Isnaini Nurisusilawati

Mengetahui komponen sistem antrian

Mampu menganalisis dan menentukan komponen yang berpengaruh dalam sistematrian

Memahami dan membedakan model-model sistem antrian

Mampu menghitung dan menentukan sistem antrian yang optimal dalam beberapakasus yang ada

Antrian

Pendahuluan

Komponen

Kedatangandan antrian

Pola

Acak

Tetap

Populasi

Panjangantrian

Perilaku

Pelayanan

Jumlahserver

Tata letak

Disiplin

Waktupelayanan

Model Matematika

M/M/1

M/M/S

M/M/1/i/f

Pelayanan cepat, konsumen tidakmenunggu lama

(pelayanan baik)

Biaya penambahanfasilitas layanan

(Cost meningkat)

Pola

Teratur

Acak

Populasi

Finite

Infinite

PanjangAntrian

Terbatas

Tidakterbatas

Perilaku

Reneaging

Balking

jockey

Pola kedatangan yang sifatnya acak

Dapat digambarkan dengan distribusi statistik

Dapat ditentukan dengan 2 cara:

1. Kedatangan per satuan waktu

Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila

kedatangan terjadi secara acak, informasi yang penting adalah

probabilitas n kedatangan dalam periode waktu tertentu,

dimana n = 0,1,2,…

2. Distribusi waktu antar kedatangan

Jika kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata

yang konstan dan bebas satu sama lain, distribusi kedatangan ini

disebut distribusi probabilitas Poisson.

Ciri:

1. Variabel acaknya adalah berapa banyak sebuah kejadian terjadi selama selang/interval

yang ditentukan

2. Probabilitas kejadian tersebut proposional dengan ukuran interval

3. Tidak ada pengulangan interval dan interval-intervalnya saling bebas

Probabilitas n kedatangan dalam waktu T ditentukan dengan rumus:

p(n,T) =𝑒− 𝜆𝑇 𝜆𝑇 𝑛

𝑛!Dengan,

𝜆 = rata-rata kedatangan per satuan waktu

T = periode waktu

n = jumlah kedatangan dalam waktu T

P(n,T)= probabilitas n kedatangan dalam waktu T

Populasi yang akan dilayani mempunyai perilaku yang berbeda-beda dalammembentuk antrian

Ada 3 jenis perilaku:

1. Reneaging menggambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian,namun belum memperoleh pelayanan kemudian meninggalkan antriantersebut

2. Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsungmeninggalkan tempat antrian

3. Jockeying menggambarkan orang-orang yang pindah-pindah antrian

Sistem Antrian Pelayanan

Lapangan terbang Pesawat menunggu di landasan Landasan pacu

Bank Nasabah (orang) Kasir/teller

Pencucian mobil Mobil Tempat pencucian mobil

Bongkar muat barang Kapal dan truk Fasilitas bongkar muat

Sistem komputer Program computer CPU, printer, dll

Bantuan pengobatan

darurat

Orang Ambulance

Perpustakaan Member Pegawai perpustakaan

Registrasi mahasiswa mahasiswa Pusat registrasi

Sidang pengadilan Kasus yang disidangkan Pengadilan

1. Jumlah dan tata letak

Fisik dari sistem antrian digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebutsebagai jumlah pelayan.

2. Disiplin antrian

Klasifikasi disiplin antrian:

a. Prioritas

i. Disiplin preemptive menggambarkan situasi dimana pelayansedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orangyang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orangsebelumnya.

ii. Disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimanapelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralihmelayani orang yang diprioritaskan

b. First come first served

Yang datang terlebih dahulu akan dilayani terlebih dahulu.

c. Kombinasi dari kedua jenis disiplin antrian tersebut

3. Waktu pelayanan

Karakteristik waktu pelayanan

Waktu yang dibutuhkan untuk melayani bisa dikategorikan sebagai konstandan acak.

Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayanisama untuk setiap pelanggan

Waktu pelayanan acak, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayaniberbeda-beda untuk setiap pelanggan. Jika waktu pelayanan acak,diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial.

Perkiraan performa dari sistem antrian dapat digambarkan, misalnya:

Rata-rata jumlah kedatangan dalam antrian

Rata-rata waktu tunggu dari suatu kedatangan dan persentase waktu luang daripelayanan

Ukuran performansi ini dapat digunakan untuk:

Memutuskan jumlah pelayanan yang harus diberikan

Perubahan yang harus dilakukan dalam kecepatan pelayanan

Perubahan lain dalam sistem antrian

𝜆 = rata-rata kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan per satuan waktu)

1/ 𝜆 = rata-rata waktu antar kedatangan

µ = rata-rata kecepatan pelayanan (jumlah yang dilayani per satuan waktu)

1/µ = rata-rata yang waktu yang dibutuhkan untuk pelayanan

𝜌 = factor penggunaan pelayanan (proporsi waktu pelayan ketika sibuk)

Pn = probabilitas bahwa n satuan (kedatangan) dalam sistem = rata-rata panjang antrian

Ls = rata-rata jumlah satuan dalam sistem

Lq = rata-rata jumlah satuan dalam antrian

Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian

Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem

n = jumlah pelanggan dalam sistem

Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem

L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem

W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem

S = jumlah fasilitas pelayanan

Dalam Single-Channel Queuing Model akan dibahas permasalahan antrian yangdidasarkan pada asumsi berikut:

Satu pelayanan satu tahap

Jumlah kedatangan per unit waktu digambarkan oleh Distribusi Poisson dengan 𝜆= rata-rata kedatangan (M pertama)

Waktu pelayanan poisson dengan µ = rata-rata kecepatan pelayanan (M kedua)

Disiplin antrian adalah First Come First Served

Dimungkinkan panjang barisan yang tak terhingga

Populasi yang dilayani tidak terbatas, rata-rata kedatangan lebih kecil daripadarata-rata waktu pelayanan (𝜆 < µ)

Dari asumsi tersebut dapat diperoleh hasil secara statistik sebagai berikut:

o Pw = probabilitas fasilitas layanan sibuk atau faktor utilisasi fasilitas

= 𝜆/µ

o Lq = jumlah rata-rata dalam antrian 𝐿𝑞 =𝜆2

𝜇(𝜇−𝜆)

o Ls = jumlah rata-rata dalam sistem 𝐿𝑠 =𝜆

(𝜇−𝜆)

o Wq = waktu rata-rata dalam antrian W𝑞 =𝜆

𝜇(𝜇−𝜆)

o Ws = waktu rata-rata dalam sistem W𝑠 =1

(𝜇−𝜆)

Single Channel Model (M/M/1/I/I) atau M/M/1: Poisson distributed arrivals and exponentially distributed service time

Sumber

Tak

Terbatas

Keluar

Tingkat

Kedatangan

Poisson

Tingkat

Pelayanan

Poisson

Populasi (I) Antrian (M)Fasilitas

Pelayanan (M/I)

FCFS

Tak terbatas

UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaituAli. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikanmodel sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:

1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan

2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem

3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian

4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggupelayanan)

5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan

𝜌 = 𝜆/µ = 20/25 = 0,80

Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangan 20% dari waktunya (1- 𝜌) untuk istirahat

2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem

𝐿𝑠 =𝜆

(𝜇−𝜆)= 20/(25-20) = 4

Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem

3. Jumlah kendaraan yang diharapkan dalam menunggu dalam antrian

𝐿𝑞 =𝜆2

𝜇(𝜇−𝜆)= 202 / 25(25-20) = 3,2

Jadi, kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,2 kendaraan.

Sistem Antrian

Jumlah Ls Lq

Lama Ws Wq

4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggupelayanan)

W𝑠 =1

(𝜇−𝜆)= 1/(25-20) = 0,2 jam = 12 menit

Jadi, waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit

5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

W𝑞 =𝜆

𝜇(𝜇−𝜆)= 20/25(25-20) = 0,16 jam = 9,6 menit

Jadi, waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit.

Sistem Antrian

Jumlah Ls Lq

Lama Ws Wq

UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaituAli. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 15kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikanmodel sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah

1. 𝜆

2. µ

3. Tingkat internsitas (kegunaan) pelayanan

4. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem

5. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian

6. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggupelayanan)

7. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

Model M/M/S/I/I adalah sistem multi channel-single phase yang mempunyaiantrian tunggal dengan melalui beberapa fasilitas pelayanan.

Sumber

Tak

Terbatas

Keluar

Tingkat

Kedatangan

Poisson

Tingkat

Pelayanan

Poisson

Populasi (I) Antrian (M)

Fasilitas

Pelayanan (M/S)

FCFS

Tak terbatas

Tingkat

Pelayanan

Poisson

Model ini identik dengan model 1 dengan perbedaan bahwa 2 atau lebih individudapat dilayani pada waktu bersamaan oleh fasilitas-fasilitas palayanan yangberlainan.

Model ini mengasumsikan bahwa kedatangan terjadi menurut input Poissondengan parameter 𝜆 dan waktu pelayanan untuk masing-masing unit mempunyaidistribusi poisson dengan rata-rata 1/ µ.

Jadi, distribusi pelayanan sama tanpa memperhatikan pelayan mana dari sejumlahS pelayan yang melakukan pelayanan untuk unit.

Tingkat pelayanan rata-rata untuk seluruh sistem antrian adalah tingkat rata-rata dimana unit yang sudah dilayani meninggalkan sistem.

Dari asumsi tersebut dapat diperoleh hasil secara statistic sebagai berikut:

o Po = probabilitas semua saluran (pemberi layanan) menganggur

𝑃𝑜 =1

σ𝑛=0𝑆−1 (𝜆/µ)

𝑛

𝑛 !+

(𝜆/µ)𝑠

𝑆!1

1 −𝜆𝑆µ

o Pw = probabilitas semua saluran secara simultan sibuk (utilization factor)

𝑃𝑤 =(𝜆/µ)𝑛

(𝑆!)(𝑆𝑛−𝑠)𝑃𝑜 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 𝑆

𝑃𝑤 =(𝜆/µ)𝑛

𝑛!𝑃𝑜 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑆

Dengan,

𝜌 =𝜆

Sµ

o Lq = jumlah rata-rata dalam antrian 𝐿𝑞 =𝑃𝑜(

𝜆

𝜇)2𝜌

𝑆!(1−𝜌)2

o Ls = jumlah rata-rata dalam sistem 𝐿𝑠 = 𝜆 𝑊𝑞 +1

𝜇= 𝐿𝑞 +

𝜆

𝜇

o Wq = waktu rata-rata dalam antrian W𝑞 =𝐿𝑞

𝜆

o Ws = waktu rata-rata dalam sistem W𝑠 =𝐿𝑠

𝜆

Di sebuah gedung pertunjukkan terdapat 2 loket penjualan tiket. Penonton yang

dating untukmembeli tiket mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 30 orang

per jam. Waktu yang diperlukan untuk melayani seorang pembeli berdistribusi

poisson dengan rata-rata 90 detik. Berapakah?

a. Probabilitas ada 5 orang pembeli di depan loket

b. Ekspektasi panjang antrian tidak termasuk yang sedang dilayani

c. Ekspektasi panjang antrian termasuk yang sedang dilayani

d. Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem (termasuk waktu pelayanan)

e. Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian (tidak termasuk waktu pelayanan)

a. Probabilitas ada 5 orang pembeli di depan loket (n > s)

𝑃𝑤 =(𝜆/µ)𝑛

(𝑆!)(𝑆𝑛−𝑠)𝑃𝑜

𝑃𝑜 =1

σ𝑛=0𝑆−1 (𝜆/µ)

𝑛

𝑛 !+

(𝜆/µ)𝑠

𝑆!1

1 −𝜆𝑆µ

𝑃𝑜 =1

σ𝑛=02−1(30/40)

𝑛

𝑛 !+

(30/40)2

2!

1

1−302.40

= 0,4545

𝑃𝑤 =(30/40)5

(2!)(25−2)0,4545=0,00674

𝜆 =30 orang /jam

𝜇=40 orang/jam

s=2

b. Ekspektasi panjang antrian tidak termasuk yang sedang dilayani

𝐿𝑞 =𝑃𝑜(

𝜆𝜇)2𝜌

𝑆! (1 − 𝜌)2=0,4545

3040

2

(302.40

)

2! (1 − (30/80))2=

0,0959

0,78125= 0,122715 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔

c. Ekspektasi panjang antrian termasuk yang sedang dilayani

𝐿𝑠 = 𝜆 𝑊𝑞 +1

𝜇= 𝐿𝑞 +

𝜆

𝜇= 0,122715 + 30/40 = 0,872715 orang

d. Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem (termasuk waktu pelayanan)

W𝑞 =𝐿𝑞

𝜆= 0,872715/30 = 0,0291 jam

e. Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian (tidak termasuk waktu pelayanan)

W𝑞 =𝐿𝑞

𝜆=0,122715/30 =0,00409 jam

Di sebuah gedung pertunjukkan terdapat 2 loket penjualan tiket. Penonton yang dating

untukmembeli tiket mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 40 orang per jam. Waktu yang

diperlukan untuk melayani seorang pembeli berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 50 detik.

Berapakah?

a. 𝜆

b. µ

c. S

d. Probabilitas ada 5 orang pembeli di depan loket

e. Ekspektasi panjang antrian tidak termasuk yang sedang dilayani

f. Ekspektasi panjang antrian termasuk yang sedang dilayani

g. Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem (termasuk waktu pelayanan)

h. Ekspektasi waktu menuggu dalam antrian (tidak termasuk waktu pelayanan)