đổi một cách độc lập, đó chính là bước

chuyển Monte Carlo ở bước 2. Bước 2 có thể được coi như là tạo ra một trạng

thái Potts cho bởi cấu hình liên kết n.

Tích Kronecker đảm bảo sự bền vững của các trạng thái Potts với các

liên kết. Xác suất chuyển trạng thái này rõ ràng là có thể tìm lại xác suất kết hợp

ban đầu. Spin Potts mới khi đó được phân bố theo:

Ta đã thấy rằng phân bố xác suất 2.52 không thay đổi dưới phép dịch

chuyển:

Dễ dàng kiểm chứng được điều kiên cân bằng chi tiết dưới đay thoã mãn:

Tất nhiên, tính khả thi của thuật toán tuỳ thuộc vào khả năng tiến hành

bước 2 bởi một máy tính hoạt động với số lương phép tính vào cỡLd. Một thuật

toán đánh dấu cụm như vậy đã được phát triển cho các bài toán thẩm thấu.

2.3.2. Thuật toánWolff’s

Wolff đã phát triển thành công thuật toán Swendsen - Wang theo hai

cách riêng biệt: phương pháp cụm đơn; phương pháp suy rộng cho mô

47

hình . Ở đây chúng ta sẽ chỉ thảo luận phương pháp cụm đơn đối với các

mô hình Potts.

Một cụm đơn được phát triển lên từ một hạt giống mà nó hầu như tương

tự với phương pháp của Leath , nhằm tạo ra các cụm cho mô hình thẩm thấu.

Nút đầu tiên được chọn ngẫu nhiên. Các lân cận của nút trung tâm được chọn để

đưa vào như là các thành viên của cụm với cùng xác suất như trong thuật toán

Swendsen - Wang.

Các lân cận mới được xem xét nếu cặp riêng lẻ đó chưa được xét trước

đó. Quá trình này tiếp diễn cho đến khi không còn nút mới nào được tạo ra

thêm. Với q = 2, các spin của cụm được lật ngược lại. Nếu q > 2, ta chọn một

trạng thái mới với xác suất bằng nhau giữa các trạng thái q.

Trạng thái cân bằng được thoã mãn bằng nếu xác suất chuyển trạng thái

từ sang là:

Trong đó C là biểu thị cụm; là bề mặt của C bao gồm các liên kết nối các nút

trong đám và các nút ngoài cụm. Rõ ràng là chu vi không chứa một liên kết. Với

xác suất chuyển ngược , phần khối là giống nhau do sự đối xứng của

mô hình và chỉ có phần của bề mặt là khác nhau. Điều này đem lại sự phân biệt

rõ về hình dạng dựa trên cân bằng chi tiết.

Thuật toán Wolff cho cụm đơn có hiệu quả hơn thuật toán Swendsen –

Wang trong trường hợp nhiều chiều .

Thuật toán cụm cho các ưu thế hơn trong việc tính các trung bình nhiệt

động lực học. Chính các cụm chứa các thông tin hữu ích , ví dụ độ cảm

từ được tính bởi momen bậc hai của phân bố số lượng cụm, và nhiệt dung riêng

liên quan với sự thăng giáng của số lượng liên kết. Các liên hệ này có thể được

suy ra từ phân bố liên kết .

48

Vì một cấu hình cụm tương ứng với nhiều cấu hình spin nên các khác biệt

là nhỏ hơn và kết quả là chính xác hơn nếu ta tính các đại lượng cũ. Điều này

gần đây đã được chứng thực bởi một số tác giả .

49