iuliana carmen barb… …acioru · 2020. 6. 23. · prelucrarea datelor 8.4.2 ajust…ari a–ne...
TRANSCRIPT
-
Prelucrarea datelor
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
2013
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
2
-
Cuprins
1 Serii de caractere 111.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Caractere calitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Prezentarea tabelului
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Caractere cantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2 Prezentarea tabelului
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Reprezentãri grace 312.1 Caractere calitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Caractere cantitative discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Caractere cantitative regrupate în clase . . . . . . . . . . . . . . . 422.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7 Diagrame specice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.9.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
2.9.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3 Parametrii de pozi̧tie 633.1 Medii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1 Media aritmeticã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.2 Media geometricã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3 Media armonicã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.4 Media p¼atraticã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Cuantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.2 Determinarea unei cuantile de ordin �%(0 < � < 100) . . . 72
3.3 Mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.2 Determinarea modului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Comparaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.5.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4 Parametrii de dispersie şi de form¼a 914.1 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.1 Momente de ordinul r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.2 Momente centrate de ordinul r . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Egalitãţi remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Schimbarea originii şi a unitãţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Varianţa şi abaterea standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5.1 Varianţa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.2 Abaterea standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.3 Calcularea varianţei: teorema lui Koenigs . . . . . . . . . . 94
4.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.7 Coecient de variaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8 Abaterea medie absolutã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.8.1 Abaterea medie absolutã în raport cu media . . . . . . . . . 984.8.2 Abaterea medie absolutã în raport cu mediana . . . . . . . 98
4.9 Abateri intercuantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.9.1 Intervale intercuantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.9.2 Abateri intercuantilice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.9.3 Amplitudinea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4
-
Prelucrarea datelor
4.10 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.11 Parametrii de formã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.11.1 Parametrii de asimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.11.2 Parametrii de aplatizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.12 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.13 Cutii cu capete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.13.1 Cutii cu capete de lãţime constantã . . . . . . . . . . . . . 1154.13.2 Cutii cu capete de l¼aţime variabil¼a . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Concentra̧tii 1235.1 Mediala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.3 Curba de concentraţie (Gini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.2 Interpretare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.3.3 Determinarea grac¼a a medialei . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 Indicele de concentraţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.6 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.6.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.6.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 Indici 1516.1 Indicii elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.1.1 Deni̧tii şi notaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.1.2 Propriet¼aţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.1.3 Procentul de varia̧tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3 Indici sintetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3.1 Coecienţii bugetari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.3.2 Indicii Laspeyres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.3 Indicii Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.4 Formule de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.3.5 Comparaţii între indicii Laspeyres şi Paasche . . . . . . . . 1586.3.6 Indicii Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.5 Indici înl¼anţui̧ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
6.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.7.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.7.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7 Distribuţii statistice bidimensionale 1777.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.2 Prezentarea tabelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.3 Distribuţii asociate şi independenţa statistic¼a . . . . . . . . . . . . 179
7.3.1 Distribuţii marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.3.2 Independenţa statistic¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.4.1 Distribuţii condi̧tionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.5 Reprezent¼ari grace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.5.1 Nor de puncte ponderate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.5.2 Stereograme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.6 Parametrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.1 Medii marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.2 Dispersii marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.3 Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6.4 Covarianţa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.7.1 Medii condi̧tionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.7.2 Dispersii condi̧tionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.8 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.8.1 Relaţii între parametrii marginali şi cei condi̧tionaţi . . . . 1927.8.2 Descompunerea dispersiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.9 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.9.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.9.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8 Regresie şi corela̧tie 2058.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.2 Regresii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.1 Regresia lui Y faţ¼a de X şi a lui X faţ¼a de Y . . . . . . . . 2058.2.2 Metoda celor mai mici p¼atrate . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3 Curbe de regresie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.4 Ajust¼ari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.4.1 Ajust¼ari ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6
-
Prelucrarea datelor
8.4.2 Ajust¼ari ane prin metoda celor mai mici p¼atrate . . . . . . 2088.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2098.6 Corelaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.6.1 Raportul de corelaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.6.2 Coecientul de determinare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.6.3 Coecientul de corelaţie liniar¼a . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.7.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.7.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9 Serii cronologice 2459.1 Deni̧tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.2 Reprezent¼ari grace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.4 Analiza unei serii cronologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.4.1 Tendinţa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.4.2 Variaţia sezonier¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.4.3 Ciclicitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.4.4 Variaţia accidental¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.5 Previziunea pe termen scurt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2539.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2559.7 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.7.1 Enunţuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2629.7.2 Soluţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10 Teste 26910.1 TEST 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.2 TEST 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27310.3 TEST 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27610.4 TEST 4 . . 27910.5 TEST 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28210.6 TEST 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.7 TEST 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28810.8 TEST 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29110.9 TEST 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29810.10TEST 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Bibliograe 314
7
-
Index 315
-
Prelucrarea datelor
Prefa̧t¼aAcest curs de prelucrarea datelor se adreseazã studenţilor din anul II si IV ai
Facult¼aţii de Inginerie.Nivelul sãu corespunde anului II, deci este accesibil tuturor absolvenţilor de
liceu.El este conceput pentru a permite studiul individual de-a lungul întregului an
şi bineînţeles pentru pregãtirea examenului.Exerci̧tiile comportã un numãr mare de calcule care sunt fãcute cu ajutorul
calculatorului. Rezultatele sunt aproximate şi trecute cu un numãr mare dezecimale adaptate de la caz la caz. Atunci când calculele sunt înscrise într-untabel, de exemplu, calculele sunt efectuate cu 9 zecimale.
Calculele ulterioare care reprezintã rezultate sigure sunt efectuate cu valorilelor rotunjite.
9
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
10
-
Capitolul 1
Serii de caractere
1.1 Deni̧tii
� Popula̧tie1: muļtimea de referinţã, altfel spus muļtimea unitãţilor observate.
� Individ sau unitate statisticã: toate elementele popula̧tiei.
� Efectiv total: numãrul indivizilor observaţi, notat cu n.
� Caracter: aspectul particular al individului de care ne interesãm. Elpoate cantitativ sau calitativ. Dacã este cantitativ poate discretsau continuu.
1.2 Exemple
Exemplul 1.2.1 Spuneţi dac¼a, în vederea efectuãrii unui studiu statistic, urmãtoareapopulaţie este bine denitã:
a) personalul bancar de la B.N.R?
b) indivizii de naţionalitate românã?
c) locuitorii municipiilor?
d) mica publicitate depusã la panoul de aşaj Hypertruc, la 01.04.2001?
e) şomerii români la data 01.01.2002?
1Denţia populaţiei este importantã deoarece ea condi̧tioneazã omogenitatea unitãţilorobservate şi abilitatea rezultatelor.
11
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Soluţie: a) Personalul de la B.N.R. nu corespunde unei popula̧tii bine denite.Se poate întâmpla ca:- efectivul total la 31.12 sã e în concediu fãrã platã, concediu de boalã peperioadã îndelungatã şi serviciu militar.- personal prezent permanent de la 01.01 la 31.12.- personal fãrã contract pe o duratã determinatã (replasaţi sau temporari) şiconcediu fãrã platã.b) Aceastã populaţie este bine denitã, dar ea nu exclude indivizii care au dublãnaţionalitate.c) Aceastã deni̧tie nu ne oferã date despre:- soldaţii în termen care î̧si efectueazã serviciul militar în municipii,- studenţi,- persoanele care au ca reşedinţ¼a secundarã municipiile, etc.d) Aceastã populaţie este bine denitã, deoarece un mic anunţ publicitar estesau nu pe panoul de a̧saj.e) Deni̧tia cuvântului şomer nu este precis precizatã.- Ociul Na̧tional pentru ocuparea foŗtei de muncã deneşte ca şomeri toatepersoanele care simultan sunt lipsite de slujbã, cautã o slujbã remuneratã, solicitão slujbã, cautã un loc de muncã plãtit. Aceastã deni̧tie a fost adoptatã de INSEEîn 1975.- Altã deni̧tie posibilã: Toate persoanele fãrã slujbã, înscrise la Ociul Naţionalpentru ocuparea foŗtei de muncã care-̧si cautã un loc de muncã durabil pentrucare sunt dispuse sã înceapã lucrul imediat.
Exemplul 1.2.2 INSEE anunţã în februarie 1984 cã: Numãrul de strãini recenzaţieste de 3.680.100. Statistica anualã a Ministerului de Interne dã ca cifrã 4.223.928la 31.12.1984. Cum explicaţi diferenţa dintre cele douã cifre?
Soluţie: Diferenţa dintre cele douã cifre nu este sucientã pentru a explicaabaterile importante fãcute de cele douã surse citate. Cea de aici provine îndeosebidin faptul cã realitãţile luate în calcul sunt diferite şi cã erorile proprii ale ecãreisurse sunt de sens contrar. De asemenea, Ministerul de Interne nu ia în calculsejururile în curs de desfãşurare dar ţine cont de copii mai mici de 16 ani a cãrorvârstã este declaratã de pãrinţi în timp se INSEE face recensãmântul, anchete peteren cu ajutorul primãriilor.Cele douã metode prezintã lacune şi cele douã cifre furnizate sunt cu certitudineeronate. INSEE crede cã el a sub-estimat populaţia strãinã cu 10 % la recensãmântuldin 1975. Prin urmare putem trage concluzia cã Ministerului de Interne a supra-
12
-
Prelucrarea datelor
estimat aceastã populaţie pentru a-̧si mãri numãrul angajaţilor sau din motivepolitice...
Observa̧tia 1.2.3 Acest exemplu relevã importanţa denirii populaţiei şi modalitateade colectare a datelor.
1.3 Caractere calitative
1.3.1 Deni̧tii
� Un caracter este calitativ dacã pe parcursul studierii individului nu estenecesarã o mãsurare (el este legat de o observaţie care nu face obiectul uneimãsurãtori).
Exemplul 1.3.1 Exemplu: populaţia unei ţãri poate caracterizatã prin:- sex (feminin sau masculin);- situaţie matrimonialã (celibatar, cãsãtorit, vãduv, divorţat).
� Modalitã̧ti: sunt diferite rubrici asociate unui caracter calitativ. Astfel,caracterul sexcomportã douã modalitã̧ti.Proprietate: Modalitãţile unei caracteristici formeazã o parti̧tie, altfelspus, ele trebuie sã e exhaustive şi disjuncte. Fiecãrui individ i se poateasocia o modalitate şi numai una.
� Nomenclator: muļtimea modalitãţilor precedate de un numãr de cod.
� Efectiv ni: de câte ori sau în câte modalitãţi numãrul "i" a fost observat.
� Frecvenţã fi: cantitatea de efectiv ni din efectivul total n.
Observa̧tia 1.3.2 Avem relaţiile:
n =nXi=1
ni (1.1)
fi =ninPi=1ni
(1.2)
nXi=1
fi = 1 (1.3)
13
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
- Frecvenţele pot exprimate în tabel şi în procente.- Deoarece modalitãţile trebuie sã e exhaustive, putem aprecia o modalitate caind diversãsau alt felsau fãrã rãspuns, grupând astfel indivizii imposibilde catalogat.
1.3.2 Prezentarea tabelului
Modalitatea
numãrul i
Efectivul
ni
Frecvenţa
fi
1
:::::
:::::
r
n1
nr
f1
fr
1.4 Exemple
Exemplul 1.4.1 Producţia de aluminiu în 1988, în cinci ţãri industrializate erade (în miliarde de tone):
U.S.A.
U.R.S.S.
Canada
Japonia
Franţa
5.262
2.415
1.347
1.099
536
a) Calculaţi producţia totalã.b) Calculaţi proporţia producţiei pentru ecare ţarã în parte.
Soluţie: a) Este sucient sã însumãm cifrele din cea de-a doua coloanã pentrua obţine produçtia totalã, adicã 10.659.000 t.
b) Propoŗtia produçtiei pentru ecare ţarã în parte se obţine împãŗtind produçtiaecãrei ţãri în parte la produçtia totalã (vezi ecuaţia 1.2).
14
-
Prelucrarea datelor
ni fi ( în % )
U.S.A.
U.R.S.S.
Canada
Japonia
Franţa
5.262
2.415
1.347
1.099
536
49,4
22,7
12,6
10,3
5,0
Total 10.659 100,0
Exemplul 1.4.2 Avem urmãtorul text de Alvin To er2: Ceea ce trece astãzidrept învâţãmânt, e el chiar şi în cele mai bune şcoli şi colegii, nu este decât unanacronism dezasperant. Pãrinţii sperã cã învãţãmântul îi va pregãti pe copiii lorpentru viaţa viitorului. Profesorii îi avertizeazã cã lacunele sistemului actual vormutila şansele copilului în lumea de mâine. Instituţiile guvernamentale, biserica,mass-media - toate recomandã cu cãldurã tinerilor sã meargã la şcoalã, insistândasupra faptului cã acum, ca niciodatã în istorie, viitorul omului depinde aproapeîn întregime de studiile sale.Dar, cu toate aceste discuţii despre viitor, şcolile noastre sunt ancorate într-unsistem sortit dispariţiei, în loc sã priveascã înainte, spre societatea nouã în cursde a se naşte. Vastele lor energii sunt folosite pentru a fabrica Oameni Industriali- oameni croiţi pentru a supravieţui doar într-un sistem ce va mort înaintealor. Pentru a evita şocul viitorului, trebuie sã creãm un sistem de învãţãmântsupraindustrial. Iar pentru a face aceasta trebuie sã ne cãutãm obiectivele şimetodele în viitor, şi nu în trecut Care este litera din alfabet cea mai frecventã în acest text? Care sunt cele treilitere cu frecvenţa cea mai mare?
2Alvin To er, Şocul viitorului, Ed. Politicã, Bucureşti, 1973
15
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Soluţie: Obţinem urmãtorul tabel:
ni fi ( în % )
a
~a
â
b
c
d
e
f
g
h
71
27
7
3
40
19
93
7
6
1
8; 84
3; 36
0; 87
0; 37
4; 98
2; 36
11; 58
0; 87
0; 74
0; 12
ni fi ( în % )
i
{̂
j
k
l
m
n
o
p
r
98
17
0
0
37
25
53
37
21
48
12; 20
2; 11
0
0
4; 60
3; 11
6; 60
4; 60
2; 61
5; 97
ni fi ( în % )
s
ş
t
ţ
u
v
w
x
y
z
43
9
59
9
52
18
0
0
0
3
5; 35
1; 12
7; 34
1; 12
6; 47
2; 24
0
0
0
0; 37
Se observã cã cea mai des întâlnitã literã în text este i, urmatã de eşi a.
Exemplul 1.4.3 Completaţi tabelul de mai jos, ştiind cã prima şi ultima modalitateau efective egale:
Modalitã̧ti Frecvenţe
A
B
C
D
E
F
:::
0; 12
0; 34
0; 27
0; 15
:::
Soluţie: Fie fi frecvenţa asociatã ecãrei modalitãţi. Avem:
f2 + f3 + f4 + f5 = 0; 12 + 0; 34 + 0; 27 + 0; 15 = 0; 88
Rezultã cã:f1 + f6 = 1� 0; 88 = 0; 12
Cum f1 = f6 deoarece efectivele sunt egale, frecvenţele sunt egale f1 = f6 = 0; 6:
16
-
Prelucrarea datelor
1.5 Caractere cantitative
1.5.1 Deni̧tii
� Un caracter este cantitativ dacã se poate mãsura. El este:- discret dacã valorile observate sunt izolate sau separate;- continuu dacã acel caracter poate lua toate valorile cuprinse într-uninterval real.Se trateazã ca şi caractere continue toate caracterele discrete ale cãrorivalori au fost regrupate în clase.
� Frecvenţe cumulate crescãtoare: cumulul frecvenţelor asociate la valoride caractere strict inferioare lui x. Avem:
F1 = 0 (1.4)
Fi =
i�1Xj=1
fj pentru i = 1; 2; :::; n
� Funçtia de reparti̧tie: este funçtia F denitã prin:F (x) = proporţia indivizilor pentru care valoarea caracterelor este inferioarãlui x.
� Prin convenţie, o clasã este un interval închis la stânga şi deschis la dreapta,de tipul [bi; bi+1). Aceste intervale se zic bornate dacã bi 6= �1 iarbi+1 6= +1:
� Efectivul ni al clasei numãrul i este numãrul de indivizi ale cãror caractereiau o valoare mai mare sau egalã cu bi şi strict mai micã decât bi+1.
� Centrul unei clase bornate este:
xi =bi + bi+1
2(1.5)
� Amplitudinea unei clase bornate este:
ai = bi+1 � bi (1.6)
� Densitatea unei clase bornate este:
di =niai
(1.7)
Observa̧tia 1.5.1 Densitatea se calculeazã atunci când clasele sunt de amplitudinidiferite (dar nite).
17
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
1.5.2 Prezentarea tabelului
� Tabelul asociat unui caracter cantitativ discret
Valori
observate xi
Efective
ni
Frecvenţe
fi
Frecvenţe cumulate
crescãtor Fi
x1
xp
n1
np
f1
fp
F1
Fp
� Tabelul asociat unui caracter cantitativ continuu
Clasa
numãrul i
[bi; bi+1)
Centre
xi
Efective
ni
Frecvenţe
fi
Frecvenţe cumulate
crescãtor Fi
[b1; b2)
[bp; bp+1)
x1
xp
n1
np
f1
fp
F1
Fp
1.6 Exemple
Exemplul 1.6.1 Urmãtoarele caractere sunt calitative sau cantitative?
a) sexul d) talia g) tensiunea arterialã
b) starea matrimonialã e) culoarea ochilor h) nivelul colesterolului
c) vârsta f) picioarele i) domiciliul
Soluţie: Caracterele a, b, e, i sunt caractere calitative deoarece nu se potmãsura. Caracterele c, d, f, g, h sunt caractere cantitative, deoarece ecãruiindivid i se poate asocia o valoare numericã.
Exemplul 1.6.2 Analizând caracterele cantitative de mai jos, precizaţi care suntdiscrete şi care pot considerate continue ?
18
-
Prelucrarea datelor
a) cifra de afaceri a magazinelor alimentare;b) proporţia întreprinderilor ce aparţin de sectoare terţiare;c)cota parte pe membru de familie a unui contribuabil;d) numãrul de persoane ce locuiesc într-o locuinţã principalã;e) numãrul de locuri la cinema asociate ecãrei sãli;f) numãrul copiilor pe familie
Soluţie: a) Cifra de afaceri este un caracter cantitativ continuu deoarece eapoate lua nenumãrate valori reale pozitive.b) Propoŗtia întreprinderilor ce apaŗtin de sectoare teŗtiare corespunde unuinumãr întreg şi deci poate consideratã ca ind discretã. În aceeaşi mãsurã însã,întreprinderile de aceeaşi mãrime se pot grupa pe clase de salariaţi iar atunciacest caracter va considerat drept continuu.c) Cota parte pe membru de familie a unui contribuabil nu este un numãr întregdeoarece poate lua valorile 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4...., dar acest caracter este totuşiunul discret.d) Numãrul de persoane ce locuiesc într-o locuinţã principalã este un caracterdiscret.e) Numãrul de locuri la cinema asociate ecãrei sãli este un caracter discret, dar,pentru un studiu statistic se pot regrupa sãlile în funçtie de capacitate [0; 100),[100; 200),...f) Numãrul copiilor dintr-o gospodãrie este un caracter discret.
Exemplul 1.6.3 În urma unui studiu efectuat asupra populaţiei unui oraş s-astabilit numãrul de persoane aferent ecãrui menaj (gospodãrie, locuinţã). Acestaeste trecut în tabelul de mai jos.
Numãr de
persoane1 2 3 4 5 6 7 şi mai multe
Numãr de
menaje2.327 4.533 8.918 10.405 6.210 2.134 1.123
Calculaţi frecvenţele şi frecvenţele cumulate crescãtoare.
Soluţie: Pentru determinarea frecvenţelor trebuie sã calculãm mai înainterapoartele
ninunde ni este efectivul asociat modalitãţii xi şi n este efectivul
total.Pentru determinarea frecvenţelor cumulate crescãtoare, vom determina pentru
19
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
ecare xi propoŗtia menajelor având un numãr de persoane mai mic strict de xi.Tabelul de mai jos trebuie interpretat în felul urmãtor:De exemplu, valoarea 0,192 este corespunzãtoare lui xi egal cu 3. Deci 19,2 %dintre menaje sunt compuse din mai puţin de 3 persoane, adicã sunt compusedintr-o persoanã sau douã.
xi ni fi Fi
1
2
3
4
5
6
7 şi mai multe
2:327
4:533
8:918
10:405
6:210
2:134
1:123
0:065
0; 127
0; 250
0; 292
0; 174
0; 060
0; 032
0; 000
0; 065
0; 192
0; 442
0; 734
0; 908
0; 968
Total 35.650 1,000
Observa̧tia 1.6.4 Dacã frecvenţa cumulatã crescãtoare asociatã modalitãţii xide caractere este denitã ca o proporţie a menajelor ce se din mai puţin de xipersoane, frecvenţa cumulatã ataşatã valorii 3 nu este 0,192 ci 0,442.Pentru a evita problemele de interpretare ale deniţiei, putem adopta urmãtoareaprezentare tabelarã:
xi ni fi Fi
1
2
3
4
5
6
7şi mai multe
2:327
4:533
8:918
10:405
6:210
2:134
1:123
0:065
0; 127
0; 250
0; 292
0; 174
0; 060
0; 032
0; 000
0; 065
0; 192
0; 442
0; 734
0; 908
0; 968
Total 35.650 1,000
De exemplu, proporţia menajelor ce cuprind 1, 2 sau 3 persoane este egalã cu44,2 %.
20
-
Prelucrarea datelor
Exemplul 1.6.5 Pentru ecare dintre distribuţiile de mai jos scrieţi clasele subfomã de intervale reale şi calculaţi mijlocul lor.
diametrul (în mm) intervale de ani greutate (în kg)
140� 145145� 150150� 155155� 160160� 165165� 170
0� 5 ani6� 10 ani11� 15 ani16� 20 ani21� 25 ani26� 30 ani
mai puţin de 70
între 70 şi mai puţin de 75
între 75 şi mai puţin de 85
între 85 şi mai puţin de 90
între 90 şi mai puţin de 95
între 95 şi mai puţin de 100
Soluţie:
diametrul ( mm) centrele intervalelor
[140; 145)
[145; 150)
[150; 155)
[155; 160)
[160; 165)
[165; 170)
142; 5
147; 5
152; 5
157; 5
162; 5
167; 5
intervale de ani centrele intervalelor
[0; 5; 5)
[5; 5; 10; 5)
[10; 5; 15; 5)
[15; 5; 20; 5)
[20; 5; 25; 5)
[25; 5; 30; 5)
2; 75
8
13
18
23
28
greutate (în kg) centrele intervalelor
[0; 70)
[70; 75)
[75; 80)
[80; 85)
[85; 90)
[90; 100)
[100;+1)
35
72; 5
77; 5
82; 5
87; 5
95
�
Observa̧tia 1.6.6 Cea de-a doua distribuţie nu este corect denitã deoarece unindivid care are 20 de ani şi 3 luni nu se situeazã în nici un interval de ani deunde şi construcţia intervalelor disjuncte şi adiacente.
21
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
La cea de-a treia distribuţie ultima clasã nu are centru. Prima clasã are mijlocul35, trebuie deci sã m prudenţi la nivelul de interpretare statistic al acestei valori.Pentru calculele ulterioare, ar de dorit sã nu se ţinã seama de prima şi de ultimaclasã.
Exemplul 1.6.7 Completaţi urmãtorul tabel:
Clase Centre FrecvenţeFrecvenţe
cumulateDensitãţi
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 60)
[60; 80)
:::
:::
:::
:::
:::
0; 08
0; 13
:::
:::
:::
:::
:::
0; 21
0; 39
:::
:::
:::
:::
:::
:::
Soluţie: Utiliz¼am ecuaţiile (1.5),(1.2),(1.4) şi (1.7):
ClaseCentre
ni
Frecv.
fi
Frecv.
cum.
Fi
Densitãţi
di
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 60)
[60; 80)
15
25
35
50
70
0; 08
0; 13
0; 18
0; 25
0; 36
0; 00
0; 08
0; 21
0; 39
0; 64
0; 008
0; 013
0; 018
0; 012
0; 018
Observa̧tia 1.6.8 Se poate observa cã dacã se ştiu frecvenţele cumulate se potdetermina frecvenţele. Densitãţile sunt calculate aici ca rapoarte între frecvenţeşi amplitudini.
Exemplul 1.6.9 Studiul statistic al unei populaţii a permis regruparea indivizilorpe clase ale cãror centre sunt urmãtoarele:
52, 60, 68, 76, 84, 92
a) Care este amplitudinea acestor clase?b) Calculaţi limita inferioarã şi limita superioarã a ecãrei clase.
22
-
Prelucrarea datelor
Soluţie: a) Utiliz¼am ecuaţia (1.6). Amplitudinea ecãrei clase este egalã cu8.b) Clasele obţinute sunt urmãtoarele:[48;56) [56;64) [64;72) [72;80) [80;88) [88;96)
23
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
1.7 Probleme
1.7.1 Enuņturi
Problema 1.7.1 Angajaţii unei întreprinderi sunt repartizaţi în funcţie de salariullor pe orã, conform urmãtorului tabel:
Salariul (în lei ) Efectiv
[200; 250)
[250; 300)
[300; 350)
[350; 400)
[400; 450)
mai mult de 450
38
59
47
24
12
2
a) Care este limita superioarã ce trebuie datã ultimei clase dacã am dori catoate clasele sã aibã aceeaşi amplitudine?
b) Calculaţi centrul ecãrei clase.c) Calculaţi frecvenţele asociate ecãrei clase.d) Care este proporţia angajaţilor care câştigã mai puţin de 350 lei pe orã?
Problema 1.7.2 O anchetã despre înãlţimea a 50 de persoane (în cm) a avutca rezultat urmãtoarele date:
158 172 166 170 168 175 152 190 191 157
163 160 149 186 188 172 173 184 181 180
172 169 171 173 171 180 198 167 175 177
170 173 168 167 169 180 181 178 166 164
160 168 166 162 170 182 183 190 167 169
a) Clasaţi aceste date (amplitudinea unei clase sã e 5 cm).b) Calculaţi frecvenţele.c) Calculaţi frecvenţele cumulate crescãtoare.
Problema 1.7.3 Fie urmãtoarele date punctuale:
24
-
Prelucrarea datelor
Nume Vârsta Ocupaţie
D-na Popescu
D-nul Ionescu
D-nul Ivan
D-na Bordea
D-na Vasilescu
D-nul Muşat
D-na Luca
D-na Ridea
D-nul Muscalu
D-nul Zoi̧ta
D-nul Nãstase
D-na Duma
D-na Rus
D-nul Şerban
D-na Corici
D-na Barbu
D-nul Cristea
D-na Ridera
D-na Cojan
D-na Trotea
38
27
53
47
54
36
58
37
27
59
30
33
26
44
59
20
62
48
45
32
o̧ter
civil
subo̧ter
subo̧ter
civil
civil
subo̧ter
civil
o̧ter
subo̧ter
subo̧ter
civil
o̧ter
subo̧ter
civil
civil
subo̧ter
civil
civil
o̧ter
Nume Vârsta Ocupaţie
D-na Priescu
D-nul Popovici
D-nul Cambrea
D-na Scarlat
D-na Bordea
D-nul Mirea
D-na Lupu
D-na Scorei
D-nul Covercã
D-nul Dascãlu
D-nul Dinu
D-na Matei
D-na Mihai
D-nul Cintezã
D-na Arnãutu
D-na Dogaru
D-nul Puşcaş
D-na Toma
D-na Damian
D-na Jianu
53
26
35
23
27
47
28
48
56
59
30
38
31
24
38
29
65
57
56
44
subo̧ter
civil
subo̧ter
civil
civil
o̧ter
civil
civil
civil
civil
o̧ter
o̧ter
o̧ter
civil
civil
subo̧ter
o̧ter
subo̧ter
o̧ter
civil
Completaţi urmãtoarele tabele:
Sex Efectiv Frecvenţã
Masculin
Feminin
Total
25
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Vârstã Efectiv Frecvenţã
mai puţin de 25
între 25 şi 34
între 35 şi 44
între 45 şi 54
între 55 şi 59
mai mult de 60
Total
Calicare Efectiv Frecvenţã
civil
o̧ter
subo̧ter
Total
Calicare civil o̧ter subo̧ter Total
Sex
VârstãM F M+F M F M+F M F M+F
mai puţin de 25
între 25 şi 34
între 35 şi 44
între 45 şi 54
între 55 şi 59
mai mult de 60
Total
Problema 1.7.4 Prezentãm mai jos punctajul între 1 şi 20 obţinut de 50 decandidaţi:
10 8 3 12 13 9 12 9 12 11
11 11 8 5 13 14 14 6 12 16
7 11 10 10 2 15 12 10 1 14
11 7 8 10 13 9 13 9 7 13
11 19 9 4 10 8 9 6 7 14
26
-
Prelucrarea datelor
a) Aranjaţi aceste date într-un tabel ( Se vor considera urmãtoarele clase [0;5),[5;7), [7;9), [9;11), [11;13), [13;15), [15;20] ).
b) Calculaţi frecvenţele.
c) Calculaţi frecvenţele cumulate.
d) Care este proporţia candidaţilor cu mai puţin de 9 puncte?
e) Care este proporţia candidaţilor ce au un punctaj mai mare sau egal cu 13?
f) Care este proporţia candidaţilor ce au un punctaj cuprins între 5 şi 20?
g) Care este clasa cu densitatea cea mai mare şi care cu densitatea cea maimicã?
1.7.2 Solu̧tii
Soluţie: 1.7.1, a) Deoarece toate clasele trebuie sã aibã aceeaşi amplitudine,trebuie ca şi ultima sã aibã o amplitudine de 50. Utiliz¼am ecuaţia (1.6). Limitasuperioarã a ultimei clase este 500.b) Centrul ecãrei clase este mijlocul intervalului. Utiliz¼am ecuaţia (1.5)(vezitabelul de mai jos).c) Efectivul total este egalã cu suma efectivelor ecãrei clase. Utiliz¼am ecuaţia(1.1):
n = 38 + 59 + 47 + 24 + 12 + 2 = 182
Frecvenţele corespund rapoartelor dintre ecare efectiv în parte şi n. Utiliz¼amecuaţia (1.2). Obţinem urmãtorul tabel:
Salariul Efective Centre Frecvenţe (în %)
[200; 250)
[250; 300)
[300; 350)
[350; 400)
[400; 450)
[450; 450)
38
59
47
24
12
2
225
275
325
375
425
475
20; 88
32; 42
25; 82
13; 19
6; 59
1; 10
Total 182 100,00
27
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
d) Propoŗtia angajaţilor ce câştigã mai puţin de 350 lei este egalã cu sumafrecvenţelor primelor trei clase.
20; 88 + 32; 42 + 25; 82 = 79; 12%
Soluţie: 1.7.2Dupã ordonarea datelor pe clase se obţine urmãtorul tabel:
Clase Efective FrecvenţeFrecvenţe
cumulate
[145; 150)
[150; 155)
[155; 160)
[160; 165)
[165; 170)
[170; 175)
[175; 180)
[180; 185)
[185; 190)
[190; 155)
[195; 200)
1
1
2
5
12
11
4
8
2
3
1
0; 02
0; 02
0; 04
0; 10
0; 24
0; 22
0; 08
0; 16
0; 04
0; 06
0; 02
0; 02
0; 04
0; 08
0; 18
0; 42
0; 64
0; 72
0; 88
0; 92
0; 98
1; 00
Total 50 1,00
Interpretarea frecvenţelor cumulate este, spre exemplu, urmãtoarea: 64 % dinindivizi mãsoarã mai mult de 175 cm.
Soluţie: 1.7.3,
Sex Efectiv Frecvenţã
Masculin
Feminin
15
25
0; 375
0; 625
Total 40 1,000
28
-
Prelucrarea datelor
Vârstã Efectiv Frecvenţã
mai puţin de 25
între 25 şi 34
între 35 şi 44
între 45 şi 54
între 55 şi 59
mai mult de 60
3
13
8
7
7
2
0; 075
0; 325
0; 200
0; 175
0; 175
0; 050
Total 40 1,000
Calicare Efectiv Frecvenţã
civil
o̧ter
subo̧ter
19
10
11
0; 475
0; 250
0; 275
Total 40 1,000
Calicare civil o̧ter subo̧ter Total
Sex M F
M
+
F
M F
M
+
F
M F
M
+
F
Vârstã
pânã în 25
[25 ; 34]
[35 ; 44]
[45 ; 54]
[55 ; 59]
peste 60
0
3
1
1
0
0
3
2
4
2
3
0
3
5
5
3
3
0
0
1
1
0
0
0
0
4
1
1
1
1
0
5
2
1
1
1
0
2
1
2
2
1
0
1
0
1
1
0
0
3
1
3
3
1
3
13
8
7
7
2
Total 5 14 19 2 8 10 8 3 11 40
29
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Soluţie: 1.7.4, a)
ClaseEfective
ni
Frecvenţe
fi
Frecvenţe
cumulate
Fi
Densitãţi
di
[0; 5)
[5; 7)
[7; 9)
[9; 11)
[11; 13)
[13; 15)
[15; 20]
4
3
8
12
11
9
3
0; 08
0; 06
0; 16
0; 24
0; 22
0; 18
0; 06
0; 08
0; 14
0; 30
0; 54
0; 76
0; 94
1; 00
0; 8
1; 5
4; 0
6; 0
5; 5
4; 5
0; 6
Total 50 1,00
b) fi =ni50(vezi tabelul).
c) Fi =i�1Pj=1
fj (vezi tabelul).
d) Pentru a determina propoŗtia candidaţilor cu mai puţin de 9 puncte estesucient sã ne uitãm în tabel, pe coloana frecvenţelor cumulate crescãtoare asociateclasei [7; 9), adicã 30 % .e) Propoŗtia candidaţilor ce au un punctaj mai mare sau egal cu 13 se determinãînsumând frecvenţele asociate claselor [13; 15) şi [15; 20], adicã 24 % dintre candida̧ti.f) Suma frecvenţelor trebuie sã e de 100 %. Pentru calcularea propoŗtiei candidaţilorce au un punctaj cuprins între 5 şi 20 este sucient sã scãdem frecvenţa asociatãprimei clase. 100%� 8% = 92%.g) Densitãţile se calculeazã cu ajutorul formulei di =
niai(vezi tabelul). Clasa
cu densitatea cea mai mare este [9; 11) iar clasa cu densitatea cea mai micã este[15; 20]:3
3Clasa [5; 7) are acelaşi efectiv precum clasa [15; 20];dar densitatea asociatã este mai mare.
30
-
Capitolul 2
Reprezentãri grace
2.1 Caractere calitative
Reprezentãrile grace1 ale caracterelor calitative sunt foarte numeroase şi se facîn funçtie de diversele modalitãţi de caractere.
� Diagrame sub formã de benziCaracterul ind calitativ, se traseazã pe o dreaptã orizontalã modalitã̧tilede caractere. Trasãm pe o axã verticalã efectivele sau frecvenţele şi ducemparalele la axa orizontalã corespunzãtoare ecãrei modalitãţi.
Diagrama în benzi
0
5
10
15
1 2 3 4 5 6 8
Modalităţi
Efe
ctiv
e sa
ufr
ecve
nţe
1 În acest rezumat de curs reprezentãrile grace sunt simbolizate prin pictograme.
31
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
12
34
56
8
0 5 10 15
1
3
5
8
Mod
alita
ţi
Efective sau frecvenţe
Diagrame sectorialeSe folosesc îndeosebi pentru o mai bunã înţelegere a semnicaţiilor pe care le aumãrimile relative de structurã2. Efectivul total este reprezentat printr-un disc (sau un semidisc ). Fiecare modalitate este reprezentatã printr-un sector circulara cãrui suprafaţã este propoŗtionalã cu efectivul corespondent.
12
3
4
5
68
17% 2
12%
320%
424%
517%
615%
85%
2Mãrimile relative de structurã se determinã atunci când efectivul total supus analizei a fostîmpãŗtit pe grupe şi subgrupe, dupã variaţia uneia sau mai multor caracteristici de grupare şiexprimã raportul în care se aã un element sau grup de elemente ale efectivului faţã de volumulîntregului efectiv.
32
-
Prelucrarea datelor
� Diagrame gurative (prin panouri)Efectivele asociate ecãrei modalitãţi sunt reprezentate prin simboluri legatede tipul caracterelor. Aceste diagrame sunt utilizate pentru aspectul lorestetic, dar ele sunt lipsite de precizie.
2.2 Exemple
Exemplul 2.2.1 Tabelul de mai jos corespunde numãrului de autovehicule exportateîncepând cu anul 1991, de cãtre o întreprindere româneascã, în ţãrile din OrientulApropiat.
Arabia Sauditã
Egipt
Irak
Israel
Iordania
Siria
1700
1050
2190
310
1960
2570
Daţi o reprezentare gracã acestui fenomen.
33
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Soluţie: Deoarece caracterul este calitativ, putem utiliza o diagramã în benzipentru reprezentarea acestui fenomen. Drept urmare, acest tip de diagramãpermite compararea efectivelor asociate ecãrei modalitãţi.
1700
1050
2190
310
1960
2570
0500
10001500200025003000
Arabia Saudita Egipt Irak Israel Iordania Siria
Exemplul 2.2.2 Tabelul de mai jos reprezintã populaţia câtorva ţãri în 1988 şipopulaţia estimatã pentru 2020 (în milioane de locuitori).
Ţãri Populaţia în 1988 Populaţia în 2020
China
India
Rusia
S.U.A.
Indonezia
Brazilia
Japonia
Mexic
1087
817
286
244
177
144
123
84
1361
1310
355
297
284
234
123
138
Daţi o reprezentare gracã acestui tabel.
34
-
Prelucrarea datelor
Soluţie:
Populatia in 1988 si 2020
0500
10001500200025003000
China Ind
iaRu
siaS.
U.A.
Indon
ezia
Braz
ilia
Japo
niaMe
xic
19882020
Exemplul 2.2.3 Repartiţia studenţilor facultãţilor de Drept şi Ştiinţe Economiceîn funcţie de nivelul lor de studii şi de specializare, este urmãtorul:
Drept Ştiinţe Economice
Anul I
Anul II
Licenţã
Masterat
Doctorat
650
296
217
148
52
324
132
92
78
23
Daţi o reprezentare gracã acestui tabel.
35
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Soluţie: Pentru a putea compara cele douã specializãri trebuiesc reprezentateîn aceeaşi diagramã efectivele ( frecvenţele) asociate ecãrui an de studii.
0100
200300400500
600700
Anu
l I
Anu
l II
Lice
nta
Mas
tera
t
Doc
tora
t
Drept
StiinteEconomice
Exemplul 2.2.4 În 1989, rata şomajului în câteva ţãri industrializate erau urmãtoarele(în % faţã de populaţia activã):
Ţãri Rata în 1989
S.U.A.
Japonia
Franţa
Germania
Marea Britanie
Italia
Suedia
5,20
2,30
9,60
5,50
6,90
10,90
1,40
Daţi o reprezentare gracã acestui tabel.
36
-
Prelucrarea datelor
Soluţie: Pentru a reprezenta grac acest fenomen vom utiliza o diagramã înbenzi, care permite compararea procentajelor în diferite ţãri.
Rata somajului
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
12,00%
S.U
.A
Japo
nia
Fran
ta
Ger
man
ia
Mar
ea
Italia
Sued
ia
Exemplul 2.2.5 Tabelul de mai jos ne aratã producţia de energie a Franţei în1980 şi 1988 în funcţie de diferite tipuri de energie.
Energie 1980 1988
Cãrbune
Petrol
Gaz
Hidro
Nuclearã
Altele
24,1
4,4
11,6
28,9
25,1
5,9
8,6
3,9
2,7
17,9
62,8
4,1
Comparaţi aceste rezultate cu ajutorul unei diagrame sectoriale.
Soluţie: În aceastã diagramã suprafa̧ta ecãrui sector este propoŗtionalã cupartea asociatã ecãrui tip de energie. Trebuie calculat unghiul la centru care
37
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
este propoŗtional cu suprafaţa ecãrui sector.3 Obţinem urmãtorul tabel:
Energie1980
%
1980
Unghi
1988
%
1988
Unghi
Cãrbune
Petrol
Gaz
Hidro
Nuclearã
Altele
24,1
4,4
11,6
28,9
25,1
5,9
87
16
42
104
90
21
8,6
3,9
2,7
17,9
62,8
4,1
31
14
10
64
226
15
1980
Carbune
Petrol
Gaz
Hidro
Nucleara
Altele
1988
Carbune
Petrol
Gaz
Hidro
Nucleara
Altele
2.3 Caractere cantitative discrete
� Diagrame în batoane sau orgiCaracterele ind cantitative, se marcheazã pe axa absciselor valorile discreteale ca-racterelor şi pe axa ordonatelor efectivele (sau frecvenţele) asociate caracterelor.Se traseazã apoi batoane verticale a cãror lungime este propoŗtionalã cu
3Pentru petrol, în 1980, sectorul reprezintã 4,4 % din suprefaţa totalã. Unghiul la centrueste deci egal cu 4,4 % din 360 de grade, adicã 16 grade.
38
-
Prelucrarea datelor
efectivele (sau frecvenţele).
� Diagrame cumulativeDiagramele cumulative nu reprezintã scheme ce asociazã efectivele cu valorilecaracterelor, dar ele permit vizualizarea evoluţiei efectivelor cumulate (saufrecvenţelor cumulate) în funçtie de valorile caracterelor. Caracterele inddiscrete, curba frecvenţelor cumulate este o funçtie în trepte. Aceasta estefunçtia de reparti̧tie, notatã prin F şi denitã prin:
F (x) = propoŗtia indivizilor pentru care valoarea caracterului
este strict inferioarã lui x
Fiecare segment al gracului în trepte este deci deschis la stânga şi închisla dreapta.
39
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
2.4 Exemple
Exemplul 2.4.1 O populaţie statisticã de menaje (gospodãrii) a fost repartizatãîn funcţie de numãrul membrilor din gospodãrie pentru care se poate calculaimpozitul pe venit.
Nr. membri 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Nr. menaje 48 58 136 184 210 122 62 12
1. Calculaţi proporţia menajelor ce au mai mult de 2 membri.2. Daţi o reprezentare grac¼a a acestei populaţii.
Soluţie: 1. Propoŗtia menajelor ce au mai mult de 2 membri este:
p =184 + 210 + 122 + 62 + 12
832� 0; 71
2. Caracterul ind cantitativ discret, poate reprezentat printr-o diagramã înbatoane. Înãļtimea ecãrui baton este propoŗtionalã cu efectivul.
Exemplul 2.4.2 Tabelul de mai jos aratã repartiţia menajelor unei populaţiistatistice, dupã numãrul de autovehicule pe care le posedã.
Nr. autovehicule 0 1 2 3 4 şi mai multe
Nr. menaje 488 1872 884 186 18
1. Daţi o reprezentare gracã acestui fenomen.2. Trasaţi diagrama cumulativã.
40
-
Prelucrarea datelor
Soluţie: 1. Caracterul este cantitativ discret. Ultima modalitate 4 şi maimulte va asimilatã modalitãţii exact 4 pentru reprezentarea gracã (înacest caz va o diagramã în batoane).
2. Pentru diagrama cumulativã va trebui sã calculãm frecvenţele cumulate4.
xi ni fi Fi
0
1
2
3
4 şi mai multe
488
1872
884
186
18
0,142
0,543
0,256
0,054
0,005
0; 000
0; 142
0; 685
0; 941
0; 995
1; 000
3448 1,000
4Pentru interpretarea tabelului, vezi exerci̧tiul 1.6.3, cap. I.
41
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
2.5 Caractere cantitative regrupate în clase
HistogramaHistograma este un ansamblu de dreptunghiuri învecinate, ecare dreptunghiasociat unei clase, având o suprafaţã propoŗtionalã cu efectivul acestei clase.- Clase de amplitudini egaleClasele având amplitudini egale, este sucient ca ecare dreptunghi sã aibã oînãļtime propoŗtionalã cu efectivul ecãrei clase.
- Clase de amplitudini diferiteDeoarece clasele au amplitudini diferite iar înãļtimea trebuie sã e propoŗtionalã
42
-
Prelucrarea datelor
cu efectivul, nu putem sã construim o histogramã. Trebuie deci sã construimdreptunghiuri a cãror înãļtime este
propoŗtionalã cu densitatea, ceea ce ne permite sã asigurãm o suprafa̧tã propoŗtionalãcu efectivul.
� Poligonul frecvenţelorAtunci când clasele sunt de amplitudini egale, poligonul frecvenţelor setraseazã unind mijloacele segmentelor superioare ale ecãrui dreptunghi.Acest poligon al frecvenţelor are o suprafaţã egalã cu suprafaţa histogramei.5
- Curba frecvenţelor cresc¼ator cumulateIndivizii ind grupaţi în clase, frecvenţa cumulatã asociatã clasei i corespunde
5 Şi atunci când clasele au amplitudini diferite se poate trasa poligonul frecvenţelor dar trebuiesã avem grijã ca suprafaţa acestuia sã e egalã cu cea a histogramei.
43
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
propoŗtiei indivizilor pentru care valoarea caracterului este strict inferioarãlimitei superioare a clasei i.6
2.6 Exemple
Exemplul 2.6.1 Punctele obţinute de candidaţii la un examen sunt consemnateîn tabelul urmãtor:
Puncte Nr. de candidaţi
[0; 4[
[4; 6[
[6; 8[
[8; 10[
[10; 11[
[11; 12[
[12; 14[
[14; 16[
[16; 20[
20
60
90
100
70
80
70
40
20
Construiţi histograma corespunzãtoare acestui tabel.
6Se poate în mod analog trasa o curbã a frecvenţelor cumulative descrescãtoare.
44
-
Prelucrarea datelor
Soluţie: Deoarece clasele nu au amplitudini egale, trebuie sã calculãm densitateaecãrei clase pentru a putea desena histograma.
Puncte Nr. de candidaţi Amplitudine Densitate
[0; 4[
[4; 6[
[6; 8[
[8; 10[
[10; 11[
[11; 12[
[12; 14[
[14; 16[
[16; 20[
20
60
90
100
70
80
70
40
20
4
2
2
2
1
1
2
2
4
5
30
45
50
70
80
35
20
5
Exemplul 2.6.2 Sã considerãm o populaţie statisticã de 1000 de indivizi, repartizaţiîn funcţie de vârstã:1. Construiţi histograma corespunzãtoare acestei populaţii.2. Trasaţi poligonul frecvenţelor.
45
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Vârstã Numãr
[0; 10[
[10; 15[
[15; 20[
[20; 30[
[30; 40[
[40; 60[
[60; 80[
120
100
140
200
180
160
100
Soluţie: Clasa vârstei neavând amplitudini egale, trebuie sã calculãm densitateaasociatã ecãrei clase pentru a putea desena histograma.7
Vârsta ni ai di
[0; 10[
[10; 15[
[15; 20[
[20; 30[
[30; 40[
[40; 60[
[60; 80[
120
100
140
200
180
160
100
10
5
5
10
10
20
20
12
20
28
20
18
8
5
7Deoarece suprafaţa situatã sub poligonul frecvenţelor este egalã cu suprafaţa histogramei,am subdivizat clasele ini̧tiale în clase de amplitudine 5.
46
-
Prelucrarea datelor
Exemplul 2.6.3 Repartiţia angajaţilor unei întreprinderilor în funcţie de primade la sfârşit de an este dat¼a în tabelul de mai jos:1. Calculaţi frecvenţa.2. Calculaţi frecvenţele cumulate.3. Trasaţi curba frecvenţelor cumulate.
47
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Mii lei Nr. de angaja̧ti
[0; 1000[
[1000; 2000[
[2000; 3000[
[3000; 3500[
[3500; 4000[
[4000; 4500[
[4500; 5000[
[5000; 6000[
[6000; 7000[
[7000; 8000[
18
44
112
120
138
164
106
98
52
8
Soluţie: 1. Pentru determinarea frecvenţelor trebuie calculat efectivul total:
n =Xi
ni = 860
fi =nin
2. Frecvenţele cumulate sunt Fi =i�1Pj=1
fj (vezi tabelul de mai jos).
3. Pentru trasarea curbei frecvenţelor cumulate trebuie trasatã o curbã continuãdeoarece caracterul poate considerat ca ind continuu. Cumulul se face pentruecare clasã la limita superioarã. Considerãm cã reparti̧tia angajaţilor în ecareclasã este uniformã.
48
-
Prelucrarea datelor
Mii lei ni fi în % Fi în %
[0; 1000[
[1000; 2000[
[2000; 3000[
[3000; 3500[
[3500; 4000[
[4000; 4500[
[4500; 5000[
[5000; 6000[
[6000; 7000[
[7000; 8000[
18
44
112
120
138
164
106
98
52
8
2; 1
5; 1
13; 0
14; 0
16; 0
19; 1
12; 3
11; 4
6; 0
1; 0
2; 1
7; 2
20; 2
34; 2
50; 2
69; 3
81; 6
93; 0
99; 0
100; 0
Total 860 100,0
49
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
2.7 Diagrame specice
� Diagrame triunghiulareDiagrama triunghiularã este utilizatã atunci când avem de-a face cu ostatisticã teŗtiarã, adicã atunci când valorile numerice sunt repartizate petrei funçtii. Se utilizeazã un triunghi echilateral în care se plaseazã indiviziiţinând cont de cele trei valori asociate ecãrei funçtii.
� Diagrame cartograce:Atunci când populaţia statisticã este repartizatãîn plan geograc se utilizeazã o hartã pentru vizualizarea valorilor asociate
50
-
Prelucrarea datelor
unui caracter şi unei regiuni.
� Piramida vârstelor: Dacã dorim sã repartizãm o populaţie în funçtiede vârsta şi sexul indivizilor, vom reprezenta fenomenul cu ajutorul uneidiagrame particulare numitã piramida vârstelor.
51
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
2.8 Exemple
Exemplul 2.8.1 Considerãm cinci populaţii statistice, notate cu A, B, C, D, E.Indivizii sunt repartizaţi în funcţie de preferinţa lor în materie de spectacole. S-aobţinut:
Cinematograf Teatru Concert
A 140 110 80
B 290 210 220
C 70 80 60
D 430 250 130
E 160 220 200
Reprezentaţi în aceeaşi diagramã triunghiularã cele cinci populaţii.
Soluţie: Pentru a reprezenta aceste populaţii diferite într-o diagramã triunghiularã,trebuie calculat pentru ecare popula̧tie procentul indivizilor avut în ecarespectacol.
Cinematograf Teatru Concert
A 43 % 33 % 24 %
B 40 % 29 % 31 %
C 33 % 38 % 29 %
D 53 % 31 % 16 %
E 28 % 38 % 34 %
52
-
Prelucrarea datelor
53
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
2.9 Probleme
2.9.1 Enuņturi
Problema 2.9.1 Producţia de zãcãminte petroliere extrasã pe platformele marine,pe regiuni, este urmãtoarea:
Regiuni 1960 1970 1975 1981
America de Nord
America Latinã
Africa
Orientul Mijlociu
Extremul Orient
Europa
Ţãri cu economie planicatã
13; 3
81; 3
�9
0; 1
0; 5
7
82; 5
134
36; 2
87; 9
10; 9
1; 4
13
68
99
54
162
43
13
11
53
121
71
237
74
118
10
1. Calculaţi pentru aceşti patru ani producţia totalã de petrol o¤ shore.2. Daţi o reprezentare gracã acestui fenomen.3. Producţia totalã de petrol este:- în 1960: 1 052 milioane tone
- în 1970: 2 336 milioane tone
- în 1975: 2 715 milioane tone
- în 1981: 2 852 milioane toneCalculaţi cota parte din petrolul o¤ shore , în procente.4. Daţi o reprezentare gracã, indicând evoluţia petrolului o¤ shore în raportcu producţia mondialã totalã.
Problema 2.9.2 Tabelul urmãtor ne dã, pentru ecare ţarã din U.E., populaţia
54
-
Prelucrarea datelor
în 1991 şi suprafaţa, în km2:
Populaţia(în mil.)
Suprafaţaîn mii km2
Belgia
Danemarca
Spania
Franţa
Marea Britanie
Grecia
Irlanda
Italia
Luxemburg
Ţãrile de Jos
Portugalia
Germania
9 908
5 140
39 812
56 330
57 256
10 101
3 564
57 788
366
14 938
10 607
60 977
30 513
43 070
504 750
547 026
244 820
131 944
70 282
301 230
2 586
41 500
92 082
248 580
1. Calculaţi populaţia totalã a U.E. în 1991.2. Daţi o reprezentare gracã a numãrului de locuitori.3. Daţi o reprezentare gracã a suprafeţei.4. Calculaţi densitatea (numãrul de locuitori pe km2) pentru ecare dintre ţãri şiaranjaţi ţãrile în ordinea descrescãtoare a acesteia.5. Daţi o reprezentare gracã a densitãţii.
Problema 2.9.3 Tabelul urmãtor aratã rezultatele unei anchete referitoare lagreutatea ( în kg ) indivizilor unei populaţii:
48 72 54 80 58 70 69 58 57 60
85 94 78 81 64 49 54 57 57 62
63 69 72 71 82 87 64 65 73 58
61 67 49 52 60 66 69 89 84 82
73 70 72 58 64 51 65 77 79 80
59 57 81 78 76 79 68 67 53 59
1. Aranjaţi aceste date dupã clasa amplitudinilor.2. Calculaţi frecvenţele şi frecvenţele cumulate.
55
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
3. Construiţi histograma şi poligonul frecvenţelor.4. Construiţi curba cumulativã crescãtoare a frecvenţelor.5. Determinaţi grac proporţia indivizilor cu o greutate medie de 75 kg.6. Comparaţi rezultatele cu valorile calculate la punctul 2.
2.9.2 Solu̧tii
Soluţie: 2.9.1, 1. Produçtia totalã de petrol o¤ shore este urmãtoarea:
1960 1970 1975 1981
Produçtia totalã
o¤ shore111,2 365,9 450 684
Produçtia totalã
mondialã1 052 2 336 2 715 2 852
Procentul petrolului
o¤ shore11% 18% 17% 24%
2. Diagrama ne aratã creşteri importante ale produçtiei între 1960 şi 1981, atâtîn Orientul Mijlociu cât şi în Europa.
Producţ ia de petrol
0,00250,00500,00750,00
1000,001250,001500,001750,002000,002250,002500,00
Amer
ica
deN
ord
Amer
ica
Latin
a
Afric
a
Orie
ntul
Mijl
ociu
Extre
mul
Orie
nt
Euro
pa
Tari
cu e
c.Pl
anifi
cata
in m
il. d
e to
ne
1960
1970
1975
1981
3. Tabelul de la punctul 1 ne aratã cã procentul de petrol o¤ shore este de 11%în 1960 faţã de 24% în 1981.4. Suprafaţa ecãrei diagrame circulare este propoŗtionalã cu produçtia mondialã,iar procentul de petrol o¤ shore este reprezentat printr-un sector circular din ceîn ce mai mare. Deoarece suprafaţa diagramei (S = �r2) va propoŗtionalã cuproduçtia totalã, trebuie ca sectorul sã e propoŗtional cu rãdãcina pãtratã a
56
-
Prelucrarea datelor
produçtiei totale. Unghiul la centru asociat ecãrui sector se calculeazã folosindpropoŗtia de petrol o¤ shore: de exemplu, în 1960 partea de petrol o¤ shoreeste de 11%, deci unghiul sectorului circular este egal cu 11% din 3600, adicãaproximativ de 200:
196016%
197024%
197525%
198135%
1960
1970
1975
1981
Soluţie: 2.9.2, 1. Populaţia totalã a U.E. în 1991 este de 326,787 milioanede locuitori.2. Diagrama aleasã este aceea în benzi pentru a pune în evidenţã o comparare aefectivelor.
010000200003000040000500006000070000
Bel
gia
Dan
emar
ca
Spa
nia
Franţa
Mar
eaB
ritan
ie
Gre
cia
Irlan
da
Italia
Luxe
mbu
rg
Ţăril
e de
Jos
Por
tuga
lia
Ger
man
ia
în z
eci d
e m
ii
3. Diagrama sectorialã este foarte des utilizatã pentru reprezentarea gracã asuprafȩtelor. Drept urmare, ecare sector al unei suprafȩte este propoŗtional cuefectivul.Pentru calcularea unghiului la centru asociat ecãrui sector a trebuit sã determinãm
57
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
procentul din suprafaţã asociat ecãrei ţãri din U.E. Am obţinut urmãtorul tabel:
Suprafaţa
în mii km2Procentaj
din suprafaţã
Unghiul
în grade
1. Belgia
2. Danemarca
3. Spania
4. Franţa
5. Marea Britanie
6. Grecia
7. Irlanda
8. Italia
9. Luxemburg
10. Ţãrile de Jos
11. Portugalia
12. Germania
30 513
43 070
504 750
547 026
244 820
131 944
70 282
301 230
2 566
41 500
92 082
248 580
1,35%
1,91%
22,35%
24,22%
10,84%
5,84%
3,11%
13,34%
0,11%
1,84%
4,08%
11,01%
5
7
80
87
39
21
11
48
0
7
15
40
Total 2 258 383 100,00% 360
1
2
3
45
6
7
8
9
10
11 12
58
-
Prelucrarea datelor
4. Densitatea este egalã cu conţinutul numãrului de locuitori pe suprafaţã.
Populaţia(în mil.)
Suprafaţaîn mii km2
Densitatea
Ţãrile de Jos
Belgia
Germania
Marea Britanie
Italia
Luxemburg
Danemarca
Portugalia
Franţa
Spania
Grecia
Irlanda
9 908
5 140
39 812
56 330
57 256
10 101
3 564
57 788
366
14 938
10 607
60 977
41 500
30 513
248 580
244 820
301 230
2 586
43 070
92 082
547 026
504 750
131 944
70 282
360
325
245
234
192
142
119
115
103
79
77
51
Total 326 787 2 258 383
5. Pentru reprezentarea densitãţii, putem utiliza diagrama în benzi.
Densitati
050
100150200250300350400
Ţăril
e de
jos
Bel
gia
Ger
man
ia
Mar
eaB
ritan
ie
Italia
Luxe
mbu
rg
Dan
emar
ca
Por
tuga
lia
Franţa
Spa
nia
Gre
cia
Irlan
da
59
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Soluţie: 2.9.3, 1. Extragerea şi prezentarea în tabel:
Clase Punctaj Efective FrecvenţeFrecvenţe
cumulate
[45;50[
[50;55[
[55;60[
[60;65[
[65;70[
[70;75[
[75;80[
[80;85[
[85;90[
[90;95[
III
IIII
IIII IIII
IIII III
IIII IIII
IIII III
IIII I
IIII II
III
I
3
5
10
8
9
8
6
7
3
1
0,050
0,083
0,167
0,133
0,150
0,133
0,100
0,117
0,050
0,017
0,050
0,133
0,300
0,433
0,583
0,716
0,816
0,933
0,983
1,000
Total 60 1,000
2. Frecvenţele se obţin împãŗtind efectivele la efectivul total (n = 60 ): fi =ni60
(vezi tabelul).
Frecvenţele cumulate sunt egale cu: Fi =iPj=1
fi (vezi tabelul).
3. Histograma şi poligonul frecvenţelorToate clasele sunt de amplitudini egale. Este deci inutil sã calculãm densitã̧tilecare, în acest caz, sunt propoŗtionale cu efectivele.Poligonul frecvenţelor are aceeaşi suprafaţã ca histograma.
0
24
6
810
12
45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
60
-
Prelucrarea datelor
4. Curba cumulativã crescãtoareCaracterul ind considerat continuu, curba frecvenţelor cumulate este continuã.
5. Grac, putem considera cã, 72 % din populaţie are o greutate medie de 75 kg.6. Calculele au permis stabilirea faptului cã 71,6 % din indivizi au o greutatemedie de 75 kg. Aceastã valoare este foarte apropiatã de valoarea gracã.
61
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
62
-
Capitolul 3
Parametrii de pozi̧tie
Parametrii de pozi̧tie (sau valorile centrale) sunt valorile numerice care reprezintão serie statisticã, caracterizând ordinul valorii observaţiilor. Ei se exprimã înaceleaşi unitãţi ca şi observaţiile.
3.1 Medii
3.1.1 Media aritmeticã
Media aritmeticã a unei serii statistice fxigi=1;n este egalã cu suma valorilorobservate împãŗtitã la numãrul de observaţii. În general se noteazã cu x. Deci:
x =x1 + x2 + :::+ xn
n=1
n
nXi=1
xi (3.1)
În cazul unui tabel de distribuţie avem:
x =
pPi=1nixi
pPi=1ni
=
pXi=1
fixi (3.2)
unde:- x1; x2; :::; xp sunt valorile observate (sau centrele claselor dacã distribuţia estegrupatã);- n1; n2; :::; np efectivele corespunzãtoare;- f1; f2; :::; fp frecvenţele corespunzãtoare.
63
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Fie fxigi=1;n o serie statisticã şi seria denitã prin:
8i 2 I; yi = axi + b; a; b 2 R
Atunci1:y = ax+ b
Fie r serii statistice de aceeaşi naturã:
fx1ig de efectiv total n1 şi de medie x1....................................................................
fxrig de efectiv total nr şi de medie xr
Atunci media aritmeticã a celor r serii este media aritmeticã a mediilor aritmeticeale ecãrei serii, ponderate respectiv prin efectivele lor:
x =
rPi=1nixi
rPi=1ni
(3.3)
Exemplul 3.1.1 În cele opt încercãri la un test care este notat de la 1 la 10, uncandidat a obţinut urmãtoarele rezultate:
3 5 8 10 7 1 9 9
Calculaţi nota medie a acestui candidat.
Soluţie: Nota medie corespunde mediei aritmetice
x =
8Pi=1xi
8
=3 + 5 + 8 + 10 + 7 + 1 + 9 + 9
8= 6; 5
Media este deci 6,5.
1 Înmuļtirea cu "a" corespunde schimbãrii unitãţii (scãrii) iar adunarea lui "b" corespundeschimbãrii originii. Aceastã proprietate permite simplicarea calculului mediei aritmetice.
64
-
Prelucrarea datelor
3.1.2 Media geometricã
Media geometricã a unei serii statistice pozitive fxigi=1;n este rãdãcina de ordinuln a produsului valorilor observate. În general se noteazã cu G. Deci:
G = npx1 � x2 � ::: � xn =
"nYi=1
xi
# 1n
(3.4)
În cazul unui tabel de distribuţie avem:
G =
"pYi=1
xi
# 1pPi=1
ni=
pYi=1
xfii (3.5)
Calculul lui G se poate face şi cu ajutorul rela̧tiei:
lnG =
pPi=1ni lnxi
pPi=1ni
;8i = 1; :::; p dacã xi > 0 (3.6)
Fie fxigi2I şi fyigi2I douã serii statistice pozitive de aceeaşi naturã iar fzigi2Işi ftigi2I seriile denite prin:
8i 2 I; zi = xiyi; ti =xiyi; yi 6= 0
Atunci:
Gz = GxGy şi Gt =GxGy
Exemplul 3.1.2 Calculaţi media geometricã a seriei urmãtoare:
1 2 4 8 16 32 64
Soluţie: G = (1� 2� 4� 8� 16� 32� 64)17 . În parantezã este produsul
primilor termeni ai unei serii geometrice de raţie 2. Obţinem deci:
G =�1� 2� 22 � 23 � 24 � 25 � 26
�17
=�21+2+3+4+5+6
�17 =
�221�17 = 23 = 8
65
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
3.1.3 Media armonicã
Media armonicã a unei serii statistice strict pozitive fxigi=1;n este egalã cuinversa mediei aritmetice a inverselor valorilor observate. În general se noteazãcu H. Deci:
H =1
1
n
nPi=1
1
xi
=n
nPi=1
1
xi
(3.7)
În cazul unui tabel de distribuţie avem:
H =
pPi=1ni
pPi=1
nixi
=1
pPi=1
fixi
(3.8)
Exemplul 3.1.3 O întreprindere alocã pentru o campanie de publicitate, unbuget x B, în ecare trimestru, în vederea tip¼aririi unor uturaşi.În primul trimestru, preţul uturaşilor este de 350 RON.În cel de-al doilea trimestru, preţul uturaşilor este de 380 RON.În cel de-al treilea trimestru, preţul uturaşilor este de 400 RON.În trimestrul patru, preţul uturaşilor este de 440 RON.Calculaţi preţul mediu al uturaşilor.
Soluţie: Prȩtul mediu al uturaşilor, în acest caz, nu este media aritmeticã anumerelor 350, 380, 400, 440. Prin urmare, nu este adevãrat faptul cã dacãnumãrul de uturaşi este acelaşi în ecare trimestru, prȩtul publicitãţii esteacelaşi, datoritã evoluţiei prȩturilor.
Numãrul de uturaşi cumpãraţi este, succesiv,B
350;B
380;B
400;B
440: S-au cumpãrat
deci în totalB
350+B
380+B
400+B
440uturaşi la prȩtul de 4B RON. Prȩtul mediu
este deci:
m =4B
B
350+B
380+B
400+B
440
=4
1
350+
1
380+
1
400+
1
440
� 389; 8 RON
Media m este media armonic¼a a prȩturilor trimestriale.
3.1.4 Media p¼atraticã
Media pãtraticã a unei serii statistice pozitive fxigi=1;n este rãdãcina pãtratã amediei aritmetice a p¼atratelor valorilor observate. În general se noteazã cu Q.
66
-
Prelucrarea datelor
Deci:
Q =
rx21 + x
22 + :::+ x
2n
n=
vuut 1n
nXi=1
x2i (3.9)
În cazul unui tabel de distribuţie avem2:
Q =
2664pPi=1nix
2i
pPi=1ni
377512
=
"pXi=1
fix2i
# 12
(3.10)
Exemplul 3.1.4 Considerãm 5 plãcuţe metalice pãtrate, cu latura de 5 cm, 6cm, 9 cm, 10 cm, respectiv 12,5 cm.a) Care este aria medie a acestor plãcuţe ?b) Care este dimensiunea corespunzãtoare plãcii medii ?c) Ce reprezintã aceastã cotã în raport cu cele 5 cote ale plãcuţelor ?
Soluţie: a) Aria plãuţelor este respectiv:
25 cm2; 36 cm2; 81 cm2; 100 cm2; 156,25 cm2
Aria medie este deci:
Am =25 + 36 + 81 + 100 + 156; 25
5= 79; 65 cm2
b) Dimensiunea medie va deci: c =p79; 65 � 8; 92 cm.
c) Media pãtraticã a dimensiunilor este:
Q =
r52 + 62 + 92 + 102 + 12; 52
5=p79; 65 � 8; 92 = c
Exemplul 3.1.5 Beneciul unei întreprinderi a crescut astfel:
� cu 5 % pe an, pe parcursul primilor 2 ani;2Fie o serie statisticã pentru care existã toate cele patru medii statistice de mai înainte.
Atunci:H � G � x � Q
67
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
� cu 9 % pe an, pe parcursul urmãtorilor 5 ani;
� cu 12 % pe an, pe parcursul urmãtorilor 3 ani.
Care este creşterea medie în cei 10 ani.Soluţie: Fie B0 beneciul realizat de întreprindere în anii anteriori perioadei
conside-rate. (B0 6= 0): Beneciile vor :
1 an mai târziu: B1 = B0 � 1; 052 ani mai târziu: B2 = B1 � 1; 05 = B0 � (1; 05)2
3 ani mai târziu: B3 = B2 � 1; 09 = B0 � (1; 05)2 � 1; 09............................................................................................
10 ani mai târziu: B10 = B0 � (1; 05)2 � (1; 09)5 � (1; 12)3
Fie a creşterea anualã medie în cei 10 ani. Vom avea:
B10 = B0 � (1 + a)10
Trebuie deci sã avem3:
B0 � (1 + a)10 = B0 � (1; 05)2 � (1; 09)5 � (1; 12)3
(1 + a)10 = (1; 05)2 � (1; 09)5 � (1; 12)3
1 + a =h(1; 05)2 � (1; 09)5 � (1; 12)3
i 110
ln (1 + a) = 110 (2 ln 1; 05 + 5 ln 1; 09 + 3 ln 1; 12)
ln (1 + a) � 0; 08681 + a � e0;0868
a � 0; 090679
adicã o creştere medie de 9 % pe an, pe parcursul celor 10 ani.
Exemplul 3.1.6 Fie seria statisticã:
1 2 5 7 10 13
Calculaţi media aritmeticã, geometricã, armonicã şi pãtraticã.
3Media geometricã pondereazã creşterile.
68
-
Prelucrarea datelor
Soluţie: Pentru calculul mediei aritmetice vom utiliza ecuaţia (3.2):
x =
6Pi=1xi
6
0
=1 + 2 + 5 + 7 + 1 0 + 13
6=38
6� 6; 33
Pentru calculul mediei geometrice vom utiliza ecuaţiile (3.4) şi(3.6):
G = (1� 2� 5 � 7 � 1 0� 13)1
6 � 4; 57sau
lnG =1
6(ln 1 + ln 2 + ln 5 + ln 7 + ln 1 0 + ln 13) =
1
6� 9; 12 � 1; 52
G � 4; 57
Pentru calculul mediei armonice vom utiliza ecuaţia (3.8):
H =6
1 +1
2+1
5+1
7+
1
1 0+1
13
� 2; 97
Pentru calculul mediei p¼atratice vom utiliza ecua̧tia (3.10):
Q =1
6
�12 + 22 + 52 + 72 + 1 02 + 132
�=p58 � 7; 61
Se vericã faptul cã:
H < G < x < Q
Exemplul 3.1.7 Considerãm urmãtoarea serie statisticã discretã:
xi 1 2 3 4 5 6
ni 22 31 20 11 4 1
Calculaţi media aritmeticã, geometricã, armonicã şi pãtraticã a acestei serii.
69
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Soluţie: Pentru calculul mediei aritmetice vom utiliza ecuaţia (3.2):
x =
6Pi=1nixi
6Pi=1ni
=22 + 2� 31 + 3� 20 + 4� 11 + 15� 4 + 6
89=214
89� 2; 40
Pentru calculul mediei geometrice vom utiliza ecuaţiile (3.4) şi(3.6):
G =89p122 + 231 + 320 + 411 + 54 + 6
lnG =1
89(22 ln 1 + 31 ln 2 + 20 ln 3 + 11 ln 4 + 4 ln 5 + ln 6)
� 189(1; 52 + 21; 97 + 15; 25 + 6; 44 + 1; 79) � 66; 94
89� 0; 752
G � e0;752 � 2; 12
Pentru calculul mediei armonice vom utiliza ecuaţia (3.8):
H =89
22
1+31
2+20
3+11
4+4
5+1
6
� 8947; 883
� 1; 86
Pentru calculul mediei p¼atratice vom utiliza ecuaţia (3.10):
Q2 =1
89
�22� 12 + 31� 22 + 20� 32 + 11� 42 + 4� 52 + 1� 62
�=
1
89(22 + 124 + +180 + 176 + 100 + 36) =
638
89� 7; 17
Q � 2; 68
Se vericã faptul cã:H < G < x < Q
3.2 Cuantile
3.2.1 Deni̧tii
Numim cuantilã de ordinul �% şi o vom nota cu Q� , valoarea xi a caracteruluipentru care �% dintre valorile observate sunt strict mai mici decât xi:
70
-
Prelucrarea datelor
Dacã F desemneazã funçtia frecvenţe cumulative crescãtoare, atunci:
F (Q�) =�
100
Mediana, notatã cu Me, este cuantila de ordin 50 %. Ea împarte seriavalorilor observate în douã serii egale ca numãr.
Exemplul 3.2.1 Calculaţi mediana urmãtoarei serii statistice:
14 16 12 9 11 18 7 8 9 16 7 9 18
Soluţie: Trebuiesc ordonate datele în ordine crescãtoare:
7 7 8 9 9 9| {z } 11 12 14 16 16 18 18| {z }6 elemente 6 elemente
Mediana împarte seria în douã pãŗti egale, deci:
Me = 11
Exemplul 3.2.2 Mulţimea abonaţilor unei biblioteci a fost clasicatã dupã numãrulvolumelor împrumutate pe parcursul unei luni:
xi 0 1 2 3 4 5 6 7
ni 18 39 57 64 42 33 21 14
Calculaţi mediana acestei serii.
Soluţie: Caracterul seriei este discret.
xi ni fi în % Fi în %
0
1
2
3
4
5
6
7
18
39
57
64
42
33
21
14
6,25
13,54
19,79
22,22
14,58
11,46
7,29
4,87
0,00
6,25
19,79
39,58
61,80
76,38
87,84
95,13
Total 288 100
71
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Gãsim:
F (3) < 50% < F (4)
În aceastã situaţie, convenim (vezi rezumatul de curs) sã luãm ca valoare amedianei xi = 3:Totodatã, putem remarca faptul cã 39,58 % dintre indivizi împrumutã mai puţinde 3 cãŗti şi cã 38,20 % dintre indivizi împrumutã mai mult de 3 cãŗti.
Trei cuartile împart o serie în patru pãŗti egale:25 % din observaţii sunt inferioare primei cuartile Q254.50 % din observaţii sunt inferioare celei de-a doua cuartile Q50.75 % din observaţii sunt inferioare celei de-a treia cuartile Q755.
Nouã decile şi nouãzeci şi nouã de centile împart seria respectivã în 10 şi100 pãŗti egale.
3.2.2 Determinarea unei cuantile de ordin �%(0 < � < 100)
Cazul discret
Funçtia de reparti̧tie este o funçtie în trepte, discontinuã. Curba cumulativãcrescãtoare este deci formatã din trepte orizontale. Se dovedesc a distinctedouã cazuri:
1. Pentru o serie pentru care nici o treaptã nu are pentru ordonate valoarea�%: Convenim sã considerãm ca şi cuantilã de ordinul �% valoarea observatã xipentru care avem:
F (xi) < �% < F (xi+1)
Avem:
Q� = xi
Situaţia poate reprezentatã grac:
4Se mai numeşte şi cuartila inferioarã.5Se mai numeşte şi cuartila superioarã.
72
-
Prelucrarea datelor
2. Pentru o serie pentru care o treaptã are pentru ordonate valoarea �%,adicã existã o valoare observatã xi pentru care:
8x 2 (xi�1;xi]; F (x) = �%
Convenim în acest caz sã considerãm ca şi cuantilã de ordinul �% valoareaxi: Avem:
Q� = xi
73
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
Situaţia poate reprezentatã grac6:
Exemplul 3.2.3 Tabelul de mai jos ne dã repartiţia unei populaţii pe intervale
6Determinarea unei cuantile a unei serii de date punctualeSã presupunem cã datele punctuale sunt clasicate în ordine crescãtoare.
Calcularea cuantilei de ordin 50 %, de exemplu, revine la determinarea valorii caracterului xipentru care 50 % din valorile observate sunt strict inferioare lui xi:Dacã numãrul observaţiilor este impar, adicã n = 2p+1, convenim sã considerãm ca şi cuantilãde ordinul 50 % cea de-a p+ 1 valoare din seria valorilor observate.Dacã numãrul observaţiilor este par, adicã n = 2p, sunt posibile douã cazuri:- Valorile de ordinul p şi p+ 1 sunt egale. Convenim sã considerãm ca şi cuantilã de ordinul 50% aceastã valoare.- Valorile de ordinul p şi p + 1 sunt diferite. Convenim sã considerãm ca şi cuantilã de ordinul50 % cea de-a p+1 valoare a seriei.Se poate proceda în aceeaşi manierã şi pentru alte cuantile.
74
-
Prelucrarea datelor
de vârste:Clase Nr.
[0;10[
[10;20[
[20;30[
[30;40[
[40;50[
[50;60[
[60;70[
[70;80[
18
44
68
54
42
36
16
10
Calculaţi cuartilele acestei serii statistice.
Soluţie: Caracterul seriei este discret.
Clase ni fi în % Fi în %
[0;10[
[10;20[
[20;30[
[30;40[
[40;50[
[50;60[
[60;70[
[70;80[
18
44
68
54
42
36
16
10
6,3
15,3
23,6
18,7
14,6
12,5
5,5
3,5
6,3
21,6
45,2
63,9
78,5
91,0
96,5
100,0
Total 288 100
Prima cuartilã este în clasa [20;30[ deoarece frecvenţele cumulate crescãtordepãşesc 25 %.
Q25 � 2030� 20 =
25� 21; 645; 2� 21; 6
sau, încã:
Q25 = 20 + (30� 20)�25� 21; 645; 2� 21; 6 � 21; 44
25 % din populaţia studiatã are o vârstã mai micã de 21,44 ani.
75
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
În aceeaşi manierã se calculeazã Q50 şi Q75.
Q50 =Me = 30 + (40� 30)�50� 45; 263; 9� 45; 2 � 32; 57
Mediana este egalã cu 32,57 ani.
Q75 = 40 + (50� 40)�75� 63; 978; 5� 63; 9 = 47; 60
Cuartila superioarã este deci egalã cu 47,60 ani.
Cazul continuu
Pentru calcularea cuantilei de ordinul �% trebuie sã determinãm clasa în carefrecvenţele cumulate crescãtor ating �%:Fie [a; b) aceastã clasã. Notãm:
a : limita inferioarã a clasei;
b : limita superioarã a clasei;
F (a) : frecvenţa cumulatã crescãtor ( în procente ) în punctul a;
F (b) : frecvenţa cumulatã crescãtor ( în procente ) în punctul b.
Presupunem ca ipotezã de lucru faptul cã valorile observate sunt egal repartizateîn ecare clasã. Acest lucru permite calcularea lui Q� prin interpolare liniarã:
Q� � ab� a =
�� F (a)F (b)� F (a) (3.11)
sau, încã:
Q� = a+ (b� a)��� F (a)F (b)� F (a) (3.12)
76
-
Prelucrarea datelor
Valoarea cuantilei de ordinul �% poate determinatã grac cu ajutorulcurbei frecvenţelor cresc¼ator cumulate.
3.3 Mod
3.3.1 Deni̧tii
Numimmod al unei distribuţii statistice negrupate, valoarea observatã de efectivmaxim. De obicei se noteazã Mo.
Pentru o distribuţie grupatã ale cãrei clase sunt de amplitudini egale, numimclase modale clasele de efectiv maxim.Atunci când amplitudinile nu sunt egale, o clasã de efectiv maxim nu este în modobligatoriu o clasã modalã.
O serie care are mai multe mode se numeşte plurimodalã.
3.3.2 Determinarea modului
- Pentru caracterele cantitative discrete, mai întâi se ordoneazã datele. Cele deefectiv maxim ne dau modul. Grac, modul corespunde batonului cel mai lung.
- Pentru caracterele cantitative regrupate în clase se traseazã histograma(atenţie la clasele de amplitudini inegale!). Clasa modalã corespunde dreptunghiului
77
-
Iuliana Carmen B¼arb¼acioru
cu înãļtimea cea mai mare.
3.4 Compara̧tii
Media este parametrul cel mai utilizat. Calculul mediei se bazeazã pe muļtimeavalorilor xi: Din aceastã cauzã media este inuenţatã de valorile extreme.La polul opus este mediana care se calculeazã în funçtie de pozi̧tia pe care oocupã în serie.Modul este parametrul cel mai uşor de calculat, dar şi cel mai sensibil atuncicând are loc o regrupare a observaţiilor. Douã regrupãri diferite pot conduce ladouã moduri distincte.Atunci când distribuţia este perfect simetricã, cei trei parametrii: x;Me;Mo suntegali.
Calitãţi
(Yule & Kendall)Mod Medianã
Medie
aritmeticã
Este denit în mod obiectiv da da da
Depinde de nr. de termeni ai seriei nu da da
Este sensibil la valorile termenilor extremi da da nu
Are o semnicaţie concretã da da da
Este simplu de calculat da da da sau nu
Este sensibil la uctuaţiile eşantionului sucient nu da
Se preteazã la calcule algebrice nu nu da
Exemplul 3.4.1 Tabelul de mai jos ne aratã distribuţia unei populaţii, în funcţiede numãrul de indivizi care viziteazã muzee pe parcursul unui an.
xi 0 1 2 3 4 5 6
ni 12 34 43 39 28 10 4
Calculaţi modul acestei serii.
Soluţie: Modul acestei serii este valoarea caracterului corespunzãtor celuimai mare efectiv, adicã 2.
78
-
Prelucrarea datelor
Exemplul 3.4.2 Un studiu efectuat asupra duratei de viaţã a unui acelaşi tip deaparat electrocasnic a permis stabilirea tabelului de mai jo