istituto professionale di stato per i servizi commerciali turistico alberghieri e della ristorazione...
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ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO
ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE
Lavoro svolto da Lizzi Fabrizia
Anno scolastico 2008/2009
• Introduzione
• Definizione di limite, definizione topologica e grafico
•Definizione limite destro e limite sinistro e grafico
Per limite di una funzione Y = f(x) per X tendente ad un certo valore che indichiamo con X0, si intende il valore che
la funzione tende a raggiungere quando alla variabile indipendente X attribuiamo i valori che si avvicinano sempre
più a X0.
Lim f(x)= Lx→xo
Una funzione ammette limite L per x→xo quando, preso un qualsiasi
intorno di L, esiste almeno un intorno di xo, per tutte le x del
quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto
intorno di L.
∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL
Y
a
l
0 a X0 b X
Una funzione ammette limite L per x→ + quando, preso un qualsiasi
intorno di L, esiste almeno un intorno di +, per tutte le x del
quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto
intorno di L.
∀ILƎI+:f(I+)CIL
Lim f(x)= Lx→ +
0 X
Y
Il
l
+
Una funzione ammette limite L per x→ - quando, preso un qualsiasi
intorno di L, esiste almeno un intorno di -, per tutte le x del
quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto
intorno di L.
∀ILƎI-:f(I-)CIL
Lim f(x)= Lx→ -
Y
X
0
-
Il l
Una funzione ammette limite L per x→ quando, preso un qualsiasi intorno di L, esiste
almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di L.
∀ILƎI :f(I )CIL
Lim f(x)= Lx→
Y
X0
I - I +
Una funzione ammette limite + per x→ xo quando, preso un
qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di xo, per tutte
le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti
nel predetto intorno di +.
∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+
Lim f(x)= +x→xo
I xo
0
Y
X
I +
Una funzione ammette limite + per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste
almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +.
Lim f(x)= +x→ +
∀I+ƎI+:f(I+)CI+
Y
X0
I +
I +
Una funzione ammette limite + per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di +, esiste
almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di +.
∀I+ƎI-:f(I-)CI+
Lim f(x)= +x→ -
0X
Y
I +
I -
Una funzione ammette limite + per x→ quando, preso un
qualsiasi intorno di +, esiste almeno un intorno di , per tutte
le x del quale i corrispondenti valori di f(x) sono tutti contenuti
nel predetto intorno di +.
∀I+ƎI:f(I)CI+
Lim f(x)= +x→
0
I +
I +I -
Y
X
Una funzione ammette limite - per x→ xo quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste
almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -.
∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI-
Lim f(x)= -x→ xo
0
Y
Xxo
I xo
I -
Una funzione ammette limite - per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste
almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -.
∀I-ƎI+:f(I+)CI-
Lim f(x)= -x→ +
Y
X0
I -
I +
Una funzione ammette limite - per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste
almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -.
∀I-ƎI-:f(I-)CI-
Lim f(x)= -x→ -
Y
X0
I -
I -
Una funzione ammette limite - per x→ quando, preso un qualsiasi intorno di -, esiste
almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di -.
∀I-ƎI:f(I)CI-
Lim f(x)= -x→
Y
X0
I -
I -
I +
Una funzione ammette limite per x→ xo quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste
almeno un intorno di xo, per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di .
∀IƎIxo:f(Ixo)CI
Lim f(x)= x→ xo
Y
X0
I -
I +
I xo
Una funzione ammette limite per x→ + quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste
almeno un intorno di +, per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di .
∀IƎI+:f(I+)CI
Lim f(x)= x→ +
X
Y
0
I +
I -
I -
Una funzione ammette limite per x→ - quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste
almeno un intorno di -, per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di .
∀IƎI-:f(I-)CI
Lim f(x)= x→ -
Y
X 0
I +
I -
Una funzione ammette limite per x→ quando, preso un qualsiasi intorno di , esiste
almeno un intorno di , per tutte le x del quale i corrispondenti
valori di f(x) sono tutti contenuti nel predetto intorno di .
∀IƎI:f(I)CI
Lim f(x)= x→
Y
X
0
I -
I -
I +
I +
Essendo L1≠L2 diremo che per x→xo contemporaneamente da destra e da sinistra, la
funzione non presenta un unico limite.Una funzione può ammettere un certo limite per
x→xo quando esiste il limite destro, esiste il limite sinistro e i due valori sono coincidenti.
Y
X0
Y= f(X)n
m
a xo
I xo
I n
Y
X0
Y= f(X)
L2
L1
f (xo) = n
a xo b
I xo
I L2
• Introduzion
• Definision di limits, definision topologiche e grafiche
• Definision di limit diestri e sinistri e grafiche
Par limit di une funzion Y = f(x) par X tindint a un cert valôr che indichin cun X0, si intindt il valôr che le funzion tind a raggiungi cuànt a le variabile indipendent X e attribuin i
valôrs che si avisinin simpri di pui a X0.
Lim f(x)= Lx→xo
∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL
Une funzion e amet el limit L par x→ xo cuànd, cjapat un cualsiasi
intorn di L, esist amàncul un intorn di xo, par dutes les x dal qual i
corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L.Y
a
l
0 a X0 b X
Lim f(x)= Lx→ +
∀ILƎI+ :f(I+)CIL
Une funzion e amet el limit L par x→ + cuànd, cjapat un cualsiasi
intorn di L, esist amàncul un intorn di +, par ducje le x del
qual i corrispondents valôrs di f(x) e son ducj tal predet intorn di L.
0 X
Y
Il
l
+
Lim f(x)= Lx→ -
∀ILƎI- :f(I-)CIL
Une funzion ammet limit L par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di L, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del
qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di L.
Y
X0
-
Il l
Lim f(x)= Lx→
∀ILƎI:f(I)CIL
Une funzion ammet limit L par x→ cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di L, esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son
ducj nel predet intorn di L.
X0
I - I +
Y
Lim f(x)= + x→ xo
∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+
Une funzion ammet limit + par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un
intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son
ducj nel predet intorn di +.
I xo
0
Y
X
I +
Lim f(x)= + x→ +
∀I+ƎI+:f(I+)CI+
Une funzion ammet limit + par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di +, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del
qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di +.Y
X
I +
I +
0
Lim f(x)= + x→ -
∀I+ƎI-:f(I-)CI+
Une funzion ammet limit + par x→ - cuànd, cjapat un
cualsisèi intorn di +, esist almàncul un intorn di -, par
ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a
son ducj nel predet intorn di +.
0X
Y
I +
I -
Lim f(x)= + x→
∀I+ƎI:f(I)CI+
Une funzion ammet limit + par x→ cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di +, esist almàncul un
intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son
ducj nel predet intorn di +.
0
I +
I +I -
Y
X
Lim f(x)= - x→ xo
∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI-
Une funzion ammet limit - par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di -, esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son
ducj nel predet intorn di -.
0
Y
xo
I xo
I -
X
Lim f(x)= - x→ +
∀I-ƎI+:f(I+)CI-
Une funzion ammet limit - par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di -, esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del
qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -.Y
X0
I -
I +
Lim f(x)= - x→ -
∀I-ƎI-:f(I-)CI-
Une funzion ammet limit - par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di -, esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del
qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di -.
Y
X0
I -
I -
Lim f(x)= - x→
∀I-ƎI:f(I)CI-
Une funzion ammet limit - par x→ cuànd, cjapat un cualsisèi intorn di -, esist almàncul un
intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a
son ducj nel predet intorn di -.Y
X0
I -
I -
I +
Lim f(x)= x→ xo
∀IƎIxo:f(Ixo)CI
Une funzion ammet limit par x→ xo cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di , esist almàncul un intorn di xo, par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son
ducj nel predet intorn di .Y
X0
I -
I +
I xo
Lim f(x)= x→ +
∀IƎI+:f(I+)CI
Une funzion ammet limit par x→ + cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di , esist almàncul un intorn di +, par ducje le x del
qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di .
X
Y
0
I +
I -
I -
Lim f(x)= x→ -
∀IƎI-:f(I-)CI
Une funzion ammet limit par x→ - cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di , esist almàncul un intorn di -, par ducje le x del
qual i corrispondent valôrs di f(x) a son ducj nel predet intorn di .
X 0
I +
I -
Y
Lim f(x)= x→
∀IƎI:f(I)CI
Une funzion ammit limit par x→ cuànd, cjapat un cualsisèi
intorn di , esist almàncul un intorn di , par ducje le x del qual i corrispondent valôrs di f(x) a son
ducj nel predet intorn di .Y
X
0
I -
I -
I +
I +
Essind L1≠L2 e disin che par x→ xo contemporaneamentri di diestri e di sinistre, le funzion
no presente un unic limit.Une funzion e po ameti un cert limit par x→ xo cuànt cal
esist el limit diestri,esist el limit sinistri e i doi valôrs e son coincidens.
X0
Y= f(X)
xo
I n
Y
X0
Y= f(X)
L2
f (xo) = n
a xo b
n
m
I xo I xo
Y
I n
I L2
a
L1
• Introduction
• Definition of limit, definition topologies and graph
•Definition of right limit, left and graph
For limit of a function Y = f(x) for X tending about at some value to denote by X0, means the value that the function
tends to reach when we attach to the independent variable X values that were close to more X0.
Lim f(x)= Lx→xo
One function admits limit L for x→ xo when, taken any around
of L, there is at least one around of xo, for all x which the
corresponding values of f(x) are all contained in that around of L.
∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL
Y
a
l
0 a X0 b X
One function admits limit L for x→+ when, taken any around
of L, there is at least one around of +, for all x which the
corresponding values of f(x) are all contained in that around of L.
∀ILƎI+:f(I+)CIL
Lim f(x)= Lx→ +
0 X
Y
Il
l
+
One function admits limit L for x→- when, taken any around
of L, there is at least one around of -, for all x which the
corresponding values of f(x) are all contained in that around of L.
∀ILƎI-:f(I-)CIL
Lim f(x)= Lx→ -
Y
X0
-
Il l
One function admits limit L for x→ when, taken any around of L,
there is at least one around of , for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in
that around of L.
∀ILƎI:f(I)CIL
Lim f(x)= Lx→
Y
X0
I - I +
One function admits limit + for x→xo when, taken any around of L, there is at least one around of +, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in
that around of +.
∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+
Lim f(x)= +x→xo
I xo
0
Y
X
I +
One function admits limit + for x→+ when, taken any around of +, there is at least one around
of +, for all x which the corresponding values of f(x) are
all contained in that around of +.
Lim f(x)= +x→ +
∀I+ƎI+:f(I+)CI+
Y
X0
I +
I +
One function admits limit + for x→- when, taken any around of +, there is at least one around
of -, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of
+.
∀I+ƎI-:f(I-)CI+
Lim f(x)= +x→ -
0X
Y
I +
I -
One function admits limit + for x→ when, taken any around of
+, there is at least one around of , for all x which the
corresponding values of f(x) are all contained in that around of +.
∀I+ƎI:f(I)CI+
Lim f(x)= +x→
0
I +
I +I -
Y
X
One function admits limit - for x→xo when, taken any around of -, there is at least one around
of xo, for all x which the corresponding values of f(x) are
all contained in that around of -.
∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI-
Lim f(x)= -x→ xo
0 Xxo
I xo
I -
Y
One function admits limit - for x→ + when, taken any around of -, there is at least one around of
+, for all x which the corresponding values of f(x) are all
contained in that around of -.
∀I-ƎI+:f(I+)CI-
Lim f(x)= -x→ +
Y
X0
I -
I +
One function admits limit - for x→ - when, taken any around of -, there is at least one around of
-, for all x which the corresponding values of f(x) are all
contained in that around of -.
∀I-ƎI-:f(I-)CI-
Lim f(x)= -x→ -
Y
X
I -
I -
0
One function admits limit - for x→ when, taken any around of -, there is at least one around
of , for all x which the corresponding values of f(x) are
all contained in that around of -.
∀I-ƎI:f(I)CI-
Lim f(x)= -x→
Y
X0
I -
I -
I +
One function admits limit for x→ xo when, taken any around of , there is at least one around of
xo, for all x which the corresponding values of f(x) are all contained in that around of .
∀IƎIxo:f(Ixo)CI
Lim f(x)= x→ xo
Y
X0
I -
I +
I xo
One function admits limit forx→ + when, taken any around of , there is at least one around of
+, for all x which the corresponding values of f(x) are all
contained in that around of .
∀IƎI+:f(I+)CI
Lim f(x)= x→ +
X
Y
0
I +
I -
I -
One function admits limit for x→ - when, taken any around
of , there is at least one around of -, for all x which the
corresponding values of f(x) are all contained in that around of .
∀IƎI-:f(I-)CI
Lim f(x)= x→ -
Y
X 0
I +
I -
One function admits limit for x→ when, taken any around of , there is at least one around of
, for all x which the corresponding values of f(x) are all
contained in that around of .
∀IƎI:f(I)CI
Lim f(x)= x→
Y
X
0
I -
I -
I +
I +
Being L1≠L2 say that for x→ xo simultaneously from right and left, the function doesn’t have a single limit.
A function can admit to a certain limit forx→ xo when there is a limit right, there is the left limit and
the two values are coincident.
Y
X0
Y= f(X)n
m
a xo
I xo
I n
Y
X0
Y= f(X)n
m
a xo
I xo
I n
Y
X0
Y= f(X)
L2
L1
f (xo) = n
a xo b
I xo
I L2
• Einführung
• Definition der Limit, Definition topologica und Chart
•Definition der Limit Rechts, Limit Links und Chart
Limit für eine Funktion Y = f(x) für X Tendenz zu einem bestimmten Wert zur Bezeichnung von X0, ist der Wert, dass
die Funktion der Regel zu erreichen wenn auf die unabhängige Variable X befestigen die Werte, die sich
immer enger zu X0.
Lim f(x)= Lx→xo
Eine Funktion räumt Limit L für x→ xo wann, getroffen beliebig eine
Runde von L, es gibt mindestenseine Runde von xo, für alle x welcher
der entsprechenden Werte für dief(x) sind alle darin enthaltenen
in dieser Runde der L.
∀ILƎIxo:f(Ixo)CIL
Y
a
l
0 a X0 b X
Eine Funktion räumt Limit L für x→ + wann, getroffen beliebig eine
Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von +, für alle x
welcher der entsprechenden Werte für die
f(x) sind alle darin enthaltenenin dieser Runde der L.
∀ILƎI+:f(I+)CIL
Lim f(x)= Lx→ +
0 X
Y
Il
l
+
Eine Funktion räumt Limit L für x→ - wann, getroffen beliebig
eine Runde von L, es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden
Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L.
∀ILƎI-:f(I-)CIL
Lim f(x)= Lx→ -
Y
X0
-
Il l
Eine Funktion räumt Limit L für x→ wann, getroffen beliebig eine Runde von L, es gibt mindestens
eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte
für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der L.
∀ILƎI:f(I)CIL
Lim f(x)= Lx→
Y
X0
I - I +
Eine Funktion räumt Limit + für x→ xo wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens
eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in
dieser Runde der +.
∀I+ƎIxo:f(Ixo)CI+
Lim f(x)= +x→xo
I xo
0
Y
X
I +
Eine Funktion räumt Limit + für x→ + wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens
eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser
Runde der +.
Lim f(x)= +x→ +
∀I+ƎI+:f(I+)CI+
Y
X0
I +
I +
Eine Funktion räumt Limit + für x→ - wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens
eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in
dieser Runde der +.
∀I+ƎI-:f(I-)CI+
Lim f(x)= +x→ -
0X
Y
I +
I -
Eine Funktion räumt Limit + für x→ wann, getroffen beliebig eine Runde von +, es gibt mindestens
eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser
Runde der +.
∀I+ƎI:f(I)CI+
Lim f(x)= +x→
0
I +
I +I -
Y
X
Eine Funktion räumt Limit - für x→ xo wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens
eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in
dieser Runde der -.
∀I-ƎIxo:f(Ixo)CI-
Lim f(x)= -x→ xo
0 Xxo
I xo
I -
Y
Eine Funktion räumt Limit - für x→ + wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens
eine Runde von +, für alle x welcher der entsprechenden Werte
für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -.
∀I-ƎI+:f(I+)CI-
Lim f(x)= -x→ +
Y
X0
I -
I +
Eine Funktion räumt Limit - für x→ - wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens
eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in
dieser Runde der -.
∀I-ƎI-:f(I-)CI-
Lim f(x)= -x→ -
Y
X
I -
I -
0
Eine Funktion räumt Limit - für x→ wann, getroffen beliebig eine Runde von -, es gibt mindestens
eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte
für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der -.
∀I-ƎI:f(I)CI-
Lim f(x)= -x→
Y
X0
I -
I -
I +
Eine Funktion räumt Limit für x→ xo wann, getroffen beliebig
eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von xo, für alle x welcher der entsprechenden
Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der .
∀IƎIxo:f(Ixo)CI
Lim f(x)= x→ xo
Y
X0
I -
I +
I xo
Eine Funktion räumt Limit für x→ + wann, getroffen beliebig
eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von +,
für alle x welcher der entsprechenden Werte für die f(x)
sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der .
∀IƎI+:f(I+)CI
Lim f(x)= x→ +
X
Y
0
I +
I -
I -
Eine Funktion räumt Limit für x→ - wann, getroffen beliebig
eine Runde von , es gibt mindestens eine Runde von -, für alle x welcher der entsprechenden
Werte für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der .
∀IƎI-:f(I-)CI
Lim f(x)= x→ -
Y
X 0
I +
I -
Eine Funktion räumt Limit für x→ wann, getroffen beliebig eine Runde von , es gibt mindestens
eine Runde von , für alle x welcher der entsprechenden Werte
für die f(x) sind alle darin enthaltenen in dieser Runde der .
∀IƎI:f(I)CI
Lim f(x)= x→
Y
0
I -
I -
I +
I +
X
Wobei L1≠L2 sagen dassx→ xo gleichzeitig von der rechten
und links, die Funktion nicht ein einziges Limit.Eine Funktion kann Einige Limit zugeben für
x→ xo wenn es ist eine Limit rechts, es ist die linke Limit und die beiden Werte sind gleichzeitig.
Y
X0
Y= f(X)
L2
L1
f (xo) = n
a xo b
I xo
I L2
Y
X0
Y= f(X)n
m
a xo
I xo
I n