iv. hasil dan pembahasan 4.1 sifat-sifat bilangan kompleks€¦ · hasil dan pembahasan 4.1...
TRANSCRIPT
19
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Sifat-Sifat Bilangan Kompleks
Dalam bab ini, akan dikemukakan beberapa sifat tentang bilangan
kompleks yang dapat digunakan untuk membuktikan kembali dan atau
menemukan fakta baru tentang sifat-sifat bangun segiempat. Sifat-sifat yang
dimaksud adalah [4]:
1. Setiap bilangan kompleks z dapat dikaitkan dengan vektor posisi OZ di bidang
kompleks dengan titik pangkal di O dan titik ujung di Z. Dengan perkataan lain
setiap bilangan kompleks dapat dipikirkan sebagai suatu vektor. Ini berarti
penjumlahan dua bilangan kompleks itu sama persis dengan penjumlahan dua
vektor dibidang.
2. Misalkan dan dua bilangan kompleks yang tidak
segaris maupun tidak sejajar yang memiliki sifat dengan x dan y
adalah dua bilangan real, maka pastilah dan .
3. Syarat cukup dua garis tegak lurus adalah
merupakan bilangan
imajiner murni. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan kompleks yang
bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.
4. Syarat cukup agar ketiga titik A, B, dan C segaris adalah
(
)
merupakan bilangan imajiner murni. Di sini a, b, dan c adalah bilangan-
bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, dan C.
5. Syarat cukup titik A, B, C, dan D membentuk segiempat talibusur adalah
merupakan bilangan real. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan-
bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.
6. Misalkan titik A terletak diluar lingkaran satuan S, AE dan AF adalah dua garis
singgung pada lingkaran tersebut yang ditarik dari titik A sebagai mana terlihat
pada Gambar 1.
20
Gambar 4.1. Sepasang Garis Singgung yang Ditarik dari Titik A
maka berlaku
Bukti fakta ini bisa dilihat di [4].
4.2 Penerapan Bilangan Kompleks Untuk Mengeksplorasi Sifat-Sifat
Segiempat
Berikut ini, disajikan soal-soal penerapan bilangan kompleks untuk
mengeksplorasi sifat-sifat segiempat. Soal-soal yang dipilih dianggap dalam
penyelesaian dengan konsep dan sifat bilangan kompleks lebih mudah
dibandingkan menggunakan hukum-hukum geometri Euclid
Soal 1 : Soal ini merupakan contoh soal yang diambil dalam artikel Geometric
Aplication of Complex Number hal. 5 [1].
Misalkan ABCD adalah jajar genjang dan E, F, G, H adalah titik tengah dari
masing-masing garis AB, BC, CD, DA. Tunjukkan bahwa dan
dan EFGH adalah jajar genjang.
Gambar 4.2.1. ABCD adalah Jajar Genjang dengan E, F, G, H adalah Titik-Titik
Tengah Setiap Sisinya.
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar 4.2.1. Misalkan a, b, c dan d berturut-turut adalah bilangan
kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, dan D. Menggunakan sifat
21
1, bilangan kompleks
( ) mewakili titik tengah E sedangkan bilangan
kompleks
( ) mewakili titik tengah G. Jadi,
( ).
Diketahui ABCD adalah jajar genjang, maka dan .
Sehingga
( )
( )
( )
Jadi, EG dan BC sejajar dan sama panjang. Selanjutnya, analog dengan cara
di atas diperoleh
( )
( )
( )
Jadi, HF dan DC sejajar dan sama panjang.
Perhatikan segiempat EFGH.
( ) dan
( ). Oleh karena
itu, EF dan GH sejajar dan sama panjang, sehingga EFGH adalah jajar genjang.
Q. E. D.
Soal 2: Soal ini merupakan soal no. 1.8 buku M. R. Spigel, [10] Complex
Variables hal. 24. Buktikan bahwa kedua diagonal dalam jajar genjang saling
potong memotong ditengah-tengah.
Gambar 4.2.2. Kedua Diagonal dalam Jajar Genjang Saling Potong-Memotong
Ditengah-Tengah
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar 4.2.2. Misalkan OABC adalah jajar genjang dengan diagonal
berpotongan di P. Misalkan pula dan . Jadi, .
22
Karena , , maka ( ) dengan .
Dengan cara yang sama diperoleh ( ) dengan .
Selanjutnya, akan ditunjukkan . Tetapi merupakan
bilangan imajiner murni, sehingga ( ) ( ) atau (
) ( ) Dengan demikian menurut sifat 2 diperoleh (
) dan . Ini berarti , . Jadi, terbukti P adalah titik
tengah dari diagonal tersebut.
Q. E. D.
Soal 3 : Bukti Varignon’s theorem [2].
Titik tengah sisi segiempat sembarang membentuk jajar genjang.
Gambar 4.2.3. Varignon’s Theorem
penyelesaian:
Misalkan a, b, c, d, k, l, m dan n bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang
bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, K, L, M dan N. Diberikan titik tengah K,
L, M, dan N, seperti Gambar 4.2.3. Menggunakan sifat 1, bilangan kompleks
( ) mewakili titik tengah garis AB. Dengan cara yang sama untuk
menunjukan hasil l, m dan n. Oleh karena itu
( )
( )
( )
Dan
( )
( )
( )
23
Sehingga , jadi garis oleh karena itu KLMN adalah
jajarangenjang.
Q. E. D.
Soal 4 : Bukti Van Aubel’s theorem [2].
Jika pada suatu segiempat di sebelah kanan panjang sisi segiempat diletakan
sebuah persegi yang bersesuaian dengan panjang sisi segiempat tersebut, maka
dua garis yang terhubung dengan titik tengah pusat persegi adalah sama panjang
dan tegak lurus.
Gambar 4.2.4 Van Aubel’s Theorem
Penyelesaian:
Misalkan a, b, c, d, t, u, v dan w bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang
bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, T, U, V dan W. Perhatikan segiempat
ABCD dan titik-titik pusat persegi T, U, V, W, seperti yang ditunjukkan pada
gambar 4.2.4. selanjutnya, ketiga titik A, T, B membentuk vertex sebuah persegi.
Jadi, dengan menggunakan sifat 1 diperoleh
( )
( )
Dengan cara yang sama
( )
( )
24
( )
( )
( )
( )
Sehingga
( )
( )
Dan
( )
( ) ( )
Terbukti, UW dan TV tegak lurus dan sama panjang.
Q. E. D
Soal 5 : Bukti Thebault’s first theorem [7]
Jika pada setiap sisi suatu jajar genjang dibentuk persegi maka pusat dari keempat
persegi tersebut akan berupa persegi.
Gambar 4.2.5. Thebault’s First Theorem
Penyelesaian:
Misalkan dan masing-masing menyatakan bilangan kompleks yang
bersesuaian dengan DC dan CB.
25
Misalkan pula M1, M2, M3, dan M4 adalah tititk dari persegi sebagaimana terlihat
pada gambar 4.2.5. jadi,
Analog diperoleh
Dari hasil di atas diperoleh
( )
( )
Dengan demikian,
( )
Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan ( )
.
Soal 6: Berikut akan dibuktikan bahwa di dalam belah ketupat diagonalnya tegak
lurus satu sama lain.
Gambar 4.2.6. Diagonal Belah Ketupat Tegak Lurus Satu Sama Lain
26
Penyelesaian
Perhatikan Gambar 4.2.6. Misalkan OABC adalah belah ketupat dengan
dan . Ini berarti | | | | dan . Jadi, . Akan
ditunjukkan . Menggunakan sifat 3, cukup ditunjukkan bahwa
(
)
(
) ( )( )( )( )
| |
| |
Terbukti.
Q. E. D.
Soal 7: Jika masing-masing diagonal dari segiempat membagi dua sama panjang,
maka terjadilah jajar genjang [1].
Gambar 4.2.7. Diagonal Jajar Genjang Membagi Dua Sama Panjang
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar 4.2.7. Misalkan ( ) ( ) ( ) dan ( ) adalah tititk
sudut dari segiempat yang kedua diagonal potong memotong ditengah-tengah.
Misalkan pula E adalah titik potong dari AC dan BD. Diketahui dan
. Karena E titik tengah dari AC, maka menggunakan sifat 1 diperoleh
( ). Tetapi E juga titik tengah dari BD jadi
( ). Ini
berakibat
( )
( )
Atau
27
( ) ( )
Ini berarti AD dan BC sama panjang dan sejajar. Analog diperoleh AD dan BC
sama panjang dan sejajar. Dari bukti-bukti tersebut dapat diketahui bahwa gambar
tersebut adalah jajar genjang.
Soal 8 [5]: Diberikan tiga titik A, B dan C yang tak segaris, seperti Gambar 4.2.8.
Misalkan Z adalah pencerminan dari C pada garis AB. Maka, z dapat dinyatakan
dalam bentuk sebagai berikut:
Gambar 4.2.8. Z adalah hasil pencerminan titik C terhadap garis AB
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar 4.2.8, misalkan a, b, c dan z bertutut-turut adalah bilangan
kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C dan Z. Misalkan pula M
adalah titik tengah dari ZC. Jadi,
Karena Z adalah hasil pencerminan dari C terhadap garis AB, maka M pasti
terletak pada garis AB. Sehingga menurut sifat 3 diperoleh
(
)
Karena
maka
28
( )
( )
Demikian pula karena ZC tegak lurus terhadap garis AB
(
)
Selanjutnya, diperoleh
( )
( ) ( )
dan
( )
Kedua persamaan (1) dan (2) dapat dipikirkan sebagai sistem persamaan dalam z
dan . Sistem persamaan z dan dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut:
( )
dengan
( )
( )
Apabila sistem persamaan (3) dan (4) diselesaikan untuk sistem persamaan untuk
z diperoleh
|
|
|
|
( )
( )( )
Q. E. D.
Soal 9: Diketahui a, b, dan c adalah bilangan kompleks yang terletak pada
lingkaran satuan di bidang kompleks dan h adalah bilangan kompleks
29
. Jika A, B, C dan H berturut turut adalah titik-titik pada bidang yang
bersesuaian dengan bilangan kompleks a, b, c dan h, maka buktikan bahwa titik H
merupakan titik potong dari garis tinggi segitiga ABC [5].
Gambar. 4.2.9. Titik H Merupakan Titik Potong Garis Tinggi Segitiga ABC
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar. 4.2.9. Untuk membuktikan H adalah titik tinggi segitiga ABC,
ditunjukkan . Jadi, menurut sifat 3 akan ditunjukkan bahwa bilangan
adalah bilangan imajiner murni.
Perhatikan bahwa
( )
Dengan demikian
(
)
Oleh karena itu, terbukti k adalah bilangan imajiner murni, sehingga .
Analog di atas . Jadi, dapat disimpulkan bahwa dan .
Sehingga, H adalah titik potong dari garis tinggi segitiga , terbukti.
Q. E. D.
Soal 10: Soal berikut ini adalah soal no. 2 dari soal Olimpiade Matematika
USAMO 2015 [5].
30
Pada Gambar. 4.2.10. Terlihat segiempat APBQ terletak pada lingkaran dengan
dan . X adalah sembarang titik pada segmen
garis PQ dan S adalah titik potong garis AX dengan lingkaran . Titik T terletak
pada busur AQB pada lingkaran sehingga XT tegak lurus AX dan M adalah titik
tengah segmen garis ST.
Gambar. 4.2.10. Ilustrasi Latar Belakang Soal USAMO 2015 No. 2
Jika X bergerak sepanjang segmen garis PQ, maka tunjukkan bahwa M bergerak
sepanjang lingkaran.
Penyelesaian:
Perhatikan Gambar. 4.2.11.
Gambar. 4.2.11. a, b, m, o, p, q, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan
kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, M, O, P, Q, S, T dan X.
31
Misalkan a, b, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian
dengan titik-titik A, B, S, T dan X. Tanpa mengurangi keumumannya dimisalkan
merupakan lingkaran satuan dan O sebagai titik pusat lingkaran tersebut, maka
.
Karena AB merupakan diameter dari , maka dan . Selanjutnya,
perhatikan bahwa APBQ adalah layang-layang. Jadi, . Tetapi AB
berimpit dengan sumbu real, sehingga semua titik pada segmen garis PQ tegak
lurus terhadap sumbu real. Ini berarti semua titik pada segmen garis PQ memiliki
bagian real yang sama. Oleh karena itu, ( ) konstan.
Karena A, X, dan S segaris. Maka menurut sifat 4:
(
)
⁄ ( )
Sedangkan XT tegak lurus terhadap AB, maka menurut sifat 2:
(
)
⁄ ( )
Apabila kedua persamaan (5) dan (6) diselesaikan untuk x dan , akan diperoleh
(
)
dan
(
)
Perhatikan bahwa
( )
(
)
Karena titik Z terletak terletak pada lingkaran satuan , maka
, sehingga
| | |
|
(
) (
)
( ) (
)
(
)
( )
Terbukti bahwa M terletak pada lingkaran dengan pusat Z dan jari-jari
√
( ) Q. E. D.
32
Soal 11 : Soal ini merupakan salah satu soal seleksi tingkat kabupaten/kota OSN
2009 bidang matematika SMA [13]. Diberikan segitiga ABC lancip. Lingkaran
dalam segitiga ABC dengan titik pusat I menyinggung sisi-sisi BC, CA, dan AB
berurut-turut di D, E, dan F. Garis bagi sudut A memotong DE di K.
a) Buktikan bahwa BK tegak lurus garis bagi sudut BAC.
b) Buktikan bahwa CL tegak lurus garis bagi sudut BAC, dimana L adalah titik
potong garis bagi sudut A dan garis DF.
c) Tunjukkan bahwa A1KML adalah segiempat talibusur, jika AA1 adalah garis
tinggi dan M titik tengah BC.
Ilustrasi soal di atas diperlihatkan pada Gambar. 4.2.12.
Gambar. 4.2.12. OSN SMA 2009 BK Tegak Lurus AK, CL Tegak Lurus AL dan
A1KML adalah Segiempat Talibusur.
Penyelesaian:
Tanpa mengurangi keumumannya lingkaran dalam segitiga ABC dipikirkan
sebagai lingkaran satuan dibidang kompleks dengan pusat koordinat di I dan
sumbu realnya berimpit dengan garis bagi sudut A sebagaimana terlihat pada
Gambar. 4.2.13.
33
Gambar. 4.2.13. Titik I Merupakan Pusat Koordinat dan Garis Bagi
Merupakan Sumbu Real.
Jadi, persamaan garis bagi adalah . Karena EF tegak lurus AI dan E
terletak pada lingkaran satuan, maka
atau .
Selanjutnya, menggunakan sifat 6 diperoleh
Mengunakan sifat 2 diperoleh
( )
Misalkan z sembarang titik yang terletak pada garis DE, maka z segaris dengan
garis DE. Oleh karena itu berdasarkan sifat 4 persamaan garis DE adalah
atau
( )
Bentuk persamaan tersebut dapat disederhakan menjadi ( ) (
) ( )( ) atau . Jadi, persamaan garis DE adalah
. Dengan cara yang sama persamaan garis DF adalah
.
34
Misalkan z sembarang titik pada BC dan , maka berdasarkan sifat 3
diperoleh
Karena I adalah titik pusat koordinat dan titik D terletak pada lingkaran satuan,
maka diperoleh
atau
( )
Jika persamaan (8) disederhanakan akan diperoleh . Jadi,
persamaan garis BC adalah .
Dengan cara serupa di atas, persamaan garis AA1 diperoleh dari:
atau
( )
Dengan menyederhanakan persamaan (9), maka persamaan garis akhir dapat
ditulis dalam bentuk ( ) ( ) .
Selanjutnya, dengan memotongkan garis DE dan sumbu real AI diperoleh titik K
yaitu
Demikian pula dengan memotongkan garis DF dan sumbu real AI diperoleh titik L
yaitu
Sementara itu dengan memotongkan garis AA1 dan garis BC diperoleh titik A1
yaitu dengan mensubtitusikan persamaan garis BC pada AA1. Oleh karena itu,
35
diperoleh persamaan garis A1 yaitu ( ) ( ) . Sehingga,
hasil akhir persamaan garis A1 adalah
1. Untuk membuktikan cukup ditunjukkan
bernilai imajiner.
Sehingga
Jadi, terbukti
bernilai imajiner, sehingga terbukti pula .
2. Untuk membuktikan bahwa dapat dilakukan dengan komputasi a).
3. Untuk membuktikan A1KML adalah segiempat talibusur, perhatikan Gambar.
4.2.14.
Gambar. 4.2.14. A1KML adalah segiempat talibusur.
Cukup ditunjukkan
bernilai real. Perhatikan bahwa
36
dan
Sehingga
Akibatnya
Jadi, terbukti bahwa Y adalah real, maka terbukti A1KML adalah segi empat tali
busur.
Q. E. D.