iv dvoqas veжbi dr vladimir balti -...
TRANSCRIPT
IV dvoqas veжbi
dr Vladimir Balti�
2. Predikatski raqun
Teorijski uvod
Od iskaza (predikata) mogu se formiratinove reqenice upotrebom kvantifikatora.
Teorijski uvod
Od iskaza (predikata) mogu se formiratinove reqenice upotrebom kvantifikatora.
Postoje 2 kvantifikatora:
∀ je univerzalni kvantifikator,qita se ,,svaki“ (ili ,,za svaki“ ili,,bilo koji“ ili ,,proizvoƩni“);
Teorijski uvod
Od iskaza (predikata) mogu se formiratinove reqenice upotrebom kvantifikatora.
Postoje 2 kvantifikatora:
∀ je univerzalni kvantifikator,qita se ,,svaki“ (ili ,,za svaki“ ili,,bilo koji“ ili ,,proizvoƩni“);
∃ je egzistencijalni kvantifikator,qita se ,,postoji“ (ili ,,neki“ ili,,za neki“ ili ,,bar jedan“).
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Postoji objekat jednak samom sebi.“
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Postoji objekat jednak samom sebi.“
(∃x) x = x
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Postoji objekat jednak samom sebi.“
(∃x) x = x
1
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Svaki prirodan broj je i realan.“
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Svaki prirodan broj je i realan.“
(∀x) (x ∈ N ⇒ x ∈ R)
(∀x ∈ N) x ∈ R
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Svaki prirodan broj je i realan.“
(∀x) (x ∈ N ⇒ x ∈ R)
(∀x ∈ N) x ∈ R
1, jer je N ⊆ R.
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Neki celi brojevi su ve�i od 8.“
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Neki celi brojevi su ve�i od 8.“
(∃x) (x ∈ Z ∧ x > 8)
(∃x ∈ Z) x > 8
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Neki celi brojevi su ve�i od 8.“
(∃x) (x ∈ Z ∧ x > 8)
(∃x ∈ Z) x > 8
1, postoji, npr. ceo broj x = 9 > 8.
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Kvadrat proizvoƩnog realnog broja jenegativan.“
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Kvadrat proizvoƩnog realnog broja jenegativan.“
(∀x) (x ∈ R ⇒ x2 < 0)
(∀x ∈ R) x2 < 0
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Kvadrat proizvoƩnog realnog broja jenegativan.“
(∀x) (x ∈ R ⇒ x2 < 0)
(∀x ∈ R) x2 < 0
0, jer, npr. za x = 1: x2 = 1 < 0
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Jednaqina x2 = 1 ima rexeƬa u skupuprirodnih brojeva.“
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Jednaqina x2 = 1 ima rexeƬa u skupuprirodnih brojeva.“
(∃x) (x ∈ N ∧ x2 = 1)
(∃x ∈ N) x2 = 1
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Jednaqina x2 = 1 ima rexeƬa u skupuprirodnih brojeva.“
(∃x) (x ∈ N ∧ x2 = 1)
(∃x ∈ N) x2 = 1
1, jer postoji rexeƬe x = 1 ∈ N
(iako drugo rexeƬe x = −1 6∈ N).
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Razlika bilo koja dva prirodna broja jeprirodan broj.“
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Razlika bilo koja dva prirodna broja jeprirodan broj.“
(∀x)(∀y) (x ∈ N ∧ y ∈ N ⇒ x − y ∈ N)
(∀x, y ∈ N) x − y ∈ N
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Razlika bilo koja dva prirodna broja jeprirodan broj.“
(∀x)(∀y) (x ∈ N ∧ y ∈ N ⇒ x − y ∈ N)
(∀x, y ∈ N) x − y ∈ N
0, jer, npr. za x = 2 i y = 5:
x − y = 2 − 5 = −3 6∈ N
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Ne postoji najve�i prirodan broj.“
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Ne postoji najve�i prirodan broj.“
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:
,,Ne postoji najve�i prirodan broj.“
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
1 (u zagradi 0), za y = x + 1: x + 1 6 x
Negacija reqenica sa kvantifikatorima sevrxi na slede�i naqin:
q(∀x) P (x) ⇔ (∃x) q P (x)
i
q(∃x) P (x) ⇔ (∀x) q P (x).
Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu
,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.
Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu
,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu
,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x) q
(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu
,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x) q
(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ q
(
(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu
,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x) q
(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ q
(
(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ (∃y) q(y ∈ N ⇒ y 6 x))
Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu
,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x) q
(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ q
(
(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ (∃y) q(y ∈ N ⇒ y 6 x))
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))
,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x) q
(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ q
(
(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ (∃y) q(y ∈ N ⇒ y 6 x))
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))
(∀x)(
x ∈ N ⇒ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))
(∀x ∈ N)(∃y ∈ N) y > x
,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.
q
(
(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)
q
(
(∃x)(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x) q
(
x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ q
(
(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))
)
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ (∃y) q(y ∈ N ⇒ y 6 x))
(∀x)(
q(x ∈ N) ∨ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))
(∀x)(
x ∈ N ⇒ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))
(∀x ∈ N)(∃y ∈ N) y > x
,,Za svaki prirodan broj postoji ve�i od Ƭegaprirodan broj“.
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskihformula:
a) ∃x(x ∈ Z ∧ 3x = 8).
b) ∃x(x ∈ Q ∧ 3x = 8).
v) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x 6 y).
g) (∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x 6 y).
d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).
�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
a) ∃x(x ∈ Z ∧ 3x = 8).
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
a) ∃x(x ∈ Z ∧ 3x = 8).
RexeƬe ove jednaqine je x = 8
36∈ Z.
0
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
b) ∃x(x ∈ Q ∧ 3x = 8).
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
b) ∃x(x ∈ Q ∧ 3x = 8).
RexeƬe ove jednaqine je x = 8
3∈ Q.
1
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
v) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x 6 y).
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
v) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x 6 y).
,,Za svaki prirodan broj x postoji prirodanbroj ve�i (ili jednak) od Ƭega“
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
v) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x 6 y).
,,Za svaki prirodan broj x postoji prirodanbroj ve�i (ili jednak) od Ƭega“, npr. y = x+1.
1
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
g) (∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x 6 y).
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
g) (∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x 6 y).
,,Postoji najve�i prirodan broj“,a to smo ve� radili.
0
formula F1 ⇒ F2 je vaƩana akko u slede�emgrafu postoji put (po strelicama) iz qvora
F1 u qvor F2.
(∃y)(∀x) (∃x)(∀y)
(∀x)(∃y) (∀y)(∃x)
(∀x)(∀y) (∀y)(∀x)
(∃x)(∃y) (∃y)(∃x)
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).
x = y
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).
x = y / · z
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).
x = y / · z
xz = yz X
1
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).
xz = yz / : z
x = y
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).
xz = yz / : z 6= 0
x = y
Primer 4. 1. decembar 2008.
Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:
�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).
x = 5, y = 2, z = 0 daje:
5 · 0 = 2 · 0 ⇒ 5 = 2,
tj. 1 ⇒ 0
0
KRAJ QASA