i.t.c.g. mosè bianchi mauro bosisio classe a2 geometri anno scolastico 2000\2001
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I.T.C.G. Mosè Bianchi Mauro Bosisio Classe A2 Geometri Anno scolastico 2000\2001. Il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Questo criterio , come gli altri due, è utile per dimostrare la congruenza di due o più triangoli, conoscendone solo alcuni dati. Il secondo criterio dice :. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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I.T.C.G. Mosè BianchiMauro Bosisio
Classe A2 GeometriAnno scolastico 2000\2001
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Il secondo criterio di
congruenza dei triangoli
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Questo criterio , come gli altri due, è utile per dimostrare la congruenza di due o più triangoli, conoscendone solo alcuni dati
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• Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso, essi sono congruenti
Il secondo criterio dice :
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Osserviamo:
Cominciamo prendendo un angolo di ampiezza qualsiasi
A
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Consideriamo ora un punto B su uno dei lati dell’angolo
A
B
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Ora “costruiamo” un’ altro angolo di vertice B e lato BA come in figura
A
B
C
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Come si può vedere, con questi tre elementi abbiamo costruito un triangolo e uno solo
A
B
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Non è stato necessario conoscere la lunghezza degli altri suoi elementi (il lato BC, il lato AC e l’angolo C).
Se osserviamo attentamente, ci rendiamo conto che queste due informazioni sono superflue, infatti il punto d’incontro delle semirette BC e AC è unico.
A
B
C
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Abbiamo così osservato come, utilizzando questi tre dati solamente, si possa costruire un triangolo e uno solo…
.. e quindi il perché della congruenza di due triangoli se hanno tra loro congruenti questi elementi.
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Ora dimostriamo il teorema:
C
C’
B’A’
BA
Per la dimostrazione di questo teorema useremo il metodo per assurdo
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C
C’
B’A’
BA
Ipotesi: AB A’B’
CAB C’A’B’
ABC A’B’C’
Tesi: ABC A’B’C’
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Ora poniamo per assurdo che i due triangoli non siano
congruenti e supponiamo che i lati AC e A’C’ siano diversi
(nel nostro caso porremo
AC > A’C’)
Prendiamo su AC un punto C” tale che AC” A’C’
Ora uniamo C” con B
C
C’
B’A’
BA
C”
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C’
B’A’
B
C
C”
A
I due triangoli considerati sono quindi congruenti per il primo
criterio di congruenza dei triangoli
Consideriamo i triangoli
ABC” e A’B’C’
A A’ (per ipotesi)
AC” A’C’ (per costruzione)
AB A’B’ (per ipotesi)
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C
C”
A B
Risulta:
ABC A’B’C’
ma ABC”<ABC perché C” è interno ad ABC
Per cui A’B’C’<ABC
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Poichè non possiamo negare l’ ipotesi che è necessariamente vera, resta
dimostrato il teorema
Ma in questo modo si verrebbe a negare l’ipotesi, secondo cui ABC A’B’C’
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Ora applichiamo quello che si è appena detto:
Osserviamo un triangolo qualsiasi :
Poniamo l’ attenzione rispettivamente sul lato AB, l’ angolo A e l’ angolo B
A
BC
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Ora osserviamo quest’ altro triangolo avente alcuni dati uguali al primo :
L’angolo F è congruente all’ angolo A del triangolo precedente
Il lato FG è congruente al lato AB del triangolo precedente
E per finire l’angolo G è congruente all’angolo B del triangolo precedente
F
EG
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A FB G
AB FG
A
B F
G
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I due triangoli hanno abbastanza dati comuni per essere, come abbiamo visto, tra loro congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli.
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Utilizzando il secondo criterio di congruenza dei triangoli abbiamo dimostrato la congruenza di queste due figure
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Fine