BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar BelakangDalam kehidupan seharihari manusia untuk mendapatkan suatu pekerjaan akan melihat bagaimana peluang untuk mendapatkannya. Sama seperti halnya dalam teori matematika peluang adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti baik, lemah, kuat, miskin, sedikit dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi. Untuk itu kita perlu mengetahui peluang yang akan terjadi karena jelas di sini bahwa berbicara mengenai peluang kita dihadapkan dalam suatu kondisi yang tidak pasti, akan tetapi kita hanya diberikan suatu petunjuk atau gambaran seberapa besar keyakinan kita bahwa suatu peristiwa bisa terjadi. B. Tujuan

Tujuan dibuatnya makalah ini adalah :1. Agar mahasiswa dapat memahami pengertian peluang.2. Agar mahasiswa dapat memahami konsep peluang.3. Agar mahasiswa dapat memahami ekspektasi.4. Makalah ini ditujukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Statistika Dasar pada tahun ajaran 2015.C. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan adalah menggunakan buku dan internet sebagai sarana untuk mengumpulkan informasi, data, serta referensi untuk melengkapi isi makalah ini.D. Rumusan Masalah1. Apa pengertian peluang?2. Bagaimana konsep peluang?3. Bagaimana ekspektasi dalam peluang?BAB IIPEMBAHASANA. Sejarah PeluangTeori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi. Penjudi tersebut Chavelier de Mere (bangsawan Perancis) bertanya pada Blaise Pascal (1623-1662). Lalu, Pascal dan Fermat (1601-1665) mengembangkannya menjadi teori peluang. Walaupun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunakan secara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorologi, sains, dan industri.

Misalnya, perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk meramalkan kondisi cuaca; peluang digunakan dalam studi kelakuan molekul-molekul dalam suatu gas; peluang juga digunakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum hari pemilihan umum. Bahkan, PLN menggunakan teori peluang dalam merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan.B. Definisi PeluangPeluang berarti kemungkinan atau harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.Peluang mempunyai banyak persamaan arti, seperti kemungkinan, kesempatan dan kecenderungan. Peluang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang bersifat acak. Suatu kejadian disebut acak jika terjadinya kejadian tersebut tidak diketahui sebelumnya. Oleh karena itu, peluang dapat digunakan sebagai alat ukur terjadinya kejadian di masa yang akan datang. Nilai peluang yang paling kecil adalah 0 yang berarti bahwa kejadian tersebut pasti tidak akan terjadi. Sedangkan nilai peluang yang terbesar adalah 1 yang berarti bahwa kejadian tersebut pasti akan terjadi. Secara lengkap, nilai peluang suatu kejadian A adalah :

Bagaimana kemungkinan itu terjadi dapat didefinisikan sebagai berikut :

1. Definisi secara KlasikMisalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling ekslusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka peluang peristiwa E terjadi adalah n/N dan ditulis dalam notasi :

Contoh : Dadu memiliki enam sisi sehingga, 1 sisi mata 1, 1sisi mata 2, 1 sisi mata 3, 1 sisi mata 4, 1 sisi mata 5 dan satu sisi mata 6. Peluang munculnya mata 1 adalah 1/6.

2. Definisi secara EmpirisJika diperhatikan frekuensi relatif tentang terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah pengamatan, maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan di perbesar sampai tak hingga banyaknya dan ditulis dalam notasi :

Contoh : Koin mempunyai 2 sisi sehingga peluang muncul salah satu sisi jika dilempar sabanyak 1 kali adalah . Jika dilempar sebanyak 2 kali, belum tentu kedua sisi muncul bergantian, tetapi jika pelemparan dilakukan semakin banyak, maka peluanggnya akan semakin mendekati .Selain itu, definisi mengenai peluang dapat dilihat dari tiga jenis pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif (Aswin, hal: 1-3). 1. Pendekatan Klasik Menurut pendekatan klasik, peluang didefinisikan sebagai hasil bagi banyaknya kejadian yang dimaksud dengan seluruh kejadian yang mungkin. Dirumuskan : Dengan : P (A) = Peluang terjadinya kejadian

n (A) = Jumlah kejadian

n (S) = Jumlah kejadian yang mungkin.

2. Pendekatan Frekuensi Relatif

Menurut pendekatan frekuensi relatif, peluang dapat didefinisikan sebagai berikut :

Proporsi waktu terjadinya suatu kejadian dalam jangka panjang, jika kondisi stabil.

Frekuensi relatif dari seluruh kejadian dalam sejumlah besar percobaan.

Peluang berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai peluang Empiris. Nilai peluang ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai peluang itu merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut.

3. Pendekatan Subjektif

Menurut pendekatan subjektif, peluang didefinisikan sebagai tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau kejadian masa lalu atau berupa terkaan saja. Misalnya, seorang direktur akan memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan. Peluang tertinggi ( kemungkinan diterima ) menjadi karyawan ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.

C. Aturan PeluangAda beberapa aturan peluang :1.Peluang sebuah kejadian E selalu berkisar antara 0 sampai 1. Tidak mungkin lebih kecil dari 0 dan tidak mungkin lebih besar dari 1 0 P(E) 1Contoh : Peluang munculnya mata 1 pada pelemparan dadu = 1/6

2.Jumlah total peluang pada sebuah kejadian keseluruhan sama dengan 1 P(E) P(E) = 1

Contoh : Jika peluang munculnya mata 1 pada pelemparan dadu = P(1) = 1/6 Dan peluang munculnya mata bukan 1 (mata 2, mata 3, mata 4, mata 5 dan mata 6) adalah 5/6, maka total peluang pada pelemparan dadu adalah 1/6 + 5/6 = 1

3. Kejadian yang saling ekslusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lain tidak mungkin terjadi P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2)

Contoh : Jika peluang terambil satu kartu hati pada setumpuk kartu bridge adalah 13/52 dan peluang terambil kartu wajik adalah 13/52. Maka peluang terambil kartu hati atau wajik adalah 13/52 + 13/52 = 26/52 atau sama dengan peluang terambil kartu yang merah, artinya kalau tidak hati berarti wajikyang terambil. Jika yang satu sudah terambil maka yang lain tidak akan terambil.

P( U ) = P() + P() = 13/52 + 13/52 =

4. Kejadian yang saling inklusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lain masih mungkin terjadi P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) P(E1 E2)

Contoh : Jika peluang terambil satu kartu hati pada setumpuk kartu bridge adalah 13/52 dan peluang terambil kartu As adalah 4/52. Maka peluang terambil kartu hati atau As adalah 13/52 + 4/52 1/52 = 16/52. Disini perhitungan di kurangi 1/52 karena pada pengambilan kartu hati atau As ada kemungkinan terambil kartu hati yang As dengan peluang 1/52 P( U As) = P() + P(As) P(( As) = 13/52 + 4/52 1/52 = 16/52

5. Kejadian yang saling independen, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu tidak berhubungan dengan kejadian yang lain P(E1 E2) = P(E1). P(E2)

Contoh : Dilakukan pelemparan dua buah dadu. Jika peluang munculnya mata 1 pada dadu pertama = 1/6 dan peluang munculnya mata 1 pada dadu kedua = 1/6. Maka peluang dalam satu kali pelemparan 2 dadu akan muncul mata 1 pada dadu pertama dan mata 1 pada dadu kedua adalah 1/6 x 1/6 = 1/36

P(1I 1II) = P(1I). P(1II)

= 1/6 x 1/6 = 1/36

6.Kejadian yang mempunyai hubungan bersyarat, yaitu sebuah kondisi dimana kejadian yang satu menjadi syarat untuk kejadian berikutnya. Jadi, kejadian kedua terjadi setelah kejadian satu terjadi.

P(E1 E2) = P(E1). P(E2|E1)

Contoh :Sebuah kotak berisi 3 buah bola berwarna kuning, 4 buah bola berwarna merah dan 5 buah bola berwarna biru, yang sama ukurannya. Peluang terambil bola K = P(K) = 3/12, peluang terambil bola M = P(M) = 4/12 dan peluang terambil bola B = P(B) = 5/12 Jika diambil dua buah bola berurutan, maka peluang terambil pertama bola merah dan ke dua bola biru adalah 4/12 x 5/11 = 0,79. Disini peluang terambil bola biru 5/11 karena bola pertama sudah terambil sehingga jumlah bola keseluruhan tinggal 11 P(M B) = P(M). P(B|M) = 4/12 x 4/11 = 0,79D. Permutasi dan Kombinasi1. KombinasiKombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek tersebut tanpa menghiraukan urutan objek itu sendiri.

Definisi :Suatu himpunan yang terdiri dari r objek yang mungkin dipilih dari suatu himpunan yang terdiri dari n objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihannya dinamakan kombinasi secara sekaligus sebanyak r dari n objek yang berbeda dimana r n, dinyatakan

Contoh : Jika ada 5 huruf A B C D E, kemudian akan diambil 3 huruf untuk disusun dengan tidak memperhatikan urutan, maka kemungkinan susunannya :A B C A B D A B E A C D A C EA D E B C D B C E B D E C D EAtau jika dihitung

Jadi ada 10 susunan yang mungkin.2. PermutasiPermutasi sejumlah objek ialah penyusunan objek tersebut dalam suatu urutan tertentu.

Definisi :

Pengaturan atau penyusunan sebanyak r objek yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari n objek yang berbeda secara matematis dinamakan permutasi secara sekaligus sebanyak r dari n objek yang berbeda dimana r n, dinyatakan

Contoh : Jika ada 5 huruf A B C D E, kemudian akan diambil 3 huruf untuk disusun dengan memperhatikan urutan, maka jumlah sususnan yang mungkin ada

Jadi ada 60 susunan yang mungkinE. Teorema BayesJika kita mengamati k buah kejadian B1, B2, , Bk dengan peluang terjadinya kejadian itu masing-masing P(B1), P(B2), , P(Bk) kemudian kita mengamati sebuah kejadian A dalam masing masing kejadian tadi dengan peluang P(AB1), P(AB2), , P(ABk),

maka peluang terjadi kejadian A adalah :P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + + P(Bk) P(A|Bk)Dan peluang kejadian A tersebut berasal dari kejadian Br adalah

Contoh :Tiga orang telah dicalonkan sebagai manajer sebuah perusahaan. Peluang A terpilih adalah 0,3, peluang B terpilih adalah 0,5, dan peluang C terpilih adalah 0,2. Jika A terpilih, peluang terjadinya kenaikan gaji karyawan adalah 0,8. Jika B atau C terpilih, peluang kenaikan gaji karyawan masing-masing adalah 0,1 dan 0,4.B1 = A terpilih, B2 = B terpilih, dan B3 = C terpilihG = kejadian gaji naikP(B1) = 0.3, P(B2) = 0.5, P(B3) = 0.2

P(GB1) = 0.8, P(GB2) = 0.1, P(GB3) = 0.4

Peluang terjadi kenaikan gaji karyawan adalahP(G) = P(B1) P(GB1) + P(B2) P(GB2) + P(B3) P(GB3) = (0.3)(0.8) + (0.5)(0.1) + (0.2)(0.4) = 0.37Jadi peluang kenaikan gaji sebesar 0,37Peluang kenaikan gaji terjadi jika terpilih C adalah

Jadi peluang kenaikan gaji jika C terpilih adalah sebesar 0,23Contoh :

Sebuah pabrik mempunyai 3 mesin A, B dan C yang memproduksi berturut-turut 60%, 30%, dan 10% dari total banyak unit yang diproduksi pabrik. Persentase kerusakan produk yang dihasilkan dari masing-masing mesin tersebut berturut-turut adalah 2%, 3% dan 4%. Suatu unit dipilih secara random dan diketahui rusak. Hitung probabilitas bahwa unit tersebut berasal dari mesin C. Misal kejadian R adalah unit yang rusak, akan dihitung P(C | R), yaitu probabilitas bahwa suatu unit diproduksi oleh mesin C dengan diketahui unit tersebut rusak.Dengan teorema Bayes, kejadian P(A), P(B) dan P(C) adalah peluang (persentase produksi) dari masing-masing mesin; P(R | A), P(R | B) dan P(R | C) adalah peluang (persentase kerusakan) dari masing-masing mesin.

F. EkspektasiEkspektasi, dinotasikan E; merupakan operator yang mentransformasi variabel acak menjadi suatu skalar. Pende_nisian ekspektasi tergantung dari jenis variabel acaknya, kontinu atau diskrit.

DefinisiMisal X variabel acak.

1. Jika X kontinu dengan pdf f(x) dan

maka ekspektasi dari X

2. Jika X diskrit dengan pmf p(x) dan

maka ekspektasi dari X adalah

Dengan kata lain, syarat keberadaan E[X] adalah

Sifat-sifat EkspektasiSifat-sifat ekspektasi dinyatakan pada dua teorema berikut. Pada Teorema 1 diberikan aturan cara menentukan ekspektasi dari suatu fungsi variabel acak, sedangkan Teorema 2 menyatakan bahwa ekspektasi merupakan operator linier.

Dari Contoh 4, dapat diambil kesimpulan bahwa berbeda dengan penjumlahan atau perkalian skalar, secara umum ekspektasi perkalian tidak sama dengan perkalian ekspektasi.Misalkan sebuah eksperimen yang menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi dimana peluang terjadinya tiap peristiwa masing-masing p1, p2, , pk dan untuk tiap peristiwa dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan x1, x2, ,xk, maka ekspektasi eksperimen itu didefinisikan

= pi xi = p1 x1 + p2 x2 + + pk xkContoh :Sebuah undian berhadiah yang terdiri dari 1 hadiah pertama seniali 100.000, 2 hadiah kedua masing-masing 50.000 dan 3 hadiah ke tiga masing-masing 25.000. Jika jumlah kupon secara keseluruhan adalah 100, maka peluang mendapat hadiah pertama 1/100, peluang mendapat hadaiah ke dua 2/100 dan peluang mendapat hadiah ke tiga 3/100. Jika kopon di jual seharga 1000 perlembar, maka harapan untuk menang scara matematisnya adalah : p1 = peluang mendapat hadiah pertama = 1/100x1 = peristiwa menang hadiah pertama = 100.000p2 = peluang mendapat hadiah kedua = 2/100x2 = peristiwa menang hadiah kedua = 50.000p3 = peluang mendapat hadiah ketiga = 3/100x3 = peristiwa menang hadiah ketiga = 25.000

p4 = peluang mendapat hadiah keempat = 94/100x4 = peristiwa menang hadiah keempat = (- 1000) = 1/100 x 100.000 + 2/100 x 50.000 + 3/100 x 25.000 + 94/100 x (-1000) = 100.000 + 100.000 + 75.000 282.000 = - 7.000Karena nilai ekspektasi negatif, berarti secara matematika, kemungkinan akan kalah atau tidak ada harapan untuk mendapatkan hadiah.

Harapan secara matematik itu ada ketika nilai ekspektasinya positif.BAB IIIPENUTUP

A. Simpulan1. Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi.2. Peluang berarti kemungkinan atau harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.

3. Aturan peluang terdiri dari beberapa : 1. Peluang sebuah kejadian E selalu berkisar antara 0 sampai 1, 2. Jumlah total peluang pada sebuah kejadian keseluruhan sama dengan 1 P(E) + P(E) = 1, 3. Kejadian yang saling ekslusif, 4. Kejadian yang saling inklusif, 5. Kejadian yang saling independen, 6. Kejadian yang mempunyai hubungan bersyarat.4. Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan objek tersebut tanpa menghiraukan urutan objek itu sendiri.

5. Permutasi sejumlah objek ialah penyusunan objek tersebut dalam suatu urutan tertentu.

B. SaranDengan adanya makalah ini diharapkan bahwa setiap orang mampu mengetahui dan meramalkan bagaimana peristiwa dalam suatu peluang dapat terjadi dan peluang ini mampu meyakinkan orang yang memerlukannya. Selain itu untuk pembaca dan penulis semoga makalah ini bermanfaat dan memberikan wawasan yang lebih luas lagi. DAFTAR PUSTAKASudjana. 2005. Metoda Statistika. Bandung:Tarsito.Usman, M.Pd., M.T., Prof. Dr. Husaini dan R. Purnomo Setiady Akbar, M.Pd. 2006. Pengantar Statistika. Jakarta:Bumi Aksara.Sumber Internethttp://danardono.staff.ugm.ac.id/matakuliah/ms1/doc/MMS1403-07.pdf diakses pada 27 Februari 2015 pukul 08:11

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/198205102005011-AL_JUPRI/Teori_Peluang_Al_Jupri.pdf diakses pada 27 Februari 2015 pukul 08:00http://file.upi.edu/Direktori/JURNAL/PENDIDIKAN_DASAR/Nomor_14-Oktober_2010/KONSEP_PEMBELAJARAN_PADA_MATERI_PELUANG_GUNA_MENINGKATKAN_KEMAMPUAN_PEMECAHAN_MASALAH.pdf diakses pada 27 Fbruari 2014 pukul 08:03

http://kk.mercubuana.ac.id/elearning/files_modul/11017-6-365151542762.pdf diakses pada 27 Februari 2014 pukul 08:07http://nunung.blog.unsoed.ac.id/files/2012/04/Slide-090412-Ekspektasi.pdf diakses pada 27 Februari 2015 pukul 08:17

http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/22630/3/Chapter%20II.pdf diakses pada 8 Maret 2014 pukul 05:46

15