irem de histoire lille des et des statistiques · chaines de markov … généralisation ......
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Histoire des
Probabilités et des
statistiques
IREMde LILLE
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Les probabilités et les statistiques
sont apparues dans des
contextes différents
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Probabilités :
Pascal invente la géométrie du hasard
Leibniz crée une « logique » de vraisemblance
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Statistiques :les gouvernements
les encouragent comme moyen de
décisions et/ou d'observations
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SOMMAIRE
1. Introduction.2. Naissance théorique.3. L'archéologie.4. Et après ?5. Parlons Statistiques …6. Rencontre du 3ème type
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1 - Introduction
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Un exemple ...
Lançons un dé : quelle est la probabilité
d'obtenir un « 1 » ?
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CAS n°1
Si on accepte l'idée d'un dé équilibré …
6 faces donc probabilité de
1/6
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CAS n°2
On effectue « suffisamment » de jets …
On trouveras également un résultat
proche de 1/6
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Que penser de ces solutions ?
Stats ou Probas ?
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Des approches différentes ...
● Prédire ou décider● Extrapoler des
résultats
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LE PROBLEME …le plus difficile
Que veut-on faire et comment le modéliser ???
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Mathématiquement parlant
Les stats et les probas se ramènent
les unes aux autres
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Christian HUYGENS
« L'ordre importe et l'ordre des choses est celui des problèmes
qui n'est pas le même en Probabilités et en
Statistiques ! »
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2 – Une naissance théorique
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1. Histoires de chances et de hasards
Les jeux de hasard ont eu un rôle important
dans la naissance des Probabilités
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Fresque du14 m eマ si cle :マ
Dames jouantavec 3 d sホ
Ch teau deノArco di Trento(Italie, pointenord du lac deGarde)
Dames jouant avec 3 dés
Fresque du XIVème siècle
château de Arco di Trento
Italie – pointe nord du lac de Garde
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Les joueurs de DésGeorges de la Tour (1593-1652)
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Le problème des partisdu Chevalier de Méré
Deux joueurs misent la même somme d'argent « M » pour un jeu de
pur hasard en 3 manches gagnantes.
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Le jeu s'arrête avant la fin.
Comment répartir équitablement la somme « 2 M » ?
Le problème des partisdu Chevalier de Méré
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Le problème des partisdu Chevalier de Méré
Retour au bel été 1654 ...
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Des échanges épistolaires ...
Pascal vs Fermat
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Si le match s'arrete à « 2 à 1 », que se passe t-il ?
2 à 1
3 à 1 2 à 2 Victoire Égalité
Idée de solution ...
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Pour les joueurs …… à « 2 à 1 »?
Celui qui mène 2 à 1 :
Sa part est 0,5 x ( 2M ) + 0,5 x ( 2M / 2 ) = 1,5 M
Celui qui est mené 1 à 2 :
Sa part est 0,5 M
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Si le match s'arrete à 1 à O, que se passe t-il ?
1 à 0
1 à 1 2 à 0Égalité
2 à 1 3 à 0 Victoire
3 à 1 2 à 2 Victoire Égalité
Autre cas étudié ...
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1 à 011M/8 à 5M/8
1 à 1 2 à 0 M à M 7M/4 à M/4
2 à 1 3 à 0
3M/2 à M/2 2M à 0
3 à 1 2 à 2 2M à 0 M/2 à M/2
Pascal et Fermat en déduisent ...
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Des traces avant ???
Pacioli 1491Tartaglion 1556Peverone 1494Gosselin 1578Forestani 1603
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3 - Et avant, quelles traces de Probabilités ?
En route vers une archéologie des
Probabiltés
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Les atomistes et le De natura rerum
Vers – 420, plus ancienne cosmologie
non théologique, reprise par Lucrèce dans son
De Natura Rerum
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En résumé ?
Cosmologie déterministe mais
notre monde est dû au hasard
(hasard au sens d'ignorance)
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Platon (427-347 av JC)
Refus du hasard à l'échelle de l'univers !
Mais localement … pourquoi pas.
cf. La République (pseudo tirage au sort)
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Pour Aristote, « probabilité »
Signifie
« communément admis par tous »
Aristote (384-322 av JC)suit Platon
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Des traductions érronnées
Ce n'est qu'au cours de traductions, au Moyen Age, à la Renaissance, qu'apparait un glissement vers
« vraisemblance d'une idée »
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Au 16ième et 17ième
Apparition du Probabilisme
dans laThéologie Jésuite
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« Si une opinion est probable, il est permis
de la suivre, quand bien même est plus probable l'opinion
opposée »Bartolomé de Médina (1527)
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Les jansénites et Pascal critiquent alors
celle-ci comme« relativisme moral »
Quand Pascal la combat
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Pourquoi une naissance si tardive ?
Cette partie des mathématiques
aurait-elle pu naître plus tôt ?
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Combinatoire or not combinatoire ?
That is the question !
Une naissance autour des travaux sur les
arrangements et combinaisons
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Des travaux depuis l'aube des temps
Des traces de travaux sur les combinatoires,
en Inde en – 200 avant J.C.
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Des noms parmi tant d'autres
Raymond Lulle (XII ième Siécle) : fondateur de la théorie des combinaisons
Zhu Shijie : en ChineLe Miroir de jade des 4 inconnues (1303) y
figure les coeff du binôme (a+b)^n
Gottfried Liebniz (1646-1716) :De arte combinatoria (1666)
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Au Moyen Orient
Al Khalil Ibn Ahmad (718-786) Al karaji (mort en 1023)
Al Samaw'al (1174)
associent
« combinatoire » et « algèbre »
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Quel lien ???
Le célébrissime rapport :
€
n o m b r e d e c a s f a v o r a b l e s
n o m b r e d e c a s p o s s i b l e s
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Donc les probabilités
seraient Combinatoires ???
Non, pas seulement ;-)
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Alors pourquoi ?
Pourquoi un Grec, par exemple, n'aurait-il
pas pu inventer les probabilités
plus tôt ?
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Pourquoi se poser la question ?
Les probabiltés sont aussi géométriques
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Au XVIII siècle, apparition de la
balistique : évaluation des chances de
toucher une cible visée avec des projectiles
Tartaglia et Torricelli
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D'où la question ...
Les probabilités géométriques n'auraient-
elle pas pu être découvertes plus tôt ?
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En fait … probablement non !
Pour que cela soit possible, il faut au
moins trois choses :
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1- Climat intellectuel
2- Possibilités techniques
3- Sollicitations du monde
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1- Climat intellectuel
a. Distinguer l'ordre du désordre, mais surtout
l'ordre dans le désordre...
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1- Climat intellectuel
b. Admettre la notion de hasard
impersonnel...
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1- Climat intellectuel
c. Au sein du fortuit, voir la régularité
statistique...
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1- Climat intellectuel
d. Admettre que certains résultats
peuvent être connus, par avance
et d'autres non...
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1- Climat intellectuel
e. Imaginer des moyens, des outils
pour mettre en oeuvre tout cela...
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2- Possibilités techniques
Calcul intégral, infinitésimal, ...
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3- Sollicitations extérieures
Economie (contrats commerciaux à risques,
assurance maritime, rente, ...)
Politique (prise de décission, ...)
Militaire(Balistique, ..)
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4 - Petit historique
rapide...
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Christiaan Huygens
De ratiociniis in ludo aleae (1657)
Raisonnements sur les jeux de dés
Jeux de Hasard Notion d'espérance
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« Quoique dans les jeux de hasard pur les résultats soient incertains, la chance qu’un joueur a de gagner ou de perdre a cependant une valeur déterminée ».
Christiaan Huygens De ratiociniis in ludo aleae
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Probabilités géométriques
Georges Louis LeclercComte de Buffon
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Avec le jeu du franc-carreau,
Buffon introduit les « probabilités
géométriques » :
loi uniforme sur un domaine plan
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ABCD le carreau dans lequel le centre O de l’écu est tombé, la condition « Franc-Carreau » est géométriquement élémentaire :elle est réalisée si et seulement si le centre du disque tombe à l’intérieur du carré A’B’C’D’, homothétique du carréABCD par rapport à son centre.
€
n o m b r e d e c a s f a v o r a b l e s
n o m b r e d e c a s p o s s i b l e s
A B
D C
A’ B’
C’D’
O
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Buffon considère comme évident que la probabilitéde « Franc-Carreau » est égale au rapport des aires des carrés A’B’C’D’ et ABCD.
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Jean le Rond D'Alembert
(1717-1783)
Probabilités, mathématiques
et réalité : quel lien?
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D’Alembert ne croit pas que l’on puisse faire des
probabilités un instrument de connaissances pratiques.
Il en expose cependant la théorie la plus actualisée pour
son époque.
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Jacques Bernoulli
Ars conjectandi (1713 – posthume)
Notion de Variables Aléatoires et
Première version de la loi des grands nombres
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Abraham de Moivre
Théorie de la Probabilité
(1718)
Généralisation de l'usage de la combinatoire
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Roger Cotes
Opera Miscellanea (1722 - posthume)
Théorie des erreurs
Quantification de l'écart entre la mesure et sa
« vraie » valeur(préfiguration des théorèmes centraux limites)
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Marie Jean CaritatMarquis de Condorcet
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Pierre-Simon Laplace
Première version du Théorème Central
limite (1812)
Pour les V.A. à deux états
( type Pile ou Face)
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1841 : création du Conseil Supérieur
Statistique
Sous l'impulsion de Quételet …
Les Statistiques quittent la maison Probabilité.
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Emile Borel
Notion de mesure et d'ensembles
mesurables (1897)
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Henri-Léon Lebesgue
Théorie de l'Intégration
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Alexandre Liapounov
Version moderne du théorème de la limite
centrale (1901)
Énoncé
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Andrei Markov
Chaines de Markov …
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généralisation de la loi des grands nombres
pour une suite d'expériences
dépendantes les unes des autres
Pour quoi faire ?
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Que d'applications !
Par exemple, diffusion et indéxation des sites
internet sur Google
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Andrej Kolmogorov
1933 : fait sortir les probabilités d'un ensemble de méthodes pour en créer
une véritable théorie
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Kiyoshi Itô (1940)
Lien entre le calcul stochastique et les
équations aux dérivées partielles …
Lien Analyse - Probabilité
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Et des applications en pagaille
Imagerie médicale – Astronomie –
Reconnaissance de Caractère
( Loi de Baye)
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Micro économie
(Théorie des Jeux)
Et des applications en pagaille
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Physique – Biologie moléculaire
(Mvt Brownien – Equation de Foker – Calcul Stochastique)
Et des applications en pagaille
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Mathématique financière – Produits
dérivés
(Modèle de Black-Scholes)
Et des applications en pagaille
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Evaluation de risques industriels
(Probabilité de sûreté)
Et des applications en pagaille
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4 – Parlons un peu de Statistiques
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Les Statistiques … ce sont :
Science théorique
Méthodes
& Techniques
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John Tukey
Il y a deux approches des Statistiques :
● Statistiques exploratoires● Statistiques confirmatoires
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Retour sur son histoire
Activités existant dès l'aube de l'humanité
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Recensons, recensons!
En Chine, 23ième siècle avant J.C.
En Egypte, 18ième siècle avant J.C.
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Rôle collecteur jusqu'au XVII ème
siècle ...
Sous l'initiative des guildes marchandes et
des intendants de l'Etat ...
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Au 18 ème siècle
Apparition des premières tables de
mortalité … rôle prévisionnel
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Thomas Baye
Premier embryon de statistique
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1841 : création du Conseil Supérieur
Statistique
Adolphe Quételet
Les Statistiques forment une science à part entière
s'appuyant sur les Probabilités.
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1890 : grand recensement aux USA
Herman Hollerith invente la carte perforée pour traiter
les informations …
Premières applications industrielles
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Le XXème siècle
Aux USA, applications industrielles
Après la première guerre mondiale, développement
en Europe
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René Carmille
Naissance de l'Insee en 1946 s'expliquant par la
pauvreté de la statistique officielle en France jusqu'à
cette date
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Le Dieu Informatiqueà partir de 1940, aux USA
et 1960, en Europe.
Son avénement permet de traiter plus de données, de
croiser les séries...
Naissance de l'Analyse multidimensionnelle
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Plusieurs courants de pensée ...
➔ Les objectivistes➔ Les subjectivistes
➔ Les néo-Bayésiens
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Les objectivistes
Les probabilités fournissent un modèle permettant
d'idéaliser la distribution en fréquence … rien de plus
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Les subjectivistes
Les probabilités fournissent un moyen de mesurer la confiance que l'on peut
avoir dans une prévision
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Les néo-Bayésiens
Les données statistiques ne permettent pas de donner un modèle probabiliste... Il faut proposer au départ
une forme générale du modèle.
![Page 102: IREM de Histoire LILLE des et des statistiques · Chaines de Markov … généralisation ... Equation de Foker – Calcul Stochastique) Et des applications en pagaille. Mathématique](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022032712/5b9a91e209d3f291158ba2d4/html5/thumbnails/102.jpg)
Des applications … en Démographie
Recensement : photographie de la
population
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Des applications … en SES et Econométrie
Etude de groupes ou de secteurs économiques
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Des applications … en Sociologie
Les enquêtes statistiques constituent
les matériaux d'enquête
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Des applications … en géophysique
Prévisions météorologiques,
Climatologie, Pollution, Etude des rivières et
des océans
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Des applications … en Physiques
Mécanique statistique ou thermodynamique
statistique : à partir de l'étude de particules
individuelles, généralisation au comportement global
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Des applications … en Marketing
Sondages d'opinion …
Outil de décision ou d'investissement
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Des applications … en Métrologie
Systèmes de mesure :
tailles, etc
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Des applications … en médecine et en psychologie
Comportement des maladies, fréquence
Validité d'un traitement, d'un dépistage
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Des applications … en Archéologie
Applications aux vestiges
(Céramologie)
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Des applications … en Ecologie
Etude des communautés végétales et des
écosystèmes
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Des applications … en Assurance et en Finance
Calcul de risques, ...
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5 – Rencontres du 3ème Type entre Probabilités et
Statistiques
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Histoire de l'Astronomie
Articulation difficile entre modèles probabilistes et
observations statistiques : moteur du progrès des
découvertes.
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Statistiques : outil pour les Probabilités.
Observations statistiques descriptives permettant d'identifier les modèles
probabilistes
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Probabiltés : outils pour les Statistiques.
Les grandes propriétés probabilistes permettent
de prédire à partir d'observations statistiques...
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Par exemple, version statistique du théorème de
la limite centrée :
Si n>30, (X-m)/s suit une loi normale centrée
réduite...
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Conéquences ...
Tests de conformités,Intervalle de confiance,Tests d'homogénéité,
Test de Khi deux,Simulations, ...
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En espérant ne pas avoir été trop
fatiguant …
Bon appétit !!!