I.S.C.A. - Coimbra

Curso de Solicitadoria e Administração

Tópicos de Matemática

Conjuntos

Clara Viseu e Lurdes Vieira. Com base no trabalho de Joana Leite,Maria da Conceição Rocha e Manuela Larguinho

2007/2008

Conteúdo

Conjuntos 1

1 Generalidades

1.1 Relação entre um objecto e um conjunto1.2 Relações entre dois conjuntos1.3 Representação de conjuntos1.4 Intervalos de números reais1.5 Exercício resolvido . . .

112345

2 Operações com conjuntos2.1 Reunião . .

2.2 Intersecção2.3 Complementar2.4 Diferença simétrica

2.5 Algumas propriedades das operações com conjuntos .2.6 Exercícioresolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

667891010

3 Produto cartesiano entre dois conjuntos e relações binárias3.1 Par ordenado . . . . . . . . .

3.2 Sistema cartesÍano ortogonal .3.3 Produto cartesiano entre dois conjuntos3.4 Relação binária . .3.5 Domínio e imagem3.6 Exercício resolvido

11111212131414

Bibliografia 15

Conjuntos

1 Generalidades

A noção de conjunto é, em Matemática, um conceito primitivo, sendo aceite semdefinição. Intuitivamente, encaramos um conjunto como uma colecção de objectos denatureza qualquer (como, por exemplo, números, pessoas, letras, etc.), os quais se dizemseus elementos.

No âmbito desta disciplina trataremos diversos tipos de conjuntos, com destaque paraos conjuntos numéricos, isto é, conjuntos cujos elementos são números.

Exemplo 1 Conjuntos numéricos fundamentais.

1. Conjunto dos números naturais: JN= {I, 2,3,4, ...}.

2. Conjunto dos números inteiros: Z= {...,-4,-3,-2,-1,O,1,2,3,4,...}.

3. Conjunto dos números racionais: representa-se por Q e é o conjunto de todos osnúmeros que podem ser escritos como uma fracção entre dois números inteiros dedenominador é não nulo 1.

4. Conjunto dos números reais: denota-se por ]R e o conjunto formado por todos osnúmeros racionais e por todos os números irracionais 2.

1.1 Relação entre um objecto e um conjunto

A relação básica entre um objecto e um conjunto é a relação de pertença. Quando umobjecto x é um dos elementos que compõe o conjunto A, dizemos que x pertence a A eescrevemos

x EA.

lExemplos de números racionais: O (pois O= ~, onde O e 1 são números inteiros, com 1 1= O); -0.5

(pois -3.5 = i, onde -7 e 2 são números inteiros, com 21= O); 0.333... = 0.(3) (pois 0.(3) = i, onde 1 e3 são números inteiros, com 31= O). Todos os números racionais podem ser representados por uma dizimafinita ou infinita periódica.2Um número irracional é uma dizima infinita não periódica. Exemplos de números irracionais: 7r (que é

obtido sempre que se divide o perímetro pelo diâmetro de Ilma circunferência); v'2 (que pode ser definidocomo a hipotenusa de um triângulo rectângulo cujos catetos medem 1).

1

Se, porém, x não é um dos elementos do conjunto A, dizemos que x não pertence a Ae escrevemos

x ~A.

Observação 1 Vamos designar o número de elementos de um dado conjunto A por car-

dinal de A, e escrevemos'#4.

1.2 Relações entre dois conjuntos

Relação de igualdade: Dados os conjuntos A e B, dizemos que A e B são iguais se têmexactamente os mesmos elementos e escrevemos

A=B.

Relação de inclusão: Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é um subconjunto de B(ou A está contido em B ou A é uma parte de B) se todo o elemento de A é tambémelemento de B, isto é, V'x(x E A =* x E B) e escrevemos

AÇB.

Quando A ç B diz-se também que A está incluído ou é igual a B.

Caso A esteja contido mas não seja igual a B, sendo importante salientar tal facto,podemos escrever" A ç: B" ou "A C B".

A negação de "A está contido em B" é "A não está contido em B", isto é, :3x(x EA 1\ x ~B), que se escreve

Observação 2 Chamamos conjunto singular a qualquer conjunto com um só elemento.Se um dado conjunto é constitui do apenas por um único elemento, digamos, a, escrevemos

{a}.

Convém notar que neste caso, seria incorrecto escrever a = {a}: um objecto e o con-junto que o tem por único elemento não são, de forma alguma, o mesmo objecto. Assim,por exemplo, enquanto a proposição 1 E {I} é obviamente verdadeira, as proposições

{I} E 1, {I} E {I}

são ambas falsas.

2

Observação 3 No estudo de várias questões sucede, por vezes, poder fixar-se à partidaum conjunto U, tal que todos os conjuntos que interessa considerar são subconjuntos de U,designando-se este por conjunto universal ou universo.

Observação 4 Chamamos conjunto vazio a um conjunto sem qualquer elemento e escreve-mos 0. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, 0 ç A.

Observação 5 Todo o conjunto é subconjunto dele pr6prio, isto é, A ç A.

Exemplo 2 Os conjuntos numéricos fundamentais cumprem as seguintes relações de in-clusão: JN ç Z ç Q ç ]R.

Observação 6 A utilização dos símbolos "E" e "ç" gera, por vezes, alguma confusão.Note que afirmar que x E X é equivamente a afirmar que {x} ç X. Por exemplo, éverdade que 1 E Z e que {I} ç Z, mas é falso que 1 ç Z e que {I} E Z.

1.3 Representação de conjuntos

Um conjunto pode ser definido (ou descrito) de duas maneiras 3: por extensão ou porcompreensão.

Por extensão: Quando, no exemplo 1, escrevemos JN = {1,2,3,4,...}, apresentámos oconjunto dos números naturais descrito por extensão. Dizemos, então, que um con-junto está definido por extensão quando são listados explicitamente todos os elemen-tos do conjunto, colocando-os entre chavetas e separados por vírgulas. Quando éexagerado ou não é possívellistar todos os elementos de um conjunto, sendo evidenteum determinado padrão na sucessão dos elementos, utilizam-se reticências "..." paraabreviar a sua descrição.

3Por vezes os conjuntos são representados recorrendo a figuras, como, por exemplo, a diagmmas deVenn ou, no caso dos intervalos de números reais, a uma recta. Tais representações não constituem umaforma precisa de definir conjuntos, mas podem revelar-se muito úteis na compreensão de conceitos e comoauxiliar para a resolução de problemas.

3

Exemplo 3 Conjuntos definidos por extensão:

1. A = {a, e, i, o, u} é o conjunto das vogais do alfabeto latino;

2. B = {I, 2, 3, ...,98, 99} é o conjunto dos números naturais menores do que 100;

3. C = {lI, 12, 13, 14, ...} é o conjunto dos números inteiros maiores do que 10.

Na representação de um conjunto por extensão, a ordem pela qual os elementos sãolistados é irrelevante (por exemplo, {3, 1,2} = {I, 2,3}), assim como é irrelevante arepetição de elementos (por exemplo, {I, 1, 1,3,2, 2} = {I, 2, 3}).

Por compreensão: O modo mais frequente de definir um conjunto é por compreesão, istoé, através de uma propriedade que todos os elementos desse conjunto verifiquem e queos objectos que não pertençam a esse conjunto não verifiquem. Mais concretamente,escrevemos

x = {x EU; x verifica a propriedade P}

quando pretendemos descrever o conjunto de elementos x de U tais que x verifica apropriedade P. O conjunto base U, a que a propriedade P se refere, é determinantena definição do conjunto.

Exemplo 4 Conjuntos definidos por compreensão:

1. D = {n EJN; n ::;3} é o conjunto dos números naturais menores ou iguais a 3(por extensão, D = {I, 2, 3}};

2. E = {z E Z : z ::; 3} é o conjunto dos números inteiros menores ou iguais a 3(por extensão, E= {...,-4,-3,-2,-1,O,-1,2,3}).

Observação 7 Por vezes, acontece que nenhum elemento de U verifica a propriedade P.Neste caso, o conjunto {x EU: x verifica a propriedade P} não possui elemento algum,designando-se por conjunto vazio e representando-se por 0. Por exemplo, tem-se que{a E JN : 1 < a < 2}= 0.

1.4 Intervalos de números reais

Os intervalos de números reais são uma representação específica de um certo tipo desubconjuntos de R.

Considerando dois números reais a e b, com a < b, na tabela seguinte definimos osdiversos tipos de intervalos. Como é sabido, podemos identificar os números reais com ospontos de uma recta; assim, na última coluna, está indicada a representação do intervalona recta.

4

Os quatro primeiros intervalos são limitados de extremos a e b, sendo os restantesilimitados, designando-se, por exemplo:

. [a,b]por intervalo fechado de extremos de a e b;

. ]0.,b[ por intervalo aberto de extremos a e bj

. [a,b[ por intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos de a e b;

· ] - 00, b]por intervalo ilimitado à esquerda e fechado à direita de extremo b.

Aproveitamos para recordar as seguintes notações:

. 1R+=]0, +oo[ (conjunto dos reais positivos);

. IRt = [O,+oo[ (conjunto dos reais não negativos);

. 1R- =] - 00, O[ (conjunto dos reais negativos);· 1Rã =] - 00,0] (conjunto dos reais não positivos).

1.5 Exercício resolvido

Exercício 1 Represente na forma de intervalos de números reais o conjunto

S = {x E 1R: -2 < x + 1 < 2}.

Resolução: x+l está compreendido entre -2 e 2 ou, o que é equivalente, x + 1 > -2 ex + 1 < 2. Resolvendo cada uma das inequações vem x > -3 e x < 1. Logo, S=] - 3, 1[.

5

Intervalo Definição Representação na recta

[a,b] [a,b] - {x E IR : a < x < b} TIIi 1/ I////J. "-"[a,b[ [a,b[- {x E 1R: a < x < b} TI/I' / Ir' I// '-

]a,b] ]a,b]- {x E 1R: a < x < b} fI//I///I/I, ,]0.,b[ ]0.,b[- {x E IR: a < x < b} '///////11' ,] oo,b] ] 00,b] {XE1R:x<b} /:.:r ;??:..---' __ ___ ...............: -,] - oo,b[ ] - 00, b[= {x E 1R : x < b} /' / / / / / / / /1 '-

[a,+oo[ [0.,+00[= {x E 1R: x> a} TI' ,/ ./ ,,/ /' // ''lo..

]0.,+oo[ ]0.,+00[- {x E 1R: x > a} ./ ...-/""/" ./:"r-/",," '"

] - 00, +oo[ ] - 00, +00[= 1R -/1/ /./,/ ././'/ //..-;::. '-

_fi / / / / II/)f-3 O 1

2 Operações com conjuntos

Nesta secção apresentamos várias formas de combinar dois conjuntos, obtendo novosconjuntos formados por elementos pertencentes ou não aos conjuntos iniciais, e que sãofacilmente generalizáveis para três ou mais conjuntos.

No que se segue, vamos considerar dois conjuntos, A e B, subconjuntos do conjunto U,que designaremos por universo.

No caso dos intervalos de números reais, sugerimos o recurso à representação na rectapara melhor compreender os exemplos e auxiliar a resolução dos exercícios.

2.1 Reunião

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto A UB, formado pelos elementos de A maisos elementos de B. Assim, afirmar que x E A UB significa dizer que, pelo menos uma dasafirmações seguintes é verdadeira: x E A ou x E B. Podemos então escrever 4:

A UB = {x EU: x E A V x E B}.

Ao contrário do uso em linguagem corrente, a palavra "ou" é sempre utilizada emMatemática em sentido lato: ao dizer "x E A ou x E B" que pelo menos uma destasalternativas é verdadeira, sem excluir a possibilidade de que ambas o sejam.

Figura 1: Diagrama de Venn para a reunião.

4Recorde que, em termos simbólicos, o "ou" se representa por "V".

6

Note que se tem sempre A ç AUB e que B ç AUB.

Exemplo 5

1. {I, 2, 3} U {3,4, 5} = {I, 2, 3, 4, 5}.

2. -3 E]- 5,-3[U[-3, +00[, pois, embora-3~] - 5, -3[, tem-se -3 E [-3, +00[.

-5 ~] - 5, -3[U[-3, +00[, pois -5 ~] - 5, -3[ e -5 ~ [-3, +00[.

Note que, tal como acontece neste caso, pode não ser possível exprimir a reunião dedois intervalos como um intervalo apenas.

3. ] - 5,0[U[-3, +00[=] - 5,+00[.

2.2 Intersecção

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto AnB, formado pelos elementos comunsa A e a B. Assim, afirmar que x E A n B significa dizer que se tem, ao mesmo tempo,x E A e x E B. Podemos então escrever 5:

A n B = {x EU: x E A i\ x E B}.

Pode ocorrer que não exista elemento algum comum aos conjuntos A e B, tendo-se,portanto, A n B = 0. Neste caso os conjuntos dizem-se disjuntos.

Figura 2: Diagrama de Venn para a intersecção.

Note que se tem sempreA n B ç A e que A n B ç B.

Exemplo 6

1. {I, 2,3} n {3,4, 5} = {3}.

2. ] - 5, -3[n[-3, +00[= 0.

3. -3 E] - 5,0[n[-3, +00[, pois -3 E] - 5,0[ e -3 E [-3,+00[.

1 ~] - 5,0[n[-3, +00[, pois, embora1 E [-3, +00[, tem-se 1 ~] - 5,0[.

Note que se tem] - 5,0[n[-3, +00[= [-3,0[.5Recorde que, em termos simbólicos, o "e" se representa por" A".

7

2.3 Complementar

o complementardo conjuntoB em relaçãoao conjuntoA é o conjunto A \B ou A - B,que se pode também ler "A excepto B", formado pelos elementosde A que não pertencema B. Assim, afirmar que x E A \ B significa dizer que se tem, ao mesmo tempo, x E A ex 1- B. Podemos então escrever:

A \ B = {x EU: X E A 1\ x 1- B}.

A

Figura 3: Diagrama de Venn para o complementar em relação a um conjunto.

Se, em particular, o conjunto A é igual ao universo, isto é, A = U, o conjunto U \ Bdiz-se, simplesmente, o complementarde B e denota-se por B, sendo formado por todosos elementosde U que não pertencem a B. Podemos então escrever:

B = {x EU: x 1- B}.

Salientamosque a reunião de um conjunto como seu complementaré igual ao universo,isto é, B UB = U, e que a intersecçãode um conjunto como seu complementar é igual aovazio, ou seja, B nB = 0.Observação 8 O recurso à notação B pressupõe um conhecimento inequívoco do universoU. Caso haja dúvida, deverá optar-se pela notação U \ B. Por exemplo, não é clarooconjunto que se pretende descrever com {I, 2, 3}; pode ser o conjunto JN\ {I, 2, 3} ou oconjunto Z \ {I, 2, 3} ou alguma outra alternativa. No caso dos intervalos de números

reais, pressupõe-se sempre que o universo é R.

Note que se tem sempre A \ B = A nB.Exemplo 7

1. {1,2,3} \ {3,4,5}= {1,2}.

2. [-1, 2[ = R \ [-1,2[=] - 00, -1[U[2, +00[.

3. ] - 5, -3[\[-3, +00[=] - 5, -3[n[-3, +oo[ =] - 5, -3[n] - 00, -3[=] - 5, -3[.

8

u

-----------

Figura 4: Diagrama de Venn para o complementar em relação ao universo.

2.4 Diferença simétrica

A diferença simétrim entre os conjuntos A e B é o conjunto ALlB, formado peloselementos de A UB que não pertencem a A n B. Assim, afirmar que x E ALlB significadizer que se tem, ao mesmo tempo, x E A u B e x fj. A n B. Podemosentãoescrever

ALlB = (AUB) \ (A n B) = {x EU: x E (A UB) 1\x fj.(A n B)}.

Observação 9 Note que (A UB) \ (A n B) = (A - B) U (B - A).

A B

Figura 5: Diagrama de Venn para a diferença simétrica.

Exemplo 8 Se A = {1,2,4, 7} e B = {1,3,6, 7, lO} então

AilB = (A - B) U (B - A) = {2,4} U{3,6, lO}= {2,3,4, 6, lO}.

9

2.5 Algumas propriedades das operações com conjuntos

As propriedades seguintes, relativas às operações com conjuntos, apresentam-se semdemonstração, sugerindo-se, em caso de dúvida, o recurso aos diagramas de Venn para ainterpretação das mesmas.

Propriedade 1 Dados os conjuntos A, B e C, subconjuntos do universo U, tem-se que:

1. AU0=A e AnU=A;

2. A UU = U e A n 0 = 0;

3. A UA = A e A n A = A;

4. A UB = B UA e A n B = B nA (comutativa);

5. (A UB) UC = A U (B UC) e (A n B) n C = A n (B nC) (associatíva);6. AU(BnC) = (AUB)n(AUC) e An(BUC) = (AnB)U(AnC) (distributiva);

7. A UB = A n B e A nB = A UB (leis de De Morgan).

Exemplo 9

1. ({1,2,3} U{3,4}) n {2,4,6} = {1,2,3,4} n {2,4,6} = {2,4}.

2. ({I, 2, 3} n {3,4}) U {2,4, 6} = {3} U {2, 4, 6} = {2, 3, 4, 6}.

3. ] - 00,-2[U]2, +oo[ =] - 00, -2[ n ]2,+oo[ = [-2,2].

2.6 Exercício resolvido

Exercício 2 Considere os conjuntos

A = {I}, B = {n E JN: n 2: 2} e C = {n E JN: n::; 6}.

Represente por extensão:

1.AUB; 2.A n B; 3.B n C; 4.JN\ C.Resolução:

1. AUB={1,2,3,4,...}.

2. A n B = 0.

3. B n C = {2, 3, 4, 5, 6}.

4. JN\ C = {7, 8, 9,10,11, ...}.

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3 Produto cartesiano entre dois conjuntos e relações binárias

Sejam A e B dois subconjuntos do universo U. O produto cartesiano de A por B é umaoperação entre conjuntos que se distingue das restantes por produzir um novo conjuntoque não é, como veremos, um subconjunto de U (note que A U B ç U, A n B ç U eA \ B ç U). Esta operação é útil na medida em que é a partir do produto cartesiano quedefinimos relação binária, que permitirá definir função.

3.1 Par ordenado

Par é todo o conjunto formado por dois elementos. Por exemplo, {1,2} e {a, b} sãopares. Como vimos anteriormente {a, b} = {b, a}, isto é, a ordem dos elementos não

conduz a um novo par. Contudo, existem situações em que a ordem dos elementos do partem significado. O produto cartesiano entre dois conjuntos baseia-se no conceito de parordenado, que se define em seguida: dados dois objectos a e b, o par ordenado (a, b) é asequência em que a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento.

Assim, dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais, e escrevemos (a, b) = (c, d), apenasquando a = c e b = d.

Observação 10

1. {a,b} = {b,a} i= (a,b) e {a,b} = {b,a} i= (b,a).

2. (a, b) = (b,a), apenas quando a = b.

3. {a, a} = {a} enquanto que (a,a) é um par ordenadolegítimo.

Usualmente, num par ordenado, à primeira coordenada chamamos abcissa e à segundacoordenada chamamos ordenada. Por exemplo, (1, z) é o par ordenado de abcissa 1 eordenada z.

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3.2 Sistema cartesiano ortogonal

o sistema cartesiano ortogonal é um sistema formado por dois eixos, o dos xx e o dosyy, perpendiculares entre si.

o eixo dos xx é denominado eixo das abcissas e o eixo dos yy é designado eixo dasordenadas. O par ordenado (a, b), indicado na figura, tem abcissa a e ordenada b.

Os eixos referidos dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. Um parordenado situado no 1° quadrante tem abcissa e ordenada positivas; um par ordenadosituado no 2° quadrante possui abcissa negativa e ordenada positiva; um par ordenadosituado no 3° quadrante tem abcissa e ordenada negativas; finalmente, um par ordenadosituado no 4° quadrante tem abcissa positiva e ordenada negativa.

3.3 Produto cartesiano entre dois conjuntos

O produto cartesiano de A por B é o conjunto A XB cujos elementos são todos os paresordenados (a, b) em que a primeira coordenada pertence a A e a segunda a B. Portanto:

A x B = {(a, b) : a E A Á b E B}.

Salientamos que A x B =f B x A, excepto se A = B ou A = 0 ou B =:=0 (já que

o x B = A x 0 = 0). Nocaso particular A = B, temos o produto cartesiano A x A = A2.

Exemplo 10

1. Sejam V = {a, b,c} e W = {O,I}. Então tem-se

V x W = {(a, O),(b,O),(c,O),(Q"1), (b,1), (c, I)},

W x V = {(O,a), (O,b), (O,c), (1, a), (1, b), (1, c)},

W x W = W2 = {(O,O),(O,1), (1, O),(1, 1)}.

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y

b I- _ -.(a,b)II+a x

2. O conjunto ]R? = R x R é formado por todos os pares ordenados (x, y), tais quex E R e y E R. Cada um de tais pares pode, como sabemos, ser "identificado" comum ponto de um plano no qual tenha sido considerado um referencial. Por exemplo,(2,3) E R2, podendo representar-se da seguinte forma:

y3 m m' (2,3)::

I:i

o 2 x

Notamos que a definição de par ordenado é generalizável a sequências de três ou mais coor-denadas, assim como o conceito de produto cartesiano é generalizável a produtos de maisde dois conjuntos. Estas generalizações permitem, por exemplo, obter R3, cujos elementostêm três coordenadas e são, habitualmente, identificados com os pontos do espaço.

3.4 Relação binária

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma relação binária, digamos R, de A paraB é qualquer subconjunto do produto cartesiano de A por B, isto é, de A x B, isto éR ç A x B.

Atendendo a que uma relação bi'nária de A para B é um conjunto, pode ser escrita porextensão, enumerando todos os pares ordenados de A x B que são seus elementos, ou porcompreensão da seguinte forma

R = {(x, y) E A x B : x e y verificam a propriedade P}.

Observação 11 Ao conjunto A chamamos conjunto de partida da relação R, e ao conjuntoB o conjunto de chegada.

Observação 12 Qaundo o par ordenado (x, y) pertence à relação R, escrevemos XRYi se

o par não pertence à relação, escrevemos x jly.

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Exemplo 11 Sejam D = {-3, -2, 2,3} e C = {4,9}. Podemos definir as seguintes duasrelações binárias:

F = {(x, y) E D x C : y = X2} e G = {(x, y) E D x C : x < y}.

Descrevendo estas relaçõespor extensão, tem-se F = {(-3,9), (-2,4), (2,4), (3,9)} eG = {( -3,4), (-3,9), (-2,4), (-2,9), (2,4), (2,9), (3,4), (3,9)}.

3.5 Domínio e imagem

Sendo R uma relação binária de A em B, chamamos domínio de R, e escrevemos D(R),ao conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é,

x E D(R) {:?3y E B : (x, y) E R.

Designamos imagem de R, e escrevemos Im(R), o conjunto de todos os segundoselementos dos pares ordenados pertencentes a R, isto é,

Y E Im(R) {:?3x E A: (x,y) E R.

Temos então que D(R) ç A e Im(R) ç B.

3.6 Exercício resolvido

Exercício 3 Sejam os conjuntos A = {I, 2,3,4} e B = {2,4, 6, 8}. Determine o domínioe a imagem das seguintes relações:

l.RI = {(x,y) E A x B: y = 2x}

3.Rg= {(x, y) E A x B : y = 6}2.R2 = {(x,y) E A x B : y = x}4.R4= {(x, y) E A x B ; x = 2}

Resolução: Descrevendo estas relações por extensão tem-se:

1. RI = {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}.

Então, D(RI) = A = {1,2,3,4} e Im(R1) = B = {2,4,6,8}.

2. R2';{(2,2),(4,4)}.

Assim, D(R2) = {2,4} e Im(R2) = {2,4}.

3. Rg = {(I, 6), (2,6), (3, 6), (4, 6)}.

Logo, D(R3) = A = {I, 2, 3,4} e Im(R3) = {6}.

4. R4 = {(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8)}.

Logo,D(R4)= A = {2}e Im(R4) = B = {2,4,6,8}.

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Bibliografia

Fen'eira, J.C. (2001). Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos. 1ST.

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Martins, P., Carvalho, M., Neves,C., Amaro, A. e Leite, J. (2006)Matemática I - Gestãode Empresas e Informática de Gestão (2006/2007). ISCAC.

Medeiros, V., Caldeira, A., Silva, L. e Machado, M. (2006) Pré-Cálculo. Pioneira Thom-son Learning.

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