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Dr. Uwe Waschatz
�Statistische Versuchsplanung -zuverlässiger und schneller zu Ergebnissen"
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r. 2
Inhalt
Problembeschreibung
Multiple lineare Regressionsanalyse
Anwendungen für Verbrennungsmotoren
Zusammenfassung
Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE)
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Inhalt
Problembeschreibung
Multiple lineare Regressionsanalyse
Anwendungen für Verbrennungsmotoren
Zusammenfassung
Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE)
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• Analysieren der Einflüsse durch Simulation
• Bauteile optimieren
• Funktionen applizieren und prüfen
• Einhaltung der gesetzlichen Vorschriften überprüfen
• Betriebsfestigkeit prüfen
• . . .
Versuche im Entwicklungsprozess eines Motors
Ziel: Ermittlung der Zusammenhänge
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3-dimensionaler Parameterraum, noch anschaulich
Faktor 1
Fakt
or 3
Faktor 2
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Beispiel:3 Einflussgrößen mit 5 einstellbaren Stufen:
125 mögliche Messpunkte.
Graphische Darstellung der Ergebnisse:5 Kennfelder für eine oder mehrere Zielgrößen.
3-dimensionaler Parameterraum, noch anschaulich
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Steuerzeit Einlass
0
5
10
15
20
25
30
35Steuerzeit Auslass
-29
-29
-29-29
-29
-28.5
-28.5
-28.5
-28
-28
-27.5
-27.5
-27-26.5
Berechnetes eff. Drehmoment
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6-dimensionaler Parameterraum
???Darstellung und Verständnis ist nur mit Hilfe mathema-tischer Methoden (z. B. Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments, DoE) möglich.
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6-dimensionaler Parameterraum
Beispiel:6 Einflußgrößen mit 5 einstellbaren Stufen:
15625 mögliche Meßpunkte.
Graphische Darstellung der Ergebnisse:625 Kennfelder für eine oder mehrere Zielgrößen.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Steuerzeit Einlass
0
5
10
15
20
25
30
35
Steuerzeit Auslass
-29
-29
-29-29
-29
-28.5
-28.5
-28.5
-28
-28
-27.5
-27.5
-27-26.5
Berechnetes eff. Drehmoment
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Inhalt
Problembeschreibung
Multiple lineare Regressionsanalyse
Anwendungen für Verbrennungsmotoren
Zusammenfassung
Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE)
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Prozeß,System
Eingangsgrößenx
Ausgangsgrößeny
Störgrößenz
.
.
.
.
.
.
x1x2x3
xn-2xn-1xn
y1y2
yn-1yn
Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Ein- und Ausgangsgrößen?
Realität: y = f (x) + ε f: beliebig komplexe, i. d. R. unbekannte Funktionx: Vektor der Eingangsgrößen xiε : Meßfehler / Prozeßrauschen
Multiple lineare RegressionModellvorstellung
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Realität: y = f (x) = f (x1, x2, ..., xn)Fehler: e = y - y
Mathematisches Modell y = g (x) =g (x1, x2, . . . xn)
Näherungsansatz bei der multiplen linearen Regression:
^
^
Multiple lineare RegressionPolynome als Näherungsansätze
Strategie zur Bestimmung der Regressionskoeffizienten aijMinimierung des mittleren quadratischen Modellfehlers:
Q = Σ ei2 =Σ (yi - yi)2 n = Anzahl der Messungen
i=1
n n
i=1^
y = a0 + Σ aixi + ΣΣ aijxixj + Σ aiixi2 + ...
i=1i < j
i=1 j=1
k
i=1
k k k
KonstanteHaupteffekte zweifach
Wechselwirkungenquadratische
Effekte
Effekte höhererOrdnung
^
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0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20 25 30 35
Zündwinkel [Grad KW]
Dre
hmom
ent
[Nm
]
yi
yiAnpassung:Mittels �Methode der kleinsten Fehlerquadrate� Sie minimiert die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen Messwerten und Modellwerten (Residuen-Quadratsumme).
Bezeichnungen:yi: i-te Messung (hier Drehmoment)yi: prognostizierter Wert der i-ten Messungei: Residuum der i-ten Messung ei = yi - yi
= Regressionsmodell= Messwerte
Multiple lineare RegressionBeispiel 2. Ordnung
y = 58.1+59.2*ZW-40.8*ZW2
R2 = 0.9695
ei
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Least Squares Coefficients, Response MD,
Term Coeff. Std. Error T-value Signif.-------------------------------------------------------1 1 58.125974 2.5228852 ~ZW 59.153680 4.5095203 ~ZW**2 -40.800866 7.460805 -5.47 0.0016
Term Transformed Term----------------------------------1 12 ~ZW ((ZW-1.5e+01)/1.5e+01)3 ~ZW**2 ((ZW-1.5e+01)/1.5e+01)**
No. cases = 9 R-sq. = 0.9695 RMS Error = 5.237Resid. df = 6 R-sq-adj. = 0.9593 Cond. No. = 3.499~ indicates factors are transformed.
Modell mit statistischen Kenngrößen
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Multiple lineare RegressionResiduendarstellung zur Beurteilung der Modellqualität
-5-4 -3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Resid Ziegröße
0
2
4
6
8
Freq
uenc
y
-5 0 5 10Resid Zielgröße
-4
-2
0
2
4
Qua
ntile
AusreißerAusreißer
Histogramm Propability Plot
Resid. Zielgröße Resid. Zielgröße
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Inhalt
Problembeschreibung
Multiple lineare Regressionsanalyse
Anwendungen für Verbrennungsmotoren
Zusammenfassung
Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE)
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Im rechten Fall hat Rauschen weniger Einfluss auf die Steigung, d.h. der Koeffizient kann robuster geschätzt werden.
Wie müssen die Versuchspunkte verteilt werden, um die Steigung βeiner Geraden gut zu schätzen?
VersuchsplanungAuswahl von Versuchspunkten
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Faktor 1Fa
ktor
3Faktor 2
Faktor 1
Fakt
or 3
Faktor 2
Faktor 1
Fakt
or 3
Faktor 2
Faktor 1
Fakt
or 3
Faktor 2
Versuchspläne
Teilfaktorieller Plan
D-optimaler PlanZentral zusammengesetzter Plan
Vollfaktorieller Plan
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� Schlechte Strategie (klassisch):� Der verbleibende Versuchsraum wird
weiter so reduziert, dass ein klassischer Versuchsplan angewendet werden kann.
� Dabei gehen möglicherweise sehr wichtige Regionen des Versuchs-bereiches verloren.
� Gute Strategie (d-optimal):� Der verbleibende Versuchsraum wird
gleichmäßig ausgeleuchtet.
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
Faktor 1
Fakt
or 2
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
Faktor 1Fa
ktor
2
Vorgehen bei AusschlussbereichenKlassischer und D-optimaler Versuchsplan
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Wie sollen diese Versuche aus den3k möglichen ausgewählt werden?
Bei k Faktoren mit jeweils . . . k=4 k = 10müssen zur Berechnung ...
• der linearen Haupteffekte k +1 5 11• der 2-Faktor-Wechselwirkungen k x (k-1)/2 6 45• der quadratischen Effekte k 4 10• der Versuchsvarianz (>=1) 5 5
... Versuche mindestens durchgeführt werden 20 71
81 59049
Design, Anzahl der Versuche
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Inhalt
Problembeschreibung
Multiple lineare Regressionsanalyse
Anwendungen für Verbrennungsmotoren
Zusammenfassung
Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE)
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Schleppmoment
Einflussfaktoren:
Drehzahl
Rel. Luftmasse
Zielgröße:
(Temperatur)
Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors
Md = a0 + a1 *RL + a2 *DRZ + a3 *RL*DRZ + a4 *RL2 + a5 *DRZ2
Modellgleichung (quadratischer Ansatz)
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Modell 2. OrdnungLeast Squares Coefficients, Response EFFMOMT, Model DESIGN__COPY
Term Coeff. Std. Error T-value Signif.----------------------------------------------------------1 1 -12.595422 0.263847 -47.74 0.00012 ~RL_W 1.758488 0.262878 6.69 0.00013 ~DRZ -3.839437 0.265696 -14.45 0.00014 ~RL_W*DRZ -1.543383 0.366582 -4.21 0.00155 ~DRZ**2 -1.913154 0.358525 -5.34 0.0002
Term Transformed Term-------------------------------------1 1
2 ~RL_W ((RL_W-5.5875e+01)/4.3873 ~DRZ ((DRZ-2.8e+03)/2.1e+03)4 ~RL_W*DRZ ((RL_W-5.5875e+01)/4.3875 ~DRZ**2 ((DRZ-2.8e+03)/2.1e+03)*
No. cases = 16 R-sq. = 0.9709 RMS Error = 0.6197Resid. df = 11 R-sq-adj. = 0.9604 Cond. No. = 3.317~ indicates factors are transformed.
Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors
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r. 23
1000 2000 3000 4000 5000-22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
Drehzahl [U/min]
RL_W=20RL_W=70
Modellergebnis (2. Ordnung) mit 95% VertrauensintervallBeispiel 1: Schleppmoment eines Motors
Dremoment [Nm]
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0 2 4 6 8 10 12 14 16-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
+
+
+
+
+
+
++
+
+ +
+
+
+
++
Residual
Case Number
Beispiel 1: Analyse der ModellschwächeResiduen über Reihenfolge der Messung
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Residuen über rel. Luftmasse
10 20 30 40 50 60 70 80 90-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Stud.
RESIDUAL
of
EFFMOMT
rel. Luftmasse [%]
Beispiel 1: Analyse der Modellschwäche
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Beispiel 1: Analyse der Modellschwäche
0 1000 2000 3000 4000 5000-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Stud.
RESIDUAL
of
EFFMOMT
Drehzahl [U/min]
Residuen über Drehzahl
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Schleppmoment
Einflussfaktoren:
Drehzahl
Rel. Luftmasse
Zielgröße:
(Temperatur)
Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors
Md = a0 + a1 *RL + a2 *DRZ + a3 *RL*DRZ + a4 *RL2 + a5 *DRZ2 + a6*DRZ3 + a7*DRZ4
Modellgleichung (quadratischer Ansatz)
Modell 4. Ordnung
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Modell 4. Ordnung
Least Squares Coefficients, Response EFFMOMT, Model ERW1__CO
Term Coeff. Std. Error T-value Signif.----------------------------------------------------------1 1 -12.831851 0.107502 -119.36 0.00012 ~RL_W 1.786280 0.117826 15.16 0.00013 ~DRZ -5.624455 0.335564 -16.76 0.00014 ~RL_W*DRZ -1.494257 0.164363 -9.09 0.00015 ~DRZ**3 2.208529 0.355232 6.22 0.00016 ~DRZ**4 -1.938206 0.146647 -13.22 0.0001
No. cases = 16 R-sq. = 0.9947 RMS Error = 0.2775Resid. df = 10 R-sq-adj. = 0.9921 Cond. No. = 8.314~ indicates factors are transformed.
Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors
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Dr.
U. W
asch
atz
2003
-09-
18N
r. 29
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
Dre
mom
ent [
Nm
]
Drehzahl [U/min]
RL_W=20RL_W=70
Modellergebnis (4. Ordnung) mit 95% VertrauensintervallBeispiel 1: Schleppmoment eines Motors
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2003
-09-
18N
r. 30
Contourplott (Kennfeld für das Schleppmoment)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
20
40
60
80
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
-18-17-16-15-14
-14
-13 -13
-13-12
-12
-11
-11
-10
-10
-9-8
rel.
Luftm
asse
[%]
Drehzahl [U/min]
Drehmoment [Nm]
Beispiel 1: Schleppmoment eines Motors
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-09-
18N
r. 31
� Motordrehzahl 10� Füllung 10� Zündwinkel 10� Kraftstoff-Luft-Verhältnis 5 � Steuerzeit Einlassnockenwelle 8 � Steuerzeit Auslassnockenwelle 5
Einflussgrößen eines 4-Ventil Ottomotors Einstellungen
Beispiel 2: Motorapplikation
Aus den erforderlichen Einstellungen für die Einflussgrößen ergibt sich ein Raum mit über 200.000 Gitterpunkten
Bei Anwendung der statistischen Versuchsplanung werden nur 400 Messpunkte benötigt
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r. 32 Drehmoment
Rel. Füllung
Einflussfaktoren:
ZündwinkelDrehzahlSteuerz. Einlassw.Steuerz. Auslassw.
Zielgrößen (Zi):
Saugrohrdruck Verbrauch
Lambda
Aufgabe 1: Applikation des Steuergerätes(z. B. Momentenschnittstelle)
. . . .
Analyse und Optimierung eines Motors Beispiel 2: Motorapplikation
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18N
r. 33 Saugrohrdruck
Drehmoment
Rel. Füllung
Einflussfaktoren:
ZündwinkelDrehzahlSteuerz. Einlassw.Steuerz. Auslassw.
Zielgrößen (Zi):
Verbrauch
Lambda
Aufgabe 2: Optimierung des Verbrauchsund der Emissionen
. . . .
Analyse und Optimierung eines Motors Beispiel 2: Motorapplikation
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18N
r. 34 Drehmoment
Saugrohrdruck
Rel. Füllung
Einflussfaktoren:
ZündwinkelDrehzahlSteuerz. Einlassw.Steuerz. Auslassw.
Zielgrößen (Zi):
Verbrauch
Lambda
Aufgabe 3: Optimierung der Vollast
. . . .
Analyse und Optimierung eines Motors Beispiel 2: Motorapplikation
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r. 35
Beispiel 2: MotorapplikationWirkung der Einflussgrößen
0
50
100
150
Md [Nm]102.526
+/-7.97137
2000 6000Drehzahl
0.80.9 1 1.1Lambda
400 800Saugrohr-
druck
5 10 15 20SteuerzeitAuslass
10 20 30 40Steuerzeit
Einlass
0 20 40Zünd-winkel
2000 1 663.037 17.7999 22.01 15.8076
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r. 36
Welchen Einfluß haben die Parameter:
DrehzahlLastDüse (2 Varianten)SpritzbeginnAbgasrückführrate (AGR)Ladedruck
auf die Zielgrößen:
Verbrauch, Stickoxide, Rußzahl . . .
in einem Teillastpunkt
Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen DieselmotorAufgabenstellung
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r. 37
Düsenvergleich beim Dieselmotor
übliches Vorgehen �Statistische Versuchsplanung�
� ca. 6250 Messpunkte pro Düse
� Reduzierung des Versuchsaufwandsdurch Beschränkung (keine AGR,keine Variation des Ladedrucks)
ev. nur lokales Optimum erfaßt;Fehlentscheidungen möglich
� wenige Messpunkte pro Düse (60)
� Messung im gesamten Parameterraum
� mathematisches Modell
globales Optimum wird erfaßt
Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen DieselmotorVergleich des Aufwandes
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r. 38
Ergebnis an einem Betriebspunkt:
Düse a: Düse b:
Rußzahl [% v. Zielwert]: 55 45Stickoxide [g/h] : 48 55
Düse a ist besser als Düse b
Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen DieselmotorUntersuchungen mit festem Ladedruck und ohne Abgasrückführung
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r. 39
klein mittel groß0
50
100
150
200
250
Düse=aDüse=b
Betriebspunkt:n = 2000 min -1MD = 30Nm, PL = 1,1 bar, SB = -10 Grad KW
Ruß
zahl
[Pro
zent
v. Z
ielw
ert]
Abgasrückführrate
Ruß - Zielwert
Rußzahl über Abgasrückführrate (Modell) Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor
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r. 40
10
20
30
40
50
60
70N
Ox
[g/h
]
Düse=aDüse=b
Betriebspunkt:n = 2000 min -1MD = 30Nm, PL = 1,1 bar, SB = -10 Grad KW
klein mittel groß
Abgasrückführrate
Stickoxide über Abgasrückführrate (Modell)
Ruß (Düse a) = 100%
Ruß (Düse b) = 100%
Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor
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r. 41
Ergebnis an einem Betriebspunkt:
Düse a: Düse b:
Rußzahl [% v. Zielwert]: 100 100Stickoxide [g/h]: 29 23
Düse b ist besser als Düse a
Untersuchung im vollständigen Parameterraum Beispiel 3: Bauteiloptimierung für einen Dieselmotor
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r. 42
Inhalt
Problembeschreibung
Multiple lineare Regressionsanalyse
Anwendungen für Verbrennungsmotoren
Zusammenfassung
Statistische Versuchsplanung / Design of Experiments (DoE)
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r. 43
Zusammenfassung
�Statistische Versuchsplanung� bewirkt:
� Reduzierung des Versuchsaufwands um den Faktor 10 bis 100(Verkürzung der Entwicklungszeit)
� Überwachung der Messqualität
� Erkennen von Wechselwirkungen in mehrdimensionalenParameterräumen
� Verstehen der Zusammenhänge