ispitna pitanja oi...(1)r-toograničenjeiz sedelisaݎ䁠;...

Ispitna pitanja OI 2019

1 Doroteja M.

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA

Odgovori na ispitna pitanjaPredgovor

Zdravo drugari,

Ovo je modifikovana skripta koju sam objavila za godinu 2018/19. Dodala sam sve što samnašla, a može se desiti da pitaju, i potrudila sam se da ispravim sve greške koje sam našla.

Ova skripta nije zamena za knjigu. U pitanju su samo odgovori na pitanja, nije pređeno svogradivo koje se nalazi u knjizi, tako da savetujem i upotrebu knjige. Za slučaj da ne želite dakoristite knjigu, skripta će biti dovoljna, ja sam sa njom izvukla 10, tako da mogu da kažemda je lepo sastavljena.

Iskreno savetujem da položite bar jedan usmeni kolokvijum jer će biti mnogo lakše negoizlazi na ispit. Takođe savetujem da se potrudite da povežete teoriju sa zadacima, jer imadosta da se buba, a ako uspete da povežete, biće lagano.

Što se tiče poslednjeg pitanja , “Metoda grananja i ograničavanja”, dodala sam sve što samnašla pa ne znam šta je odgovor tačno, al sve bi trebalo da je tu.

U slučaju da uočite još neku grešku, ili pronađete nešto što bi moglo da se doda ili imate nekadodatna pitanja, slobodno me kontaktirajte na mail: [email protected] i ja ću dodati svešto budete napisali.

Želim vam svima puno sreće i pameti pri polaganju,

Doroteja.

mailto:[email protected]


2 Doroteja M.

Ispitna pitanja

PRVI KOLOKVIJUM1. Konveksnost skupa i funkcija i definicija globalnog i lokalnog optimuma....................... 42. Opšti oblik zadatka LP i njegova osnovna svojstva........................................................... 53. Standardni oblik LP i njegova bazna rešenja (dopustiva, susedna, degenerisana)................ 74. Osnovni koraci simpleks metode i njene osnovne osobine....................................................85. Kanonski oblik problema LP i njegova primena u rešavanju problema LP.......................... 96. Test optimalnosti dopustivog baznog rešenja na osnovu odgovarajućeg kanonskog oblikaproblema LP............................................................................................................................. 107. Određivanje novog kanonskog oblika tj. nalaženje boljeg susednog baznog dopustivogrešenja...................................................................................................................................... 118. Postupak dobijanja početnog kanonskog oblika problema LP i određivanje odgovarajućegbaznog rešenja..........................................................................................................................139. Mogući ishodi simpleks metode: jedinstveno optimalno rešenje i neograničena funkcijacilja (grafička i algebarska interpretacija)................................................................................1410. Mogući ishodi simpleks metode: višestruko optimalno rešenje i prazna dopustiva oblast(grafička i algebarska interpretacija).......................................................................................1511. Konačnost i računska složenost (definicija) simpleks metode...........................................1712. Mogući načini formiranja dualnog zadatka LP (preko simetričnog i preko opšteg oblika).Svojstvo simetrije primara i duala............................................................................................1813. Osnovna svojstva dualnosti problema LP: slaba dualnost i komplementarnost optimalnihrešenja...................................................................................................................................... 2014. Osnovna svojstva dualnosti problema LP: jaka dualnost i ograničenost — dopustivost..2115. Interpretacija dualnog problema u slučaju optimizacije raspodele ograničenih resursa....2116. Struktura matematičkih modela i njihova veza sa realnim sistemom................................ 2217. MM: Osnovni MM planiranja ishrane............................................................................... 2518. MM: Podela obradive površine na kulture.........................................................................2619. MM: Optimalan plan setve na dislociranim njivama.........................................................2720. MM: Optimizacija proizvodnje krmnih smeša.................................................................. 2821. MM: Izbor optimalnog asortimana.................................................................................... 2922. MM: Optimizacija utroška materijala................................................................................ 3023. MM: Upravljanje zalihama................................................................................................ 3124. MM: Usklađivanje programa proizvodnje......................................................................... 3225. MM: Optimalno proširenje kapaciteta............................................................................... 33


3 Doroteja M.

DRUGI KOLOKVIJUM26. Zatvoreni i otvoreni problem TP: opis problema i matematički modeli............................3427. Osnovni koraci algoritma za rešavanje problema TP i njegove osobine........................... 3628. Metode za određivanje početnog baznog dopustivog rešenja problema TP, njihoveosobine i osnovne ideje (ne koraci rešavanja)..........................................................................3629. Dualni zadatak TP, utvrđivanje optimalnosti rešenja........................................................ 3730. MM: Transportni zadaci sa ograničenim propusnim sposobnostima................................ 3831. MM: Minimizacija vremena transporta............................................................................. 3932. MM: Transport proizvodnje. (LP — gl. 4)........................................................................ 4033. MM: Izbor izvršilaca aktivnosti......................................................................................... 4134. Definicije grafa i mreže i vrste grafova ((ne)usmeren, (ne)povezan)................................ 4235. Definicije stepena čvora i preseka grafa............................................................................ 4336. Definicije osnovnih grafovskih struktura: put, elementarni put i dužina puta...................4337. Definicije osnovnih grafovskih struktura: stablo, razapinjuće stablo i dužina stabla........ 4438. Definicije osnovnih grafovskih struktura: kontura, Hamiltonova kontura i dužina konture...................................................................................................................................................4539. Problem određivanja najkraćeg puta između dva zadata čvora u mreži: model i složenostrešavanja...................................................................................................................................4540. Problem određivanja minimalnog razapinjućeg stabla: model i složenost rešavanja........ 4641. Problem trgovačkog putnika i pristupi njegovom rešavanju — grafovska interpretacija..4742. Problem trgovačkog putnika i pristupi njegovom rešavanju — matematički model.........4843. Problem rutiranja vozila i pristupi njegovom rešavanju — grafovska interpretacija........ 4944. Problem rutiranja vozila i pristupi njegovom rešavanju — matematički model............... 5045. Karakteristični problemi celobrojnog programiranja (generalno). Problem ranca............ 5146. Metoda grananja i ograničavanja....................................................................................... 53


4 Doroteja M.

1. Konveksnost skupa i funkcija i definicija globalnog i lokalnogoptimuma

Konveksan skup: Skup S ⸦ Rn je konveksan ako pored svake tačke z i y sadži isve tačke duži zy.

Konveksan skup Nekonveksan skup

Rn je n-dimenzionalni prostor ( skup svih uređenih n-torki realnih brojeva) u komesu sabiranje i množenje realnim skalarom α definisani kao:

��

� ��

Svaka tačka nRx koja zadovoljava sve jednačine i nejednačine iz skupaograničenja, naziva se dopustivom tačkom skupa.

Dopustiva oblast skupa ograničenja predstavlja skup svih dopustivih tačaka. Duž u Rn: Ako su y i z tačke prostora Rn, tada se skup svih tačaka x oblika

zyx )1( (a α je skalar i � � � � �) naziva Duž u Rn u oznaci yz, a y i z senazivaju krajnjim tačkama ove duži.Svaka tačka se može prikazati i kao � � � ��h �� a zy je pravac duži.

Poluprava na Rn : Ako su y i z tačke prostora Rn, tada se skup svih tačaka x oblika� � � � �� gde je α skalar i � t � , naziva poluprava u Rn, y je krajnja tačka, zpravac poluprave.

Presek konveksnih skupova : je konveksan skup. Konveksna kombinacija: tačka x prostora Rn naziva se konveksnom

kombinacijom tačaka x1,x2,...x n ovog prostora ako se može napisati u obliku:

� ��

�

�� gde su �� skalari koji zadovoljavaju uslove��

�

�� t ��

� �� Ekstremna tačka konveksnog skupa: Tačka � � � je ekstremna tačka konveksnog

skupa S ako se ne može napisati u obliku � � �� h � � gde su �� ,� � � � � i � � �� , drugim rečima x ne može pripadati ni jednoj duži čije sekranje tačke nalaze u S a različite su od x ( α=1 i α=0 su isključene jer α=1 x=y,aza α=0 x=z, što je suprotno uslovu � � ��.

o Svaka tačka nRx koja zadovoljava sve jednačine i nejednačine iz skupaograničenja, naziva se dopustivom tačkom skupa.

o Skup svih dopustivih tačaka čini dopustivu oblast skupa ograničenja.o Ako je S konveksan skup, i tačke Sxxx n ),...,,( 21 tada bilo koja

konveksna kombinacija ovih tačaka pripada S. Konveksna funkcija: za funkciju f :Rn�R kažemo da je konveksna na konveksnom

skupu S ako važi �� h � �� h � �� za svako �� i za svako � � ��.

z y zy


5 Doroteja M.

Funkcija f je strogo konvkesna na skupu S ako važi jači uslov �� h� �� h � �� za svako �� , �� i za svako � � ��.

Globalni minimum: za tačku �� kažemo da je globalni minimum funkcije fna skupu S, ako važi �� za sve � � �댳 Ako važi jači uslov �� za sve � � �� tada je �� strogi globalni minimum. Ako je funkcija fneprekidna a skup S zatvoren i ograničen, f dostiže svoju minimalnu vrednost, tjpostoji bar jedan globalni minimum �� .

Lokalni minimum: za tačku �� kažemo da je lokalni minimum funkcije f naskupu S, ako postoji � � � tada je �� za sve � � � da je � h �� gde je )(...)( **

11*

nn xxxxxx rastojanje tačaka � i �� . Ako postoji� � � takva da važi jači uslov �� za sve � � � da je � h �� , � �� tačka �� se naziva �쳌䁠�䀀� ��ݎ�� l� problema . (slika str 211). Kadaje dopustiv skup D konveksan i f-ja cilja )(xf konveksna, lokalni optimum jeistovremeno i globalni optimum.

o Kada je dopustiv skup D konveksan, i kada je f-ja cilja )(xf konveksna,lokalni optimu, je istovremeno i globalni optimum.

2. Opšti oblik zadatka LP i njegova osnovna svojstva

Opšti zadatak LP se može iskazati u formalizovanom obliku kao:

��䁠쳌ݎ��䁠ݎ쳌� � � � ��

Pri ograničenjima:

��ݎ � ��ݎ �� ݎ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ��

�� t �

Primerikonveksnihfunkcija


6 Doroteja M.

Ili sažetije kao

�ݎ��

��

�

��

p.o.

),...,2,1(,

),...,1(,0

),...,1(,1

mib

aAnjx

mibxa

i

mxnij

j

n

jijij

Gde su njmibca ijij ,...,1;,...,1,,, zadati realni brojevi. Treba u dopustivoj oblasti skupalinearnih ograničenja naći tačku u kojoj funkcija f(x) postiže ekstremnu (min/max) vrednost.Funkcija f(x) je fukncija cilja ( ili kriterijumska funkcija), m ograničenja skupa se nazivajuograničenja problema, a uslovi nenegativnosti je prirodno ograničenje. Svaka tačka udopustivoj oblasti ovog skupa predstavlja dopustivo rešenje ovog problema, mada onorešenje u kome f(x) dostiže ekstremum se naziva optimalno rešenje.

Ako su ograničenja istog tipa i � � �� , i kadsu sva ograničenja tipa jednačina onda se problem svodi na standardni oblik koji imamatematičko-vektorsku formu:

Ako su sva ograničenja nejednačine istog tipa (� �� t � tada se sledeći oblici nazivajusimetričnim oblicima zadatka LP. LP dat u opštem obliku se lako može svesti na standardniili simetričan oblik.

�ݎ� ��p.o.

�� ㍧� t �

�� p.o.

�� t �㍧� t �

�ݎ��

��

p.o.

0

xbAx

-prirodno očraničenje

-matrica ograničenja

-slobodni član i-tog ograničenja


7 Doroteja M.

Svojstva opšteg zadatka LP:

Konačan broj temena: Ako je dopustiva oblast D problema neprazan skup tada Dpredstavlja n-dimenzionalni konveksni poliedar, pri čemu:a) Postoji bar jedno teme oblasti D,

b) Broj temena oblasti D je konačan.!!)!(

nmnm

nnm

Egzistencija optimalnih temena: Ako problem ima optimalna rešenja tada sva onapripadaju granici ∂D oblasti D i bar bar jedno optimalno reš se nalazi u temenu D :a)jedno opt reš - jedinstveno� ono je teme oblasti D;b) više opt reš - višestruko� ona čine stranu oblasi D koja sadrži bar jedno teme oveoblasti.

Kriterijum optimalnosti: Ako problem ima opt reš i teme �� iz D ispunjava uslov da nepostoji njemu susedno teme u kome je vrednost funkcije „bolja“ f(��), tada �� predstavljaoptimalno reš ovog problema.

Egzistencija optimalnog rešenja:a) Ako je oblast D neprazna i ograničena, tada problem UVEK ima optimalno reš;b) Ako je oblast D neprazna i neograničena, tada probl u kome se vrši max/min funkcijecilja ima opt rešenje samo ako je funkcija ograničena odozgo/odozdo.

3. Standardni oblik LP i njegova bazna rešenja (dopustiva, susedna,degenerisana)

Standardni oblik problema LP:

�쳌ݎ��䁠ݎ� � � � ��

p.o.

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

�� t �matrično-vektorska verzija:

Ako problem zadovoljava:

�ݎ� ��p.o.

�� ㍧ � t �


8 Doroteja M.

1) Svi slobodni članovi �� ,su nenegativni tj, � t �;2) m<n i rang A=m, tj sve jednačine sistema su linearno nezavisne.

Bilo koji zadatak opšteg oblika LP se može svesti na standardi oblik sa uslovima (1) i (2),korišćenjem sledećih transformacija:

a) Probl min funcije cilja f(x) na skupu ograničenja svodi se očigledno na probl maxfunkcije �� h �� na tom istom skupu. Zato je opt reš �� probl isto za obefunkcije dok je optimalna vrednost ovih funkcija jednaka �� h ��

b) Ako je neki slobodan čl �� negativan, tada obe str i-tog ograničenja trebapomnožiti sa (-1). I onda: t�� t čime se ostvaruje uslov (1).

c) Ograničenja tipa nejednačina se svode na jednačine uvođenjem izravnavajućihpromenljivih ��

��ݎ � ��ݎ � �� ݎ t �� ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � �� ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

Ako sistem �� nema rešenja tada je dopustiva oblast prazna pa probl nema reš. Ako jer=n tada je dopustiva oblast ili jednočlan skup ili prazan skup.

Bazno rešenje sistema predstavlja reš ovog sist za koga postoji nm podmatrica��matrice A koja je regularna (det �� t� i takva da je u ovom rešenju svakanezavisna promenljiva čija kolona koeficijenata ne ulazi u �� jednaka 0. Prom kojeodgovaraju kolonama podmatrice �� zovu se bazne promenljive a preostalepromenljive nebazne. Skup svih baznih promenljivih čini bazu baznog reš, dok je ��matrica baze.

Bazno dopustivo rešenje je ono bazno reš koje zadovoljava i uslove nenegativnosti.Ako ne postoji bazno reš sist koje je dopustivo za problem tada je dopustiva oblastprobl prazna. Svakom dopustivom baznom rešenju odgovara 1 teme oblasti Dstandardnog oblika LP.

Susedna bazna dopustiva rešenja- dva baza dop reš su susedna ako im se bazerazlikuju u samo jednoj promenljivoj.

Degenerisano bazno dopustivo rešenje- Ako je u nekom baz dop reš probl bar jednaod baznih prom jednaka 0, tada je to degenerisano bazno dop reš.

Algebarska identifikacija temena- neka tačka predstavlja teme oblasti D standardnogoblika LP ako i samo ako je ono njegovo bazno dopustivo rešenje.

4. Osnovni koraci simpleks metode i njene osnovne osobine

Koraci simpleksa:

1) Početni korak (inicijalizacija) : Nalaženje početnog baznog rešenja- Generisatineko početno bazno dopustivo rešenje�� , početna baza: �� , početna vrednost funkcije cilja: �� , dopustive oblasti;

2) Iterativni korak za k=0,1,2...


9 Doroteja M.

3) Test optimalnosti: Ako teme �� nema boljih susednih temena, �� je optimalno.

a) STOP

b) Ako �� nije opt, generisati bolje teme �� dopustive oblasti, tj naći susednobazno dopustivo reš za koje je vrednost f-je cilja bolja (veća u slučajumaksimizacije, manja u slučaju minimizacije) i usvojiti ga kao tekuće rešenje.4b) Vratiti se na korak 2.

Osobine simpleksa:a) Kreće iz nekog početnog rešenja;b) Obilazi samo temena (i to susedna);c) Ne uzima u obzir broj koraka do optimalnog rešenja;d) Konačan broj iteracija (zbog konačnog broja temena);e) Ima optimalno rešenje;f) Eksponencijalna, ponaša se polinomijalno.

5. Kanonski oblik problema LP i njegova primena u rešavanjuproblema LP

Posebna forma problema LP:

� �쳌ݎ��䁠ݎ� � � � ��

p.o.

� ��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ � �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

� �� t ��

�� h a䁠on�쳌ݎ��ݎ�l �� 쳌� ��䁠ݎ�ݎ��ݎ�lćo a䁠��o��o

Gde su promenljive podeljene u dve grupe:

nljivebaznepromexxx

menljivenebazneproxxx

mnnn

n

,...,,

,...,,

21

21

Matrično-vektorska verzija:

Gde je:

� � �� ݎ �x�� ݎ, �� .

�ݎ� ��p.o.

0,

BN

BN

xxbxAx


10 Doroteja M.

Pretpostavimo da su svi slobodni članovi �� t � tj nenenagtivni. {1}-{3} predstavljajukanonski oblik problema LP u odnosu na bazu � � �� .Na osnovu kanonskog oblika problema LP, se može direktno dobiti početno bazno rešenje.U opštem slučaju, kanonski oblik problema LP u odnosu na neki skup promenljivih B (tzv.Bazu) je takva ekvivalentna forma njegovog standardnog oblika u kojoj se svaka promenljivaiz B (tj. Bazna promenljiva)javlja u samo jednoj jednačini ograničenja i to sa koeficijentom 1,a ne javlja u funkciji cilja.

Ako su osim toga svi slobodni članovi u ograničenjima nenegativni, baza B se nazivadopustivom. Vrednost baznih promenljivih reš jednake su slobodnim članovima ograničenjakanonskog oblika, dok je odgovarajuća vrednost funkcije cilja jednaka slobodnom članu ovefunkcije u kanonskom obliku.

Ako je problem zadat u simetirčnom obliku tako da su sva ograničenja tipa � , tada njegovstandardni oblik se dobija dodavanjem po jedne izravnavajuće levoj str ograničenja (u ovomprimeru označene kao �� i tako se dobija forma {1}-{3}. ( da smo imali t onda bi išlo -�� ) t�� t . Ako standardni oblik nema formu {1}-{3} on se može prilagoditiuvođenjem veštačkih promenljivih. Dopustiva oblast ovog problema je uvek neprazna, jersadrži bar bazno dopustivo rešenje ��

6. Test optimalnosti dopustivog baznog rešenja na osnovuodgovarajućeg kanonskog oblika problema LP

6 i 7 pitanja su meni posebno bila teška, savetujem da probate da ih shvatite zajedno Ulazak promenljive u bazu. Test optimalnosti.

U k-toj iteraciji, posmatrajmo neku nebaznu promenljvu �� , � � �� rešenja �� . Ako

bi �� postalo u nekom baznom dop reš, susednom �� , veće od 0, tj ��

� � �� tada bi sevrednost funkcije cilja promenila za ��

� po jedinici povećanja vrednosti ��댳 Preciznije,

povećanje �� dovelo bi do povećanja funkcije u slučaju ��

� � �� i nova vrednost f-je cilja bibila ��

�� ako je �� to bi dovelo do njenog smanjenja, a ne bi uticalo na vr funcije

�� 댳

Uzmimo da je {1}-{3} početno bazno dopustivo rešenje, ono će u k-toj iteraciji, k=0,1,2...,(gde su nađeni dopustivo reš �� sa bazom )...( 21

kmn

kn

knk xxxB , i vrednošću

�� funkcije cilja), imati sledeći oblik :

� �쳌ݎ��䁠ݎ� � � � ��

p.o.

� ��ݎ�� ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��


11 Doroteja M.

� �� t � �

matrično-vektorska verzija:

�ݎ� ��+��

p.o.

0,

kB

kN

kkB

kN

k

xx

bxxA

��

�� ݎ��x�

� ��

�� su koeficijenti ovog kanonskog

oblika, dok su ��

� ��

� � ��

�� vektori baznih tj nebaznih

promenljivih.

Kriterijum optimalnosti : Ako je �� tada je �� optimalno reš probl

a �� maksimalna vrednost funkcije cilja . (Opt ako nikakvim povećanjem vrnebaznih prom ovog reš ne može povećati vr funcije cilja).

Kriterijum ulaska promenljive u bazu: U bazu �� ulazi ona promenljiva �� , za čiji indeks s važi �� max

��

� � �

7. Određivanje novog kanonskog oblika tj. nalaženje boljeg susednogbaznog dopustivog rešenja

Prvo treba proveriti da li je �� optimalno za problem. Ako �� nije optimalno, treba naći neko,njemu susedno, bazno dopustivo reš �� u kome je vrednost ��funkcije cilja veća od ��:Baza �� se dobija kad neka nebazna promenljiva uđe u bazu (postane bazna) a neka baznaprom izađe iz nje ( postane nebazna).

Izlazak promenljive iz baze

Za promenljivu �� koja ulazi u bazu �� treba odrediti koliko se njenih vrednosti moženajviše povećati u nekom dopustivom rešenju problema u kome su sve ostale nebaznepromenljive jednake 0, a da ovo rešenje ostane dopustivo.

a) Ako je ��ݎ� � � tada se �� može povećati najviše do vrednosti ��

��ݎ�� pri čemu se ��

smanjuje do 0. Povećanjem �� preko te vrednosti �� postaje negativno, pa bi u tomslučaju X bilo nedopustivo.

b) Ako je ��ݎ� � � tada povećanje �� ne utiče na prednost �� i ona je uvek jednaka

�� .


12 Doroteja M.

c) Ako je ��ݎ� � � tada se �� može neograničeno povećavati a da pri tome raste

neograničeno i �� i ostaje uvek negativno. Rešenje sistema postoji ako ksx ne prelazi

gornju granicu, definisanu sa :

0:,...,1min k

iskis

ikk

s aab

mid

Ako je �� n�� onda bi rešenje X predstavljalo bazno dop reš robl koje je susedno sa ��, jerbi njegova baza sadržala �� i sve promenljive �� , sem jedne od onih koje su postale jednake0. Onda bi vrednost funkcije cilja bila: �� n��

Kriterijum izlaska promenljive iz baze: Iz baze ��izlazi ona promenljiva ��䁠䁠 � �� za čiji indeks r važi

�䁠�

��䁠ݎ= min��

��

��ݎ� � ��ݎ

� � �

Novi kanonski oblik. Novo bazno dopustivo rešenje.

U ovom koraku se nalazi kanonski bolik problema u osnosu na bazu ��. To se možerealizovati sa jednom od sl dve operacije:

(i) Množenje/deljenje i-te jednačine sa nenultom konstantom � � ��(ii) Sabiranje i-te jednačine i j-te jednačine �� .

Dobijanje kanonskog oblika u odnosu na bazu �� :(1) r-to ograničenje iz � se deli sa ��䁠ݎ ;(2) Ako je ��䁠ݎ � �, tada se r-to ograničenje, transformisano u koraku (1) , množi sa

h ��䁠ݎ i dodaje i-tom ograničenju iz � za svako � � �� 䁠;(3) Ako je �� tada se r-to ograničenje, transformisano u (1), množi sah ��, pa se

njegova leva strana dodaje funkciji cilja � , dok se njegova desna str oduzima odove funkcije.

Dobijeni kanonski oblik:

� �쳌ݎ��䁠ݎ� � � � ��

p.o.

� ��ݎ��

� � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

� �� t � �


�ݎ� ��+��

p.o.

�� ㍧ ��

�� t �


13 Doroteja M.

�� ݎ��

�x�� su

koeficijenti iz {4}-{6}, dok su��

��

��

��

A funkcija cilja je �� 䁠�

�䁠ݎ� ,

��

�� h �䁠�

��䁠ݎ�

�䁠�

��䁠ݎݎ� � � 䁠

��ݎ� � ݎ� � � �� 䁠 �� t � � � ��

Prošireni kriterijum ulaska promenljive u bazu : U bazu �� ulazi ona promenljiva ��,� � �� za čiji indeks s važi: ��n�� max

�� n�

� �� gde je n�

� �

min��

��

��ݎ� � ��ݎ

� � � .

8. Postupak dobijanja početnog kanonskog oblika problema LP iodređivanje odgovarajućeg baznog rešenja

Nakon izmena baza, MM nije više u kanonskom obliku ali jeste u standardnom obliku

�쳌ݎ��䁠ݎ� � � � �� 0F

p.o.

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ � �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

�� t ��

Gde je � � �� ݎ �x�� , ݎ ��

Kanonski oblik ≈ standardni oblik u kome se svaka promenljiva iz B javlja samo u jednojjednačini sa koeficijentom 1.

�ݎ� ��p.o.

�� ㍧ �� t �

Kanonski

oblik


14 Doroteja M.

��

��

��

a�

6 8 ��

a� a�

�

9

Svi slobodni članovi u ograničenju-nenegativni-dopustiva baza.

Ako je LP u simetričnom obliku dodaju se izravnjavajuće promenljive t�h�� ㍧ �� .

Ako je standardni oblik tipa jednačina ili sa -�� dodaju se veštačke promenljive.

Nalaženje početnog baznog rešenja- Generisati neko početno bazno dopustivorešenje�� , početna baza: �� , početnavrednost funkcije cilja: �� , dopustive oblasti;

9. Mogući ishodi simpleks metode: jedinstveno optimalno rešenje ineograničena funkcija cilja (grafička i algebarska interpretacija)

Neograničena funkcija cilja:

Ako za neku nebaznu promenljivu �� vazi da je �� i ��ݎ� � �� , tada funkcija

cilja neograničeno raste duž neograničene ivice dopustive oblasti sa krajnjom tačkom u �� ipravcem jednakim a��, tj u svim tačkama X oblika: � � �� a�� pri neograničenompovećavanju nenegativnog parametra �. U tom slučaju problem LP nema rešenje pa simpleksstaje.

��

Nalaženje optimalnog reš se može svesti na određivanje max vr parametra k za koj važi daodgovarajuća prava f-je cilja F ima zajedničku talku sa oblasti D. Prava max21 kxx jegornja potporna prava oblasti D. Zajednička tačka ove prave i D je opt reš probl.Takvo opr reš se nalazi u nekoj ekstremnoj tački, najudaljenijoj od koordinatnog početla. Onase može zapisati u obliku zyx )1(

Jedinstveno optimalno rešenje

Neka je simpleks metoda u poslednjoj k-toj iteraciji došla do nekog baznog rešenja �� samaksimalnom vrednošču funkcije cilja �� tj. ��

� � ��

��

Primer: max��

p.o.

�� t �

182 2 x

2423 21 xx

�� t �


15 Doroteja M.

��

��

��

6

9

0 8

12

��

Ako je za svako � � �� tada je dato optimalno rešenje ujedno i jedino tjjedinstveno.

��

10. Mogući ishodi simpleks metode: višestruko optimalno rešenje iprazna dopustiva oblast (grafička i algebarska interpretacija)

Višestruka optimalna rešenja

Neka je simpleks metoda u poslednjoj k-toj iteraciji došla do nekog baznog rešenja �� samaksimalnom vrednošču funkcije cilja �� tj. ��

� � ��

Ako je za bar neko � � �� , tada nikakvo povećanje vrednosti nebaznepromenljive ��, pri čemu su sve ostale nebazne = 0, ne bi promenilo vrednost funckije cilja, tjova vrednost bi ostala jednaka ��. To znači da ovaj probl LP ima još otimalnih rešenja kojasva čine jednu stranu dopustive oblasti problema. Takva opt strana bi se mogla identifikovatina sl način: za svako � � �� za koje �� ivica sa kranjom tačkom u �� i pravcema�� (� � �� a�� predstavlja ivicu optimalne strane.Ako je ivica ograničena, onda se jošjednom iteracijom simpleksa , u kojoj će bazi ući ��, može odrediti još jedno opt rešenjeprobl LP.

Obeležimo sa ��

� �� sva temena optimalne str, a sa a�

� �a�� a�

� sve dobijene pravceneograničenih ivica (ako psotoje), onda se bilo koja tačka X optimalne str može prikazati kao:

� ��

�

��

��

�

�� a�� 䀀no �o

��

�

�� t �� t � � � � ��

Kada je strana ograničena onda je bilo koja tačka X optimalne str definisana sa

� ��

�

�� 䀀no �o

��

�

�� t ��

Ako u poslednjoj integraciji dođe do tačke koja se može zapisati kao zyx )1( , tatačka pripada duži pa je opt reš cela duž.

Primer: max��

p.o.

61 x

��

��

�� t �


16 Doroteja M.

0

12

��

��

��

0

9

6 8

��

��

��

�

��

��

��

��

a��

a��

��

��

12

9

6 8

��

Višestruka reš mogu biti� ograničena i neograničena opt reš댳

Prazna dopustiva oblast

U slučaju kada standardni oblik problema LP nije istovremeno i njegov kanonski oblik, možese desiti da je dopustiva oblast ovog problema prazna. Tada se simpleks zaustavlja u nekojiteraciji k u kojoj su svi ��

� � �, � � � �� a baza �� sadrži veštačku ptomenljivu koja jeu baznom dopustivom reš �� veća od 0.

•X

•X

Ograničena iNeograničenaoptimalna strana

Primer: max��

p.o.

61 x

182 2 x

��

�� t �


17 Doroteja M.

11. Konačnost i računska složenost (definicija) simpleks metode

Konačnost simpleksa

Ako se za svako dopustivo rešenje �� , generisano tokom primene simpleksa,vazi da je ono nedegenerisano tj da je ��

� � � � � �� tada se vrednost funkcije strogopovećava u iteraciji ove metode.Ukupan br baznih dop rešenja je konačan, tj simpleks kroz konačno mnogo iteracije dolazi dooptimalnog reš ili do zaključka da probl nema reš (neograničena funkcija cilja/ praznadopustiva oblast).Ako se simpleks primeni na degenerisani probl LP, tada se može generisati nekodegenerisano bazno dop reš i onda u sl nekoliko iteracija, i pored generisanja novih baza,ostaje u istom rešenju. U najgorem slučaju može se „zaglaviti“ u degenerisanom temenu, pričemu se generisane baze periodično ponavljaju u beskonačnom ciklusu, što onemogućavazavršetak simpleksa- cikliranje.Radi sprečavanja cikliranja, razvijen je čitav niz tehnika kojim se obezbeđuje konačnostsimpleka i u slučaju. Jedna od njih je Blendovo pravilo- definiše kriterijume za ulazak iizlazak prom iz baze: Ako su sve promenljive uređene u niz ��, tada u svakoj iteraciji ubazu ulazi prva nebazna promenljiva �� iz ovog niza za koju je �� a iz baze izlazi prva

promenljiva �� iz ovog niza za koju je

�䁠�

��䁠ݎ= min��

��

��ݎ� � ��ݎ

� � �

Računska složenost simpleksa

Pod računskom složenošću nekog algoritma obično se podrazumeva ukupan br elementarnihkoraka koje treba realizovati tokom ovog algoritma da bi se došlo do rešenja postavljenogproblema. Br koraka zavisi od obima ulaznih podataka – dužine ili dimenzije problema. Kodsimpleksa, elem koraci jesu algebarske operacije nad dva realna broja (npr, množenje ilisabiranje), a dužina probl br bitova potrebnih za pamćenje svih njegovih ulaznih numeričkihpodataka izraženih u binrarnom zapicu (npr, koeficijenti matrice A i vektora b i c kod problLP). Ako za svaki niz ulaznih podataka probl proizvoljne dužine L i za neki algoritam koji gareši, važi da je ukupan br elementarnih koraka algooritma � ��, gde je C pozitivnakonstanta, a f neka realna funkcija, tada se kaže da algoritam ima računsku složenostO(��. Ako �� predsavlja polinom pod L tada se algoritam naziva polinomijalnim. Usuprotnom je eskopencijalan.Kod simplekda, primenjene na probl LP sa m ograničenja i n promenljivih, može se lakodokazati da svaka iteracija zahteva O(mn) aritmetičkih operacija. Pošto ukupan br baznih rešne prelazi �

�, tada ukupan br iteracija metode, uz eventualnu primenu procedura protiv

cikliranja, takođe ne može da pređe ovaj broj. Zato je gornja granica računske složenostisimpleksa jednaka ��

��, što definiše eksponencijalnu složenost.

Iako simpleks u najgorem slučaju može da bude neefikasan, njeno prosečno ponašanje prirešavanju praktičnih probl pokazalo se veoma uspešnim (utvrđeno je da u praksi metodazahteva prosečno između m i 3m iteracija).


18 Doroteja M.

12. Mogući načini formiranja dualnog zadatka LP (preko simetričnog ipreko opšteg oblika). Svojstvo simetrije primara i duala

Neka je zadat LP probl u simetričnom obliku:

�쳌ݎ��䁠ݎ� � � � ��

p.o.

�� ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

�� t �

Ovakav problem nazivamo primalni problem ili primal.Ovom probl se prdružuje tzv dualni problem ili dual koji ima sl simetričnu formu:

��䁠ݎ쳌� � � � ��

p.o.

�� ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ � �� ݎ � ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ � ��

�� t �

U matrično-vektroskom obliku:

Dual ima onoliko promenljivih koliko primal ima ograničenja i onoliko ograničenja kolikoprimal ima promenljivih. Koeficijenti u funkciji cilja duala predstavljaju slobodne članoveprimala i obrnuto.

�ݎ� � � � ��p.o.

�� ㍧� t �

�� p.o.

�� t �㍧� t �


19 Doroteja M.

Ovaj dual ima tri promenljive �� i �� a svaka odgovara po jednom ograničenju primala, idva ograničenja koja odgovaraju primalnim promenljivim �� i ��.

Nesimetričan oblik LP u dual:(i) Problem minimizacije funkcije F(x) može se svesti na probl maksimizacije

funkcije -F(x).(ii) Množenjem sa -1, ograničenja se menjaju : t�� t.(iii)Ograničenja oblika ��

� ��ݎ � �� se može zameniti sa dva ograničenja

��

�

��ݎ � �� h��

�

��ݎ �h ��

(iv)Ako za promenljivu �� ne postoji nikakav uslov koji ograničava njen znak, tj�� je neograničeno po znaku , tada se u problem uvodi smena ��

� h ��h

gde su ��

h t �.(v) Ako promenljiva �� treba da ispunjava uslov �� , tada se u probl uvodi

smena ��

h, gde je �� t �.

Sad se od ovako transformisanog probl može transformisati u dualni probl na već definisannačin.

Simetrija primala i duala

Dual dualnog problema �� je jednak primalnom problemu �� . Usled svojstva simetrijesve osobine odnosa dualnog problema prema primalu važe i obrnuto.Prema ovim pravilima tipovi ograničenja u dualu zavise od znaka promenljvih primala, dokznaci promenljvih duala zavise od tipova ograničenja primala

�ݎ� � � � �� p.o.

��

��

��

�� t0

�� p.o.

�� t � � ��

�� t � � ��

�� t �


20 Doroteja M.

Primalni problem(ili Dualni probl)

Dualni problem(ili Primalni probl)

Maksimizirati F(x) ili �� Minimizirati ��) ili ��Ograničenje i primala (ili duala)

Tipa �Tipa tTipa �

Promenljiva �� ili ��NenegativnaNepozitivnaNeograničena po znaku

Promenljiva �� ili ��Ograničenje j duala (ili primala)

NenegativnaNepozitivnaNeograničena po znaku

Tipa tTipa �Tipa �

13. Osnovna svojstva dualnosti problema LP: slaba dualnost ikomplementarnost optimalnih rešenja

Slaba dualnost

Ako je x dopustivo rešenje primala, a y dopustivo reš duala, tada je �� . Svojstvoslabe dualnosti obezbeđuje gornju granicu �� maksimalne vrednosti funkcije cilja primala,odnosno donju granicu � � minimalne vrednosti duala. (Kad imamo maksimizaciju funckije� � tj minimizaciju �� nejednakost bi onda bila � � t ��.

a) Ako je x dopsutivo reš pimala koje nije optimalno i � � � ��, tada tačka u y nijedopustivo rešenje duala.

b) Ako je x dopustivo reš primala, y dopustivo reš duala i � � � ��, tada tačke x i ysu optimalna rešenja ovih problema.

Svostvo b) omogućuje da se za zadata dopustiva reš x primala i primala i y duala, utvrdi dasu ona otpimalna bez rešavanja ovih proglema simpleksom. Dovoljno je dokazati da je� � � ��

Komplementarnost optimalnih rešenja

Ako kordinate tačke ��

� �� zadovoljavaju sledeće uslove:

1. Ako je �� izravnjavajuća promenljiva dodata i-tom ograničenju primala, tadaje ��

� �h ��;

2. Ako je �� izravnjavajuća promenljiva oduzeta od i-tom ograničenja primala,tada je ��

� � ��;

3. Ako je �� veštačka promenljiva dodata i-tom ograničenju primala, tada je ��

hth ��; (kod min funkcije cilja primala je ��

� � th ��)

Tada je �� optimalno rešenje duala. Pri tome ��

� zadovoljava i uslov

4. �� h ��

�� gde je �� j-ta kolona matrice ograničenja Aprimala.


21 Doroteja M.

Na osnovu svojstva komplementarnosti koordinate opt reš duala se mogu direktnoidentifikovati pomoću ovih elementa iz reda –f optimalne simpleks tabele primala kojiredom odgovaraju promenljivima iz njegove početne baze. Pri tome ako je i-tom ograničenjuprimala oduzeta izravnjavajuća, a dodata veštačka promenljiva, pomoću 2) i 3) identifikujejedna vrsta vrednosti ��

�. Prema 4) �� je jednako razlici desne i leve str ograničenja u tački �� .

�� t � � �� t ��, zato je ��

� � � u skladu sa dopustivošću ��.

Pošto svakoj baznoj promenljivoj odgovara nulti element u redu –f optimalne simplekstabela primala, tada važi:

o ��

� � � za svaku izravnavajću promenljivu �� uvedenu u i-to ograničenjeprimala;

o �� h ��

��

Gde su �� optimalne vrednosti primalnih promenljivih. Ovo svojstvo se naziva svojstvom

komplmentarne dopunjivosti (opt vrednost prom �� se komplementarno dopunjuje saptimalno vrednošću odgovoarajuće izravnavajuće promenljive- ako je jedna od ovih vrednostinenulta, druga je = 0.

14. Osnovna svojstva dualnosti problema LP: jaka dualnosti ograničenost — dopustivost

Jaka dualnost

Primal ima optimalno reš ako i samo ako dual ima opt reš pri čemu su opt vrednosti funkcijacilja ova dva problema jednake. Prema svojstvu jake dualnosti primal nema reš ako i samoako dual nema reš. Ako je funkcija cilja primala neograničena odozgo na njegovojdopustivoj oblasti, tada je dopustiva oblast duala prazna. Ako je funkcija cilja dualaneograničena odozdo na njegovoj dopustivoj oblasti, tada je dopustiva oblast primala prazna.Ako su dop oblasti primala i duala neprazne, oba imaju opt reš. Moguće je da dopustiveoblasti i primala i duala budu prazne.

15. Interpretacija dualnog problema u slučaju optimizacije raspodeleograničenih resursa

Primalni problem {10} sa svim pozitivnim koeficijentima se interpretira kao probl alokacijeres aktivnostima: ��- nepoznata kol j-tog proizvoda koja treba da se proizvede, ��- jediničniprofit od proizvodnje ovog proizvoda, F ukupni profit koji se ostvaruje, ��-raspoloživa kol i-tog res, -��ݎ kol i-tog res za proizvodnju j-tog proizvoda. Opt reš bi bilo maksimizacija profita.Dual {11} bi onda imao sledeću interpretaciju: firma želi da ispita uticaj povećanjaraspoložive kol �� i-tog res na max profit koji ona može da ostvari svojom proizvodnjom.Zbog jake dualnosti (opt vrednosti funkcije cilja primala i duala su jednake), vrednosti ��

�

može dati sl tumačenje: Ako bi se raspoloživa kol �� i-tog res povećala za �, pri čemu ��ostaje opt reš duala tako transformisanog primala, tada bi se max profit ��povećao za ��

��.�� implicitno meri marginalnu dobit koja bi se ostvarila pri jediničnom povećanju raspoložive


22 Doroteja M.

kol i-tog res, pa se zato naziva „cena u senci“. Prema svojstvu komplementarne dopunjivosti,uvek kada optimalnom reš primmala i-to ogranič nije aktivno, tj raspoloživa kol �� i-tog resnije iskorišćena, tada je ��

� � � i povećane vel �� neće dovesti do promene opt plana pr-njeniti promene max profita ��. Zato se ovaj profit može povećati samo povećanjem kol ono reskoji je u opt reš primala u potpunosti iskorišćen.

16. Struktura matematičkih modela i njihova veza sa realnimsistemom

Upravljačke odluke u realnim sistemima se uvek donose u odnosu na neki postavljenikriterijum i uz poštovanje ograničavajućih faktora koji u sistemu postoje. Opšti oblik matmodela nekog realnog probl se sastoji iz:

Funkcije cilja- njome se modelira kriterijum upravljanja (odlučivanja) Ograničenja- modeliraju ograničavajuće faktore sistema, tj prostor u kome se mogu

tražiti rešenja problema

Mat mod LP- matematički zapis realnog problema u kome su funkcija cilja i ograničenjapredstavljeni linearnim funkcijama.

Realni sistem Matematički model

Upravljačke odluke Upravljačke promenljive

Kriterijum upravljanja Kriterijumska funkcija

Cilj Funkcija cilja

Ograničavajući faktori Skup ograničenja (dopustiv skup)

Optimalne upravljačke odluke Optimalno rešenje

Primer: kriterijum-prihod; cilj- maksimizacija

Prirodno ograničenje uvek važi kod LP � t �


23 Doroteja M.

Opšti model:

��䁠쳌ݎ��䁠ݎ쳌� � � � ��

Pri ograničenjima:

��ݎ � ��ݎ �� ݎ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ��

��ݎ � ��ݎ �� ݎ��

�� t �

Ili sažetije kao

�ݎ��

��

�

��

p.o.

��

�

��ݎ�� ㍧ �� t ��


�� -upravljačka prom � � �� ; ��ݎ �� - parametri zadatog modela � � ��

c-koeficijent uz promenljivu u funkciji cilja; n-broj promenljivih, m-broj ograničenja;a- koeficijent uz promenljivu u graničenjima; b- slobodni članovi.

Konstruisanje MM:

Korektivnim modeliranjem se postiže da model bude validna predstava probl koji seizračunava, da ga je moguće rešiti, ako je potrebno i uz pomoć računara, da se modeliraunutar troškovnih i vremenskih ograničenja i da se model može efikasno primenjivati.

�ݎ� ��p.o.

�� ㍧ � t �


24 Doroteja M.

Faze:

1. Definicija ciljeva- utvrđujemo koji problem korisnik modela želi da reši problemom.Ciljevi treba da budu u skladu sa ograničenjima.

2. Planiranje istraživanja- Plan projekta sadrži vremenski plan, plan angažpvanjakadrova i plan troškova. Rez planiranja istr treba da pruži podatke o neophodnim res ipotrebnom vremenu za realizaciju projekta.

3. Formulacija problema- obezbeđivanje svih potrebnih podataka za fazu građenjamodela i smernice za budući rad.

1. zadatak je odlučivanje da li je potrebno dekomponovati probl na manjeprobl.2.- utvrđivanje koji će detalji biti obuhvaćeni modelom.3.Uvtrđivanje kriterijuma na osnovu kojih će se meriti efektivnost rešenja.

4. Formiranje modela- koji je relacija između promenljivih koje opisuju kotrolabilneosobine objekta probl koji se rešava. Klase mat proglramiranja: linearno, nelinearno icelorojno programiranje. Koraci:

1.Izbor funkcije cilja2.Specifikacija ograničenja

5. Izbor metode rešavanja- postoje dve alternative:a) nalaženje optimalnog rešenja uprošćenje verzije problema;b) nalaženje približnog rešenja tačne formulacije probl.

6. Programiranje i testiranje- U tu svrhu se mogu koristiti Fortan, C,C++,Java, VisualBasic... testiranje prog se svodi na formalnu verifikaciju ispravnog rada programa saodgovarjaućim test podacima.

7. Prikupljanje podataka- potrebno je za testiranje programa i praktičnu primenumodela u fazi implementacije.

8. Validacija- vezuje se za proveru slaganja rez modela sa realnim sistemom tjutvrđivanje činjenice da li je model dovoljno dobra apstrakcija realnog sistema. U tomsmislu potrebno je proveriti konzistentnost, osetljivost i primenljivost modela.

9. Implementacija- uvođenje modela u praktičnu primenu je konačna faza modeliranja.Uspeh ove faze zavisi od kooperacije korisnika modela.


25 Doroteja M.

17. MM: Osnovni MM planiranja ishrane

Ovaj model omogućio je rešavanje probl određivanja kol prehrambenih proizvoda koja ćeobezbediti potrebno učešće značajnih komponenti u ishrani uz min troškove ishrane za datiplanski period.

Poznate su karakterisike za n razl prehrambenih proizvoda �t��t��t��t��. U svakompreh proiz špstpke pdređene kol hran stastojaka ��.�� - sadržaj i-tog hranljivog sastojka u j-tom prehrambenom proizvodu � � �� .��-dnevne potrebe za j-tim prehramb proizv. ��ݎ � ��ݎ �� ݎ –ukupna kol i-tohran sast u ishrani.��h� ��

� - minimalna i maksimalna svakodnevna potreba oranizma za i-tim hran sastojkom;��h� ��

� - minimalan i maksimalan dnevni unos j-te namirnice;�� - cena jedinice mere j-tog prehramb proizv, cena celokupne ishrane.

nnxcxc ...11 - ukupna cena obroka koju treba min

Optimalna ishrana imaće takav sastav svakodnevne upotrebe odr prehramb prizvodaX� �� koji daje minimum funkcije cilja. Probl planiranja ljudske ishrane se sastojiu određivanju br primera jelovnika � �� kosi su razvrstani u nekoliko grupa sa ciljemda učešće bitnih komponenti u ishrani bude na željenom nivou. Model ima oblik:

Realan sistem Matematički model

Upravljačke odluke:

Količina j-te namirnice

Upravljačke promenljive�

jx

Kriterijum upravljanja: Ukupna cena

Cilj: Minimalni troškovi��

��

�

��

Ograničavajući faktori P.O.

Minimalan/maksimalan dnevni unos i-togsastojka

��h �

��

�

��ݎ � ��

Minimalan/maksimalan dnevni unos j-tenamirnice

n�h � �� n�

��

Rasploživa količina j-tog prehrambenogproizvoda jj px

Prirodno ograničenje �� t �


26 Doroteja M.

18. MM: Podela obradive površine na kulture

Na obradivoj površini treba zasejati n kultura. Potrebno je za svaku j-tu kulturu odreditipovršinu �� na kojoj je treba zasejati tako da se ostvari maksimalna dobit. Pri tome trebavoditi računa o: raspoloživoj radnoj snazi u pojedinim vremenskim periodima, rasp kapacsredstava mehanizacije u pojedinim periodima, agrotehničkim ograničenjima i potrebama zastočnom hranom. MM glasi:



Površina na koju treba zasejati j-tu kulturu


jx

Kriterijum upravljanja: Ukupna dobit

Cilj: Maksimalna dobit�ݎ� � � �

��

�

��


Ukupan broj radnika��

�

��ݎ � ��

Raspoloživ kapacitet mašina��

�

䁠�� ㍧� � ��䁠

Ukupna raspoloživa površina��

�

��

Minimalna/maksimalna kol kultura kojetreba zasejati

䀀� � ��

Oznake u ovom modelu znače sledeće:�� -dobit od j-te kulture po jedinici obrađene površine;��-površina na koju treba zasejati j-tu kulturu;��-broj radnika koje treba zaposliti u i-tom periodu na obradi jednog hektara zasejanog j-tomkulturuom;��- br danuja sa kojima se raspolaže u i-to periodu;��- potrebno angažovanje l-tog sredstva mehanizacije u i-tom perodu za obradu jednoghektara zasejanog j-tom kulturuom;��- kapacitet l-tog sredstva mehanizacije u i-tom perodu;�- ukupna obradiva površina;gj , hj - minimalna/maksimalna površina na kojoj treba zasejati j-tu kulturu;m- br vremenskih perioda;r- br sredstava mehanizacije koje treba angažovati;n - broj kultura.


27 Doroteja M.

19. MM: Optimalan plan setve na dislociranim njivama

Često se obradiva površina koju treba zasejati određenim kulturama nalazi na višedislociranih njiva koje su različitog kvaliteta i donose razl prinose. Pretpostavimo dapoljuprivredno gazdinstvo rapolaže sa s njiva razl kvaliteta i da je ukupna obradiva površinana svakoj od njih a�. Potrebno je za svaku j-tu kulturu odrediti površinu �� koju trebazasejati na k-toj njivi tako da se ostvari maksimalna dobit.

Oznake su iste kao u prošlom modelu osim:��- dobit od 1 hektara j-te kulture sa k-te njive;��-površina koju treba zasejati na k-toj njivi j-tom kulturom;��- min/max površina koju na k-toj njivi treba zasejati j-tom kulturom.



Površina na koju treba zasejati na k-toj njivij-tom kulturom


kjx



��

�

��

�

��


Ukupan broj radnika��

�

��ݎ��

�

��

Raspoloživ kapacitet mašina��

�

䁠��

�

�� ㍧�

� ��䁠


�

�� a� ��

Minimalna/maksimalna kol kultura kojetreba zasejati 䀀� �

��

�

��

Minimalna/maksimalna površina koju trebazasejati na k-toj njivi j-tom kulturom kjkjkj vxu


28 Doroteja M.

20. MM: Optimizacija proizvodnje krmnih smeša

Krmne smeše su proizvodi dobijeni mešanjem hraniva i dozvoljenih dodataka stočnoj hrani.Služe kao potpuna ili dopunska hrana za domaće životinje. Svaka krmna smeša treba da upropisanim kol sadži sl komponente: proteine, suvu nateriju, masti, neto energiju, celulozu,mineralne materije (pre svega Ca i P), vitamine i aminokiseline. Potrebno je odrediti koje kolhraniva treba promešati da bi ukupni tro proizovdnje kmnih smeša bili minimalni. Trebavoditi računa o tome da je broj hranljivih sastojaka ograničen. MM:



Površina na koju treba zasejati na k-toj njivij-tom kulturom


kjx

Kriterijum upravljanja: Ukupna cena

Cilj:Minimalni troškovi��

��

�

��

�

��


Minimalno/maksimalno učešće i-toghranljivog sastojka u k-toj smeši

n��

�

��ݎ � �� ㍧� � ��

Procentrualno učešće i-tog hraniva u k-tojsmeši

��

�

��

Ukupna raspoloživost j-tog hraniva��

�

��

Minimalno/maksimalno učešće j-tog hranivau k-toj smeši

l�� ㍧� � ��

Oznake u ovom modelu znače sledeće:n - br vrsta hraniva koja se koriste za pravljenje krmnih smeša � � �� ;s - br vrsta krmnih smeša koje se proizvode �� ;m - br hranljivih sastojaka čije se učešće u krmnim smešama kontroliše � � �� ;��- planirana proizvodnja k-te smeše;��- procentualno ušečće j-tog hraniva u jedinici k-te smeše;�� - cena j-tog hraniva;�� - sadržaj i-tog hranljivog sastojka u j-tom hranivu;�� - donja i gornja granica učešća i-tog hranljivog sastojka u k-toj smeši;�� - zalihe j-tog hraniva;�� -minimalno i maksimalno procentualno učešće j-tog hraniva u k-toj smeši .


29 Doroteja M.

21. MM: Izbor optimalnog asortimana

Pretpostavimo da je u proizvodnju n artikala �� uključeno m mašinat��t��t��t�, s kategorija radnika �� i r vrsta sirovina i materijala��. Prikupljeni su podaci o kapacitetima i normativima svih resursa koji sekoriste u proizvodnji, marketinškoj politici preduzeća i ekonomskim karakterizaciji proizvoda.MM:



Količina j-tog artikla


jx


Cilj:Maksimalna dobit�ݎ� � � �

��

�

n��


Kapacitet i-te mašine��

�

��ݎ � ��

Raspoloživ kapacitet radnika k-te kategorije��

�

��

Raspoloživa količina v-te sirovine��

�

䀀��

Minimalan i maksimalan nivo prodaje j-togartikla

o� � ��

Oznake u ovom modelu znače sledeće:�� – količina j-tog artikla koju treba odrediti sa MM;�� - dobit po jedinici j-tog artikla;�� - vreme potrebno za obradu j-tog artikla na i-toj mašini;�� - Kapacitet i-te mašine izražen u vremenskim jedinicama;�� - vreme potrebno za obradu j-tog artikla od strane radnika k-te kategorije;�� - Raspoloživ fond vremena radnika k-te kategorije;�� - potrebna količina v-te sirovine za proizvodnju j-tog artikla;�� - Raspoloživa količina v-te vrste sirovine;�� - minimalan nivo prodaja j-tog artikla;�� - maksimalna količina j-tog artikla koja se može prodati na tržištu.


30 Doroteja M.

22. MM: Optimizacija utroška materijala

Pod optimalnim utroškom materijala u ostvarivanju određene proizvodnje podrazumeva setakvo iskorišćenje materijala da ukupan gubitak bude minimalan, tj da se minimizira otpadak.Prtpostavimo da je potrebno proizvoditi m različitih delova u određenim količinama, adimenzije materijala su jednake. Ako bi se iz mat datih dimenzija proizvodio samo jedan deo,otpaci bi bili izrazito veliki. Ako se iz mere mat seče k delova, broj varijanti biće jednak �� .Prtpostavimo da je mat za krojenje fabrikovan u s razl veličina i da se svaki od tih materijalamože obraditi na n načina. MM:



Količina j-te varijante kroja dobijene iz k-tedimenzije


jkx

Kriterijum upravljanja: Ukupan trošak

Cilj: Minimizacija otpatkajk

s

k

n

jjk xcxf

1 1

)((min)


Zalihe materijala v-te dimenzije ),...,1(,1

skzxn

jkjk

Količina i-to tipa koji treba obezbeditikrojenjem

),...,1(,1 1

mibxa ijk

s

k

n

jijk

Maksimalna količina materijala v-tedimenzije koja može biti iskorojena po j-toj

varijanti

),...,1();,...,1(,0 sknjhx jkjk

Oznake u ovom modelu znače sledeće:xjk - količina j-te varijante kroja dobijene iz k-te dimenzije;cjk- količina otpadka materijala v-te dimenzije kada je po j-toj varijanti krojenja;xk - zadate zalihe materijala v-te dimenzije;aijk - broj delova i-to tipa koji se dobijaju iz materijala v-te dimenzije kada je iskrojen po j-tojvarijanti krojenja;�� – ukupna količina delova i-to tipa koji treba obezbediti krojenjem;hjk -Maksimalna količina materijala v-te dimenzije koja može biti iskorojena po j-tojvarijanti krojenja.


31 Doroteja M.

23. MM: Upravljanje zalihama

Cilj koji se postavlja ovde jeste planiranje proizvodnje u zavisnosti od potreba tržišta, kako bitroškovi skladištenja gotove robe bili minimalni. Pretpostavimo da se proizvodi n artikala nam razl mašina u s jednakih vremenskih intrevala (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n; v=1,2,...,s).



Količina j-tog artikla koju treba proizvesti uv-tom vremenskom periodu


jkx

Kriterijum upravljanja: Ukupan trošak

Cilj: Minimizacija troškova��

��

�

��

�

��

�

�� h a��


Nemogućnost postojanja negativnih zaliha��

�

�� h a�� t �� ㍧

� � ��댳댳댳��

Ukupan kapacitet i-te mašine ),...,1(,1

nibxan

jijkij

� � ��댳댳댳��

Prirodno ograničenje ),...,1();,...,1(,0 svnjx jv

Oznake u ovom modelu znače sledeće:�jk - količina j-tog artikla koju treba proizvesti u k-tom vremenskom periodu;�� - potražnja za j-tim artiklom u k-tom vremenskom periodu;�� - troškovi skladištenja j-tog artikla u k-tom vremenskom periodu;�� - vreme potrebno za obradu j-tog artikla na i-toj mašini;�� - kapacitet i-te mašine u k-tom vremenskom periodu.


32 Doroteja M.

24. MM: Usklađivanje programa proizvodnje

Pretpostavimo da postoji p preduzeća �t��t��t��ta� koja su saglasna da usklade svojeprograme u proizvodnji n arikala (��, sa ciljem ostvarivanja maksimalnedobiti. MM ima sledeći oblik:



Količina j-tog artikla koju treba proizvesti uk-tom preduzeću;


jkx



��

�

��

a

n��


Kapacitet i-te mašine��

�

��ݎ � ��ݎ �� ㍧

� � ��

Raspoloživost v-tog materijala��

�

��

a

�� ㍧

Tržišno ograničenje��

a

��

Prirodno ograničenje �� t � �� ㍧ � � ��댳댳댳��

Oznake u ovom modelu znače sledeće:�� - količina j-tog artikla koju treba proizvesti u k-tom preduzeću;�� - vreme izraženo u časovima koje je potrebnoo da se u k-tom preduzeću na i-toj mašiniobradi jedinica j-tog artikla;�� - kapacitet i-te mašine u k-tom preduzeću izražen u časovima;�� - količina v-tog mat potrebne za proizvodnju jedinice j-tog proizvoda u k-tom preduzeću;�� - ukupna rasploživa količina v-tog materijala;�� - ukupna količina j-tog proizvoda koja se može prodati na tržištu u periodu na koji seodnosi ova analiza;�� - dobit po jedinici j-tog proizvoda u k-tom preduzeću.


33 Doroteja M.

25. MM: Optimalno proširenje kapacitetaZa slučaj kad programi proizvodnje imaju dugoročan karakter, a stručna radna snaga, sirovinei materijal za proizvodnju nisu ograničeni, kao jedan od najaktuelnijih problema za rešavanjemože se pojaviti optimalno iskorišćenje ograničeno kapaciteta mašina. Zadatak koji se rešavajeste proširenje kapaciteta maš, za postizanje opt programa proizvodnje. Ograničavajućifaktori jesu investiciona sredstva i smeštajni prostor. MM:



Količina j-tog artiklaBroj mašina i-te vrste


i

j

yx


Cilj:Maksimalna dobit�ݎ� � � �

��

�

n�� h��

�

��


Godišnji kapaciteti mašina i-te vrste preuvođenja novih kapacita

��

�

��ݎ h ��ݎ � ��

Nov ukupni kapacitet iii yab

Raspoloživ investicioni fond��

�

��


�

a�� t�

Prirodno ograničenje �� t � �� t � ��

Oznake u ovom modelu znače sledeće:�� – količina j-tog artikla koju treba odrediti sa MM;�� - broj mašina i-te vrste koje treba nabaviti i montriati;�� - godišnja vrednost amortizacije jedne mašine i-tog tipa;�� - dobit po jedinici j-tog artikla;�� - vreme potrebno za obradu j-tog artikla na i-toj mašini;�� - procenjeni godišnji kapacitet jedne nove mašine i-te vrste;�� - godišnji kapacitet svih posotjećih mašina i-te vrste pre uvođenja novih kapacitet;�� - nabavna vrednost jedne mašine i-tog tipa;C- raspoloživa investiciona sredstva;�� - radna površina potrebna za smeštaj jedne mašine i-tog ripa;P- ukupna raspoloživa radna površina za proširenje kapaciteta.


34 Doroteja M.

26. Zatvoreni i otvoreni problem TP: opis problema i matematičkimodeli

Nalaženje opt plana transporta nekog proizvoda u najvećem br slučajeva podrazumevanalaženje takvog plana prevoza proizvoda jedne vrste iz mesta proizvodnje ili skladištenja uodređena mesta potrošnje pod uslovom da troškovi transporta budu minimalni.Klasičan TP podrazumeva nalaženje najekonomičnijeg plana prevoza jedne vsrte robe izmesta proizvodnje u mesta potrošnje. Neka postoji m skladišta �� koi određujumesta proizvodnje jedne vrste artikala sa vrednostima .�ݎ��ݎ��ݎ Sa dr strane postoji npunkotva potrošnje �� čije su potrebe izražene sa ��.

Zatvoreni model transportnog zadatka

Zadatak se sastoji u određivanju kol roba �� koje iz bilo kog punkta �� treba transportovati ubilo koji punkt �� pod uslovom da ukupni troškovi transporta budu minimalni. Koristeći seuvedenim oznakama, funkcija cilja za klasični TP dobija oblik:

��

� ��

�

��

�

��

Dok se skup ograničenja koji ima ukupno (m+n) tj onoliko koliko ima ukupno punkotvaproizvodnje i potrošnje, kontruiše u odnosu na ograničenu proizvodnju i potrošnju u svakompunktu proizvodnje i potrošnje. Sistem ograničenja se može napisati u sledećem obliku:

��

��

• • •

• • •

�ݎ �ݎ �ݎ

��

� ��

� ��

� ��

�


35 Doroteja M.

Za punktove proizvodnje Kondenzovan oblik�� ݎ Ograničenje punkta �� {13}

��

�

�� ݎ � � ��••••••••••••••

�� ݎ Ograničenje punkta ��

Za punktove potrošnje Kondenzovan oblik�� Ogrnaičenje punkta ��

��

�

��

{13}

••••••••••••••�� Ograničenje punkta ��

MM TP sastoji se u nalaženju minilamne funkcije cilja, gde �� t �. Može se pokazati da ako su�ݎ i �� celi brojevi, onda su i vrednosti �� celi brojevi. Ukupan br nepoznatih �� u sistemu {13}iznosi mn, dok je br jednačina jednak (m+n).

Otvoren model transportnog zadatka

Kada imamo slučaj da je proizvodnja i potrošnja nisu jednaki, to zahteva konstrkuciju odgovarajućegskupa ograničenja pošto u nekim punktovima �� 댳댳댳��) ostaće određene kol robe koje se nemogu transportovatim, te u tom slučaju treba rešavati MM koji ima definisanu funkciju cilja oblika{12}, a skup ograničenja u obliku {14}. MM TP-a definisan ovim ograničenjima se nazivaotvoreni model. Otvoreni model može se svesti na klasičan TP tako što će se uvestidopunski(fiktivan) punkt potrošnje �� / punkt proizvodnje �� , a za cenu transporta iz bilokog punkta proizvodnje u punkt �� (iz punkta ��do bilo kog punkta potrošnje) se uzima da je 0.

Proizvodnja veća od potrošnje Potrošnja veća od proizvodnje

��

�

��ݎ ��

�

��

�

��ݎ ��

�

��

{14}

��

�

�� ݎ � � ��

{14}

��

�

�� ݎ � � ��

��

�

��

{14}��

�

��

{14}Potrebe punkta ��:

��

�

��ݎ h��

�

��

Ponuda punkta ��:

��ݎ ��

�

�� h��

�

��ݎ


36 Doroteja M.

27. Osnovni koraci algoritma za rešavanje problema TP i njegoveosobine.

Opšti algoritamski koraci

Početni korak:Nalaženje početnog baznog rešenja- Generisati neko početno baznodopustivo rešenje�� , početna baza: �� ,početna vrednost funkcije cilja: �� , dopustive oblasti;

Iterativni korak za k=0,1,2...

Test optimalnosti: Ako teme �� nema boljih susednih temena, �� je optimalno.STOP1. Ako �� nije opt, generisati bolje teme �� dopustive oblasti.

28. Metode za određivanje početnog baznog dopustivog rešenjaproblema TP, njihove osobine i osnovne ideje (ne koraci rešavanja).

Metoda „Severozapadnog ugla“:

Prema ovoj metodi, bazične promenljive raspoređujemo duž dijagonale koja se kreće odgornjeg levog ugla, tj polja (1,1) tabele (takozvaonog „severozapadnog“ polja), pa do donjegdesnog ugla, tj polja (m,n) tabele. Ova metoda ne uzima u obzir vrednost �� pa se smatranajjednostavnijom ali i najneefikasnijom metodom za određivanje polaznog dopustivog reš TP.

Metoda najmanjeg elementa u matrici cena transporta(NEMCT):

Ako bazične promenljive rasporedimo na poljima sa najmanjom vrednošću �� dobijamorešenje TP sa manjom vrednošću funkcije cilja nego što se dobija dijagonalnom metodom. Ovo jeosnovna ideja metode NEMCT koja takođe spada u veoma jednostavne metode. Postoje još dvemetode zasnovane na istoj ideji: metode najmanjeg elementa u vsti i metode najmanjeg elementa ukoloni matrice cena.

Vogelova aproksimativa metoda:

Ovo je metoda sa složenijom algoritamskom strukturom od pretodne dve, ali često kod TPmanjih dimenzija nalazi polazno bazno rešenje koje je i optimalno. Metoda je iterativna jersukcesivno pronalazi bazične elemente. Osnovni princip metode je izračunavanje najvećihrazlika između dva najmanja koeficijenta cena u svakom redu i u svakoj koloni matrice cena.


37 Doroteja M.

29. Dualni zadatak TP, utvrđivanje optimalnosti rešenja.

Primal: (ukupan br nepoznatih �� iznosi mn, dok je broj ograničenja (bez prirodnih) jednak m+n)

Dual: (ukupan br nepoznatih iznosi m+n, dok je br ograničenja jednak mn)

Primal Dual


ijx


ji ba ,

��

�

��

�

�� max � � ��

�

��lݎ ��

�

��

P.O. P.O.

��

�

�� ݎ �� l� l� � ��

��

�

�� l�� neograničeni po znaku

�� t � ��

Ako su �� optimalne vrednosti primala, a l�

�� i�� optimalne vrednosti duala, tada prema svojstvu komplementarne

dopunjivosti, �� h l�

� � �� ako je ��

� � � tada �� h l��

� � �;

a ako je �� tada �� h l�

� � �� t �.

Sada se proverava da li je �� optimalno rešenje ili ne svodi na:

○ Rešenje sistema 0)( jiij vuc , za svako (i,j) za koje je kijx bazno㍧

○ Proveru da li reš ovog sist zadovoljava sistem 0)( jiijij vucd za svako (i,j)

za koje je kijx nebazno㍧

Za bazično dopustivo rešenje

kijk xx

dobijeno u k-toj iteraciji, kaže se da je opt reš TP

ako je jedinična promena TP 0ijd za sve nebazične promenljive ijx .


38 Doroteja M.

30. MM: Transportni zadaci sa ograničenim propusnimsposobnostima.

Realan sistem Matematički modelUpravljačke odluke:

Kol robe iz i-tog punkta proizvodnje u j-tipunkt potrošnje


ijx

Kriterijum upravljanja: Ukupni troškovi

Cilj:Minimizacija troškova

��

�

��

�

��

Ograničavajući faktori P.O

Ograničenje za ponudu��

�

�� ݎ ��


�

��

Dopunski uslov � � �� n��

Kod TP fizički uslovi određuju dopunska ograničenja. Ona su često određena propusnimsposobnostima putne mreže: iz punkta �� u punkt �� sva količina robe koja se transportuje nemože biti veća od n��, pa je potrebno uvesti dopunske uslove. Klasični transportni zadaci(TZ)mogu se izvesti kao posebni slučajevi TZ sa ograničenim propusnim sposobnostima putnemreže ako n�� . Da bi se TZ sa ograničenim propusnim sposobnostima putne mrežemogli uspešno realizovati, neophodno je da n�� ne bude sasvim malo i ispunjava uslove:

��

�

n�� t ��ݎ � � ��

��

�

n�� t �� 댳

Oznake u ovom modelu znače sledeće:�� –kol robe iz i-tog punkta proizvodnje u j-ti punkt potrošnje,�� –jedinični troškovi od i-tog punkta proizvodnje do j-ti punkt potrošnje,�� -proizvedena količina robe u i-tom punktu proizvodnje,�� -tražena količina u j-tom punktu potrošnje,n- broj ishodišta,m –broj odredišta,�� hzadata nenegativna vrednost.


39 Doroteja M.

31. MM: Minimizacija vremena transporta.



Kol robe iz i-tog punkta proizvodnje u j-tipunkt potrošnje


ijx

Kriterijum upravljanja: Ukupno vreme

Cilj:Minimizacija vremena transporta

{15}

�min�쳌 � � ��쳌��

� � �� {15}


Ograničenje za ponudu��

�

�� ݎ ��


�

��

Prirodno ograničenje �� t � ��

Oznake u ovom modelu znače sledeće:�� –kol robe iz i-tog punkta proizvodnje u j-ti punkt potrošnje,�� -vreme utrošeno na transport proizvoda iz i-tog punkta proizvodnje u j-ti punkt potrošnje,�� -količina robe koju treba transportovati iz punkta �� ,�� – količina robe koju treba transportovati u punkt �� .

Funkcija cilja {15} koja se minimizira predstavlja najduže vreme iz skupa vremena 쳌�� –trajanja transporta iz bilo kog punkta �� u punkt �� gde su planirani transporti �� . Ovakoformulisan zadatak ne spava u okvire LP. Obzirom da je funkcija 쳌 � nelinearna funkcijapromenljivih ��.


40 Doroteja M.

32. MM: Transport proizvodnje. (LP— gl. 4)

Neka poljuprivredno gazdinstvo raspolaže sa 䀀� proizvdonih sredstava k-tog tipa (k=1,2...,s)koja se razlikuju po nosivosti, brzini kretanja, ekspolatacionim karakterisimaka i troškovimaprevoza po jedinici mere tereta. Transportno sredstvo treba da pređe relaciju od garaže dojednog m ishodišta transporta ��, zatim da po ugovoru robe izvrši transport dojednog n odredišta ��, i na kraju da se prazno vrati do garaže. Pretpostavimo da nijemoguća upotreba nijednog sredstva više od jedanput. MM ima sledeći oblik:

Realan sistem Matematički modelUpravljačke odluke:

Broj prevoznih sredstava k-tog tipa da bitransportovali robu iz i-tog punktaproizvodnje u j-ti punkt potrošnje,


ijkx

Kriterijum upravljanja: Troškovi transporta

Cilj:Minimizacija troškova transporta

��

�

��

�

��

�

n�� a�� 쳌��


Količina robe koju treba transportovati iz i-tog ishodišta k-tim sredstvom

��

�

��

�

�� ݎ � ��

Količina robe koju treba transportovati u j-toodredište k-tim sredstvom

��

�

��

�

��

Ukupan raspoloživ broj transportnih sredstava��

�

��

�

�� 䀀��

Prirodno ograničenje �� t �� ㍧� � ��㍧� � ��

Oznake u ovom modelu znače sledeće:�� –broj prevoznih sredstava k-tog tipa da bi transportovali robu iz i-tog punkta proizvodnjeu j-ti punkt potrošnje,�� -količina robe koju treba transportovati iz punkta �� ,�� – količina robe koju treba transportovati u punkt �� ,�� –količina tereta koja se može prevesti prevoznim sredstvom k-tog tipa,�� –troškovi koji nastaju usled dolaska polaznod sredstva k-tog tipa iz mesta njegovog stacioniranjau punkt �� radi ugovora,�� –troškovi koji nastaju sled vraćanja praznog sredstva k-tog tipa iz punkta �� u mesto njegovogstalnog stacioniranja,�� –troškovi koji nastaju usled prevoza proizvoda iz punkta �� u punkt �� na jednom vrevoznomsredstvu k-tog tipa.


41 Doroteja M.

33. MM: Izbor izvršilaca aktivnosti.

Zadatak se sastoji u iznalaženju plana rasporele akt na izvršioce, tj izvor izvršilaca kako bibila obezbeđena najbolja ukupna efikasnost izvršenja projekta. �� efikasnost i-tog izvršiocana j-toj akt. Rešava se kao standardni TP LP-a. MM se sastoji od sledećeg:

Potrebno je odrediti matricu borjeva ��, gde je �� ako je �� izabran, a �� ako ��nije izabran. Potreban i dovoljan uslov da bi matrica nenegativnih celih brojeva �� mogla dase razmatra kao plan izbora izvršioca za pojedine aktivnosti, sastoji se u zadovoljavanju sluslova:

Matematički model Realan sistem


Matricu borjeva


ijx

Kriterijum upravljanja: Ukupna efikasnost

Cilj:Maksimizacija ukupne efikasnostizvršenja projekta

�max��

�

��

�

��


Mogućnost da na jednoj akt može bitizaposlen samo jedan izvršilac

��

�

��

Mogućnost zaposlenja jednog izvršilaca nasamo jednoj aktivnosti

��

�

��

Kada je broj izvršilaca m veći od br aktivnosti n

Mogućnost da na jednoj akt može bitizaposleno više izvršilaca

��

�

��

Mogućnost zaposlenja jednog izvršilaca nasamo jednoj aktivnosti

��

�

��

Prirodno ograničenje �� t � ��


42 Doroteja M.

34. Definicije grafa i mreže i vrste grafova ((ne)usmeren,(ne)povezan).

Graf je uređeni par (V,E)gde su:V- skup čvorova (engl. Verticles), npr. � � �� ,� � �� -skup grana (eng. Edges). Graf je moguće prikazati grafički.

Mreža: Kada se elementima grada (čvorovima i/ili granama) dodele neke vrednosti,on se naziva težinski graf. Povezan težinski graf se nazivamreža.

Vrste grafova: Ako je neki graf G=(V,E), za svaku granu �� važi da postojigrana�� , tada se takvi grafovi zovu neusmereni. Alternativnom za ovakvegrafove možemo definisati skup grana kao � � �� . Grafovi za kojeova osobina ne važi zovu se usmereni. U definiciji neusmerenog grafa, neusmerenegrane se obeležavaju kao skupovi dva čvora, npr. �� . vitičaste zagrade iniciraju daredosled čvorova u njima nije bitan, tj. �� .Grafiški prikaz neusmerenog grafa G=(V,E) gde su V={1,2,3,4},E={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2)}, prvi je standardan prikaz a drugi ako se graneobeleže kao skupovi tj E{(1,2),(2,3),(2,4)}

Neusmeren graf je povezan ako za svaka dva čvora �� postoji put koji ihpovezuje.Usmeren graf je povezan ako za svaka dva čvora �� postoji put koji ihpovezuje, pri čemu se usmerenja grana zanemaruju.U slučaju da nije povezan, za graf kažemo da je nepovezan.

2

1 4

3

2

1 4

3

2

1 4

3


43 Doroteja M.

35. Definicije stepena čvora i preseka grafa.

Ako postoji grana o � �� usmerenog G=(V,E), tada kažemo:

Grana e polazi iz čvora i i završava se u čvoru j. Čvor j sledi čvor i. Ako grana o� polazi iz istog čvora u kome grana o�završava, tada grana o� sledi granu

o�. Broj grana koje završavaju u nekom čvoru i zove se ulazni stepen čvora i. Broj grana koje polaze iz nekog čvora i zove se izlazni stepen čvora i.

Ako postoji grana o � �� neusmerenog grafa G=(V,E), tada kažemo:

Čvorovi i i j su susedni i predstavljaju krajnje tačke grane e. Može se reći da čvor jsledi čvor i i da čvor i sledi čvor j.

Čvor i i grana e su incidentrni ako � � o. Dve grane o� i o� su susedne ako su incidentne sa istim čvorom. Broj grana koje su incidentne nekom čvoru i zove se stepen čvora i.

Za neusmeren grafa G=(V,E) i zadati podskup�⸦�, presek grafa � � je podskup granatakvih da im jedan čvor pripada skupuW, a drugi skup V/W. Drugim rečima:

� � � ��

W

36. Definicije osnovnih grafovskih struktura: put, elementarni put idužina puta.

Put između dva zadata čvora s i t, ��쳌 � �, je niz grana za koje važi: Prva grana polazi iz čvora s ; Svaka sledeća grana sledi prethodnu granu; Poslednja grana završava u čvoru t.

Prime: sl niz grana je put između s i t : (s,1),(1,4),(4,8),(8,3),(3,t) => s,1,4,8,3,t.

1

2 4

6

53


44 Doroteja M.

Elementarni put je onaj koji kroz sve čvorove prolazi najviše jedanput.

Dužina puta jednaka je zbiru grana koje tom putu pripadaju�� h�� 쳌

37. Definicije osnovnih grafovskih struktura: stablo, razapinjućestablo i dužina stabla.

Stablo: Neusmeren graf G=(V,E) je stablo ako važe dve od sledeće tri tvrdnje: Graf G ne sadrži ni jednu konturu. Graf G sadži tačno � h � grana. Graf G je povezan.

Razapinjuće stablo grafa G je povezan podgraf grava G, takav da sadrži sve čvorovekao i G i ne sadrži ni jednu konturu. Broj grana u razapinjućem stablu l=n-1 gde je� � � broj čvorova grafa.

Dužina (težina) razapinjućeg stabla je jednaka zbiru dužina grana koje tom stablupripadaju.

4

3

2

1 5

42

531

Put 1,2,3,4,5 jeelementaran.

Put 1,2,3,4,5 nijeelementaran pošto krozčvor 3 prolazi dva puta.

al쳌 �

Neke važne odobine stabla:

Dodavanjem grane u stablo, dobija sekontura.

Udaljavanjem grane iz stabla, dobijase nepovezan graf.

Između svaka dva čvora u stablupostoji tačno jedan elemnetarni put.


45 Doroteja M.

38. Definicije osnovnih grafovskih struktura: kontura, Hamiltonovakontura i dužina konture.

Kontura je elementarni put koji počinje i završava u istom čvoru. al쳌 � je kontura Hamiltonova kontura je kontura koja prolazi kroz sve čvorove nekog zadatog grafa.

Dužina konture predstavlja zbir svih grana koje pripadaju toj konturi.

39. Problem određivanja najkraćeg puta između dva zadata čvora umreži: model i složenost rešavanja.

Neka je dat graf G=(V,E) i neka su granama pridružene vrednosti �� . Vrednosti ��mogu predstavljati dužine, težine, cene, pozdanost... Ovde vrednosti mogu biti i negativne. Ugrafu G potrebno je naći put između zadatih čvorova s i t. Put između zadatih čvorova s itdefiniše se kao niz grana od kojih prva polazi iz čvorova s i t. Put između zadatih čvorova s it definiše se kao niz grana od kojih prva polazi iz čcora s svaka sl grana u nizu oičinje uonom čvoru u kojem se završava prethodna, a poslednja se završava u čvoru t:�� h�� 쳌 �� 쳌. Najkraći put između čvorova s i t je put

najmanje dužine. Neka je �� , binarna promenljiva takva da važi:

�� ako grana �� pripadaju najkraćem putu� u suprotnom

MM probl najkraćeg puta:

min� � ��

��

p.o.

��

�� h��

�� 쳌� � � �h � � � � 쳌

��

4

2 5

3

1 7

6

4

2 5

3

1 7

6


46 Doroteja M.

Funkcijom cilja se minimizira ukupna dužina puta. Ograničenje ima tri moguća slobodnačlana: sa (1) se obezbeđuje da put počne u čvoru s; drugi (0) da će put ukoliko ulazi u čvor(koji nije ni početni ni završni) izaći iz njega; a trećim (-1) da će put završiti u čvoru t.

40. Problem određivanja minimalnog razapinjućeg stabla: model isloženost rešavanja.

Data je neusmerena mreža G=(V,E) i težine puta �� . Vrednosti �� mogupredstavljati dužine, težine, cene, pozdanost... Neka je �� , binarna promenljivatakva da važi:

�� ako grana �� pripadaju razapinjućem stablu� u suprotnom

Neka A(S) predstavlja skup grana podgrafa grafa G=(V,E) određenog skupom S�V, odnosnoA(S) je skup grana čija oba čvora pripadaju skupu S. MM:

p.o.

Sa funkcijom cilja se. Prvo ograničenje

Minimiziranje ukupne težine razapinjućegstabla

min� � ��

��

Ograničavajući faktori p.o.

Obezbeđivanje da broj grana u stablu bude n-1 ��

�� h �

Sprečavanje pojave ciklusa, tj da podgrafbude stablo ��

�� h �� ⸦�

Prirodno ograničenje ��

Broj ograničenja eksponencijalno raste sa porastom broja čvorova. Zbog toga se minimalnorazapinjuće stablo u praktičnim problemima ne određuje kao rešenje MM, već pomoćunekog algoritma.


47 Doroteja M.

41. Problem trgovačkog putnika i pristupi njegovom rešavanju—grafovska interpretacija.

Zadat je kompletan graf G=(V,E). Svakoj grani �� pridružena je vrednost(dužina,težina) �� . Problem trgovačkog putnika (Traveling Sallesman Problem- TSP)se može formulisati na nekoliko načina. Najjednostavnija grafovska formulacija glasi:Odrediti Hamilgtonovu konturu u zadatom grafu koja ima najmanju dužinu.

Da bi formulisali MM TSP-a uvešćemo sl oznake:

� � � - broj čvorova; �� - binarna promenljiva, indikator da li grana �� pripada rešenju ili ne.

Primer: Naći najkraću Hamilgtonovu kontruru :

4

2 5

0

1

7

63

9

8

8

32

95

10

4

97

10 11

36 13 8

79

612

Polazeći od čvora 0, u rešenje se dodaju grane:(0,2),(2,5),(5,8),(8,6),(6,9),(9,7)(7,4),(4,1),(1,3),(3,0) idužina ove konture iznosi 8+3+...+11+9=66

4

2 5

0

1

7

63

9

8

8

32

5

11

3

7

612

9

Interesantno je primetiti da ukoliko se kaopočetni čvor izabere 3, dobija se rešenje(3,4,1,0,2,5,8,6,7,3) čija je dužina6+3+...+6+13=63 što je bolje rešenje.

Problem je zatovren jer putnik mora da se vrati iz grada iz kog je pošao;

Problem je simetričan cena puta je ista u oba smera;


48 Doroteja M.

42. Problem trgovačkog putnika i pristupi njegovom rešavanju—matematički model.

Funkcija cilja je uobičajena za grafovske optimizacione probleme:

�min��

��

Ograničenja treba da obezbede da po jedna grana završava u svakom čvoru i da po jednagrana polazi iz svakog čvora:

��

��

��

Takođe treba obezbediti da ne postoje podkunture, da rešenje bude zaista Hamilgdtonovakontura. Ograničenje za „eliminaciju“ podkuntura:

⁂ Formulacija Dancinga, Falkersona i Džonsona [DFJ]

��

�� h �� ⸦��

⁂ Formulacija Miera, Takera i Zemlina [MTZ]:

l� h l� � �� h �� l� t ��

Gde su l� pomoćne realne promenljive dodeljene svakom čvoru (osim prvog) i predstavljajuredni broj čvorova u konturi.


49 Doroteja M.

43. Problem rutiranja vozila i pristupi njegovom rešavanju—grafovska interpretacija.Ukoliko se u problem rutiranja uključi ograničenje kapaciteta vozila tada se radi o problemurutiranja vozila sa ograničenim kapacitetom (Capacitated Venhicle Routing Problem- CVRP).Postoji flota identičnih vozila i korisnici sa svojim zahtevima. Vozila obilaze i opslužujuzadate lokacije. Cilj je da se pronađe rutiranje koje će minimizovati pređeno rastojanje.Ostvarenje ovog vilja ima kao preduslo sledeće:

1. Svaki čvor �� se posećuje tačno jedanput samo jednim vozilom,2. Svaka tura mora početi i završiti se u depou,3. Ture mopraju uključivati sve čvorove korisnika.

Ruta predstavlja sekvencu posećivanja čvora grafa. Da bi formulisali MM CVRP-a uvešćemo:

Zadat je kompletan graf G=(V,E), � � �� , čvor 0 označava depo; � � �� je skup čvorova bez depoa; Svakoj grani �� priduržena je vrednost (dužina,težina) ��; Svakom čvoru � � � pridružena je nenegativna težina ��; Q predstavlja kapacitet vozila i zbir težina na bilo kojoj ruti nesme biti veći od Q; Broj korisnika na svakoj ruti je ograničen sa P (u ovom slučaju se standardni problem

svodi na �� za � � �� t). Ograničenje na ukupnu dužinu rute: ukupna dužina rute je ograničena. Ova dužina se

dobija na osnovu vremena putovanja između gradova i vremena zadržavanja ugradovima.

Vremenski prozori: grad i treba da bude posećen u vremenskom intervalu ��ݎ apostoje zadržavanja u gradu i.

Odnosi prethođenja između parova čvorova, npr. i ne može biti posećen pre grada j.

Primer:

4

2

5

0

1

7

6

3

821

4

12

9

210

57

6 31

2

51213

8

14

9

25

1) Potrebno je konstruisati elementarne rute idobiti početno rešenje tako.

2) Izračunati rute i njihove dužine.3) Zatim izragunati moguće uštede

Nakon nekoliko koraka će se dobiti sledećerešenje (Zadatak 9, str 225 zbirka):

4

2

5

0

1

7

6

3

Sa funkcijom ciljaf=1+5+14+9+12+2+4+5+3=55


50 Doroteja M.

44. Problem rutiranja vozila i pristupi njegovom rešavanju—matematički model.

Funkcija cilja je uobičajena za grafovske optimizacione probleme:

�min��

��

Ograničenja treba da obezbede da po jedna grana završava u svakom čvoru i da po jednagrana polazi iz svakog čvora:

��

��

��

Potrebno je da ograničenja obezbede da se ne prekorači zadati kapacitet i da se zadovoljepotrebe svih korisnika:

l� h l� � �� h ��

Ovim ograničenjem se obezbeđuje i „eliminacija“ podkontura koje ne sadrže depo, a l� supomoćne realne promenljive dodeljene svakom čvoru (osim depoa) i predstavljaju ukupnupotražnju svih korisnika koji se nalaze na istoj turi do korisnika i.

Ako je promenljiva �� jednaka 1, grana (i,j) je uključena u rutu, u suprotnom �� je jednaka 0

��


51 Doroteja M.

45. Karakteristični problemi celobrojnog programiranja (generalno).Problem ranca.

Problem raspoređivanja: Rasporediti n ljudi na n poslova, svakog na po jedan posao,tako da produktivnost bude najveća. Poznata je produktivnost �� i-tog čoveka na j-tom poslu za �� . Model prestavlja problem binarnog programiranja:

�ݎ��

�

��

�

��

��

�

��

�

��

��

Pritom je �� samo ako je i-ti čovek raspoređen na j-ti posao.

Transportni problem: Treba transportovati robu iz skladišta �� do kupca�� tako da se zadovolji tražnja a da cena transporta bude minimalna. Poznatesu zalihe na skladištima ,�ݎ��ݎ��ݎ potražnje kupaca �� i cena �� transpostajednog komada robe od �� do �� za � � �� .

Pretpostavićemo da je ponuda jednaka tražnji

��

�

��ݎ ��

�

��

Neka je �� komad robe koji se transportuje od �� do ��. MM TP:

��

�

��

�

��

��

�

�� ݎ � � ��

�

��

�� t ��


52 Doroteja M.

Problem trgovačkog putnika: Trgovački putnik treba da obiđe n gradova. Naćiredosled obilaska tako da troškovi puta budu minimalni. Poznata je cena �� puta odgrada i do grada j za svako � � �� . Pretpostavićemo da je problemzatvoren (putnik mora da se vrati u grad iz koga je došao) i simetričan (cena puta odgrada i do grada j je ista u oba smera). Tako ćemo pretpostaviti da su svaka dva gradapovezana putem. MM odozgo.

Zadat je konačan skup � � o��o��o� . Nad elementima skupa E definisana jefunkcija w(e) takva da je �� . Dopustivi skup problema Kombinatorneoptimizacije se definiše kao podskup skupa ��, tj � �P(E). Drugim rečima, svakodopustivo rešenje � � � je zapravo � � �.Funkcija cilja problema KO je najčešće: � � � o��o�� 댳 optimizacioni problemKO se može zapisati:

�a쳌 � � �o��

��o�� p댳o댳��

Problem ranca: Za date predmete t��t��t� i t� za koje su nam poznati njihovavrednost i zapremnina, treba smestiti u ranac zadate maksimalne zaprimene 20 litara,tako da ukupna vrednost svih spakovanih predmeta treba da bude maksimalna. Akosvi zadati predmeti ne mogu da stanu u ranac, postavlja se pitanje koje predmeteponeti a koje izostaviti.

Skup elementa koji se mogu poneti: � � t��t��t� � t� .Vrednost dopustivih rešenja (ima dva podskupa koja su preko 20 litara):

z({})=0 z({t�})=60 z({t��t�})=130 z({t�, t�, t�})=180z({t�})=70 z({t�, t�})=150 z({t��t�})=140 z({t�� t��t�})=190z({t�})=80 z({t�, t�})=120 z({t��t�})=110 z({t�, t��t�})=200z({t�})=50 z({t��t�})=130 z({t�, t��t�})=210 z({t�, t��t��t�})=2

60Vrednost optimalnog rešenja je z({t�, t��t�})=210.

Vrednost [$] Max 70 80 50 60Zapremnina [1] 20 8 6 7 4

P1 P2 P3 P4

Zapremninapreko 20 (21i 25)


53 Doroteja M.

46. Metoda grananja i ograničavanja.

Osnovni pojmovi: Relaksacija – restrikcija; Gornja granica – donja granica; Grananje – odsecanje

Metod grananja i ograničavanja je jedan od opštih tehnika pretraživanja koja ne pretražujeone delove dopustivog skupa u kojima se, po proceni, ne nalazi rešenje bolje od već nađenog.Pretraga je sužena na „interesantne“ delove dopustivog skupa i efikasnija od totalne pretrage.Osnovna ideja metode grananja i ograničenja je „deoba i osvajanje“. Pošto je početni problemsuviše težak za direktno rešavanje on se deli na sve manje i manje potprobleme sve dok onine budu razrešeni. Grananje se vrši razbijanjem dopustivog skupa na podskupove, komeodgovara razbijanje početnog problema na potprobleme. Potproblem se smatra razrešenimako je njegovo optimalno rešenje celobrojno ili ako se proceni da njegovi dopustivi skup nesadrži optimalno rešenje polaznog problema. Razrešeni potproblemi se brišu iz skupapotproblema i po njima se ne vrši dalje granje.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6

z=20

��

��

��

��

Optimalno rešenjelinearne relaksacije (15/4, 9/9)

Koraci ove metode:Prvo se rešava metodom koja nije celobrojna, zatim sepostavljaju granice. Gorna granica ako je reč o max/ donja ako jereč o min. Nakon toga tražimo vrednost funkcije cilja koje nisumanje od vrednosti gornje granice za max (donje granice za min).Nakon pronalaska rešenja potrebno je proveriti da li su ispunjenisvi dati uslovi.


54 Doroteja M.

Pretpostavimo da smo probleme P1 i P2 dobili relaksiranjem

problema P3, )()()( *3

*2

*1 xfxfxf . Optimalno rešenje relaksiranog problema je jednako

dobro ili bolje od rešenja polaznog problema. Dodavanjem ogranicenja nekom problemu,rešenje može ostati jednako dobro ili postati gore od prethodnog.

Pretpostavimo da smo probleme P1 i P2 dobili relaksiranjem

problema P3 )()( *3

*13

*1 xfxfXx . Ako optimalno rešenje relaksiranog problema

zadovoljava sva ogranicenja polaznog problema, tada je ono optimalno rešenje polaznogproblema.

Ako za problem optimizacije (P3) )(max3

xfXx

važi:

1*1 Xx je optimalno rešenje relaksiranog problema i 33 Xx je dopustivo rešenje polaznog

problema, tada su )( *1xff i )( 3xff gornja i donja granica vrednosti optimalnog rešenja

polaznog problema.

Drugim recima: fxff )( *3 ; )()( *

3*1 xfxf - osobina 1 , )()( 3

*3 xfxf definicija

optimalnosti.


55 Doroteja M.

Upotreba granica: 1 Ako za neko dopustivo rešenje polaznog problema 33 Xx i optimalno

rešenje njegove relaksacije 1*1 Xx važi da je )()( *

13 xfxf (tj ff ) tada je x3 optimalnorešenje

polaznog problema. 2 Ako je vrednost relaksiranog rešenja u nekom čvoru stabla

pretraživanja manja ili jednaka od do tada nađene donje granice problema (tj. ff ), tadase celo podstablo tog stabla pretraživanja ciji je dati cvor koren, može eliminisati.

ispitna pitanja oi...(1)r-toograničenjeiz sedelisaݎ䁠;...

Documents