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ANALISI E PROGETTAZIONE VIRTUALE

DALL’OGGETTO ALLE SEZIONI VARIABILI

I PROCESSI

PROGRAMMAZIONE

1. Rilevazione grafica dell’oggetto

2. Determinazione della equazione delle sezioni

3. Determinazione delle equazioni parametriche di n profili

4. Visualizzazione grafica degli n profili di “oggetti geometrici”

5. Determinazione degli oggetti partendo dalle equazioni degli n profili.

STRUMENTI E PROGRAMMI

Analisi matematica

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La complessità del programma presentato è notevole. E’ innanzitutto prevista una profonda conoscenza della analisi matematica fondamentale per affrontare con competenza le fasi del processo.

Programmi computer

Sono molti i programmi che il computer propone al fine di determinare i grafici di equazioni semplici o parametriche.

Un programma di grafica è infine utile per completare lo studio e raggiungere gli obiettivi.

ARCHIVIO ANALITICO

E’ utile che ogni operatore che voglia lavorare per gli obiettivi proposti si possa dotare di una archivio di equazioni e relative linee rappresentative cui possa accedere in base alle necessità proposte dalle sezioni o dai profili di oggetti che si vogliano rappresentare e modificare. Questo proviene dalla preparazione di base del ricercatore completato da un opportuno studio che orienti la preparazione matematica utile agli obiettivi da raggiungere.

ESEMPI DI FUNZIONI NUMERICHE PARAMETRICHE

ESEMPI DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Tipologia:

f ( x )= k x2

h x2+c

k , h , c∈ R

Alcuni modelli:

A1. f ( x )= x ²x ²+12 A4. f ( x )= x ²

4 x ²+12

3

A2.f ( x )= 8 x ²x ²+12 A3.f ( x )= 8 x ²

4 x ²+12

ESEMPI di FUNZIONI RAZIONALI INTERE

Tipologia: y=k xn

k∈R

Alcuni modelli:

A1 : y=x2 A2: y=x3 A3 : y=x4

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Oss. Si rileva come l’aumentare del grado delle equazioni aumenta la pendenza verso l’alto delle linee mentre le schiaccia verso il basso.

ESEMPI DI FUNZIONI IRRAZIONALI

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Tipologia:

y= k√h x2+c

k , h , c∈ R

Alcuni modelli:

A1 : y=√ x2−1 A2: y=3√x2−1 A3 : y=4√ x2−1

Oss. Al crescere dell’indice della radice le linee tendono ad appoggiarsi verso il basso (per |x| >1), mentre restano sensibilmente vicine per |x|<1.

Oss. La simmetria rispetto all’asse delle ordinate è dovuta alla presenza della variabile x solo con grado pari.

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ONDE E LINEE PERIODICHE

Si vedano ora come si comportano alcune funzioni goniometriche parametriche

y=k senhcx

k , h , c∈ R

Linee e onde a spigolo vivo a bassa frequenza

La presenza del valore assoluto nelle equazioni garantisce generalmente il risultato di linee che si innestano con un angolo vivo, a causa della presenza di punti di non derivabilità detti punti angolosi

Esempio: la funzione seno

y=senx y=|senx|

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Linee e onde a spigolo vivo ad alta frequenza

Il risultato di linee che presentano un maggior numero di archi di onde nello stesso intervallo è garantito dall’uso di moltiplicatori (2 in questo caso) per l’argomento delle funzioni goniometriche: qui si passa da x a 2 x.

y=sen2 x y=|sen2 x|

Linee e onde a spigolo vivo ad alta ampiezza

Il risultato di linee che presentano archi di maggior ampiezza è dovuto all'uso di moltiplicatori (2 in questo caso) per le funzioni goniometriche: qui si passa da sen x a 2senx.

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y=2 senx y=2|senx|

Oss. Il valore assoluto riporta l’intera linea al di sopra dell’asse delle ascisse

Linee e onde a spigolo vivo ad alta ampiezza con ribaltamento

y=−2 senx y=−2|senx|

Oss. Il segno negativo rovescia la curva rispetto all’asse delle ascisse.

Linee e onde a spigolo dolce

Il risultato di linee che si innestano con un angolo vivo è garantito dal quadrato della funzione goniometrica

Esempio: il quadrato del seno

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f ( x )=sin2 x

Linee e onde a spigolo dolce ad alta frequenza

Il risultato di linee che presentano un maggior numero di archi di onde nello stesso intervallo è garantito dall’uso di moltiplicatori (2 in questo caso) per l’argomento delle funzioni goniometriche: qui si passa da x a 2 x.

f ( x )=sin22 x

Linee e onde a spigolo vivo ad alta ampiezza

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Il risultato di linee che presentano archi di maggior ampiezza è determinato dall’uso di moltiplicatori (2 in questo caso) per le funzioni goniometriche: qui si passa da sen 2x a 2sen2x.

f ( x )=2sin2 x

Coniche

Linee logaritmiche ed esponenziali

La conoscenza delle coniche e delle linee logaritmiche ed esponenziali è

indispensabile per lo studio successivo. Generalmente questa è garantita dai

programmi di qualsiasi scuola superiore.

Dall’oggetto alla funzione

Molti semplici modelli, scatole, sfere, forme geometriche varie sono ovviamente facilmente trasformabili in oggetti matematici.

Si veda qualche esempio di altri modelli

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Un esempio: le funzioni per una fontana

Uno zampillo

La fisica indica che la inclinazione degli ugelli e la pressione dell’acqua determinano sia la gittata degli zampilli che la loro altezza.

La equazione di un moto parabolico è del tipo

y=−x2+k|x|Al variare di k > 0.

Processo:

Si consideri uno zampillo per il quale nella equazione

k = 1

y=−x2+|x|

È questa l’equazione che rappresenta due archi di parabola simmetrici asse y.

Vertici in (± 12

, 14 ). Il grafico è

Si consideri uno zampillo per il quale nella equazione

k = 2

12

y=−x2+2|x|

Si tratta di due archi di parabola simmetrici asse y con vertice in (1,1

Si consideri uno zampillo per il quale nella equazione

k = 3

y=−x2+3|x|

Si tratta di due archi di parabola simmetrici asse y e di vertice ( 32

; 94 )

Il grafico è

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Si consideri uno zampillo per il quale nella equazione il

k = 4

y=−x2+4|x|

Si tratta di due archi di parabola simmetrici asse y con vertice in (2 ;4 )

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Sintesi finale

L’unione dei grafici precedenti rappresenta una immagine dello zampillo

In generale

La equazione

y=−x2+k|x|

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Rappresenta

Un esempio: le funzioni per una sedia a sdraio

Si consideri la

y= 3√x3−x2

Il cui grafico è

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E’ presente un asintoto obliquo (non in figura poiché non rilevante graficamente) di equazione

y=x−1

3

La funzione non è derivabile in x= 0 ed x = 1 e di conseguenza ivi presenta tangenti verticali-

In (0,0) c’è un massimo locale.

In (23

,−3√43 ) ha un minimo locale.

La funzione interseca l’asintoto obliquo nel punto (19

,−23 )

Animazione e variazioni dell’oggetto geometrico “sedia a sdraio”

Dilatazione e contrazione della “seduta”, incremento o decremento della profondità

Si consideri la

y=3√x3−cx 2

Presenta asintoto obliquo di equazione

y=x− c

3

Al variare di c >0 si allunga la “seduta”.

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Il minimo relativo ha coordinate ( 2

3,− c 3√4

3 )La profondità della “seduta” cresce o decresce quindi al variare di c, poiché aumenta o diminuisce il minimo della funzione.

Es. y=3√x3−2 x2

Inclinazione dello schienale:

La possibilità di aumentare o diminuire la inclinazione dello schienale di una sedia a sdraio influisce in modo sostanziale sul comfort del riposo.

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Il problema può essere affrontato in modo favorevole agendo sulla pendenza dell’ asintoto obliquo, cioè sul suo coefficiente angolare.

Si consideri infatti:

y=k3√x3−cx 2 (k≠0 )

L’asintoto obliquo èy=k (x− c

3 )La pendenza dello schienale dipende dal parametro e al suo variare si ottiene il risultato cercato.

Se k<1 (k=1/2) la pendenza diminuisce

Se k>1 (k=2) la pendenza aumenta

Il grafico è

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La linea tratteggiata rappresenta la curva il cui asintoto obliquo ha pendenza 1 e le altre due hanno asintoti di pendenza ½ (verde), 2 (rosso)

Oss. Il precedente esempio è di notevole complessità matematica e richiede buone conoscenze dell’analisi.

LE FUNZIONI PER LE LINEE DEL VOLO

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Si consideri l’equazione

y= xex

il cui grafico è

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La sostituzione della variabile x con il suo valore assoluto determina la simmetria della funzione rispetto all’asse delle ordinate

f ( x )=|x|e|x|

La linea stilizzata dell’aquila in volo si evidenzia interessante e il coefficiente moltiplicativo (2) al numeratore innalza o abbassa i massimi della funzione ed evidenzia il battito delle ali dell’aquila

f ( x )=2|x|e|x|

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Verso l’equazione del volo

E’ interessante notare come esista un’altra equazione che rappresenta uno stilizzato

battito di ali

y= x2+1x2 k

x2+1x2

¿

Particolari valori del parametro k

1e<k<1

conducono a

1 : f (x )= x2+1x2 ( 4

5 )x2+1

x2

2 : f (x )= x2+1x2 (2

3 )x2+1

x2

23

3: f (x)= x2+1x2 ( 7

8 )x2+1

x2

4: f (x)= x2+1x2 ( 4

7 )x2+1

x2

Le varie fasi del battito d’ali sono evidenziate dalla ampiezza dei massimi delle singole linee

Se la limitazione del parametro k è

0<k<1e

si ottiene

Es. k=1/4

A1 : f ( x)= x2+1x2 ( 1

4 )x2+1

x2

k=1/10

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A2 : f ( x)= x2+1x2 ( 1

10 )x2+1

x2

I grafici sono

Il volo planato; le ali sono immobili come quelle di una qualsiasi aliante o di un’aquila che sfrutta le correnti termiche intorno ai tremila del Monte Pelmo.

LA GOCCIA D’ACQUA E I LAMPADARI DEL MAESTRO

VETRAIO BAROVIER

25

cc

La famiglia Barovier ha fondato l’industria del vetro artistico di Murano con altri grandi famiglie come la famiglia Toso. I Barovier costruirono per secoli i lampadari del Vaticano e fino alla fine del secolo scorso ebbero la manutenzione degli stessi.

Emilio uno degli ultimi due fratelli maestri raccontava come guardando la formazione di una goccia d’acqua ebbe l’dea di costruire un lampadario in “opaline” (vetro e piombo) per ottenere il caratteristico colore dell’acqua marina.

La matematica consente di ripercorrere il cammino creativo dell’artista.

La goccia d’acqua rimane attaccata al ramo fino a quando la tensione superficiale equilibra la forza gravitazionale. Le due forze “giocano” in un equilibrio dinamico fino a quando vince la forza d gravità: il sottile straterello d’acqua si chiude in una pallina che cade a terra. La gravità ha vinto.

Si muova dalla

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f ( x )= k x2

h x2+c+m

Si osservi come il gioco dei parametri h, k, c con il coefficiente di innalzamento m può descrivere il percorso creativo dell’artista.

La variazione opportuna dei parametri dà luogo a varie linee successive

La equazione

A 1: f ( x )= 8 x2

4 x2+12−1,52

Nel piano cartesiano è rappresentata dalla linea

IL primo straterello d’acqua si è formato con prevalenza della tensione superficiale su gravitazione.

La differenza fra le due forze si attenua la situazione cambia.

Si vedrà come la goccia si allunga

L’equazione

A 2 : f ( x )= 10 x2

3x2+12−2,32

Nel piano cartesiano è rappresentata dalla linea

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La differenza fra le due forze si attenua ancora fino quasi ad equilibrarsi. La situazione cambia ancora; la goccia si allunga ulteriormente.

L’equazione

A 3 : f ( x )= 8 x2

x2+12−3,44

Nel piano cartesiano è rappresentata dalla linea

Ulteriore prevalenza della gravitazione provoca il distacco.

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A questo punto interpretando la creatività dell’artista portiamo le tre linee sullo stesso piano cartesiano ottenendo la sezione del lampadario a tre stati in opaline dell’artista veneziano.

Le equazioni

A 1: f ( x )= 8 x2

4 x2+12−1,52

A 2 : f ( x )= 10 x2

3x2+12−2,32 −3≤ x ≤ 3

A 3 : f ( x )= 8 x2

x2+12−3,44

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Oss. Una applicazione più approfondita può dar luogo a centinaia di linee scandendo la formazione della goccia ogni millesimo di secondo.

VERSO LA MODELLAZIONE TRIDIMENSIONALE

ANALISI E RAPPRESENTAZIONE DELLE FORME

Lo schizzo: fantasia e realtà

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LE GALEE VENEZIANE

La matematica e la velocità delle galee.

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La potenza e anche la sopravvivenza della Repubblica Serenissima di Venezia dipendeva da vari fattori fra i quali la sicurezza, il commercio e la difesa dei propri mezzi di trasporto.

Alla sicurezza per la maggior parte provvedeva la natura avendo isolato la città con una potente cintura d’acqua.

Commercio e difesa dei mari erano condizionati dalla potenza e dalla velocità delle navi. Il confronto con altre nazioni marinare era inevitabile e quindi fondamentale era l’ottimizzazione dei mezzi da trasporto e da combattimento.

Velocità e galleggiamento dipendevano dal “design” della imbarcazione e i veneziani capirono che la “ricerca” poteva voler dire potenza, ricchezza.

Venne trovato un supermatematico, Eulero, che fu felice di trasferirsi all’Arsenale. Era quanto di meglio ci fosse in circolazione per quanto riguardava la ricerca sui volumi, e gli sviluppi del calcolo integrale.

Il principio di Archimede aveva determinato che galleggiamento e volumi erano strettamente correlati. Con gli studi di Eulero applicati al design delle imbarcazioni le barche divennero leggere e soprattutto veloci e i mari furono per lungo tempo dominio della Serenissima Repubblica. La cultura veneziana si diffuse: si veda Rovigno in Croazia per sognare.

La GALEA

Bastimento sottile, di circa 50 metri di lunghezza, largo circa 7, con due metri di pescaggio. Aveva da uno a due alberi a vele latine (raramente 3), e da ciascun lato da 25 a 30 banchi per la voga, che per esso era il sistema di propulsione più importante.Fino alla metà del Cinquecento usò remi sensili, cioè ad un sol vogatore: due o tre di tali remi, appoggiati a scalmi ravvicinati, per ogni banco di ciascun lato (perciò due o tre uomini per banco). Si ebbero così rispettivamente la galea bireme, la trireme e la quadrireme.Nel Cinquecento ai remi sensili furono sostituiti remi a scaloccio, uno per ogni banco di ciascun lato, maneggiato da 3 a 5 vogatori.Dato l’impiego tattico, la sua artiglieria era sistemata per il tiro in caccia, e

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consisteva in un cannone posto all’estremità prodiera della corsia (cannone di corsìa o corsiero), di altri quattro cannoni posti lateralmente al primo, e di varie altre piccole bocche da fuoco sui fianchi.Lo stato maggiore della galea era formato di ufficiali cui era riservata la condotta del combattimento, che erano al tutto ignari dell’arte e dei servizi nautici, ai quali erano addetti il comito, i sottocomiti e un reparto di gente di mare.L’uso delle armi era affidato a un reparto di soldati e di bombardieri; e alla voga era destinata la ciurma.Le galee erano unità da linea e formavano il grosso di una forza navale: si avvicinavano al nemico, in linea di fronte, facendo fuoco con le artiglierie e mirando ad un sollecito arrembaggio.Per avere la massima facilità di evoluzione, senza la soggezione al vento, questi bastimenti, nel prendere l’assetto di combattimento, imbrogliavano o ammainavano le vele, e si avvicinavano al nemico con i soli remi.

Modello di galea sottile veneziana

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Profili di galea veneziana

Equazioni di un profilo di carena di una galea

Si osservi la linea in Oxy con alcuni punti fissi O( 0,0) e flesso in A (1,1)

A(1,1)

Si prenda in considerazione l’equazione di una cubica razionale intera passante per O(0,0)

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y=a x3+b x2+cx

a,b,c parametri reali

Condizione di passaggio per A (1,1)

a + b + c = 1

In A ha flesso a tangente orizzontale. Quindi in A si annullano le prime due derivate.

y '=3 ax 2+2 bx+cy ' '=6ax+2 b

Segue dalle condizioni sulle derivate

3 a + 2b + c = 0

6 a + 2b = 0

Le condizioni sono verificate per a = 1, b = - 3, c = 3

La equazione della linea diventa

y=x3−3 x2+3 x Il profilo completo della carena della galea è

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E’ funzione pari e utilizzando il valore assoluto si ottieney=|x|3−3|x|2+3|x|

Il corrispondente grafico è

Un caso particolare

Innesto delle due linee in O(0,0)

– La pendenza in O (0,0)

E’ interessante descrivere la pendenza con la quale si innestano le due linee di carena.

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Si tratta di individuare la equazione di una linea che esca da O con tangente di determinato coefficiente angolare.

Le condizioni da imporre ai tre parametri della cubica razionale intera cambiano rispetto al caso precedente.

La pendenza della tangente in O (0,0) sia =2.

E’ necessario determinare la equazione di una cubica razionale intera avente in O (0,0) per tangente la retta y = 2 x e un flesso in A (1,1).

La linea richiesta è ancora simmetrica. Si deve determinare una funzione pari e nella equazione manca il termine noto poiché passa per O (0,0). Si usa quindi il modulo.

Si parte ad analizzare:

y=ax3+bx2+cxLe due prime derivate sono

y '=3ax 2+2bx+c

y ' '=6ax+2b

Condizione di passaggio per A (1,1)

a + b + c = 1

La prima derivata in O fornisce il coefficiente angolare della tangente.

c = 2

In A (1,1) si ha un flesso . Quindi in A si annulla la derivata seconda.

6a + 2b = 0

Le tre condizioni imposte portano a

y=12

x3−32

x2+2 x

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Si cerca una funzione pari e utilizzando il valore assoluto si ottiene

y=12|x|3−3

2x2+2|x|

I grafici delle due funzioni rappresentative delle due equazioni sono

Il processo matematico seguito porta a concludere che vi sono

∞3

possibilità di grafici di sezioni di carene diverse.

Da una sola equazione si crea una flotta.

Entra ora in gioco la sensibilità del progettista e della fisica del galleggiamento unito alle esigenza di agilità ed eleganza della barca.

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