IstorÐa Majhmatik¸n, M�jhma 3

Miq. G. Mari�c

'Anoixh 2018

ii

Perieqìmena

1 M�jhma 3o 11.0.1 Ta Majhmatik� antikeÐmena ston EukleÐdh . . . . 11.0.2 Kritik  ston EukleÐdh . . . . . . . . . . . . . . . 21.0.3 H axiwmatik  jemelÐwsh thc GewmetrÐac apì ton

Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1 ArijmoÐ kai megèjh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 H jewrÐa twn analogi¸n tou Eudìxou sto 5o BiblÐo twn

StoiqeÐwn tou Euklèidh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 H idèa tou Eudìxou . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Oi tomèc tou Dedekind kai h kataskeu  twn prag-

matik¸n arijm¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 To s¸ma twn pragmatik¸n arijm¸n . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 H axiwmatik  jewrÐa twn pragmatik¸n arijm¸n(Hilbert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Jessalonik  'Anoixh 2018.

iii

iv PERIEQ�OMENA

Kef�laio 1

M�jhma 3o

1.0.1 Ta Majhmatik� antikeÐmena ston EukleÐdh

Ston EukleÐdh loipìn blèpoume gia pr¸th for� na anaptÔssontai sÔm-fwna me thn epagwgik  mèjodo, oi idiìthtec twn “majhmatik¸n an-tikeimènwn” pou briskìtan  dh sthn skèyh tou Pl�twna kai tou Aris-totèlh. Oi “orismoД pou brÐskontai sta pr¸ta èxh biblÐa twn “S-toiqeÐwn” aparijmoÔn ta antikeÐmena thc GewmetrÐac: shmeÐo, eujeÐa,gwnÐa, kÔkloc, polÔgwna. Ektìc twn trig¸nwn kai twn tetrapleÔrwn,mìno ta kanonik� polÔgwna melet¸ntai me k�poia leptomèreia. P�ntwco EukleÐdhc den mac af nei kammÐa amfibolÐa ìti aut� ta antikeÐmenaden an koun ston aisjhtì kìsmo, ki ètsi den mporeÐ na gÐnoun antilhpt�apì tic aisj seic mac.Oi dÔo pr¸toi “orismoД anafèroun ìti “to shmeÐo den èqei èktash” 1

kai ìti “h eujeÐa den èqei pl�toc” 2 3. MegalÔtero endiafèron parousi�-

1Shm. mtfr. ShmeÐon estÐn, oÔ mèroc oujèn.2Shm. mtfr. Gramm  de m koc aplatèc.3Prìkeitai profan¸c gia “yeudo-orismoÔc” akat�llhlouc gia qr sh. O orismìcmiac lèxhc prèpei na qrhsimopoieÐ lèxeic pou  dh èqoun oristeÐ. 'Etsi o orismìc lei-tourgeÐ wc suntìmeush. 'Opwc èlege o Pascal, anaferìmenoc vs� èna apìfjegma touAristotèlh (Top., 6, 4), ìtan qrhsimopoioÔme ènan orismì, prèpei p�nta “na antika-jistoÔme sthn jèsh twn orismènwn touc orismoÔc”. 'Omwc den blèpoume poujen� ton

1

2 1. M�jhma 3o

zoun ta dÔo “ait mata” pou akoloujoÔn:1) ìti mporoÔme p�nta na sundèsoume dÔo opoiad pote shmeÐa me èna

eujÔgrammo tm ma 4,2) ìti p�nta mporoÔme na epekteÐnoume aperiìrista èna eujÔgrammo

tm ma kai proc tic dÔo kateujÔnseic 5. 6

Oi idiìthtec autèc qrhsimopoioÔnte suneq¸c, all� ja  tan paralo-gismìc èan eprìkeito gia ulikèc “eujeÐec”!Me afethrÐa touc “orismoÔc”, ta “ait mata” kai tic “koinèc ènnoiec”

o EukleÐdhc diateÐnetai oti ja apìdeÐxei ìla ta jewr mat� tou.

1.0.2 Kritik  ston EukleÐdh

Autì ìmwc pou mac prokaleÐ kapìia èkplhxh eÐnai to gegonìc pwc k�jeje¸rhm� tou sunodeÔetai ki apì èna sq ma. Ja mporoÔsame na poÔmeapl¸c pwc ta sq mata upobohjoÔn sthn katanìhsh thc apìdeixhc kaipwc h tèqnh thc GewmetrÐac sunÐstatai akrib¸c sto na epiqeirhmatolo-geÐc p�nw se analhj  sq mata.

EukleÐdh na “antikajist�” touc “orismoÔc” autoÔc sthn jèsh tou “shmeÐou”   thc“eujeÐac”. MporoÔme loipìn na jewr soume ìti stì keÐmenì tou, oi lèxeic autèc deneÐnai orismènec.4Shm. mtfr. Ht sjw apì pantìc shmeÐou epÐ p�n shmeÐon eujeÐan gramm n a-gageÐn.5Shm. mtfr. kai peperasmènhn eujeÐan kat� tì suneqèc ep� eujeÐac ekbaleÐn.6Shm. mtrf. Ta trÐa upìloipa ait mata eÐnai ta akìlouja:[3]. Kai pantÐ kèntrw kai diast mata kÔklon gr�fesjai.[4]. Kai p�sac tac orj�c gwnÐac Ðsac �llhlac eÐnai.[5]. Kai e�n eic dÔo eujeÐac eujeÐa empÐptousa tac entìc kai epÐ ta aut� gwnÐac

dÔo orj¸n el�ssonac poieÐ, ekballomènac tac dÔo eujeÐac ep� �peiron sumpÐptein,ef� � mèrh eisÐn ai twn dÔo orj¸n el�ssonec.(Kai an mia eujeÐa tèmnontac dÔo �llec, kai oi entìc kai epÐ ta aut� gwnÐec pou

sqhmatÐzei èqoun �jroisma mikrìtero apì dÔo orjèc, tìte oi dÔo eujeÐec tèmnontaisto �peiro kai m�lista apì to mèroc ìpou oi dÔo gwnÐec eÐnai mikrìterec twn dÔoorj¸n).

3

9

1.jpg

10

2.jpg

Sq mata 9 kai 10.

'Omwc, eÔkola diapist¸noume, pwc orismèna sq mata paÐzoun ènanrìlo polÔ pio ousiastikì, polÔ kont� vs' autì pou èkanan oi IndoÐ   oiKinèzoi gewmètrec, oi opoÐoi afoÔ èftiaqnan to sq ma, antÐ apìdeÐxewc,eperiorÐzontan na lène “koit�xte”! 7 Epaneilhmmèna, (blèpe BiblÐo 3,17, BiblÐo 6, 13), o EukleÐdhc jewreÐ dedomèno ìti ìtan mia eujeÐa èqeièna shmeÐo mèsa vs� èna kÔklo, tìte tèmnei ton kÔklo. An�loga, an ènackÔkloc C èqei èna shmeÐo sto eswterikì enìc �llou kÔklou C ′ kai ènasto exwterikì tou, tìte oi kÔkloi C kai C ′ tèmnontai (BiblÐo 1, 1 kai 22).'Omwc kammÐa apì autèc tic idiìthtec den sun�getai apì ta “ait mat�”tou. H qr sh “orat¸n” antikeimènwn gÐnetai akìma pio aisjht  sthn

7Sto sq ma 9 “blèpoume” oti

(b− c)2 = b2 − 2bc + c2,

kai sto sq ma 10, sto orjog¸nio trÐgwno me upoteÐnousa a kai k�jetec tic a kai c,èqoume oti

a2 = (b− c)2 + 2bc = b2 + c2,

to opoÐo kai apodeiknÔei to Pujagìreio je¸rhma.

4 1. M�jhma 3o

11

3.jpg

Prìtash (BiblÐo 3, 8), ìpou o EukleÐdhc melet� ta eujÔgramma tm matapou en¸noun èna exwterikì shmeÐo enìc kÔklou me èna shmeÐo tou kÔklou(sq ma 11) kai diakrÐnei thn “kurt ” kai thn “koÐlh perifèreia” wc procto dojèn exwterikì shmeÐo.

Sq ma 11.

Prìkeitai gia dÔo ènnoiec pou ja eÐqe duskolÐec na orÐsei me thn èn-noia twn kat� Pl�twna “apìlutwn sqhm�twn”. Ki akìma, ti mporeÐna pei kaneÐc gia touc orismoÔc thc stereometrÐac tou BiblÐou 11, pouanafèrontai se “epif�neiec pou perigr�fontai” apì mia eujeÐa   èna h-mikÔklio pou “peristrèfontai” gÔrw apì mia “akÐnhth” eujeÐa, 8. Ja m-poroÔsame na d¸soume ki �lla paradeÐgmata ta apoÐa katadeiknÔoun ticduskolÐec pou èprepe na uperboÔme ¸ste na dhmiourghjeÐ èna kat�llhlolexilìgio pou na antapìkrÐnetai sthn fÔsh twn antkeimènwn pou “antil-ambanìmaste mìno me thn skèyh”, ètsi ¸ste h perigraf  twn idiot twntouc na gÐnetai sÔmfwna me thn fÔsh touc, dhlad  qwrÐc sq mata.

8Shm. mtfr. H sfaÐra orÐzetai ston Orismì 14: sfaÐra estÐn, ìtan hmikuklÐoumenoÔshc thc diamètrou perieqjèn to hmikÔklion eic to autì p�lin apokatastajeÐ,ìjen  rxato fèresjai, to perilhfjèn sq ma.Kai o k¸noc ston Orismì 18: k¸noc estÐn, ìtan orjogwnÐou trig¸nou menoÔshc

miac pleur�c twn perÐ thn orj n gwnÐan perieqjèn to trÐgwnon eic to autì p�liapokatastajeÐ, ìjen  rxato fèresjai, to perilhfjèn sq ma.

5

Wstìso, h epis mansh twn atelei¸n aut¸n ofeÐletai sthn trib  macme tic apait seic thc sÔgqronhc axiwmatik c. An exairèsoume thn akan-j¸dh perÐptwsh tou ait matoc twn parall lwn, to 5o EukleÐdeioaÐthma, den faÐnetai na up rxan mèqri ton 16o ai¸na pollèc kritikèc au-toÔ tou eÐdouc sta keÐmena tou EukleÐdh.FaÐnetai pwc ènac makroqrìnioc ejismìc èkane touc gewmètrec na mhn

èqoun pl rh epÐgnwsh thc prosp�jeiac pou qrei�zetai gia to pèrasmaston kìsmo twn antikeimènwn ekeÐnwn twn opoÐwn ta aisjht� antikeÐ-mena den eÐnai par� qondroeideÐc eikìnec touc. Ki en¸ o Pl�twnac kaio Aristotèlhc èqoun pl rh epÐgnwsh tou gegonìtoc autoÔ, mènoumeèklhktoi ìtan dianohtèc tou megèjouc tou Kartèsiou kai tou Pascal,oi opoÐoi den dÐstasan na k�noun metwpikèc epijèseic enantÐon tou sqo-lastikismoÔ, na diakhrÔsoun me sjènoc thn “profan  orjìthta” twnaxiwm�twn thc GewmetrÐac! Ex �llou den k�noun tÐpota parap�n-w par� na ekfr�soun thn �poyh ìlwn twn majhmatik¸n thc epoq ctouc, h opoÐa kai ja isquropoihjeÐ ton epìmeno ai¸na afoÔ akìma kaioi Gauss kai Cauchy èftasan na sunagwnÐzontai gia na emfanÐsounthn “gewmetrik  akrÐbeia” wc montèlo gia tic upìloipec eidikìthtectwn Majhmatik¸n. 'Iswc ìmwc aut  h tufl  empistosÔnh sthn ar-monÐa metaxÔ twn gewmetrik¸n antikeimènwn kai twn eikìnwn touc  tananagkaÐa gia na mac wj sei sthn dhmiourgÐa twn majhmatik¸n montèl-wn thc Mhqanik c kai thc Fusik c pou shmeÐwsan tìsh meg�lh epituqÐ-a. Mìnon sto teleutaÐo trÐto tou 19ou ai¸na, me thn emperistatwmènhmelèth twn pragmatik¸n arijm¸n, ègine pl rwc katanohtì to q�sma pouqwrÐzei thn “gewmetrik  diaÐsjhsh” apì ta axi¸mata pou upotÐjetai pwcèqoun wc proorismì touc na thc d¸soun mia logik  jemelÐwsh.H kritik  thc eukleÐdeiac kataskeu c, pou entÐnetai kurÐwc ton 19o

ai¸na sta plaÐsia thc kÐnhshc gia perissìterh “akrÐbeia” sta Majh-matik�, den stoqeÔei na diorj¸sei tic sunepagwgèc tou EukleÐdh sthndiadikasÐa twn apìdeÐxe¸n tou, all� sto gegonìc ìti den eÐnai epark¸cjemeliwmènec epÐ orism¸n kai axiwm�twn prosdiorismènwn me saf neia.H genik  aÐsjhsh  tan pwc an sumplhrwnìtan kat�llhla ta jemèleiatwn sullogism¸n mac ja ft�name se èna polÔ ikanopoihtikì apotèles-

6 1. M�jhma 3o

ma. Aut  thn ergasÐa èferan se pèrac oi Pasch kai Hilbert, pro-teÐnontac sust mata axiwm�twn teleÐwc apìsafhnismèna (23 proteÐneio Hilbert), ta opoÐa mac epitrèpoun na apìdeÐxoume epitèlouc ìla tajewr mata tou EukleÐdh qwric sq mata 9.

1.0.3 H axiwmatik  jemelÐwsh thc GewmetrÐac apìton Hilbert

'Opwc o EukleÐdhc, ètsi kai o Hilbert, xekin� apì mh orismènec ènnoiectic opoÐec ìmwc aparijmeÐ mèqri exantl sewc.Up�rqoun trÐa eÐdh “prwtarqik¸n antikeimènwn”: shmeÐa, eujeÐec

kai epÐpeda kaj¸c kai treic “prwtarqikèc sqèseic”: perièqesjai (ènashmeÐo perièqetai se mia eujeÐa   se èna epÐpedo), na “brÐskesai metaxÔ”(gia èna shmeÐo wc proc dÔo �lla ìtan kai ta trÐa einai suggramik�),kai h sqèsh “sÔmptwshc” (gia dÔo eujÔgramma tm mata   dÔo gwnÐec10).'Etsi, gia na mhn ekpèsoume se mia suneq  enasqìlhsh me touc oris-

moÔc apìfÔgame na orÐsoume epakrib¸c orismèna apì ta antikeÐmen� mac.'Ena er¸thma pou tÐjetai loipìn �mesa eÐnai an eÐnai efiktì na qeiris-toÔme swst� antikeÐmena pou den orÐsame.H ap�nthsh eÐnai apl : arkeÐ na ap'feÔgoume thn ekf¸nhsh opoiasd -

pote prìtashc epÐ twn antikeimènwn thc GewmetrÐac kai twn metaxÔ toucsqèsewn pou na mhn eÐnai logik  sunèpeia twn axiwm�twn pou ta dièpoun(ta opoÐa, ìpwc proanafèrame, èqoun aparijmhjeÐ mèqric exantl sewc).'Opwc ègraye o Poincare [10], ja mporoÔsame na poÔme ìti ta axi¸mata

9Shm. mtfr. Aut� èkane o Hilbert ki ègina fanatikìc opadìc tou Poincare!10Oi ènnoiec eujÔgrammo tm ma kai gwnÐa eÐnai “par�gwgec” sqèseic dhlad  lèxeicstwn opoÐwn ton orismì qrhsimopoioÔntai di�fora axi¸mata kai prwtarqikèc ènnoieckai sqèseic   akìma kai par�gwgec ènnoiec pou orÐstikan prohgoÔmena. 'Etsi toeujÔgramo tm ma AB apoteleÐtai apo ta shmeÐa pou brÐskontai “metaxÔ” twn A kaiB kai keÐntai epÐ thc monadik c eujeÐac ∆ pou dièrqetai apo ta A kai B. H hmieujeÐame arq  to A kai pou dièrqetai apì to B apoteleÐtai apo ta shmeÐa tou diast matocAB kai ta shmeÐa C thc eujeÐac ∆ tètoia ¸ste to B na brÐsketai “metaxÔ” tou Akai tou C. Tèloc mia gwnÐa {D1, D2} eÐnai èna zeÔgoc hmieujei¸n me koin  arq .

7

eÐnai kat' ousÐan “orismoÐ se sugk�lhyh”. Kat� k�pìio trìpo ta an-tikeÐmena kai oi sqèseic touc èqoun exafanisteÐ kai antikatast�jhkanapì to f�sma twn “axiwmatik¸n” touc idiot twn.O Hilbert met� ton Pasch, prìteine èna trìpo ¸ste na apofeÔgontai

ta sumper�smata pou pijanìn na epire�zontai apì thn gewmetrik  macdiaÐsjhsh kai ta opoÐa den eÐnai apìrroia twn axiwm�twn. Prìteineloipìn na antikatastajoÔn oi sun jeic onomasÐec twn antikeimènwn thcGewmetrÐac kai twn sqèse¸n touc me �lla �sqeta onìmata. P.q. prìteinena lème “trapèzi”, “karèkla” kai “flutz�ni” antÐ “shmeÐo”, “eujeÐa” kai“epÐpedo”11.ParadeÐgmatoc q�rh ta dÔo pr¸ta ax¸mata ston kat�logo tou Hilbert:1. “DÔo shmeÐa diaforetik� metaxÔ touc an koun se mÐa kai monadik 

eujeÐa”,2. “Up�rqoun toul�qiston dÔo diaforetik� shmeÐa pou an koun sthn

Ðdia eujeÐa”,Ta axi¸mata aut� me thn parap�nw sÔmbash gr�fontai wc ex c:1. “DÔo trapèzia diaforetik� metaxÔ touc an koun se mÐa kai monadik 

karèkla”,2. “Up�rqoun toul�qiston dÔo diaforetik� trapèzia pou an koun

sthn Ðdia karèkla”.EÐnai profanèc ìti den eÐnai eÔkolo na k�noume akoÔsia l�jh qrhsi-

mopoi¸ntac autèc tic prot�seic pou den èqoun kammÐa sqèsh me thn prag-matikìthta.FaÐnetai san asteÐo, all� h aposÔndesh thc ènnoiac kai tou onìma-

toc sugkekrimenopoieÐ, gia thn perÐptwsh thc stoiqei¸douc GewmetrÐ-ac, thn jemeli¸dh diadikasÐa h opoÐa kai apeleujèrwse ta Majhmatik�

11H dunatìthta aujaÐrethc epilog c miac lèxhc gia na orÐsoume èna antikeÐmeno,dhlad  na sunoyÐsoume se mia lèxh tic idiìthtèc tou, èqei  dh epishmanjeÐ apo tonPl�twna (Epistol  VII, 343b): bèbaion eÐnai, kwlÔein d' oudèn ta nun stroggÔlakaloÔmena eujèa kekl sjai ta de eujèa dh stroggÔla, kai oudèn  tton bebaÐwc èxeintoic metajemènoic kai enantÐwc kaloÔsein.Thn parat rhsh aut  qrhsimopoieÐ kai o d’Alembert sthn EgkuklopaÐdeia ìpou

dhl¸nei ìti tÐpota den mac empodÐzei na onom�soume “trÐgwno” autì pou sun uwcapokaloÔme “kÔklo”.

8 1. M�jhma 3o

apì tic alusÐdec pou ta kratoÔsan sfiqt� demèna me to pragmatikì.Aut  prok�lese ìlec ekeÐnec tic epneusmènec katakt seic twn teleutaÐ-wn ekatì qrìnwn kai tic entupwsiakèc efarmogèc touc sthn Fusik .

1.1 ArijmoÐ kai megèjh

Kat� thn perÐodo pou ta ellhnik� Majhmatik� exelÐssontan mèsa s-tic filosofikèc sqolèc vs� èna sÔsthma “upojetiko-epagwgikì”12, oian�gkec thc kajhmerinìthtac stic ellhnikèc pìleic, ìpwc gÐnetai vs�ìlouc touc politismoÔc, od ghsan sthn dhmiourgÐa miac t�xhc epaggel-mati¸n “upologist¸n”. Den gnwrÐzoume sqedìn tÐpota gi� autoÔc touc“logistikoÔc”13 ìpwc touc èlegan tìte, par� mìnon thn Ôparx  touckai thn perifrìnhsh pou touc deÐqnei o Pl�twnac sthn PoliteÐa (VII,525), afoÔ log�riazan me kl�smata, en¸ o majhmatikìc, p�nta kat�ton Pl�twna, ofeÐlei na asqoleÐtai mìno me tic idiìthtec twn akeraÐwnarijm¸n.ìti perÐ toÔtwn lègousin wn dianohj nai mìnon egqwreÐ, �llwc d�

oudam¸c metaqeirÐzesjai dunatìn, PoliteÐa 526a14.QwrÐc amfibolÐa o Pl�twn anafèretai sta upèroqa genik� jewr -

mata tou 7ou biblÐou twn StoiqeÐwn tou EukleÐdh15, pou anafèrontaise tuqaÐouc akèraiouc kai ìpou parousi�zetai h stoiqei¸dhc jewrÐa di-airetìthtac twn akeraÐwn, h jewrÐa twn pr¸twn arijm¸n kai h an�lushtwn akeraÐwn se par�gontec pr¸twn.H “logistik ” aut  par�dosh twn arijmhtik¸n upologism¸n epanem-

fanÐsthke me ton Diìfanto (gÔrw ston 4o m.Q. ai¸na). Oi teqnikèctou epekteÐnoun autèc pou sunantoÔme sta pin�kia twn BabulwnÐwn kai

12H èkfrash ofeÐletai ston Pieri (1889).13Sta ellhnik� h lèxh “logistik ” shmaÐnei thn praktik  twn arijmhtik¸n upolo-gism¸n.14Shm. metafr.: Anafèrontai vs� ekeÐnouc touc arijmoÔc pou mìno me thn nìhsheÐnai dunatìn na touc sull�beic kai pou den epidèqontai kanènan �llo trìpo prosèg-gishc, Met�frash N. Skouterìpouloc, Ekd. Pìlic.15O EukleÐdhc sumbolÐzei touc akèraiouc me gr�mmata kai touc anaparist� meeujÔgramma tm mata.

1.1. ArijmoÐ kai megèjh 9

èqoun wc stìqo thn eÔresh enìc   perissotèrwn “agn¸stwn”, pou eÐ-nai lÔseic enìc sust matoc exis¸sewn, pou mporoÔn na grafoÔn wcisìthtec poluwnÔmwn me sugkekrimènouc suntelestèc kai ton bajmìtouc na ft�nei mèqri kai èxh. ParadeÐgmatoc q�rh, (dec 4o BiblÐo, 19),zhteÐtai na brejoÔn treÐc arijmoÐ tètoioi ¸ste ta ginìmen� touc an� dÔoepauxhmèna kat� èna, na eÐnai tèleia tetr�gwna. To prìblhma gr�fetaiwc ex c:

xy + 1 = u2, yz + 1 = v2, zx + 1 = w2.

Den eÐnai an�gkh na melet soume t¸ra tic mejìdouc tou Diìfantou,o opoÐoc ètsi ki alli¸c sp�nia qrhsimopoieÐ genikèc jewrÐec. Apl¸cjèloume na tonÐsoume ìti gia k�je prìblhma y�qnei p�nta mÐa lÔsh16,ìpou oi �gnwstoi paÐrnoun akèraiec timèc   kl�smata p/q, (me p kai qfusikoÔc), dhlad  ta kl�smata p/q eÐnai jetikoÐ rhtoÐ arijmoÐ. 'Omwcse orismènec peript¸seic èrqetai antimètwpoc me dÔo eid¸n adÔnateckatast�seic, twn opoÐwn ta tupik� paradeÐgmata eÐnai ta akìlouja

4x + 20 = 4, (5o BiblÐo, 2)3x + 18 = 5x2, (4o BiblÐo, 31)

kai gia ta opoÐa arkeÐtai na peÐ pwc den èqoun nìhma. Sto deÔteropar�deigma, h adunamÐa epÐlushc ofeÐletai sto gegonìc ìti to 41 deneÐnai tetr�gwno enìc jetikoÔ rhtoÔ, pou eÐnai h genÐkeush thc asum-metrÐac tou

√2 stouc fusikoÔc pou den eÐnai tèleia tetr�gwna. To

endiafèron eÐnai ìti gia na xeperastoÔn autèc oi adÔnatec katast�se-ic (h pr¸th  dh apì thn Arqaiìthta, h deÔterh kat� ton MesaÐwna)qrei�sthke na dhmiourghjoÔn nèa majhmatik� antikeÐmena, ta opoÐa eÐ-nai arket� makru� apì tic ulikèc eikìnec pou jewroÔsan profaneÐc oipr¸toi Pujagìreioi.

16Ki ìtan akìma to prìblhma epidèqetai pollèc lÔseic o Diìfantoc kat� kanìnajewreÐ mìno mÐa.

10 1. M�jhma 3o

1.2 H jewrÐa twn analogi¸n tou Eudìx-

ou sto 5o BiblÐo twn StoiqeÐwn tou

Euklèidh

To ulikì aut c thc paragr�fou eÐnai apì to bibliar�ki tou D. QristodoÔ-lou, [3].Ac jumhjoÔme ta sÔmmetra megèjh. An p.q. mac dwjoÔn dÔo m kh a

kai a′, lème ìti eÐnai sÔmmetra an up�rqei èna m koc u kat�llhla mikrì¸ste

a = mu kai a′ = m′u,

ìpou m kai m′ eÐnai jetikoÐ akèraioi. O lìgoc twn a kai a′ eÐnai Ðsoc mem/m′.'Omwc, ton 5o p.Q. ai¸na, dhmiourg jhke mia meg�lh krÐsh stic t�xeic

twn PujagoreÐwn, ìtan o 'Ippasoc, y�qnontac to lìgo thc diagwnÐoume th pleur� tou tetrg¸nou, èpese se �topo (to

√2 eÐnai �rrhtoc). Ta

Majhmatik� èpesan se tèlma, afoÔ oi apodeÐxeic ìlwn twn mèqri tìtegnwst¸n jewrhm�twn sthrÐzontan sth yeud  upìjesh ìti ìla ta omoeid megèjh eÐnai sÔmmetra.H krÐsh xeper�sthke mìnon ìtan o EÔdoxoc anak�luye th JewrÐa

twn Analogi¸n. O EÔdoxoc èkane èna meg�lo afairetikì �lma, ìtankat�labe ìti  tan m�taio na prospajeÐ kaneÐc na d¸sei ènan�meso orismì thc ènnoiac tou suneqoÔc megèjouc.

1.2.1 H idèa tou Eudìxou

Ac exet�soume pr¸ta th perÐptwsh ìpou ta megèjh a kai a′ eÐnai sÔm-metra. Tìte up�rqoun jetikoÐ akèraioi m kai m′ tètoioi ¸ste

m′a = ma′.

An t¸ra kai ta b kai b′ eÐnai sÔmmetra, tìte up�rqoun jetikoÐ akèraioin kai n′ tètoioi ¸ste

n′b = nb′.

1.2. H jewrÐa twn analogi¸n tou Eudìxou sto 5o BiblÐo twnStoiqeÐwn tou Euklèidh 11

'Eqoume loipìn ìti h isìthta tou lìgou tou a proc a′ me ekeÐnon tou bproc b′, ekfr�zetai apl� me thn isìthta twn lìgwn twn rht¸n arijm¸n

m

m′ =n

n′

Ac exet�soume t¸ra th genik  perÐptwsh ìpou den èqoume plèon nak�noume upoqrewtik� me sÔmmetra megèjh.S� aut  th perÐptwsh, an dhlad  ta megèjh a kai a′ den eÐnai sÔmmetra,

tìte gia k�je zeÔgoc jetik¸n akeraÐwn m kai m′,   ja isqÔeim′a ≤ ma′

 m′a ≥ ma′

me thn isìthta na mhn isqÔei potè an ta megèjh eÐnai assÔmetra.Ed¸ loipìn eÐnai o orismìc tou Eudìxou, o perÐfhmoc orismìc 5 sto

5o BiblÐo twn StoiqeÐwn tou EukleÐdh:e'. En tw aut¸ lìgw megèjh lègetai eÐnai to pr¸ton proc deÔteron kai

trÐton proc tètarton, ìtan ta tou pr¸tou kai trÐtou is�kix pollapl�siatwn tou deutèrou kai tet�rtou is�kic pollaplasiwn kaj� ìpoionoun pol-laplasiasmìn ek�teron ekatèrou   �ma uperèxh   �ma i'sa ;h �ma elleÐhlhfjènta kat�llhla.Se met�frash, [3],e'. An ta a kai a′ eÐnai omoeid  megèjh kai b, b′ eÐnai epÐshc omoeid 

megèjh, lème ìti o lìgoc tou a proc to a′ eÐnai Ðsoc me ton lìgo tou bproc to b, e�n gia k�je zeÔgoc (m, m′) jetik¸n akeraÐwn èqoume:

m′a ≤ ma′ ⇔ m′b ≤ mb′

kaim′a ≥ ma′ ⇔ m′b ≥ mb′.

'Opwc anafèrei o D. QristodoÔlou, “vs� ìlh thn istorÐa twn Ma-jhmatik¸n den up�rqei poujen� megalÔtero �lma afairèsewc.Pragmati, to 5o BiblÐo den ègine pl rwc katanohtì, par� mìno sto 2o misu tou 19ou ai¸na ìtan emfanÐsthke to èrgo tou GermanoÔ majh-matikoÔ Dedekind”.

12 1. M�jhma 3o

1.2.2 Oi tomèc tou Dedekind kai h kataskeu  twnpragmatik¸n arijm¸n

Kai suneqÐzei o D. QristodoÔlou: ac shmei¸soume ìti me ton orismì touEudìxou k�je zeugoc omoeidwn megej¸n a kai a′, qwrÐzei to sÔnolo N2

twn zeug¸n twn fusik¸n arijm¸n se dÔo uposÔnola

N1 ={(m, m′) ∈ N2 : m′a ≤ ma′

}kai

N2 ={(m, m′) ∈ N2 : m′a ≥ ma′

}.

Ta sÔnola aut� èqoun koin� stoiqeÐa ann ta a kai a′ eÐnai sÔmmetra.

11á

4.jpg

Sq ma 11a.

EÐnai eÔkolo na deÐ kaneÐc ìti h diaÐresh tou N2 sta sÔnola N1 kai N2

antistoiqei se mia diaÐresh tou sunìlou Q twn rht¸n arijm¸n se dÔouposÔnola Q1 kai Q2 pou perièqoun touc rhtoÔc thc morf c

m/m′,

ìpou (m, m′) ∈ N1   (m, m′) ∈ N2, (Sq ma 11a).

1.3. To s¸ma twn pragmatik¸n arijm¸n 13

1.3 To s¸ma twn pragmatik¸n arijm¸n

To zhtoÔmeno eÐnai na kataskeu�soume to diatetagmèno s¸ma twn prag-matik¸n arijm¸n. Pio sugkekrimmèna na apodeÐxoume to akìloujo je¸rhmaup�rxewc.

Je¸rhma 1.1 Up�rqei èna diatetagmèno s¸ma me thn idiìthta tou el�qis-tou �nw fr�gmatoc to opoÐo epiplèon perièqei to Q wc upìswma.

To s¸ma autì onom�zetai s¸ma twn pragmatik¸n arijm¸n kai sum-bolÐzetai me R.Mia apìdeixh thc Ôparxhc tou R gÐnetai me tic tomèc tou W. Rudin,

pou ìpwc anafèrame pio p�nw an�gontai sth jewrÐa twn analogi¸n touEudìxou. Gia mia pl rh apìdeixh tou jewr matoc deÐte [4, sel. 24-31]. Ed¸ ja akolouj soume mia diaforetik  prosèggish. Pr¸ta jad¸soume thn axiwmatik  jewrÐa tou Hilbert gia touc pragmatikìucarijmìuc, ki Ôstera ja kataskeu�soume 2 montèla touc, to èna me tictomèc W. Rudin kai to deÔtero me tic akoloujÐec Cauchy.

1.3.1 H axiwmatik  jewrÐa twn pragmatik¸n ari-jm¸n (Hilbert)

Sto 6o Kef�laio ja doÔme pr¸ta pwc h taÔtish twn pragmatik¸n ar-ijm¸n me ta shmeÐa thc eujeÐac, pou eis gage o Kartèsioc (dec §4),prok�lese tic antirr seic twn majhmatik¸n tou 19ou ai¸na, touc opoÐoucapasqoloÔse h akrÐbeia twn diatup¸sewn. 'Ustera ja doÔme p¸c ekeÐnhthn epoq  protim jhkan oi “arijmhtikoÐ orismoД twn pragmatik¸n ar-ijm¸n. 'Otan ìmwc ègine katanoht  h axiwmatik  mèjodoc tou Hilbertsthn GewmetrÐa (dec §4), ègine antilhptì ìti h mèjodoc aut  ja m-poroÔse na efarmosteÐ kai vs� �llouc kl�douc twn Majhmatik¸n. 'Etsi,gÔrw sta 1930, me thn axiwmatik  mèjodo parousi�zontan h 'Algebra, hTopologÐa kai h JewrÐa twn Topologik¸n Dianusmatik¸n Q¸rwn (decKef. 5, §5, A). 'Omwc, mìlic prìsfata parathr same ìti h mèjodoc e-farmìzetai kai stouc pragmatikoÔc arijmoÔc efìson bèbaia den tÐjentai

14 1. M�jhma 3o

erwt mata antif�sewn. H axiwmatik  mèjodoc mac epitrèpei na jemeli¸-soume ìlh thn An�lush apìfeÔgontac tic duskolÐec pou prokaloÔn oi“arijmhtikoÐ orismoД (dec Kef. 6, Par�rthma II).H jewrÐa eÐnai pio eÔkolh apì thn axiwmatik  thc Eukleideiac GewmetrÐ-

ac. Ed¸ up�rqei mìnon èna eÐdoc “prwtarqik¸n antikeimènwn”, ta opoÐ-a onom�zoume pragmatikoÔc arijmoÔc kai treÐc “prwtarqikèc sqèseic”metaxÔ twn antikeimènwn:1. Th sqèsh x ≤ y metaxÔ dÔo pragmatik¸n arijm¸n (thn opoÐa

gr�foume kai wc y ≤ x), (“di�taxh”).2. Th sqèsh z = x + y metaxÔ tri¸n pragmatik¸n arijm¸n (“prìs-

jesh”).3. Th sqèsh z = xy metaxÔ tri¸n pragmatik¸n arijm¸n (“pol-

laplasiasmìc”).H jewrÐa perilamb�nei 17 axi¸mata:R1. Up�rqoun dÔo diaforetikoÐ pragmatikoÐ arijmoÐ.R2. An x kai y eÐnai dÔo pragmatikoÐ arijmoÐ, èqoume x ≤ y   y ≤ x.R3. An èqoume sugqrìnwc x ≤ y kai y ≤ x, tìte x = y kai antÐstro-

fa.R4. An x ≤ y kai y ≤ z, tìte x ≤ z.R5. (x + y) + z = x + (y + z) .

R6. x + y = y + x.

R7. Up�rqei ènac pragmatikìc arijmìc α tètoioc ¸ste α +x = x giak�je pragmatikì arijmì x.

R8. Gia k�je pragmatikì arijmì x, up�rqei ènac pragmatikìc arijmìcx′ tètoioc ¸ste x + x′ = α.

R9. An x ≤ y, tìte x + z ≤ y + z gia k�je pragmatikì arijmì z.R10. x (yz) = (xy) z.R11. xy = yx.

R12. Up�rqei ènac pragmatikìc arijmìc ε tètoioc ¸ste εx = x giak�je pragmatikì arijmì x.

R13. Gia k�je pragmatikì arijmì x 6= α, up�rqei ènac pragmatikìcarijmìc x′′ tètoioc ¸ste xx′′ = ε.

R14. An α ≤ x kai α ≤ y, tìte α ≤ xy.

1.3. To s¸ma twn pragmatik¸n arijm¸n 15

R15. x (y + z) = xy + xz.Gia k�je pragmatikì arijmì x, kai gia k�je fusikì arijmì n, orÐzoume

epagwgik� ton pragmatikì arijmì nx wc ex c:

1x = x, (n + 1) x = nx + x.

R16. An α ≤ x kai α 6= x, gia k�je pragmatikì arijmì y up�rqeiènac fusikìc arijmìc n tètoioc ¸ste y ≤ nx (“axÐwma tou Arqim dh”).

R17. An (bk)k≥0 kai (ck)k≥0 eÐnai dÔo akoloujÐec pragmatik¸n ari-jm¸n me �peiro to pl joc ìrouc tètoiec ¸ste

bk ≤ bk+1 ≤ ck+1 ≤ ck,

tìte up�rqei ènac pragmatikìc arijmìc x tètoioc ¸ste

bk ≤ x ≤ ck

gia k�je k (“axÐwma twn egkibwtismènwn diasthm�twn”).Ac d¸soume t¸ra thn apìdeixh orismènwn idiot twn pou eÐnai sunèpeia

twn axiwm�twn wc èna pr¸to par�deigma tou trìpou an�ptuxhc miacaxiwmatik c jewrÐac.1. O arijmìc α pou ikanopoieÐ to R7 eÐnai monadikìc. Pr�gmati, an

α′ eÐnai ènac �lloc arijmìc pou ikanopoieÐ

α′ + x = x

gia k�je pragmatikì arijmì x, tìte apì to R6 èqoume

α = α′ + α = α + α′ = a′.

Efex c sumbolÐzoume me 0 ton monadikì arijmì α pou ikanopoieÐ to R7.2. Gia k�je pragmatikì arijmì x, o pragmatikìc arijmìc x′ pou

ikanopoeÐ to R8 eÐnai monadikìc. Pr�gmati, an upojèsoume ìti x+x′ = 0kai x + y = 0, tìte apì ta R5 kai R6 èqoume ìti

x′ = x′ + 0 = x′ + (x + y) = (x′ + x) + y = 0 + y = y.

16 1. M�jhma 3o

Efex c ja sumbolÐzoume me −x ton monadikì arijmì x′ pou ikanopoieÐto R8. 'Eqoume − (−x) = x.3. Apì th sqèsh x + z = y + z sunep�getai ìti x = y. Pr�gmati

x = x + 0 = x + (z + (−z)) = x + z + (−z)

= y + z + (−z) = y + (z + (−z)) = y + 0 = y.

4. Gia k�je pragmatikì arijmì x isqÔei ìti 0x = 0. Pr�gmati apì toR15 èqoume

0x + yx = (0 + y)x = yx = 0 + yx

kai apì thn 3 sumperaÐnoume ìti 0x = 0.5. An xy = 0, tìte ènac toul�qiston apì touc dÔo arijmoÔc x, y eÐnai

to 0, (lème ìti den up�rqei pragmatikìc arijmìc pou eÐnai “diairèthc toumhdenìc”). Pr�gmati, an x 6= 0, tìte apì tic sqèseic R10 - R13 èqoume:

x′′(xy) = (x′′x)y = εy = y kai x′′(xy) = x′′0 = 0x′′ = 0.

H sqèshx ≤ y kai x 6= y

gr�fetai wc ex c:x < y   y > x.

An x < y kai y ≤ z, tìte x < z afoÔ apì thn R4 an eÐqame x = z,tìte ja eÐqame y ≤ x, kai apì thn R3 ja sumperèname ìti x = y, pouantif�skei me thn upìjesh x 6= y. Me ton Ðdio trìpo mporoÔme nadeÐxoume ìti an x ≤ y kai y < z, tìte x < z.6. An x > 0, tìte−x < 0. Pr�gmati, den mporoÔme na èqoume−x = 0,

giatÐ ja èqoume x = −(−x) = 0. EpÐshc den mporoÔme na èqoume−x > 0, giatÐ apì thn R9 sun�getai ìti 0 = x + (−x) ≥ x + 0 = x > 0,pou eÐnai �topo.7. IsqÔei (−x)y = (xy) kai (−x) (−y) = xy, (kanìnac twn pros mwn).

Pr�gmati, apì tic 2, 4, kai R15, èqoume

0 = 0y = (x + (−x))y = xy + (−x)y.

1.3. To s¸ma twn pragmatik¸n arijm¸n 17

'Etsi(−x) (−y) = − (x (−y)) = − (− (xy)) = xy.

8. Gia k�je x 6= 0, èqoume x2 > 0. Pr�gmati, an x2 = 0, tìte apìthn 5. èqoume x = 0. An x > 0, tìte apì thn R14 èqoume ìti x2 ≥ 0kai den eÐnai dunatìn na èqoume x2 = 0. Tèloc, an x < 0, tìte −x > 0kai apì thsqèsh 7 èpetai ìti x2 = (−x)2 .9. O arijmìc ε pou ikanopoieÐ thn R12 eÐnai monadikìc.10. Gia k�je x 6= 0, o arijmìc x′′ pou ikanopoieÐ thn R13 eÐnai

monadikìc.Oi apìdeÐxeic twn sqèsewn 9 kai 10 eÐnai ìmoiec me tic apìdeÐxeic twn

sqèsewn1 kai 2. Apl� antikajistoÔme thn prìsjesh me ton pollaplasi-asmì. SumbolÐzoume me 1 ton monadikì arijmì ε pou ikanopoieÐ thn R12kai me x−1   me 1/x ton monadikì arijmì x′′ pou ikanopoieÐ thn R13.IsqÔei 1 = 12 > 0 kai sunep¸c −1 < 0. EpÐshc (−1) x = −x afoÔ

x + (−1)x = 1x + (−1)x = (1 + (−1))x = 0x = 0.

Oi upìloipec idiìthtec twn pragmatik¸n arijm¸n apìdeiknÔontai parì-moia.Gia k�je akèraio n > 0, tautÐzoume ton n me ton pragmatikì arijmì

n.1. To sÔnolo Z twn pragmatik¸n arijm¸n 0, n.1 kai n. (−1) = − (n.1)gia k�je n akèraio, lègetai sÔnolo twn akeraÐwn arijm¸n.

18 1. M�jhma 3o

BibliografÐa

[1] M. Aigner, G. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 2004

[2] Les Oeuvres d’Euclide, trad. F. Peyrard (1819), nouv. tirage, Paris(A. Blanchard), 1966.

[3] D. QristodoÔlou, Ta Majhmatik� sthn arqaÐa Alexandreia, Ekd.EURASIA, 2012.

[4] W. Rudin, Arqèc Majhmatik c AnalÔsewc, Ekd. Leader, 2000.

[5] W. Thurston, Three-dimensinal Geometry and Topology,????????????

19