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Istituto Tecnico industriale “L.Galvani”v. Marchesella, 188 – Giugliano in
CampaniaTel 081/8941755 – Fax 081/8948548
sito web : www.itisgalvani.it- email [email protected]
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UNA MATEMATICA ELETTRIZZATA
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CENNI DI TEORIA DELLA PROBABILITA’
A cura di:
P. Annunziata - T. Conforti – F. Chiariello – A. Fernandez – G. Borzacchelli – P. Spada – G. Esposito – G. Trinchillo – C. Duilio – R. Berlingieri – L. Ruggiero – G. Migliaccio – P. Troise
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Variabili aleatorie
• Una variabile aleatoria (casuale, stocastica, random) può essere pensata come il risultato numerico di un esperimento quando questo non è prevedibile con certezza (ossia non deterministico).
• Ad esempio, il risultato del lancio di un dado può essere pensato come una variabile aleatoria (v.a.) che può assumere uno dei sei possibili valori {1,2,3,4,5,6}.
• Lo spazio dei campioni Ω è l’insieme dei valori che può assumere una v.a. (per es. Ω = {1,2,3,4,5,6}).
• Le variabili aleatorie a una dimensione si dicono semplici o univariate. Le variabili aleatorie a più dimensioni si dicono multiple o multivariate.
• Variabili casuali che dipendono da un parametro t (per esempio il tempo) vengono considerati dei processi stocastici.
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Probabilità
• Ad una variabile casuale x si associa (in modo non univoco) una probabilità P(x), che assegna la probabilità che la v.a. x assuma un valore in Ω:
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Probabilità
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DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’
• Distribuzione di Bernoulli• Distribuzione binomiale• Distribuzione di Poisson• Distribuzione binomiale negativa• Distribuzione uniforme• Distribuzione normale• Distribuzione esponenziale• Distribuzione del • Distribuzione F• Distribuzione t-Student• Distribuzione beta • Distribuzione di Gumbel • Distribuzione di Weibull • Distribuzione Log-normale
Distribuzione Gamma
Distribuzioni discrete
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Distribuzione normale
Tra le varie distribuzioni di probabilità, un ruolo fondamentale in statistica spetta alla distribuzione Normale o Gaussiana in quanto o è la distribuzione base di partenza per altre v.a. o è la distribuzione con la quale possono essere approssimate altre distribuzioni in certe situazioni limite.
Funzione di distribuzione di probabilità:
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Distribuzione Normale
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 5 10 15
N(6;2)
N(6;3,5)
N(8;0,5)
N(11;1)
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Funzione di distribuzione o funzione di ripartizione normale:
[Esempi con MATLAB]
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Per ricavare questa distribuzione, data la v.a. X si definisce una nuova v.a. Z, detta variabile standardizzata:
Distribuzione normale standardizzata
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Intervallo di confidenza di una sigma
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Intervallo di confidenza di due sigma
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Intervallo di confidenza di tre sigma
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– La somma YN di N v.a. gaussiane N(μ,σ) è essa stessa una v.a. gaussiana con attesa μN e varianza σ2N.
– La media di N v.a. gaussiane N(μ,σ), YN/N è ancora gaussiana con attesa μ e varianza σ2/N 0 per N∞, purché σ sia finito.
– Il Teorema del Limite Centrale stabilisce che la media di campioni estratti da una generica popolazione, YN/N, nel limite N ∞ tende ad una distribuzione gaussiana, anche se le distribuzioni di partenza non sono gaussiane (purché σ sia finita).
– La distribuzione binomiale tende ad una Gaussiana per N (numero di prove) ∞ e p ≈ q ≈ ½.
Distribuzione normale come limite di altre distribuzioni
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[verifica con MATLAB]
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Applicazione nel campo del telerilevamento
Nel campo del telerilevamento ed in particolare nel settore radar i segnali elettromagnetici in ricezione presentano una componente di rumore sovrapposta a quello utile, per cui necessitano tecniche statistiche al fine di estrapolare tutte le informazioni possibili.
•Presenza di un bersaglio
•distanza
•Velocità
•Ecc. (dipende dal tipo di applicazione)
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Applicazione nel campo del telerilevamento
Per esempio il segnale in ricezione ad un apparato radar è composto da un rumore di tipo additivo la cui distribuzione è di tipo gaussiana.
Pertanto a fronte dell’analisi statistica e della teoria decisionale vengono realizzati apparati riceventi appositamente progettati per lo scopo cioè filtraggi statistici la cui funzione di trasferimento deve rispettare i principi delle teorie suddette.
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Si ringraziano i seguenti docenti per la collaborazione:
Barbato Antonio
Cantone Salvatore
Fatatis Rossella
Guarino Francesco
e tutti i docenti del Progetto Lauree Scientifiche – Dipartimento di Matematica – Università di Napoli “Federico II”