山 形 大 学 紀 要（ 自 然 科 学）

第 17 巻　第１号

ISSN 0513－4692

目　　　　次

井ノ口順一：A note on almost contact Riemannian 3-manifolds　…………………………（1）

平 成 22 年 ２ 月

山　　形　　大　　学

A note on almost contact Riemannian 3-manifolds

Jun-ichi Inoguchi ∗

(Received May 21, 2009)

Abstract

We investigate curvatures of normal almost contact Riemannian 3-manifolds.In particular, we show that Kenmotsu 3-manifolds of constant scalar curva-ture are of constant curvature −1.

Introduction

In [6], K. Kenmotsu introduced a class of almost contact Riemannian manifolds.The almost contact Riemannian manifolds introduced by Kenmotsu are calledKenmotsu manifolds. Kenmotsu showed that locally symmetric Kenmotsu man-ifolds are of constant curvature −1. This fact means that local symmetry is astrong restriction for Kenmotsu manifolds.

In stead of local symmetry, U. C. De [4] studied Kenmotsu manifolds M =(M ;ϕ, ξ, η, g) satisfying

ϕ2{(∇WR)(X,Y )Z} = 0(1)

for all X, Y , Z, W ∈ X(M) orthogonal to ξ. He showed that if M satisfies (1)for all vector fields on M , then M is Einstein. In dimension 3, De showed thata Kenmotsu 3-manifold M satisfies (1) for all vector fields orthogonal to ξ if andonly if M is of constant scalar curvature.

In this paper we point out that Kenmotsu 3-manifolds of constant scalarcurvature are of constant curvature −1. Thus De’s condition on Kenmotsu 3-manifolds implies local symmetry.

1 Preliminaries

Let (M, g) be a Riemannian manifold with Levi-Civita connection ∇. Denote byR the Riemannian curvature of M :

R(X,Y ) = [∇X ,∇Y ]−∇[X,Y ], X, Y ∈ X(M).

∗Department of Mathematical Sciences, Faculty of Science, Yamagata University

1

Bull. of Yamagata Univ., Nat Sci., Vol.17, No. 1, Feb. 2010

1

Here X(M) is the Lie algebra of all vector fields on M . A tensor field F of type(1, 3);

F : X(M)× X(M)× X(M) → X(M)is said to be curvature-like provided that F has the symmetric properties of R.For example,

(X ∧ Y )Z = g(Y, Z)X − g(Z,X)Y, X, Y ∈ X(M)(2)

defines a curvature-like tensor field on M . Note that the curvature R of a Rie-mannian manifold (M, g) of constant curvature c satisfies the formula R(X,Y ) =c(X ∧ Y ).

A Riemannian manifold (M, g) is said to be locally symmetric if ∇R = 0.Clearly every Riemannian manifolds of constant curvature is locally symmetric.

In dimension 3, the Riemannian curvature R is determined by the Ricci tensor.In fact, R is expressed as

R(X,Y )Z = ρ(Y, Z)X − ρ(Z,X)Y(3)+g(Y, Z)SX − g(Z,X)SY − s

2(X ∧ Y )Z,

where ρ is the Ricci tensor, S is the corresponding Ricci operator and s is thescalar curvature of M , respectively.

2 Almost contact Riemannian manifolds

Let M be an odd-dimensional manifold. An almost contact structure on M is aquadruple of tensor fields (ϕ, ξ, η, g), where ϕ is an endomorphism field, ξ is avector field, η is a one form and g is a Riemannian metric, respectively, such that

ϕ2 = −I + η ⊗ ξ, η(ξ) = 1,(4)

g(ϕX,ϕY ) = g(X,Y )− η(X)η(Y ), X, Y ∈ X(M).(5)An (2n + 1)-dimensional manifold together with an almost contact structure iscalled an almost contact Riemannian manifold (or almost contact manifold) .The fundamental 2-form Φ of M is defined by

Φ(X,Y ) = g(X,ϕY ), X, Y ∈ X(M).

If an almost contact Riemannian manifold (M ;ϕ, ξ, η, g) satisfies the condi-tion:

ρ = ag + bη ⊗ η(6)for some functions a and b, then M is said to be η-Einstein.

The formulae (3) and (6) imply the following result.

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Proposition 2.1 Let M be an η-Einstein almost contact Riemannian 3-manifold.Then its Riemannian curvature R is given by

R(X,Y )Z =2a− s

2

(X ∧ Y )Z − [(bξ) ∧ {(X ∧ Y )ξ}]Z.(7)

An almost contact Riemannian manifold M is said to be normal if it satisfies[ϕ,ϕ] + 2dη ⊗ ξ = 0, where [ϕ,ϕ] is the Nijenhuis torsion of ϕ.

Proposition 2.2 ([7]) An almost contact Riemannian 3-manifold is normal ifand only if there exist functions α and β such that

(∇Xϕ)Y = α{g(X,Y )ξ − η(Y )X}+ β{g(ϕX, Y )ξ − η(Y )ϕX}.(8)

We call the pair (α, β) of functions the type of a normal almost contact Rieman-nian 3-manifold M . More generally, an almost contact manifold of dimension2n+ 1 ≥ 3 is said to be trans-Sasakian if there exist functions α and β such that(8) (see [9]).

In particular, a normal almost contact Riemannian 3-manifold is said to be a

• Sasakian manifold if (α, β) = (1, 0),• Kenmotsu manifold if (α, β) = (0, 1),• coKähler manifold if (α, β) = (0, 0).Let (M ;ϕ, ξ, η, g) be a normal almost contact Riemannian 3-manifold. Then

from (4) and (8), we have

∇Xξ = −αϕX + β{X − η(X)ξ}, X, Y ∈ X(M).(9)

In particular we have ∇ξξ = 0. Hence on trans-Sasakian manifolds, integralcurves (trajectories) of ξ are geodesics.

Next, we consider η-Einstein normal almost contact Riemannian 3-manifolds.

Proposition 2.3 ([3]) Let M be a normal almost contact Riemannian 3-manifoldof type (α, β). Then M is η-Einstein if and only if

g(grad β − ϕgrad α,X) = 0

for all X ∈ X(M) orthogonal to ξ. In this case,

ρ = s

2+ dβ(ξ)− (α2 − β2)

g +

− s

2− 3dβ(ξ) + 3(α2 − β2)

η ⊗ η.

Corollary 2.1 The Riemannian curvature of a Sasakian 3-manifold is given by

R(X,Y )Z =s− 4

2(X ∧ Y )Z + s− 6

2[ξ ∧ {(X ∧ Y )ξ}]Z.

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A note on almost contact Riemannian 3-manifolds

3

Corollary 2.2 The Riemannian curvature of a Kenmotsu 3-manifold is given by

R(X,Y )Z =s + 4

2(X ∧ Y )Z + s + 6

2[ξ ∧ {(X ∧ Y )ξ}]Z.

Corollary 2.3 The Riemannian curvature of a coKähler 3-manifold is given by

R(X,Y )Z =s2[ξ ∧ {(X ∧ Y )ξ}]Z.

3 Kenmotsu 3-manifolds

Let (N,h, J) be a Riemannian 2-manifold together with the compatible orthogo-nal complex structure J . Take a direct product M = E1(t)×N of real line E1(t)and N . We denote π and σ the natural projections onto the first and secondfactors,

π : M → E1, σ : M → N,respectively. On the direct product M , we equip a Riemannian metric g definedby

g = dt2 + f(t)2π∗h.

Here f is a positive function on E1(t). The resulting Riemannian manifold (M, g)is denoted by E1 ×f N and called the warped product with base E1 and fibre N .The function f is called the warping function.

On the warped product M = E1×f N , we define the vector field ξ by ξ = ∂∂t .Then the Levi-Civita connection ∇ of M is given by (cf. [8]):

∇XvYv = (∇XY )v −

1fg(Xv, Y v)f ξ,

∇ξXv = ∇Xvξ =f

fX

v,

∇ξξ = 0.

Here the superscript v means the vertical lift operation of vector fields from Nto M . Define ϕ by ϕX = {J(σ∗X)}v. Then we get

∇Xξ = β(X − η(X)ξ),

(∇Xϕ)Y = β{g(ϕX, Y )− η(Y )ϕX}, β = f /f.Hence M = E1 ×f N is a normal almost contact Riemannian 3-manifold of type(0, β). In particular E1×f N is a Kenmotsu manifold if and only if f(t) = cet forsome positive constant c. Take a local orthonormal frame field {ē1, ē2} of (N,h)such that ē2 = Jē1. Then we obtain a local orthonormal frame field {e1, e2, e3}by

e1 =1fēv1, e2 =

1fēv2 = ϕ e1, e3 = ξ.

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Then sectional curvatures of M are given by

K(e1 ∧ e2) = 1f2{κ− (f )2}, K(e1 ∧ e3) = K(e2 ∧ e3) = −f

f,

where κ is the Gaussian curvature of N . The Ricci tensor components ρij =ρ(ei, ej) are given by

ρ11 = ρ22 =κ

f2− f

f−

f

f

2, ρ33 = −2f

f

The local structure of Kenmotsu manifolds is described as follows.

Lemma 3.1 ([6]) A Kenmotsu 3-manifold M is locally isomorphic to a warpedproduct I ×f N whose base I ⊂ E1(t) is an open interval, N is a surface andwarping function f(t) = cet, c > 0. The structure vector field is ξ = ∂/∂t.

Proposition 3.1 A Kenmotsu 3-manifold is of constant scalar curvature if andonly if M is of constant curvature −1.(Proof.) For every point p ∈ M , there exists a neighbourhood Up of p such thatUp is a warped product (−, )×f N of an open interval (−, ) and a Riemannian2-manifold of Gaussian curvature κ with warping function f(t) = cet. The scalarcurvature s over Up is computed as

s|Up = −6 + 2κc−2e−2t.

Thus the differential ds is computed as

12ds = c−2e−2tdκ− 2κc−2e−2tdt.

Hence ds = 0 if and only if κ = 0. This implies that Up is of constant curvature−1.

Corollary 3.1 A Kenmotsu 3-manifold satisfies the condition (1) for all X, Y ,Z, W ∈ X(M) orthogonal to ξ if and only if M is locally symmetric.(Proof.) De [4] showed that M satisfies (1) for all X, Y , Z, W ∈ X(M) orthogonalto ξ if and only if M is of constant scalar curvature. As we have seen above, Mis of constant scalar curvature if and only if M is of constant curvature −1.

Note that all the examples of Kenmotsu 3-manifold exhibited in [4, Example5.1, 5.2, 5.3] are of constant curvature −1.

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References

[1] D. E. Blair, Contact Manifolds in Riemannian Geometry, Lecture Notes inMath. 509 (1976), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York.

[2] D. E. Blair, Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds,Progress in Mathematics, 203, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, 2002.

[3] J. T. Cho, J. Inoguchi, and J. E. Lee, Pseudo-symmetric contact 3-manifoldsIII, Coll. Math. 114 (2009), 77–98.

[4] U. C. De, On Φ-symmetric Kenmotsu manifolds, Int. Elec. J. Geom. 1 (2008),33-38.

[5] D. Janssens and L. Vanhecke, Almost constant structures and curvaturetensors, Kōdai Math. J. 4 (1981), 1–27.

[6] K. Kenmotsu, A class of almost contact Riemannian manifolds, TôhokuMath. J. 24 (1972), 93–103.

[7] Z. Olszak, Normal almost contact metric manifolds of dimension three, Ann.Pol. Math. 47 (1986), 41–50.

[8] B. O’Neill, Semi-Riemannian Geometry with Application to Relativity, Aca-demic Press, Orland, 1983.

[9] J. A. Oubiña, New classes of almost contact metric structures, Publ. Math.Debrecen 32 (1985), 187–193.

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山形大学紀要（自然科学）投稿規程

　この規程は、山形大学紀要（自然科学）（以後「自然科学編」と略す）への投稿

に必要な事項を定めるものである。

（2007 年 12 月 19 日改訂）

１．名称及び発行

　山形大学紀要（自然科学）〔Bulletin of Yamagata University（Natural Science）〕

と称し、毎年１回、２月に発行し、４号分をもって１巻とする。

２．投稿資格

⑴　「自然科学編」へ投稿できる者は、本学教職員であることを原則とする。

ただし、停年退職した教員及び現在非常勤講師として本学に相当年数勤務し、

編集委員会において適当と認めた者については、投稿を認める。

⑵　本学教職員以外の者との共同研究については、本学教職員が共同執筆者で

ある場合に限り、投稿を認める。

⑶　本学の大学院学生及び大学院研究生で、編集委員会において適当と認めた

者については、投稿を認める。

３．投稿記事とその種類

自然科学に関する記事で、「自然科学編」編集委員会が適当と認めたもの。その

種類は次のとおりとする。なお、他誌との二重投稿は認めない。

　　⑴　原著論文

　　⑵　総説

　　⑶　資料

　　⑷　その他（編集委員会が適当と認めたもの）

４．使用言語及び版組

　　和文または欧文とする。大きさはＡ４判とし、段組は横一段または横二段とする。

５．原稿の制限

⑴　本文、図・表等を含めた刷り上がり総ページが、欧文 21 ページ、和文 35 ペー

ジ内とする。なお、図版や図・表の１つの大きさは、原則として１ページを超

えないものとする。

⑵　前項の制限を超える原稿は、編集委員会が適当と認めた場合に限り、受理

されることがある。

山形大学紀要（自然科学）投稿規程

　　⑶　カラー印刷等の特殊な印刷も可能とする。

６．原稿の作成

　　別に示す「紀要 ( 自然科学 ) 論文原稿作成上の注意」により作成する。

７．原稿の提出

⑴　完成した原稿については、２部のコピーを作り、計３部を小白川事務部小

白川図書ユニット図書チーム（総務担当）に提出する。このとき、受付日・時

間を明記した受領書を受け取る。

⑵　「自然科学編」の原稿の受付けは常時行うが、各年度の原稿提出の区切りは、

６月１日とする。

８．記事の掲載の可否

⑴　原著論文については、編集委員会は２名の査読者に審査を依頼する。原著

論文以外の記事については、編集委員会が必要と認めた場合は同様に審査依頼

する。審査の結果必要ならば、編集委員会は原稿の修正等を求めることができる。

⑵　掲載の可否は編集委員会が決定する。

９．校正

⑴　校正は、著者の責任において２日以内に行い、再校までで校了するように

努力すること。

⑵　校正は、誤字、脱字等の訂正を原則とする。なお、大幅な訂正が不可欠な

場合は、編集委員会の許可を得るものとし、それに伴う経費は著者負担とする。

⑶　冊子、表紙、標題、著者名、号巻数、および柱（欄外見出し）などの体裁

に関する部分は、編集委員会の責任において調整する。

10．掲載の経費及び別刷りについて

⑴　掲載に要する経費は、制限内のページ数であれば、原則として無料とする。

⑵　別刷り 100 部までは無料とする。ただし、予算額に不足が生じた場合は、

著者の負担とする。

⑶　制限ページを超過した場合の印刷経費、及びカラー印刷等の特殊な印刷に

要する経費は、原則として著者の負担とする。

11．出版権の許諾

　　論文を投稿する者は、山形大学に対し、当該論文に関する出版権の利用につき

　許諾するものとする。

　　　　掲載された論文等は、原則として電子化し、図書館ホームページ及び機関

　　リポジトリ等を通じてコンピュータ・ネットワーク上に公開する。

紀要（自然科学）論文原稿作成上の注意

Ⅰ．原稿の記述は表題、 執筆者名、 欧文要旨（Abstract）、本文および文献の順序

　とする。執筆者の所属は第１ページの脚注に記述する。（Ⅳ . ４）参照）

　1)　和文の場合

　　　電子機器を用いて作成する場合は、A4 判、横書き（40 行× 40 行）で、手書き

　　の場合は山形大学紀要規定の原稿用紙を用いること。文章は新しい国語表記に

　　より、できるだけ常用漢字を使用する。欧文要旨は本文の前に記載し、10 ない

　　し 20 行程度以内まとめ、Abstract という見出しをつける。

　2)　欧文の場合

　　　A4 判用紙の片面に、周囲約３㎝の空白を残して２段送りにプリントすること。

　　欧文要旨は本文の前に記載し、10 ないし 20 行程度以内にまとめ Abstract という

　　見出しをつける。ただし執筆者の希望によっては、欧文要旨はつけなくてもよい。

Ⅱ．原稿には表紙をつけ、それに投稿する紀要名（自然科学）、論文表題、執筆者名、

　所属、欄外見出し用の略題（和文：30 字以内、欧文：スペースを入れて 60 字以内）、

　原稿枚数（表紙を除く）、また表、図がある場合はそれらの枚数を列記する。な

　お手書きの場合、使用する特殊な活字・字体（ギリシャ文字、ドイツ文字、イタリッ

　ク、ローマン等）があるときはその旨付記すること。

　表紙をつけた論文原稿（オリジナル）とそのコピー２部を作成すること。

Ⅲ．表および図について

　1)　表および図は、一つずつ別紙に、直接版下として使用できる品質で描くこと。

　　各葉に表または図の説明をつけ、第○表、第○図、執筆者名を付記すること。

　2) 図面の大きさは刷り上がり寸法の 1.5 ～３倍とし、それぞれ希望縮尺を記入す

　　ること。

　3)　方眼紙を用いる場合は、淡青色のものに限る。

　4)　本文中の原稿用紙の右側余白に、その図および表のはいる箇所を赤色の字で

　　記入すること。

Ⅳ．文献について

　1)　文献の記述は次の形式とする。雑誌は、執筆者名、表題（省略可）、雑誌名、

紀要（自然科学）論文原稿作成上の注意

　　巻数または号数、ページ、発行年を記載する。単行本は、執筆者名、題目、発

　　行所名、発行場所、発行年を記載する。

　2)　雑誌の略記は学会の慣例などによること。

　3)　文献の引用記号は、自由形式とするが、通し番号の場合もそうでない場合い

　　ずれも［　］で表す。

　　（例１）

　　［1］伊藤昭，密度効果とこみあい効果，生物科学，25，35-42，1973.

　　［2］Ｂ . Maskit， Decomposition of certain Kleinian groups， Acta Math.，（302），

　　　43-263，1973．

　　［3］朝永振一郎，量子力学，みすず書房，東京，1965．

　　（例２）

　　［LOP 47］C． M． G． Latters， G． P． S． Occhialini， and C． F． Powell， Nature 160，

　　　　453-455，1947．

　　［Weh73］B． A． F． Wehrfrtz， In nite Linear Groups， Springer， Berlin，1973．

　　（例３）

　　［Davis 1983］Davis， J． H.， Biochim． Biophys． Acta， 737，117，1983．

　　［Janiak et al． 1979］Janiak， M． J.， D． M． Small and G． G． Shipley， J．

　　　　　Biol． Chem.， 254，6068，1979．

　4)　文献でない備考・注などは、＊、＊＊などを右肩につけ説明を脚注とし、そ

　　の原稿用紙の下部に書くこととするが、本文中の脚注による記述は可能な限り

　　さけること。

Ⅴ．最終原稿の調整

　1)　掲載が決定した原稿は、フロッピーディスクに記録して提出することができ

　　る。

　2)　印刷にそのまま使用する版下を作成し、提出することもできる。ただし、編

　　集委員会において、印刷後の体裁・品質等が従来の印刷と比べて同等と認めら

　　れるものに限る。

山形大学紀要（自然科学）編集委員会

　　委　員　　丹　野　憲　昭　※　　委　員　　加　藤　良　清　　委　員　　鈴　木　利　孝　　　　　　　　※　編集責任者

平成22年２月８日　印刷平成22年２月15日　発行

編集者 山 形 大 学　　発行者山形市小白川町１丁目４－12

印刷所　　　　 仙台市青葉区上杉３丁目１－７　　　　　　　　　株式会社鎌田プリント

BULLETIN

OF

YAMAGATA UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE）

Vol. 17　No. 1

Published byYAMAGATA UNIVERSITY, YAMAGATA, JAPAN

FEBRUARY 2010

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