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DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
Iterazione Vs Ricorsione
Marco D. Santambrogio – [email protected] Ver. aggiornata al 7 Gennaio 2014
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E INFORMAZIONE
Nota per i “7”
• Cosa: § Prova “colpo-singolo” § No libri, e/o appunti § 1 exe in C in 30’
• Quando § Domani: martedì 8 Gennaio § Dalle 12.15 alle 13
• Dove § BL27.18
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Obiettivi
• Induzione matematica • Iterazione • Cosa significa “ricorsivo” • Iterazione Vs ricorsione
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L’induzione matematica
• Si usa nelle definizioni e nelle dimostrazioni
• Definizione: numeri pari § 1) 0 è un numero pari § 2) se n è un numero pari anche n+2 è un
numero pari • Dimostrazione: dimostro che (2n)2=4n2 (distributività della potenza di 2 risp. alla moltiplicazione)
§ 1) n=1 : vero § 2) suppongo sia vero per k, lo dimostro per k
+1: (2(k+1))2=(2k+2)2=(2k)2+8k+4= (per hp di
induzione) 4k2 +8k+4 = 4(k2 +2k+1) = 4(k+1)2 § 1) è il passo base, 2) è il passo di induzione
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Il tacchino induttivista
• Un tacchino induttivista viene allevato in una fattoria del Maine (USA)
• Ogni giorno alle 7am Mr Jones porta il cibo al tacchino induttivista
• Il tacchino segue il seguente ragionamento: § Il giorno 1 Mr Jones mi ha portato il cibo @
7am § Ieri era il giorno “n” e Mr Jones mi ha portato
il cibo @ 7am § Oggi è il giorno “n+1” ed il cibo è arrivato § Tutti i giorni @l 7am Mr Jones mi porterà il
cibo • … Thanksgiving
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Iterazione e ricorsione
• Sono i due concetti informatici che nascono dal concetto di induzione
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Iterazione
• L’iterazione si realizza mediante la tecnica del ciclo
• Il calcolo del fattoriale: § 0!=1 § n!=n(n-1)(n-2)….1 (realizzo un ciclo)
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Iterazione
• Il calcolo del fattoriale mediante una tecnica iterativa:
function [f]=fact(n) f=1; for i=1:n f=f*i; end
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La ricorsione
• Dal latino re-currere § ricorrere, fare ripetutamente la stessa
azione • In informatica: si tratta di
procedure/funzioni che richiamano se stesse
• Il concetto di ricorsione viene usato nel contesto di: § algoritmi § strutture dati
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“Flusso” di lavoro
• Il programmatore formula l’algoritmo dal generale al particolare § Si descrivono la funzione sulla globalità
dei dati in termini della funzione stessa sui dati disgregati
• L’algoritmo viene poi eseguito dal particolare al generale § Vengono infatti lasciate in sospeso le
operazioni globali e il calcolo vero e proprio inizia dai dati atomici
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Definizione ricorsiva del fattoriale
1) n!=1 se n=0 2) n!= n*(n-1)! se n>0
§ riduce il calcolo a un calcolo più semplice § ha senso perché si basa sempre sul
fattoriale del numero più piccolo, che io conosco
§ ha senso perché si arriva a un punto in cui non è più necessario riusare la def. 2) e invece si usa la 1)
§ 1) è il passo base, 2) è il passo di ricorsione
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Algoritmo ricorsivo per fattoriale
function [f]=factRic(n) if (n==0) f=1; else f=n*factRic(n-1); end
• Quando si può dire che una ricorsione è ben definita? § Informalmente: se ogni volta che applico la
ricorsione sono significativamente più vicino al passo base, allora la definizione non è circolare.
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Esempio di traccia
• Calcoliamo il fattoriale di 4: • 4=0? No: calcoliamo il fattoriale di 3 e molt. per 4 • 3=0? No: calcoliamo il fattoriale di 2 e molt. per 3 • 2=0? No: calcoliamo il fattoriale di 1 e molt. per 2 • 1=0? No: calcoliamo il fattoriale di 0 e molt. per 1 • 0=0? Si: il fattoriale di 0 è 1. Risaliamo: • il fattoriale di 1 è 1 per il fattoriale di 0 cioè 1*1=1 • il fattoriale di 2 è 2 per il fattoriale di 1 cioè 2*1=2 • il fattoriale di 3 è 3 per il fattoriale di 2 cioè 3*2=6 • il fattoriale di 4 è 4 per il fattoriale di 3 cioè 4*6=24
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n:3 f:.. factRic
(1)
n:3 f:.. factRic
(2)
n:2 f:.. factRic
n:3 f:.. factRic
(3)
n:2 f:.. factRic
n:1 f:.. factRic
n:3 f:.. factRic
(4)
n:2 f:.. factRic
n:1 f:.. factRic
n:0 f:.. factRic
n:3 f:.. factRic
(5)
n:2 f:.. factRic
n:1 f:.. factRic
n:0 f:1 factRic
n:3 f:.. factRic
(6)
n:2 f:.. factRic
n:1 f:1 factRic
n:3 f:.. factRic
(7)
n:2 f:2 factRic
n:3 f:6 factRic
(8)
Ambienti locali gestiti in modo LIFO (Last In First Out) Cancellati in ordine inverso a quello un cui sono stati creati Si usa una struttura di dati detta PILA
Gestione a pila degli ambienti locali delle funzioni
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Altri esempi di funzioni ricorsive
• I numeri di Fibonacci (dinamiche di popolazione)
• Il Massimo Comun Divisore
(algoritmo di Euclide) • Il problema delle torri di Hanoi
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Fibonacci
• Leonardo Fibonacci § Matematico italiano § Compie numerosi viaggi e
assimila le conoscenze matematiche del mondo arabo,
§ Nel 1202 pubblica: il Liber abaci
§ Con Liber abaci si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi • il sistema decimale
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Il problema dei “conigli”
“Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.”
L. Fibonacci da Liber Abaci
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I numeri di Fibonacci
Idea di base 1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1
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I numeri di Fibonacci
1) fib(n)=1 se n=0 opp. n=1 2) fib(n)= fib(n-1) + fib(n-2) se n>1 Vengono usati per modellare la crescita di animali
per diverse generazioni
function [f]=fib (n) if n==1 | n==2 f = 1; else f = fib(n - 2) + fib(n - 1); end
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Il MCD
Definizione: 1) MCD(m,n)=m se m=n 2a) MCD(m,n)= MCD(m-n,n) se m>n 2b) MCD(m,n)=MCD(m,n-m) se n>m esempio: MCD(21,56) = MCD(21,35) =
MCD(21,14)= = MCD(7,14) = MCD(7,7) = 7
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IL MCD
Iterativo:
function [M]=MCDeuclid(m,n) while m ~= n if m>n m=m-n; else n=n-m; end end M=m;
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IL MCD
Iterativo:
function [M]=MCDeuclid(m,n) while m ~= n if m>n m=m-n; else n=n-m; end end M=m;
Ricorsivo:
function [M]=MCDeuclidRic(m,n) if m==n M=m; else if m>n M = MCDeuclidRic(m-n,n); else M = MCDeuclidRic(m,n-m); end end
• Attenzione alla condizione di terminazione!!!!! • N.B. è sempre possibile trovare un
corrispondente iterativo di un programma ricorsivo!!!
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La leggenda
• Narra la leggenda che all'inizio dei tempi, Brahma portò nel grande tempio di Benares, sotto la cupola d'oro che si trova al centro del mondo, tre colonnine di diamante e sessantaquattro dischi d'oro, collocati su una di queste colonnine in ordine decrescente, dal più piccolo in alto, al più grande in basso.
• E' la sacra Torre di Brahma che vede impegnati, giorno e notte, i sacerdoti del tempio nel trasferimento della torre di dischi dalla prima alla terza colonnina.
• Essi non devono contravvenire alle regole precise, imposte da Brahma stesso, che richiedono di spostare soltanto un disco alla volta e che non ci sia mai un disco sopra uno più piccolo.
• Quando i sacerdoti avranno completato il loro lavoro e tutti i dischi saranno riordinati sulla terza colonnina, la torre e il tempio crolleranno e sarà la fine del mondo.
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Le torri di Hanoi
http://www.cs.cmu.edu/~cburch/survey/recurse/hanoi.html
Problema: spostare tutti i dischi dalla torre A alla torre B (usando la torre C come “supporto intermedio”) in modo che si trovino nello stesso ordine
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Le torri di Hanoi
• Scriveremo una funzione ricorsiva che prende come parametro il numero del disco più grande che vogliamo spostare (da 0 a 5 come nel disegno)
• La funzione prenderà anche tre parametri che indicano: § da quale asta vogliamo partire (source), § a quale asta vogliamo arrivare (dest), § l’altra asta, che possiamo usare come
supporto temporaneo (spare).
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L’idea di base
• Voglio spostare n anelli dal piolo sorgente, a quello destinazione, usando come appoggio il piolo ausiliario § Devo quindi prima spostare n - 1 anelli
dal sorgente all'ausiliario, usando come appoggio il piolo destinazione
§ Poi sposto l'unico anello rimasto dal sorgente al piolo destinazione
§ Infine sposto gli n - 1 anelli che si trovano sull'ausilliario all'anello destinazione..
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L’uso della ricorsione
• Quando si spostano gli n - 1 anelli la funzione hanoi richiama se stessa, cioè effettua una chiamata ricorsiva, semplificando però il problema perché bisogna spostare un numero di anelli inferiore.
• In pratica, con la ricorsione il problema viene continuamente ridotto di complessità fino alla soluzione banale in cui rimane solo un anello, che viene semplicemente spostato nel piolo destinazione.
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Le torri di Hanoi: strategia
Ridurremo il problema a quello di spostare 5 dischi dalla torre C alla torre B, dopo che il disco 5 è stato già messo nella posizione giusta
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Le torri di Hanoi: pseudocodice
FUNCTION MoveTower(disk, source, dest, spare): IF disk == 0, THEN: move disk from source to dest ELSE: MoveTower(disk - 1, source, spare, dest) /* (Passo 1) */ move disk from source to dest // /
* (Passo 2) */ MoveTower(disk - 1, spare, dest, source) // /
* (Passo 3) */ END IF Nota: l’algoritmo aggiunge un caso base: quando il disco è il più
piccolo (il numero 0). In questo caso possiamo muoverlo direttamente perché non ne ha altri sopra. Negli altri casi, seguiamo la procedura descritta per il disco 5.
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Soluzione in codice MATLAB con simulazione
function []=hanoi(n, da, a, per) if (n>1) hanoi(n-1, da, per, a); end; fprintf('\n sposta un disco dal piolo %d al piolo %d \n', da, a); if (n>1) hanoi(n-1, per, a, da); end;
>> hanoi(3, 1, 2, 3) sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 2 al piolo 3 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 1 sposta un disco dal piolo 3 al piolo 2 sposta un disco dal piolo 1 al piolo 2 >>
hanoi(3, 1, 2, 3)
hanoi(2, 1, 3, 2) hanoi(2, 3, 2, 1)
hanoi(1, 1, 2, 3) hanoi(1, 2, 3, 1) hanoi(1, 3, 1, 2) hanoi(1, 1, 2, 3)
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Fonti per lo studio + Credits
• Fonti per lo studio § Introduzione alla programmazione in
MATLAB, A.Campi, E.Di Nitto, D.Loiacono, A.Morzenti, P.Spoletini, Ed.Esculapio • Capitolo 4
– Particolare attezione al 4.5
• Credits § Prof W. Fornaciari § Prof. A. Morzenti
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